ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ» Τι καλείται εμαδόν επίπεδης επιφάνειας; Το εμαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, πο εκφράζει την έκταση πο καταλαμάνει η επιφάνεια ατή στο επίπεδο. Ο αριθμός ατός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών πο χρησιμοποιούμε.. Ποιες μονάδες εμαδού γνρίζεται ς θερήσομε ένα τετράγνο πλεράς 1 m. Το εμαδόν το τετραγώνο ατού λέγεται τετραγνικό μέτρο (1 m ) και το χρησιμοποιούμε ς μονάδα μέτρησης εμαδών. φού 1 m = 10 dm, το τετραγνικό μέτρο χρίζεται σε 10 10 = 100 «τετραγνάκια» πλεράς 1 dm. Το εμαδόν σε κάθε τετραγνάκι ονομάζεται τετραγνικό δεκατόμετρο ή τετραγνική παλάμη (1 dm ). Παρατηρούμε ότι 1 m = 100 dm. ς θερήσομε τώρα ένα τετράγνο πλεράς 1 dm. φού 1 dm = 10 cm, το τετραγνικό δεκατόμετρο χρίζεται σε 10 10 = 100 «τετραγνάκια» πλεράς 1 cm. Το εμαδόν ενός τετραγώνο πλεράς 1 cm λέγεται τετραγνικό εκατοστόμετρο ή τετραγνικός πόντος (1 cm ). Παρατηρούμε ότι 1 dm = 100 cm. ς θερήσομε τώρα ένα τετράγνο πλεράς 1 cm. φού 1 cm = 10 mm, το τετραγνικό εκατοστόμετρο χρίζεται σε 10 10 = 100 «τετραγνάκια» πλεράς 1 mm. Το εμαδόν ενός τετραγώνο πλεράς 1 mm λέγεται τετραγνικό χιλιοστόμετρο (1 mm ). Παρατηρούμε ότι 1 cm = 100 mm. Άλλες μονάδες μέτρησης εμαδών είναι: - Το τετραγνικό χιλιόμετρο (1 km ), το οποίο ισούται με το εμαδό ενός τετραγώνο πλεράς 1000 m. Επομένς 1 km = 1000 1000 = 000.000 m. Χρησιμοποιείται κρίς για τη μέτρηση μεγάλν εκτάσεν, όπς είναι η έκταση πο καταλαμάνει ένα κράτος, ένας νομός ή ένα νησί. - Το στρέμμα, το οποίο ισούται με 1000 m και χρησιμοποιείται κρίς για τη μέτρηση τν εμαδών οικοπέδν και κτημάτν. Σνοψίζοντας τα παραπάν σχηματίζομε τον πίνακα: 1 m = 100 dm = = 10.000 cm = 000.000 mm 1 dm = 100 cm = 10.000 mm Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 1
1 cm = 100 mm 1 mm = 0,01 cm = = 0,0001 dm = 0,000001 m 1 cm = 0,01 dm = 0,0001 m 1 dm = 0,01 m. Πς ρίσκομε το εμαδόν τετραγώνο πς το εμαδόν το ορθογνίο; Το εμαδόν ενός τετραγώνο πλεράς α ισούται με α. α α Το εμαδόν ενός ορθογνίο με πλερές α, ισούται με α. α Τις πλερές ενός ορθογνίο τις λέμε μήκος (τη μεγαλύτερη πλερά) και πλάτος (τη μικρότερη) και τις ονομάζομε διαστάσεις το ορθογνίο. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το γινόμενο τν διαστάσεν ενός ορθογνίο ισούται με το εμαδόν το ή: εμαδόν ορθογνίο = μήκος πλάτος. 4. Πς σμολίζομε με το εμαδόν επιπέδο σχήματος; ια να σμολίσομε το εμαδόν κάθε επίπεδο σχήματος, το γράφομε μέσα σε παρένθεση. ηλαδή, το εμαδόν ενός τετραπλεύρο σμολίζεται με (), το εμαδόν ενός τριγώνο ΖΗΘ σμολίζεται με (ΖΗΘ) κ.ο.κ. 5. Πς ρίσκομε το εμαδόν παραλληλογράμμο; Το εμαδόν ενός παραλληλογράμμο είναι ίσο με το γινόμενο μίας άσης το με το αντίστοιχο ύψος. Ε Ε= άση. ντίστοιχο ύψος Ε = Ζ Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ
