LGEBR GEOMETRIE NLITIC ȘI DIFERENȚIL SINTEZE TEORETICE ȘI PLICȚII
cs mrl rpră u supor d curs ds sudțlor d ul I c cuprd s orc ș prolm rolv dsprs d volumul Elm d lgră lră gomr lcă ș drțlă uor: Io Vldmrscu Lumț Grcu Grcu Lumț
I SPŢII VECTORILE I Spţul vcorl - dţ proprăţ F V o mulţm vdă ş K u corp comuv Dţ I Spum că V r srucură lgrcă d spţu vcorl (su spţu lr ps copul K dcă s îsră cu două lg d compoţ: - o lg d compoţ ră oă dv: : V V V ( ; - o lg d compoţ ră oă mulplcv: : K V V ( cr îdplsc urmăorl proprăţ: (V s grup ( ( V ( K ; ( ( V ( K ; ( ( ( V ( K ; v ( V Vom o csă srucură (VK Elml lu V s umsc vcor r lml lu K sclr Oprţ s v um dur vcorlor r oprţ îmulţr vcorlor cu sclr Noăm cu lmul u l corpulu K r cu vcorul ul d V dcă lmul uru l grupulu (V Vcor s oă cu ră dsupr ( c uor l lulu l Empl: r sclr cu lr mc l lulu grc( µ c ş F M(m K mulţm mrclor cu m l ş colo cu lm d corpul K csă mulţm ormă u spţu vcorl ps corpul K ţă d oprţl oşu d dur mrclor ş îmulţr mrclor cu sclr d K F M(K mulţm mrclor cu o sgură l ş cu colo cu lm d corpul K csă mulţm s m oă: K {( / K } Elml lu Oprţl d dur vcorlor l -dmsol ş d îmulţr csor cu sclr dv: ( ( ( ( S vrcă uşor că împruă cu cs două oprţ K s umsc vcor l -dmsol K s u spţu vcorl ps corpul K F M( K mulţm mrclor cu o sgură coloă ş l cu lm d corpul K c s po o: ~ K K
Elml lu K ~ î cs c s umsc vcor coloă -dmsol Ş î cs c ( K ~ K s spţu vcorl Dorc mulţml M(K ş M(K s dossc dor pr modul d scrr lmlor î prccă s vorş dor dspr vcor -dmsol pul csor l su coloă suîţlgâdu-s d co Spţul ( R R dmsol s umş spţul vcorl rl -dmsol r ( C C spţul vcorl compl - Mulţm polomlor d o drmă cu cocţ rl d grd cl mul gl cu ( N ormă spţu vcorl ps corpul R ţă d oprţl oşu d dur polomlor ş îmulţr polomlor cu sclr rl S păsră propr dcă îlocum corpul R cu K Mulţm polomlor d o drmă d grd cu cocţ d K u r srucură d spţu vcorl ţă d oprţl dc î mplul Trorm I (Rgul d clcul î spţul vcorl Î orc spţu vcorl V ps K u loc rmţl: ( V ; ( K ; (- ( V ; su ; 5 ( V dc (V s grup l Coscţ: F V u spţu vcorl ps K Su dvăr rmţl: Dcă K ş V uc Dcă K uc I Dpdţă ş dpdţă lră coprr lră uu ssm d vcor F (VK u spţu vcorl ş S { } Dţ I Spum că u vcor K sl îcâ: u ssm d vcor d V V s o comţ lră d vcor ssmulu S dcă să D mplu vcorul ul s o comţ lră d vcor lu S orcr r ssmul S d V Dţ I Mulţm uuror comţlor lr d vcor d S s umş coprr lră lu S ş s oă L ( S Î prculr dcă S { } L uc ( S { K } K K Î mod vd L( ( Propoţ I Dcă { } L( ( L( L p Dmosrţ: p uc K Dorc L( ( p
( L p Dc p p p Oțm sl că: L ( L( Propoţ I Dcă L( ( L( L p uc L ( Juscr s smăăor cu c propoţ ror L ( Î prculr Dţ I Spum că ssmul S s lr dpd (su că vcor su lr dpdţ dcă să sclr K u oţ ul sl îcâ: ll spus vcor oţ sclr ul K su lr dpdţ dcă să cl puţ o comţ lră ulă lor cu u Dţ I5 Spum că ssmul S s lr dpd (su că vcor să su lr dpdţ dcă S u s lr dpd Cu l cuv vcor oţ sclr ul Empl Î su lr dpdţ dcă d orc comţ lră ulă lor rulă R vcor ( ; ( ( su lr dpdţ Î spţul vcorl l polomlor cu cocţ rl d grd cl mul poloml: X X X su lr dpd Îr-dvăr dcă X X ( X X pr dcr cocţlor rulă Propoţ I Îr-u spţu vcorl u loc urmăorl rmţ: Orc ssm d vcor cr coţ vcorul ul s lr dpd Orc sussm l uu ssm lr dpd s lr dpd Orc suprssm l uu ssm lr dpd s lr dpd F V Ssmul{ } s lr dpd dcă ş um dcă Dţ I6 U ssm d vcor lu V s lr dpd dcă orc sussm l său s lr dpd Propoţ I Ssmul d vcor S { } dr s scr c o comţ lră clorllţ Dmosrţ: s lr dpd dcă ş um dcă cl puţ uul Prsupum că S s lr dpd Dc să K K u oţ ul sl îcâ
Dorc sclr u su oţ ul uc să cl puţ u dc { } sl îcâ c c îsmă că să ş vrsul său ( - Î cs codţ d rlţ: K îmulţă cu ( - oţm: ( ( ( ( K Dc s scr c o comţ lră d cllţ - vcor Rcproc prsupum că d ssmul S vcorul ( { } s scr c o comţ lră clorllţ: K d ud oţm: ( K Cum u oţ sclr cs comţ lr ul su ro rulă că S s lr dpd I Bă ş dmsu pru u spţu vcorl Dţ I7 Spum că u ssm d vcor S V s ssm d gror pru V dcă orc vcor V s scr c o comţ lră vcorlor d S ll spus dcă L( S Propoţ I5 F dpdţ uc Dmosrţ m V vcor spţulu vcorl V ş m L( lr Prsupum pr surd că m> D m L( dducm că orcr r { } vcorul s rpră c o comţ lră d vcor { } dcă Cosdrăm ssmul lr omog: dpdţ m m m m m m m Dorc m> cs ssm r ş soluţ l F ( m m m m cs p corc lr dpdţ vcorlor Corolr Dcă { } V r m L( o sl d soluţ uc vm: cu m> uc m su lr Dţ I8 Ssmul B d vcor d V s umş ă pru V dcă B s lr dpd ş L( B V Torm I Orc spţu vcorl cr u s rduc l vcorul ul posdă cl puţ o ă M c d orc ssm d gror l lu V pum rg cl puţ o ă Torm I To l uu spţu vcorl su orm d clş umăr d vcor Dmosrţ F B { } { } m B Coorm Propoţ I5 rulă două l lu V Dorc V L( uc L( B ( m log s oţ B m Dc î coclu m
Dţ I9 Spum că spţul vcorl (V K r dmsu ă dcă să î V o ă ormă d vcorvom scr dm V Î c corr spum că spţul V r dmsu ă ş scrm dm V Dmsu spţulu vcorl ul { } s pr dţ Empl: Dmsu lu R s (scrm dm R Vcor ( ş ( su lr dpdț dorc: R ( ( ş îrucâ pru orc vcor ( v v v v v v R L ( Dc vcor ormă o ă pru R sl dm R dm R (dmosrț d smăăor cu c prcdă r ormă d vcor: ( ( ( K poră uml d ă cocă (urlă sdrd lu R Osrvţ I F V u spţu vcorl ps K d dmsu ă Su dvăr urmăorl rmţ: Orcr vcor (su m mulţ d V su lr dpdţ Orcr vcor d V lr dpdţ ormă o ă pru V Orcr ssm d gror pru V orm d vcor s o ă pru V Propoţ I Îr-u spţu vcorl V dmsol orc ssm d vcor lr dpdţ po compl pâă l o ă spţulu Torm I F V u spţu vcorl ş B { } V orc vcor l lu V s po scr î mod uc c o comţ lră d vcor d B Dmosrţ: F uc B s ă lu V dcă ş um dcă V u vcor rrr Prsupum c scrr lu î rpor cu B u s ucă Dc să K sl îcâ: ş să K sl îcâ: Oţm: ( ( ( s lr dpd rulă Cum { } Dc ş scrr lu î rpor cu vcor d B s ucă Rcproc prsupum că orc vcor d V s scr î mod uc c o comţ lră d vcor lu B Î cul vcorulu ul oţm: 5 scrr ucă sl că dcă cm o comţ lră ulă d vcor d B oţ sclr c pr ru să ul dc ssmul B s lr dpd Dorc orc vcor d V s scr c o comţ lră d vcor lu B rulă c B ormă o ă lu V sl scrr uu vcor îr-o ă s ucă Sclr c pr î csă rprr poră uml d coordol vcorulu î rpor cu cosdră Vom o pr [ ] B colo coordolor lu î rpor cu B Dcă coordol lu î rpor cu B ş B { } s o ă pru V uc su
Empl: Î R { } î B su ş B ( ş ( ş R ( Cum coordol lu Î R B { } ( B su 5 ş - ( ş ( Dorc 5 coordol lu î F P spţul vcorl l polomlor cu cocţ rl d grd cl mul - Mulţm lmlor ormă o ă î P Coordol uu polom P( su cocţ polomulu Dcă s cosdră o lă ă cs - (- coorm ormul lu Tlor polomul P( po scrs: P' ( P(P(! ( ( P ( (! ( Rulă că î rpor cu csă ă coordol lu P( su: P( P '( P ( (! 5 Î M ( R ormă o ă căc su vd lr dpd r pru orc mrc M ( R vm: c d dcă l ormă ș c d u ssm d gror pru M ( R Coordol lu î csă ă d ocm lml sl: cd I Schmr coordolor uu vcor l o schmr F (V K u spţu vcorl d dmsu r B { K } B { } Cosdrăm u vcor rrr V c r urmăorl scrr î cl două : K rspcv K N propum să găsm rlţ d lgăură îr coordol ş Dorc B s ă pru V r scrr csor vcor î rpor cu B Mrc c s oţ scrd coordol vcorlor V uc : două pru V î B p colo s: M M M K K K K M 6
