Donatas Surgailis Finansų matematika

Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9

ii

Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai.......................................... 4 2.3 Pelno diagramos..................................... 5 2.4 Viršutiniai ir apatiniai europietiškųjų opcionų kainų rėžiai.............. 7 2.5 Pardavimo pirkimo opcionų pariteto lygybė...................... 8 2.6 Opcionų dariniai..................................... 9 2.7 Ateities ir išankstiniai sandoriai. Trumpasis pardavimas............... 11 2.8 Klausimai ir uždaviniai.................................. 13 3 Vieno periodo finansų rinkos modelis 15 3.1 Modelio aprašymas.................................... 15 3.2 Dominuojančios strategijos ir tiesiniai kainų matai.................. 17 3.3 Arbitražo strategijos ir rizikai neutralūs matai..................... 22 3.4 Klausimai ir uždaviniai.................................. 29 4 Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnosios ir nepilnosios rinkos 31 4.1 Pasiekiami ieškiniai.................................... 31 4.2 Pilnoji rinka........................................ 34 4.3 Nepilnoji rinka ir nepasiekiamų ieškinių vertinimas.................. 36 4.4 Klausimai ir uždaviniai.................................. 38 5 Rizika ir grąža 39 6 Kelių periodų finansų rinkos modelis 47 iii

iv TURINYS 7 Martingalai ir nearbitražinė rinka 55 7.1 Martingalai........................................ 55 7.2 Rizikai neutralūs matai ir nearbitražinė rinka..................... 58 7.3 Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnoji rinka...................... 60 7.4 Put call pariteto lygybė................................. 65 7.5 Klausimai ir uždaviniai.................................. 66 8 Binominis (CRR) modelis 67 8.1 Modelio aprašymas ir rizikai neutralaus mato charakterizacija............ 67 8.2 Europietiškųjų opcionų vertės skaičiavimas CRR modelyje.............. 71 8.3 Hedžingo (replikuojančios) strategijos konstravimas CRR modelyje......... 74 8.4 Ribinis perėjimas T. Black Scholes formulės.................. 76 8.5 Istorinis ir implikuotas kintamumai........................... 83 9 Amerikietiškieji opcionai 85 9.1 Amerikietiškojo opciono vertė.............................. 85 9.2 Amerikietiškojo opciono optimalusis vykdymo momentas............... 88 9.3 Amerikietiškojo opciono hedžingas. Doob o dėstinys................. 92 Literatūra 97

1 skyrius Įvadas Šis "Finansų matematikos" kurso konspektas apima diskretaus laiko ir diskrečių kainų modelius. Toks supaprastinimas leidžia didele dalimi išvengti matematinių subtilybių (tarp jų, mato teorijos žinojimo). Panašūs kursai visame pasaulyje skaitomi verslo mokyklų ir kitų nematematinių specialybių studentams, neturintiems specialaus matematinio pasiruošimo. Finansų industrija užima milžinišką vietą šiuolaikiniame pasaulyje, o jos valdymas reikalauja matematinių žinių ir teorinių principų supratimo. Šiuolaikinė vertybinių popierių rinkos teorija paremta tolydaus laiko atsitiktinių procesų modeliais, mato teorija, martingalų teorija ir kitomis pakankamai sudėtingomis matematinėmis disciplinomis. Diskretūs modeliai, dėstomi šiame kurse, faktiškai yra įvadas į šiuolaikinę finansų matematiką. Kita vertus, jie leidžia suprasti visas pagrindines finansų matematikos sąvokas. Be to, diskrečiais modeliais galima labai tiksliai aproksimuoti tolydžius procesus. Ruošdamas šį konspektą, autorius iš esmės naudojosi trimis literatūros šaltiniais: [7], [3] ir [5]. Pirmose dviejose knygose galima rasti daug papildomos medžiagos apie praktinius investavimo aspektus, obligacijų rinką, investicijos rizikos valdymą, "graikiškąsias raides" ir kitus šiame kurse beveik nepaliestus klausimus. 1

2 1 skyrius. Įvadas

2 skyrius Finansų rinka Pagrindinės sąvokos: Finansų rinka. Akcijos, obligacijos, opcionai, ateities sandoriai. Opcionų dariniai. Trumpoji prekyba vertybiniais popieriais. 2.1 Finansų rinkos struktūra Finansų rinką sudaro vertybiniai popieriai (VP), pinigai, brangieji metalai ir t.t. (prekybos objektai), o taip pat individai ir struktūros (investuotojai, kompanijos, bankai), kurie dalyvauja prekyboje (perka, parduoda arba tarpininkauja). VP arba finansiniai aktyvai (financial assets) faktiškai yra skolos rašteliai (vekseliai), kai viena pusė (VP emitentai) skolinasi pinigus, o kita pusė (VP pirkėjai, arba investuotojai) skolina pinigus, už juos įsigydami VP. VP emisiją ir prekybą griežtai reglamentuoja įstatymai ir poįstatyminiai aktai. VP rūšių yra labai daug (žr. [3]). Mažiausiai rizikingi yra pinigų rinkai priklausantys trumpalaikiai (iki 1 metų) VP su fiksuotomis pajamomis (tokie kaip JAV iždo vekseliai ir depozitiniai sertifikatai), tačiau jų vidutinis pelningumas yra palyginti nedidelis. Kapitalo rinkos įvairovė yra daug didesnė. Jai priklauso akcijos, obligacijos ir išvestiniai VP (derivatyvai). Populiariausios derivatyvų rūšys yra opcionai ir ateities sandoriai (futures). Iš viso derivatyvų priskaičiuojama daugiau nei 1200 rūšių, jų rinka šiuo metu siekia trilijonus dolerių ir nuolat didėja. Išvestiniais šie VP vadinami todėl, kad jų kaina priklauso nuo kitų finansinių aktyvų kainos. Pvz., opcionas put, sudarytas Du Pont akcijai, opciono savininkui atneš naudos, jei šios akcijos kaina nukris. Todėl Du Pont akcininkui yra prasmės pačiam įsigyti tokį opcioną norint apsidrausti nuo galimų nuostolių dėl akcijos kainos kritimo. Tuo pačiu derivatyvai atlieka labai svarbią apdraudžiančiąją (hedžingo) funkciją finansiniame pasaulyje. Kita vertus, išvestiniai VP gali būti naudojami grynai spekuliaciniais tikslais ir yra potencialiai labai rizikingi. Derivatyvai remiasi sverto principu ir gali atnešti didelį pelną arba nuostolį investavus palyginti nedidelį kapitalą arba netgi nieko neinvestavus. 3

4 2 skyrius. Finansų rinka 2.2 Opcionai Opcionu vadinamas kontraktas, pagal kurį viena iš šalių (opciono pirkėjas) įgyja teisę pirkti arba parduoti prekę fiksuota kaina per fiksuotą laiko tarpą, o kita šalis (opciono pardavėjas) įsipareigoja tą prekę parduoti arba pirkti kontrakte nurodytomis sąlygomis. Žodis teisė pirkėjo atžvilgiu reiškia, kad jis gali atsisakyti pasinaudoti įgyta teise (pirkti arba parduoti), jei tai jam nenaudinga. Opciono pardavėjas privalo vykdyti kontrakto įsipareigojimus. Kadangi tokio sandorio sąlygos yra naudingesnės pirkėjui, tai pirkėjas už jį turi sumokėti pardavėjui jo reikalaujamą pinigų sumą. Opcionai būna dviejų rūšių call (pirkimo) ir put (pardavimo). Call opciono atveju pirkėjas įgyja teisę pirkti norimą prekę ateityje kontrakte numatytomis sąlygomis, o opciono pardavėjas įsipareigoja tą prekę parduoti. Put opciono atveju pirkėjas įgyja teisę parduoti norimą prekę ateityje kontrakte numatytomis sąlygomis, o opciono pardavėjas įsipareigoja tą prekę nupirkti. Kaina, kurią opciono pirkėjas sumoka pardavėjui, vadinama opciono verte (opciono kaina). Ją reikia skirti nuo opciono įvykdymo kainos (strike price, exercise price). Opciono vykdymo kaina tai kontrakte fiksuota kaina, už kurią opciono savininkas gali ateityje pirkti arba parduoti atitinkamą prekę. Sakoma, kad opciono pirkėjas užima ilgąją poziciją (long position), o pardavėjas trumpąją poziciją (short position). Ilgoji pozicija reiškia, kad asmuo tikisi pelno ne dabar, o po tam laiko (kai opcionas bus vykdomas). Trumpoji pozicija reiškia pajamas kontrakto sudarymo metu: pardavėjas iš karto gauna pinigų sumą, lygią parduoto opciono vertei. Dažniausiai opcioninio kontrakto prekė yra akcijos (shares). Vienas opcioninis kontraktas sudaromas 100 akcijų. Taip pat sudaromi valiutų kursų (Forex), rinkos indeksų, obligacijų ir kt. opcionai. Sudaryti opcioniniai kontraktai irgi yra prekė, kurią galima pirkti arba parduoti. Skiriami europietiškieji ir amerikietiškieji opcionai (European and American options). Europietiškojo opciono atveju kontraktas vykdomas tiksliai nustatytą dieną (maturity, expiration date). Amerikietiškieji opcionai gali būti realizuojami bet kurią dieną iki jo galiojimo pabaigos. Dažniausiai opcionai būna trumpalaikiai (vieno ar kelių mėnesių trukmės), nes ilgesnio laikotarpio akcijų kainų pokyčiai yra sunkiai prognozuojami ir tokiu atveju jų opcionai būtų labai rizikingi.

