ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε την επίλυση περιλαμβάνοντας και τη Μεταφορά Θερμότητας Η μέθοδος την οποία θα αναπτύξουμε είναι η Relxtin Αυτή, ενδείκνυται για προβλήματα δύο ή τριών διαστάσεων που δεν επιδέχονται αναλυτική μαθηματική αντιμετώπιση Μεθοδολογία: Σύμφωνα με τη μέθοδο Relxtin χωρίζουμε το σώμα σε τετράγωνα ή ορθογώνια δικτυώματα όσο μικρής διάστασης αποφασίσουμε και «μαντεύουμε» αρχικά τιμή της θερμοκρασίας για σε κάθε κόμβο του δικτυώματος Ορίζουμε δηλ αρχικά κάποιες οριακές θερμοκρασίες που πιθανόν να έχει το σώμα στα σημεία αυτά Βέβαια, είναι τελείως απίθανο εκτιμήσουμε χωρίς ένα βασικό αλγόριθμο της θερμοκρασίας αυτής Θα περιγράψουμε στη συνέχεια μια μεθοδολογία βάσει της οποίας θα αναπτύξουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος θα είναι το αποτελεσματικό εργαλείο με το οποίο, ακολουθώντας μια διαδικασία κυκλικών διαδρομών (lps), θα διαπιστώσουμε τη σύγκλιση των υποθετικών θερμοκρασιών σε μια τιμή για κάθε κόμβο A Μονοδιάσταση Ροή Θερμότητας Ενεργούμε ως ακολούθως: Υποθέτουμε για απλούστευση, ότι η Θερμότητα Άγεται μονοδιάστατα, όπως δείχνει το σχήμα Υποθέτουμε δηλ ότι η θερμότητα άγεται μόνο μέσω των ευθύγραμμων τμημάτων του δικτυώματος Προσπαθούμε τότε, να επιτύχουμε ισορροπία στην αγωγή θερμότητας για κάθε κόμβο του δικτυώματος Σε μόνιμη κατάσταση δεν συσσωρεύεται, ούτε εκλύεται Θερμότητα, στα σημεία αυτά και γενικά σε όλο το σώμα Αυτή είναι και η βασική αρχή η οποία θα μας οδηγήσει στην επίλυση Σχήμα : Το σώμα που απεικονίζεται θεωρείται ομογενές (ίδιο k παντού) Τετράγωνο πλέγμα στο οποίο διαιρείται το σώμα για να εφαρμοσθεί η μέθοδος relxtin
του προβλήματος Βήμα ο : Διαιρούμε το σώμα σε ένα τετράγωνο δίκτυο Βήμα ο : Θεωρούμε ότι οι κορυφές,,,n έχουν θερμοκρασίες αντίστοιχα,,, n Η ροή Θερμότητας, στην ως Q Q, από την κορυφή στη σημειώνεται ως Q και από τη Τότε, θα ισχύει: z Dy k ( ) () Q z Dy k ( ) () Q όπου z είναι το πάχος του σώματος κατά τον άξονα z, που είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος z D y είναι η επιφάνεια Α την οποία η θερμότητα διαπερνά κάθετα Αφαιρούμε την εξερχόμενη από την εισερχόμενη Θερμότητα και προσδιορίζουμε τη Θερμότητα που συσσωρεύεται ή εκλύεται στην κορυφή, η οποία, ωστόσο, θα πρέπει να ισούται με Προσοχή Εάν η υπόθεση των,, ήταν σωστή τότε η στον κόμβο θα έπρεπε να είναι ίση με ΜΗΔΕΝ Σύμφωνα με τα ανωτέρω έχουμε: Q που εκλύεται ή συσσωρεύεται Dy Dy Q Q Q kz ( ) kz ( ) () και επειδή Δy Δx ( + ) Q kz ή () q& Εάν τεθεί: q kz τότε
