Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Transcript

1 Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x <. Θα είναι: x1+ 5 x + 5 (x1+ 5(x (x + 5(x1 f(x 1 f(x = = = x x (x (x 1 x1x + 5x x1 10 (xx1+ 5x1 x 10 5x 5x1 x1+ x = = (x (x (x (x 7(x x 1 (x (x > 0 f(x f(x > 0 f(x > f(x f Έστω < x1 < x. Θα είναι: 7(x x 1 f(x 1 f(x = = > 0 f(x 1 f(x > 0 f(x 1 > f(x (x (x f 1 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, και (,+. Προσοχή: Αυτό δεν σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και στην ένωση αυτών των διαστημάτων. Αν ίσχυε κάτι τέτοιο τότε θα έπρεπε και για 1<3 να είναι f(1>f(3, το οποίο όμως δεν ισχύει καθώς: f(1= 6 και f(3=8. Τηλέφωνο επικοινωνίας :

2 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: α f(x = 3x x 5 β δ w(x 7x x 5x (α Είναι: (β Είναι: 3 = + ε 5x x g(x = 7x+ 4 4x z(x = 7x 5 3 x + 5 γ 5 3 f( x 3 x ( x 5 3x x 5 f(x h(x = 3x + x 4x = = =. Άρα η f είναι άρτια. 5( x x 5x x 5x x g( x = = = = g(x. Άρα η g είναι περιττή. 7 x x x + 4 (γ Είναι: h( x = 3( x + ( x 4( x = 3x x + 4x = (3x + x 4x = h(x. Άρα η h είναι περιττή w( x 7( x x 5( x 7x x 5x (7x x 5x w(x (δ Είναι: Άρα η w είναι περιττή. = + = = + =. (ε Είναι: ( x 7( x 4x + 7x (4x 7x 4x 7x z( x = = = = = z(x. ( x + 5 x + 5 x + 5 x + 5 Άρα η z είναι περιττή. Δίνεται η συνάρτηση: f(x = x 6x+ 10. (α Να δείξετε ότι: f(x > 0 για κάθε x. (β Να βρεθεί το ελάχιστο και η θέση ελαχίστου της f. (α Είναι: (β Είναι: f(x x 6x 10 x 3 x 9 1 (x = + = + + = + >. f(x (x f(3 = + = για κάθε x. Άρα η θέση ελαχίστου είναι το x = 3 και το ελάχιστο είναι το 1. Τηλέφωνο επικοινωνίας :

3 g(x = f(x είναι άρτια ή περιττή όταν: α f άρτια και β f περιττή. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση [ ] f άρτια g( x = f( x = f(x = g(x. Άρα η g είναι άρτια. (α Είναι: [ ] [ ] f περιττή g( x = f( x = f(x = f(x = g(x. Άρα η g είναι άρτια. (β Είναι: [ ] [ ] [ ] Δίνεται η συνάρτηση f : με f(θ+ ω = f(θ + f(ω, για κάθε θ,ω. Να δειχθεί ότι: (i f (0=0 και (ii f περιττή συνάρτηση. (i Για θ=ω=0 η δοσμένη σχέση γίνεται: f (0 + 0 = f (0 + f (0 f (0 = f (0 + f (0 f (0 = 0 (ii Για θ=x, ω= x η δοσμένη σχέση γίνεται: f(0 = 0 f(x x = f(x + f( x f(0 = f(x + f( x f( x = f(x. Άρα η f είναι περιττή. Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x = x+ 3 x ως προς τη μονοτονία. Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το +. Έστω 0 x1 < x. Θα είναι: f(x f(x = x + 3 x x 3 x = (x x + 3 x x = ( ( x1 x( x1 + x (x1 x ( x1 + x ( x1 + x (x x + 3 = (x x + 3 < 0 f(x f(x < 0 f(x < f(x f Τηλέφωνο επικοινωνίας :

4 Δίνεται η συνάρτηση f: με f(x = 3 x. (i Να εξεταστεί αν η f είναι άρτια ή περιττή (ii Να μελετηθεί η μονοτονία της f. (iii Να βρεθούν τα ακρότατα της f. (iv Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη διχοτόμο της 1 ης και 3 ης γωνίας. (i Για κάθε x έχουμε ότι: x και επιπλέον είναι: f( x = 3 ( x = 3 x = f(x. Άρα η f είναι άρτια συνάρτηση. (ii Έστω x,x 1 με x1 < x. Θα είναι: ( 3 x 3 x ( 3 x + 3 x ( 3 x + 3 x 1 f(x f(x = 3 x 3 x = = 3 x 3 x 3 x 3+ x (x x (x + x = = = 1 1 ( 3 x + 3 x ( 3 x + 3 x ( 3 x + 3 x 1 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Για 3 x1 < x 0 είναι: (x x (x + x 1 1 ( 3 x + 3 x 1 Για 0 x1 < x 3 είναι: (x x (x + x 1 1 ( 3 x + 3 x 1 < 0 f(x f(x < 0 f(x < f(x f > 0 f(x f(x > 0 f(x > f(x f Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο 3,0 και γνησίως φθίνουσα στο 0, 3. Τηλέφωνο επικοινωνίας :

5 (iii Κατασκευάζοντας τον πίνακα μονοτονίας της f : είναι προφανές ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στη θέση x=0 με τιμή: max f = f (0 = 3, ενώ ολικό ελάχιστο θα παρουσιάζει σε μία εκ των θέσεων x = 3 ή x = 3. Όμως δείξαμε ότι η f είναι άρτια συνάρτηση, άρα minf = f( 3 = f( 3 = 0, οπότε και οι δύο είναι θέσεις ελαχίστου. (iv Διχοτόμος της 1 ης και 3 ης γωνίας είναι η συνάρτηση g(x=x. Αναζητούμε λοιπόν τη λύση της εξίσωσης: f(x = g(x 3 x = x για x>0. Είναι: 3 x = x 3 x = x x = 3 x =± και επειδή πρέπει: x>0, η μοναδική αποδεκτή λύση είναι η x = 3. Άρα η f(x τέμνει τη διχοτόμο της 1 ης και 3 ης 3 3 γωνίας στο σημείο,. 3 Δίνεται η συνάρτηση f(x = x x 1. (i Να εξεταστεί αν είναι άρτια ή περιττή (ii Να μελετηθεί η μονοτονία της f. (iii Να βρεθούν τα ακρότατα της f. (iv Να γίνει η γραφική παράσταση της f. x f(x (i Είναι: f( x = x x 1. Επειδή f( x f(x και f( x f(x συμπεραίνουμε ότι η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή συνάρτηση maxf=f(0 = 3 Τηλέφωνο επικοινωνίας :

6 (ii Για να μελετήσουμε τη μονοτονία της f πρέπει πρώτα να βγάλουμε την απόλυτη τιμή. 3x, x 1 Έτσι η f γίνεται: f(x =. Γνωρίζοντας ότι η μονοτονία της g(x=αx+b x, x > 1 καθορίζεται από το πρόσημο του συντελεστή διεύθυνσης α, συμπεραίνουμε ότι:,1 1, +. η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ], ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ] (iii Κατασκευάζοντας τον πίνακα μονοτονίας της f : x 1 + f(x maxf=f(1 =1 είναι προφανές ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στη θέση x=1 με τιμή: max f = f (1 = 1, ενώ δεν παρουσιάζει ελάχιστο, αφού οι τιμές της μειώνονται διαρκώς καθώς τα x κινούνται προς το άπειρο. (iv Τηλέφωνο επικοινωνίας :