METODE NUMERICE APLICAŢII
|
|
- Σάββας Αποστολίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7
2 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu () t R termeul ler l sstemulu (). Ne propuem să determăm dcă este posl R soluţ ucă sstemulu (). Prezetre metode Mtrce etsă cre crcterzeză sstemul () o otăm (A t) ş elemetele e le otăm j j ude t. Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A t) stel îcât îtr-u umăr t de etpe (ş ume -) mtrce A să e trgulrztă superor dcă să oţem mtrce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) L ot ( ) ( ) () M M M M M ( A t ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) L () () () ude m ott (A t) cu ( A t ) j j. Oservţe. Mtrce () crcterzeză u sstem echvlet cu sstemul () (dec cu ceeş soluţe). ( ) Astel presupuâd - ude ( ) elemetul se umeşte pvot petru oţe î l mtrce () se plcă ormulele: 8
3 () ( ) j ( ) j ( ) ( ) ( ) j ( ) j j j j j. Compoetele soluţe sstemulu () se oţ drect pr susttuţe versă pe z ormulelor: ( ) ( ) ( ) / dcă (4) petru ( ) ( ) ( ) j j /. j ( ) Dcă ( ) - stel îcât tuc petru pute plc ormulele () se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre prţlă cre costă î: - se cută î colo pvotulu cel elemet ( ) cre re proprette: ( ) ( ) (5) m. Î legătură cu procedur de pvotre prţlă se m mpu următorele oservţ: ( ) ) dcă tuc sstemul () u re soluţe ucă; ) dcă ( ) ş tuc se permută ( ) ( ) ( ) (terschmă) lle ş î mtrce A t după cre se cotuă cu plcre ormulelor () ş î l (4). Aplcţ ) Mtrce etsă soctă sstemulu () este: 9
4 6 Procedur de pvotre prţlă coduce l următorele permutăr de l: - l etp : l l ; - l etp : l l ; - l etp : u se eectueză permutăr. Se oţe soluţ:.
5 . Metod Guss cu pvotre totlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre (cu evlure determtulu mtrce dte ţl) Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu () t R termeul ler l sstemulu (). Ne propuem să determăm dcă este posl R soluţ ucă sstemulu (). Prezetre metode Mtrce etsă cre crcterzeză sstemul () o otăm (A t) ş elemetele e le otăm j j ude t. Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A t) stel îcât ît-u umăr t de etpe (ş ume -) mtrce A să e trgulrztă superor dcă să oţem mtrce: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) L ot ( ) ( ) () M M M M M ( A t ) ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) L () () () ude m ott (At) cu ( A t ) j j. Oservţe. Mtrce () crcterzeză u sstem echvlet cu sstemul () (dec cu ceeş soluţe). ( ) Astel presupuâd - ude elemetul ( ) se umeşte pvot petru oţe î l mtrce () se plcă ormulele:
6 () ( ) j ( ) j ( ) ( ) ( ) j ( ) j j j j j. Compoetele soluţe sstemulu () se oţ drect pr susttuţe versă pe z ormulelor: ( ) ( ) ( ) / dcă (4) petru ( ) ( ) ( ) j j /. j Oservţe. Vlore determtulu mtrce sstemulu () este: ( ) ( ) (5) det A. Dcă ( ) - stel îcât tuc petru pute plc ormulele () se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre totlă cre costă î: ( ) - se cută cel elemet j cre re proprette: 6) ( ) ( ) m. j j j j Aplcţ. Mtrce etsă soctă sstemulu () este: 9 6 ( )
7 Procedur de pvotre totlă l ecre etpă coduce l următorele permutăr de l ş / su coloe: - l etp : colo colo ; - l etp : l l 4 colo colo 4; - l etp : l l 4 colo colo 4. Se oţe soluţ termedră: ş po (permutâd î orde: compoet compoet 4 compoet compoet 4 compoet compoet ) se oţe soluţ:. Vlore determtulu mtrce sstemulu dt ţl este: -6.
8 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru versre mtrcelor Prezetre proleme Se cosderă mtrce A R dcă: L L A j R. M M M M L Ne propuem să determăm dcă este posl A - (vers mtrce A). Prezetre metode dcă j Fe I ( δ j ) j δj I - mtrce dcă j utte de ord ; de semee cosderăm () δ () - coloele mtrce A - respectv le lu I. Atuc egltte A A - I este echvletă cu: () A () δ (). Oservţe. () repreztă ssteme de ecuţ lre cu ceeş mtrce coeceţlor A. Sstemele () pot rezolvte smult ecre vâd soluţ o coloă mtrce A - ş termeul ler colo corespuzătore mtrce I. Mtrce etsă soctă ormulelor () este (A I) ş elemetele e le otăm j j ude dcă j () j j. dcă j Metod Guss costă î prelucrre mtrce (A I) stel îcât î etpe să se oţă mtrce etsă (I A - ) dcă: 4
9 ( ) ( ) ( ) L L ( ) ( ) ( ) L L () ude m M M M M M M ( ) ( ) ( ) L L () ott cu j j elemetele mtrce (A I). ( ) Astel presupuâd ude elemetul ( ) se umeşte pvot petru oţe mtrce () se plcă ormulele: ( ) ( ) j / j ( ) (4) ( ) j ( ) ( ) j j ( ) j. Dcă ( ) petru cre ( ) tuc petru pute plc ormulele (4) se recomdă o procedură de pvotre de eemplu pvotre prţlă cre costă î: - se cută î colo pvotulu cel elemet ( ) cre re proprette: ( ) ( ) (5) m Aplcţe Se dă mtrce A Aplcâd ormulele () mtrce versă este: ( 6) ( ) ( 6) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( 6) ( ) ( 6) ( 6). 5 5
10 4. Codesre pvotlă petru clculul determţlor Prezetre proleme Se cosderă mtrce A R clculăm det(a). ş e propuem să Prezetre metode Iţl se plcă ormul: () det (A) M M L L L M ude ş î coture se re ormul () petru... pâă câd se clculeză u determt de ordul. Oservţ ) dcă ş ( ) petru cre tuc se permută î A lle ş r det (A) îş schmă semul; 4) dcă ş ( ) vem tuc det (A). Aplcţ ) Se dă mtrce A 6 - petru 4 (l prm prcurgere cclulu repettv) vem: det 6 ş 6
