ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ."

Transcript

1 ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ. Ιωάννα Μαµωνά-Downs Ιωάννης Παπαδόπουλος Πανεπιστήµιο Πατρών Σωρεία µελετών εξετάζουν την κατανόηση της έννοιας του εµβαδού επίπεδων σχηµάτων την οποία είτε ήδη κατέχουν είτε αναπτύσσουν µαθητές του δηµοτικού σχολείου ή των πρώτων τάξεων του γυµνασίου. Στην παρούσα εργασία, το ερευνητικό ενδιαφέρον µετατίθεται στη θεώρηση των δεξιοτήτων επίλυσης προβληµάτων που, πιθανόν, συσσωρεύονται µέσα από την ενασχόληση των µαθητών µε δραστηριότητες σχετικές µε τον υπολογισµό εµβαδού. Πιο συγκεκριµένα, εξετάζεται η εργασία δυο µαθητών της Α Γυ- µνασίου πάνω σε µια συγκεκριµένη δραστηριότητα σε αντιπαραβολή µε ορισµένα ζητή- µατα εκτελεστικού ελέγχου (executive control)που αφορούν την επιλογή, τον τρόπο εφαρµογής και την προσαρµογή µέσα από ένα σύνολο ήδη γνωστών µεθόδων οι οποίες συνδέονται µε τον ακριβή καθορισµό του εµβαδού. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλές εµπειρικές µελέτες παιδαγωγών που ερευνούν το πώς οι µαθητές κατανοούν µαθηµατικές έννοιες, συχνά αξιοποιούν µη-τετριµµένες δραστηριότητες προκειµένου να ελέγξουν και να προκαλέσουν σε µεγάλο βαθµό την γνώση (cognition) των µαθητών γύρω από τις µελετώµενες έννοιες. Όµως, η χρήση µη-τετριµµένων δραστηριοτήτων θα µπορούσε να φέρει στο προσκήνιο όψεις της επίλυσης προβληµάτων βασισµένες στην επιλογή στρατηγικών, οι οποίες δεν συµβάλλουν απαραίτητα στην ο- ποιαδήποτε νέα εµβάθυνση της εικόνας της έννοιας (concept image). (Βλέπε για παράδειγµα, Tall & Vinner, 1981, για την ιδέα της εικόνας της έννοιας.) Από την άλλη, τα τεχνάσµατα που έλαβαν χώρα στην αντιµετώπιση τέτοιου είδους δραστηριοτήτων τείνουν να αναφέρονται στο σχετικό εννοιολογικό σκηνικό που υποδηλώνεται από τη δραστηριότητα. Όταν την προσοχή των µαθητών τη µονοπωλεί το στοιχείο της στρατηγικής, τότε θα λέµε ότι οι µαθητές απασχολούνται µε δραστηριότητες επίλυσης προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από µια έννοια, σε αντιπαράθεση µε τον εµπλουτισµό της έννοιας ο οποίος καταδεικνύεται από την ενασχόληση µε µη-τετριµµένες δραστηριότητες. Καθώς το στοιχείο της στρατηγικής εξακολουθεί να είναι σχετικό µε την έννοια, αν και σε πιο λειτουργικό ρόλο, µπορεί να θεωρηθεί ενδιάµεσο στοιχείο στη διδασκαλία σχετικά µε την επίλυση προβληµάτων και στη διδασκαλία µέσω της επίλυσης προβληµάτων, µια διάκριση που συχνά απαντάται στη βιβλιογραφία (για παράδειγµα, Schroeder & Lester, 1989). Στην εργασία αυτή παρουσιάζουµε µέρος µιας µελέτης η οποία, µέσα από τις προσεκτικά σχεδιασµένες δραστηριότητες που δόθηκαν στους µαθητές που συµµετείχαν, ενεθάρρυνε την επίλυση προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από την έννοια του 1