6. Πς ρίσκομε το εμαδόν τριγώνο; Είτε το τρίγνο είναι οξγώνιο είτε είναι αμλγώνιο, το εμαδόν το θα είναι ίσο με το μισό το παραλληλογράμμο πο σχηματίζεται, αν τοποθετήσομε άλλο ένα τρίγνο ίσο με το, όπς φαίνεται στα παραπάν σχήματα. Επομένς, θα ισχύει: () =, όπο η άση το και το αντίστοιχο ύψος. ενικά: Το εμαδόν ενός τριγώνο είναι ίσο με το μισό το γινομένο μιας άσης το με το αντίστοιχο ύψος. Εμαδόν ορθογνίο τριγώνο Όταν το τρίγνο είναι ορθογώνιο, τότε η μία από τις κάθετες πλερές είναι η άση και η άλλη το ύψος το. Επομένς: () = = γ. Το εμαδόν ενός ορθογνίο τριγώνο είναι ίσο με το μισό το γινομένο τν δύο κάθετν πλερών το. 7. Πς ρίσκομε το εμαδόν τραπεζίο; ς θερήσομε το τραπέζιο Ε πο έχει μεγάλη άση =, μικρή άση Ε = και ύψος ΕΘ =. Θερώντας άλλο ένα ίσο τραπέζιο με το Ε σχηματίζομε ένα παραλληλόγραμμο ΖΗΕ, όπς φαίνεται στο παρακάτ σχήμα. Το παραλληλόγραμμο πο σχηματίσαμε έχει άση ( + ) και ύψος. Επομένς: (ΖΗΕ) = ( + ). Όμς: (ΖΗΕ) = (Ε) Άρα: (Ε) = ( + ). 1. Το εμαδόν ενός τραπεζίο είναι ίσο με το γινόμενο το ημιαθροίσματος τν άσεών το με το ύψος το. Ε Θ = γ Ζ Η Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ
8. Ποια σχέση σνδέει τις κάθετες πλερές με την ποτείνοσα ενός ορθογνίο τριγώνο; Η σχέση πο σνδέει τις κάθετες πλερές με την ποτείνοσα ενός ορθογνίο τριγώνο, εκφράζει το Πθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή ισχύει: ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο το άθροισμα τν τετραγώνν τν δύο κάθετν πλερών είναι ίσο με το τετράγνο της ποτείνοσας. Στο παρακάτ σχήμα το τρίγνο είναι ορθογώνιο στο. Σύμφνα με το Πθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι: α = + γ, δηλαδή το εμαδόν το μεγάλο πορτοκαλί τετραγώνο είναι ίσο με το άθροισμα τν εμαδών τν δύο πράσινν τετραγώνν. γ γ α α 9. Να διατπθεί το αντίστροφο το Πθαγορείο θερήματος. ν σε ένα τρίγνο, το τετράγνο της μεγαλύτερης πλεράς είναι ίσο με το άθροισμα τν τετραγώνν τν δύο άλλν πλερών, τότε η γνία πο ρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλερά είναι ορθή. 10. Ποιοι οι τύποι τν εμαδών τν ασικών επίπεδν σχημάτν; Τετράγνο α Ε = α α Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ε = α α Ε = Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 4
Ορθογώνιο τρίγνο γ Ε = γ Τχαίο τρίγνο Ε = Ε = Τραπέζιο (+) 1 Να διατπθεί το Πθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό το. Πθαγόρειο θεώρημα: + γ = α Σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο το άθροισμα τν τετραγώνν τν δύο κάθετν πλερών είναι ίσο με το τετράγνο της ποτείνοσας. ντίστροφο Πθαγόρειο θερήματος ν σε ένα τρίγνο το τετράγνο της μεγαλύτερης πλεράς είναι ίσο με το άθροισμα τν τετραγώνν τν δύο άλλν πλερών, τότε η γνία πο ρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλερά είναι ορθή. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 5