11 A A ; petru vem: det ş A A ; petru vem: A ş respectv A Urmeză det 4864 / 4 6 dec det (A) 6. 7
12 5. Fctorzre LR mtrcelor plctă l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude A R t R repreztă mtrce respectv termeul ler petru sstemul (). Ne propuem să determăm dcă este posl soluţ ucă sstemulu () R. Prezetre metode Deţe. O descompuere de orm: () A L R ude L este o mtrce eror trughulră dcă l j j j ş R este o mtrce superor trughulră dcă r j j se umeşte ctorzre LR mtrce A. Elemetele mtrcelor L ş R cre relzeză ctorzre LR mtrce A se pot clcul drect d egltte (). Petru sgur uctte ctorzăr LR treue preczte elemetele dgole î mtrce L (su î mtrce R). Astel dcă presupuem: () l tuc procedur de ctorzre LR este cuoscută su umele de metod Doolttle. D () se oţ egltăţ: m ( j) (4) l r j j j rezolvte succesv î rport cu elemetele r j j ş l >. Astel ţâd cot de () vem: 8
13 (5). r / r j r r r / j r h h h h hj h j j j j l l l l Aplcâd metod Doolttle (ormulele (5)) mtrce sstemulu () tuc: A t L R t Petru determre soluţe se rezolvă succesv sstemele: (6) y R t y L Sstemul eror trughulr L y t se rezolvă drect (pr susttuţe drectă) oţâd: (7) y t y t y l Sstemul superor trughulr R y se rezolvă drect (pr susttuţe versă) oţâd: (8) r / r y... r / y 9
14 Aplcţ ) Mtrce etsă (A t) soctă sstemulu () este: Permutre llor ş î mtrce de m sus deorece ş coduce l: Apo: / petru / -/ / - -/ petru / / -/ / - -/ petru 4. I l oţem succesv î ultm coloă mtrce:
15 9 respectv cre este soluţ sstemulu. 4 6/
16 6. Fctorzre LR petru mtrce trdgole cu plcre l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul A t A R trdgolă (dcă pe dgol prcplă re elemetele desupr dgole prcple re elemetele - ş su dgol prcplă re lemetele c - restul d ule) ş t R. Ne propuem să determăm R soluţ ucă sstemulu lr dt. Prezetre metode Fctorzre LR petru rezolvre sstemulu dt presupue două etpe: I. Descompuere mtrce A î produs de două mtrce: A L R ude L este eror trughulră ş R este superor trghulră vâd următorele elemete: î L - pe dgol prcplă tote cele elemete sut egle cu ; - su dgol prcplă se lă elemetele l - ce treue determte; - restul elemetelor sut ule; î R - pe dgol prcplă se lă elemetele r ce treue determte; - desupr dgole prcple se lă elemetele s - ce treue determte; - restul elemetelor sut ule. II. Rezolvre succesvă sstemelor lre: () L y t () R y
17 cu ormule drecte de clcul. Astel prcurgere etpe I îsemă ormulele: r () s c l r r l s r prcurgere etpe II- îsemă: y t (4) y t l y respectv y r (5) ( y s )... r Aplcţe Se dă sstemul lr trdgol: / Se oţe soluţ: 5/ /
18 /6 65 / ude /.9( 6) /.8() /4.9(8574) 4
19 7. Fctorzre LR petru mtrce petdgole cu plcre l rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul A t A R petdgolă (dcă dgol prcplă - prm suprdgolă c - prm sudgolă d - dou suprdgolă e - dou sudgolă î rest elemetele ule) ş t R. Ne propuem să determăm R soluţ ucă sstemulu lr dt. Prezetre metode Fctorzre LR petru rezolvre sstemulu dt presupue două etpe: I. Descompuere A L R ude L eror trughulră ş R superor trughulră cu următore cogurţe: î L elemete egle cu pe dgol prcplă; l - prm sudgolă; m - dou sudgolă; (elemete ce treue determte) restul elemetelor ule; î R r dgol prcplă; s - prm suprdgolă; v - dou suprdgolă; (elemete ce treue determte) restul elemetelor ule; II. Rezolvre succesvă sstemelor lre: () L y t () R y 5
20 cu ormule drecte de clcul. Astel prcurgere etpe I îsemă ormulele: () ( ). m v s r r / m s c v s r / e m d v s r r / c s r l l l l l r prcurgere etpe II- îsemă: (4) y m y t y y t y t y l l respectv (5) ( ) ( )... r / v s y r / s y r / y Aplcţe Se dă sstemul lr petdgol: ). Se oţe:
21 8. Metod Jco petru rezolvre tertvă sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Fe sstemul lr (cu soluţe ucă): () A t A R mtrce sstemulu; t R termeul ler l sstemulu. Ne propuem să determăm soluţ ucă R. Prezetre metode Petru () R promţ ţlă soluţe sstemulu () les rtrr (de eemplu vectorul ul) clculăm: ( ) ( ) () t j j / j j pâă câd este îdepltă codţ: ( ) ( ) () m ε ude ε - precz cu cre dorm să oţem soluţ (ε -p p 4). Atuc (). O codţe sucetă petru oţere soluţe sstemulu () cu precz ε este: (4) > j j dgolă pe l ) su (4 ) > j jj j j dgolă pe coloe ). (mtrce A este domt j (mtrce A este domt 7
22 Aplcţ ) Se du: ş 4 4 A t. Petru: ε -4 t ş ; ε -7 t ş ; ε - t 4 ş 6 6 cre este soluţ ectă sstemulu lr A t. 8
23 9. Metod Sedel Guss petru rezolvre tertvă sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Fe sstemul lr (cu soluţe ucă): () A t A R mtrce sstemulu; t R termeul ler l sstemulu. Ne propuem să determăm soluţ ucă R. Prezetre metode Petru () R promţ ţlă soluţe sstemulu () les rtrr (prctc vectorul ul) clculăm: ( ) ( ) () () t j j j j / j j pâă câd este îdepltă codţ: ( ) ( ) () m ε ude ε precz cu cre dorm să oţem soluţ (ε -p p 4). Atuc (). O codţe sucetă petru oţere soluţe sstemulu () cu precz ε este: (4) > j j dgolă pe l) su (4 ) > j jj j j dgolă pe coloe). (mtrce A este domt j (mtrce A este domt 9