2 εµβαδού. Το κίνητρο για την πραγµατοποίηση της µελέτης αυτής υπήρξε ένα ερευνητικό µας έργο που προηγήθηκε, το οποίο περιελάµβανε µαθητές δηµοτικού και οργανώθηκε για να εξετάσει και να επεκτείνει την κατανόηση του εµβαδού και τη διατήρησή του κάτω από συγκεκριµένες ενέργειες. Τα αποτελέσµατα από αυτό το προηγηθέν εγχείρηµα, µολονότι αποκαλύπτουν πολλά νέα ενδιαφέροντα στοιχεία µέσα από το νεωτεριστικό διδακτικό υλικό (χρήση υπολογιστών), είχαν εν τούτοις οµοιότητες µε αποτελέσµατα άλλων εργασιών που διαπραγµατεύτηκαν το ίδιο θέµα, στο ίδιο επίπεδο, και την ίδια βαθµίδα (για παράδειγµα, Baturo & Nasons, 1996; Clements & Stephan, 1998). Παρατηρήσαµε όµως ότι οι µαθητές είχαν πρόβληµα στο να οργανώσουν τις µεθόδους τους προκειµένου να εφαρµόσουν τη γνώση τους για την έννοια (πέρα από το απλά να προκαλέσουν τη γνώση αυτή). Αν και αυτή η οπτική γωνία για την επίλυση προβληµάτων αποτελεί µια προοπτική που αξίζει α- ναµφίβολα να εξεταστεί, είναι κάτι που µέχρι τώρα δεν έχει αποτελέσει σαφές αντικείµενο έρευνας και δικαιολογεί την παρούσα µελέτη. Η µελέτη µας πραγµατοποιείται µε δυο µαθητές της Α Γυµνασίου που είχαν λάβει µέρος σε ευρύτερη προηγούµενη έρευνά µας. To θέµα της έρευνας ήταν, και συνεχίζει κι εδώ να είναι, η µέτρηση του εµβαδού. Στην παρούσα εργασία περιοριζόµαστε σε µια περίπτωση που περιλαµβάνει µια δραστηριότητα και τους δυο µαθητές. επειδή παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον από την άποψη του εκτελεστικού ελέγχου που ασκείται κατά την εφαρµογή και προσαρµογή ενός συνόλου µεθόδων γνωστών στους µαθητές σχετικών µε τον υπολογισµό ή τη σύγκριση εµβαδών. (Για µια αναλυτική περιγραφή του εκτελεστικού ελέγχου, βλέπε Schoenfeld, 1985). Προφανώς, η επικέντρωση σε αυτές τις µεθόδους σηµαίνει ότι ο έλεγχος θα πρέπει να σχετίζεται µε το γνωστικό υπόβαθρο του /των µαθητή(ών), κι εποµένως αποκτούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον µια σειρά από θέµατα, όπως: Εκµεταλλεύτηκαν οι µαθητές το απόθεµα των ήδη από πριν γνωστών µεθόδων και αν ναι, µε ποιον τρόπο; Κατά τη διάρκεια της επίλυσης οι µαθητές πραγµατοποίησαν αλλαγές στην κατεύθυνση µε την οποία προσέγγιζαν το πρόβληµα. Ποια ήταν η ποιότητα του σκεπτικού που συνόδευε τις αλλαγές αυτές; Τι τύπους επαλήθευσης επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν στη διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος οι µαθητές; Η εργασία θα περιγράψει τη δραστηριότητα επίλυσης προβλήµατος συµπληρωµατικά-γύρω-από την έννοια του εµβαδού όπως αναδεικνύεται µέσα από τη δουλειά των δυο µαθητών, ειδικά σε σχέση µε τα τρία παραπάνω ερωτήµατα που αφορούν στον εκτελεστικό έλεγχο. 2. Η ΥΠΟ ΟΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι δυο µαθητές (Νίκος και Κατερίνα) φοιτούσαν στην Α Γυµνασίου σε σχολεία της Θεσσαλονίκης. Μέσα από τις κανονικές παραδόσεις στο µάθηµα των µαθηµατικών είχαν διδαχθεί κάποιες βασικές έννοιες της γεωµετρίας συµπεριλαµβανοµένων ορι- 2

3 σµένων σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους (τα σχήµατα αυτά περιορίζονται κυρίως στα τρίγωνα, τετράπλευρα και κύκλους). Επίσης οι µαθητές γνώριζαν τους τύπους για τον υπολογισµό του εµβαδού κάθε είδους των παραπάνω σχηµάτων. Επιπλέον, και οι δυο µαθητές συµµετείχαν σε προγενέστερα στάδια της έρευνάς µας που διεξήχθη παράλληλα µε την κανονική διδασκαλία των µαθηµάτων τους στο σχολείο. Το γεγονός ότι συµµετείχαν στην προηγούµενη έρευνά µας τους παρείχε εµπειρία στη χρήση ποικίλλων εργαλείων που τους επέτρεπαν να υπολογίζουν το εµβαδόν µη-κανονικών επίπεδων σχηµάτων. Σε αυτά τα διαθέσιµα εργαλεία περιλαµβάνονται: η χρήση πλέγµατος σε έναν γεωπίνακα, η υποδιαίρεση µιας µονάδας µέτρησης επιφάνειας (συνήθως ένα τετράγωνο) σε υπο-µονάδες, εργαλεία µέτρησης µήκους τα οποία επιτρέπουν τον υπολογισµό του εµβαδού ιδιαίτερα των ξεχωριστών µερών στα οποία διαιρούνταν ένα µη-κανονικό σχήµα και επίσης η µέθοδος της αποκοπήςεπικόλλησης. εδοµένου ότι από τη σκοπιά της επίλυσης προβληµάτων και οι δυο µαθητές απεδείχθησαν ιδιαίτερα ικανοί, αυτό που αναµέναµε ήταν ότι θα τα κατάφερναν καλύτερα από άλλους µαθητές στην περίπτωση που ο σχεδιασµός των δραστηριοτήτων θα έδινε έµφαση σε δεξιότητες ελέγχου (κάτι στο οποίο αποσκοπούσε το τελευταίο στάδιο της έρευνάς µας). Στην παρούσα εργασία επιλέγουµε µια από τις δραστηριότητες από αυτήν την τελική φάση και παρουσιάζουµε τη συµπεριφορά επίλυσης προβληµάτων των µαθητών σε σχέση µε τη δραστηριότητα αυτή. Εικόνα 1: Παρουσίαση της δραστηριότητας Επιτρέπεται µόνο δυο φορές να κόψεις ένα κοµµάτι και να το κολλήσεις όπου νοµίζεις ότι ταιριάζει ώστε το τρίγωνο να µετασχηµατιστεί στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι µεγαλύτερο, µικρότερο ή ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου; Το σκεπτικό µας σχετικά µε το σχεδιασµό της παραπάνω δραστηριότητας είναι το ακόλουθο: Οι µαθητές ήταν εξοικειωµένοι µε την τεχνική της αποκοπής-επικόλλησης, και όντως είχαν εµπειρία µε δραστηριότητες όπου απαιτούνταν αρκετές φορές η τεχνική αυτή. Όµως, ποτέ δεν είχαν αντιµετωπίσει την περίπτωση να πρέπει να πραγµατοποιήσουν πολλαπλές ενέργειες κατά τρόπο ώστε οι διαφορετικές ενέργειες να είναι αλληλοεξαρτώµενες, όπως συµβαίνει στην περίπτωση της δραστηριότητας που τους δόθηκε παραπάνω. Μιλώντας µε όρους της επίλυσης προβληµάτων θα µπορούσαµε να πούµε 3

