ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ - Τ Α β) ƒ (χ+τ ) = ƒ (χ+τ ) = ƒ ( χ ) Ο ραγματικός αριθμός Τ ονομάζεται ερίοδος της συνάρτησης ƒ. Σχόλιο: Η μελέτη αυτών των συναρτήσεων δεν χρειάζεται να γίνει σε όλο το εδίο ορισμού αλλά μορεί να εριοριστεί μόνο στο διάστημα της εριόδου(αφού σε όλο το υόλοιο εδίο ορισμού εαναλαμβάνεται). Να μελετήσετε την συνάρτηση f(χ)=ημχ Το εδίο Ορισμού είναι το R Ισχύει ημ(χ+) = ημ(χ-) = ημχ Δηλαδή η συνάρτηση ημ χ είναι εριοδική με ερίοδο γι αυτό την μελετάμε σε ένα διάστημα λάτους.χ [ 0, ] Είναι αυξουσα στο [ 0, ] και στο [ 3, ], Είναι φθίνουσα στο [,] και [, 3 ] Έχει μέγιστο στο το 1, Έχει ελάχιστο στο 3 το -1 Είσης είναι εριττή αφού ημ(-χ) = - ημχ Ο ίνακας μεταβολών στο διάστημα [0,] έχει την ακόλουθη μορφή www.praxisgroup.gr - 1- Γεωργόουλος Α.
χ 0 ημχ Π 0 1 0-1 0 3 3. Να μελετήσετε την συνάρτηση συνχ Το εδίο ορισμού είναι το R. Ισχύει ότι συν(χ+)=συν(χ-)=συνχ Δηλαδή η συνάρτηση συν χ είναι εριοδική με ερίοδο γι αυτό την μελετάμε σε ένα διάστημα λάτους.χ [ 0, ] Είναι φθίνουσα στο [0, ] και στο [,], είναι αύξουσα στο [, 3 ] και [ 3, ] Έχει μέγιστο στο 0 και την τιμή 1,έχει ελάχιστο στο το -1 Είναι άρτια αφου συν(χ) =συν(-χ) Ο ίνακας μεταβολών στο διάστημα [0,] έχει την ακόλουθη μορφή χ 0 συνχ 1 0-1 0 1 3 www.praxisgroup.gr - - Γεωργόουλος Α.
4. Να μελετήσετε την συνάρτηση f(χ)=εφχ Το εδίο ορισμού είναι Α={ χ/ συνχ 0} = R \ {κ + } κ Z Η συνάρτηση εφ χ είναι εριοδική με ερίοδο γι αυτό την μελετάμε σε ένα διάστημα λάτους.χ [-, ] Είναι αύξουσα στο [-, ]. Δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο Οι ευθείες χ= και χ = - είναι κατακόρυφες ασύμτωτες της γραφικής της αράστασης.είναι εριττή συνάρτηση αφού εφ(-χ) = -εφχ Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις της μορφής ƒ(χ)= ρημ(ωχ) ή ƒ(χ)= ρσυν(ωχ), ω >0 είναι εριοδικές με ερίοδο Τ =. Εχουν μέγιστο το ρ και ελάχιστο το - ρ ω Οι συναρτήσεις της μορφής ƒ(χ) = ρημ(ωχ+φ) + κ ή ƒ(χ) =ρσυν(ωχ+φ) + κ, ω>0 είναι εριοδικές με ερίοδο Τ =. Εχουν μέγιστο το ρ και ελάχιστο το - ρ. Έχουν ω γραφική αράσταση αυτήν της ƒ(χ) = ρημ(ωχ) ή ƒ(χ) = ρσυν(ωχ) μετατοισμένη κατά φ μονάδες αριστερά άν φ>0 ή δεξια άν φ < 0 και κ μονάδες άνω αν κ>0 και κ μονάδες κατω αν κ<0 Οι συναρτήσεις της μορφής ƒ(χ) = ρεφ(ωχ) ή ƒ(χ) = ρσφ(ωχ), ω >0 είναι εριοδικές με ερίοδο Τ = ω και δεν έχουν μέγιστο και ελάχιστο www.praxisgroup.gr - 3- Γεωργόουλος Α.
