Electrodinámica Cuántica

Electrodinámica Cuántica L 0 = ψ i m)ψ Reemplazo minimal: D µ = µ iea µ Lagrangiano de la electrodinámica cuántica. L = ψ id m)ψ 1 4 F µνf µν

Propagador del electrón L 0 = ψ i m)ψ + j ψ + ψ j S F x y) = S F p) = i m)ψ = j, i m)s F x y) =iδx y) d d p 2π) ds Fp)e ip.x y), p m)s F p) =i i ip + m) = p m p 2 m 2 +iε

Fijación de Gauge En la integral funcional, promediando sobre B µ A µ =Bx) Z = dad ψ dψdbe 1 2α B2 δ µ A µ Bx))e S Esto lleva al lagrangiano de fijación de gauge L GF = 1 2α µa µ ) 2

Simetría BRST δa µ = µ αx), αx) =λcx) λ 2 = 0, λcx) = Cx)λ δ = λδ BRST, δ BRST A µ = µ Cx) Cx)es el campo fantasma. Notar: δab) = δa)b + AδB) = λδ BRST A)B + Aλδ BRST B = λδ BRST AB) Si A es un fantasma, se tiene que: Imponiendo nilpotencia: δ BRST A = Aδ BRST 2 0 = δ BRST A µ = µ δ BRST Cx), δ BRST Cx)=0

Para tener los gauges conocidos introducimos: δ BRST C x)=bx) δ BRST Bx) = 0 C x) es el campo antifantasma. Bx) es el campo de Nakanishi-Lautrup.

Simetría BRST Para fijar el gauge se agrega en el lagrangiano:l GF = δ BRST F F debe tener número de fantasma -1. Sea F =C x) µ A µ + αb), L GF = αb 2 B µ A µ + C x) 2 Cx) Integrando sobre B: 2αB 0 µ A µ = 0 B 0 = µa µ 2α L GF = αb 2 0 B 0 µ A µ + C x) 2 Cx)= µa µ ) 2 + C x) 2 Cx) 4α La simetría de L GF es: δ BRST A µ = µ Cx) δ BRST Cx) = 0 δ BRST C x) = µa µ 2α

Propagador de Fotón L = 1 4 F µνf µν + 1 2α.A)2 + j.a, µ F µν 1 α ν.a+ j ν = 0, A ν ν µ A µ 1 α ν.a = j ν, D α ν ν µ D α µ 1 + 1 α ) =iδα ν δx) D α ν x) = d d k 2π) d D α ν k)e ik.x k 2 D α ν +k ν k µ D α µ 1 + 1 α Aδ ν µ +Bk ν k µ ) k 2 δ µ β k µ k β Ak 2 δ ν β Ak ν k β 1 + 1 α ) D µ ν = i δ µ k 2 + iε ν α + 1) kµ k ν k 2 ) ν =iδα, S ν µ = k 2 δ ν µ k ν 1 ) k µ 1 + ν,aδµ +Bk ν 1ν k α µ = S µ 1 + 1 )) ν = δ α β )+ Bk 2 k ν k β Bk 2 k ν k β 1 + 1 ) α Ak 2 = 1, A 1 + 1 )+Bk 2 Bk 2 1 + 1 α α Bk 2 = α 1 + 1 ) 1 α k 2 ) = 0

Vértice Calcular, usando la integral funcional Figura 1. L = ψ id m)ψ 1 4 F µνf µν, D µ = µ ieqa µ, L I = eqa µ ψ γ µ ψ Vértice: ieqγ µ, El electrón tiene Q= 1

Reglas de Feynman Figura 2. Además un loop cerrado de fermión agrega -1 y se debe calcular la traza sobre las matrices de Dirac. Ejercicio: Use la integral funcional para encontrar Figura 3.

Autoenergía del Fotón Π µν = ie) 2 d n p Trγ µ ip + k + m)γ ν ip+m)) [p+k) 2 m 2 + iε][p 2 m 2 + iε] ν µ

trazas en regularización dimensional {γ µ, γ ν } = 2η µν 1 n Trγ µ γ ν )=4η µν. Notar el 4 en cualquier número de dimensiones. Esto es Tr 1 n = 4 Trγ µ γ ν γ α γ β )=4η βµ η να 4η βν η µα +4η βα η νµ En efecto: Trγ µ γ ν γ α γ β ) = Trγ µ γ ν γ β γ α )+2η αβ Trγ µ γ ν ) = Trγ µ γ β γ ν γ α ) 2η νβ Trγ µ γ α )+2η αβ Trγ µ γ ν ) = Trγ β γ µ γ ν γ α ) +2η µβ Trγ ν γ α ) 2η νβ Trγ µ γ α )+2η αβ Trγ µ γ ν ) La traza es cíclica: 2Trγ µ γ ν γ α γ β )=2η µβ Trγ ν γ α ) 2η νβ Trγ µ γ α )+2η αβ Trγ µ γ ν )