24 Aplcţ 4 ) Se du: A ş t. 4 Petru: ε t ş ; ε t 5 ş ; ε - 6 t ş 6 cre este soluţ ectă sstemulu A t.
25 . Metod Sedel Guss petru rezolvre tertvă sstemelor lre cu mtrce sl populte Prezetre proleme Î rezolvre uor stel de ssteme se olosesc metode tertve î prcpu celeş c ş petru ssteme lre cu mtrce ple dereţele părâd î modul î cre relţle geerle de terţe se trsormă îtr-u lgortm de clcul cre utlzeză l mm memor clcultorulu evtâd î celş tmp operţle de îmulţre ş dure cu zero. Prezetre metode Metod Sedel Guss petru rezolvre sstemulu: A t A R este mtrce sl popultă se zeză pe relţle : () R ( ) ( ) () () t j j j j / j j pâă câd: ( ) ( ) () m ε ε precz mpusă. Preczre. Î lgortmul de clcul petru mtrce sstemulu se prevede u umăr de locţ de memore egl cu umărul elemetelor eule d mtrce. Aceste elemete eule treue detcte ş de cee vom lucr cu următor vector (preczâd că repreztă umărul de ecuţ ş ecuoscute r umărul de elemete eule d mtrce): ) A ( ) - coţe elemetele eule d mtrce sstemulu. ) L (l ) coţe umărul elemetelor eule d ecre le.
26 ) C (c ) coţe dc coloelor î cre sut elemetele eule d ecre le prcurgâd lle î orde lor crescătore. Oservţe. Cum c c Z. Preczre. Cu jutorul vectorlor L ş C se stlesc ră testăr terme cre tră î ormulele (). 4) T (t ) coţe termeul ler 5) X ( ) coţe ţl () d (). 6) ε R repreztă precz. 7) tm Z repreztă umărul mm de terţ petru oţe soluţ sstemulu cu precz dortă. 4 Aplcţe Avem: ş 46. Apo: -4; ; ; (î l ) 4 ; 5-4; 6 ; 7 ; (î l )
27 8 ; 9-4; ; (î l ) ; -4; ; 4 ; ( î l 4) 5 ; 6 ; 7-4; 8 ; 9 ; (î l 5) ; ; -4; ; (î l 6) 4 ; 5-4; 6 ; 7 ; (î l 7) 8 ; 9 ; -4; ; (î l 8) ; 4 ; 5-4; 6 (î l 9) 7 ; 8-4; 9 ; (î l ) 4 ; 4 ; 4-4; 4 ; (î l ) 44 ; 45 ; 46-4; (î l ) l ; l 4; l ; l 4 4 l 5 5; l 6 4; l 7 4; l 8 5; l 9 4; l ; l 4; l ; c ; c ; c 4; (î prm le) c 4 ; c 5 ; c 6 ; c 7 5; (î dou le) c 8 ; c 9 ; c 6; (î tre le) c ; c 4; c 5; c 4 7 (î ptr le) c 5 ; c 6 4; c 7 5; c 8 6; c 9 8; (î cce le) c ; c 5; c 6; c 9 (î şse le) c 4 4; c 5 7; c 6 8; c 7 ; (î şpte le) c 8 5; c 9 7; c 8; c 9; c ; (î opt le) c 6; c 4 8; c 5 9; c 6 ; (î ou le) c 7 7; c 8 ; c 9 ; (î zece le) c 4 8; c 4 ; c 4 ; c 4 ; (î usprezece le) c 44 9; c 45 ; c 46 ; (î douăsprezece le) t -875; t -5; t -5; t 4-5; t 5 ; t 6 ; t 7-5; t 8 ; t 9 ; t -5; t ; t ; ;.
28 Petru: ε t ş ;
29 . Metod Leverrer petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ σ λ - σ λ -... (-) σ Prezetre metode Coeceţ cre pr î () se oţ d relţle: σ s () σ (sσ sσ... ( ) s σ ( ) () s Tr(A ). Aplcţe s ) ude 4 Se dă A 4. 4 Se oţ: s σ s ; s 4 σ (s σ s )/ -7; s 8 σ (s σ s σ s )/ 6. p A (λ) λ σ λ σ λ σ λ 7λ 6. 5
30 . Metod Krylov petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe mtrce A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ c λ -... c - λ c Prezetre metode ) Se lege rtrr y () R eul ) Se oţ: () y () A y (-). ) Se rezolvă sstemul lr: c () (y (-) y (-)... y () y () ) c y () M c Dcă u re soluţe ucă se lege lt y () ş se re de l ). Dcă re soluţe ucă cest repreztă coeceţ polomulu crcterstc petru mtrce dtă dec (). Oservţ:. Notăm cu B mtrce sstemulu (). Ultm coloă lu B se troduce ş clculăm po ecre coloă d B î ucţe de succesore e olosd ().. Dcă m tşăm o coloă î plus l mtrce B petru termeul ler l sstemulu () cest se v clcul olosd () cu elemetele d prm coloă mtrce.. Petru rezolvre sstemulu () pelăm o procedură (de eemplu Guss). 6
31 Aplcţe Se dă: A Oţem: coeceţ polomulu crcterstc l mtrce dte sut: 6 6. Preczăr: ) Se oţe p A (λ) λ 4 6λ λ λ 6 petru legere. ) Dcă legem tuc sstemul lr de orm () cre se oţe (îte de psul 5. l lgortmulu): y ) ( y ) ( u re soluţe ucă (este comptl edetermt). 7
32 . Metod Fdeev petru determre coeceţlor polomulu crcterstc Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm coeceţ polomulu crcterstc. () p A (λ) λ c λ -... c - λ c Prezetre metode ) A A; c -Tr(A ); B c I A ; ) A A B ; c -Tr(A )/; B c I A ;... ) A A B - ; c -Tr(A )/; B c I A. Oservţ:. B O (mtrce ulă) dec u se v clcul.. Dcă c A - B-. Aplcţe 4 ) Se dă: A. 4 Se oţe: A A; c ; B ; 6 6 A A B ; c 5; B ; c 8
33 A A B ; c 6; B p A (λ) λ λ 5λ 6. Cum c A - B 6. / 6 / / / / 9
34 4. Metod Dlevs petru ducere ue mtrce l orm ormlă Froeus Prezetre proleme Fe mtrce: A R ş e propuem să trsormăm pr procedee de semăre cestă mtrce î orm ormlă Froeus: L L () L L L L L L L Oţem: () p A (λ) λ λ - λ - - λ. Prezetre metode Se trsormă mtrce A î orm () după etpe l ecre etpă oţâd câte o le d () de l ultm le pâă l prm le. Astel l etp presupuem - petru oţe ultm le d (). Cu cestă presupuere vom prelucr mtrce A pe z relţlor: / () / j j urmte de relţle: / (4) j / / j j j / j j. / Apo l etp presupuem 4 petru oţe peultm le d () (ultm le s- oţut dej l
