1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k

1. K a p itu lu a Zeb a ki ko p lex u a k 1

1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.1 Z e b a ki ko p le x u a re ko tzep tu a. Iku s d itza g u a d ibid e ba tzu k o a g ertze d e ze ba ki ko p lex u a k d efi itzeko beh a rra. 1.1. Ad ib id e a y 1 = x p a ra bola eta y = 3x zu ze a re a rteko eba kid u ra ka lku la tu a h i d u g u (iku s 1.1 iru d ia ). 1.1 iru d ia 1.1 Iru d ia : O d ore g o sistema eba tziz { y = x x = 3x y = 3x { x 1 = 1 x = esa a h i fi sikoa d u e era tzu a lortze d u g u o ema itza N R mu ltzoa d a g oe. 1.. Ad ib id e a Ko tsid era d eza g u esp a zio/ d e bora erla zioa eza rtze d u e o d ore g o ku r- ba E = { 0 t < 0 ba d a t t 0 ba d a (iku s 1. iru d ia ) t 1 -re zer u eta eg ite d ira metro? Ka su h o eta ere esa a h i fi sikoa d u e era tzu a lortze d a eta ema itza R mu ltzoa d a g o. H a u d a : t 1 = t 1 = R Z er lortze d a E = 0.5 metro d e ea? t = 0.5 t = 0.5 Q R U E P D o o stia M ate m atik a Ap lik atu a S aila

1.1. ZENBAKI KONPLEXUAR EN KONTZEPTUA. 3 1. Irudia: 1.3. Adibidea P ilota bat v 0 abiaduraz goratz botatze dugu. Iza bedi h(t) t uea lortutako altuera. Ordua odorego ekuazioa idatz dezakegu: h = g t + v 0t = t (v 0 g ) t Adierazpe fisikoa dute problema batzuk platea dezakegu (ikus 1.3 irudia) 1.3 Irudia: Zer ueta lotze da H altuera? t 1 = v 0 g, H = h(t 1) uea. Zer ueta lortuko da h 1 altuera?.(0 h 1 H) t = v 0 ± { v0 gh 1 t = g t = t 3 H = v 0 g t 3

4 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK Adibidez: Har ditzagu h 1 = 0. m, v 0 = 3 m/ s. Ordua: t = 0.07, t 3 = 0.53 t 1 = v 0 g = 0.31, H = v 0 g = 0.4 6 Problema hoe soluzioak R multzoa adieraz ditzakegu (ikus 1.4 irudia) 1.4 Irudia: Ikus ditzagu orai aurrekoe atzekoak dire odorego gertaerak: (ikus 1.5 irudia) 1.5 Irudia: { y = x y = x 1 x = x 1 x = 1 ± 3

1.1. ZENBAKI KONPLEXUAREN KONTZEPTUA. 5 1.6 Irudia: 3?. Zer da hau?. N o kokatze dugu zuze errealea?(ikus 1.6 irudia) t = 3 z = 3 z / R Pilotare kasua: Zer ueta lortze da h 1?(ikus 1.7 irudia) 1.7 Irudia: z = v 0 ± v 0 gh g, H = v 0 g h > H ba d a h > v 0 g gh > v 0 Hau da v0 gh < 0 berriz zebaki egatibo bate erroa!! o dago v0 gh? Adibidez: h = 5 v 0 = 3, v 0 gh = 8 4 N ola adieraz dezaket zebaki hau? Zertarako erabil dezaket?

6 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK E bakidurare adibidea: x = 1 ± 3 = 1 ± ( 1)(3) = 1 ± 1 3 = 1 ± 3 1 Arazoak sortze due zebaki bakarra 1 da gaiotzekoak zebaki errealak direlako. 1 = iera adierazte badugu (i = 1): 1 3 ola adieraziko dugu + 1 adibidez?. (Ikus 1.8 irudia) 1.8 Irudia: z = a + b i o a = Re(z) = z-re zati erreala de b = Im(z) = z-re zati irudikaria de 1.1. Defi iz ioa Zebaki ko p lexu are m u ltzoa o d o rego era d efi itu ko d u gu : C = {z = a + b i /a, b R} beraz R = {z = a + b i/a R, b = 0} era adierazte de. B eraz, zebaki errealak zati irudikaria ulua dute zebaki koplexuak dira.

