3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10. Η ακολουθία με ιοστό όρο α = α 1 + 4 είαι αριθμητική πρόοδος. β + γ 3. Α ισχύει α =, ο α λέγεται αριθμητικός μέσος τω β και γ. 4. β + γ Α ισχύει α =, αυτό σημαίει ότι οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. Ο 3 ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με α 1 = 1,6 και ω = 0, είαι α 3 = 6. 6. Η αριθμητική πρόοδος με α 4 = 10 και α 7 = 19 έχει α 1 = 3 και ω = 1. 7. Το άθροισμα 1 + + 3 + + (n 1) + n + (n 1) + + + 1 ισούται με n. 8. Η ακολουθία, 5, 8, 11, είαι αριθμητική πρόοδος. 9. Η ακολουθία 4, 1, 18, 15, είαι αριθμητική πρόοδος. 10. Η ακολουθία, 5, 8, 11,... είαι αριθμητική πρόοδος. 11. Η ακολουθία με ιοστό όρο α = 4 + 6 είαι αριθμητική πρόοδος. 1. Η ακολουθία με ιοστό όρο α = + 6 είαι αριθμητική πρόοδος. 4 13. Οι αριθμοί x x 1, x + 1, x + x 1 αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 49

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 14. Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α 1 + ( - 1) ω. 15. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι (α + α ) S = 1. 16. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής προόδου είαι α + ( 1) ω 1. S = [ ] 17. Α α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. 18. ( + 1) Το άθροισμα S = 1 + +... + =. 1 1 1 19. Η ακολουθία,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 8 0. τη αριθμητική πρόοδο, 7, 1, 17,... η διαφορά ω είαι 5. 1. ε μία αριθμητική πρόοδο με α 1 = 5 και ω = - 3 είαι S = (13-3). Η αριθμητική πρόοδος 3, 7, 11,... έχει S = 4-1. 3. Η αριθμητική πρόοδος - 5, - 8, - 11,... έχει α = - 3-. 4. ε μια αριθμητική πρόοδο με α 1 = - 3 και ω = 5 το α = 3 5-1. 5. Η αριθμητική πρόοδος 4, 17, 10,... είαι γησίως αύξουσα.. ε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις α σημειώσετε τη σωστή απάτηση. 1. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου α = 7 + είαι: Α. 7 Β. 9 Γ. 5 Δ. 14 50

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ. Για κάθε αριθμητική πρόοδο με το πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω ο ιοστός όρος είαι: Α. α = α 1 + ( + 1) ω Β. α = α 1 + ω Γ. α +1 = α 1 + ( 1) ω Δ.. α = α 1 + ( 1) ω. 3. Για κάθε αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω το άθροισμα τω πρώτω όρω είαι: v Α. Sv = a1 + ( v 1) ω Β. Sv = v a1 + ( v 1) ω a1 + vω Γ. Sv = v v Δ.. Sv = a1 + ( v+ 1) ω 4. 1 Α για αριθμητική πρόοδο α 1 = 4, ω = και = 13, τότε: 4 Α. α = 1 Β. α = 1 Γ. α = 0 Δ.. α = 7 5. Η αριθμητική πρόοδος με α 1 = 8 και α 8 = 85 έχει διαφορά: Α. ω = 13 Β. ω = 10 Γ. ω = 1 Δ. ω = 11 6. Το άθροισμα τω πρώτω 30 όρω της αριθμητικής προόδου 3, 7, 11, 15, είαι: Α. 3660 Β. 183 Γ. 330 Δ. 1830 7. Το άθροισμα 1 + + 3 + + 10 + 9 + 8 + + + 1 είαι ίσο με: Α. 100 Β. 55 Γ. 00 Δ. 50 8. Το άθροισμα 1 + 4 + 7 + + 40 είαι ίσο με: Α. 87 Β. 40 Γ. 78 Δ. 1140 9. Η διαφορά ω μιας αριθμητικής προόδου πρέπει α είαι: Α. ω 1 Β. ω 0 Γ. ω > 0 Δ. ω R 10. Α η αριθμητική πρόοδος έχει διαφορά ω = 0, τότε είαι Α. αύξουσα Β. φθίουσα Γ. σταθερή Δ. τίποτα από τα προηγούμεα 51