35 etp ). Cu cestă presupuere vom prelucr mtrce A oţută după prcurgere etpe dcă după plcre relţlor () ş (4) pe z uor relţ semăătore dcă: // / ( ) // / j j urmte de relţle: / // / / j // (4 ) j j j / // j j. Î cocluze otâd cu vrl ce umără etpele î metod Dlevs vem: ş -. Oservţe. Dcă estă... stel îcât - tuc sutem îtr-u cz prtculr. Aplcţe A A coeceţ polomulu crcterstc sut: Detl clcule: A ; u ( -) 4
36 A ; u (-/ 4/ / /) 4/ / 5/ / 5/ / / / / / 4/ / 5/ / / / A ; u ( 6-7) 9 /4 5 /4 /4 9 /4 7 6 A p A (λ) λ 4 6λ 7λ 6. 4
37 5. Metod Dlevs petru determre uu vector propru corespuzător ue vlor propr Prezetre proleme Fe mtrce: A R ş e propuem determre uu vector propru l mtrce petru o vlore propre specctă. Prezetre metode Se trsormă mtrce A î orm ormlă Froeus: L L () L L L L L L L olosd relţle () (4) ( ) (4 ) d lucrre precedetă. Notâd cu vrl ce umără etpele de trsormre lu A î () vem: -... ş -. Oservţe. Dcă estă -... stel îcât - tuc sutem îtr-u cz prtculr (cre u se trteză î lgortmul cre urmeză). Cum mtrce A ş orm s ormlă Froeus sut mtrce semee teoretc l ecre etpă oţem o mtrce M - cre deră de mtrce utte dor î l - le cre re următore compoeţă: () Prctc l ecre etpă oţem l - dtr-o mtrce M R - olosd (). Î cest mod după prcurgere celor - etpe mtrce () se pote scre teoretc 4
38 M... M M A M M... M M M Ştd că y R este u vector propru corespuzător ue vlor propr λ petru mtrce () vem R este u vector propru corespuzător celeeş vlor propr λ petru mtrce ţlă A clcult teoretc stel: () M - M -... M M y Oservţe. Produsele d () se c de l drept l stâg dcă: M - (M - (...(M (M y))...)) Acest deorece produsul M y modcă compoet d vectorul y. Aplcţe Fe A A p A (λ) λ 4 6λ 7λ 6. D p A (λ) (λ)(λ )(λ λ) dec λ - λ λ 4 C ±. Petru λ - y () ; λ λ λ
39 petru λ y (). λ λ λ 4 8 De semee: M / / / / /4 /4 /4 /4 7 / / Otem: y () 9 / / 7/6 6 7 / / 5/6.8().(6).(6) respectv y () 4 /7 7 / 5/7.(7485).(4857) 45
40 6. Metod Brstow petru rezolvre ecuţlor lgerce Prezetre proleme Se cosderă polomul cu coeceţ rel: P () ş e propuem determre rădăclor cestu polom. Prezetre metode Metod Brstow costă î descompuere lu P î ctor pătrtc (dcă pr) su î ctor pătrtc ş u ctor lr (dcă mpr). Notăm prmul ctor pătrtc cu p q ( * ) P () ( p q)( ) r s. restul r Notăm deorece ăcâd produsele î drept ş s p eglâd cu memrul stâg vem: () p p q r (pq) Evdet (d ()) s (pq) Vom determ p ş q stel îcât restul împărţr ( * ) să e promtv ul dcă: (pq) () sstem elr (pq) Rezolvăm sstemul () cu metod Newto. Dcă p q R sut promţle ţle le lu p ş q tuc: 46
41 () q p q p ) q (p q ) q (p p ) q (p q ) q (p p ) q (p ) q (p Notăm: (4) Δ p p S q q R p q q p. Atuc d () vem: ( ) Δ Δ / S q q / R p p ude pr Δ R S m ott vlorle ucţlor Δ R ş respectv S î (p q ). Ţâd cot de () ş clculâd dervtele prţle cre pr î (4) oţem: (5) q p q q p p p p q q p p Notăm (6) c p ; () p p q p p. Dec c pc - qc - ude c - c -. 47
42 Alog otăm (7) d q ; () q q q q p. Dec d pd - qd - ude d - d -. Î cocluze oţem c d su (8) - qc pc c p c c Îlocud (6) respectv (7) î (5) vem: c p ; c q ; p c- - pc - pc c q de ude îlocud î (4) vem: (4 ) Δ c c S c c R c c c c Astel petru determ u ctor pătrtc procedăm stel: legem promărle ţle p q determăm... cu ormulele () determăm c c... c - cu ormulele (8) determăm Δ R S cu ormulele (4 ) determăm p q cu ormulele ( ) Ne oprm tuc câd p q vercă sucet de e ecuţle sstemulu () dcă { } ε s r m ude r - ş s p -. 48
43 U lt test de oprre d ( ) m { p p q q } ε dcă R S Δ ε. Câd testul de oprre este îdeplt ultmele vlor clculte p q repreztă promţ sucet de ue (î ucţe de ε) petru coeceţ tromulu p q r soluţle cestu trom sut rădăc rele su complee le ecuţe (*). Cotuăm ceeş tctcă cu polomul de grd - cre pre î drept relţe (*). Aplcţ ) P() 4 ; 4 ; -; ; ; 4 -; p legâd ε -5 p î terţ q q po (repetă) ( ( p q ) / ε -5 ) /. ; p î terţ q 49
44 7. Fctorzre LR petru oţere vlorlor propr le ue mtrce Prezetre proleme Fe A R. Ne propuem să determăm vlorle propr le mtrce dte: λ λ λ. Prezetre metode Notăm A A; A L R ; A R L ; A L R ; A R L ; ş..m.d. Î geerl A L R ; A R L. Oservţ: ) Mtrcele L ş R se oţ olosd ormulele corespuzătore ctorzăr LR Doolttle (vez lucrre de lortor r. 5 ormulele (5). ) Mtrcele A ş A sut semee (A ~ A); A L - A L ude L L L L. ) A R mtrce superor trughulră ş λ r. 4) Dcă y R este u vector propru corespuzător ue vlor propr λ petru mtrce R tuc L y este u vector propru corespuzător celeş vlor propr λ petru mtrce A. Aplcţ ) A re vlorle propr L prm etp se ote: ± 5. 5
45 L ; R / / / ş respectv 4 / / A / / 4 / / L dou etp se oţe: 4 / / 4 / 8 / 4 5/ 4 L ; R / 8 9 / 6 6 / 7 / ş respectv / 4 7 / 5/6 89 / 5 / 4 5/ 4 A ş..m.d. 9 / 5 7 /69 6 / 7 / petru ε -4 după 7 terţ vem: e-. petru ε -6 după 4 terţ: e-. 5