2.3. PELNO DIAGRAMOS 5 Calls($) Puts($) Strike price($) June July Oct. June July Oct. 20,00 1,25 1,60 2,40 0,45 0,85 1,50 22,50 0,20 0,45 1,15 1,85 2,20 2,85 1 lentelė Intel kompanijos akcijų amerikietiškųjų opcionų kainos CBOE (=Chicago Board Options Exchange) biržoje 2003 05 29. Vienos Intel akcijos kaina t a dieną buvo 20,83$. June opcionai baigia galioti 2003 06 21, July 2003 07 19 ir October 2003 10 18. Atkreipkite dėmesį, kad call kaina mažėja didėjant vykdymo kainai, o put kaina elgiasi atvirkščiai, be to, abiejų rūšių opcionų kainos didėja ilgėjant terminui. 2.3 Pelno diagramos Svarbu mokėti išreikšti opcioninio kontrakto galutinę išmoką (pelną arba nuostolį) per akcijos kainą ir opcioną nusakančius parametrus. Toliau žymėsime: T opciono vykdymo data; S t akcijos kaina momentu t T; K opciono vykdymo kaina; c t europietiškojo call opciono vertė momentu t T; p t europietiškojo put opciono vertė momentu t T. Tada call opciono išmoka momentu T yra lygi (S T K) + = max(s T K, 0). Iš tikrųjų, momentu T akcijos kaina S T gali būti tiek didesnė, tiek mažesnė už vykdymo kainą K. Jei S T K, tai pirkimo opcionas nevykdomas (nėra prasmės akciją pirkti už kainą K, jei rinkoje ji kainuoja S T t.y. mažiau arba tiek pat), ir opciono išmoka lygi 0. Kita vertus, jei S T > K, tai opcionas vykdomas: jo savininkas perka akciją už kainą K, ją tuoj pat parduoda rinkoje už kainą S T ir pasiima skirtumą S T K. Opciono pirkėjo pelnas gaunamas atėmus iš išmokos investuotą kapitalą t.y. opciono kainą c 0 (jei opcionas pirktas momentu t = 0). Kitaip tariant, call pirkėjo pelnas lygus (S T K) + c 0. (2.1) Panašiai samprotaujant, galima rasti put opciono išmoką momentu T (K S T ) + = max(k S T, 0) ir put pirkėjo pelną: (K S T ) + p 0. (2.2)

6 2 skyrius. Finansų rinka 1 ir 2 paveiksluose pavaizduotos opcionų pirkėjo ir pardavėjo pelno diagramos. Atkreipkime dėmesį, kad opcionų pirkėjai užima ilgąją poziciją, o pardavėjai trumpąją poziciją. Aišku, kad pardavėjo pelnas yra atvirkščias pirkėjo pelnui, kitaip tariant, abiejų pelnų suma lygi nuliui. Opciono pardavimas dar vadinamas opciono rašymu (option writing). pelnas c 0 0 c 0 pardavėjas pirkėjas K S T 1 pav. Call opciono pelno diagrama pelnas p 0 p 0 0 pardavėjas K S T pirkėjas 2 pav. Put opciono pelno diagrama Vienas didžiausių finansų matematikos pasiekimų yra vadinamoji Black Scholes europietiškojo opciono teisingosios vertės formulė. Ši formulė bus griežtai išvesta 8 skyriuje. Iš jos išplaukia, kad call ir put opcionų kainos c 0 ir p 0 momentu t = 0 priklauso nuo 6 parametrų: 1) akcijos kainos

2.4. VIRŠUTINIAI IR APATINIAI EUROPIETIŠKŲJŲ OPCIONŲ KAINŲ RĖŽIAI 7 S 0 momentu t = 0, 2) vykdymo kainos K, 3) termino T, 4) nerizikingų palūkanų normos r, 5) dividendų už akciją per laiką T, ir 6) akcijos kintamumo (volatilumo) σ. Šiame skyriuje mes panagrinėsime paprastesnius sąryšius, susijusius su opcionų kainomis. Iš karto pastebėsime, kad pirkėjo ilgoji pozicija reiškia išmokas ateityje po tam tikro laiko, per kurį būsimos išmokos paprastai nuvertėja. Todėl dabartinės opcionų vertės c 0 ir p 0 priklauso nuo nerizikingų palūkanų normos 1 r 0. Investavus kapitalą K už tokias palūkanas, po laiko T investicijos vertė tampa lygi Ke rt. Atvirkščiai, jei K yra išmokos dydis momentu T, tai dabartinė šios išmokos vertė yra lygi Ke rt. Dauguma teorinių teiginių apie teisingąsias vertes remiasi arbitražo negalimybės principu (nearbitražinės rinkos prielaida). Matematiškai griežtas arbitražo apibrėžimas bus duotas vėliau (2 skyriuje). Finansinėje literatūroje ir praktikoje arbitražas dažniausiai suprantamas kaip galimybė gauti garantuotą arba nerizikingą pelną su nulinėmis investicijomis. Aišku, kad realiame gyvenime arbitražo galimybė yra labai trumpalaikė ir todėl prielaida apie jo negalimumą yra realistiška. 2 2.4 Viršutiniai ir apatiniai europietiškųjų opcionų kainų rėžiai Call opcionas suteikia jo savininkui teisę nupirkti akciją ateityje už tam tikrą kainą. Tuo pačiu tokio opciono vertė niekada negali viršyti akcijos kainos: c 0 S 0. (2.3) Iš tikrųjų, jei būtų priešingai, tai tuo pačiu metu pardavę šį opcioną ir už gautą sumą nusipirkę akciją, gautume garantuotą pelną c 0 S 0 > 0 (ir dar daugiau, jei tik akcija momentu T nebus visiškai bevertė). Put opcionas suteikia jo savininkui teisę parduoti akciją momentu T už kainą K. Tuo pačiu, tokio opciono vertė negali viršyti dabartinės būsimosios išmokos K vertės: p 0 Ke rt. (2.4) 1 Vadinamoji tolydžiųjų sudėtinių palūkanų norma (continuously compounded rate). Praktikoje tai gali būti JAV iždo vekselių grąža, LIBOR (London Interbank Offer Rate), eurodolerių ateities sandorių grąža arba jų išvestinė. 2 Finansų makleriai, kurių pagrindinis užsiėmimas vykdyti arbitražą, vadinami arbitražininkais (arbitrageurs). Paprasčiausias arbitražas gali būti įvykdytas pastebėjus, kad ta pati akcija kainuoja skirtingai skirtingose vietose (pvz., 172 USD Niujorko biržoje ir 100 GBP Londono biržoje esant valiutų kursui GPB/USD = 1,75). Arbitražininkas gali nupirkti 100 akcijų Londone ir tuo pat metu parduoti 100 akcijų Niujorke, gaudamas garantuotą pelną 100 [($1, 75) 100 $172] = $300 (atmetus transakcines išlaidas). Kadangi tokia atsivėrusia galimybe užsidirbti skubėtų pasinaudoti ir kiti arbitražininkai, dėl padidėjusios paklausos Niujorke akcijos kaina pakiltų, o Londone kristų, ir arbitražo galimybė greitai išnyktų.