5. Να λυθούν οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ημχ=ημθ, συνχ=συνθ, εφχ=εφθ, σφχ=σφθ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ x = κ + θ ημχ=ημθ ή, κ Ζ εφχ=εφθ χ=κ+θ, κ Z χ = κκ +( - θ) χ = κ + θ συνχ=συνθ ή, κ Ζ σφχ=σφθ χ=κ+θ, κ Z χ = κκ - θ Ειδικές εριτώσεις x = κ +0 χ = κ ημχ=0 ημχ=ημ0 ή χ = κ, κ Z χ = κκ +( - 0) χ = (κ + 1) χ = κ + χ κ + = ημχ=1 ημχ=ημ ή ή χ = κ +, κ Z χ = κκ +( - ) χ = κ + χ = κ + συνχ=0 συνχ=συν ή χ = κ +, κ Z χ = κκ - χ = κ +0 συνχ=1 συνχ=συν0 ή χ=κ, κ Z χ = κκ - 0 Παρατηρήσεις Κατά την λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων ροσαθω άντα να την φέρω( εάν δεν είναι ) σε κάοια αό τις αραάνω 4 μορφές. Δηλαδή και στα δυο μέλη να βρίσκεται www.praxisgroup.gr - 4- Γεωργόουλος Α.
ο ίδιος τριγωνομετρικός αριθμός. Αυτό γίνεται χρησιμοοιώντας τους τύους αναγωγής στο 1 ο τεταρτημόριο. Αν στο ο μέλος βρίσκεται ραγματικός αρι θμός τότε ααραίτητα τον μεταρέω σε τριγωνομετρικό αριθμό κάοιας γωνίας ( χ 1= συν0 =ημ ) Χρησιμοοιώ τις τεχνικές ου έχουμς μάθει για την λύση εξισώσεων ( αραγοντοοίηση, διακρίνουσα, ταυτότητες) Τις εξισώσεις τις λύνω άντα ως ρος χ 6. Τι ισχύει για ημίτονο, συνημίτονο, εφατομένη του αθροίσματος-διαφοράς γωνιών Για οοιαδήοτε γωνία α και β ισχύουν οι αρακάτω τύοι (Αοδείξεις:Σχολικό βιβλίο) Ημίτονο αθροισματος : ημ(α+β) ημα συνβ+συνα ημβ [1] Ημίτονο διαφοράς : ημ(α-β)=ημα συνβ-συνα ημβ [] Συνημίτονο αθροισματος: συν(α+β) = συνασυνβ-ημα ημβ [3] Συνημίτονο διαφοράς: συν(α-β) = συνασυνβ+ημα ημβ [4] Αν συνα 0 α κ+ και συνβ 0 β κ+ και συν(α+β) 0 α+β κ+ τότε Εφατομένη αθροίσματος: Εφατομένη διαφοράς: εφ(α + β) = εφ(α - β) = εφα + εφβ 1 εφαεφβ εφα - εφβ 1+ εφαεφβ [5] [6] Αν ημα 0 α κ και ημβ 0 β κ και ημ(α+β) 0 α+β κ σφα σφβ - 1 Συνεφατομένη αθροίσματος: σφ(α + β) = [7] σφβ + σφα Συνεφατομένη διαφοράς: σφα σφβ + 1 σφ(α - β) = [8] σφβ - σφα Παρατηρήσεις : www.praxisgroup.gr - 5- Γεωργόουλος Α.