4 ότι το ιδιαίτερο ενδιαφέρον της δραστηριότητας έγκειται στο να δούµε κατά πόσο οι µαθητές θα µπορούσαν να συντονίσουν τις δυο ενέργειες. Για να κάνουν την πρώτη τους ενέργεια θα έπρεπε να προβλέψουν τη δεύτερη. Μια άλλη ενδιαφέρουσα παρά- µετρος είναι το κατά πόσο οι µαθητές θα προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα χρησιµοποιώντας άλλες µεθόδους παρά το γεγονός ότι η εκφώνηση του προβλήµατος τους προσανατόλιζε προς συγκεκριµένη κατεύθυνση. Η δραστηριότητα αυτή αποτελεί µέρος µιας συνεδρίας περίπου δυο ωρών κατά την οποία οι µαθητές ήρθαν αντιµέτωποι µε ακόµη τέσσερις δραστηριότητες. Οι µαθητές εργάστηκαν ατοµικά και τους ζητήθηκε να εκφράζουν µεγαλοφώνως τις σκέψεις τους ενόσω προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα. Αυτό ζητήθηκε µε βάση την ανάλυση πρωτοκόλλου όπως αυτή έχει παρουσιαστεί συστηµατικά από τους Simon & Ericsson (1984). Η ανάλυση πρωτοκόλλου που αποτελεί κατάληξη µιας συνεδρίας επίλυσης προβληµάτων χωρίς µεσολαβήσεις από την πλευρά των ερευνητων, θεωρείται ιδιαίτερα πρόσφορη για την τεκµηρίωση της παρουσίας ή απουσίας εκτελεστικών αποφάσεων στην επίλυση προβληµάτων και την επεξήγηση των συνεπειών αυτών των εκτελεστικών αποφάσεων (Schoenfeld, 1992). Η ανάλυση πρωτοκόλλου από τη φύση της ελαχιστοποιεί την παρέµβαση µιας συνέντευξης (από την πλευρά των ερευνητών). Κρίναµε όµως ότι θα ήταν χρήσιµο για την έρευνα να ρωτήσουµε απευθείας τους δύο µαθητές σχετικά µε τα κίνητρα των αποφάσεων τους στη διάρκεια της εργασία τους µε τη δραστηριότητα. Για το λόγο αυτό τους καλέσαµε σε συνέντευξη λίγες µέρες µετά τη συνεδρία. Και οι δυο τύποι δεδοµένων ηχογραφήθηκαν και µεταγράφηκαν για τους σκοπούς της παρούσας έρευνας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΡΙΝΑΣ. Η Κατερίνα, αµέσως µετά την ανάγνωση του προβλήµατος έθεσε σε εφαρµογή µια θεωρούµενη πορεία επίλυσης. Αρχικά κατασκεύασε το τετραγωνικό πλέγµα στο ε- σωτερικό του τριγώνου και του ορθογωνίου. Αυτό ήταν προφανής συνέπεια της επίδρασης του γεγονότος ότι κατά τα δυο τελευταία χρόνια είχε συσσωρεύσει εµπειρία από προβλήµατα που το περιβάλλον τους περιείχε µια τέτοια διάταξη τελειών και συνεπώς η κατασκευή του τετραγωνικού πλέγµατος ήταν µια οικεία στρατηγική γι αυτήν. Το επόµενο βήµα (επίσης απόρροια της παρελθοντικής της εµπειρίας) ήταν να διαιρέσει τις µη πλήρεις τετραγωνικές µονάδες σε υποµονάδες. Όταν κατά τη διάρκεια της συνέντευξης της ζητήσαµε να εξηγήσει της επιλογή της αυτή, η απάντησή της ήταν: «Μόλις είδα το πρόβληµα, αµέσως θυµήθηκα τα προβλήµατα που είχαµε λύσει όσο ήµαστε στο δηµοτικό σχολείο». Όµως, λίγα δευτερόλεπτα αργότερα απέρριψε αυτήν την αρχική της προσέγγιση, πραγµατοποιώντας την πρώτη της αλλαγή κατεύθυνσης στη διαδικασία σκέψης: K.4.5. Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Τη ρωτήσαµε γιατί απέρριψε την πρώτη της σκέψη. Η απάντησή της ήταν: Οι οδηγίες µιλούν για δυο κινήσεις. Εάν συνέχιζα µε τα τετραγωνάκια θα έπρεπε να τα µετακινώ 4