1.. Z C ZENBAKIAREN ERA POLARRA 7 1.9 Irudia: 1. z C zebakiare era polarra z zebaki koplexua bektore bat deez odorego era adieraz daiteke(ikus 1.9 irudia) z = a + b i ρ θ o ρ = z-re modulua = z θ = z-re argumetua = ar g(z) a = 0 eta b > 0 badira θ = π Adibidez: z = 0 + i = 1 π z = 1 i = π = 7π (ikus 1.1 0 irud ia ) O rokorrea : 1.1 0 Irud ia : ρ θ = ρ θ+kπ k Z P la oa re g a i eko p u tu berbera a d iera zte d ute.θ ed o θ+kπ a p lika tzea lortuta ko efecto fi sikoa oso d esberd i a iza d a iteke ord ea : (ikus 1.1 1 irud ia ) Matematika A p likatu a S aila U E P D o o stia

8 1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.11 Irudia: 1.. Defi iz ioa 0 θ < π deea, θ-ri a rgu m etu a gu sia deitu ko diogu. Adibidez, z = 31 π = 6 5+ 1 π = 6π+ π = π 5 5 5 1 5 π 5 = z-re argum etu agusia (ikus 1.1 irudia) 1.1 Irudia: 1.3 z C ze b a k ia re e ra e sp o e tzia la. Iza bedi z = a + b i = ρ θ o a = ρ co s θ b = ρ si θ de z = ρ co s θ + i si θ = ρ( co s θ + i si θ)

1.3. Z C ZENBAKIAR EN ER A ES PONENTZIALA. 9 3. eta 4. gaieta sakokiago aztertuko dugu kotzeptu erabiliko dugu: cos x = 1 x! + x4 4! x6 6! + x8 8! x1 0 10! + x R si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x1 1 11! + x R e x = 1 + x 1! + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x R Aurreko berditzak ifiitu gaie baturareki lortze de arre gero eta batugai gehiago hartuz hurbilketa hobeagoak lor ditzakegu. (Ikus 1.13 irudia) Adibidez: e x 1, e x 1 + x, e x 1 + x + x, etb. 1.13 Irudia: B este aldetik, i = 1, i = 1, i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i eta errepikatze dira.

10 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK E matza hauek erabiliz: z = ρ(cos θ + i si θ) = ρ = ρ (1 + ( iθ) + ( iθ)4! 4! = ρ (1 + iθ + ( iθ)! Adibidez: z = 0 + i = 1 π = e i π ) ((1 θ! + θ4 4! θ6 6! + + i (θ θ3 3! + θ5 + ( iθ)6 6! + ( iθ)3 3! e iπ = 0 π + i si π = 1 < 0 + + iθ + ( iθ)3 3! + ( iθ)4 4! + ( iθ)5 5! 5! θ7 )) 7! + = ) ordeatuz = + ( iθ)5 + ( iθ)7 + 5! 7! ) + = ρ e iθ z-re era espoetziala E ziezkoa da hau gertatzea R-, e x > 0 x R. e z = 1 bete daiteke ordea z C bada. Bereziki, ρ = 1, bad a e iθ = cos θ + si θ Euler-e formula deritzoa lortze da. L aister ikusiko ditugu zebaki koplex ue arteko eragiketa aritmetikoak, hala ere, aurrera dezakegu zebaki koplex ue biderkaketa oso erraz kalkula daitekela era espoetziala erabilita. H ots: ρ e iθ ρ e iθ = ρρ e iθ+iθ = ρρ e i(θ+θ ) beraz ρ θ ρ θ = ρρ θ+θ ρ θ ρ θ Bereziki: Ordua zatiketa: = ρ e iθ ρ e iθ = ρ ρ eiθ iθ = ρ ρ ei(θ θ ) = ρ θ 1 θ = ρ θ+θ ( ) ρ ρ θ θ 1 θ -z biderkaketak biraketa bat adierazte du o agelua θ eta zetroa koordeatu jatorria dire. (Ikus 1.14 eta 1.15 irudiak) Adibidea: Irudiari θ = π 3 biraketa eta eskalatua ρ = 0.5 (Ikus 1.15 irudia) z 1 = 1 + i = 1 π 4 ; z = 3 + i = 10 a rctg 1 3 3.16 0.3 ; z 3 = + 6i = 40 a rctg 6 0.5 1.83 z 1 = z 1 0.5 π 3 1 0.78 0.5 1.05 = 0.5 1.83 0.5(cos 1.83+i si 1.83) 0.5( 0.6+0.97i) = 0.13+0.485i