8 2 skyrius. Finansų rinka Iš tikrųjų, jei būtų priešingai, tai tuo pačiu metu pardavę šį opcioną ir gautą sumą investavę į nerizikigas palūkanas, momentu T gautume garantuotą pelną p 0 e rt K > 0 (ir dar daugiau, jei tik akcija momentu T nebus visiškai bevertė). Nesunku įrodyti apatines nelygybes: c 0 S 0 Ke rt, p 0 Ke rt S 0. (2.5) Jos įrodomos prieštaros būdu, konstruojant atitinkamą arbitražinį portfelį. Tarkime, kad pirmoji (2.5) nelygybė negalioja. Panagrinėkime 2 portfelius: Portfelis A : 1 europietiškasis call opcionas + nerizikinga investicija už Ke rt ; Portfelis B : 1 akcija. Aišku, kad portfelio A vertė momentu T bus lygi (S T K) + +K = max(s T, K), o portfelio B vertė momentu T lygi S T. Kitaip tariant, visais atvejais portfelio A vertė momentu T bus nemažesnė nei portfelio B vertė. Iš arbitražo neegzistavimo išplaukia, kad tai turi galioti ir pradiniu momentu, 3 t.y. vertėms momentu t = 0 turi galioti atitinkama nelygybė: vertėms momentu t = 0: S 0 c 0 + Ke rt. Šis samprotavimas įrodo pirmąją (2.5) nelygybę. Antroji nelygybė įrodoma panašiai. 2.5 Pardavimo pirkimo opcionų pariteto lygybė Įrodysime lygybę (angliškai vadinamą put call parity), kurią tenkina call ir put opcionų su vienoda vykdymo kaina K ir tuo pačiu terminu T vertės momentu t = 0: c 0 + Ke rt = p 0 + S 0. (2.6) Tuo tikslu, panagrinėkime portfelius Portfelis A : 1 europietiškasis call opcionas + nerizikinga investicija už Ke rt ; Portfelis C : 1 europietiškasis put opcionas + 1 akcija. Portfelio A vertė momentu T bus lygi (S T K) + +K = max(s T, K), o portfelio C vertė momentu T lygi (K S T ) + + S T = max(k, S T ), t.y. jų vertės momentu T sutampa. Todėl turi sutapti ir jų vertės momentu t = 0, t.y. turi galioti (2.6) lygybė. Pastabos: 3 Faktiškai, čia mes pasinaudojome prielaida, kad neegzistuoja dominuojanti strategija (žr. 3 skyrių). Ši prielaida yra silpnesnė nei prielaida apie arbitražo nebuvimą.

2.6. OPCIONŲ DARINIAI 9 2.1. (2.5) ir (2.6) formulės galioja, jei akcija nemoka dividendų. 2.2. Amerikietiškiesiems opcionams (2.5) ir (2.6) formulės negalioja, net kai akcija nemoka dividendų. Apskritai, amerikietiškųjų opcionų vertinimas yra sudėtingesnis nei europietiškųjų, nes jis tampriai susijęs su optimalaus opciono vykdymo momento parinkimu. Vyrauja nuomonė, kad amerikietiškąjį call opcioną vykdyti anksti (t.y., kai nuo jo pirkimo praėjo mažai laiko, bet akcijos kaina jau garantuoja tam tikrą pelną) nėra geriausias sprendimas (žr. 2.4 uždavinį 2 skyriaus pabaigoje). 2.3. Pelno formulės (2.1) ir diagramos, pateiktos 1 ir 2 paveiksluose, atitinka atvejį r = 0, t.y. jos neatspindi piniginės laiko išraiškos. Faktiškai, visos išmokos momentu T turi būti diskontuotos daugikliu e rt. 2.6 Opcionų dariniai 1 ir 2 paveiksluose yra pateiktos paprasčiausios pelno diagramos, atitinkančios vieno atskiro opciono pirkimą arba pardavimą. Kombinuojant kelis skirtingus opcionus tai pačiai akcijai arba opcionus su akcija, galima suformuoti pačius įvairiausius portfelius ir investavimo strategijas. Panašiai kaip aukšçiau (žr. 2.3 pastabą), žemiau pateiktose opcionų darinių pelno diagramose paprastumo dėlei ignoruojama laiko piniginė išraiška (diskontavimo efektas). Panagrinėkime strategijas sudarytas iš 1 akcijos ir 1 opciono tai pačiai akcijai. Visos tokių strategijų (nediskontuotos) išmokos užrašomos formulėmis ±S T ± (S T K) + arba ± S T ± (K S T ) +. (2.7) Pirmoji formulė atitinka strategijas su call opcionu, antroji strategijas su put opcionu. Ženklas + (2.7) formulėse reiškia ilgąją poziciją, ženklas trumpąją poziciją. Dažniausiai naudojami deriniai yra (long stock, short call), (short stock, long call), (long stock, long put) ir (short stock, short put). Panagrinėkime strategiją (long stock, long put) su išmoka S T + (K S T ) +. Tokiu atveju investuotojas vienu metu perka 1 akciją ir 1 put opcioną šiai akcijai. Strategijos pelno diagrama pateikta 3 paveiksle. Iš jos matosi, kad put opcionas apsaugo investuotoją nuo nuostolių dėl akcijos kainos kritimo. Todėl tokia strategija dar vadinama saugojančia pardavimo strategija (protective put strategy). Atkreipkime dėmesį, kad derinio (long stock, long put) pelno diagrama 3 paveiksle sutampa su long call pelno diagrama 1 paveiksle (žr. 2.6 uždavinį). Tas pats galioja ir likusiems trims aukščiau išvardintiems 1 akcijos ir 1 opciono deriniams.

10 2 skyrius. Finansų rinka pelnas long put long stock K 0 S T 3 pav. Derinio (long stock, long put) pirkėjo pelno diagrama (ištisinė laužtė). Punktyrinėmis laužtėmis pavaizduotos long stock ir long put pelno diagramos. Labai daug investavimo strategijų galima gauti kombinuojant kelis skirtingus opcionus. Dauguma tokio tipo strategijų turi pavadinimus, prasidedančius raide "s": spread, straddle, strip, strap, strangle ir t.t. Spread tipo strategijos (jų yra kelios rūšys) sudaromos iš 2 ar daugiau vieno tipo opcionų (t.y. 2 call opcionų arba 2 put opcionų). Strategija bull spread sudaroma perkant 1 call su vykdymo kaina K 1 ir parduodant 1 call su didesne vykdymo kaina K 2 > K 1 (abu opcionai sudaromi tai pačiai akcijai ir turi vienodą terminą). Bull spread išmoka yra (S T K 1 ) + (S T K 2 ) + = K 2 K 1, jei S T > K 2 > K 1 ; S T K 1, jei K 1 < S T K 2 ; 0, jei S T K 1. o jo pelno diagrama pavaizduota 4 paveiksle. Iš jos matyti, kad bull spread strategija sumažina ilgosios pozicijos (pirmojo opciono) riziką, jei ateityje kaina kristų. Rizikos sumažėjimas pasiekiamas apribojant ilgosios pozicijos kilimo potencialą, kadangi investuotojas tuo pat metu užima ir trumpąją poziciją. (2.8) Bull spread strategijai reikalingos investicinės išlaidos (kodėl?). Daugiausia kainuoja konservatyvi strategija, kai abu opcionai yra piniguose (in the money), t.y. kai akcijos pradinė kaina S 0 > K 2. Agresyviausias bull spread tipas yra, kai abu opcionai nėra piniguose (out the money). Tokiu atveju pradinė akcijos kaina S 0 < K 1, tikimybė kad antrasis opcionas bus vykdomas yra nedidelė, pats sandoris gali kainuoti nedaug, o pelnas, palankiai susiklosčius aplinkybėms, gali būti

2.7. ATEITIES IR IŠANKSTINIAI SANDORIAI. TRUMPASIS PARDAVIMAS 11 pelnas K 1 0 S T K 2 4 pav. Opcionų derinio bull spread, sudaryto iš 2 call opcionų su vykdymo kainomis K 1 ir K 2, pelno diagrama (ištisinė laužtė). didelis. 2.7 Ateities ir išankstiniai sandoriai. Trumpasis pardavimas Išankstiniu sandoriu (forward contract) vadinamas susitarimas dėl kontrakte numatyto aktyvo pardavimo arba pirkimo ateityje sutartą dieną ir už sutartą kainą. Šalis, įsipareigojusi pirkti aktyvą, užima ilgąją poziciją, o įsipareigojusi jį parduoti trumpąją poziciją. Kontrakte nurodytas aktyvas gali būti tiek materiali vertybė (commodity) (brangieji metalai, grūdai, nafta), tiek finansinis aktyvas (financial asset) (valiuta, akcijos, kiti vertybiniai popieriai). Iš esmės išankstinis sandoris yra pirkimo/pardavimo sandoris, kurio vykdymas nukeliamas į ateitį (tik tuo jis ir skiriasi nuo sandorio, vykdomo šiuo metu (spot contract)). Išankstinis sandoris skiriasi nuo opciono tuo, kad opciono galima nevykdyti, gi išankstinį sandorį vykdyti (uždaryti) privaloma. Labai populiarūs yra išankstiniai užsienio valiutos kontraktai. Daugelis bankų samdo spot traders ir forward traders. Pirmieji prekiauja užsienio valiuta, kuri pristatoma praktiškai be pavėlavimo. Antrieji sudaro kontraktus valiutos pristatymui ateityje (po 1, 3 arba 6 mėnesių). Išankstiniai valiutos sandoriai atlieka svarbią apdraudžiančiąją (hedžingo) funkciją nuo valiutų kursų rizikos. Panašią funkciją atlieka ateities ir išankstiniai sandoriai naftai. Tegul ateities kontraktas bus vykdomas momentu T ; S t aktyvo kaina momentu t T, K sutarta kaina momentu T pirkti/parduoti aktyvą. Šio sandorio išmoka lygi S T K, (2.9)