5 ένα-ένα και εποµένως θα χρειαζόµουν περισσότερες από δυο κινήσεις προκειµένου να λύσω το πρόβληµα. Αποφάσισε τότε να διαιρέσει το τρίγωνο σε τρία µέρη α, β and γ (Εικόνα 2): K Το τµήµα γ δε χρειάζεται να το µετακινήσω καθόλου γιατί ήδη βρίσκεται µέσα στο ορθογώνιο. Η Κατερίνα πολύ γρήγορα ξεκαθάρισε ότι το κοµµάτι γ ήταν η κοινή επιφάνεια των δυο σχηµάτων, ένα εύρηµα που θα τη βοηθούσε να προχωρήσει στην επίλυση του προβλήµατος. Ο τρόπος όµως που προσέγγισε τη λύση µετά την απόφασή της αυτή ήταν εντελώς αριθµητικός. Προσπάθησε να υπολογίσει το εµβαδόν κάθε υποσχήµατος βασισµένη πάλι στις τετραγωνικές µονάδες που σχηµάτιζε η διάταξη των τελειών που υπήρχε στο σχήµα. Η ύπαρξη όµως µη-πλήρων τετραγωνικών µονάδων ήταν ένα εµπόδιο. Ως αντίδραση στο εµπόδιο αυτό, η Κατερίνα πραγµατοποίησε τη δεύτερη αλλαγή κατεύθυνσης της σκέψης της. Παρατήρησε την ορθή γωνία στο κοµµάτι δ εξωτερικά του τριγώνου. Αποφάσισε έτσι να µεταφέρει το κοµµάτι α (που είναι ορθογώνιο τρίγωνο) µέσα στο υπόλοιπο εσωτερικό µέρος του ορθογωνίου έτσι ώστε να συµπίπτουν οι ορθές γωνίες. Εικόνα 2. Η διαίρεση του τριγώνου από την Κατερίνα και η µεταφορά των µερών που προέκυψαν. Στο σηµείο αυτό παρέµενε ανοικτό το ερώτηµα πως η µαθήτρια κατάφερε να σχεδιάσει την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου στη νέα του θέση. Στη συνέντευξη η αντίδρασή της ήταν: «Μέτρησα τις τελείες. Ήξερα ότι η ορθή γωνία χωράει ακριβώς στην άκρη. Έτσι µέτρησα την απόσταση ανάµεσα στις άκρες». Έπειτα, µετέφερε το κοµµάτι β όπως φαίνεται στην εικόνα 2. Τέλος, η Κατερίνα κάνει µια εκτίµηση για τη διατήρηση του εµβαδού µέσα στο πλαίσιο αυτό. Στο ερώτηµα: ποιο εµβαδόν είναι µεγαλύτερο, η απάντησή της ήταν: «Ακριβώς το ίδιο. Αφού δεν περισσεύει κανένα κοµµάτι». 3.2 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΝΙΚΟΥ. Ο Νίκος αρχικά κατανάλωσε ένα µέρος του χρόνου του στο να εξοικειωθεί µε το πρόβληµα προτού αποφασίσει για το πώς να προχωρήσει. Η αρχική του σκέψη ήταν ότι το τρίγωνο ΑΒΧ ήταν ισοσκελές (Εικόνα 3). Προσπάθησε να το αποδείξει µετρώντας τα µήκη των δυο υποτιθέµενων ίσων πλευρών. Η προσπάθειά του βασίστηκε στις τελείες του πίνακα, όµως οι µετρήσεις του δεν ήταν ακριβείς επειδή ο πίνακας επιτρέπει ακριβείς µετρήσεις µόνο οριζόντια ή κατακόρυφα (ενώ οι πλευρές του τριγώνου κείνται πλάγια). Είναι προφανές ότι αυτό που πέτυχε ήταν να βρει προ- 5