1.3. Z C ZENBAKIAREN ERA ESPONENTZIALA. 11 1.14 Irudia: 1.15 Irudia: z = z 0.5 π 3 3.16 0.3 0.5 1.05 = 1.58 1.37 1.58(cos 1.37+i si 1.37) 1.58(0.+0.98i) = 0.31+1.55i z 3 = z 3 0.5 π 3 6.3 1.5 0.5 1.05 = 3.17.3 3.17(cos.3+i si.3) 3.17( 0.67+0.74i) =.1+.34i (ikus 1.16 irudia) Adibidea: Odorego irudiari ρ θ = π biraketa eta eskalatua aplikatu:(ikus 1.17 irudia) z 1 = 1 + i = π 4, z = + i = 5 arctg 1 z 1 = z 1 π = π 4 + π = 5π 4.83 5π 4

1 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK 1.16 Irudia: z = z π = 5 arctg 1 π = 5 arctg 1 + π Ikus 1.18 irudia 4.48,03 1.3. Defiizioa z = ρ θ zebaki koplexuare kojokatua z = z odorego era defi itutako zebaki koplxeua da: z = ρ θ. (Ikus 1.1 9 irudia) Propietatea: z z = ρ 0 = ρ R 1.1. Ariketa Eutziatu bete behar dire balditzak bi zebaki koplexu berdiak iza daiteze. Eb azpea 1.3.1 Eragike tak C mu ltzo a Batura: (a + bi) + (a + b i) = (a + a ) + (b + b )i Bid erk ad ura: ρ θ ρ θ = ρ e iθ ρ e iθ = ρρ e i(θ+θ ) = ρρ θ+θ UEP D o o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

1.3. Z C Z E N B A K IA R E N E R A E S P O N E N T Z IA L A. 13 1.17 Irudia: D em ag u ze baki ko p lex uak era bi om ikoa idatzita daudela, h au da: z 1 = ρ θ = a + bi, z = ρ θ = a + b i z 1 z = A + Bi era idazte dadug u zei tzu dira A eta B-re balioak? z 1 z =ρρ θ+θ ρρ ( co s(θ + θ ) + i si (θ + θ ) ) = =ρρ ( co s θ co s θ si θ si θ + i(si θ co s θ + co s θ si θ ) ) = =ρ co s θρ co s θ ρ si θρ si θ + i(ρ si θρ co s θ + ρ co s θρ si θ ) = =aa bb + i(ab + ba ) Beraz (a + bi) (a + b i) = (aa bb ) + i(ab + ba ) O rdua era bi om ikoa idatz itako bi z e baki ko p lex ue biderkaketa bi om io erreale a tzera eg ite da i = 1 dela ko tuta iza ik. Z atiketa: ρ θ ρ θ = r α Bila dezag u r α -re balioa defi izioa bete dadi. ρ θ = ρ θ r α def. = ρ r θ +α ρ = ρ r r = ρ ρ θ + kπ = θ + α α = θ θ + kπ beste aldetik, era esp o e tziala erabiliz: ρ e iθ ρ = ρ r r = ρ ρ = r e iα ρ e iθ = ρ r e i(α+θ ) ρ e iθ θ = α + θ + kπ α = θ θ

14 1. KAPITU LU A ZENBAKI KONPLEX U AK 1.18 Irudia: 1.19 Irudia: 1.. Ariketa E ra biomikoa idatzitako bi zebaki koplexue zatiteka egi. Eb az pea a + bi a + b i = (a + bi)(a b i) (a + b i)(a b i) = aa bb + i(ab + a b) a + b 1.3. Ariketa i = 1,, 3, kalkulatu Eb az pea 1. 1.era = 1 i 1 = i