12 2 skyrius. Finansų rinka kai turima ilgoji pozicija, ir K S T, (2.10) kai turima trumpoji pozicija. Tegul f t = išankstinio sandorio vertė (kaina) momentu 0 t T. Kadangi sudarymo momentu t = 0 šalys jokių pinigų viena kitai nemoka, tai sandorio vertė sudarymo metu lygi 0: f 0 = 0. Lengva suprasti, kad tokiu atveju K dabartinė vertė turi būti lygi S 0, kitaip tariant, K = S 0 e rt. (2.11) Kaina K = F 0 = S 0 e rt vadinama kontrakto ateities kaina. Nesunku parodyti, kad jei K F 0, tai egzistuoja arbitražo galimybė. Iš tiesų, tegul K < S 0 e rt. Panagrinėkime 2 portfelius: Portfelis D : perkama 1 akcija ir tuo pat metu sudaromas išankstinis kontraktas ją parduoti už K; Portfelis E : nerizikinga investicija, lygi akcijos kainai S 0. Aišku, kad momentu t = 0 abiejų portfelių kaina vienoda (lygi S 0 ), o momentu t = T portfelio D išmoka bus lygi K, kai tuo tarpu portfelio E išmoka lygi S 0 e rt > K, nepriklausomai nuo jokių aplinkybių. Tokiu būdu, investuotojas momentu t = 0 pardavęs portfelį D ir už gautą sumą nupirkęs portfelį E, momentu T gaus garantuotą pelną S 0 e rt K > 0, t.y. atliks arbitražą. Panašiai samprotaujant, galima įsitikinti, kad arbitražas egzistuoja ir jei K > S 0 e rt. Todėl, atmetus arbitražo galimybę, turi galioti lygybė (2.11). Aukščiau sukonstruota arbitražo strategija su nuline pradine investicija paremta investuotojo galimybe parduoti jam nepriklausantį portfelį D, t.y. faktiškai pasiskolinti pinigų sumą S 0 iš banko už nerizingas palūkanas r. Investuotojui nepriklausančių aktyvų pardavimas vadinamas trumpuoju pardavimu (short selling, arba shorting). Šiame kurse tariama, kad trumpas akcijų pardavimas ir skolinimasis už nerizikingas palūkanas r yra galimas be apribojimų. Realiame gyvenime toks skolimasis, aišku, nevisada galimas, be to, paskolai gauti reikia išpildyti būtinos garantinės maržos reikalavimus. Praėjus tam tikram laikui t nuo išankstinio kontrakto sudarymo, jo kaina f t apskritai jau nebus lygi nuliui. Iš tikrųjų, momentu 0 < t < T akcijos ateities (momentu T ) kaina bus F t = S t e (T t)r, t.y. skirtinga nei ateities kaina F 0 = S 0 e rt kontrakto sudarymo momentu t = 0. Pasinaudojus arbitražo negalimumu panašiai kaip buvo daryta aukščiau, lengva patikrinti, kad išankstinio kontrakto kaina momentu t turi būti lygi f t = S t Ke (T t)r. (2.12)

2.8. KLAUSIMAI IR UŽDAVINIAI 13 Vėliau pamatysime, kad išankstinio sandorio teisingoji kaina (2.12), kaip ir daugelis kitų šiame skyriuje išvestų formulių, išplaukia iš bendros teorijos. Ateities kontraktai (futures contract) yra labai panašūs į išankstinius kontraktus, tačiau yra keli skirtumai. Abiejų tipų sandoriai yra susitarimai pirkti arba parduoti aktyvą už iš anksto sutartą kainą kažkokiu metu ateityje. Išankstinis kontraktas yra individualus dviejų pusių sandoris, sudaromas ne biržoje (over-the-counter), tuo tarpu kai ateities sandoris yra standartizuotas kontraktas, kuriuo prekiaujama biržoje, ir jame dalyvaujančios pusės dažnai viena kitos iš vis nežino. (Kontraktą išleidusi birža taip pat naudoja tam tikras priemones, kurios turi užtikrinti, kad abi kontrakte dalyvaujančios šalys laikysis prisiimtų įsipareigojimų.) Svarbus skirtumas tarp šių sandorių yra tai, kad išankstinis sandoris negali būti parduotas jam nepasibaigus ir turi būti uždaromas paskutinę dieną, kada abi pusės tarpusavyje atsiskaito už pelną arba nuostolius. Ateities kontraktas gali būti parduotas bet kokiu momentu jo terminui nepasibaigus. Faktiškai, dažniausiai taip ir įvyksta, todėl ateities sandoriai įsigyjami ne siekiant užsitikrinti aktyvo pristatymą ateityje, bet norint apsidrausti nuo kainos svyravimo parduodant ateities sandorį (jam dar nepasibaigus) tiesioginėje (spot) rinkoje. Panagrinėkime konkretų pavyzdį. Vokietijos kompanija ExportCo, ekportuotojanti į JAV, 2008 03 06 gauna žinią, kad per 4 mėnesius jai bus pervesta 30 milijonų USD už pateiktas prekes. Tą dieną USD/EUR kursas buvo 0,6554. Norėdama apsidrausti nuo USD/EUR kurso svyravimų, ExportCo pasirašo 4 mėnesių ateities kontraktą 30 mln. USD pardavimui už ateities kainą 0,6578. Jei tuo metu, kai Vokietijos kompanija gaus pervedimą iš JAV, dolerio kursas nukris iki 0,6500, kompanija parduos ateities sandorį ir tokiu būdu išvengs 30 10 6 (0, 6578 0, 6500) = 234000$ nuostolių dėl dolerio kurso kritimo. 2.8 Klausimai ir uždaviniai 2.1. Jūs galite investuoti 10000$ į K-mart akcijas 3 būdais: (1) pirkdami akcijas, (2) pirkdami opcioną put su vykdymo kaina 70 1 2 (3) pirkdami opcioną call su vykdymo kaina 69. Dabartinė K-mart akcijos kaina yra 71$, visų opcionų terminas vienodas balandžio mėnuo. Koks bus jūsų pelnas ir investicijos grąža (%) esant tokiems K-mart akcijų kurso balandžio mėnesį scenarijams: 1) 66$, 2) 68$, 3) 70$, 4) 72$, 5) 74$. Calls($) Puts($) Strike price($) Apr Apr 69,00 3,25 1,00 70,50 2,00 0,5 2.2. Identifikuokite pelno diagramas 1 ir 2 paveiksluose, atitinkančias angliškus terminus "long call, "short call", "long put", "short put".

14 2 skyrius. Finansų rinka 2.3. Įrodykite antrąją (2.5) nelygybę. [Patarimas: sudarykite 2 portfelius C ir D iš 1 opciono put, 1 akcijos ir nerizikingos investicijos už Ke rt.] 2.4. Panagrinėkite amerikietiškąjį call opcioną nemokančiai dividendų akcijai, kurio vykdymo kaina 40$, o terminas sueina po 1 mėnesio (opcionas buvo pirktas kažkada ankščiau). Dabar akcijos kaina yra 50$. Sakoma, kad toks opcionas yra giliai piniguose (deep in the money), ir jo savininkui gali kilti noras tuoj pat jį vykdyti. Tačiau tai nėra optimalus sprendimas šioje situacijoje (žr. 2.2 pastabą). Kodėl? Panagrinėkite 2 situacijas: 1) opciono savininkas vykdo opcioną ir nupirktą akciją laiko pats iki termino pabaigos; 2) opciono savininkas vykdo opcioną ir nupirktą akciją tuoj pat parduoda rinkoje, uždirbdamas 10$. 2.5. Išveskite pardavimo pirkimo pariteto lygybę europietiškiesiems opcionams tuo atveju, kai akcija moka dividendus D laikotarpiu [0, T ]. 2.6. Įrodykite, kad pelno diagramos 1 ir 3 paveiksluose sutampa, naudodamiesi nediskontuota pardavimo pirkimo pariteto lygybe (t.y. (2.6) formule su r = 0). 2.7. Straddle strategijos ilgoji pozicija reiškia 1 call pirkimą ir 1 put pirkimą vienu metu; abu opcionai turi tą pačią vykdymo kainą K ir terminą T. Užrašykite ilgojo ir trumpojo straddle išmokas ir nubrėžkite jų pelno diagramas. Paaiškinkite, kokias motyvais vadovaujasi investuotojas, pirkdamas ilgąjį straddle. 2.8. Jūs pastebėjote, kad rinkoje parduodami ateities sandoriai, kurie netenkina ateities kainos lygybės (2.11), ir norite atlikti arbitražą. Tuo tikslu, ateinante į banką ar brokerio kontorą, neturėdami pinigų. Išsamiai aprašykite savo investicinius žingsnius šioje įstaigoje. [Atsakymas: skolinamės 1 akciją iš brokerio ir ją trumpai parduodame, investuodami gautą už akciją sumą S 0 už nerizikingas palūkanas, bei pasirašome ateities kontraktą pirkti 1 akciją už kainą K. Momentu T turėsime sumą S 0 e rt banko sąskaitoje, sumokėsime K už akciją, kurią grąžinsime brokeriui, ir mums dar liks S 0 e rt K.]