46 8. Metodă tertvă de tp Newto petru estmre umercă vlorlor propr etreme le ue mtrce rele smetrce Cosderâd o prolemă de orm: dtă o ucţe : [ ;] R cotuă dervlă se cere să se determe * stel îcât: (*) () metod Newto petru clculul umerc l soluţe ecte * se pote crcterz stel: legâd () promţe ţlă petru * se geereză şrul de promţ succesve () cu jutorul ormule: () Γ( () ) () ude ucţ de terţe Γ() este dtă pr: () Γ () () () Fe A R mtrce smetrcă. Notăm cu P A (λ) polomul crcterstc l lu A vâd epres ltcă: PA ( λ) λ αλ α λ... α (4) ude α j R j ; α Fucţ de terţe Γ() î czul polomulu crcterstc P A (λ) petru λ λ () ude λ () u este u d vlorle propr le lu A este dtă de: () () () det( λ I A) Γ( λ ) λ (5) () det λ I A j ( ) ) ude I repreztă mtrce dettte de ord. r A jj repreztă mtrce oţută d A pr elmre le j ş coloe j. 5 jj
47 Aplcţ ) Se cosderă A R A Se cere promre vlorlor propr etreme cu precz ε -9. Folosd lgortmul prezett oţem: λ m umăr de terţ eectute: 7. λ m umăr de terţ eectute: 6. 5
48 9. Apromre ucţlor pr terpolre Lgrge Prezetre proleme Se du: R cu j j (umte odur de terpolre); y ( ) (vlorle cuoscute le ue ucţ î odurle de terpolre); z R cu z [ ]. Se cere să se promeze (z) olosd polomul Lgrge de terpolre pe odurle dte. ude Prezetre metode z (z) y L ()de y este polomul Lgrge de terpolre pe odurle. Aplcţe Fe - 4 y - 8 Să se evlueze (-) ş () olosd polomul Lgrge de terpolre pe odurle dte. Se oţe: (-) u se pote evlu deorece - [- 4] ()
49 . Dereţe dvzte pe odur smple Prezetre proleme Se du... R j j; y y... y vlorle cuoscute le ue ucţ î.... Dereţele dvzte de ordul zero le ucţe sut: de () y Dereţe dvzte de ord îtâ le ucţe sut: de () - Dereţe dvzte de ordul l dole le ucţe sut: () de ş.. m. d. Dereţ dvztă de ordul - ucţe este: (4) de Prezetre metode Se cere tloul D l dereţelor dvzte cre î ecre coloă j j - să coţă dereţele dvzte de ord j crcterzte pr ormulele () (4). D () d y D () (4) d j d j d j j j. j 55
50 Aplcţe Se du: - 4 y - 8 Se oţ: - dereţele dvzte de ordul sut ; ; ; ; 8. - dereţele dvzte de ordul sut: 5; -; ; 7; - dereţele dvzte de ordul sut: ; 4; -; - dereţele dvzte de ordul sut: 5; - 5 ş - dereţ dvztă de ordul 4 este 6. 56
51 . Apromre ucţlor pr terpolre Newto Prezetre proleme Se du: R cu j j (umte odur de terpolre); y ( ) (vlorle cuoscute le ue ucţ î odurle de terpolre); z R cu z [ ]. Se cere să se promeze (z) olosd polomul Newto de terpolre pe odurle dte. ude Prezetre metode (z) N ()de... ( z )... ( ) este polomul Newto de terpolre pe odurle. ş y y... Aplcţe j j ( ) j Fe - 4 y - 8 Să se evlueze (-) ş () olosd polomul Newto de terpolre pe odurle dte. Se oţe: (-) u se pote evlu deorece - [- 4]; () j
52 . Dereţe dvzte pe odur multple Prezetre proleme Se du... R j j odur multple cu multplctăţle m N* ş vlorle: (*) (j) j m cuoscute î odur petru o ucţe ş o prte d dervtele sle. Prezetre metode Cosderăm s m Dereţele dvzte de ordul zero le ucţe sut: () de ( ) Dereţe dvzte de ord îtâ le ucţe sut: ( ) () /! su de ( ) - Dereţe dvzte de ordul l dole le ucţe sut: ( ) () /! su de ( ) respectv - de 58
53 su ( ) de ş.. m. d. Dereţ dvztă de ordul s - ucţe este: de su ( (4) < > 44 m or m or m or 44 4 (m ) or 44 (m ) or 44 4 m or < > < > 44 4 m or Î geerl dereţele dvzte cre pr sut de tpul: (p) ( ) (5) <... > p m 44 (p )! por (6) < j j... j > por ( q-) qor < j j... j > ( p-) por 44 or or < > ) / j j j 44 qor ( ) j de p m j q m j j. Se cere tloul D l dereţelor dvzte cre î ecre coloă j j s - să coţă dereţele dvzte de ordul j crcterzte pr ormulele () (6). Notăm elemetele tloulu cu d j j s- s-j. 59
54 Aplcţe Se du: Dec m ; m ; m s 8. Se oţe tloul: - dereţele dvzte de ordul sut: ; ; ; -; -; -; -; -; - dereţele dvzte de ordul sut: -4; -4; -5; ; 5; ; ; - dereţele dvzte de ordul sut: ; 5; 75; -75; 5; ; - dereţele dvzte de ordul sut: 65; 5; -65; ; -65; - dereţele dvzte de ordul 4 sut: -875; -875; 465; -85; - dereţele dvzte de ordul 5 sut: -785; 565; ; - dereţele dvzte de ordul 6 sut: 4565; 5475; - dereţ dvztă de ordul 7 este:
55 . Polom de terpolre Hermte Prezetre proleme Se du... R j j odur multple cu multplctăţle m N* ş vlorle (j) j m - cuoscute î odur petru o ucţe ş o prte d dervtele sle. Se cere determre uu polom H căru vlor î puctele să cocdă cu vlorle ucţe dcă: H( ) ( ) petru ş î plus vlorle dervte polomulu H să cocdă cu vlorle dervte ucţe pâă l ordul m - petru ecre vlore. Petru vlor z vlore polomulu H(z) promeză vlore ucţe (z). Prezetre metode Petru costrucţ polomulu H propuem ormul Hermte. Petru z [ z ] se cere: H () z ( z )... < > m or m or m m (z ) <... > ( z ) < > mor m or m m m ( z ) ( ) ( ) z... z m or ude dereţele dvzte pe odur multple sut elemetele tloulu D d lgortmul precedet. 6