7 csă mrc s umş mrc d rcr d l B l B vm: D c rulă: ( dcă: su î scrr mrclă: M dcă [ ] [ ] B B M csă gl s chvlă cu gl: [ ] [ ] B B M csă gl s umş ormul d schmr coordolor uu vcor câd s rc d l B l B I5 Lm susuţ ş plcţ Torm I6 (Lm susuţ F (VK u spţu vcorl d dmsu ă ş { } B K o ă pru V r K u vcor d V uc u loc urmăorl rmţ: { } B s o ouă ă pru V dcă ş um dcă Dcă K s u l vcor d V uc coordol l vcorulu î { } B su d d ormull: pru plcț l lm susuț Dr cl m mpor plcţ l lm susuţ mm: lr coordolor vcorlor î dr ; lr vrs u mrc; lr rgulu u mrc; rolvr ssmlor lr;
8 Empl: Să s clcul vrs mrc Noâd cu colol mrc vm: I 5 5 6 sl oţm: 5 6 Dorc rgul u mrc po d c umăr mm d colo su l lr dpd s po olos lm susuţ l clculul rgulu u mrc D mplu pru clculul rgulu mrc 6 vm: / / 6 u os rodus două colo î ou ă dc rg Lm susuţ s po olos ş l rolvr ssmlor lr Să s rolv ssmul: 7 Noâd cu L( colo rmlor lr ş cu colol cocţlor cuosculor vm:
7 L 5 5 L 5 5 5 5 L 7 5 5 Ssmul dv: 5 5 5 5 7 5 5 Mrc ssmulu r rgul c ş mrc să ş dc ssmul s compl drm cuoscul prcpl d ş Soluţ ssmulu s: 7 R 5 5 5 5 5 5 I6 Suspţ vcorl F (VK u spţu vcorl Dţ I9 Spum că V V V s suspţu vcorl l lu V dcă s spţu vcorl ţă d clş lg î rpor cu cr V s spţu vcorl Propoţ I8 loc V V V V s suspţu lr l lu V dcă ş um dcă ( K ş ( V r Empl: { / } R { M } F VR uc V ( K s suspţu vcorl l lu R Mulţm M ( R / s suspţu vcorl l lu ( R s { } M um suspţul mrclor smrc Mulţm mrclor smrc M M ( R / s suspţu vcorl l lu ( R s M F V u spţu vcorl ps K uc mulţml {} ş V su suspţ vcorl l lu V um suspţ mpropr Propoţ I F (VK u spţu vcorl cu dm V ş V u suspţu vcorl l lu V uc dmv Juscr s mdă ș s ă p Propoț 5 Osrvţ I 9 Dcă V s spţu vcorl ps K d dmsu ă r V s u suspţu vcorl l său cu dmv ucv V Osrvţ I Orcr r { m} V mulţm L ( m s suspţu vcorl l lu V 9
I7 Oprţ cu suspţ vcorl F V u spţu vcorl ş V V două suspţ vcorl l sl Noăm: V V { V ş } d V V { V V ş } d V V Torm I8 V V ş V IV su suspţ vcorl l lu V Osrvţ I Torm prcdă po grlă sl: o sumă ă d suspţ vcorl l cluş spţu vcorl s suspţu vcorl ş o rscţ ă d suspţ vcorl l cluş spţu vcorl s suspţu vcorl Osrvţ I Ruu două (su m mul suspţ vcorl u s î grl suspţu vcorl Juscr cs rmţ s po c p urmăorulu cormplu d vm: V V { V V su } V Cosdrăm VR lgm urmăorl două suspţ vcorl: {( R} ş V {( / R} V / Vcorul ( V vcorul ( V dr sum lor ((( u prţ lu V V To d c s po osrv că î grl V V s dr d V V Dţ I F V ş V două suspţ vcorl l spţulu vcorl V Spum că V s sumă drcă d V ş V dcă cr vcor d V s scr î mod uc c sumă dr u vcor d V ş u vcor d V ş oăm V V V Empl: F VR V {( / R} s V ( { / } uc R V V R Dţ I Dcă VV V ş V V vcorul s umş procţ lu p suspţul V prllă cu V r vcorul s umş procţ lu p suspţul V prllă cu V Torm I Dcă V s u spţu vcorl d dmsu ă V ş V două suspţ vcorl l lu V uc VV V dcă ş um dcă u loc rlţl: V V { }; dm V dmv dm V Torm I (orm dmsu su ormul lu Grssm Dcă V ş V su suspţ vcorl l spţulu vcorl dmsol (VK uc: dm(v V dmv dmv -dmv V Propoţ I Dcă V s u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş V V vcorl l lu V sl îcâ dmv dmv > uc V V {} dm Dmosrţ: su suspţ ( V V dmv dmv ( V V Dr V V s suspţu vcorl l lu V dc ( V V dm dm ş rlţ roră dv dmv dmv dm( V V Ţâd sm d poă pum scr: < dmv dmv dm( V V Rulă ( V > dcv V {} dm V
I8 Prolm rolv Să s drm î spţul R suspţul orm d soluţl ssmulu omog: 9 5 9 8 5 5 Soluţ: Drmul prcpl l ssmulu s D p Rolvăm ssmul orm d prml două cuţ î rpor cu s - cuoscul prcpl S oţ 7 s 7 sl o soluţ rrră ssmulu d s 7 7 cu R r spţul soluţlor ssmulu s ( / 7 7 L R V ud 7 7 Î R vm ( ( ( ş vcorul S cr să s clcul coordol lu ţă d } { B ud Soluţ: Drmăm mrc d rcr d l { } l { } vm: cu d ş ( [ ] 6 7 B dcă 6 7 Să s prc dpdţ lră urmăorlor ssm d vcor:
( ( (6 d R ( ( (5 d R c ( ( ( ( d R Soluţ: F Oţm ssmul: 6 6 6 Rulă că vcor { } su lr dpdţ Să drmăm rlţ d dpdţ lră Ssmul s compl drm Rulă R Pru r cs rpră o rlţ d dpdţă lră îr c r vcor Osrvţ Pru sl rpd dpdţ lră uu ssm d vcor d R dţ pr coordol lor îr-o ă s suc să clculăm drmul l căru colo rpră coordol csor vcor Dcă drmul s dr d ro vcor su lr dpdţ ll su lr dpdţ M mul ormă o ă lu R dorc dmsu lu 5 6 5 R s sl vcor { } su lr dpdţ Dc ormă o ă î R dorc umărul lor cocd cu dmsu spţulu vcorl R c log vcor { } su lr dpdţ pru că vm: I R s du vcor ( ( ( ( 7 Să s r că ssmul S{ } s u ssm d gror î R Să s rgă d S u sussm S cr să cosu o ă d R Soluţ: F R ( R Să răăm c să sclr R sl îcă Idcâd compol d clş dc rulă:
( s : 7 S osrvă că mrc ssmulu s 7 ş rgul s Esă drmul Dc ssmul (s cu cuoscul s compl smplu drm Dc orc comţ lră d vcor dcă L( Vcor { } su prmţ î cocă: R R s scr c o Drmul coordolor s rulă că su lr dpdţ Dmsu spţulu lr R d rulă că ormă o ă csu spţu 5 F spul vcorl R ş vcor ( ( ( Să s r că { } cosu o ă î R S dă vcorul (- R Să s drm sl îcă { } să cosu o ă î R c Să s găsscă mrc d rcr d l B { } l B { } Soluţ: S vrcă pul că drmul corspuăor s ul 6 8 dc{ } ormă o î R Es suc c drmul corspuăor să ul dcă Rulă că: 6 c Pru drm mrc d rcr d l B l B prmăm vcor d B oţm: Drmăm coordol lu î { } î rpor cu B ş
d ud 6 6 6 6 Mrc d rcr d l B l B s 6 6 L 6 Î spţul vcorl R s cosdră B } { R ud ( ( ( S cr: Să s găsscă coordol vcorulu (- î B ; Să s r că } { B ud ( ( ( s o ouă ă î R c Să s drm coordol lu î rpor cu B Soluţ: Vrcăm pul că { } s o ă î R vm Ulăm ormul [ ] ( [ ] B B ud B rpră cocă lu R r S oţ: 8 7 9 8 S clculă 8 (6 Rulă că vcor su lr dpdţ ş ormă o ă î R c vm ormul [ ] ( [ ] B B ud 5
5 7 Î spţul vcorl ( R M s du vcor: 7 5 ş scrş îr-o ă orcr Să s r c B{ } s o ă î ( R M Să s drm coordol vcorulu î B Soluţ: Vrcăm dcă vcor su lr dpdţ Cosdrăm Rulă 7 5 Rulă 5 7 S- oţu u ssm omog cr dm dor soluţ lă dorc drmul ssmulu s dr d ro vm îr-dvăr: 5 5 ( 7 5 5 9 7 5 5 9 7 5 7 Rulă că vcor su lr dpdţ Cum dmsu spţulu vcorl ( R M s rulă că { } ormă o ă î spţul vcorl cosdr F δ γ D dcr compolor d clş ord rulă: 5 7 δ γ γ δ γ γ Ssmul s compl drm dorc drmul s ul ş c urmr plcăr ormullor lu Crmr oţm: 6 5 8 7 8 7 8 5 8 Să s drm R sl îcâ mrcl să lr dpd Soluţ: Cosdrăm ş mpum codţ c ssmul c s oţ să dmă dor soluţ lă Ssmul c s oţ s:
Ssmul s omog r cuţ ş cuoscu; pru c cs ssm să dmă soluţ mrc ssmulu ru s ă rgul vm: su su ( pru ( dc rgul u m s r Dcă rgul mrc s r dcă l l ş ssmul r dor soluţ lă dcă vcor { } su lr dpdţ Dcă rgul mrc s dc ssmul dm ş l soluţ sl că vcor u m su lr dpdţ 9 S du î R vcor ( ( c ( Cosu cş o ă pru R? Soluţ: C cş vcor să orm o ă drmul mrc orm cu coordol lor î cocă ru să vm: sl vcor cosdrţ ormă o ă î R Folosd lm susuţ să s rolv ssmul: Soluţ: Sum î R Noăm cu vcor d R ormţ cu cocţ cuosculor d ssm ş cu L vcorul rmlor lr Scrm loul corspuăor ş plcâd lm susuţ vm: 6
7 L B Soluţ ssmulu s
II PLICŢII LINIRE II plcţ lr-dţ mpl proprăţ Nuclul ş mg u plcţ lr Dţ II Dcă XY su spţ vcorl ps corpul K uc plcţ lră (su morsm su homomorsm d spţ vcorl dcă: U( U( U( ( X (propr d dv U : X Y s umş plcţ U( U( ( K ( X (propr d omog Propoţ II F X ş Y două K spţ vcorl uc U : X Y s plcţ lră dcă ş um dcă r loc rlţ: ( U( U( ( K ( X U Empl: plcţ : R R ( R s lră p câd g : R R g( R u m s o plcţ lră plcţ U : C[ ] R U ( ( d ud C[ ] { :[ ] R uc cou} 8 s lră F P (R spţul polomlor cu cocţ rl d grd cl mul plcţ U : P ( R P ( R U ( P P' ud P s drv polomulu P s lră Propoţ II Dcă U : X Y s plcţ lră uc u loc: U ( X Y ( ( U ( U X U U( ( K X Dţ II F U : X Y plcţ lră Dm: d -uclul plcţ lr U pr KrU { X U ( } d -mg plcţ lr lr U pr Im U { Y ( X sl câ U ( } Propoţ II Kr U s suspţu vcorl l lu X Im U s suspţu vcorl l lu Y Y Torm II O plcţ lră U : X Y s cvă dcă ş um dcă Kr U { X } Tormă II O plcţ lră cvă duc u ssm d vcor lr dpdţ îr-u ssm d vcor lr dpdţ uc: Torm II F X ş Y spţ vcorl ps K dm X dm KrU dm ImU dm X < Dcă U : X Y s o plcţ lră Dţ II Dmsu suspţulu Im U s umş rgul plcţ lr U r dmsu suspţulu Kr U s umş dcul plcţ lr U
Osrvţ II plcţ lră U : X Y s surcvă dcă ş um dcă ImU Y Propoţ II Dcă plcţ lră plcţ lră U : X Y s cvă uc ş vrs s U : Y X s II Iomorsm d spţ vcorl Spţul vcorl Hom (XY Dţ II Două spţ vcorl X ş Y s umsc omor dcă să U : X Y plcţ lră ş cvă r U s umş î cs c omorsm F X Y două spţ vcorl ps K d dmsu rspcv m Torm II F B { } o ă spţlu vcorl X r vcor rrr d Y uc să o ucă plcţ lră Coscţă O plcţ lră U l vcorlor u B { } U : X Y sl îcâ U( lu X pr U : X Y s compl drmă dcă s cuosc mgl U( Torm II5 (orm omorsmulu Două spţ vcorl X ş Y d dmsu su omor dcă ş um dcă dm Xdm Y Coscţă Orc K-spţu vcorl -dmsol s omor cu K F XY două spţ lr ps corpul K d Dţ II5 Noăm pr Hom X Y { U : X Y U plc lr } ( mulţm uuror plcţlor lr d p X cu vlor î Y Uor csă mulţm s m oă ş cu L(XY Dcă XY uc o plcţ lră U : X X s umş opror lr (su rsormr lră su domorsm Noăm pr Ed X { U : X X U plc lră} spţul vcorl X ( mulţm uuror oprorlor lr dţ p Dcă î plus u domorsm s cv l s umş uomorsm Noăm pr u( X { U:X X U lr ş cv} mulţm uuror uomorsmlor d p X Torm II6 Mulţm Hom (XY ormă u K spţu vcorl î rpor cu oprţl: : Hom( X Y Hom( X Y Hom( X Y (UV( U( V( ( : K Hom( X Y Hom( X Y U V Hom( X Y ( X ; ( K ( U ( U ( ( U Hom( X Y s Torm II7 F XY spţ vcorl ps clş corp K d dmsu mrspcv uc dm Hom(XY m II Dscrr u plcţ lr îr-o prch d F X ş Y spţ vcorl ps K d dmsu dm Xm dm Y U : X Y o plcţ lră ş } o ă pru X ş B { } o ă pru Y Dorc U ( Y m { m B mod uc c o comţ lră vcorlor B : cs s v scr î 9
U ( m F X cu scrr s î B : uc: Dr U m m m m m ( U U( U( Y ş dc l v dm o scrr î rpor cu B : ( U η Cum scrr uu vcor îr-o ă s ucă vom v: ( η η η m m m m Folosd scrr mrclă: [ U( ] ( [ ] B B B B m η dcă: Câd l B B su uc l s om d scrr roră ş vom v: [ U ( ] [ ] ( X Dţ II6 Mrc M ( m K c coţ p colo coordol î B l mglor vcorlor B pr rmdul plcţ lr U s umş mrc socă plcţ lr U î rpor cu l B ş B Empl: F U : R R dă pr U( ( (vcor d scrş î rpor cu l coc d spţl vcorl Evd Hom( R R orcr r ( R R R U Dorc U ( ( U( ( ( ( l coc s Osrvţ II Dcă corspud o mrc părcă d ordul U mrc plcţ U î rpor cu U : X X s u opror lr ş dm X uc ţă d o ă d X lu U î Osrvţ II F U : X Y ş V : X Y două plcţ lr r B ş B pru X rspcv Y Dcă mrcl soc plcţlor lr U ş V î rpor cu cs su ş rspcv B uc mrcl plcţlor U V ş U î rpor cu clş su B ş rspcv Torm II8 F X Y Z spţ vcorl ps K d dmsu dmxm dmy dmzp B B B pru X rspcv Y ş Z r U : X Y V : Y Z plcţ lr cu ( M ( m K mrc socă lu U î rpor cu l B B r B ( p M ( p K mrc socă lu V î rpor cu l
B B Compur (produsul plcţlor U ş V î ord VU s o o plcţ lră dă d mrc produs B M( p m K î rpor cu l B B II Schmr mrc u plcţ lr l schmr lor Torm II9 F U:X Y o plcţ lră d spţ vcorl dmsol dm Xm dm Y F B { m } ş { } B ' ' ' m î X ş B { } B' { ' ' } î Y r L ( m ş m M h ( µ h mrcl d rcr d l B l B rspcv d l B l B F d sm h ( h mrc socă plcţ lr U î rpor cu l B ş B r B ( m U rpor cu l B ş B uc BM - L mrc lu m Coscţă Dcă ş B su mrcl corspuăor oprorulu lr U : X X î două dr B ş B d X uc BL - L ud L s mrc d rcr d l B l B Osrvţ II Rgul mrc u plcţ lr două spţ vcorl U : X Y s cosrvă l schmr lor î cl Dţ II7 Rgul u plcţ lr U : X Y cocd cu rgul mrc soc î rpor cu două rrr d X rspcv Y Dţ II8 F X u K spţu vcorl ş U:X umş vr ţă d U dcă pru orc S vm X u opror lr U suspţu vcorl S l lu X s U ( S (ll spus U ( S S Empl: Suspţl mpropr { X} ş X su vr ţă d orc opror lr U : X X Propoţ II5 Sum uu umăr d suspţ vr dţă d u opror lr s u suspţu vr ţă d cl opror lr Irscţ uu umăr d suspţ vr ţă d u opror lr s u suspţu vr ţă d cl opror lr Torm II9 F S u suspţu vcorl l lu X ş B { } u ssm d gror pru S uc S K p s vr î rpor cu oprorul lr U:X X dcă ş um dcă U ( S ( p II6 Vlor ş vcor propr F X u spţu vcorl ps K ş U:X Dţ II9 U sclr V sl îcâ U( vlor propr X u opror lr K s umş vlor propr oprorulu lr U dcă să u vcor Vcorul s umş vcor propru pru oprorul U corspuăor Propoţ II5 Dcă s u vcor propru pru oprorul U corspuăor vlor propr r K uc s vcor propru pru U corspuăor vlor propr
Torm II F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş ( M ( K oprorulu U Ed( X î rpor cu B { } pru U dcă ş um dcă s rădăcă (î K polomulu P ( ( U d I (* mrc K lu X uc u sclr K s vlor propr Torm II F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş U Ed( X Dcă M ( K mrc oprorulu U î rpor cu B ş B s s mrc lu U î rpor cu B uc ( I d BI d ( s d I Dţ II Polomul (* s umş polomul crcrsc l oprorulu lr U r ( s umş cuţ crcrscă lu U Prcc pru drm vlorl ş vcor propr pru oprorul lr U Ed( X ă procdăm sl: S ă o ă B { } K lu X; S scr mrc oprorulu U î rpor cu B; Drmăm polomul crcrsc P ( ( U d I ; d I Rolvăm cuţ crcrscă ( Rădăcl (î K m m l cs cuţ su vlorl propr l lu U cu X d dmsu 5 Vcor propr corspuăor vlor propr su vcor l căror coordo î rpor cu B su soluţl ul l ssmulu ( I [ ] [ ] Emplu: F U : C C u opror lr cr îr-o ă d ( C C s crcr d mrc: Pru găs vlorl propr ş vcor propr socţ procdăm sl: Scrm cuţ crcrscă I Oţm ( ( Rolvăm cuţ crcrscă ş găsm vlorl propr: Pru cr vlor propr găsm vcor propr socţ rolvâd ssmul: ( I [ ] ] Pru vm: [