6 σεγγίσεις των πραγµατικών µηκών. Κατά συνέπεια οι µετρήσεις των πλευρών δεν έδωσαν ίσα εξαγόµενα και αυτό τον παρακίνησε να δηλώσει πως αυτές οι µετρήσεις δεν στάθηκαν ικανές να τον βοηθήσουν. Στο σηµείο αυτό πραγµατοποίησε την πρώτη του αλλαγή στην κατεύθυνση της σκέψης του: Figure 3. Η διαίρεση του τριγώνου από το Νίκο. N.4.17 Ίσως πρέπει να κόψω αυτό το τρίγωνο.αυτό που περισσεύει έξω και να το βάλω µέσα στο άλλο σχήµα. Σχεδίασε στη συνέχεια τα τρίγωνα Β Ω και ΕΩΧ. Ήδη είχε πραγµατοποιήσει µια κατάλληλη διαίρεση σε επιµέρους κοµµάτια όµως δεν µπορούσε ακόµη να δει το πως θα πρέπει να µεταφέρει τα κοµµάτια που προέκυψαν από τη διαίρεση αυτή µέσα στο ορθογώνιο: N.4.46 Πρέπει να βρω κάποιο τρίγωνο που θα είναι ακριβώς το ίδιο µε το ΑΓΕ. Λόγω της αδυναµίας του να δουλέψει σε ένα γεωµετρικό πλαίσιο στράφηκε προς ένα αριθµητικό, για δεύτερη φορά κατά τη διάρκεια αυτής της δραστηριότητας, συγκρίνοντας µήκη. Στο σηµείο αυτό διατύπωσε τη γνώµη ότι το σηµείο Ε είναι το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΧ. N.4.71 N.4.72 N.4.76 N.4.81 N.4.82 Το σηµείο E χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΧ ακριβώς στη µέση. Έτσι, το ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ θα προσαρµόζει ακριβώς πάνω στο ΕΧ. Και µας περισσεύει µια περιοχή Είναι µια ορθή γωνία. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να τοποθετήσω το τρίγωνο κατά τέτοιο τρόπο ώστε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην ΕΑ.. Λογικά τα δυο τρίγωνα ΕΩΧ και Β Ω θα πρέπει να έχουν και τα δυο µαζί εµβαδόν ίσο µε αυτό του τριγώνου ΑΕΓ. Πρέπει να επαληθεύσω ότι αυτό είναι σωστό. Θα βρω το εµβαδόν των δυο πρώτων τριγώνων και θα το συγκρίνω µε το εµβαδόν του ΑΓΕ. Μολονότι η διαίσθησή του τον πληροφόρησε ότι τα δυο τρίγωνα µαζί είχαν το ίδιο εµβαδόν µε το τρίτο, ο ίδιος αισθάνθηκε ότι πρέπει να σιγουρευτεί γι αυτό. Κατέφυγε λοιπόν ξανά σε µια αριθµητική προσέγγιση. Μέτρησε κατά προσέγγιση βάσεις και ύψη, εφάρµοσε το γνωστό τύπο για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου, όµως τα δυο επιµέρους εξαγόµενα ήταν διαφορετικά. Ο Νίκος το απέδωσε στο ότι έκανε λανθασµένες µετρήσεις. N.4.89 N.4.90 Αυτό σηµαίνει ότι µάλλον έχω κάνει κάποιο λάθος στον υπολογισµό των εµβαδών των προηγουµένων σχηµάτων. Πρέπει να το ξανακοιτάξω. Το ένστικτό του, λοιπόν, τον έκανε να επιµένει στην αρχική του διαίσθηση, πράγµα που υποδηλώνει πως αυτή η διαίσθηση ήταν τόσο ισχυρή ώστε να υποθέτει ότι η α- 6