56 4. Apromre ucţlor pr sple cuc cu dervt dou ulă l etremtăţle tervlulu de promre Prezetre proleme Se du... R j j odur de terpolre;... R vlorle cuoscute î le ue ucţ ş treue să oţem ucţ S cu propretăţle [ ] ot S S este polom de grdul ; S( ) ; S S S cotue pe [ ]. Prezetre metode Notăm h - ş vem: () ( ) ( ) ( ) h 6 h u 6h u u S h 6 h u [ - ] ude m ott S ( ) u Avem S ( ) S ( ) u u. Petru oţe sple-ul cuc S vem evoe de restrcţle sle S pe ecre tervl ude: u u... u - sut ecuoscute determte c soluţe sstemulu: () h h u 6 h u h h u 6 h - cu u u. 6
57 Mtrce sstemulu () este trdgolă smetrcă ş re următorele elemete: () h c h ( h h ) / - pe dgol prcplă /6 - /6 - desupr dgole prcple su dgol prcplă r termeul ler l sstemulu () re compoetele: (4) t ( - )/h ( - )/h -. Petru rezolvre sstemulu () olosm ctorzre LR petru mtrce trdgole ş îlocud u u... u - stel oţute î () găsm S. Aplcţe Se dă telul: - 5 Avem: h h h ; u u. Se oţe sstemul: 4 u 4 4 u 6 cu soluţ: u 4 ş u 44. 6
58 5. Apromre ucţlor pr sple cuc cu prm dervtă eglă cu prm dervtă ucţe l etremtăţle tervlulu de promre Prezetre proleme Se du... R j j odur de terpolre;... R vlorle cuoscute î le ue ucţ ; vlorle ( ) ş ( ). Treue să oţem ucţ S cu propretăţle S [ ] S este polom de grdul ; S( ) ; S ( ) ; S S S cotue pe [ ]. ot Prezetre metode Notăm h - ş vem: u () ( ) ( ) ( ) u h S u 6h 6 h h u 6 [ - ] h ude m ott S ( ) u. Petru oţe sple-ul cuc S vem evoe de oţere restrcţe sle S pe ecre tervl ude: u u... u sut ecuoscute determte c soluţe sstemulu: 64
59 () h u h u 6 h h h u 6 h u h h u 6 h h u 6 h u h. Mtrce sstemulu () este trdgolă smetrcă ş re elemetele pe dgol prcplă desupr dgole prcple ş respectv su dgol prcplă dte de relţle: () ( ) /6 h c /6 h / h ; / h h h / r termeul ler re compoetele: (4) ( ) ( ) ( ) ( ) /h - t /h /h t /h t 65
60 Aplcţe Se dă telul: Avem: h h h. Se oţe sstemul: u u u u 4 4 cu soluţ: u u 6 u 6 u. 66
61 6. Metod celor m mc pătrte petru promre ucţlor czul dscret Prezetre proleme Se du... m R;... m R (repreztă vlor cuoscute î m petru o ucţe ); w w... w m R (repreztă poder) ş se cere: () ( ) ( ) ϕ p elemetul de ce m uă promre petru î sesul celor m mc pătrte ude: este dt r: () ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ R R Prezetre metode Notăm: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ~ ; ~ ; ~ m m m ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L L L Petru u v R m dem produsul sclr: (4) m v u w v u Petru oţe coeceţ... lu p d () se rezolvă sstemul: 67
62 (5) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ L L L L L L L L L. De semee cosderăm o coloă î plus î mtrce B colo cre coţe terme ler sstemulu (5). Folosd () () (4) clculăm elemetele mtrce B cu ormulele: (6) w ; w j w j w ; w m m m j j j m m j j j Aplcţe Se dă telul: w 68
63 Să se promeze prolc ucţ de m sus. Avem: m 4 p (). Se oţe sstemul: cu soluţ:
64 7. Metod trpezulu petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod trpezulu propue următore promre petru tegrl detă: ( ) d ( ) ( ) ( ). Aplcţe d I petru ε -5 I î 9 pş petru ε -8 I î 4 pş petru ε -9 I î 5 pş Vlore ectă I l
65 8. Metod Smpso petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod Smpso propue următore promre petru evlure tegrle: h ( ) d ( ) ( ) 4 ( ). 6 Aplcţe d I petru ε -5 I î 4 pş petru ε -8 I î 7 pş petru ε - I î 9 pş 7
66 9. Metod Newto petru evlure tegrlelor Prezetre proleme Fd dtă tegrl detă: ( ) e propuem stlre ue ormule cre să promeze vlore tegrle. d Prezetre metode Fe [ ] R ş < <... < o dvzue lu [] cu h h. Metod Newto propue următore promre petru evlure tegrle: ( ) d ( ) ( ) ( ) Aplcţe d I petru ε -5 I î 4 pş petru ε -8 I î 7 pş petru ε - I î 8 pş 7
67 . Evlure umercă tegrlelor dule pe dome covee de roteră polgolă Cosderăm tegrl dulă ( y)ddy ude D R este u domeu coe de roteră polgolă. I. Presupuem că D este u domeu trughulr de vârur V ( y ) V ( y ) V ( y ). ( y)ddy pote promtă umerc olosd u d următorele ormule: S () ( y)ddy (( y ) ( y ) ( y )) ude D S repreztă r domeulu D (ormulă vâd ordul de ecttte uu). D () ( y)ddy D D S (( y ) ( y ) ( y ) 9( G y G )) ude S repreztă r domeulu D r G( G y G ) cetrul de greutte l lu D (ormulă vâd ordul de ecttte do). D [ / S ( ( ) ( ) ( ) / / / / / () ( y)ddy 8 y y y 6 ( ( y ) ( y ) ( y ) 7 ( G y G )] ude S repreztă r domeulu D G( G y G ) cetrul de greutte / / / / / / / / / l lu D r V ( y) V ( y ) V ( y) mjlocele lturlor opuse vârurlor V V V respectv (ormulă vâd ordul de ecttte tre). II. Presupuem că D este u domeu cove de roteră polgolă. Itroducem pe domeul D o trgulrzre T dtă U NE K de T ude K trugh de vârur V ( y ) ; 7