3 skyrius Vieno periodo finansų rinkos modelis 3.1 Modelio aprašymas Vieno periodo modeliai nėra realistiški, bet yra paprasčiausi, ir todėl naudojami kaip įvadas į sudėtingesnius daugelio periodų ir tolydaus laiko finansų rinkos modelius. Vieno periodo modelį sudaro tokie elementai: Laiko momentai t = 0 (pradžia) ir t = 1 (pabaiga). Prekyba vyksta tik šiais dviem laiko momentais. Jokios informacijos apie tai, kas vyksta tarp šių momentu mes neturime; Baigtinė būsenų ( ekonominių scenarijų ) aibė Ω, sudaryta iš m < elementų: Ω = {ω 1,..., ω m }. Scenarijus ω Ω apibūdina visai tai, kas įvyksta tarp momentų t = 0 ir t = 1. Momentu t = 0 jis nėra žinomas ir paaiškėja tik momentu t = 1. Tai, kad scenarijų aibė laikoma baigtine, yra dar vienas objektyvios realybės supaprastinimas; Tikimybinis matas P, apibrėžtas aibėje Ω ir tenkinantis sąlygą P (ω) > 0 su kiekvienu ω Ω; Nerizikingas aktyvas A 0 ir jo kainų procesas S 0 = {S0 0, S0 1 }, kurio kainos momentais t = 0 ir t = 1 yra atitinkamai lygios S 0 0 = 1, S 0 1 = 1 + r; čia r 0 nerizikingų palūkanų norma. Paprastumo dėlei šiame kurse r tarsime esant neatsitiktine. Dažnai aktyvas A 0 sutapatinamas su pinigais ir S 0 vadinamas banko sąskaita (banko sąskaitos procesu); d 1 rizikingų aktyvų A 1,..., A d ir jų kainų procesai S i = {St i, t = 0, 1}, i = 1,..., d. Aktyvų kainos S i 0 > 0 momentu t = 0 yra investuotojui/jai žinomos ir yra neatsitiktinės (nepriklauso nuo ω). Aktyvų kainos S1 i = Si 1 (ω) 0 investicinio periodo pabaigoje yra 15

16 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis investuotojui/jai nežinomos momentu t = 0 (t.y. tuo momentu kai sudaromas investicijų portfelis) ir yra atsitiktinės (atsitiktiniai dydžiai), kurie priklauso nuo ekonominio scenarijaus ω. Apibrėšime pagrindines savokas, reikalingas tolimesniam dėstymui. 3.1 apibrėžimas Strategija arba portfeliu vadinsime bet kokį realių skaičių rinkinį H = (H 0, H 1,..., H d ). Šiame apibrėžime H i reiškia kiekį vertybinių popierių A i, įsigytų ir įtrauktų į portfelį momentu t = 0. Atkreipkime dėmesį, kad H i yra nebūtinai sveikas skaičius (galima pirkti bet kokias aktyvų dalis) ir taip pat gali būti neigiamas: H i < 0. Pastaruoju atveju, sakoma, kad sudarant portfelį, akcijos A i yra trumpai parduotos, o H i = H i yra jų kiekis, kurį investuotojas pasiskolino momentu t = 0 ir turės grąžinti momentu t = 1. 3.2 apibrėžimas Portfelio vertės procesu vadinsime procesą V (H) = {V t (H), t = 0, 1}, čia d V t (H) = H 0 St 0 + H i St i = i=1 d H i St i i=0 portfelio vertė momentu t, gaunama susumavus aktyvų vertes V i t = Hi S i t (aktyvų kiekių ir jų kainų sandaugas). Norėdami pabrėžti tą faktą, kad vertė momentu t = 1 yra atsitiktinis dydis, ją žymėsime V 1 (ω). 3.3 apibrėžimas Pelno procesu vadinsime portfelio verčių skirtumą G(H) = V 1 (H) V 0 (H). Lengva matyti, kad d d G(H) = H 0 r + H i S i = H i S i, i=1 i=0 čia S i = S i 1 Si 0 aktyvo Ai kainos pokytis. 3.4 apibrėžimas Diskontuotas kainu procesas yra S = { S t = ( S t 0, S t 1,..., S t d ), t = 0, 1}, čia S 0 i = S0 i (i = 0, 1,..., d), o S 1 i = Si 1 /S0 1 = Si 1 /(1 + r) (i = 0, 1,..., d). yra aktyvo A i diskontuota kaina momentu t = 1. Pastebėsime, kad nerizikingo aktyvo diskontuota kaina lygi 1: S0 0 = S 0 1 = 1. 3.5 apibrėžimas Diskontuotos portfelio vertės procesu vadinsime procesą Ṽ (H) = {Ṽt(H), t = 0, 1}, čia Ṽ0(H) = V 0 (H), Ṽ 1 (H) = V 1 (H)/(1 + r).

3.2. DOMINUOJANČIOS STRATEGIJOS IR TIESINIAI KAINŲ MATAI 17 3.6 apibrėžimas Diskontuotu pelno procesu vadinsime skirtumą G(H) = Ṽ1(H) Ṽ0(H). Lengva matyti, kad G(H) nepriklauso nuo H 0 (=nerizikingo aktyvo akcijų kiekio): G(H) = d H i ( S 1 i S 0) i = i=0 d H i S i (nes S 0 = S 1 0 S 0 0 = 1 1 = 0). (3.1) i=1 3.1 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 1/9, S0 1 = 5, S1(ω 1 1) = 20/3, S1(ω 1 2) = 40/9. Tada S1 0 = 1 + r = 10/9, S1 1 (ω 1) = 6, S1 1 (ω 2) = 4. Bet kokiai strategijai H = (H 0, H 1 ) turime: V 0(H) = Ṽ 0(H) = H 0 + 5H 1, V 1(H)(ω 1) = (10/9)H 0 + (20/3)H 1, Ṽ 1(H)(ω 1) = H 0 + 6H 1, V 1(H)(ω 2) = (10/9)H 0 + (40/9)H 1, Ṽ 1(H)(ω 2) = H 0 + 4H 1 ir G(H)(ω 1) = (1/9)H 0 + (5/3)H 1, G(H)(ω1) = H 1, G(H)(ω 2) = (1/9)H 0 (5/9)H 1, G(H)(ω2) = H 1. 3.2 pavyzdys Praplėskime 3.1 pavyzdį iki trijų būsenų: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3}, apibrėždami S1(ω 1 3) = 30/9, o likusius dydžius palikdami tuos pačius kaip ir 3.1 pavyzdyje. Tada S 1(ω 1 3) = 3. Skaitytojui siūloma pačiam rasti V 1(H)(ω 3), Ṽ 1(H)(ω 3), G(H)(ω 3), G(H)(ω3). Nors naujasis modelis atrodo nedidelis prieš tai buvusio pavyzdžio praplėtimas, vėliau parodysime, kad jo charakteris ir savybės iš esmės pasikeičia, lyginant su 3.1 pavyzdžiu. 3.3 pavyzdys Panagrinėkime paprastą modelį su r = 1/9 ir 2 rizikingais VP ir 3 kainų scenarijais (m = 3); kainos pateiktos lentelėje: i S0 i S1(ω i 1) S1(ω i 2) S1(ω i 3) 1 5 60/9 60/9 40/9 2 10 40/3 80/9 80/9 Diskontuotos šių VP kainos lygios i Si 0 Si 1 (ω 1) Si 1 (ω 2) Si 1 (ω 3) 1 5 6 6 4 2 10 12 8 8 Likusius dydžius siūloma rasti skaitytojui. 3.2 Dominuojančios strategijos ir tiesiniai kainų matai 3.7 apibrėžimas Sakysime, kad strategija Ĥ yra dominuojanti, jei egzistuoja kita strategija Ȟ tokia, kad V 0 (Ĥ) = V0(Ȟ) ir V1(Ĥ)(ω) > V1(Ȟ)(ω) su visais ω Ω. Kitaip tariant, abi strategijos