q (5) + Επειδή όπως είπαμε σε μόνιμη κατάσταση ισχύει: Q, τότε θα ισχύει και q (6) Λόγω της (5) συνεπάγεται α + (7) β + (8) Γενικά, θα ισχύει: γ q n n + n + n (9) ή n n n + + () Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή σε ένα πολύ απλουστευμένο παράδειγμα μονοδιάστατης ροής Η γενίκευση είναι εύκολη Με τη χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, προβλήματα αγωγής θερμότητας σε ή διαστάσεις, λύνονται εύκολα με την μέθοδο αυτή που καλείται Relxtin methd Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε μια μονοδιάστατη ροή θερμότητας σε μόνιμη κατάσταση, σ ένα σώμα, όπως δείχνει το σχήμα α, Το σημείο, έχει θερμοκρασία, και το σημείο, με θερμοκρασία Οι και είναι 8[ ο C] και [ ο C] αντίστοιχα Να προσδιοριστεί η στα σημεία και που ισαπέχουν από τα και Υποθέτουμε αρχικές θερμοκρασίες 7[ C] και [ C] Ο Πίνακας δείχνει την πορεία επίλυσης της άσκησης Σχήμα Πίνακας Βήμα θ Τ θ Τ +Τ Τ Τ Τ
8 7 8 θ 8+ 7 θ 7+ x7 x 8 (8+)/ θ 55+ 8 θ 8+7 5 x5575 5 8 (8+75)/ 5875 6 8 θ 8+9 8 x5875 875 7 8 (8+98)/ 569 8 8 θ 8+9 85 x5969 65 55 x5 55 ( + )/ (55+)/75 θ 5875+ x7575 5875 (5875+)/ 975 θ 5969+ x97597 75 975 5969 (5969+)/ 985 9 996 996 Περιγραφή των βημάτων της μεθόδου Για να κάνουμε αντιληπτή την πορεία που ακολουθούμε στη μέθοδο αυτή, υποθέσαμε αρχικά θερμοκρασίες που απέχουν αρκετά από τις πραγματικές τιμές Έτσι χρειάστηκαν βήματα ώστε οι θερμοκρασίες στα σημεία και να προσεγγίσουν στις πραγματικές, δηλ 6[ ο C] και [ C], ενώ αρχικά είχαν υποτεθεί 7[ ο C] και [ C], αντίστοιχα Ειδικότερα: Στο ο βήμα: Υποθέτουμε θερμοκρασίες στα σημεία και Έστω 7[ C] και [ C] Στο ο βήμα: Υπολογίζουμε τα θ και θ και από τη σχέση (9) ευρίσκουμε θ και θ Στο ο βήμα: Μηδενίζουμε το θ που έχει τη μεγαλύτερη (απόλυτη) τιμή: Θέτουμε θ λόγω της γνωστής συνθήκης (6), όπου στη μόνιμη κατάσταση το καθαρό ποσό Q που έρχεται η φεύγει από μια κορυφή είναι ΜΗΔΕΝ Προσδιορίζουμε στη συνέχεια μια νέα τιμή της από την (8), ενώ η παραμένει αδιατάρακτη Ευρίσκουμε 55[ C] Η παραμένει [ C] Στο ο βήμα: Η θ τίθεται, τώρα, ίση με μηδέν, και προσδιορίζεται μια νέα τιμή της, από την σχέση () Ευρίσκουμε 75[ C] και η παραμένει αμετάβλητη και ίση με 55[ C]
Επίσης, υπολογίζεται η θ, ενώ η Τ παραμένει, όπως είπαμε, αμετάβλητη Στη συνέχεια μηδενίζουμε το θ στο 5 ο βήμα, βλ Πίνακα και ευρίσκουμε 5875[ C], με την 75[ C] να παραμένει ως έχει Η διαδικασία αυτή με μηδενισμούς των θ και θ συνεχίζεται, έως ότου και το θ και το θ γίνουν ΜΗΔΕΝ στο ίδιο βήμα Η διαδικασία περατώνεται όταν η τιμές των Τ και Τ σε δυο συνεχείς B Δισδιάστατη Ροή Θερμότητας Στο διπλανό σχήμα, β, υποθέτουμε ότι η θερμότητα ρέει μόνο κατά τις διευθύνσεις x και y, έχουμε δηλαδή δισδιάστατη ροή θερμότητας Χωρίζουμε το σώμα σε ένα πλέγμα με ακμές Δχ κ Δψ Ειδικότερα, υποθέτουμε ότι η ροή θερμότητας λαμβάνει χώρα μόνο μήκος των κόμβων που συνδέονται μεταξύ τους Μια απλοποιημένη έκφραση του νόμου του Furier για την περίπτωση του εν λόγω σχήματος δίδει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων για την ροή θερμότητας από τους γειτονικούς προς τον Β κόμβους (Β,C,B,A ) ( ) y Q& D k z B B (α) y Q& D k z ( B B ) (β) y Q& D k