Πς ονομάζονται οι πλερές και γνίες ενός ορθογνίο τριγώνο Σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο ( = 90 ο ) η κάθετη πλερά, ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλερά της γνίας» και η «προσκείμενη κάθετη πλερά της γνίας». ποτείνοσα (απέναντι από την ορθή γνία) απέναντι κάθετη πλερά από τη γνία προσκείμενη κάθετη πλερά στη γνία Φσικά, προκειμένο για τη γνία, η είναι η «απέναντι», ενώ η είναι η «προσκείμενη» κάθετη πλερά. Τι καλείται εφαπτομένη οξείας γνίας και τι καλείται κλίση (δρόμο) Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγνο με οξεία γνία ο σταθερός λόγος εφ= πέναντι κάθετη πλερά της γνίας Προσκείμενη κάθετη πλερά της γνίας γνίας ονομάζεται εφαπτομένη της γνίας και σμολίζεται με εφ. Ειδικά, όταν αναφερόμαστε σε δρόμο η εφαπτομένη της γνίας ονομάζεται κλίση (το δρόμο). Ο λόγος πο σχηματίζεται, αν διαιρέσομε την απέναντι κάθετη πλερά με την προσκείμενη κάθετη πλερά μιας οξείας γνίας ενός ορθογνίο τριγώνο, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γνίας. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 6
απέναντι κάθετη πλερά 14. Πς σνδέεται η εφ με την εξίσση της εθείας; ς θμηθούμε την κλίση της εθείας με εξίσση y = α x, Είδαμε ότι ο λόγος /Ο είναι πάντα ψ/χ σταθερός και ίσος με τον αριθμό α για κάθε σημείο της εθείας με εξίσση y = α x. ν είναι η γνία πο σχηματίζει η εθεία με εξίσση y = α x με τον άξονα x'x, τότε στο ορθογώνιο τρίγνο Ο ισχύει: O A (x,y ) y AB. y. εφ = = = α OB x x B Η κλίση α της εθείας με εξίσση y = α x είναι ίση με την εφαπτόμενη της γνίας, πο σχηματίζει η εθεία με τον άξονα x x. 15. Πς πολογίζομε την εφ μιας γνίας ; ια να πολογίσομε την εφαπτομένη μιας γνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τον πίνακα τριγνομετρικών αριθμών τν γνιών 1 o 89 o. 16. Τι καλείται ημίτονο οξείας γνίας (ημ); Ο σταθερός λόγος.απέναντι κάθετη πλερά. ποτείνοσα ονομάζεται ημίτονο της γνίας και σμολίζεται με ημ. ηλαδή.απέναντι κάθετη πλερά. ημ = ποτείνοσα προσκείμενη Επομένς: Ο λόγος πο σχηματίζεται, αν διαιρέσομε την απέναντι κάθετη πλερά μίας οξείας γνίας ενός ορθογνίο τριγώνο δια την ποτείνοσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γνίας. Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 7
απέναντι κάθετη πλερά 17. Τι καλείται σνημίτονο οξείας γνίας (σν); Ο σταθερός λόγος προσκείμενη κάθετη πλερά. ποτείνοσα ονομάζεται σνημίτονο της γνίας και σμολίζεται με σν. ηλαδή σν =.προσκείμενη κάθετη πλερά. ποτείνοσα Επομένς: Ο λόγος πο σχηματίζεται, αν διαιρέσομε την προσκείμενη κάθετη πλερά μίας οξείας γνίας ενός ορθογνίο τριγώνο δια την ποτείνοσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται σνημίτονο της γνίας. 18. Ποιες ανισώσεις ισχύον και γιατί για το ημ και για το σν ; παντήση νρίζομε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγνο η ποτείνοσα είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλερές, οπότε οι λόγοι: και απέναντι κάθετη πλερά ποτείνοσα προσκείμενη κάθετη πλερά ποτείνοσα προσκείμενη είναι μικρότεροι της μονάδας. Επομένς ισχύον οι ανισώσεις: 0 < ημ < 1 και 0 < σν < 1 για οποιαδήποτε οξεία γνία. Ο 19. Να αποδείξετε εφ = ημ σν ν διαιρέσομε το ημ με το σν θα προκύψει ημ. σν Ο. Ο = = = εφ. Ο. Ο Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 8
