Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=4x-1 β) g(x)= γ.

Transcript

1 Ορισμός Μία συνάρτηση f : Α-->R είναι ένα προς ένα (1-1) όταν Για κάθε A με τοτε ή ισοδύναμα για κάθε A με τότε Ο παραπάνω ορισμός μας λέει ότι διαφορετικα x έχουν διαφορετικές εικόνες (διαφορετικα y) ή (από την γραφική παράσταση) κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα xx τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολυ σε ένα σημείο Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=4x-1 β) g(x)= γ. α. D f =R γιατί η f είναι πολυωνυμική Εστω x 1, x 2 Α=R τέτοια ώστε f(x 1 )=f(x 2 )4x 1-1=4x 2-14x 1 =4x 2 x 1 =x 2 άρα η f είναι ενα προς ένα β. Για να ορίζεται η g πρέπει x+3 x -3 άρα D g =R -{-3} οπότε αν x 1, x 2 Α=R-{-3} τέτοια ώστε f(x 1 )=f(x 2 ) Άρα η g είναι «1-1» Γ. Για να ορίζεται η h πρέπει x 2 +8x+12 (x+2)(x+6) x -2 και x -6 άρα D h =R-{-2,-6} και οπότε αν x 1, x 2 Α=R-{-2,-6} τέτοια ώστε Άρα η h είναι «1-1» Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=x 2 β) g(x)= x-1 + x+1 γ. α. f(x)=x 2 Ισχύει -2 2 αλλά f(-2)=4=f(2) hx (x1)(x2)

2 άρα η f δεν είναι (1-1) β. g(x)= x-1 + x+1 Ισχύει -1 1 και άρα η g δεν είναι (1-1) β. hx (x 1)(x 2) Ισχύει 2 1 και άρα η h δεν είναι (1-1) h(1)=h(2) g(1)=g(-1) Να εξετασθεί αν είναι 1-1 συναρτηση f i. με ii. i. D f =R γιατί η f είναι πολυωνυμική και και επειδή f(1)==f(2) με 1 2 η f δεν είναι 1-1 ιι. έστω x 1, x 2 Α τέτοια ώστε άρα η f δεν είναι 1-1 Η ιι δεν έχει ρίζες (Δ<) οπότε αναγκαστικα με αυτόν τον τρόπο Να εξετασθεί αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις α) f(x)=4x-1 β) f(x)=5x-2 x [3,6] 2x 1 x 1 γ) f(x)= x 3 δ) f(x)= x 2 x [,3] ε) f(x)=3x 3-8 στ) f(x)=3x ζ) f(x)=x 2 η) f(x)=x 2, x [,6] θ) f(x)=5x 4-3 ι) f(x)=x 2-3x+2 ια) f(x)= x ιβ) f(x)= x +2 ιγ) f(x)= x+3 +1 ιδ) f(x)= 3X-2-3 ιε) f(x)=2 x -1 ιστ) f(x)=2 4x-3-8 ιζ)f(x)= x-2 + x+2

3 Στα σχήματα που ακολουθούν δίνεται η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f. Να εξετάσετε αν η f είναι 1-1(σε κάθε μια περιπτωση ξεχωριστα, α,β,γ) α f(x) y f(x) y f(x) y c f x x x x x x c f c f Α. y Β. y Γ. y Α. Επειδή κάθε ευθεία παράλληλη με τον άξονα x x τέμνει τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f το πολύ σε ένα σημείο, συμπεραίνουμε ότι f 1-1 Β. Επειδή κάθε ευθεία παράλληλη με τον άξονα x x τέμνει τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f το πολύ σε ένα σημείο, συμπεραίνουμε ότι f 1-1 Γ. Επειδή υπάρχει τουλάχιστον μία ευθεία παράλληλη με τον άξονα x x η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f σε περισσότερα, από ένα, σημεία, συμπεραίνουμε ότι f δεν είναι 1-1

