Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = β) ψ = -2χ 2 + 1 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 : ψ =..=.. = o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. = o Για χ = 4 3 : ψ =..=.. = 2. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2(χ 1) + 3χ α) Να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης για χ = 0 και για χ = 1. β) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι 8. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για την οποία η τιμή της συνάρτησης είναι -12. 3. Δίνεται η ισότητα ψ 2 = χ 2-4 α) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 2 και για χ = -2 β) Να υπολογίσετε τις τιμές του ψ για χ = 0. γ) Αυτή η ισότητα εκφράζει, ως προς ψ, μια συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Να γράψετε τις συναρτήσεις τις οποίες περιγράφουν οι παρακάτω προτάσεις: 1. Το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. 2. Ο όγκος V ενός κύβου σε συνάρτηση με την ακμή του χ. 3. Η περίμετρος Π ενός ορθογωνίου με μήκος 3 μονάδες και πλάτος χ σε συνάρτηση με το πλάτος του. 4. Την ταχύτητα ψ ενός αυτοκινήτου το οποίο σε χρόνο χ έκανε διάστημα 10 km σε συνάρτηση με το χρόνο. 5. Το κόστος ψ σε ευρώ χ μονάδων ενός προϊόντος αν η μια μονάδα έχει κόστος 5 ευρώ σε συνάρτηση με τις μονάδες. 1
5. 6. 6. Το υπόλοιπο ψ του όγκου του πετρελαίου, που μένει σε μια δεξαμενή, αν αρχικά υπήρχαν 1000 λίτρα, τα οποία καταναλώνονται με ρυθμό 20 λίτρα την ημέρα, σε συνάρτηση με τις ημέρες χ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β για την οποία γνωρίζουμε ότι για χ = 0, ψ = 4 και για χ = 1, ψ = -2. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = χ 2 με χ>0, μπορεί να εκφράζει το εμβαδό ψ ενός τετραγώνου αν χ η πλευρά του. Η σχέση ψ 2 = χ, με χ>0, δεν είναι συνάρτηση γιατί σε μια τιμή του χ μπορούμε να βρούμε δύο τιμές για το ψ. Στη συνάρτηση ψ = x, το χ μπορεί να πάρει τιμή οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Στη συνάρτηση ψ = x 2, το χ και το ψ δεν μπορούν να πάρουν την τιμή 0. Στη συνάρτηση ψ = χ 2 χ το ψ γίνεται ίσο με το 0 για δύο τιμές του χ. 7. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες τιμών. x α) Για την συνάρτηση: ψ = 3 +1 χ 0 1 2 ψ 28 β) Για την συνάρτηση: ψ = χ 2-4 χ 0 1 2-2 ψ γ) Για την συνάρτηση: ψ = -6χ+12 χ 0 1 ψ 0-6 6 γ) Για την συνάρτηση: ψ = x χ 1 2-3 ψ 2 2
1. 5.2 Γραφική παράσταση της συνάρτησης. A B Γ χ 1 Δ O 1 χ Ε Ζ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποιο σημείο η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. β)σε ποιο σημείο με αρνητική τετμημένη η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης. χ -5-9 5 9 ψ 3
2. Ε B Ζ Α χ 1 Η O 1 Δ χ Ι Λ Μ Στο παραπάνω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων βλέπετε την γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων.συμβολίζουμε με ψ = φ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την μπλε γραμμή και με ψ = κ(χ) την συνάρτηση που παριστάνεται με την κόκκινη γραμμή. Α. Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α)σε ποια σημεία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνουν τον άξονα ψ ψ; Να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων. β) Για ποια χ τα σημεία (χ, ψ) της ψ = κ(χ) βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ ; γ)σε ποιο σημείο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται; Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου. δ) Ποια είναι η μικρότερη και ποια η μεγαλύτερη τιμή των συναρτήσεων και για ποια χ οι συναρτήσεις παίρνουν τις τιμές αυτές; Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων ( μόνο τα λευκά κελιά). χ -4-9 -6 0 6 2 ψ = φ(χ) ψ = κ(χ) 4
3. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 2χ, ψ = 2χ +6 α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των δύο συναρτήσεων. χ -2-1 0 1 2-0,5 0,5 1,5 ψ = 2χ ψ = 2χ +6 β) Να συγκρίνεται τις τιμές των δύο συναρτήσεων. γ) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. Κατόπιν να ενώσετε τα σημεία που αντιστοιχούν στην κάθε συνάρτηση. Τι παρατηρείτε; 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών 10 10, ψ =. x x χ -10-5 -2-1 1 2 5 10 ψ = 10 x 10 ψ = x β) Να κατασκευάσετε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και να τοποθετήσετε τα σημεία των (χ, ψ) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα. γ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της πρώτης συνάρτησης; δ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκονται τα σημεία της δεύτερης συνάρτησης; ε) Μπορούν να ενωθούν τα σημεία της κάθε συνάρτησης με μια ευθεία; 5. Δίνεται η συνάρτηση ψ = 2χ + β. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο του ψ ψ (0, 4). α) Να υπολογίσετε την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο του χ χ απ όπου διέρχεται η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. 5
5.3 Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = αχ. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = 3χ είναι. που διέρχεται από.. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών. Αν τριπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο, (ψ προς χ), 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η. 2. 3. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. Η συνάρτηση ψ = -5χ εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών με σταθερό λόγο 5. Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός αυξάνονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = χ 2 μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά ανάλογα. Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 5 Β.: 8 Γ.: 10 Δ.: 16 Ε.:20 α.: 30 β.:15 γ.:48 δ.:24 ε.:60 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό λόγο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 668. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ = 2001. 6
4. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 Km/h. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Σε χρόνο 2 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km. Σε χρόνο 1,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 3 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 4 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο 0,5 h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km Σε χρόνο t h το αυτοκίνητο θα κάνει διάστημα s = Km β) Το διάστημα s που κάνει το αυτοκίνητο σε χρόνο t και ο χρόνος t, είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός τους λόγος; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης του s ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια ημιευθεία η οποία έχει αρχή την αρχή των αξόνων. δ) Ποια είναι η κλίση της ημιευθείας του γ) ερωτήματος ως προς τον χ χ; Πότε αυτή η κλίση θα ήταν μεγαλύτερη και πότε μικρότερη; 5. Δίνεται ένα τετράγωνο πλευράς χ. Έστω Ε το εμβαδόν και Π η περίμετρος του τετραγώνου. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Πλευρά χ 1 2 3 4 5 Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι η πλευρά χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; Ποια είναι η συνάρτηση αυτής της ευθείας; 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με σταθερό πλάτος 6 cm και μεταβλητό μήκος χ Έστω Ε το εμβαδόν του και Π η περίμετρος του. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών. Μήκος χ 1,5 2,5 3 3,5 4 Εμβαδόν Ε Περίμετρος Π β) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και το εμβαδόν Ε είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; γ) Είναι σωστό ή λάθος ότι το μήκος χ και η περίμετρος Π είναι ποσά ανάλογα; Αν είναι σωστό ποιος είναι ο σταθερός λόγος των αντίστοιχων τιμών τους; δ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία (χ, Ε) και (χ, Π) του πίνακα τιμών του α) ερωτήματος. Τα σημεία (χ, Ε) ή τα (χ, Π) βρίσκονται στην ίδια ευθεία; 7