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 11. Ο τρίτος όρος της αριθμητικής προόδου με Sv = 6v είαι: Α. α 3 = 54 Β. α 3 = 30 Γ. α 3 = 4 Δ. α 3 = 18 1. Να βρεθεί η τιμή του x ώστε οι αριθμοί 6x, 3x, 5x 3 α αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 5 Α. x = 0 Β. x = Γ. x = 1 Δ. x = 5 8 13. Α οι αριθμοί α, β, γ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς: Α. αβ, βγ, γα Β. α + β, β + γ, γ +α Γ. α βγ, β αγ, γ αβ Δ. α βγ, β αγ, γ αβ 14. Α οι γωίες Α, Β, Γ του τριγώου ΑΒΓ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει: Α. Α=Β=Γ Β. 0 Γ=90 Γ. 0 Β= 60 Δ. Α= 0 30 15. Α στο τρίγωο ΑΒΓ οι πλευρές α, β, γ αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, τότε το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς: Α. ημα, ημβ, ημγ Β. συα, συβ, συγ Γ. εφα, εφβ, εφγ Δ. σφα, σφβ, σφγ 16. Aπό τις παρακάτω ακολουθίες αριθμητική πρόοδος είαι η Α. 3, 6, 8, 10, 11,... Β., 4, 8, 16, 3,... Γ. -3, 1, 5, 9, 13,... Δ. -3, 0, 3, 6,... Ε.,,,,... 5 7 9 11 4 17. Α η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είαι η μεγαλύτερη ρίζα και ο πρώτος της όρος η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης x 5x+ 6= 0, τότε ο 3 ος όρος της προόδου είαι ο Α. 7 Β. 5 Γ. 5 Δ. 7 Ε. 8 5

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 18. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 3 και α 5 = 3. Τότε η διαφορά ω είαι ίση με Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. 1 Ε. 0 19. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 10 = και ω =3. Τότε α1 είαι ίσο με Α. 5 Β. 1 Γ. - 1 Δ. 6 Ε. 5 0. ε μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α1 = 3 και διαφορά ω = 4 έχουμε α =35. Τότε το πλήθος τω όρω της είαι Α. 7 Β. 3 Γ. 31 Δ. 9 Ε. 8 1. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 8 = 40 και α 0 = 0. Τότε o 14 ος όρος της είαι ίσος με Α. 5 Β. 1 Γ. 10 Δ. 9 Ε. 0. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 11 και ω = 3. Τότε οι θετικοί της όροι είαι οι Α. Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε. όλοι οι όροι της 3. Ο 10 ος όρος της αριθμητικής προόδου : 10, 7, 4, είαι Α. 14 Β. 0 Γ. - 17 Δ. 30 Ε. 0 4. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 7 και ω =. Τότε δε είαι όρος της ο Α. 15 Β. 11 Γ. 5 Δ. 1 Ε. 1 5. Η ακολουθία με γεικό όρο α = 3 + είαι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω ίση με Α. 5 Β. Γ. - 1 Δ. 3 Ε. 10 6. ε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 1 = 8 και ω =3. Τότε ο ιοστός της όρος είαι ίσος με Α. α = 8+ 3 Β. α = 3 + 8 Γ. α = 3 + 5 Δ. α = 5+ 3 Ε. α = +11 53

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 7. Έας μαθητής ύψους 1,7 m στέκεται μπροστά σε μια σκάλα, κάθε σκαλοπάτι της οποίας έχει ύψος 18 cm. α) Το πρώτο σκαλοπάτι της σκάλας, που βρίσκεται σε μεγαλύτερο ύψος από το μαθητή, είαι το Α. όγδοο Β. δέκατο Γ. εδέκατο Δ. δωδέκατο Ε. Εικοστό β) Δε υπάρχει σκαλοπάτι που α βρίσκεται σε ύψος από το έδαφος Α. 36 cm Β. 54 cm Γ. 7 cm Δ. 1,44 m Ε. 1,56 m 8. Η αριθμητική πρόοδος: α, α+ c, α + 4c, είαι γησίως αύξουσα ότα Α. α> 0 Β. c 0 Γ. c < 0 Δ. c > 0 Ε. πάτοτε 9. Α σε μια αριθμητική πρόοδο είαι α 4 = x και α 6 = y, τότε η διαφορά ω είαι ίση με x+ y x y x Α. Β. Γ. y y x y Δ. Ε. x 30. Η διαφορά της αριθμητικής προόδου : α + β, α, α β, είαι Α. α Β. β Γ. β Δ. α Ε. β 31. Από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους προόδου η Α. 5, 0, 35 Β. - 5, 0, 5 Γ. 45, 0, - 5 Δ. 5, -10, -5 Ε. - 5, 0, 35 αριθμητικής 3. Α οι αριθμοί 3k, k + 4, k - 1 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ο k είαι ίσος με Α. 4 Β. Γ. 5 Δ. 4,5 Ε. 1,5 33. Α τρεις ακέραιοι αριθμοί είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχου άθροισμα 1 και γιόμεο 80, τότε αυτοί είαι Α., 10, 14 Β. 5, 7, 9 Γ. 4, 7, 10 Δ. 1, 7, 13 Ε. - 4, 7, - 10 54