68 V ( y ) ; V ( y) NE r NE umărul totl de elemete trughulre le lu T. Astel oţem: D ( y)ddy NE ( y) ddy K Evluâd umerc ecre tegrlă dulă detă pe câte u domeu trughulr K NE coorm ormulelor de l czul I oţem pr sumre rezulttelor vlore promtvă tegrle dule ( y)ddy ţl dtă. D Aplcţe. Cz I y y ddy ude D trughul de vârur V (); D V (); V (). Aplcâd ormul () oţem: y y ddy 4495 D Aplcţe. Cz II y ddy ude D {( y) [ ; ]; y [ ; ]}. D ( y) Oservţe: Vlore ectă este:
69 . Metod Euler petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă ue ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( y) () y( ) y Prezetre metode Se cosderă [ ] R ude: h - ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y ude y y( ). Formulele oloste sut: h () y y h ( y ) cu Aplcţe y y' Fe prolem () y() Se cosderă [; 5] cu 5. Se cer vlorle y y y y 4 y 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: î 8 îmuătăţr petru ε
70 î îmuătăţr petru ε Vlorle ecte le soluţe y sut: ; 44; 69; 96; 5. 76
71 . Metod Ruge-Kutt de ordul do petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă ue ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( y) () y( ) y Prezetre metode Se cosderă [ ] R ude: h - ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y ude y y( ). Formulele oloste sut: h ( ) y y /4 ude () h ( y ) h ( h/ y /) cu Aplcţe y y' Fe prolem () y() Se cosderă [; 5] cu 5. 77
72 Se cer vlorle y y y y 4 y 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: su: î 5 îmuătăţr petru ε î îmuătăţr petru ε Vlorle ecte le soluţe y sut: ; 44; 69; 96; 5. 78
73 . Metod Euler petru rezolvre ue proleme Cuchy soctă uu sstem de două ecuţ dereţle ordre Prezetre proleme Fe prolem Cuchy: y' ( yz) z' g( yz) () y( ) y z( ) z Se cere să se promeze soluţ proleme dte pe [ ]. Prezetre metode Se cosderă [ ] R cu dvzue de ps h: h ş se cer vlorle promtve le soluţe proleme () otte y respectv z ude y y( ) z z( ). Formulele oloste sut: h y y h ( y z ) () z z hg( y z ) cu 79
74 Aplcţe y' / y z' z( y ) /(y ) Fe prolem () y() z() Se cosderă tervlul [; 5] cu dvzue 5. Se cer vlorle y y y y 4 y 5 respectv z z z z 4 z 5 cre promeză y(); y(); y(); y(4); y(5) zespectv z(); z(); z(); z(4); z(5). Astel petru ceste vlor oţem promărle: 5 ş ş ş î îmuătăţr 46 ş petru ε ş Soluţ ect este y() z() 8
4. Interpolarea funcţiilor
Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă
Διαβάστε περισσότεραINTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE
Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare
Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro Notţ
Διαβάστε περισσότερα2. Functii de mai multe variabile reale
. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc
Διαβάστε περισσότεραCURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I
CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραMETODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC
METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC -NOTE DE CURS- GRECU LUMINIȚA I CONCEPTE DE BAZĂ ȘI TIPURI DE ERORI I INTRODUCERE Metodele umerce sut cele tehc cre permt trsformre modelelor mtemtce î modele umerce
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Acest tp de prolee prove d cdrul vst l le ucţole. Ecuţle dereţle su cu dervte prţle costtue odelele tetce petru ortte proleelor gereşt: studul eorturlor
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR
METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR. Puere probleme Apre î multe tuţ d ştţă ş tehcă î geerl ş d domele utomtcă formtcă ş clcultore î prtculr. Î cete dome pr plcţ î cre u e cuoşte epre ltcă fucţe
Διαβάστε περισσότερα6. VARIABILE ALEATOARE
6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραIV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare
IV6 Sseme de ecuţ lre IV6 Defţ Noţ Ssemele de ecuţ lre erv prope î oe domele memc plce Î uele czur, ele pr î mod url, d îsăş formulre proleme Î le czur, ssemele de ecuţ lre rezulă d plcre uor meode umerce
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul
Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREȘTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ Ș FIZICĂ NUCLEARĂ BN - 030 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON 997 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale
EEMENTE DE AGERĂ SUPERIOARĂ CU APICAłII ÎN ECONOMIE SpŃ vetorle. Orgzre spńlor eoome spń vetorle DeŃe Fe V o mulńme evdă de elemete ş K u orp de slr ş e: - o lege de ompozńe teră ottă dtv + : V V V + -
Διαβάστε περισσότεραCuprins. Prefaţă Metoda eliminării complete (Gauss Jordan) Spaţii vectoriale Noţiunea de spaţiu vectorial...