7. 8. 9. 10. Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά χ. Έστω υ το ύψος του τριγώνου. α) Με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος να εκφράσετε το ύψος του τριγώνου σε συνάρτηση με την πλευρά του χ. β) Το υ και το χ είναι ποσά ανάλογα; Ποιος είναι ο σταθερός λόγος των τιμών τους; γ) Ποιες είναι οι αντίστοιχες τιμές για το υ αν το χ πάρει τις τιμές 3, 2 3, 2, 4. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντα από το σημείο: Α.: (1, 1 ) Β.: (0, 0) Γ.: (α, 1) Δ.: (0, α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=2 Γ.: α = -1 Δ.: α=0,5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2) τότε: Α.: α = 1 Β.: α=-2 Γ.: α = 0 Δ.: α=2 Αν α = 3 τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: Α.: (1, 3 ) Β.: (0, 3) Γ.: (α, 3) Δ.: (3, α) Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ.η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(1, 1). α) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της. β) Να υπολογίσετε την τιμή του α. γ) Να πάρετε το σημείο Β(1, 0) και να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας ΑΟΒ. Τι αποτελεί αυτή η ευθεία για το 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο των αξόνων; 1 1 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες ψ = χ, ψ = χ, ψ = χ, ψ = 2χ 3 2 ψ = 3χ. Τι συμβαίνει με την κλίση της ευθείας ψ=αχ καθώς το α αυξάνεται; Α. μειώνεται Β. παραμένει σταθερή. Γ. αυξάνεται. Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 8
5.4 Ποσά ανάλογα - Εφαρμογές. 1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε τον σταθερό της απόστασης δύο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την. αυτών των σημείων. Όταν η κλίμακα είναι του 1 τότε έχουμε μεγέθυνση ενώ όταν είναι 2. 3. 4. 5. του 1 έχουμε σμίκρυνση. χ ψ ω Αν = = = λ τότε χ =., ψ =., ω = α β γ χ ψ ω...... = = = α β γ...... Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: x 5 α) 3 = 8 9 7 x 1 5 x 5 9, β) =, γ) =, δ) =, ε) = 2 x 4 3 2 6 x 5 2 2x + 1 5x 2 ζ) =, η) x 5 = ψ = 3 2 3 2 6, στ) 1 2 = 3x + 6 3 Να υπολογίσετε τις πλευρές χ, ψ, ω ενός τριγώνου με περίμετρο 24 cm αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογες των αριθμών 5, 4, 3 αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Να κατασκευάσετε μια γωνία ΧΟΨ = ω τέτοια ώστε εφω = 2. Στη μία πλευρά της γωνίας ΟΧ να πάρετε διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΟΑ=1 cm, ΟΒ = 2 cm, ΟΓ = 3cm και ΟΔ = 4 cm. Από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να φέρεται καθέτους προς την ΟΧ οι οποίες τέμνουν την ΟΨ στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα. Να δικαιολογήσετε ότι τα τμήματα ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ, ΔΝ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΟΑ, ΑΒ, ΟΓ, ΟΔ και να υπολογίσετε τα μήκη τους. Ένα αυτοκίνητο κινείται με 100 Km/h. Η περίμετρος της ρόδας του είναι 200 cm. α) Πόσα Km κάνει το αυτοκίνητο σε μία στροφή της ρόδας του; β) Πόσες στροφές κάνει η ρόδα του αυτοκινήτου σε 1 min; 9
ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1. Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Στα ανάλογα ποσά οι τιμές του ενός με τις αντίστοιχες του άλλου έχουν σταθερό.. Τα ζευγάρια των αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών αν παρασταθούν με σημεία ενός επιπέδου τότε θα σχηματιστεί.. Αν (α,β) ένα ζευγάρι τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε και τα ζευγάρια (2α,..), (3α,..), (4α,..) αποτελούν ζευγάρια τιμών των ίδιων ποσών. Κλίμακα ενός σχεδίου ή ενός χάρτη ονομάζουμε το.. Σ ένα σχέδιο ή σε ένα χάρτη που σχεδιάζουμε με κλίμακα κ ο λόγος της απόστασης δυο σημείων στο σχέδιο ή στο χάρτη προς την πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι πάντα ίσος με. x ψ ω Αν χ+ψ+ω=6 και α+β+γ=3 τότε = = =..... a β γ 2. Αν το ζευγάρι (10,20) παριστάνει ένα ζευγάρι αντίστοιχων τιμών δυο ανάλογων ποσών τότε: α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω ζευγάρια ώστε να αποτελούν ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (5,..), (,40), (,30), (40,..) β) Να τοποθετήσετε τα παραπάνω ζευγάρια με σημεία κατάλληλου ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων και να τα ενώσετε. γ) Εξετάστε αν τα παρακάτω ζευγάρια είναι ζευγάρια αντίστοιχων τιμών αυτών των ποσών: (1, 2), (8, 4), (α, 2α), (0.5α, α) 3. Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση S σε χρόνο t με ταχύτητα 80km/h. α) Εξετάστε αν τα ποσά απόσταση S χρόνος t είναι ανάλογα. β) Από τα δεδομένα του προβλήματος ποιο ζευγάρι τιμών για τα ποσά S και t σας δίνεται; γ) Με ποιον αριθμό θα είναι ίσος ο λόγος t S ; 3 3 δ) Να βρείτε το S αν γνωρίζετε ότι t=2h, t= h, t= h. 2 4 ε) Να βρείτε το t αν γνωρίζετε ότι S=200km, S=300km, S=100km. 4. Ένα τετράγωνο έχει πλευρά α, περίμετρο Π και εμβαδό Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής. ΠΛΕΥΡΑ α ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Π ΕΜΒΑΔΟ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά α και Π είναι ανάλογα Τα ποσά α και Ε είναι ανάλογα γ) Με τι ισούται ο λόγος α Π ; Είναι σταθερός; 10
Με τι ισούται ο λόγος α Ε ; Είναι σταθερός; 5. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει σταθερή βάση τετράγωνο πλευράς 3cm, ύψος h, όγκο V και παράπλευρη επιφάνεια Ε. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τιμές δικής σας επιλογής: ΥΨΟΣ h ΟΓΚΟΣ V ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ε β) Σημειώστε Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος. Τα ποσά h και V είναι ανάλογα. Τα ποσά h και Ε είναι ανάλογα. γ) Με τι ισούται ο λόγος h V ; Είναι σταθερός; Με τι ισούται ο λόγος h Ε ; Είναι σταθερός; 6. Ένα πλοίο ξεκινάει από ένα νησί Α με προορισμό ένα νησί Β και με ταχύτητα 25 ναυτικά μίλια την ώρα. Ο καπετάνιος του πλοίου μετρώντας την απόσταση των νησιών σε έναν ναυτικό χάρτη 1 κλίμακας διαπιστώνει ότι η απόσταση τους είναι 4,63cm. Να υπολογίσετε σε πόσο 1000000 χρόνο το πλοίο θα φτάσει στο νησί Β; (Σημ.: 1 ναυτικό μίλι = 1,852km.) 7. Ένα σχέδιο σμικρύνεται 3 φορές ώστε κάθε φορά να γίνεται το μισό της προηγούμενης. Έστω x η απόσταση δύο σημείων στο αρχικό σχέδιο, και α, β, γ οι αποστάσεις των δύο αυτών σημείων μετά τις τρεις διαδοχικές σμικρύνσεις. a β γ α) Υπολογίστε τους λόγους:,, x α β β) Το γινόμενο των λόγων Α: 1 2 Β: Ποια είναι αυτά; 1 8 γ) Ποια είναι η κλίμακα του τελικού σχεδίου; a x, β γ, είναι ίσο με δυο από τα παρακάτω κλάσματα: α β Γ: γ χ 11 Δ: 1 4 Ε: 8 1
δ) Πόσο είναι η μείωση της απόστασης των δύο σημείων και πόσο % μειώθηκε η απόσταση σε σχέση με την αρχική; 8. α) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 20% και γίνεται ίσο με ψ. Να εξετάσετε αν τα ποσά x και ψ είναι ανάλογα και να υπολογίσετε το λόγο των αντίστοιχων τιμών τους. β) Ένα μέγεθος x αυξάνεται κατά 40% και γίνεται ίσο με α. Κατόπιν το α αυξάνεται κατά 50% και γίνεται ίσο με β. a β Να υπολογίσετε τους λόγους και x α Να υπολογίσετε το λόγο χ β Πόσο % αυξήθηκε το μέγεθος x; 9. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας στα κελιά της δεύτερης στήλης του Σ αν έχουμε σμίκρυνση και Μ αν έχουμε μεγέθυνση και στα κελιά της τρίτης στήλης πόσες φορές έχει σμικρυνθεί ή έχει μεγεθυνθεί το σχέδιο. ΚΛΙΜΑΚΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 1 10 3:1 5:10 3:9 ΣΜΙΚΡΥΝΣΗ Ή ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΠΟΣΟ ΣΜΙΚΡΥΝ. Ή ΜΕΓΕΘΥΝ 10. Τα παρακάτω σχέδια έχουν σχεδιαστεί με κλίμακα 10 1. Να υπολογίσετε τις πραγματικές τους επιφάνειες, μετρώντας με Τετράγωνο Ορθ. Ισοσκελές τρίγωνο το υποδεκάμετρο τις διαστάσεις τους. Ορθογώνιο χ ψ ω... 11. α) Να συμπληρώσετε την αναλογία: = = = α β γ... β) Το άθροισμα τριών αριθμών χ, ψ, ω είναι 60. Οι αριθμοί χ, ψ, ω είναι ανάλογοι των αριθμών 1, 2, 3. Να υπολογίσετε τους τρεις αριθμούς χ, ψ, ω. 12. Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι η περίμετρος του είναι ίση με 30cm και οι πλευρές του είναι ανάλογες των αριθμών 2 και 3. x ψ 13. Αν για τους αριθμούς χ, ψ ισχύουν: 3x+2ψ=42 και = = λ τότε: 5 3 α) Υπολογίστε τον αριθμό λ. β) Υπολογίστε τους αριθμούς χ, ψ. 12