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 34. Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει Α. y = x+ z Β. z= x+ y Γ. z= x+ y Δ. z y = y x Ε. z x = y 35. Α οι γ, α+ β, α β είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. 1 Β. γ = β α Γ. γ = α +β Δ. γ = α+3β Ε. γ = α +4β 36. 37. Α οι αριθμοί 1 1 1,, α β γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. 1 α+ γ 1 1 1 = Β. = Γ. = + β β α+ γ β α γ Δ. β 1 1 1 = + Ε. = + α γ β α γ Από τις επόμεες τετράδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου η Α., 5, 8, 11 Β. - 13, - 9, - 5, - 1 Γ. 8, 18, 38, 58 Δ. - 6, - 1, 4, 9 Ε. - 4, -, 0, 38. Α οι α, β, γ, δ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ποια από τις παρακάτω απατήσεις δε είαι σωστή; Α. β+ γ = α+ δ Β. α + γ =β Γ. β + δ =γ Δ. δ γ = β α Ε. α + β + γ = δ 39. Ο 15 είαι ο αριθμητικός μέσος τω αριθμώ Α. 5 και 0 Β. -5 και 5 Γ. -9 και -1 Δ. 9 και 1 Ε. 9 και 1 40. τη αριθμητική πρόοδο: 5, 9, 13, 17, 1, 5 αριθμητικός μέσος είαι ο Α. 18 Β. 0 Γ. 30 Δ. 15 Ε. 90 41. Οι διάφοροι του μηδεός πραγματικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ποια από τις παρακάτω τριάδες δε αποτελείται από διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου; Α. γ, β, α Β. α, β, γ Γ. α, β, γ 1 1 1 Δ.,, Ε. γ, β, α α β γ 3 3 3 55

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 4. Α σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε α 1 = 5 και ω = 5, τότε το άθροισμα τω 4 πρώτω όρω της είαι Α. 18 Β. 43 Γ. 50 Δ. 0 Ε. 89 43. ε μια αριθμητική πρόοδο τα αθροίσματα S 6 = 93 και S 5 = 90. Τότε ισχύει Α. ω = 3 Β. α 1 = 3 Γ. α 5 = 3 Δ. α 6 = 3 Ε. S 4 = 3 44. Τα πολλαπλάσια του 3 μεταξύ του 5 και του 35 είαι Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ. 10 Ε. 30 45. Μια ακολουθία α 1, α, α 3,, α είαι αριθμητική πρόοδος α Α. η διαφορά δυο οποιωδήποτε όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός Β. η διαφορά μεταξύ πρώτου και τελευταίου όρου της είαι σταθερός αριθμός Γ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίδιοι πραγματικοί αριθμοί Δ. οι διαφορές τω διαδοχικώ όρω της είαι ίδιοι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Ε. το άθροισμα τω όρω της είαι σταθερός πραγματικός αριθμός. 46. ε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω, το άθροισμα δυο όρω της που ισαπέχου από τα άκρα της είαι Α. Πολλαπλάσιο της διαφοράς ω. Β. Παίρει τιμές που εξαρτώται από τη τάξη τω όρω αυτώ. Γ. Ίσο με το πλήθος. Δ. Ίσο με το άθροισμα τω άκρω όρω της προόδου. Ε. Ίσο με το αριθμητικό μέσο της. 47. ε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω > 0 ισχύει Α. α4 = α 1+ α3 Β. α 4 = α1+ 4ω Γ. α3 = α4 ω Δ. α = α ω Ε. α α = α 4 3 4 + 3 7 48. ε κάθε αριθμητική πρόοδο η διαφορά ω είαι Α. θετικός ρητός Β. σταθερός ακέραιος Γ. 0 Δ. ίσος με Ε. σταθερός πραγματικός 49. Α οι αριθμοί x, y, z είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε Α. x = y + z Β. z = x + y Γ. y = x + z Δ. y = x + z Ε. y = x z 56

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 50. ε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. ( α α ) α α ) ω + 1 α α ) 1 Β. ( Γ. ( + 1 Δ. ( α α ) ω 1 Ε. ( α ω) + 51. ε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα S τω πρώτω όρω της είαι Α. [ α1 + ( 1)] Β. [α1 + ω ] Γ. [ α ( ) ω] 1 + 1 Δ. [ α ] α ω) 1 + ( 1) ω Ε. ( + 3. υμπληρώστε τα κεά με τη λέξη που λείπει 1. Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεο του.. του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το λέμε.. της προόδου.. Ο ιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με το πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι. 3. Η αριθμητική πρόοδος με α 1 = 5, και ω = 0,4 έχει 43 ο όρο α 43 =.. 4. Αριθμητική πρόοδος με α 1 =. και ω = έχει α 5 = 54 και α 11 = 10. 5. Αριθμητική πρόοδος με α 1 = 3x + και α = 5x + 6 έχει τρίτο όρο α 3 =. 6. Αριθμητική πρόοδος με α 1 = 3x + και α = 5x + 6 έχει δεύτερο όρο α =.. 7. Το άθροισμα τω πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου με α 1 = 10 και ω = 10 είαι 1050. 4. Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 5, 8,, 14, 17,,, 6. β) 7,,, 5. γ) k, k + 3,, 4k + 9,. δ) x,, 5x +, 7x + 3,,. 57