Cuprs Preţă Meod elmăr complee Guss Jord Spţ vecorle Noţue de spţu vecorl Depedeţ ş depedeţ lră ssemelor de vecor 8 Ssem de geeror Bă uu spţu vecorl Coordoele uu vecor îr-o bă dă Subspţul vecorl geer de
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραI. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP
9.1.13 Metode coreltole Regres s Corelt Stud. Mster - AMP ISAIC- MANIU ALEXANDRU we www.mu.se.ro e-ml AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO 9.XII.13 1 Cotet Itre metodele ctttve de cerctre utle sut s cele de studere
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE
CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA
METODE NUMERICE IN INGINERIA ELECTRICA Notte de urs: 4 5, semestrul S.l. Dr. Ig. Mh Iul REBICAN mh.reb@upb.ro Curs: jo, 8: - :, EA4 Cosultt: mrt 6: - 7:; jo -; EC5 IE, hol EB, etj Uverstte Polteh Buurest
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότερα3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.
Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME
ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGREIE OPTIME A. copul lucrr: e urmreste relzre urmtorelor oectve: - prezetre otulor geerle legte de formele de prezetre rezulttelor - prezetre
Διαβάστε περισσότεραCURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότερα4. Metoda Keller Box Preliminarii
Cptolul I. Metode umee î teo tseulu de ălduă ovetv 4. Metod Kelle o 4.. Pelm Metod Kelle o este o metod e utlzeză deeţe te polemele de ezolvt eduâdu-se l ezolve uo ssteme de euţ lgee. Metod ost todusă
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραINTEGRAREA NUMERICĂ. 1. APROXIMAREA FUNCłIILOR 1. CALCUL NUMERIC. Integrarea numerică 1
CALCUL NUERIC. Itegrre umercă INTEGRAREA NUERICĂ. APROXIAREA FUNCłIILOR Deseor î cdru epereńeor pr ser de rezutte obńute petru umte vor Ńe e. Apre probem progozăr rezutteor petru crev codń Ńe, rezre căror
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale
PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCOMPLEMENTE de ALGEBRĂ
Dumtru Buşeg D Pu COMPLEMENTE de LGEBRĂ 6 Preţă estă rte, struurtă e tole, urde umte hestu de lgeră, re, deş u se roudeă suet de mult î drul lor de leţă de l ultăţle de mtemtă ş u um!, sut totuş orte mortte
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 1. Optimalitate Metode analitice
CUPRINS. Optltte.......................... Optzre.. Forulre ş clscre probleelor de optzre.. Etpele rezolvăr probleelor de optzre.4. Codţ de optltte.5. Cocvtte covette.5.. Fucţ covee ş cocve.5.. Mulţ covee.
Διαβάστε περισσότεραcele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică.
INTDUEE utor u conceput lucrre de fţă, nttultă Îndrumător ş plcţ pentru studul ndvdul l mecncă prte I: sttc, c un mterl necesr studenţlor pentru consoldre cunoştnţelor teoretce ş formre deprnder rezolvăr
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραmărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),
/3/5 Stbltte este un dn propretăţle nterne le sstemelor dnmce reflecttă de dependenţ funcţe de trnzţe stărlor x(t) = φ(t,τ,x τ,ω), de fz nţlă (τ,x(τ)). Se spune că un sstem lnr este stbl dcă, lăst să evolueze
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραCursul 10 T. rezultă V(x) < 0.
ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραAPROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE
APROXIMARE ÎN SENSUL CELOR MAI MICI PĂTRATE Ce ă rore îtr- sţ rehlert. Dere ş rterzre U sţ rehlert este dlet (F) î re F este sţ vetorl slr î orl R (s C) r rods slr dă o lţe: :F F R ( ) < > F vâd roretăţle:
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότερα2. APROXIMAREA ŞI INTERPOLAREA FUNCŢIILOR
Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă. APROXIMAREA ŞI INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Î odere feoeeor (fzce ecooce oce etc.) ute dee puş î tuţ de pu fucţ ecuocute c epree ş defte dor pr vore d ute pucte (vor cre
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραLucrarea Nr. 6 Reacţia negativă paralel-paralel
Lucrre Nr. 6 ecţ netă prlel-prlel Crcutul electrc pentru studul AN pp: Schem de semnl mc AN pp: Fur. Schem electrcă pentru studul AN pp Fur 2. Schem de semnl mc crcutulu pentru studul AN pp Intern cudrpl:
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura
INTRODUCERE. Eror î procesul de msur. Geerltt Dup cum este e cuoscut, fzc, u d sttele tur, operez cu otu s mrm exprmle ctttv s, c urmre (m mult su m put) precs determle. O operte fudmetl î fzc este cee
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα4.1 PROGRAMAREA DINAMICĂ
. PROGRAMAREA DINAMICĂ Prormre dmă repreztă o tehă de ordre e lse de proleme l ăror model mtemt preztă rterstle proes seveţl de deze. Aest tp de proese se rterzeză pr fptl ă î drl feăre etpe tree lesă
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA AL.I.CUZA IAŞI FACULTATEA de INFORMATICĂ CALCUL NUMERIC. Anca Ignat
UNIVERSIAEA AL.I.CUZA IAŞI FACULAEA de INFORMAICĂ CALCUL NUMERIC Aca Igat CUPRINS Prelmar 3 Calcul matrcal 5 pur de matrc 8 Norme 9 Norme matrcale 0 Valor ş vector propr 4 Surse de eror î calculule umerce
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραFUNDAMENTE DE MATEMATICĂ
Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR 1 3. Capitolul I: Integrala definită. Primitive. 1. Să se arate că. f (x) dx = 0. Rezolvare:
Cpitolul I: Integrl definită. Primitive Conf. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineri Mediului Anliz Mtemtică II, Semestrul II Conf. dr. Lucin MATICIUC. Să se rte că Rezolvre: SEMINAR
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραx x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Διαβάστε περισσότερα