18 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis Ĥ ir pelną. Ȟ reikalauja vienodų investicijų, bet pirmoji strategija visais atvejais garantuoja didesnį Jei strategija H tenkina sąlygas V 0 (H) = 0 ir V 1 (H)(ω) > 0 visiems ω Ω, tai ji yra dominuojanti (dominuoja strategiją Ȟ = 0). Kita vertus, jei strategija Ĥ dominuoja strategiją Ȟ pagal 3.7 apibrėžimą, tai jų skirtumas H = Ĥ Ȟ tenkina sąlygas V 0(H) = V 0 (Ĥ) V0(Ȟ) = 0 ir V 1 (H)(ω) = V 1 (Ĥ)(ω) V1(Ȟ)(ω) > 0 su kiekvienu ω Ω (tai akivaizdžiai išplaukia iš vertės proceso tiesinės priklausomybės nuo strategijos). 3.1 teiginys (a) Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H, tenkinanti sąlygas V 0 (H) = 0 ir V 1 (H)(ω) > 0 su visais ω Ω. (b) Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H, kuriai G(H)(ω) > 0 su visais ω Ω. Įrodymas. (a) dalis buvo įrodyta aukščiau. Įrodysime (b). Jei H tenkina (a) sąlygas, akivaizdu, kad ji tenkina ir (b) sąlygą. Atvirkščiai, tegul H tenkina (b) sąlygas. Apibrėšime naują strategiją H = (H 0, H 1,..., H d ) lygybėmis: H i = H i (i = 1,..., d), H 0 = d i=1 Hi Si 0. Atitinkamos diskontuotos vertės yra Ṽ0(H ) = H 0 + d i=1 Hi Si 0 = 0, Ṽ 1 (H )(ω) = Ṽ0(H ) + G(H )(ω) = G(ω) > 0 ( ω Ω). Todėl H tenkina (a) sąlygas ir tuo pačiu dominuojanti strategija egzistuoja. Strategija H, minima 3.1(a) teiginyje, leidžianti garantuotai uždirbti nieko neinvestuojant, yra ekonomiškai nepagrįsta ir todėl negali egzistuoti realistiškame rinkos modelyje. Nenuostabu, kad iš tokios H buvimo išplaukia galimybė gauti neneigiamą pelną investavus neigiamą sumą (žr. žemiau). 3.2 teiginys Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H, tenkinanti sąlygas V 0 (H ) < 0 ir Ṽ1(H )(ω) 0 su visais ω Ω. Įrodymas. Tegul egzistuoja dominuojanti strategija. Tada egzistuoja strategija H = (H 0, H 1,..., H d ), tenkinanti 3.1 teiginio sąlygas. Tokias pat sąlygas tenkina ir diskontuotos vertės: Ṽ 0 (H) = 0 ir Ṽ1(H)(ω) > 0 su visais ω Ω. Iš čia išplaukia, kad diskontuotas pelnas G(H)(ω) = Ṽ 1 (H)(ω) Ṽ0(H) > 0 su visais ω Ω. Prisiminkime, kad G(H)(ω) priklauso tik nuo H 1,..., H d (žr. pastabą po 3.6 apibrėžimo). Apibrėžkime strategiją H = (H 0, H 1,..., H d ) lygybėmis: H i = H i (i = 1,..., d), d H 0 = H i Si 0 δ, i=1 δ = min ω G(H)(ω) > 0.

3.2. DOMINUOJANČIOS STRATEGIJOS IR TIESINIAI KAINŲ MATAI 19 Iš apibrėžimo išplaukia, kad d Ṽ 0 (H ) = H 0 + H i Si 0 = δ < 0, i=1 Ṽ 1 (H )(ω) = Ṽ0(H ) + G(H )(ω) = δ + G(H)(ω) 0 ( ω Ω), čia paskutinė nelygybė yra δ apibrėžimo pasekmė. Taigi, parodėme, kad norima strategija H iš tikro egzistuoja. Atvirkščiai, tegul egzistuoja strategija H = (H 0, H 1,..., H d ), tenkinanti 3.2 teiginio sąlygas. Tada G(H )(ω) = Ṽ1(H )(ω) Ṽ0(H ) > 0 su kiekvienu ω Ω. Apibrėžkime strategiją H = (H 0, H 1,..., H d ), čia d H 0 = H i Si 0. i=1 Lengva matyti, kad atitinkamos portfelio vertės yra d Ṽ 0 (H) = H 0 + H i Si 0 = 0, i=1 Ṽ 1 (H)(ω) = Ṽ0(H) + G(H)(ω) = G(H )(ω) > 0 ( ω Ω), t.y. H yra dominuojanti strategija, tenkinanti 3.1 teiginio sąlygas. Kaip jau buvo minėta, dominuojančios strategijos buvimas yra nenatūralus ekonominiu požiūriu. Iš tikrųjų, portfelio vertę momentu t = 0 natūralu sutapanti su jo kaina. Tada dominuojanti strategija visada egzistuoja, jei tik egzistuoja 2 portfeliai Ĥ ir Ȟ, kurių išmokos momentu t = 1 pilnai sutampa, bet nepaisant to, šių portfelių kainos skiriasi. Kad kainos būtų logiškos, užtenka pareikalauti, kad egzistuotų tiesinis kainų matas. 3.8 apibrėžimas Tiesiniu kainų matu vadinamas neneigiamas matas π 0 aibėje Ω toks, kad su kiekviena strategija H galioja lygybė: V 0 (H) = ω Ω π(ω)ṽ1(h)(ω) = 1 π(ω)v 1 (H)(ω). (3.2) 1 + r ω Ω Neneigiamas ir tapatingai nelygus nuliui matas yra ne kas kita, o bet koks vektorius π = (π(ω 1 ),..., π(ω m )) 0 su neneigiamomis koordinatėmis π(ω j ) 0 (j = 1,..., m). Aišku, kad apskritai bet koks neneigiamas vektorius nėra tiesinis kainų matas, nes jis gali išvis netenkinti (3.2) lygybės. 3.3 teiginys Matas π yra tiesinis kainų matas tada ir tik tada, kai jis yra tikimybinis matas aibėje Ω, tenkinantis lygybę S i 0 = ω Ω π(ω) S i 1(ω) = E π Si 1 (i = 0, 1,..., d); (3.3)

20 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis čia E π žymi vidurkį mato π atžvilgiu: E π X = ω Ω π(ω)x(ω). Įrodymas. Jei π yra tiesinis kainų matas, tai pasinaudojus V 1 (H) apibrėžimu (3.2) lygybę galima perrašyti taip: d H 0 + H j Sj 0 = d π(ω) H 0 + H j Sj 1 (ω). (3.4) ω Ω j=1 j=1 Ši lygybė galioja bet kokiai strategijai, kitaip tariant, bet kokiam vektoriui H = (H 0, H 1,..., H d ) R d. Paėmus vektorių H su H 0 = 1, H 1 = = H d = 0, (3.4) lygybė virsta 1 = ω Ω π(ω), kitaip tariant, π yra tikimybinis matas. Be to, (3.3) lygybė išplaukia iš (3.4), paėmus joje H j = 0 (j i), H i = 1. Atvirkščiai, tegul π yra tikimybinis matas, tenkinantis (3.3). Padauginę šią lygybę iš H i ir susumavę gautas lygybes pagal i = 0, 1,..., d, gauname (3.4) arba (3.2). Tiesinis kainų matas leidžia išreiksti kiekvienos akcijos kainą S0 i = S 0 i momentu t = 0 kaip diskontuotų kainų (išmokų) momentu t = 1 vidurkį (3.3) atžvilgiu tikimybinio mato π. Analogiškai, (3.2) formulė leidžia išreiksti bet kokio portfelio kainą V 0 (H) = Ṽ0(H) momentu t = 0 kaip diskontuotų portfelio verčių (išmokų) momentu t = 1 vidurkį atžvilgiu mato π. 3.1 teorema Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai neegzistuoja tiesinis kainų matas. Įrodymas. Jei egzistuoja π tenkinantis 3.8 apibrėžimą, tai bet kokiai strategijai H su V 1 (H)(ω) > 0 visiems ω Ω turėsime, kad jos kaina momentu t = 0 yra griežtai teigiama: V 0 (H) min Ṽ 1 (ω) π(ω) > 0, ω Ω ω Ω ir tuo pačiu neegzistuoja dominuojanti strategija. 3.1 teoremos esmė yra atvirkščias teiginys iš dominuojančios strategijos nebuvimo išplaukia tiesinio kainų mato egzistencija. Šis teiginys įrodomas sudėtingiau, pasinaudojus iškilo tiesinio programavimo dualumo teorema. Tuo tikslu klausimą apie dominuojančios strategijos egzistavimą suformuluosime kitaip. Tegul Si 0, S 1 i(ω j), i = 0, 1,..., d, j = 1,..., m yra kažkoks neneigiamų skaičių rinkinys. Ieškosime minimumo d min h i Si 0 = min h( S 0 ), (3.5) i=0 kai h = (h 0, h 1,..., h d ) R d+1 prabėga visus (d + 1) mačius vektorius, tenkinančius nelygybes d+1 h i Si 1 (ω j ) = h( S 1 (ω j )) 0 (j = 1,..., m). (3.6) i=0