Dc vcor propr corspuor vlor propr su d orm pru (- s u vcor propru pru Pru vm: Dc ( C ( C Î prculr cu s u vcor propru corspuăor vlor propr Î prculr pru oţm vcorul propru ( Osrvţ II5 Dcă s o vlor propr oprorulu U Ed( X lu U corspuăor vlor propr cocd cu mulţm Kr( U \{ } domorsmul dc l spţulu vcorl X uc mulţm vcorlor propr X ud X rpră Torm II Vcor propr uu opror lr U corspuăor l vlor propr dsc două câ două su lr dpdţ Coscţă Dcă vlorl propr dsc două câ două l uu opror lr U : X X su î umăr d dm X uc vcor propr socţ csor vlor propr ormă o ă pru X r mrc socă lu U î csă ă s: ud su cl vlor propr dsc Dţ II Spum că u opror lr s opror cu srucură smplă su dgoll dcă să o ă î rpor cu cr mrc s r ormă dgolă Dţ II Mulţm vlorlor propr l uu opror lr s umş spcrul oprorulu Torm II Codţ csră ş sucă c mrc oprorulu U Ed( V să ă orm dgolă î rpor cu B s c oţ vcor d B să vcor propr lu U Torm II(Torm Cl-Hmlo F X u spţu vcorl ps K d dmsu ă ş mrc oprorulu lr U : X X î rpor cu B lu X uc P U ( ~ ud ~ rpră mrc ulă d ordul ll spus polomul crcrsc l uu opror lr s vrc d propr s mrc Osrvţ II6 Dcă s cuoş polomul crcrsc uc d orm Cl-Hmlo pum drm - c o sumă d pur succsv l lu î lul urmăor: d ud p ( p Dţ II F [ p p p ] pi cu p ( o vlor propr oprorulu lr umş suspţul propru soc vlor propr { } U Mulţm S X U( s
U Osrvţ II7 Suspţul propru X ş s dc u suspţu vcorl l lu X Propoţ II6 Suspţul propru S s vr ţă d U ; dm S r dm X r rg( I S soc vlor propr rpră d p uclul oprorulu lr S soc vlor propr r proprăţl: ; c dm S m m ordul d mulplc l vlor propr Torm II5 F vlorl propr l oprorulu lr U : X X ud dm X ş m ordul d mulplc l vlor propr suc c dm S Pru c U să dgoll s csr ş m ş m m m Î cs c să o ă B X ţă d cr mrc oprorulu U r orm: M M S M M M M M o M M M M M M M M M M M M M M M M M M M (**** M M ud gură d m or Osrvţ II8 Î codţl cs orm spţul vcorl X s sum drcă suspţlor S II7 Prolm rolv F U : C C d d ormul U ( ud ( ε ε Să s drm polomul crcrsc vlorl ş vcor propr ş po să s dcdă dcă s su u u opror dgoll Soluţ: cs ssm r soluţ lă dcă ş um dcă Ecuţ crcrscă d dducm că vlorl propr l oprorulu U su ş
Î plus su vcor propr corspuăor vlorlor propr rspcv S osrvă că mrc oprorulu U î rpor cu E { } spţulu lr C s dgolă: F U : R R oprorul lr cr î cocă d R r mrc Să s drm vlorl ş vcor propr pru oprorul U Soluţ: Ecuţ crcrscă oprorulu lr U s: I ş r o sgură rădăcă rlă (dc o vlor propr r u vcor propru corspuăor s ( F mrc oprorulu lr U : R R î rpor cu cocă ( Să s r că s dgollă ş să s drm o ă ţă d cr mrc lu U r orm dgolă Soluţ: P U ( ( ( Vlorl propr l oprorulu lr U su cu m m Suspţul propru soc lu vm: s S Kr( U I ε ε ε cr s rduc l o sgură cuţ ε ε Dc: { R / ( R} S Suspţul propru soc lu s rduc l mulţm soluţlor ssmulu omog Dc / ( ε ε ε { R : R} S Evd dm S dm S dc U s dgoll 5
6 Vom lg î S { } B cu ( ( r î S { } B ud ( Dorc ( ( ( U U U mrc oprorulu lr U î { } B s: S F oprorul ( ( ( : R R ud ş ( su scrş î cocă { } B lu R Să s dmosr că s lr Să s r că s dgollă ş să s drm o ormă dgolă s prcum ș o ă î rpor cu cr r csă ormă Soluţ: Dmosrăm că s opror lr dcă ( ( ( ( R ş ( R ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl s u opror lr l lu R Îrucâ ( ((- ( ((- ( ((- dducm că mrc lu î rpor cu B s : Drmăm polomul crcrsc l lu : ( ( ( ( d I P Rolvăm cuţ crcrscă: ( ( Dorc ( P r grdul ş vlor propr dsc rulă că s dgoll dcă să o ă î rpor cu cr mrc şă r orm: D B s ormă d vcor propr corspuăor vlorlor propr Procdâd c î rcţl prcd oţm că ( ( ( su vcor propr corspuăor vlorlor propr
7 O ă î rpor cu cr r mrc dgolă D s { } B 5 Ulâd ormul d schmr mrc ş uu opror lr l schmr spţulu vcorl să s dducă mrc şă oprorulu d prolm prcdă î ' B Soluţ: S ş că dcă s mrc şă oprorulu î B ş L s mrc d rcr d l B l ' B uc mrc şă lu î ' B s dă d rlţ: L L D sl cuoscâd pru pu plc ormul prcdă vm vo d mrc L mrc d rcr d l B l ' B { } ' B cu ( ( ( Dorc B s cocă rulă [ ] [ ] [ ] B B B ş sl mrc L s: L plcâd ormul L L L L d d duc lu L s găsş prs lu L L sl D 6 F V u spţu rdmsol ps R ş plcţ V V : dă pr : ( ( orcr r ( ud ş ( su scrş î rpor cu { } B lu V S cr: Să s r că ( V Ed Să s r că s cvă (dc ş surcvă csă s scr mrc lu î rpor cu B dsă s scr mrc lu î rpor cu ( ' B ud
8 Soluţ: răăm că ( ( ( ( ( ( V ş R log c l pucul d l prolm prcdă Pru ră că s cvă clculăm Kr ş olosm propr { } v Kr cvă Evd { } ( { } / v v V Kr Kr F ( Kr v 7 Dorc drmul ssmulu s ul dducm că l r um soluţ lă sl { } Kr v Dc s cvă Osrvţ: mplcă surcvă dorc dr d rm lr ssmul lr dm soluţ (ucă dă d rgul lu Crmr c Îrucâ: [ ] [ ] [ ] B B B dducm că : ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl mrc lu î B s: B d L L B B ' ud L s mrc d rcr d l B l ' B dcă L Oţm: L sl găsm: ' B 5 7 7 5
9 III FORME BILINIRE III Form lr-dţ mpl F V u spţu vcorl rl Dţ III O ucţ : V V R s umş ormă lră dcă : ( ( ( ( V R ; ( ( ( ( V R Osrvţ III Dcă s o ormă lră uc : ( ( V R ( ( V R ( ( ( V Empl: F [ ] ( V C < R spţul vcorl rl l ucţlor cou d p [] cu vlor rl uc plcţ: [ ] ( ( ( ( ( : C V g d g g V V R s o ormă lră Îr-dvăr propr s ssăcuă: ( [ ] ( ( ( d h g h g C h g ( ( ( R h g h d h g d h ( ( ( ( ( ( log s vrcă propr III Eprs lcă u orm lr î rpor cu o ă F V u spţu vcorl rl cu dm V< B { }o ă pru V ş : V V R o ormă lră F rrr d V V ( ( Dc ( ( Noâd cu ( mrc ( s umş mrc orm lr î rpor cu B
sl vm: ( prs c poră uml d prs lcă orm lr rpor cu B Eprs lu po scrsă su orm: ( [ ] [ ] B B cs s prs mrclă orm lr rpor cu B Empl: F R R R : ( vcor d scrş î cocă lu R răăm că s lră î prmul rgum ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( log s ră că s lră ș î cl d-l dol rgum Clculăm lml mrc lu î rpor cu cocă: ( ( ( ( ( ( ( ( ( sl mrc s î rpor cu cocă s : Să oăm cu R [X] spţul vcorl l ucţlor poloml cu cocţ rl d grd cl mul F : [ ] [ ] R R R ( ( ( d g g Vom scr mrc lu rpor cu { } B Elml mrc su: ( ( d d
( ( ( d d d ( d 5 sl mrc lu î rpor cu B s: 5 F B { ( III Schmr mrc u orm lr l schmr două l lu V F C ( c mrcr d rcr d l B l } ş B { } mc lu î B r B mrc lu rpor cu B vm: B( ( ( s s s c ( c s c c s c c s s s s Oțm că: B C C Osrvţ III Ţâd sm d ormul d schmr mrc u orm lr câd s schmă (BC C dducm că rgul mrc u orm lr s vr l schmr Dţ III Rgul mrc u orm lr rpor cu o ă orcr lu V s umş rgul orm lr su smplu rgul lu Dţ III F V spţu vcorl rl ş : V V R Spum că s ormă lră smrcă dcă: Empl: ( ( ( V Form lră :R R R dă pr : ( ( ( ( R s smrcă Form lră :R R R dă pr : ( ( ( ( R u s smrcă B