M at h Com poser 5 Math Composer 5 Math Composer 5 Math Composer 5 Math Composer 5 Math Composer 5 Math Composer 5 0. Πς μεταάλλονται οι τριγνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γνίας όταν ατή αξάνεται Όταν μια οξεία γνία αξάνεται, τότε: αξάνεται το ημίτονο της, ελαττώνεται το σνημίτονο της και αξάνεται η εφαπτομένη της. Πς σνδέεται η ισότητα τριγνομετρικών αριθμών με τις οξείες γνίες; ν δύο οξείες γνίες έχον ίσα ημίτονα, τότε οι γνίες ατές είναι ίσες. ν δύο οξείες γνίες έχον ίσα σνημίτονα, τότε οι γνίες ατές είναι ίσες. ν δύο οξείες γνίες έχον ίσες εφαπτομένες, τότε οι γνίες ατές είναι ίσες.. Να ρεθούν οι τριγνομετρικοί αριθμοί της γνίας 45 0 ς θερήσομε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγνο με κάθετες πλερές = = 1 cm. Τότε οι γνίες της άσης το είναι = = 45 ο. πό το Πθαγόρειο θεώρημα έχομε: = + = 1 + 1 =, άρα =. Επομένς: 45 o 45 o B ημ45 ο. 1.. = = = = ( ) σν45 ο. = = = εφ45 ο =. = = 1 1. A 90 o Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 9
Math Composer 5. Να ρεθούν οι τριγνομετρικοί αριθμοί τν γνιών 0 0 και 45 0 ς θερήσομε τώρα δύο ίσα ορθογώνια τρίγνα και με κοινή πλερά την, οξείες γνίες 1 = = 0 ο και ποτείνοσες = = cm, όπς φαίνεται στο σχήμα Το τρίγνο είναι ισόπλερο, αφού όλες οι γνίες το είναι 60 ο, οπότε: = cm και = = 1 cm. πό το ορθογώνιο τρίγνο έχομε ότι: ημ = ημ0 ο 1 = ια να πολογίσομε το σνημίτονο της γνίας = 0 ο, θα πολογίσομε πρώτα την πλερά. πό το Πθαγόρειο θεώρημα στο τρίγνο έχομε ότι: = - = - 1 =, οπότε = Επομένς: σν = σν0 ο = εφ = εφ0 ο 1 1 = Επίσης, στο ίδιο σχήμα μπορούμε να πολογίσομε το ημίτονο, το σνημίτονο και την εφαπτομένη της γνίας = 60 ο : 0 ο 60 ο 1 A 0 ο 60 ο ημ = ημ60 ο = σν = σν60 ο = 1 εφ = εφ60 ο = 1 4. Να γραφούν οι τριγνομετρικοί αριθμοί τν γνιών 0 0, 60 0 και 45 0 ημ σν εφ 0 0 45 0 60 0 1 1 1 Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 10
5. Ποια γνία καλείται εγγεγραμμένη ποιο αντίστοιχο τόξο; Μια γνία xay πο η κορφή της ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλερές της Ax, Ay τέμνον τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γνία στον κύκλο (Ο, ρ). Το τόξο το κύκλο (Ο, ρ) πο περιέχεται στην εγγεγραμμένη γνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της. Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γνία αίνει στο τόξο. x y 6. Με τι ισούται κάθε εγγεγραμμένη γνία πο αίνει σε ημικύκλιο; Κάθε εγγεγραμμένη γνία πο αίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Επομένς, κάθε εγγεγραμμένη γνία πο αίνει σε ημικύκλιο είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης πο είναι η εθεία γνία. Κ Μ 7. Ποια η σχέση της εγγεγραμμένης γνίας με την επίκεντρη πο αίνει στο ίδιο με ατήν τόξο και ποια η σχέση της με το αντίστοιχο τόξο και ποια σχέση έχον οι εγγεγραμμένες πο αίνον στο ίδιο τόξο; Κάθε εγγεγραμμένη γνία ισούται με το μισό της επίκεντρης πο έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Οι εγγεγραμμένες γνίες ενός κύκλο πο αίνον στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τος ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γνία έχει μέτρο ίσο με το μισό το μέτρο το αντίστοιχο τόξο της. Κ Λ 8. Πς ονομάζεται ένα πολύγνο με ν κορφές; Ένα πολύγνο με ν κορφές θα το λέμε ν-γνο. Εξαίρεση αποτελεί το πολύγνο με 4 κορφές, πο λέγεται τετράπλερο. 9. Τι καλούμε κανονικό πολύγνο; Ένα πολύγνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλερές το είναι μεταξύ τος ίσες και όλες οι γνίες το είναι μεταξύ τος ίσες. π.χ. ισόπλερο τρίγνο τετράγνο κανονικό πεντάγνο κανονικό εξάγνο Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 11