14. Αν οι αριθμοί α, β είναι ανάλογοι των αριθμών 3, 5 τότε: α) Γράψτε την ισότητα των λόγων που προκύπτει β) Αν ο κάθε λόγος του α ερωτήματος είναι λ να εκφράσετε σε σχέση με το λ τους αριθμούς α και β. 2a + 3β 6α 2β γ) Υπολογίστε τους λόγους:, 5α + 6β 3α + β 15. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει περίμετρο 28cm. Έστω αcm είναι το μήκος καθεμιάς από τις ίσες πλευρές του και βcm το μήκος της βάσης. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογοι προς τους αριθμούς 5 και 4 αντίστοιχα. 16. α) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:5. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων; β) Ένας χάρτης έχει κλίμακα 1:500 000. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 5 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι χ cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων σε Km; γ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:50. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι χ cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 600 cm, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η αυτών των σημείων στο σχέδιο; δ) Ένα σχέδιο έχει κλίμακα 1:χ. Αν η απόσταση δύο σημείων του είναι 2 cm και η πραγματική απόσταση αυτών των σημείων είναι 5 m, να γράψετε και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου; 13
1. 2. 3. 5.5 Η γραμμική συνάρτηση ψ = αχ +β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι τιμές της γραμμικής συνάρτησης ψ = αχ +β προκύπτουν από τις τιμές της συνάρτησης ψ = αχ προσθέτοντας τον αριθμό. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία που παριστάνει γραφικά η συνάρτηση.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = αχ +β είναι μια ευθεία η οποία τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (.,.). Δίνονται οι συναρτήσεις: ψ = χ, ψ = χ+2, ψ = χ-2. α) Να συμπληρώστε τους παρακάτω πίνακες τιμών: Τιμές του χ 0 1-1 2-2 Τιμές της ψ = χ Τιμές της ψ = χ+2 Τιμές της ψ = χ-2 β) Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων στο οποίο να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα και να σχεδιάσετε τις τρεις ευθείες που παριστάνουν γραφικά οι παραπάνω συναρτήσεις. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον ψ ψ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 ΣΗΜΕΙΟ Α. (0, -5) Β. (0, -9) Γ.(0, 3) Δ. (0, 1) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ 4. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 σημεία στα οποία οι ευθείες που παριστάνουν αυτές οι συναρτήσεις τέμνουν τον χ χ: Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με ένα μόνο σημείο της δεύτερης στήλης, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. ψ = 3χ-6 2. ψ = -3χ+9 3. ψ = 4χ 4 4. ψ = 5χ +5 ΣΗΜΕΙΟ Α. (3, 0) Β. (2, 0) Γ.(1, 0) Δ. (-1, 0) 14
5. 6. 7. 8. 9. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1. 2. 3. 4. ΣΗΜΕΙΟ Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται 4 συναρτήσεις. Στην δεύτερη στήλη του δίνονται 4 διαφορετικές συναρτήσεις. Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης με κάθε συνάρτηση της δεύτερης στήλης, ώστε οι ευθείες που παριστάνουν να είναι παράλληλες, συμπληρώνοντας τον δεύτερο πίνακα. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η 1. ψ = 3χ-5 2. ψ = -9χ+3 3. ψ = 4χ 9 4. ψ = 5χ +1 Α. ψ = 4χ + 1 Β. ψ = 5χ + 3 Γ. ψ = -9χ-5 Δ. ψ = 3χ -9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 η 1. 2. 3. 