4 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ''1-1''. To αντίστροφο δεν ισχύει Υπάρχουν, συναρτήσεις που είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση Της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα, η συνάρτηση είναι 1-1 αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Έστω f με Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 Για να ορίζεται η f πρεπει x> άρα D f = α. Έστω ϵ τότε Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) έχουμε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε και 1-1 Έστω f με Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 Για να ορίζεται η f πρεπει x-1 x άρα D f =[1,+ α. Έστω ϵ [1,+ τότε Αν η συνάρτηση είναι άθροισμα η διαφορά των συναρτησεων lnx, e x, και πολυωνυμικής τότε για δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1 δείχνουμε ότι η συνάρτηση Είναι γνησίως μονότονη Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) και (3) έχουμε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε και 1-1 Έστω f: R R, με f(x)=x 5 lnx2 Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1

5 Σε ασκήσεις που γνωρίζουμε ότι η f είναι 1-1 τότε σε ασκήσεις που μας ζητάνε να λύσουμε μία εξίσωση A(x)=B(x) τότε α. Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο Α μέλος A(x)-B(x)= β. Ορίζουμε την f(x)=a(x)-b(x) γ. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1(αν χρειαστεί γνησίως μονότονη άρα 1-1) δ. Βρίσκουμε μία προφανή ρίζα της εξίσωσης f(x)= έστω α R με f(α)= ε. Οπότε ισχύει η ισοδυναμία Έστω f με f(x)=. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 ii. Να αποδείξετε ότι f()= ii. Nα λυθεί η εξίσωση Για να ορίζεται η f πρέπει x+1> άρα x>-1 άρα D f =(-1,+ ) Έστω ϵ D f τότε Αν πρόσθέσουμε τις παραπάνω σχέσεις έχουμε Δηλαδή Άρα f γνησίως αύξουσα οπότε και 1-1 ii. F()= iii. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα οπότε θα έχει το πολύ μία ρίζα και επειδή f()= το x= είναι η μοναδική ρίζα της συνάρτησης β τρόπος H f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 Oπότε f(x)=f(x)=f() x=

6 Να λυθεί η εξίσωση Iσχύει = Ορίζουμε την συνάρτηση f(x)=, x Για x=1 έχουμε f(1)= f(x)= f(1)= f(2)= Έστω ϵ D f τότε Αν πρόσθέσουμε τις παραπάνω σχέσεις έχουμε Δηλαδή β τρόπος H f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 Oπότε f(x)=f(x)=f(1) Έστω f με f(x)=. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 ii. Nα λυθεί η εξίσωση = Για να ορίζεται η f πρέπει x+1 άρα x -1 άρα D f =[-1,+ ) Έστω ϵ D f τότε Αν πρόσθέσουμε τις παραπάνω σχέσεις έχουμε Δηλαδή Άρα f γνησίως αύξουσα οπότε και 1-1 ii. Για να ορίζεται η εξίσωση πρέπει Άρα η εξίσωση ορίζεται για x -2, οπότε ( θέτουμε x+1=λ Εδώ παρατηρούμε ότι το D f είναι διαφορετικο από σύνολο των λύσεων της εξίσωσης Δηλαδή x=±1. x -2 άρα x=±1( H εξίσωση ορίζεται για x -2)

7 Έστω f: R R, με f(x)= α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β. Να λυθούν οι εξισώσεις i. = ii Η f είναι πολυωνιμική άρα D f =R α. Έστω ϵ R τότε άρα η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε και 1-1 β. i. Ισχύει f(1)=1+1-2= οποτε η εξίσωση, είναι ισοδύναμη με ii. Για κάθε x f(x)=f(2x-3) x=2x-3x=3 Έστω f: R R, η οποία ικανοποιεί την σχέση α. Να αποδείξετε ότι η f είναι << 1-1>> β. Να λύσετε την εξίσωση Έστω ϵ R με τότε Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) έχουμε Άρα Άρα f «1-1» B. H f είναι «1-1» οπότε για κάθε x ϵ R x=4 ή x=-1 ή x=1