0. Πς κατασκεάζεται ένα κανονικό πολύγνο και τι καλείται περιγεγραμμένος κύκλος το πολγώνο; Η διαδικασία κατασκεής ενός κανονικού πολγώνο με ν πλερές (κανονικό ν- γνο) ακολοθεί τα εξής ήματα: 1ο ήμα Υπολογίζομε τη γνία =60/ν ο ήμα Σχηματίζομε διαδοχικά ν επίκεντρες γνίες, οι οποίες χρίζον τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. ο ήμα Ενώνομε με διαδοχικά εθύγραμμα τμήματα τα άκρα τν τόξν. Είδαμε ότι με την προηγούμενη διαδικασία κατασκεάζεται ένα κανονικό εξάγνο, το οποίο οι κορφές είναι σημεία ενός κύκλο. Ο κύκλος ατός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος το πολγώνο. Επίσης, λέμε ότι το πολύγνο είναι εγγεγραμμένο στο σγκεκριμένο κύκλο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εγγράψομε σε ένα κύκλο ένα ισόπλερο τρίγνο, ένα τετράγνο και γενικά ένα κανονικό ν-γνο. Τι καλείται γνία και τι κεντρική γνία ενός κανονικού πολγώνο; Aς θερήσομε ένα κανονικό πολύγνο με ρ ρ ν πλερές (κανονικό ν-γνο) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) για να χρίσομε τον ρ κύκλο σε ν ίσα τόξα, θερούμε ν διαδοχικές ρ Ο επικεντρες γνίες = 60 0 /ν. Καθεμία από τις γνίες ατές λέγεται κεντρική γνία το κανονικού ν-γώνο. Επομένς: Η κεντρική γνία ενός κανονικού ν-γώνο είναι ίση με = 60 0 /ν. Σε οποιοδήποτε κανονικό ν-γνο οι γνίες Μ,,,... κ.ο.κ. είναι ίσες, αφού είναι εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα και τις σμολίζομε με φ. Η γνία φ ονομάζεται γνία το κανονικού ν-γώνο. Μ φ Ο φ Ε φ φ φ Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 1
. Ποια η σχέση της κεντρικής και της γνίας το ν-γνο; ς δούμε τη σχέση της κεντρικής γνίας και της γνίας φ το ν-γώνο. Ενώνομε το κέντρο το ν-γώνο με τις κορφές, πότε σχηματίζονται ν ίσα ισοσκελή τρίγνα. Σε καθένα από τα τρίγνα ατά οι προσκείμενες στη άση γνίες είναι ίσες με φ/ Στο τρίγνο Ο θα έχομε ότι: +φ/+φ/=180 ή + φ = 180 ο ή φ = 180 ο -. φ. φ. Μ Ο φ. φ. φ. φ. Επομένς: Η γνία φ ενός κανονικού ν-γώνο είναι παραπληρματική της κεντρικής γνίας το ν-γώνο.. Ποιος είναι ο τύπος ο οποίος μας δίνει το μήκος το κύκλο; Το μήκος το κύκλο πολογίζε-ται από τη σχέση: L = π δ ή L = π ρ με Όπο δ=ρ και στις εφαρμογές και ασκήσεις θα χρησιμοποιούμε για τον π την προσεγγιστική τιμή,14. 4. Τι καλείται τεταρτοκύκλιο; Ο κύκλος χρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα από δύο κάθετες διαμέτρος: = = =. Καθένα από ατά τα τόξα έχει μέτρο 90 ο και ονομάζεται τεταρτοκύκλιο. 5. Ποιος είναι ο τύπος ο οποίος μας δίνει το εμαδόν το κύκλο; Ο Το εμαδόν κκλικού δίσκο ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ Επιμέλεια: ΥΕΡΙΝΟΣ ΣΙΛΕΙΟΣ 1