z ( A B ) (γ) y Q& D k z ( C B ) (δ) Εάν θεωρήσουμε μόνιμη κατάσταση, θα πρέπει Q& Έχοντας κατά νουν ότι, Δx Δy και εφαρμόζοντας την ανωτέρω συνθήκη, θα προκύψει ότι: i i B A B C Δx Σχήμα β B Δy q Q& kz + + + B B A C B (ε) Επειδή πρέπει να ισχύει: q (στ) (ζ) B + B + A + C B Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε το σχήμα που παριστάνει τετράγωνο πλαίσιο Οι θερμοκρασίες στις ακμές είναι σταθερές και φαίνονται στο σχήμα Σχήμα : Προσδιορισμός των θερμοκρασιών σε ένα επίπεδο με σταθερές θερμοκρασίες στις
Ζητούμε να προσδιορίσουμε τις θερμοκρασίες σε κάθε σημείο (x,y) εντός του πλαισίου Για τούτο χωρίζουμε το πλαίσιο σε ένα δικτύωμα μέσω καθέτων ευθύγραμμων σωμάτων Παρατήρηση Είναι προφανές, ότι είναι δυνατό να χωρίσουμε το πλαίσιο σε ένα δίκτυο με ακόμη μικρότερες διαστάσεις, εάν θέλουμε να προσδιορίσουμε τη θερμοκρασιακή κατανομή κατά λεπτομερέστερο τρόπο Ας υποθέσουμε κατ αρχήν θερμοκρασίες για τα σημεία, b, c και d b c d [ C] [ [ C] [ Στα επόμενα φαίνεται το κάθε βήμα της μεθόδου relxtin την οποία ακολουθήσαμε για τη λύση της Αγωγής Θερμότητας στο διδιάστατο αυτό πρόβλημα Στο ο βήμα: Υπολογίζουμε τα θ, θ b, θ c και θ d Μάλιστα, το θ προκύπτει ίσο με μηδέν, εντελώς τυχαία Στο ο βήμα: Θέτουμε θ b και προσδιορίζουμε το b ([ ο C]) από σχέση ανάλογη της (ζ) Στο βήμα αυτό έχουμε θ c, θ d, θ b Στο ο βήμα: Θέτουμε θ c Δηλ σε κάθε βήμα μηδενίζουμε το θ εκείνο που έχει μεγαλύτερη τιμή Προσδιορίζουμε το Τ c [ C] Στη συνέχεια (ίδιο βήμα) υπολογίζουμε τα θ, θ b από σχέση ανάλογη της (ε) που ισούνται με μηδέν, ενώ και το θ d q 5 [ C] + 5[ C] + c + 5[ C] + 5[ C] + [ C] + [ C] [ C] b Αναλυτικά η κατά βήμα διαδικασία φαίνεται στον Πίνακα Πίνακας Βήμα ο Βήμα ο Βήμα ο Τ [ ο C] [ ο C] [ ο C]
θ θ 5+5 ++ x θ 5+5 ++ x θ 5+5 ++ x Τ b [ ο C] Τ b (+5+ +)/ [ ο C] b [ ο C] θ b θ b +5+ ++ x θ b θ b +5+ ++ x Τ c [ ο C] Τ c [ ο C] c (5+ ++)/ [ ο C] θ c θ c 5+ ++ x θ c 5+ ++ x θ c d [ ο C] [ ο C] [ ο C] θ d θ d + ++ x θ d + ++ x θ d + ++ x Συμπέρασμα: Οι θερμοκρασίες στα σημεία,b,c,d είναι: [ ο C] b [ ο C] c [ ο C] d [ ο C] Επίλυση προβλημάτων Αγωγής Θερμότητας, σε μόνιμες συνθήκες με Αριθμητική Ανάλυση Δισδιάστατη Ροή Θερμότητας: Μια προσέγγιση με βάση τις πεπερασμένες διαφορές Θεωρητική ανάλυση Ας θεωρήσουμε τώρα τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει την Αγωγή θερμότητας σε δύο διαστάσεις (x,y): q + x y k * ()
Ζητούμε να λύσουμε την () με το να βρούμε μια συνάρτηση (x, y) για την οποία θα ισχύει ότι το άθροισμα των δευτέρων παραγώγων, και σε κάθε x y σημείο (x,y) θα ισούται με μηδέν, εάν q *,ή θα ισούται με q *,εάν το q * k Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε το σχήμα Σχήμα : Πρόβλημα διδιάστατης αγωγής θερμότητας Το επίπεδο χωρίζεται σε ένα δίκτυο όπως φαίνεται στο σχήμα Τα σημεία i,j είναι κόμβοι στους οποίους ρέουν