7 ποτυχία του στην επαλήθευση οφειλόταν σε λανθασµένους υπολογισµούς. Πράγµατι, όταν αργότερα τον ρωτήσαµε γιατί επέµενε τόσο, απάντησε: Ήµουν τόσο σίγουρος ότι το εµβαδόν των δυο τριγώνων µαζί, του ΕΩΧ και του ΩΒ, ήταν ίσο µε το εµβαδόν του ΑΕΓ, ώστε να πιστεύω πως το ότι δεν µπορούσα να το επιβεβαιώσω µε τους αριθµούς, ο- φειλόταν σε δικούς µου λανθασµένους υπολογισµούς και συνεπώς έπρεπε να ξαναπροσπαθήσω µε αριθµούς. Τέλος στράφηκε ξανά σε µια γεωµετρική προσέγγιση. N Θα κόψω το τρίγωνο ΒΩ και θα το προσαρµόσω στη γωνία ΑΓΕ. N Μετά, θα κόψω το τρίγωνο ΕΧΩ και θα το κολλήσω µε τέτοιο τρόπο ώ- στε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην πλευρά ΑΕ και η κορυφή Ω να κοιτά προς το σηµείο Γ. Ενδιαφέρουσα είναι τέλος η εξήγηση που δίνει ο Νίκος σχετικά µε την καθυστέρησή του να φτάσει στη λύση του προβλήµατος: N N Νοµίζω ότι άργησα πολύ να φτάσω στη λύση επειδή από την αρχή ασχολήθηκα µε τους τύπους και δεν το κοίταξα σαν να ήταν ένα σχήµα. εν έψαξα να βρω τη σχέση που είχε το σχήµα που µου ζητούνταν να φτιάξω µέσω του µετασχηµατισµού, µε το σχήµα που ήδη υπήρχε. 4. ΣΧΟΛΙΑ Στη συνέχεια παραθέτουµε µια ερµηνεία των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από τα στοιχεία που συλλέξαµε: 1) Τι τεχνικές επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν οι µαθητές στη διάρκεια της επίλυσης; Η Κατερίνα διάβασε το πρόβληµα και αµέσως επέλεξε να εφαρµόσει µια µέθοδο από το απόθεµα αυτών που κατά το παρελθόν είχε συναντήσει και που ήταν σχετικές µε τη µέτρηση του εµβαδού. Υπάρχουν ενδείξεις ότι η απόφασή της αυτή επηρεάστηκε από το γεγονός ότι το πρόβληµα δίνονταν σε πλέγµα τελειών. Η διάταξη των τελειών ενεργοποίησε, στην Κατερίνα, τη συµπλήρωση και καταµέτρηση τετραγωνικών µονάδων που βρίσκονταν εξολοκλήρου µέσα στο σχήµα, ως µέθοδο επίλυσης. (Στην εργασία της Mamona-Downs, 2002, διατυπώνεται ο ισχυρισµός ότι κάποιοι σχηµατισµοί ( cues ) δρουν ως νοητά ερεθίσµατα που πυροδοτούν την πρόσβαση σε συγκεκριµένες περιοχές γνώσης). Αυτό συνέβη παρά τη ρητή οδηγία να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος αποκοπής-επικόλλησης. Η αρχική συµπεριφορά του Νίκου µε την οποία αντιµετωπίζει το πρόβληµα έρχεται σε αντίθεση µε αυτήν της Κατερίνας. Αρχικά, αφιέρωσε κάποιο χρόνο για να εξοικειωθεί µε το περιβάλλον του προβλήµατος και να κάνει µια προκαταρκτική διερεύνηση. Αυτό θα µπορούσε να συσχετιστεί µε το πρώτο βήµα που εισηγήθηκε ο Polya για την επίτευξη µιας λύσης κατά την επίλυση προβληµάτων, γνωστού ως Αποκτώντας εξοικείωση?? [Κατανοώντας το πρόβληµα??], (βλέπε Polya, 1973, σ. 33). Επίσης, το σηµείο εκκίνησης του Νίκου ε- µπλέκει µια δοµική εικασία (structural conjecture) (ένα συγκεκριµένο τρίγωνο είναι ισοσκελές). Η εικασία αυτή ανασύρει στην επιφάνεια προηγούµενή του εµπειρία σχετικά µε τη µέτρηση µηκών µέσα στο δεδοµένο πλέγµα τελειών, ως κριτήριο της 7