Propoţ III F V u spţu vcorl rl d dmsu ă dm < V B { } o ă pru V ş : V V R o ormă lră căr mrc î rpor cu B s ( uc s o ormă lră smrcă dcă ş um dcă s o mrc smrcă ( Juscr s mdă căc dcă s smrcă vm: ( ( ( V Pru ( ( ( s smrcă Rcproc dcă s smrcă vm: B B B ( [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( B B B B B dcă s smrcă III Form părc F V u spţu vcorl rl ş : V V R o ormă lră smrcă Dţ III plcţ :V R ( ( V ( s umş orm prcă socă orm lr Dţ III5 Form lră smrcă poră uml d polr orm părc Dţ III6 O ormă lră : V V R s umş : pov dă dcă ( > ( V ; pov smdă su gvă dcă ( ( V ; c gv dă dcă ( < ( V ; d gv smdă su povă dcă ( ( V ; dă dcă ( V sl îcâ ( > ş ( < Cosdrăm V dmsol dm V < B { } o ă lu V ş B uc Egl: ( V ( ( { ( rpră prs lcă orm părc î rpor cu B Mrc s umş mrc orm părc î rpor cu B ( mrc lu î Egl ( [ ] B [ ] B poră dumr d prs lcă orm părc î scrr mrclă Dţ III7 Numm rg l orm părc rgul orm lr d cr prov: rg( rg( rg( Osrvţ III Pum scr prs lcă orm părc sl: ( ( <
Empl: F :R R o ormă părcă căr prs lcă î rpor cu cocă lu R s: ( ( ( ( ( 5 R Mrc lu î rpor cu cocă s: 5 5 F orm părcă : R R ( ( ud ( R Mrc soc lu î rpor cu cocă lu R s : Osrvţ III Dcă s cuoş orm părcă pum drm orm lră d cr prov ulâd ormul: - - ] ( ( ( [ ( ( V Empl: Pru orm părcă dă î mplul ror ( ( vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ş d c couâd clcull găsm: ( ( Pum oț prs lcă lu ș ll ș um olosd pul că mrc socă î rpor cu cocă s dcă cu mrc să lu dcă cu : Oțm: ( ( ( III5 ducr u orm părc l o ormă cocă F V u spţu vcorl rl cu dm { } u u u B V < o lu V ş :V R o ormă părcă Spum că orm părcă lu r î rpor cu B o prs cocă dcă ( R sl îcâ ( ( ( V u Mrc lu î rpor cu o sl d ă s î mod vd o mrc dgolă:
KK KK B L L LL L LL sl rg(r ud r rpră umărul cocţlor ul dr-o ormă cocă s Rgul u orm părc s vr l schmr căc l s gl cu rgul polr sl cr s vr l schmr Cl m cuoscu mod d ducr u orm părc l o ormă cocă su: mod lu Guss ş mod lu Jco Mod lu GUSS Torm III F V u spu vcorl rl d dmsu ă dm V< :V R o ormă părcă ş { } B o ă lu V î rpor cu cr r prs lcă: uc ( B { u u u } ( ( < ă lu V î rpor cu cr r orm cocă: ( ( ( Dmosrţ (procdul dscrs poră uml d mod lu GUSS Dcă ( ( V uc ( ( ( ( Prsupum că u s orm ulă Dcă ( îrucâ u s orm părcă ulă ( { } Fără mcşor grl pum cosdr că Î cs c dcă cm urmăor schmr d coordo: - M ugm l cul î cr găsm cl puţ u păr î ou prs dorc î rpor cu ol coordo prs lc orm părc s { ( { ( ( ( ( ( ( Cosdrăm uc vm: ( ( { g( u co ( g( g(
5 ( { ~ u co g Fcm urmăor schmr d coordo: M Î rpor cu ol vrl K (dc î rpor cu o ouă ă prs lcă lu s: ( ( { ~ ( p co u g S r rţomul pru rmul ( g ~ sl după u umăr d pş s oţ prs cocă lu Osrvţ III Form cocă u orm lr u s ucă rmţ d m sus s po usc p u mplu cocr cosdrâd dvrş cocţ ul cu cr îcpm procdul dscrs ror Empl: F ( ( ( : R R R scrsă î rpor cu cocă { } B Folosd mod lu Guss să s ducă l o ormă cocă ordr I Cosdrăm drp coc ul d sr cocul rmulu dcă uc cm schmr d coordo: Î rpor cu vrll vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Trcâd l ol vrl: oţm : ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( (
6 Noăm: u u u Î rpor cu u u u vm : ( ( ( ( u u u ordr II Cosdrăm drp oc ul d sr cocul rmulu dcă ( ( ( : R R R uc cm schmr d coordo: Î rpor cu vrll vm: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 5 5 5 5 5 5 5 Ecuăm urmăor schmr d vrl: Oțm: ( ( ( ( Î rpor cu vm sl o lă ormă cocă pru dră d c d cul prcd Mod lu JCOBI Torm III F V u spţu vcorl rl d dmsu ă dmv< :V R o ormă prcă căr prs lcă î rpor cu { } B s ( ( Dcă oţ mor prcpl mrc : L L L L L L L L K 5
7 su ul dcă d K K M L M uc ( { } B ' î rpor cu cr: ( ( ( Vcor K s cosrusc c î cl c urmă F polr lu lgm: ş drmăm sclrul rl d codţ: ( Propum ş drmăm sclr d codţl : ( ( ( M Empl: F :R R ( ( ( ( î rpor cu cocă { } B lu R Vom sl dcă s po plc mod lu Jco ş dcă d vom drm prs cocă lu ş lu R î rpor cu cr r orm cocă găsă Mrc şă lu î rpor cu cocă s: sl vm: Dc mod lu Jco s po plc dcă ( { } ' B ă lu V î rpor cu cr ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ' ' Cosrum vcor
8 ( ( ( ( ( ( ; ; c sl ; ( c sl ( ( ( ( F sl că: ( ( ( Torm III (Lg rţ lu Slvsr Numărul cocţlor ul prcum ș umărul cocţlor pov îr-o ormă cocă u orm părc u dpd d î cr s oţuă c ormă cocă Dţ III8 Numărul p d (* s umş dcl pov d rţ l lu r q s umş dcl gv d rţ l lu Dţ III9 Form părcă rlă ( s umş pov dă dcă pru orc ( V ( Torm III Form părcă rlă ( s pov dă dcă ș um dcă oţ drmţ p p ud pp p p p K K K K K su src pov III7 Prolm rolv Să s ducă l orm cocă orm părcă (ou R R : ( Soluţ: vm ( (
9 6 6 8 ( 6 6 8 ( ( Fcm schmr d coordo : 8 ş oţm : ( 6 6 ( d coordol lu î ou ă Să s ducă l orm cocă orm părcă R R : ( 5 6 Soluţ: vm ( 5 ( 5 ( 8 5 5 ( 6 5 6 5 5 ( Fcm schmr d coordo : 5 ş oţm : ( 8 5 F orm părcă ( Să s ducă l o ormă cocă olosd mod Gus Să s plc mod Jco dcă s posl pru oţ o ormă cocă ş î rpor cu cr r csă ormă Să s vrc po rulul orm lu Slvsr Soluţ: (
6 6 8 6 8 6 8 8 8 8 6 6 6 8 8 Fcm schmr d coordo : 8 8 ş oţm : ( 8 sl să r cocț ul dr cr do pov ș uul gv Mrc corspuăor î rpor cu î cr su prc coordol vcorlor s : vm d - uc o ormă cocă lu s : ( 8 6 ω ω ω S osrvă că umărul cocțlor pov s do r l clor gv s uu dc s vrcă rulul orm lu Slvsr Pru drm } { ' B î cr r orm cocă roră procdăm sl: - drmăm cosdrâd ş ( ud rpră polr lu Oţm : - drmăm luâd ş ( ( Oţm : 6 6 -pru -l drm p lgm ş mpum codţl ( ( (
Oţm: 6 6 6 Să s ducă l orm cocă urmăor ormă părcă: R R : ( Soluţ: Vom plc mod lu Guss (mod Jco u s po plc dorc Dorc u vm vrl l păr î prs lu cm m îâ schmr d coordo: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ş s oţ o orm părcă pru cr Couâd procdul d d mod lu Guss oţm succsv: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Făcâd schmr d coordo : ( ( ( (
IV SPŢII EUCLIDIENE IVSpţ ucld Igl Cuch-Schwr F E u spţu vcorl ps corpul umrlor rl R Dţ IV plcţ :E E R s umş produs sclr dcă: >< > ( E; < (propr d smr; < > < > ( R ( E; (propr d omog î prmul rgum; >< >< > ( E; < (propr d dv î prmul rgum; ( E ş (produsul sclr s pov d Dţ IV U spţu vcorl rl p cr s- d u produs sclr s umş spţu ucld Osrvţ IV Îr-u spţu ucld u loc rlțl: ( R ( E sl produsul sclr s dv ş omog ș î l dol rgum Osrvţ IV Produsul sclr d p u spţu vcorl rl s o ormă lră smrcă ş pov dă Dţ IV U spţu vcorl rl p cr s- d u produs sclr s umş spţu ucld (rl Empl: { F EC[ ] :[ ] R ucţ couă } plcţ : C [ ] C[ ] R g ( g( d ( g C[ ] s u produs sclr F ER plcţ : R R R dă pr R s u produs sclr Dspr ( < > Vom o u spţu ucld cu ( < > dă pr: R spum că s spţul vcorl ucld coc E su smplu cu E Dţ IV Numm lugm (orm vcorulu sclrul rl orcr r ( ( Torm IV Î orc spţu ucld E r loc gl Cuch-Buovs-Schwr: ( E (* Osrvţ IV Rlţ prcdă s po rscr ș sl: Î cul prculr l produsulu sclr : R R R d pr gl Cuch-Buovs- Schwr dv: ( ( Propoţ IV Norm : E R ( E ; ( E E spţu ucld r proprăţl:
E ( R ( E ; ( E (gl rughulu Osrvţ IV Îr-u spţu ucld E r loc rlţ: orcr r Dţ IV5 F X o mulţm vdă O plcţ d : X X R vâd proprăţl: d( ( X ; d( d(( X ; d( ; d( d( d( ( X s umş mrcă (dsţă p X Mulţm X îsră cu o mrcă d s umş spţu mrc Vom scr( X d Torm IV F E u spţu ucld uc ucţ E E R s o mrcă p E Osrvţ IV 5 Cosdrăm spţul ucld coc dm d s ( m ; < < ( ; ( ( ( ( K ( K d su mrc Mrc d s umş mrc (dsţ ucldă d : dă pr d( ( E R uc: IV B orogol ş oroorm Dţ IV6 Vcor E s umsc orogol dcă ş oăm Osrvţ IV6 Dcă uc Propoţ IV U ssm d m vcor { } (orm lu Pgor î spţ ucld m K ul ş orogol do câ do s lr dpd Dţ IV7 O ă spţulu ucld E cu vcor ( orogol do câ do s ums ă orogolă Dţ IV8 O ă spţulu ucld E s umş oroormă dcă s o ă orogolă ş orm căru vcor d ă s glă cu Torm IV (d sţă lor oroorm F( E spţu ucld uc î E să cl puţ o ă oroormă Dmosrţ F B { L } p: o ă lu E dm E (ă Vom cosru o ă oroormă pru E pord d l B î două Ep I: ' Cosrum o ă orogolă B { L } orm d vcor orogol do câ do ş ul sl:
Drmăm p sl îcâ dcă < >< >< > < > < > Evd Dcă uc c c s ls pru că su lr dpdţ Prsupum că m cosru vcor ul ş orogol do câ do : L răăm că pum cosru vcorul orogol p vcor L ş ul după rgul: L Drmăm sclr L sl îcâ: sl L < < < Dc > >< > < < > > L L < > L < > L > < > Dc s cuoscu ş î plus dducm că s ul Îr-dvăr ţâd sm d prsl vcorlor L dducm că s scr: ν L ν Dcă uc ν L ν dcă L r lr dpdţ c c s o cordcţ pru că ăcu pr dr-o ă Rulă că Î prcpulu ducţ m cosru vcor L orogol do câ do ş ul d ud dducm că L su lr dpdţ Îrucâ dm E dducm că Ep II: '' Cosrum o ă oroormă B { u L } d l B sl: u ' B s o ă orogolă pru E cu vcor orogol do câ do ş cr cu orm ură pord
5 u u u B K vm: ( u u dc u u > < > >< < u Dc " B s o ă oroormă pru E Procdul d oţr u oroorm pord d l o ă dă pr m sus s umş procdul d oroormr GRM-SCHMIDT Osrvţ IV7 Îr-o ă oroormă { } g g B coordol uu vcor orcr cocd cu produsl sclr g Juscr s mdă căc dcă g g vm: g g g g g g g g g g Dc g g Empl: Î R s cosdră produsul sclr: ( ( ( R F : ( ( ( { } E Cosrum orogolă { } F sl: γ Cu codţl: ( ( ( c D ( oţm: Dc ( D ( oţm: γ D (c oţm: γ γ
Dc ( Cum uc vcor: g ; ; g g ( cosu o ă orogolă î R Coordol vcorulu ( - prm coordoă: g - dou coordoă: g - r coordoă: g î csă ă vor : IV Eprs lcă produsulu sclr ş orm î rpor cu o ă orcr ş î rpor cu o ă oroormă E spţu ucld ş B { L} F ( < > vm: < >< > < > o ă pru E Cosdrăm do vcor rrr Noâd < > oţm: < > umă prs lcă produsulu sclr î rpor cu B Mrc ( M ( Eprs orm s: R s umş mrc produsulu sclr î rpor cu B ( < > E Dcă B { L } s o ă oroormă lu E vm: < > δ D c dducm o propr mporă ş um: mrc produsulu sclr î rpor cu o ă oroormă s mrc u d ord dm E Î cs c oţm pru produsul sclr ş pru ormă urmăorl prs : 6
7 rulă că ( ; > < Osrvţ IV8 Dcă ( ( R M s mrc produsulu sclr î rpor cu o ă orcr { } B L vm: ( > < M L Dcă B s o ă oroormă uc: ( > < M L IVCrrul lu Grm d dpdţă lră vcorlor Torm IV (Crrul lu Grm F E u spţu ucld Codţ csră ş sucă c vcor ssmulu { } S K să lr dpdţ s c drmul: Γ um drmul Grm soc ssmulu S să ul Osrvţ IV8 Ssmul S s lr dpd dcă ş um dcă Γ Empl: F V [ ] [ ] { } cou R C : ş [ ] [ ] R C C : pr ( [ ] ( ( C g d g g Să s r că ucţl { } su lr dpd răm că ( Γ ud: ( Γ d d d d d d d d d Clculâd grll oţm: ( 5 Γ
8 IV5 Prolm rolv S cosdră plcţ : R R R > < cr î rpor cu cocă { } lu R r prs lcă : ( ( ( ( > < orcr r ( ( R S cr: Să s r că ( > < R s u spţu vcorl ucld Să s r că vcor ş su orogol c Să s clcul d Să s scr mrc produsulu sclr î rpor cu { } Pord d l { } să s scr o ă oroormă Soluţ: Vom ră că plcţ R R R > < : s u produs sclr vrcâd proprăţ d dţ produsulu sclr (dţ V R > >< < dorc prs s smrcă î ş ( ( ( ( > < ' ' ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R > >< < ( ( ( ( > < ( ( ( ( ( R > < R ( ( ( ( R > < > < Pru ră că vcor ş su orogol clculăm produsul lor sclr Coordol vcorlor ş î dă su: ( ( R sl produsul lor sclr s: ( ( ( ( > < c ( ( 6 > < d Mrc produsulu sclr s ( ( > < M R
9 Fd o mrc d ( R M coţ ouă lm dr produsul sclr d rl rulă că mrc smrcă Vom clcul sl dor 6 lm > < > < > < > < > < > < M îâ căuăm o ă orogolă { } γ Puâd codţl : > < > < > < oţm u ssm cu cuoscul γ Rolvâd cs ssm găsm : γ Dc ( ormă { } cr s o ă orogolă B oroormă căuă s dc: 9 > < > < > < B oroormă s ormă cu vcor ur orogol do câ do: (
5 Dc ( s o ă oroormă Să s r că plcţ R R R > < : dă pr : > < orcr r ( ş ( R u s produs sclr p R Soluţ: Osrvăm că > < rsul compolor puâd ul Dc > < ș pru ( u dor pru ş sl rulă că propr d dț produsulu sclr u s îdplă sl plcţ dă u s u produs sclr Să s r că î spţul vcorl rl ( R M mrcl : drmă o ă Dm plcţ ( ( R R R > < : M M pr < B> ( B v v v v ( R M v v v v B Să s r că ( ( > R < M s u spţu vcorl ucld rl c Să s r că mrcl d uț su lr dpd olosd drmul Grm Soluţ: răăm că mrcl su lr dpd ş că ( ( L M R F Drmul ssmulu s 8 Ssmul d lr ş omog dm dor soluţ lă: sl mrcl d su lr dpd
răăm că mrcl d cosu u ssm d gror pru M ( R dmosrâd că orcr r mrc ( R s po rpr c o comţ lră d mrcl F Căuăm umrl rl sl îcî: c d Oţm pru drmr umrlor ssmul lr: lr c d Dorc drmul ssmulu s ul ssmul r soluţ ucă dă d rgul lu Crmr: ud rpră drmul oțu d pr îlocur colo cu colo rmlor sl m oțu că M ( L( R Dc { } cosu o ă pru ( R M Vrcăm că su dvăr proprăţl produsulu sclr rl B>< B > ( B M ( R < doră pulu că prs s s smrcă î B C v v v v < > ( ' ( ( ( v v v v v v v v < C>< B C> ; < B> v v v v < B> < > ( ( ( ( ( ( R plcţ dă s dc u produs sclr p M ( R sl ( ( > ş v ; M < > c Cosrum cu uorul produsulu sclr drmul Grm soc ssmulu { } vm: < > 7 < > < > < > 6 < > 6 < > < > < > < > 6 7 M R < s u spţu vcorl ucld M 5
< > 9 sl oțm: 7 6 Γ 78 7 6 7 6 Drmul d ul coorm crrulu Grm rgăsm rulul d l pucul dcă pul că vcor dț su lr dpdț R spţul vcorl ucld coc Să s r că vcor: F ( <> ( ( ( ș ( R Grm soc Soluţ: Cosrum cu uorul produslor sclr drmul Grm soc vm: < > 6 < r > < > < u > < r > 6 < > < u > < > 9 < u > 5 < u u > u su lr dpdț olosd drmul 6 Γ 6 9 5 8 5 Coorm coscț crrulu Grm vcor d uț su lr dpdț 5