και εκρέουν ποσά θερμότητας Έστω ότι είναι γνωστή η θερμοκρασία, Τ,στα σημεία x και x+δx Τότε, @ x (x + ) (x) (α) Η εξίσωση αυτή είναι ακριβής όταν D x fi, αλλά στην αριθμητική ανάλυση δεχόμαστε το Δx περασμένο Κατά συνέπεια, το (x + ) (x) είναι μια πεπερασμένη διαφορά Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ανάπτυξης μιας συνεχούς συνάρτησης σε σειρά κατά ylr, παίρνουμε την σχέση : (x + ) (x) + + + () x x
Το σφάλμα που περιέχει η σχέση () είναι της τάξης του x ( x ) πρώτος αμελητέος όρος D που είναι ο Η δεύτερη παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας τις διαφορές της χρήση της σχέσης () / x με @ x Ø º (x + ) (x) (x) (x ) ß (x ) (x) + (x + ) @ () Όπως και προηγουμένως, με χρήση της σειράς του ylr, συμπεραίνουμε ότι ο D x x πρώτος αμελητέος όρος στη σχέση () είναι ( ) Το σχήμα δείχνει ένα δίκτυο διηρεμένο σε ορθογωνικά στοιχεία πλευρών Δx και Δy, στο επίπεδο (x,y) Για να αποφύγουμε να γράφουμε συνεχώς (x+δx, y+δy) κλπ, θα χρησιμοποιήσουμε τους δείκτες (m,n) με τους οποίους θα αυξάνουμε τα x και y βηματικά κατά mδx και nδy αντίστοιχα Κατ αυτόν τον τρόπο, αναφερόμενοι στο σχήμα, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις σχέσεις (α) και () ως εξής: @ x D @ x x [ ] m+,n [ + ] m+,n m,n m,n m,n (5α) (5β) Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο προκύπτουν οι παράγωγοι για τον άξονα y: @ y @ y Dy Dy [ ] m,n+ [ + ] m,n+ m,n m,n mx,n (6α) (6β) Αντικαθιστώντας στη σχέση () τις παραγώγους από τις σχέσεις (5α,β) και (6α,β) καταλήγουμε στην: q ( + b) m,n bm,n + + m +,n + bm,n + bm,n + (7) k *
όπου, ( Dy) b Κατ αυτόν τον τρόπο, η διαφορική εξίσωση () αντικαταστάθηκε από την γραμμική αλγεβρική εξίσωση (7) η οποία συσχετίζει την κομβική θερμοκρασία m,n με τους γειτνιάζοντες κόμβους και την τιμή του * q Η μαθηματική αυτή διαδικασία καλείται και γραμμικοποίηση της διαφορικής εξίσωσης Εφαρμόζοντας την σχέση (7) σε κάθε μια από τις N άγνωστες κομβικές θερμοκρασίες, παίρνουμε N γραμμικές εξισώσεις με N αγνώστους Αν το Ν είναι μικρό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Guss ή τη μέθοδο του Αντίστροφου Πίνακα για την επίλυση του συστήματος Σε πραγματικά προβλήματα ωστόσο, είναι πιθανότερο οι άγνωστοι να είναι πολλοί Στην περίπτωση αυτή, κάνουμε χρήση της επαναληπτικής μεθόδου Συχνότερα συναντάμε προβλήματα τετραγωνικού δικτυώματος, δηλ m, n D x Dy b και μηδενικής παραγωγής θερμότητας q * Στην περίπτωση αυτή, η (7) ολοκληρώνεται και γράφεται: ( + + ) (8) m,n m,n+ m+,n m,n + m,n Ο Πίνακας δείχνει στοιχειώδεις επιφάνειες δικτυωμάτων και τις αντίστοιχες γραμμικές σχέσεις των πεπερασμένων διαφορών, όπου έχουμε Αγωγή και Μεταφορά Θερμότητας Πίνακας Στοιχείο Διαφορική εξίσωση για ΔxΔy Περίπτωση : Εσωτερικός Κόμβος + + m,n + m +,n + m,n m, n (9) m,n Περίπτωση : Κόμβος σε εσωτερική γωνία και με μεταφορά θερμότητας (h) ( m,n+ h k + m,n ) + ( m+,n h + Ł k ł + m,n m,n ) + ()