Στο ημίτονο αθροισματος η διαφοράς το ρόσημο αραμένει το ίδιο και τα ημίτονα «μλέκουν» με τα συνημίτονα Στο συνημίτονο αθροισματος η διαφοράς το ρόσημο αλλάζει και τα ημίτονα άνε μαζί με τα ημίτονα και τα συνημίτονα με τα συνημίτονα Στην εφατομένη και στη συνεφατομένη αθροίσματος η διαφοράς το ρόσημο στον αριθμητή και το ανίθετο στον αρονομαστή Προσοχή στις γωνίες τριγώνου όου ισχύει Α+Β+Γ = άρα Α+Β= -Γ και εομένως ημ(α+β) = ημ(-γ) = ημ(γ) συν(α+β) = συν(-γ) = - συν(γ) και όμοια για τις άλλες γωνίες είσης είναι και A B Γ + = - εφ (Α+Β) = εφ( -Γ ) = -εφγ σφ (Α+Β) = σφ( -Γ ) = -σφγ A B άρα ημ( + )=συν( Γ ) εφ( A + B ) = σφ( Γ ) συν( A + B ) = ημ( Γ ) σφ( A + B ) = εφ( Γ ) και όμοια για τις άλλες γωνίες Στις κατηγορίες ασκήσεων με τρίγωνα, όταν έχω ορθογώνιο τρίγωνο ( με.χ Α=90 ) τότε για τις οξείες γωνίες Β και Γ είναι Β+Γ =90 οότε μορώ να εφαρμόσω αντίστοιχα όλα τα αραάνω 7. Να αναφέρετε τους τύους για το ημίτονο, συνημίτονο, εφατομένη διλάσιας γωνίας. Ποίοι τύοι αράγονται για τον αοτετραγωνισμό μιας τριγωνομετρικής αράστασης και για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της μισής γωνίας; Ημίτονο διλάσιας γωνίας : ημα =ημα συνα [9] Συνημίτονο διλάσιας γωνίας: συνα = συν α - ημ α [10] =συν α -1 [11] =1- ημ α [1] www.praxisgroup.gr - 6- Γεωργόουλος Α.
Εφατομένη διλάσιας γωνίας: εφα εφα= [13] (όταν συνα 0 και συνα 0) 1- εφ α Αν στους αραάνω τύους θέσω όου α το α τότε στο αοτέλεσμα θα έχω στη θέση του α το α/ και αίρνουμε τους τύους μισής γωνίας ημα = ημ α συν α συνα = συν α - ημ α [9 ] εφα = α εφ 1- εφ α [13'] [10 ] ή= συν α -1 [11 ] ή = 1- ημ α [1 ] Αό τους αραάνω τύους ροκύτουν οι αρακάτω τύοι αοτετραγωνισμού Με τους οοίους ερνάμε αό τετράγωνα τριγωνομετρικών αριθμών στους ίδιους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Τετράγωνο συνημιτόνου συν 1+ συνα α = Τετράγωνο ημιτόνου ημ α = Τετράγωνο εφατομένης εφ α = Παρατήρησεις: Τύοι τριλάσιας γωνίας 1- συνα 1- συνα 1+ συνα [14] [15] [16] (όταν συνα 0) Ημίτονο τριλάσιας γωνίας ημ3α = 3ημα - 4 ημ 3 α [17] Συνημίτονο τριλάσιας γωνίας συν3α = 4συν 3 α - 3συνα [18] Σχέση διλάσιας γωνίας με εφατομένη ημα = εφα [19] συνα = 1+ εφ α 1 - εφ α 1 + εφ α [0] Είσης βλέουμε ότι αν γνωρίζουμε ένα τριγωνομετρκό αριθμό(το ημθ ή το συνθ) μιας γωνίας μορούμε να βρούμε τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς (χρησιμοοιούμε συν χ+ημ χ=1 και εφχ=ημχ/συνχ), τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της διλάσιας γωνίας ( τύοι 9,10,11,1,13), της μισής γωνίας (στους τύους 14,15,16 www.praxisgroup.gr - 7- Γεωργόουλος Α.
βάζω όου α=α/), της τετραλάσιας(διλάσια της διλάσιας γωνίας) της υοτετραλάσιας(μισή της μισής γωνίας) κ.τ.λ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ www.praxisgroup.gr - 8- Γεωργόουλος Α.