1.3. Z C ZENBAKIAREN ERA ESPONENTZIALA. 15 = i = 1 = 3 i 3 = i = 4 i 4 = 1. > 4 = 4k + r k N, r = 0, 1,, 3 i = i 4k+r = ( i 4) k i r = i r (ezagua)..era( ) i = 1 π = 1 π cos π + i si π { = bikoitia bada = k cos kπ = ( 1) k, k = 1,, 3, = bakoitia bada = k 1 i si(k 1) π = ( 1)k, k = 1,, 3, z-re berredura osoa: z-re berredura osoa odorego era kalkulatze da: (ρ θ ) = ρ θ (ρ cos θ + i si θ) = ρ (cos θ + i si θ) Moivre-re formula deritzoa. Errodura: ρθ = ρ θ ρ θ = ρ θ { ρ = ρ θ = θ + kπ { ρ = ρ θ = θ+kπ k Z Ifiitu erro lortze dira? Adibidez: i = 1 π = = 1 π + kπ = 1 π 4 +kπ k = 0 z 0 = 1 π 4 k = 1 z 1 = 1 π 4 +π = 1 5π 4 k = z = 1 π 4 +π = 1 π 4 = z 0 Errepikatze da k = 3 z 3 = 1 π 4 +3π = 1 π 4 +π = z 1 Errepikatze da. k egatiboeta berriz: k = 1 z 1 = 1 π 4 π = 1 π 4 +π = z 1 k = z = 1 π 4 π = 1 π = z 0 4

16 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK Beraz, bakarrik bi erro desberbi lortze dira. Orokorrea: ρ θ+kπ k = 0 ρ θ = z 0 k = 1 ρ θ+π = z 1 =. k = 1 ρ θ+( 1 )π = z 1 Beraz, k = deea ρ θ+π = ρ θ+π = z 0 Ordua: ρ θ = k = ρ θ+kπ k = 0, 1,,, 1 erro desberdi lortze dira.(ikus 1.0 irudia) 1.0 Irudia: erro horiek (0, 0) zetroko ρ erradioko zirkuferetzia zati berdieta baatze du. Elkarre segidako bi erroe argumetue diferetzia kostate da: θ + kπ θ + (k 1)π = kπ kπ + π = π Ariketa: H autazko petagooa eraiki.(ikus 1.1 irudia) (.1

1.3. Z C ZENBAKIAREN ERA ESPONENTZIALA. 17 1.1 Irudia: 5 1 = 5 1 0 = 1 0 +kπ 5 k = 0, 1,, 3, 4 z 0 = 1 0, z 1 = 1 π 5, z = 1 4π 5, z 3 = 1 6π, z 4 = 1 8π 5 5 Biraketa, eskala aldaketa eta traslazio trasformazioak erabiliz edozei petagoo lor daiteke:(ikus 1. irudia) 1. Irudia: z k = z k ρ θ + a + bi

18 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK Zei da alde bakoitzare luzera? ( z 0 z 1 = 1 0 1 π = 1 cos π 5 5 i si π 5 = 1 cos π 5 ) + si π 5 = cos π 5 1.17 1.4. Ariketa R erradioko zirkuferetzi batea iskribatutako aldeko poligoo bate alde bate luzera kalkulatu. Ebazpea z 0 z 1 = R 0 R π = R R cos π R si π ( = R 1 cos π ) + si π = R cos π Aztertu zer gertatze de haditze deea. Zer baliora hurbiltze da?. Espero zitekee emaitza hau?. Perimetroa kalkulatu: L = R cos π = R ( 1 cos π ) = R si π = R si π N oratz joko du? Oharra: aldagai errealtzat hartu, eta L Hô pital aplikatu: lim R si π = lim R si π 1 L Hô pital = lim π cos R π = lim 1 πr cos π = πr a apotema kalkulatu:(ikus 1.3 irudia) z 0 z 1 =... = R + cos π = R ( 1 + cos π ) = R cos π = R cos π, a R (L OG IK OA).