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 5. Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 11 15 3 β) 0 9 38 γ) 4 18 3 δ) 33 65 6. Να γράψετε τους όρους που λείπου στις παρακάτω αριθμητικές προόδους α) 10 70 β) 10 70 γ) 10 70 δ) 10 70 7. Να γράψετε τους όρους που λείπου έτσι ώστε κάθε γραμμή α είαι αριθμητική πρόοδος α) x + y x - y β) x - y x + y γ) x - 3y x + 3y δ) x + 3y x - 3y 8. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Αριθμητική πρόοδος ΤΗΗ Β Γεικός όρος της 1) 7, 9, 11, 13, 15 Α) α = 7 + ( 1) 3 ) 7, 4, 1,, 5 Β) α = 7 + ( 1) 3) 3, 1, 5, 9, 13 Γ) α = 3 + ( 1) ( 4) 4) 1, 0, 1,, 3 Δ) α = 1 + ( 1) ( 1) 58

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 9. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Να βρεθεί το 1) α 1 = 4,5, ω = 5,5, α = 100 Α) = 3 ) α 1 = 38,5, ω = 4, α = 46,5 Β) = 0 3) α 1 = 14,5, ω = 0,7, α = 3 Γ) = 3 10. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Το (α 1, ω) είαι 1) ) 3) a + a = 5 1 a a = 6 8 5 a + a = 10 8 a + a = 31 3 14 a + a a = 10 5 3 a + a = 17 1 6 Α) (1, 3) Β) (7, ) Γ) (3, 4) Δ) ( 7, 3) 4) a + a 3a = 11 a 3 8 6 3a = 6 10 4 59

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 11. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Για μια αριθμητική πρόοδο ισχύει ΤΗΗ Β Το (α 1, ω) είαι 1) ) 3) 5a + 10a = 0 S 1 5 6 S S 4 4 = 14 = 9 =,4 a + S a = 46 6 4 8 S = 1a 6 Α) (8, 3) Β) 7 3, 10 10 Γ) 3 0, Δ) (, 4) 4) S S a = 0,1 5 5 S + a = 0,1 4 7 1. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Ακολουθία ΤΗΗ Β 5ος Όρος ακολουθίας 1 1 1 1 1),,, Α) 14 11 8 Β) ) 8,4,, Γ) 1 Δ) 1 3) 10, 7, 4, 4 Ε) 5 1 4) 7, 9, 3, Τ) 3 60

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 13. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Αριθμητική πρόοδο ΤΗΗ Β Νιοστό όρο 1) α1 =, ω = 3 Α) α = 4 14 ) α1 = 4, ω = 3 Β) α 5 10 = 3) α1 = 10, ω = 4 Γ) α 3 1 = Δ) α = 3 + 7 Ε) α = 6 + 1 14. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β Αριθμητική πρόοδο Το άθροισμα S 1) α1 =, ω = 3 Α) S = 3 + 51 ) α = 4, ω = 3 1 ( ) Β) S = + 3) α = 10, ω 4 1 = Γ) S 3 + 1 = ( ) Δ) S = 6 ( 1) Ε) S = 61

3 ΑΓΕΒΡΑ Β ΥΚΕΙΟΥ 15. Ατιστοιχίστε στοιχεία της αριστερής στήλης με τα κατάλληλα της δεξιάς. ΤΗΗ Α Διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ΤΗΗ Β Τιμή του x 1), x + 1, 1 Α) x = 5 ) 3 + x, 15, Β) x = 16 3) 14, 9 + x, 0 + x Γ) x = Δ) x = 6 Ε) x = 0 16. Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους 11 ους όρους στις αριθμητικές προόδους: 1 (α ): α 1 = και ω = 4, (β ): β 1 = 68 και ω = 3, (γ ): γ 1 = 34 και ω = 17. Να βάλετε στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς x, y, z α οι αριθμοί : (α) x 4, x + 1, x + 3, (β) y, y + 1, y + 7, (γ) z 5, z, z + 6 αποτελού διαδοχικούς όρους αριθμητικώ προόδω. 6