Trγ µ p +k + m)γ ν p + m)) = Trγ µ p +k)γ ν p) +4m 2 η µν = p+k) α p β 4η µα η νβ η µν η αβ + η µβ η να )+4m 2 η µν =4m 2 4p 2 +p.k))η µν +4p+k) µ p ν + 4p + k) ν p µ = 4N µν

Autoenergía del Fotón 1 1 ab 0 = dx ax +b1 x)) 2 I γ n = 4e 2 1 dx d n p N µν 0 D 2 D =p 2 m 2 + iε)x+1 x)p+k) 2 m 2 + iε) N µν = m 2 p 2 p.k)η µν + p + k) µ p ν +µ ν) Completamos el cuadrado en el denominador: D = p 2 m 2 + iε +1 x)2p.k + k 2 ) = p + k1 x)) 2 k 2 1 x) 2 + k 2 1 x) m 2 + iε Redefinir: p p k1 x) D = p 2 +k 2 x1 x) m 2 + iε N µν = η µν m 2 p 2 k 2 1 x) 2 + k 2 1 x))+2p µ p ν 2k µ k ν x1 x) = η µν m 2 p 2 +k 2 1 x)x)+2p µ p ν 2k µ k ν x1 x) =

η µν m 2 p 2 +k 2 1 x)x)+ 2 n p2 η µν 2k µ k ν x1 x) = η µν m 2 p 2 1 2 ) ) + k 2 1 x)x 2k µ k ν x1 x) = N µν n

Autoenergía del Fotón Integramos sobre p: d d q 1 = i 1) n 1 Γ 2 π) d q 2 + iε) n 4 π) d/2 n d 2 Γn) n 1 d n p p 2 M 2 + iε) 2 = i π 2 M 2 ) 2 n 2 p d n p 2 n p 2 M 2 +iε) 2 = i π 2 Γ 1 n M 2 ) 2 n 2 2 Se obtiene, con M 2 = k 2 x1 x) + m 2, ) 1 iε Γ 2 n ) 2 ) M 2 n 2 ) n d 2 4e 2 iπ n 1 dx 2 0 M 2 ) 2 n 2 [ Γ 2 n ) η µν m 2 + k 2 1 x)x) 2k µ k ν x1 x)) 2 +η µν 1 2 ) Γ 1 n ) M 2 n n 2 2 ]= 4e 2 iπ n 2 Γ 2 n ) 1 dx 2 0 M 2 ) 2 n 2 [η µν m 2 +k 2 1 x)x) 2k µ k ν x1 x) η µν k 2 x1 x) + m 2 )] = 8e 2 iπ n 2 Γ 2 n ) 1 dx x1 x)k 2 η 2 0 M 2 ) 2 n µν k µ k ν ) 2

Autoenergía del Electrón p+k p Figura 4.

Autoenergía del electrón I e n = ie) 2 i i) γ µ p+m)γ µ d n p p 2 m 2 + iε)p+k) 2 + iε) γ µ γ µ =n1 e 2 0 1 dx γ µ γ ν γ µ = nγ ν + 2η µν γ µ = 2 n)γ ν I e n = e 2 p2 n) +nm) d n p p 2 m 2 + iε)p + k) 2 +iε) = d n p p2 n) +nm) [p 2 m 2 + iε)x + 1 x)p + k) 2 + iε)] 2 N = ip2 n) +nm D = p 2 m 2 x+iε + 2p.k1 x) +k 2 1 x)= p +k1 x)) 2 m 2 x+iε+k 2 1 x)x I n e = e 2 0 1 dx p p k1 x) N = 2 n)k1 x) +nm 2 n)k1 x) +nm M 2 ) iπ n 2 n 2 Γ 2 n ), M 2 =m 2 x k 2 1 x)x 2 2

Momento Magnético Anómalo del electrón Ramond, Capítulo 8.4 Peskin, Capítulo 6

Lamb Shift Ramond, página 269 y problemas Peskin página 253.

Identidades de Ward Consideremos la integral funcional: Dφ a e isφ) Gφ) La transformación infinitesimal de φ:δφ a deja invariante la acción y la medida de integración. Realizando el cambio de variables φ a φ a +δφ a obtenemos: Dφ a e isφ) Gφ) = Dφ a e isφ) δgφ) =0 Dφ a e isφ) Gφ + δφ) δgφ) = δg δφ aδφa La ecuación en rojo es la identidad de Ward correspondiente a la simetría δφ a.