Περίπτωση : Κόμβος σε επίπεδη επιφάνεια και με μεταφορά θερμότητας (h) ( m,n h k + m,n+ + m,n ) + h + Ł k ł m,n () * Περίπτωση : Κόμβος σε εξωτερική γωνία με μεταφορά (h) h (m,n m,n ) + k h + m,n Ł k ł + () Περίπτωση 5: Κόμβος κοντά σε καμπύλη επιφάνεια διατηρούμενη σε σταθερή θερμοκρασία + + + Ł m+,n ( + ) b( b + ) b ł m,n b + + + m,n () * Για να πάρουμε τη γραμμική σχέση για μια αδιαβατική επιφάνεια (πλήρης μόνιμη ή για μια συμμετρική επιφάνεια), θέτουμε το h ίσο με μηδέν Επαναληπτική Μέθοδος Παράδειγμα Ζητείται η ανάλυση του προβλήματος της Αγωγής θερμότητας σε ένα διδιάστατο πλαίσιο, όπως αυτό του σχήματος 5 Έχουμε δηλ ένα ορθογωνικό σώμα με θερμοκρασίες εξωτερικών επιφανειών αυτές που αναγράφονται στο σχήμα Θέλουμε να υπολογίσουμε την κατανομή θερμοκρασίας στο εσωτερικό του Προσοχή: Επειδή το πρόβλημα μας είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία που ορίζεται από την x L, οι εννιά εσωτερικοί κόμβοι του σχήματος μας δίνουν 6 αγνώστους, 6 Σχήμα 5: άξονες συμμετρίας σε ένα δικτυακό πλέγμα που χωρίζεται μια επιφάνεια
Εφαρμόζοντας τη σχέση (8) προκύπτει: 5 6 ( + + + ), ( + + 5 + ), ( + + 6 + ), ( + 6 + + ), ( + 5 + + 5 ) ( + + + ), () Αρχικά υποθέτουμε μια γραμμική κατανομή κατά τον άξονα y Ακολούθως, θέτουμε τις τιμές αυτές στις σχέσεις () και υπολογίζουμε με τη σειρά τις νέες τιμές των,, 6 που δίνουν οι εξισώσεις αυτές Επαναλαμβάνουμε τα ίδια μέχρι ότι επέλθει σύγκλιση, των τιμών, της θερμοκρασίας για κάθε ένα σημείο Τα αποτελέσματα των υπολογισμών δίνονται στον Πίνακα Πίνακας Αρχική Επανάληψη των εξισώσεων () Κατανομή # # #5 # #5 75 ο 565 68 76 885 857 75 ο 6565 567 5557 576 5679 5 ο 8 66 969 8777 875 5 ο 96 856 588 57 5 5 5 ο 5 895 758 757 7 6 5 ο 699 58 6 985 98 Παρά την πολύ λανθασμένη αρχική εκτίμηση, οι υπολογισμοί συγκλίνουν μετά από 5 επαναλήψεις Παρατήρηση: Δε θα πρέπει να συγχέουμε την σύγκλιση με την ακρίβεια Οι τιμές στις οποίες συνέκλινε η μέθοδος για ο κάθε σημείο συνεχίζουν να έχουν απόκλιση από τις πραγματικές θερμοκρασίες Το ζήτημα αυτό, συζητάται στις παρατηρήσεις του Προβλήματος Η Μέθοδος του Αντίστροφου Πίνακα Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα Ν διαφορικών εξισώσεων με Ν άγνωστες θερμοκρασίες:
+ + + + + + + + N N N N C C N N N NN N M M M M M M (5) + + + + C N όπου οι αριθμοί,,,,ν αντιπροσωπεύουν τους κόμβους και οι ποσότητες,,,c,, CN είναι γνωστοί συντελεστές και σταθερές που περιέχουν ποσότητες όπως Δx, k, h και α Προσοχή: Είναι δυνατόν μια ποσότητα ij να είναι μηδέν, όταν στην (5) απουσιάζει ο όρος ή ή N Χρησιμοποιώντας συμβολογραφία Πινάκων, οι εξισώσεις (5) μπορούν να γραφούν ως: [ A][] [C] (6) όπου, Ø A M º N M N N N M NN, ß Ø M º N ß, C ØC C M º C N ß Ο συντελεστήςπίνακας [Α] είναι τετράγωνος και τα