8 εγκυρότητας. Στην πραγµατικότητα και οι δυο µαθητές κατέφυγαν στη µέθοδο αυτή προκειµένου να ελέγξουν τις γεωµετρικές τους ιδέες. Όµως, το πιο σηµαντικό ίσως ήταν ότι στο τέλος και οι δυο πραγµατοποίησαν την πρώτη από τις δυο µεταφορές κατά τρόπο που να µην συνάδει ακριβώς µε το πρωτόκολλο της αποκοπής και επικόλλησης. Και αυτό γιατί το κοµµάτι που µεταφέρθηκε τοποθετήθηκε µέσα στο εναποµείναν ορθογώνιο, όχι όµως έτσι ώστε να έχει κοινή τη µια του πλευρά µε το αρχικό σχήµα από το οποίο είχε αποκοπεί. Η ευρετική του Polya σχετικά µε το µπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα; φάνηκε να επηρεάζει τους µαθητές ούτως ώστε αυτοί να διευρύνουν µια γνωστή τους από την προηγούµενη εµπειρία τους µέθοδο σε µια περισσότερο ευέλικτη η οποία προσεγγίζει περισσότερο την γενικότερη εικόνα της διαίρεσης ενός πολύπλοκου σχήµατος σε επί µέρους υπο-σχήµατα, όπως αυτή η διαίρεση περιγράφεται από τον Hartshorne, 2000, σ ) Η λήψη αποφάσεων Και οι δυο µαθητές πραγµατοποίησαν ποικίλες αλλαγές στην προσέγγιση του προβλήµατος κατά τη διάρκεια επίλυσης. Η Κατερίνα απορρίπτει την αρχική της ιδέα για τη χρήση του πλέγµατος επειδή η µέθοδος αυτή δεν ανταποκρίνεται στις δεδοµένες προδιαγραφές του προβλήµατος σχετικά µε τις δυο κινήσεις. Όµως, αυτή η αιτιολόγηση θα µπορούσε να αποτελεί µια έµµεση θεώρηση που θα στόχευε στο να εξηγηθεί το προηγούµενό της σχόλιο: Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Προφανώς συνάντησε δυσκολίες στη µέθοδό της, όµως αντί να προσπαθήσει να ξεκαθαρίσει τη σκέψη της προτιµά να προσέξει περισσότερο µια συνθήκη του προβλήµατος την οποία πρωτύτερα είχε αγνοήσει. Όµως, αυτό στην πράξη αποδείχθηκε µια χρήσι- µη ενέργεια ελέγχου: Αν µια µέθοδος που χρησιµοποιείς δε φαίνεται να αποδίδει, κοίτα πίσω στην εκφώνηση του προβλήµατος για να σιγουρευτείς εάν δεν υπάρχει κάποιος υπαινιγµός για το πώς να προχωρήσεις προς µια άλλη κατεύθυνση. Αυτό επέτρεψε την Κατερίνα να αλλάξει εντελώς την επικέντρωση του της, και έτσι υλοποιεί το χωρισµό του τριγώνου σε τρία µέρη. ιατυπώνει µια δικαιολογία γι αυτό: ένα µέρος είναι κοινό τόσο στο τρίγωνο όσο και στο ορθογώνιο και άρα θα παρέµενε αµετάβλητο, αφήνοντας έτσι τα άλλα δύο µέρη που µπορούν να µεταφερθούν. Αυτό θα µπορούσε να θεωρηθεί ως µια ενέργεια ελέγχου, βασισµένη στην αξιοποίηση δοµικών οµοιοτήτων που η Κατερίνα έχει αντιληφθεί (Mamona-Downs & Downs, 2005). Ο Νίκος ξεκίνησε την προσπάθειά του επιχειρώντας να δείξει ότι ένα τρίγωνο ήταν ισοσκελές, τη στιγµή που αυτό δε φαινόταν να εξυπηρετεί κάποια σκοπιµότητα σε σχέση µε τις απαιτήσεις του προβλήµατος. (Η ανάληψη τέτοιων τυφλών κατευθύνσεων και τα αποτέλεσµατά τους έχουν καλυφθεί από τον Schoenfeld, 1985.) Σύντοµα απορρίπτει την προσέγγιση αυτή, αλλά όπως και η Κατερίνα, το κάνει αυτό χωρίς να έχει µια πρακτική θεώρηση: η ορθότητα της βασικής ιδέας παραµένει αδιαµφισβήτητη. Αργότερα, ο Νίκος αντιµετωπίζει µια σύγκρουση µεταξύ κάποιων δεδοµένων που επιτεύχθηκαν από µετρήσεις και της γεωµετρικής του διαίσθησης. Παίρνει µια απόφαση: να θεωρήσει τη µέτρηση λανθασµένη, και να κατευθύνει την προσοχή του στο πως να ενισχύσει το επιχείρηµά του βασισµένος τώρα στην εξεικόνιση (visualization) απαξιώνοντας έτσι την αξία της µέτρησης. Και αυτό πράγµατι κάνει και µάλιστα αρ- 8

9 κετά πειστικά στο τέλος. Τέλος, σε ένα από τα σχόλια µε τα οποία κλείνει ο Νίκος (N.4.123) δηλώνει ότι κάνοντας µια ανασκόπηση της εργασίας ένιωσε ότι θα έπρεπε να ήταν περισσότερο προσανατολισµένη προς το ζητούµενο του προβλήµατος, υποδεικνύοντας και πάλι την ευρετική του Polya Μπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα;. 3) Επαλήθευση Σε προηγούµενες ασκήσεις όπου οι µαθητές είχαν να αντιµετωπίσουν τη µέθοδο της αποκοπής και επικόλλησης, η µεταφορά της περιοχής γινόταν αντιληπτή µε το µάτι. Το περισσότερο εξεζητηµένο πλαίσιο αυτού του προβλήµατος ωστόσο έκανε και τους δυο µαθητές να αισθανθούν την ανάγκη να επαληθεύσουν ότι οι δυο µεταφορές πράγµατι εξασφάλιζαν το ζητούµενο. Αυτό από µόνο του αποτελεί µια σηµαντική ενέργεια ελέγχου. Το συνταίριασµα των κοµµατιών δεν ήταν τόσο ευδιάκριτο ώστε να αφεθεί χωρίς να συζητηθεί. Τελικά οι δυο µαθητές επαλήθευσαν µε διαφορετικό τρόπο: Η Κατερίνα βασίστηκε στη µέτρηση και ο Νίκος στην εξεικόνιση. Ο τρόπος επαλήθευσης της Κατερίνας, συγκρινόµενος µε του Νίκου, ήταν περισσότερο πρακτικός ενώ η λύση, όπως την αντιλαµβάνεται τελικά ο Νίκος, χαρακτηρίζεται από µεγαλύτερη γνωστική εµβάθυνση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο εκτελεστικός έλεγχος αφορά την αξιολόγηση από µέρους του λύτη της κατάστασης της εργασίας του/της όπως εξελίσσεται εκείνη τη στιγµή σε αντιπαραβολή µε τις προθέσεις του/της. Γενικά, αυτό απαιτεί ώριµη περίσκεψη στην προβολή του δυνα- µικού της σκέψης εκείνη τη στιγµή συναρµοσµένου µε µια πρόβλεψη του πως αυτή σκέψη θα µπορούσε να εναρµονιστεί µε το σύστηµα που υποδηλώνεται από το ίδιο το πρόβληµα. Ο Schoenfeld (1985) έχει καταδείξει ότι πολλοί προπτυχιακοί φοιτητές έχουν περιορισµένες δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου. Από την άλλη, ο ίδιος παρατήρησε ότι µερικοί, αρκετά µικροί, µαθητές φαίνεται να έχουν την ικανότητα να παίρνουν προσεκτικές αποφάσεις που οδηγούν σε αποτελεσµατικές αλλαγές στον τρόπο προσέγγισης του προβλήµατος (1992) συµβάλλοντας στο ερευνητικό ερώτη- µα: Τι δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου µπορούµε να περιµένουµε από τους µικρότερους µαθητές; Η παρούσα µελέτη, που εµπλέκει δωδεκάχρονους µαθητές, απαντά στο προηγούµενο ερώτηµα και αποκαλύπτει ότι: (i) Οι µαθητές έχουν την ικανότητα να προσαρµόζουν και να επεκτείνουν γνωστές µεθόδους ανταποκρινόµενοι σε µη τετριµµένες καταστάσεις επίλυσης προβλη- µάτων, όποτε κατανοήσουν ότι η προβληµατική κατάσταση µπορεί να δεχτεί µια ευρύτερη προσέγγιση. (ii) Οι µαθητές προκαλούν αλλαγές στην προσέγγιση, αν και οι ενδείξεις της παρούσας µελέτης αφήνουν να εννοηθεί ότι αυτές οι αλλαγές υποκινούνται περισσότερο από την αδυναµία τους να προχωρήσουν περαιτέρω παρά από το γεγονός ότι είναι σε θέση να ανακαλύψουν µε ακρίβεια γιατί η συγκεκριµένη προσέγγιση δεν αποδίδει όπως θα επιθυµούσαν. Οι µαθητές εκµεταλλεύονται τα φανερά δοµικά χαρακτηρι- 9