3.2. DOMINUOJANČIOS STRATEGIJOS IR TIESINIAI KAINŲ MATAI 21 (3.5) ir (3.6) formulėse brūkšnelis viršuje reiškia transponuotą vektorių (vektorių-stulpelį), t.y. ( S 0 ) = S 0 0 S 1 0.. S d 0, S 1 0 (ω) ) S 1 ( S1 1 (ω) = (ω).. S 1 d(ω) o "daugyba" iš h R d+1 skaliarinę sandaugą. Tiesinė forma (skaliarinė sandauga) lygybėje (3.5) vadinama tikslo funkcija, o jos minimizavimo uždavinys (3.5) (3.6) vadinamas tiesinio programavimo uždaviniu. Pastebėsime, kad galioja dvi alternatyvos: arba 1) uždavinys (3.5) (3.6) turi sprendinį h = 0 R d+1 (ir tada tikslo funkcijos minimumas (3.5) lygus nuliui), arba 2) egzistuoja vektorius h = (h 0, h 1,..., h d ) R d+1 tenkinantis nelygybę d h i Si 0 = h ( S 0 ) < 0 (3.7) i=0 bei nelygybes (3.6) (ir tokiu atveju tikslo funkcijos minimumas neegzistuoja, nes atitinkamas infimumas lygus.) Pastebėsime, kad jei dominuojanti strategija neegzistuoja, tai teisinga 1) alternatyva. Iš tikrųjų, jei galiotų 2) alternatyva ir tuo pačiu egzistuotų vektorius h tenkinantis (3.7) bei (3.6), tai, pažymėję H i = h i (0 i d), turėtume, kad H = (H 0, H 1,..., H d ) yra strategija, tenkinanti 3.2 teiginio sąlygas (iš tiesų, tada suma (3.7) sutampa su Ṽ0(H ), o sumos (3.6) su W 1 (H )(ω j )). Tokiu būdu, aukščiau suformuluota pastaba išplaukia iš 3.2 teiginio. Iš tiesinio programavimo teorijos žinoma, kad minimizavimo uždavinys (3.5) (3.6) yra dualus kitam minimizavimo uždaviniui: rasti min m g j 0 = min g 0, (3.8) j=1 kai g = (g 1,..., g m ) R m prabėga visus m-mačius vektorius, tenkinančius nelygybes m g j Si 1 (ω j ) = S 0 i (i = 0, 1,..., d), (3.9) j=1 g j 0 (j = 1,..., m). (3.10) Nepaisant to, kad minimizuojama tikslo funkcija g 0 tapatingai lygi nuliui, (3.8) (3.10) uždavinys nėra trivialus ir suvedamas į bent vieno vektoriaus g, tenkinančio (3.9) (3.10) sąlygas, radimą. Tiesinio programavimo uždavinio dualumo teorema teigia, kad tiesioginis uždavinys (3.8) (3.10) ir dualus uždavinys (3.5) (3.6) yra arba abu išsprendžiami, arba abu neišsprendžiami (neturi sprendinio). Aukščiau mes parodėme, kad jei neegzistuoja dominuojanti strategija, tai (3.5) (3.6) uždavinys turi sprendinį h = 0. Todėl tiesioginis uždavinys irgi turi sprendinį, t.y. egzistuoja vektorius g tenkinantis (3.9) (3.10). Pažymėjus π(ω j ) = g j (j = 1,..., m), belieka pastebėti, kad vektorius

22 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis π = (π(ω 1 ),..., π(ω m )) tenkina (3.3) ir tuo pačiu yra tiesinis kainų matas. Teorema 3.1 įrodyta. Apibendrinant aukščiau išsakytus samprotavimus, galima teigti, kad finansų rinkos modeliai, kuriuose egzistuoja dominuojanti strategija, yra nelogiški (nepagrįsti). Modeliai, kuriuose dominuojanti strategija neegzistuoja, yra pagrįsti ta prasme, kad juose portfelių kainas galima logiškai apibrėžti tiesiniu kainų matu. Todėl šiame kurse pagrindinis dėmesys skiriamas pastariesiems modeliams. Prieš juos nagrinėdami, trumpai aptarsime dar blogesnės rinkos galimybę. 3.9 apibrėžimas Sakysime, kad galioja vienos kainos dėsnis, jei neegzistuoja dviejų strategijų Ĥ ir Ȟ tokių, kad V1(Ĥ)(ω) = V1(Ȟ)(ω) su visais ω Ω, ir V0(Ĥ) < V0(Ȟ). 3.4 teiginys Jei dominuojanti strategija neegzistuoja, tai galioja vienos kainos dėsnis. Įrodymas. Užtenka parodyti, kad dominuojanti strategija egzistuoja, jei vienos kainos dėsnis negalioja. Paskutinė prielaida reiškia, kad egzistuoja dvi strategijos Ĥ ir Ȟ tenkinančios 3.9 apibrėžimą. Akivaizdu, kad G(Ĥ)(ω) > G(Ȟ)(ω) su visais ω Ω. Apibrėžkime naują strategiją H = (H 0, H 1,..., H d ), čia H i = Ĥi Ȟi (i = 1,..., d), H 0 = d H i S0. i Iš šio apibrėžimo seka, kad V 0 (H) = H 0 + d i=1 Hi S0 i = 0 ir V 1 (H)(ω) = V 0 (H) + G(H)(ω) = G(Ĥ)(ω) G(Ȟ)(ω) > 0 ( ω Ω). Kitaip tariant, H yra dominuojanti strategija (žr. 3.1 teiginį). Ką tik įsitikinome, kad jei vienos kainos dėsnis negalioja, tai egzistuoja dominuojanti strategija. Atvirkščias teiginys apskritai neteisingas (žr. 3.4 pavyzdį žemiau), t.y. dominuojanti strategija gali egzistuoti ir kai vienos kainos dėsnis galioja. Tai reiškia, kad vienos kainos dėsnio nebuvimas yra blogiau nei dominuojančios strategijos egzistavimas. i=1 3.4 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 1, S0 1 = 10, S1(ω 1 1) = 12, S1(ω 1 2) = 8. Tada bet kokiai strategijai H = (H 0, H 1 ) turėsime V 0(H) = H 0 + 10H 1, Ṽ 1(H)(ω 1) = H 0 + 6H 1, Ṽ 1(H)(ω 2) = H 0 + 4H 1. Kadangi iš dviejų paskutinių lygčių H 0 ir H 1 išreiškiamos vieninteliu būdu per V 1(H)(ω 1), V 1(H)(ω 2), tai vienos kainos dėsnis galioja. Kita vertus, strategija H = (H 0, H 1 ) = (10, 1) tenkina V 0(H) = 0, Ṽ 1(H)(ω 1) = 4, Ṽ 1(ω 2) = 6 ir yra dominuojanti. 3.3 Arbitražo strategijos ir rizikai neutralūs matai Kaip jau ne kartą buvo minėta, matematiniame rinkos modelyje neturi būti dominuojančių strategijų, visais atvejais garantuojančių pelną su nulinėmis investicijomis. Silpnesnė už dominuojančios