στοιχεία του προσδιορίζονται από έναν διπλό δείκτη, του οποίου το πρώτο και το δεύτερο ψηφίο αναφέρονται σε γραμμές και στήλες αντίστοιχα Οι πίνακες [Τ] και [C] είναι πίνακεςδιανύσματα με μια στήλη Καλούνται πίνακαςλύση και πίνακας δεξιάς πλευράς αντίστοιχα Αν εφαρμόσουμε τη σχέση (6) πολλαπλασιάζοντας τους πίνακες [Α] και [Τ] θα καταλήξουμε στην (5) Ο πίνακαςλύση μπορεί να γραφεί ως: [][A] [C] (7) όπου [Α] είναι ο αντίστροφος του [Α] και ορίζεται ως: [ A] Øb b M º b N b b b M N b b b N N M NN ß 5 Ο υπολογισμός του δεξιού μέλους της σχέσης (7) θα δώσει:
b b C C + b + b C C + + b + + b N N C C N N M M M M M (8) b C + b C + + b C N N N NN N 6 Το πρόβλημα περιορίζεται, συνεπώς, στον υπολογισμό του [A] Επομένως, πρέπει να προσδιοριστούν τα στοιχεία του [Α] ώστε να ακολουθήσει ο υπολογισμός των αγνώστων θερμοκρασιών από τις ανωτέρω σχέσεις Σημείωση Η αντιστροφή Πίνακα μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα και γρήγορα με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή 7 Εάν το πλήθος των εξισώσεων είναι μικρό, τότε οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν και με μία μικρή αριθμητική μηχανή χειρός Δηλαδή, η μέθοδος αυτή είναι ένας βολικός τρόπος επίλυσης δισδιάστατων προβλημάτων αγωγής Παρ όλα αυτά, η μέθοδος αυτή δε δίνει αρκετά ακριβή αποτελέσματα κι έτσι προτιμάται η επαναληπτική μέθοδος Σημείωση: Στο φάκελο «Ασκήσεις» θα βρείτε, συνοπτικά γραμμένη, τη θεωρία υπολογισμού του Αντιστρόφου Πίνακα συνοδευόμενη από μια εφαρμογή Πρόβλημα Ένας μεγάλος βιομηχανικός φούρνος στηρίζεται σε μια μακριά τετραγωνική στήλη πυρότουβλων με διαστάσεις [m]x[m] Σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης (stedy stte), οι τρεις επιφάνειες της στήλης διατηρούνται στους 5[Κ], ενώ η τέταρτη είναι εκτεθειμένη στο περιβάλλον σε ρεύμα αέρος θερμοκρασίας b [K] και με συντελεστή μεταφοράς θερμότητας [ K] h W m, βλ σχήμα 6 Χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Αντιστροφής Πίνακα και χωρίζοντας την επιφάνεια σε ένα πλέγμα, όπου ΔxΔy5[m], ζητούμε να υπολογίσουμε τη θερμοκρασιακή κατανομή στη στήλη αυτή, καθώς και και τη ροή θερμότητας προς το περιβάλλον Σχήμα 6: Τομή της στήλης από πυρότουβλο Έχει χωριστεί σε πεπερασμένα τετράγωνα διδιάστατα στοιχεία
Λύση: Για το πυρότουβλο, από το Φάκελο ΠίνακεςΔεδομένα και για 78[K] λαμβάνουμε: k[w/mk] Το δίκτυο που χρησιμοποιούμε στο σχήμα 6 αποτελείται από κόμβους των οποίων η θερμοκρασία είναι άγνωστη Ωστόσο, το πλήθος των αγνώστων μειώνεται σε 8, λόγω συμμετρίας Οι θερμοκρασίες των κόμβων που βρίσκονται αριστερά της γραμμής συμμετρίας θα πρέπει να είναι ίδιες με εκείνες των κόμβων που βρίσκονται δεξιά της Για τούτο και η αρίθμηση των κόμβων είναι συμμετρική περί τον άξονα συμμετρίας Η σχέση (8) δίνει για τους κόμβους, και 5: Κόμβος : + + 5 + 5 + + 5 + 5 + 6 + 7 + 5 5 Κόμβος : Κόμβος 5: Ομοίως: Κόμβος : + + + 5 Κόμβος : + + 6 + 5 + 5 + 8 6 Κόμβος 6: Από τη σχέση (9), του Πίνακα, και το γεγονός ότι h / k 5 προκύπτει για τους κόμβους 7 και 8: Κόμβος 7: + + 9 5 8 7 6 + 7 + 5 98 Κόμβος 8: Μπορούμε τώρα να γράψουμε τις ανωτέρω εξισώσεις, όπως το σύστημα εξισώσεων (5), ήτοι: + + + + + + + + + + + + + 5 + + + 5 + + + 5 (9) + + + + 6 + + + + + 5 + 6 + 7 + 5 + + + + 5 6 + + 8 + + + + 5 + 9 7 + 8 + + + + + 6 + 7 9 8 5 Τα παραπάνω στη σχέση (9) μπορούν να γραφούν υπό τη μορφή Πινάκων, σύμφωνα με την σχέσεις (6),(7), ως ακολούθως:
[ ] ß º Ø 9 9 A, [ ] ß º Ø 5 5 5 5 C Συνεπώς, είναι εύκολο να βρούμε τον αντίστροφο του [Α], δηλ τον [Α], και κατόπιν από τη σχέση [C] [A] [] να βρούμε τον [], πολλαπλασιάζοντας τον [ ] A με τον Πίνακαστήλη [ ] C Τελικά ευρίσκουμε: C 95 5699 87 695 6 77 855 89 [] 8 7 6 5 ß º Ø ß º Ø Η ροή θερμότητας από τη στήλη στο ρεύμα αέρα μπορεί να υπολογιστεί από την έκφραση:
Q Ø h L º Ł ł Ł ł ( ) + ( ) + ( ) ß S 7 S Ł ł, () όπου ο συντελεστής που βρίσκεται έξω από τις αγκύλες οφείλεται στη συμμετρία, καθώς η θερμοκρασία 7 συναντάται φορές στο σχήμα 6 Συνεπώς, Q L Ł ł Q L Ł ł 88 [ K] ( 5[m] [K] + 5[m] 5699[K] + 5[m] 95[K] ) W m [ W / m] Παρατηρήσεις: Αν και οι τιμές των θερμοκρασιών, όπως τις προσδιορίζουμε, είναι ακριβείς λύσεις των διαφορικών εξισώσεων, ωστόσο, δεν περιγράφουν, με ακρίβεια την κατανομή της θερμοκρασίας στην τομή της στήλης Για να αποκτήσουμε μια ακριβέστερη εικόνα της ζητούμενης θερμοκρασιακής κατανομής, θα πρέπει να αυξήσουμε το πλήθος των πεπερασμένων στοιχείων του πλέγματος, μειώνοντας το μήκος της πλευράς τους Για να βεβαιωθούμε για την απουσία σφαλμάτων κατά το σχηματισμό των διαφορικών εξισώσεων ή την επίλυσή τους, είναι απαραίτητος ένας έλεγχος από τον οποίο θα διαπιστώσουμε την ισχύ ή την μη ισχύ (οπότε υπάρχει σφάλμα) της Αρχής της Διατήρησης της Ενέργειας (ΑΔΕ) Για συνθήκες μόνιμης κατάστασης και για έναν όγκο ελέγχου που περιλαμβάνει μια περιοχή της οποίας οι κομβικές θερμοκρασίες έχουν υπολογιστεί, η ΑΔΕ επιβάλλει την ισότητα των ποσών της εισερχόμενης και της εξερχόμενης σε αυτόν τον όγκο θερμότητας
ε ε Σχήμα 6: Η θερμότητα που άγεται προς τον απειροστό όγκο ελέγχου (όπως ορίζεται με την διακεκομμένη γραμμή), πρέπει να ισούται με αυτήν που μεταφέρεται από τον όγκο αυτό στον περιβάλλοντα αέρα Τον απειροστό όγκο περικλείει η διακεκομμένη γραμμή Τα διανύσματα δείχνουν εάν θερμότητα εισέρχεται στον όγκο ελέγχου ή εξέρχεται από αυτόν Ερώτηση: Γιατί δεν μεταφέρεται θερμότητα από τα σημεία,,6 προς τα δεξιά της διακεκομμένης γραμμής ; Απάντηση: Λόγω του ότι το σχήμα έχει συμμετρία περί τον άξονα εε, σε θερμοκρασίες είναι συμμετρικά ίσες και επομένως η οριζόντια διαφορά θερμοκρασιών είναι μηδέν μεταξύ των συμμετρικών σημείων Συνεχίστε την διερεύνηση για να φτάσετε σε συμπέρασμα Από το ανωτέρω σχήμα γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι για να ικανοποιείται η ΑΔΕ θα πρέπει η θερμότητα που άγεται προς τον απειροστό όγκο ελέγχου, ισούται με αυτήν που μεταφέρεται από τον, εν λόγω, όγκο στον περιβάλλοντα αέρα Θα πρέπει δηλαδή να ισχύει η ακόλουθη σχέση: q & + & & & & & & + & () () () () () q + q + q + q 5 + q 7 q 7 q 8