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 η Δίνεται η συνάρτηση ψ = -2χ + 6. α) Έστω Α και Β τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τους άξονες χ χ και ψ ψ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων. β) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = 2χ και τέμνει τον ψ ψ στο σημείο (0, 4) α) Να υπολογίσετε την τιμή του α και την τιμή του β. β) Να βρείτε το σημείο στο οποίο η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα χ χ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = 3χ+1 και ψ = -2χ + 6. α) Σε ποιο από τα παρακάτω σημεία τέμνονται οι ευθείες που παριστάνουν γραφικά αυτές οι συναρτήσεις; Α. (0, 1) Β. (0, 3) Γ. (1, 2) Δ. (1, 4) (Επιλέξτε την σωστή απάντηση) β) Να σχεδιάσετε τις παραπάνω ευθείες τοποθετώντας στους άξονες το σημείο τομής τους και τα σημεία στα οποία αυτές τέμνουν τον ψ ψ. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = χ 4 και ψ = -χ + 2 οι οποίες τέμνονται στο σημείο (α, β). α) Να γράψετε τις δύο ισότητες που επαληθεύουν τα α και β. β) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. Ποιο είναι το σημείο τομής τους; 10. Κάποιος με το αυτοκίνητό του κάνει καθημερινά μια διαδρομή πηγαίνοντας από μια πόλη Α σε μια πόλη Β και αντιστρόφως, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους 30 Km. Την Δευτέρα ξεκίνησε από την πόλη Α στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Β στις 12:30. Την Τρίτη ξεκίνησε από την πόλη Β στις 12:00 και έφτασε στην πόλη Α στις 12:30. 15
11. α) Υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι σταθερή πόσο πρέπει να είναι αυτή την Δευτέρα και πόσο την Τρίτη; (Σε Km/min) β) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Δευτέρα. γ) Να βρείτε την συνάρτηση ψ = αt + β που μας δείχνει την απόσταση ψ του αυτοκινήτου από την πόλη Α σε t min την Τρίτη. δ) Ποιες είναι οι τιμές που πρέπει να πάρει ο χρόνος t και στις δύο συναρτήσεις; ε) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων. ζ) Να ερμηνεύσετε την σημασία του σημείου τομής των δύο γραμμών που σχεδιάσατε στο ε) ερώτημα. Δίνεται η συνάρτηση ψ = αχ + β. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία που παριστάνει γραφικά αυτή η συνάρτηση τέμνει τον χ χ στο σημείο (1, 0) και τον ψ ψ στο σημείο (0, 1). α) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β. β) Να σχεδιάσετε την ευθεία ψ = αχ + β. γ) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας αυτής με την ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = -2χ + 1. 5.3 Ποσά αντιστρόφως ανάλογα - Η συνάρτηση ψ = χ α. 1. 2. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις : Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = χ 3 είναι μια καμπύλη που ονομάζεται.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = είναι μια καμπύλη που ονομάζεται χ.. και πλησιάζει πολύ κοντά.. χωρίς όμως να τους τέμνει. Αποτελείται από 2 κλάδους ένας στο. τεταρτημόριο και ένας στο.τεταρτημόριο. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Αν διπλασιάσουμε την τιμή του χ τότε η τιμή του ψ θα. Έστω ψ και χ οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 5. Η συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ είναι η. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές μπορεί όμως να είναι και λάθος. Να γράψετε Σ ή Λ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι σωστή ή λάθος αντίστοιχα. 3 Η συνάρτηση ψ = εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, όταν χ αυτά παριστάνουν τις αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών με σταθερό γινόμενο 3. Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν αυξάνοντας τις τιμές του ενός μειώνονται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου. Η συνάρτηση ψ = 2 x μπορεί να εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ, σε ποσά αντιστρόφως ανάλογα. 16
Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό γινόμενο Οι αντίστοιχες τιμές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών έχουν σταθερό λόγο. Όταν το μέγεθος ψ είναι αντιστρόφως ανάλογο του μεγέθους χ τότε η ισότητα που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η ψ = αχ όπου α σταθερός αριθμός. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α>0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. Στη συνάρτηση ψ = χ α με α<0 οι αντίστοιχες τιμές των χ, ψ είναι ομόσημοι αριθμοί. 3. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών για δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά ψ, χ. Τιμές του χ Τιμές του ψ Α.: 2 Β.: 8 Γ.: 12 Δ.: 10 Ε.:24 α.: 1 β.:2 γ.:2,4 δ.:3 ε.:12 α) Να κάνετε την σωστή αντιστοίχηση των τιμών, συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα. χ Α Β Γ Δ Ε ψ β) Να βρείτε τον σταθερό γινόμενο των αντίστοιχων τιμών των ψ, χ. γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ψ για χ = 100. δ) Να υπολογίσετε την τιμή του χ για ψ = 100. 4. Ένα αυτοκίνητο διανύει ένα διάστημα 200 Km. α) Συμπληρώστε τις παρακάτω προτάσεις: Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 4 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 2,5 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 8 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t = 1 h τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h Αν το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα σε χρόνο t τότε η ταχύτητά του θα είναι υ = Km/h β) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου υ και ο χρόνος t στον οποίο το αυτοκίνητο κάνει το διάστημα είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα; Ποιο είναι το σταθερό γινόμενο των τιμών τους; γ) Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου ως προς τον χρόνο t. Η γραμμή που θα προκύψει πρέπει να είναι μια καμπύλη η οποία θα πλησιάζει τους ημιάξονες Οχ και Οψ. 17
5. 6. Δίνεται ένα ορθογώνιο με διαστάσεις χ, ψ και σταθερό εμβαδό 20 cm 2. α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ 1 2 4 8 ψ 1 2 4 8 β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης που βρήκατε στο β) ερώτημα. Δίνονται οι συναρτήσεις : ψ = 16 16 και ψ = x x 16 α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ 1 2 4 10-1 -2-4 -10 ψ 1 2 10-1 -2-10 β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x 7. 8. 9. 16 γ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών για την συνάρτηση ψ = : x χ 1 2 4 10-1 -2-4 -10 ψ -1-2 -10 1 2 10 β) Να τοποθετήσετε τα σημεία του παραπάνω πίνακα σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων και 16 να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ =. x Ένα μέγεθος ψ μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς ένα μέγεθος χ. Παρατηρήσαμε πως όταν η τιμή του χ είναι 2,5 μονάδες η τιμή του ψ γίνεται 4 μονάδες. α) Πόσο θα είναι η τιμή του ψ αν η τιμή του χ γίνει 10 μονάδες. β) Να γράψετε την συνάρτηση που εκφράζει τις τιμές του ψ σε σχέση με τις τιμές του χ. γ) Να υπολογίσετε την ποσοστιαία αύξηση του ψ όταν το χ μειωθεί κατά 20%. Δίνονται οι συναρτήσεις ψ = αχ και ψ = χ α με α πραγματικό αριθμό διαφορετικό του 0. α) Σε ποια τεταρτημόρια των αξόνων θα είναι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων αν το α είναι θετικός αριθμός και σε ποια αν το α είναι αρνητικός. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο σε κάθε περίπτωση. β) Έστω (κ, λ) σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων. Να υπολογίσετε τις τιμές των κ, λ. Σε ποια σημεία τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις; Μια υπερβολή διέρχεται από το σημείο (-1, 4). α) Να βρείτε την συνάρτηση που παριστάνει γραφικά αυτή η υπερβολή. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτή η υπερβολή τέμνει την ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο (1, -1) γ) Να βρείτε και να συγκρίνετε τις αποστάσεις των σημείων που βρήκατε στο β)ερώτημα από την αρχή των αξόνων. 18
19