1.3. Z C ZENBAKIAREN ERA ESPONENTZIALA. 19 1.3 Irudia: Azalera kalkulatu: A = Perimetroa X Apotema = 1 R si π R cos π 1 πr R = πr (LOGIKOA) z C re espoetzial koplexua. z C, e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y+i si y) = e x y (modulua e x, argumetua y) Adibidea: e +i π = e π = ie = e ( cos π + i si π 1.5. Ariketa Odorego balditzak betetze dituzte z zebaki koplexuak aurkitu.: Im(e z ) = 0 edo R e(e z ) = 0 Ebazpea (Ikus 1.4 irudia) ) e x+iy R si y = 0 y = kπ, k Z R e(e z ) = 0 cos y = 0 y = (k + 1) π, k Z z-re logaritmo epertarra.

0 1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.4 Iru d ia : Iza bed i z C. E sp o e tzia la re d efi izioa rek i ba tera g a rria d e p rozed u ra era biliz e z = z berd{ i tza tik z a sk a tu beh a r d a : z = ρ θ (eza g u a ) Iza bitez: z = x + iy (ezeza g u a ) bera z e z = z e x e iy = ρ θ { e x = ρ x = l ρ y = θ + kπ l (ρ θ ) = l ρ + i(θ + kπ) k Z (Ik u s 1.5 iru d ia ) B a d a u d e i fi itu ba lio. k = 0 eg i ez ba lio a gu sia lortze d a. Ad ibid ea : l ( 3) = l (3 π ) = l 3 + i(π + kπ) (B a lio h a u ek ez d ira errea la k l ( 3) R mu ltzoa ez d a g oela k o). l (3) = l (3 0 ) = l 3 + i(kπ). k = 0 ba d a, lortu ta k o ema itza errea la d a, eza g u tze d u g u ep erta r o rm a la d a bera z. 1.6. A rik e ta Z ei d a l z-re ba lioa z R ba d a g o? U E P D o o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila

1.3. Z C ZENBAKIAR EN ER A ES PONENTZIALA. 1 1.5 Irudia: Ebazpea x > 0 bada arg z = 0 l z = l x + i(kπ) k = 0 bada epertar erreal l(x+0i) = l x +i(arg z+kπ) = x < 0 bada arg z = π l z = l( x) + i(π + kπ) ioiz ez erreala 1.7. Ariketa z C-re zei balioetarako l z R? Ebazpea Espoetzial orokorra: a, b R bada, a > 0, a b = e b l a. C multzoa berriz: z z 1 = ez l z 1 1.8. Ariketa z 1 = ρ θ, z = ρ θ izaik, z z 1 -re zati erreal eta zati irudikaria kalkulatu. N oiz da erreala? Ebazpea Adibidea: i i = e i l i = e i(l 1+ i( π + kp i)) = e ( π + kπ) R k Z

1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK Futzio trigoometriko koplex uak: Iza bedi h(z) = eiz e iz i h(x + 0i) = eix e ix i futzioa. Zer gertatze da z R?: = co s x + i si x co s x + i si x i H au dela eta odorego era defiituko dugu si z: = si x co s z = si z = eiz e iz i 1 si z = z C 1 + eiz + e iz 4 = e iz + e iz + = (e iz + e iz ) = eiz + e iz ordua: co s z = eiz + e iz i z C 1.9. Ariketa z C, z = ±z dela frogatu. Ebazpea z = ρ θ z = ρ θ = ρ θ + kπ Adibidea: si( π + i) = ei( π +i) e i( π +i) i = { (k = 0) ρ θ (k = 1) ρ θ+π = z = ei π e 1 e i π e i = ie 1 + ie i = e + e 1 1.10. Ariketa O dore si x, co s x futzioe propietateak x R deea agertze dira. Aztertu zeitzu betetze dire z C deea: 1. si( x) si x. co s( x) = co s x 3. si(a + b) = si a co s b + co s a si b 4. co s(a + b) = co s a co s b si a si b

1.3. Z C ZENBAKIAREN ERA ESPONENTZIALA. 3 5. si x = si x cos x 6. cos x = cos x si x 7. si 1 cos x x = 8. cos 1 + cos x x = 9. si x 1 10. cos x 1 11. si(x + π) = si x 1. cos(x + π) = cos x 13. si(x + π ) = cos x 14. cos(x + π ) = si x Futzio hiperboliko koplexuak: sih z = ez e z, cosh z = ez + e z 1.11. Ariketa sih ( z), cosh ( z), cosh (z) sih (z) kalkulatu

4 1. KAPITULUA ZENBAKI KONPLEXUAK