3.3. ARBITRAŽO STRATEGIJOS IR RIZIKAI NEUTRALŪS MATAI 23 strategijos egzistavimo sąlygą yra arbitražinės galimybės sąlyga. Ši sąlyga reiškia, kad investuotojas, pradėjęs nuo nulinės investicijos, momentu t = 1 yra garantuotas, kad neturės nuostolių ir su teigiama tikimybe gaus pelno. 3.10 apibrėžimas Strategija H vadinama arbitražo strategija (arba arbitražo galimybe), jei patenkintos trys žemiau išvardintos sąlygos: (a) V 0 (H) = 0; (b) V 1 (H)(ω) 0 visiems ω Ω; (c) P (V 1 (H) > 0) > 0. Kadangi scenarijų aibė Ω šiame kurse yra baigtinė ir kiekvieno scenarijaus tikimybė teigiama, 3.10 apibrėžimo sąlyga (c) yra ekvivalentiška teiginiui, kad egzistuoja bent vienas ω Ω toks, kad V 1 (H)(ω) > 0, kitaip tariant, kad portfelio vertė momentu t = 1 nėra tapatingai lygi nuliui: V 1 (H) 0. Aišku, kad dominuojančios strategijos egzistavimas implikuoja arbitražo galimybę. Žemiau pateiktas pavyzdys rodo, kad atvirkščia implikacija neteisinga. 3.5 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 0, S 1 0 = 10, S 1 1(ω 1) = 12, S 1 1(ω 2) = 10. Tada bet kokiai strategijai H = (H 0, H 1 ) turesime V 0(H) = H 0 + 10H 1, V 1(H)(ω 1) = H 0 + 12H 1, V 1(H)(ω 2) = H 0 + 10H 1. Akivaizdu, kad H = (H 0, H 1 ) = ( 10, 1) yra arbitražo strategija. V 0(H) = V 1(H)(ω 2), tai dominuojanti strategija neegzistuoja. Kita vertus, kadangi Visai panašiai kaip 3.1(b) teiginys, įrodomas toks teiginys: 3.5 teiginys Arbitražo strategija egzistuoja tada ir tik tada, kei egzistuoja strategija H, kuriai galioja G(H)(ω) 0 ( ω Ω) ir G(H) 0. Ekonominiu požiūriu prasmingi yra tik tokie rinkos modeliai, kuriuose arbitražas yra neįmanomas. Deja, tiesiogiai iš apibrėžimo patikrinti ar konkrečiame rinkos modelyje arbitražo galimybė egzistuoja nėra lengva, kai rizikingų aktyvų skaičius d > 1. Pasirodo, kad bearbitražes rinkas galima charakterizuoti tam tikro rizikai neutralaus mato terminais, panašiai kaip buvo aukščiau charakterizuotos rinkos be dominuojančių strategijų. 3.11 apibrėžimas Rizikai neutraliu matu vadinsime bet kokį tikimybinį matą P aibėje Ω, tenkinantį žemiau išvardintas (a) ir (b) sąlygas: (a) E S i = 0 (i = 1,..., d); (b) P (ω) > 0 ( ω Ω).

24 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis Čia ir žemiau E X = E P X = ω Ω X(ω)P (ω) žymime atsitiktinio dydžio X vidurkį mato P atžvilgiu. Pastebėsime, kad (a) sąlyga (kuri teisinga ir kai i = 0) sutampa su tiesinio kainų mato (3.3) sąlyga matui π = P : S 0 i = P (ω) S 1 i (ω) = E Si 1 (i = 0, 1,..., d). (3.11) ω Ω Todėl rizikai neutralus matas yra atskiras tiesinio mato atvejis. Vienintelis skirtumas tarp šių matų glūdi (b) sąlygoje, kurios tiesinis kainų matas apskritai netenkina. Žemiau suformuluota teorema yra svarbiausias šio skyriaus rezultatas. 3.2 teorema Arbitražo strategija neegzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja rizikai neutralus matas P. Prieš įrodinėjant šią teoremą, pravartu panagrinėti konkrečius pavyzdžius. 3.6 pavyzdys (3.1 pavyzdžio tęsinys) Lygčių sistema (3.11) suvedama į vieną lygtį: 5 = 6P (ω 1) + 4P (ω 2). Be to, kadangi P yra tikimybinis matas, turi galioti P (ω 1) + P (ω 2) = 1. Lengva matyti, kad P (ω 1) = P (ω 2) = 1/2 > 0 tenkina abi lygtis ir yra rizikai neutralus matas. Iš 3.2 teoremos seka, kad 3.1 pavyzdyje arbitražo galimybė neegzistuoja. 3.7 pavyzdys (3.2 pavyzdžio tęsinys) Panašiai kaip prieš tai pavyzdyje, iš (3.11) gauname lygčių sistemą: 5 = 6P (ω 1) + 4P (ω 2) + 3P (ω 3), 1 = P (ω 1) + P (ω 2) + P (ω 3), sudarytą iš 2 lygčių su 3 nežinomaisiais. Išreiškę du paskutinius nežinomuosius per pirmąjį, gauname P (ω 2) = 2 3P (ω 1), P (ω 3) = 1 + 2P (ω 1). Lengva matyti, kad rastas sprendinys yra griežtai teigiamas tikimybinis matas tada ir tik tada, jei 1/2 < P (ω 1) < 2/3. Kitaip tariant, visi galimi rizikai neutralūs matai šiame modelyje turi pavidalą P = (λ, 2 3λ, 1 + 2λ), čia λ bet koks skaičius iš intervalo (1/2, 2/3). Gavome, kad šiame pavyzdyje egzistuoja be galo daug rizikai neutralių matų ir neegzistuoja arbitražo galimybė. 3.8 pavyzdys (3.3 pavyzdžio tęsinys) Norint rasti matą P, reikia išpręsti lygčių sistemą: 5 = 6P (ω 1) + 6P (ω 2) + 4P (ω 3), 10 = 12P (ω 1) + 8P (ω 2) + 8P (ω 3), 1 = P (ω 1) + P (ω 2) + P (ω 3).

3.3. ARBITRAŽO STRATEGIJOS IR RIZIKAI NEUTRALŪS MATAI 25 Ši sistema turi vienintelį sprendinį P (ω 1) = P (ω 3) = 1/2, P (ω 2) = 0. Rastas sprendinys yra tiesinis kainų matas, bet netenkina rizikai neutralaus mato apibrėžimo. Kadangi daugiau sprendinių ši sistema neturi, tai 3.3 pavyzdyje egzistuoja arbitražo galimybė (norint ją surasti, reikia įdėti šiek tiek pastangų). 3.6 3.8 pavyzdžiai iliustruoja tris atsirandančias galimybes: (1) egzistuoja vienintelis rizikai neutralus matas, (2) egzistuoja be galo daug rizikai neutralių matų, ir (3) neegzistuoja rizikai neutralaus mato. Verta atkreipti dėmesį į skirtumus tarp atvejų d = 1 ir d > 1. Atveju d = 1 rizikai neutralaus mato egzistavimą lengva patikrinti vien tik pažiūrėjus į kainų pokyčio S 1 (ω) ženklą. Kai d > 1, situacija keičiasi iš esmės. Grįžtant prie 3.3 ir 3.8 pavyzdžių, lengva patikrinti, kad atskirai paimtiems rizikingiems VP egzistuoja teigiami matai P1 ir P2 su E P S1 1 1 = 5 = S 0 1, E P S 2 1 2 = 10 = S 0 2. Kitaip tariant, sukurti arbitražinio portfelio panaudojus tik 2 aktyvus (A0 ir A 1, arba A 0 ir A 2 ) neįmanoma. Kita vertus, arbitražinis portfelis, sudarytas iš visų 3 aktyvų, egzistuoja. Tai rodo, kad rizikingi aktyvai gali tarpusavyje sąveikauti, sudarydami arbitražines strategijas. 3.2 teoremos įrodymas. Teoremos sąlygų pakankamumas (tai, kad iš rizikai neutralaus mato egzistavimo išplaukia arbitražo negalimumas) įrodomas paprastai (žr. žemiau). Tarkime, priešingai, kad egzistuoja arbitražo strategija H. Parodysime, kad ši prielaida veda į prieštarą. Iš tikrųjų, jei H yra arbitražo strategija, tai G(H)(ω) 0 ( ω Ω) ir G(H)(ω) > 0 ( ω Ω) (žr. 3.5 teiginį). Todėl kiekvienam teigiamam matui P, E G(H) = ω Ω G(ω)P (ω) > 0. Kita vertus, pasinaudoję rizikai neutralaus mato apibrėžimu ir G(H) išraiška (žr. (3.1)), turime E G(H) = d H i E S i = 0. (3.12) i=1 Teoremos sąlygų būtinumo įrodymas sudėtingesnis ir remiasi žemiau suformuluota hiperplokštumų atskyrimo teorema, kurios įrodymas nukeltas į skyriaus pabaigą (žr. 5 paveikslą, iliustruojantį 3.3 teoremą). 3.3 teorema (Hiperplokštumų atskyrimo teorema) Tarkime, B R m yra iškila, uždara ir aprėžta aibė, L yra tiesinis R m poerdvis (hiperplokštuma), aibės B ir L tarpusavyje nesikerta: B L =. Tada egzistuoja toks tiesinis funkcionalas λ : R m R, kad (a) su visais x B λ(x) > 0 ir (b) su visais x L λ(x) = 0.