V VECTORI LIBERI ÎN SPȚIU V Vcor lr Eprs lc l oprţlor cu vcor Dţ V Numm vcor u sgm d drpă or Elml crcrsc l uu vcor su: drcţ- dă d drp supor ss d d modul d prcurgr sgmulu mărm (su modul dă d lugm gmulu org Noţ olosă: B ud s org B rm (ssul d prcurs d d l l B Mărm vcorulu s oă cu B Vcor m po oţ pru smpl cu o sgură lră sl: v V U vcor cu mărm glă cu u poră uml d vcor ur Vcorul pru cr rm cocd cu org s umş vcor ul Mărm s s dc ro drcţ ş ssul d drm El s oă cu Clscr vcorlor Vcor s împr î r mr cgor: Lgţ - u org îr-u puc d spţu; d mplu v uu puc mrl î mşcr p rcor lucăor - org s po dpls î lugul drp supor; d mplu orţ cr cţoă supr uu sold rgd dorc pucul d plcţ l cs po su orud p drp supor cul s clş Lr- org po suă orud î spţu Dţ V Do vcor su gl dcă u cş drcţ clş ss ş clş modul Î cul vcorlor lgţ ru să ă ş cş org Dţ V Do vcor s umsc prll dcă u cş drcţ Dţ V Do vcor s umsc colr dcă u c supor cş drpă Osrvţ V Pru cul vcorlor lr cl două oţu cocd ( spu că do vcor su prll s chvl cu spu că su colr Dţ V5 Do vcor s umsc chpolţ dcă u cş drcţ clş ss ş clş modul cu l cuv dcă po suprpuş prr-o mşcr d rslţ Osrvţ V Pru cul vcorlor lr oţu d chpolţă s chvlă cu c d gl Dţ V6 Do vcor s umsc opuş dcă u cş drcţ clş modul ş ssur dr Î cul vcorlor lgţ ru să ă ş cş org Opusul uu vcor v s oă v 5
Vcor cu cr oprăm î cour s cosdrţ vcor lr Dcă vm m mulţ vcor lr po duş sl îcâ să ă cş org Oprţ cu vcor Dţ V7 (Rgul prllogrmulu F V ş V do vcor dţ vâd org î pucul O S umş sumă vcorlor V ş V vcorul O ud s vârul opus lu O î prllogrmul cosru cu uorul clor do vcor (g Noţ olosă s: V V O O V V V Fg Dţ V8 (Rgul l polgol îchs S umş sumă vcorlor V ş V vcorul O ud O s org prmulu vcor r s rm clu d-l dol cs d urmă vâd org î rm prmulu (g V V V O V Fg csă rgulă s chvlă cu rgul prllogrmulu dr pră vul că po uşor plcă culu î cr vm d ăcu sum vcor N V 6 V 5 S V V V 6 V S Fg Propoț V dur vcorlor r urmăorl proprăț V V V V (comuv ( V V V V ( V (socv V 5
V V V ( V Dţ V9 Drţ dr vcor V ş V s u vcor V c rpră d p sum dr prmul vcor ş opusul clu d-l dol: V V V V ( V V V V V Fg V S osrvă că vcorul drţă r org î rm scăăorulu ş rm î c dscăuulu Dţ V S umş produs dr sclrul ş vcorul V u l vcor o V cr r cş drcţ cu vcorul d clş ss su ss opus cu V după cum s src pov su src gv r modulul s d d rlţ: V V Osrvţ VPr îmulţr uu sclr ul cu orc vcor s oţ vcorul ul Propoț V Îmulțr vcorlor cu sclr r urmăorl proprăț: ( V V V (s dsruvă ţă d dur sclrlor V V V V (s dsruvă ţă d dur vcorlor ( ( V ( V Dţ V S umş vrsor l uu vcor u vcor ur cr r cş drcţ ş clş ss cu vcorul d Vrsorul vcorulu V s oă cu vrsv ş s d d rlţ: Dscompur uu vcor după două drcţ cocur d pl V vrs V V F d d două drcţ î pl c s rscă î pucul O Cosdrăm vcorul d V su î plul clor două drcţ vâd org î O ş rm î pucul (Fg5 D s duc prll l d ş d ş s oă cu pucl d rscţ vm rlţ: V O O O Vcor O O s umsc compol vcorl l vcorulu d ţă d drcţl d d 55
d d O Fg5 Dscompur uu vcor după r drcţ cocur coplr d d cl r drcţ cocur î O ş V vcorul d vâd org î pucul O (g6 d F d O V d d B Fg 6 d D rm vcorulu d ducm o prllă l drp d pâă câd cs rscă plul orm d d î B D B ducm po prll l d ş oăm cu cs rscţ r d ducm o prllă l OB ş oăm cu rscţ cu d d Noâd V O V O V O oţm: V V V V r V V V poră uml d compol vcorulu d după cl r drcţ Propoţ 6 Dcă vcor V V su colr uc îr să rlţ V V R * cu Osrvţ V5 Do vcor V V su colr dcă ş um dcă să u sclr * R sl îcâ V Procţ uu vcor p o ă V Pr ă îţlgm o drpă p cr s- sl u ss pov d prcurgr puclor sl Vcorl o ă s crcră d u vrsor Dţ V Numm ugh do vcor oăm pr ( V V Cosdrăm u vcor V ughul d rvlul [ π ] V B V ş o ă D d vrsor u orm d ssurl lor pov p cr-l 56
V u D Fg7 Dţ V Numm procţ vcorulu V p D u sclr gl cu produsul dr modulul vcorulu cosdr ş cosusul ughulu orm d cs vcor cu D Noăm: V cos( V D su pr u V V cos( V u pr D V Procţ uu vcor p o ă s u sclr pov su gv după cum ughul dr vcor ş vrsorul s scuţ su ou Eprs lcă vcorlor D D D Să cosdrăm r drp cocur îr-u puc O ş orogol două câ două Orăm cs r drp cu uorul vrsorlor sl îcâ rdul O ( să drc dcă u osrvor su d- lugul vrsorulu cu cpul î ssul lu să osrv suprpur vrsorulu ps d l drp spr sâg după u ugh d O O O o 9 Fgur gomrcă sl cosruă s umş rpr cr orogol r l s oă d oc cu Să cosdrăm u puc M î spţu M M M O M Fg8 Vcorul OM s umş vcor d poţ l puculu M Dscompum cs vcor după drcţl lor O O O sl oţm: OM OM OM OM OM OM OM poră uml d compol vcorl l vcorulu OM Compol vcorulu d poţ l lu M d colr cu vrsor csor să sclr sl îcâ OM OM ş dc OM OM 57
Dţ V Sclr cr pr poră uml d compol su coordol sclr l vcorulu OM O oţ chvlă pru vcorul OM s c cr prcă dor compol sclr l vcorulu dcă: OM ( Rlţ OM poră uml d prs lcă vcorulu OM Sclr s umsc coordol cr l puculu M; poră uml d scsă s umş ordo r co puculu M Fcăru puc d spţu î corspud î mod uc u rpl (ordo d umr rl coodo cr l sl ş rcproc Cosdrăm cum u vcor orcr drm d coordol rmăţlor sl ( ( B (org ş vm: V B OB O Dr O r OB sl că oţm: ( ( ( V B B O Fg9 Sclr ( ( ( Trscrr lcă oprţlor sud Cosdrăm do vcor dţ pr prsl lor lc: s umsc compol sclr l vcorulu B V ş V V ; V V V V V r prs lcă: ( ( ( V Î cul sum vcor vm rlţ: V Vm m m m m m m m V r prs lcă: ( ( ( V V V Osrvţ V6 Do vcor V V su prll (colr dcă ş um dcă R V V 58 sl îcâ:
Produsul sclr Dţ V S umş produsul sclr do vcor V V u sclr o V clor do vcor ş cosusul ughul orm d cş dcă ( V V V V V cos V V gl cu produsul dr modull Î cul prculr l vcorlor gl oţm: V V V Propoţ V Produsul sclr do vcor r urmăorl proprăţ: Produsul sclr s ul î urmăorl suţ: Dcă cl puţ uul dr vcor s vcorul ul Câd vcor d ul su orogol dorc î cs c cosusul ughulu dr s gl cu ro D c pum dduc urmăor propoţ: codţ csră ş sucă c do vcor ul să orogol s c produsul lor sclr să ul Produsul sclr do vcor s gl cu produsul dr modulul uu vcor ş procţ clull p l dcă: V ( pr V V VV su schmâd rolurl vcorlor V V V ( pr V V Procţ uu vcor p o ă s glă cu produsul sclr dr vcorul d ş vrsorul Es comuv dcă V V V V 5 Es dsruv ţă d dur vcorlor dcă: 6 Dcă V ( V V V V V V su sclr vm:( V ( V ( ( V Osrvăm că vm urmăorl rlţ: V Cosdrăm V ş Eprs lcă produsulu sclr s: Î cul prculr l vcorlor gl oţm: V V V V V V Dducm ormul cu uorul căr pum clcul cosusul ughulu orm d do vcor (drcţ ş po prs lcă s vm: 59
cos cos ( V V V V V V ( V V Osrvţ V7 O codţ csră ş sucă c do vcor să orogol s: V V Dţ V5 Cosusurl ughurlor p cr l c u vcor cu l rprulu cr por uml d cosusurl drcor l vcorulu cosdr F γ ughurl p cr l c V cos cu l d coordo uc: cos( V cos cos( V cos cos ( V γ Eprs lcă vrsorulu lu V s: Empl: u V cos cos cosγ V S du vcor V ş V prcum ş ughul dr c do vcor Soluţ: Produsul lor sclr s: V V 6 ( ( Să s drm produsul lor sclr modull ş vrsor lor Modull lor su: V ( 56 V ( 5 Vrsor clor do vcor su: u V V u V 56 56 56 V 5 5 Ughul dr c do vcor s drm cu uorul cosusulu său: V V cos( V V cos( V V V 56 5 5 V Pru c vlor l umărulu rl m vcor V m ş V m su orogol? Soluţ: V V V V ş dc m m 6