Identidad de Ward para la autoenergía del fotón Encontremos la identidad de Ward asociada a la simetría BRST de la electrodinámica, para GA µ,c, C )=C x)a ν y) Es decir DA µ DC DCe i S+S GF) ) µa µ x) A ν y) C x) y 2α ν Cy) 1 2α µ x D µν x y)+ ν Fx y)=0 D es el propagador vestido del fotón. En espacio de momentum se tiene: D µν k) =D 0 µν k) + D 0 µα k)π αβ k)d 0 βν k) +... Dado que ν Fx y) no tiene correcciones radiativas, la identidad se satura con el propagador del fotón libre. Por lo tanto: Esto es:k α Π αβ k) =0. k µ D 0 µα k)π αβ k)d 0 βν k)=0 k µ D 0 µα k)=ak 2 )k α

Identidad de Ward para la acción efectiva Esto es: Dφ a e isφ) δgφ) =0, G =e i dxj a x)φ a x) Dφ a e isφ)+i dxj a x)φ a x) dxj a x)δφ a x)=0 j a x) = δγϕ) δϕ a x) Obtenemos la identidad de Slavnov Taylor: dx<δφ a x) > j δγϕ) δϕ a x) =0 Esto dice que la acción efectiva es invariante bajo las transformaciones infinitesimales dadas por δϕ a x) = <δφ a x) > j. En general estas transformaciones difieren de las que dejan invariante la acción S. Ambas coinciden para transformaciones lineales.

Problema #1 Considere un campo escalar complejo, acoplado minimalmente al campo electromagnético A µ. El Lagrangiano es: L = 1 4 F µν) 2 + D µ φ) D µ φ) m 2 φ φ, F µν = µ A ν ν A µ, D µ = µ + iea µ 1- Encuentre en espacio de momentos i) el propagador del campo escalar; ii) Los vértices que describen la interacción del fotón con el campo φ.

2-Calcule la contribución del campo escalar a la polarización del vacío del fotón, usando regularización dimensional. Note que hay dos diagramas. Para escribir la respuesta en la forma transversal: Π µν q 2 ) =g µν q 2 q µ q ν )Πq 2 ) es conveniente sumar los dos diagramas al comienzo, poniéndolos sobre un denominador común antes de introducir parámetros de Feynman. Además use la simetría del integrando bajo el cambio de variables x >1 x. Escriba explícitamente la parte divergente y la parte finita. Explique claramente de donde viene la dependencia en µ.

Sol: Π1k) µν = ie) 2 F p)= i p 2 m 2 + iǫ d d p 2π) d 2p+k) µ 2p+k) ν i p +k) 2 m 2 + iǫ i p 2 m 2 +iǫ Π2k) µν = 2ie 2 d d p i 2π) d p 2 m 2 + iǫ g µν Πk) µν = e 2 d d p 2p +k) µ 2p +k) ν 2 g µν p+k) 2 m 2 ) 2π) d p 2 m 2 + iǫ)p +k) 2 m 2 = +iǫ) e 2 1 d dx d p 2p + k) µ 2p + k) ν 2g µν p+k) 2 m 2 ) 2π) d [p 2 m 2 + iǫ)x +1 x)p + k) 2 m 2 +iǫ)] 2 0 D = p 2 m 2 +21 x)pk + 1 x)k 2 = [p + 1 x)k] 2 + k 2 x1 x) m 2 + iǫ p >p 1 x)k:

N µν =2p +k 1 + 2x)) µ 2p +k 1 + 2x)) ν 2g µν p +kx) 2 m 2 ) = 4p µ p ν +k µ k ν 1 2x) 2 2g µν p 2 + k 2 x 2 m 2 ) Πk) µν = e 2 0 1 dx d d p 2π) d 4p µ p ν + k µ k ν 1 2x) 2 2g µν p 2 + k 2 x 2 m 2 ) p 2 + k 2 x1 x) m 2 +iǫ) 2 = e 2 i 4π) d 2 Γ1 d 2 ) 0 1 dxm d 2 2 2g µν m 2 k 2 x1 x)) + k µ k ν 1 2x) 2 1 d 2 ) 2g µν [ m 2 + k 2 d 2 x1 x) +x2 1 d 2 )]

Coeffm 2 )=0 ǫ =2 d 2 Ck 2 g µν )=2x1 x) 2 d 2 x1 x)+x2 1 d 2 )) = 1 d )[4x1 x) 1] 2 Πk) µν =e 2 i 4π) d 2 Γ2 d 2 )k µk ν g µν k 2 1 ) 0 dxm d 2 2 1 2x) 2 2[A] +2 d=0, [A] = 1 ǫ, 1 = [e] + [A], [e] =ǫ Πk) µν = e 2 i 4π) 2Γǫ)k µk ν g µν k 2 ) PFΠk) µν = e 2 i 4π) 2k µk ν g µν k 2 ) 0 0 1 1 dx dxln M 4πµ 2) ǫ 1 2x) 2 M 4πµ 2)1 2x)2 PPΠk) µν = e 2 i 1 4π) 2 ǫ k µk ν g µν k 2 ) 0 1 dx1 2x) 2