Ο ρυθμός με τον οποίο η θερμότητα άγεται προς τον όγκο ελέγχου, δίδεται από τη σχέση: Q L k k[ Dy ( ) ( ) ( ) Dy ( ) ( ) Dy ( ) S S + Dy + Dy S S 5 + + S S Dy 7 + ] 9[ W / m] () Ο ρυθμός με τον οποίο η θερμότητα μεταφέρεται από τον όγκο προς το περιβάλλον, δίδεται από τη σχέση: Q L h Ø h( º ) + ( 8 ) 99[ W / m] () ß 7 Η συμφωνία μεταξύ των τιμών των ποσών της θερμότητας, που άγεται προς τον υπό εξέταση όγκο και αυτής που μεταφέρεται από αυτόν στο περιβάλλον (μέσα στα όρια που επιτρέπει το σφάλμα που δημιουργείται από τη στρογγυλοποίηση των δεκαδικών ψηφίων), επιβεβαιώνει ότι δεν έχουν γίνει λάθη κατά το σχηματισμό και την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων Μέθοδος GussSeidel για την επίλυση του γραμμικού συστήματος των κομβικών θερμοκρασιών Η θερμοκρασιακή κατανομή της ανωτέρω ασκήσεως μπορεί να υπολογιστεί και με την επαναληπτική μέθοδο Guss Seidel Από τις σχέσεις (9) λύνοντας ως προς Τ,Τ,κλπ προκύπτει ότι: 5 6 7 8 5 5 5 5 5 5 (k) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 6 5 + (k ) (k ) (k ) 6 + (k) + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (k ) 8 (k ) 7 (k) 6 (k ) 5 (k ) 7 (k) 8 + + 6667 + 5 + 5 () Διαμορφώνοντας τις σχέσεις στην απαιτούμενη μορφή, όπως στην (), η επαναληπτική μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί με την χρήση του Πίνακα Αυτός ο Πίνακας έχει μια στήλη για τον αύξοντα αριθμό του βήματος(k) και μιαν άλλη για κάθε κόμβο, i
Η διαδικασία υπολογισμού των θερμοκρασιών έχει ως ακολούθως: Στη γραμμή για την οποία k εισάγονται οι αρχικές τιμές των θερμοκρασιών, όπως τις υποθέσουμε, έστω κι αν η αρχική υποθετική τιμή δεν είναι ορθή ή πλησίον της πραγματικής Χρησιμοποιώντας τις αρχικές τιμές των θερμοκρασιών και τις ανωτέρω γραμμικές εξισώσεις, υπολογίζονται οι τιμές της πρώτης επανάληψης (k) Οι τιμές αυτές εισάγονται στην αντίστοιχη γραμμή του Πίνακα (k) Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τον υπολογισμό της τιμής i από την τιμή της i, έως ότου να επιτευχθεί ικανοποιητική σύγκλιση των εξαγόμενων τιμών Πίνακας k 5 6 7 8 8 7 9 7 5 775 7 59 8 8 56 7 88 757 65 5 66 9 558 77 86 86 676 57 59 56 8 87 89 697 596 55 7 566 86 5 88 8 78 67 6 79 567 88 6 887 85 7 6 65 8 569 89 7 89 88 77 66 67 85 569 9 8 89 85 79 68 68 86 569 9 Σχόλιο: Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, για να επιτευχθεί ένας ακριβέστερος προσδιορισμός της θερμοκρασιακής κατανομής της επιφάνειας, χρειάζεται να πυκνώσουμε το πλέγμα