Produsul vcorl Dţ V6 Produsul vcorl do vcor V V cosdrţ î csă ord s u vcor o V V prpdculr p vcor V V or sl îcâ rdul V V V V să drp (orr s dă d rgul mâ drp su urghulu dcă s ssul d îr urghulu sl îcâ vcorul V să s suprpuă ps V p drumul cl m scur r modulul s d d rlţ: ( V V V V V V s Propoţ V5 Produsul vcorl r urăorl proprăţ: Modulul produsulu vcorl s u sclr rprâd r prllogrmulu cosru p c do vcor; V V Fg D c pum dduc o ormulă pru clculul r uu rugh BC vm: σ BC B C Produsul vcorl s ulă î urmăorl suţ: V su V su V V ( V V ( V V su ( V π ; s V V V V (s comuv; ( V ( V ( ( V V V pru orc sclr ; V V V V V V V (s dsruv ţă d dur vcorlor 5 ( Eprs lcă produsulu vcorl Pord d l rlțl vd: oțm urmăor prs lcă produsulu vcorl l lu csă ord: V V V cu V î 6
Empl: S du vcor V ş V Să s drm vrsorul u drcţ prpdculr p plul drm d c do vcor Soluţ: Vcor dţ su colr ş dc rcțl lor drmă îr-dvăr u pl To drpl prpdculr p plul drm d vcor dţ su prll îr l sl să două drcţ (drp or cu propr d uţ u vâd drp vrsor vrsorul lu V V ş cllă vrsorul opus V V 5 sl uul d vrsor s: u 5 Clăll vrsor s: u Fd d pucl ( B ( ş ( cs îl drmă 5 Soluţ: Clculăm lugml lurlor rughulu vm: B B 8 C C 8 C să s drm prmrul ş r rughulu p cr BC BC 6 sl P 8 8 6 BC BC B C r s dă d: σ B C 6 B C dc σ BC Produsul m V Dţ V7 Produsul m r vcor gl cu produsul sclr dr vcor V ş V ( V V V V ( V V V V cosdrţ î csă ord s u sclr o ( V V V dcă 6 V Osrvţ V7 Vlor soluă produsulu m s glă cu volumul prllppdulu cosru p c r vcor
V V h V V O V Fg Produsul m r vcor prs lcă: V ( V V V V Propoţ V5 Produsul m r urmăorl proprăţ: ( V V V ( V V V ( V V V ( V V cv ( c( V V V V r urmăor Es dv î orcr dr rguml sl d mplu ( V V V V ( V V V ( V V V ( V V V ( R 5 Tr vcor: dcă Empl: V dorc ş V V ( V V V su coplr dcă ş um S du r orţ: cţoă î clş pl F F 6 F 6 Să s r că o Soluţ: Folosm codţ csră ş sucă c r vcor să coplr: ( F F 6 F 6 6
Dulul produs vcorl V Dţ V8 Dulul produs vcorl r vcor d d gl: V V ( V V Propoţ V6 Vcorul V V ( V V V cosdrţ î csă ord s u vcor o cu V V s coplr cu vcor V V ş vrcă rlţ: V ( V V ( V V V ( V V V V cs purâd uml d ormul d dscompur dululu produs vcorl V Prolm rolv F ( B( C( Să s clcul: Prmrul rughulu BC; r rughulu BC; c Ughul B l rughulu BC; d Vrsorul drcţ vrs( C CB ; Volumul rdrulu OBC Soluţ: Prmrul rughulu BC s P BC B C BC vm: B B C C BC BC ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 9 9 9 ( ( ( ( 9 sl oţm: P 8 9 BC r rughulu BC s dă d rlţ: σ BC B C B C 6 6 B BC ( ( 6 ( 6 6 6 6 9 σ BC B C 6
c ˆ B BC cos B ˆ π B B BC B BC d Vrs( C CB C CB C CB C CB 6 6 C CB 6 6 98 7 6 6 6 6 Vrs 7 7 7 7 7 7 7 Volumul rdrulu V OBC s clculă olosd rlţ: mmă ( O OB OC V OBC ± 6 V V OBC OBC ± 6 5 ± 6 ( F ( m B( C( Soluț: B C BC σ BC B C 5 Să s drm m R sl îcâ r rughulu BC să ( ( m ( ( m ( ( m ( ( m ( ( ( m ( m ( m B C m 5 σ BC σ BC ( m ( m 5 ( m ( ( m 5 8m 6m 5 r rughulu v mmă uc câd prs 8m 6m 5 v mmă lâd mmul ucț d grdul do oțm: m( 8 6m 5 ( m 7 8 6 7 cs mm s oț câd m sl σ m 6 ș s oț pru m dc pru ( 65
S cr: F ( m B( m C( Să s r că prmrul rughulu BC s cl puț gl cu 5 6 Să s l vlorl pov l lu m pru cr r rughulu BC s c Să s l volumul rdrulu OBC ş dsţ d l O l plul BC d Vlorl lu m sl îcâ pucl O B C să coplr? Soluţ: B ( ( m ( m B( m ( m ( ( m ( C( m C ( ( ( m BC ( m BC sl vm: P BC 6 m 9 m m m m P BC ( m ( 6 5 6 m 5 m σ BC B C ( m ( m ( m m ( m ( m B C m ( m ( m B C m m B C m m σ BC m m ( ( m 8 m m 6m m m ( ( m 7m 8m m sl sgur rădăcă povă cuț s m căc l dol cor s pru m pov c Volumul rdrulu OBC s d d: V OBC ( O OB OC 6 V OBC ± 6 m m m m 6 Dr V σ d( O BC d( O ( BC Cum OBC BC BC m m σ d ( O ( BC V σ OBC BC ( m ( m m m 66 m m
d O B C su coplr ( O OB OC ( m ( m m su m m { } F ( m B( m C( Să s drm m R sl îcâ vcor B BC să orogol Soluţ: ( ( ( m m B m B ( ( ( m BC ( m BC Vcor B BC su orogol B BC ( m 6 m B BC6 m m 6 m m m m Cum 8< u să vlor rl l lu m pru cr vcor să orogol S cr: 5 F ( m B( C( Să s l vlorl lu m R sl îcâ prmrul rughulu BC să mm Să s l vlorl lu m R sl îcâ r rughulu BC să mmă c Să s l vlorl lu m R sl îcâ r rughulu BC să d Să s l volumul rdrulu OBC ş dsţ d l O l plul BC Esă m R sl îcâ dsț să? Dr? Esă vlor url l dsț d l O l plul BC cr să u poă oțu dr d poț lu d coordol umr rl î spțu? Esă pl BC su l orc dsță umăr url d pucul O? Vlorl lu m sl îcâ pucl O B C să coplr? Soluț: Prmrul rughulu BC s P BC B C BC vm: B C ( m B ( m ( m C 5 ( m BC BC sl oţm: ( m 5 ( m P BC Osrvăm că ( m 5 ( m 5 P BC prmrulu c s oț dcă m dcă pru m cr rpră dc vlor mmă r rughulu BC s dă d rlţ: 67
σ BC B C B C m m ( m B BC σ BC m ( m B C ( σ BC dc vlor mmă r s ș s oț pru m Osrvăm că ( m c ( m ( m ( m m σ BC su m d Volumul rdrulu V OBC s: ( O OB OC V OBC ± 6 m m m V OBC ± ± 6 6 d ( O ( BC V σ OBC BC m m ( m ( m d d d ( O ( BC m m m m m m ( O ( BC ( O ( BC ( m m m m m m m m ( m m m m m ( m ( m m ( m 7 7 U Ecuț dm soluț rl dcă ș um dcă ( sl pru orc vlor url l lu să puc î spțu cu coordol umr rl sl îcâ ( O ( BC d Esă vlor url l lu sl îcâ orcr r î spțu cu coordol umr rl d( O ( BC O B C su coplr ( OB OC m m O? 68
VI ELEMENTE DE GEOMETRIE NLITICĂ VI Drp î spţu Osrvţ VI O drpă î spţu po drmă d : u puc ş o drcţ dă; două puc dsc; rscţ două pl Dţ VI Dcă d s o drpă orcr ş V d spum că s u vcor drcor l drp d Drp drmă d u puc ş d u vcor drcor ( l m Propoţ VI F ( M u puc d d spţul ucld rdmsol ş V u vcor d uc să o ucă drpă d c rc pr M ş r vcor drcor p Juscr s mdă dorc prr-u puc rc o sgură drpă prllă cu o drcţ dă (drcţ vcorulu F M u puc rrr d spțu M d M M colr cu cs lucru s rlă ( R sl îcâ: Ecuţ M M r r r r r r poră uml d cuţ vcorlă drp c rc pr pucul d vcor d poţ r ş r c vcor drcor p Cosdrâd ( l m ş procâd cuţ vcorlă p l rprulu cr cosdr oţm rlţl: l m R cs rlţ poră dumr d cuţl prmrc l drp c rc pr ( drcor p ( l m M ş r vcor Dcă d cuţl prmrc lmăm prmrul dducm şrul d rpor gl: l m c poră uml d cuţl cr coc l drp c rc pr ( ( l m M ş r c vcor drcor p Osrvţ VI Fcm urmăor prcr: dcă umorul uu rpor s uc umărăorul corspuăor ru să s ul Drp drmă d două puc dsc M două puc dsc d d spţul ucld rdmsol Pr Propoţ VI F ( cl două puc rc o drpă ucă l căr cuţ cr su: Juscr s mdă dorc u vcor drcor pru drp căuă s vcorul ( ( ( MM 69