10 στικά που εµφανίζονται µέσα στο περιβάλλον του προβλήµατος και τα οποία πλαισιώνουν τις στρατηγικές τους. (iii) Όταν οι µαθητές συλλάβουν σε γενικές γραµµές ένα σχέδιο που θα οδηγήσει πιθανόν στην επίλυση του προβλήµατος, δραστηριοποιούνται και επιµένουν στη δια- µόρφωση επαληθεύσεων και δεν περιορίζονται µόνο στην υπόθεση ότι απλά το νοητικό τους σχέδιο λύνει το πρόβληµα. Βιβλιογραφία Baturo Annette and Nasons Rod (1996). Student teachers' subject matter knowledge within the domain of area measurement. Educational Studies in Mathematics, (31), Clements Douglas & Stephan Michele (1998). Measurement in Pre K2 mathematics. In Clements D, Sarama J, and Dibiase AM (Eds), Engaging young people in mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education, (pp ), Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Ass. Hartshorne Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer - Verlag. Mamona-Downs J. (2002). Accessing knowledge for problem solving. In Vakalis I., Hughes Hallet D, et al (Compilers), Proceedings of the 2 nd Conference on the teaching of mathematics at the undergraduate level (electronic form), Iraklion (Greece), John Wiley, NY. Mamona-Downs J, Downs M (2005). The identity of problem solving. Journal of Mathematical Behavior (24), Polya, G. (1973 Edition). How to solve it. Princeton: Princeton University Press. Schoenfeld H Alan (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld H Alan (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In Grouws D (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. (pp ). New York: MacMillan. Schroeder L Thomas & Lester K Frank (1989). Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving. In Traftor R Paul (Ed.), New Directions for Elementary School Mathematics (pp ). Reston: NCTM. Simon H & Ericsson A (1984) Protocol Analysis. Verbal Reports as Data. Cambridge, MA: MIT Press. Tall, D. O. & Vinner, S. (1981) " Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity, Educational Studies in Mathematics, 12(2),

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α , α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΠΕΛΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ. ΤΕΙ Αθήνας & 2ης Περιφ. Νομαρχίας Αθήνας, e-mail : kapelou@rhodes.aegean.gr

ΚΑΠΕΛΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ. ΤΕΙ Αθήνας & 2ης Περιφ. Νομαρχίας Αθήνας, e-mail : kapelou@rhodes.aegean.gr 95 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (NCTM & ΑΠΣ/ΔΕΠΠΣ) ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΣΧΟΛΙΚΗ ΒΑΘΜΙΔΑ ΚΑΠΕΛΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΤΕΙ Αθήνας &

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Ανάπτυξη, εφαρμογή και αξιολόγηση εκπαιδευτικών σεναρίων και δραστηριοτήτων ανά γνωστικό αντικείμενο

6.5 Ανάπτυξη, εφαρμογή και αξιολόγηση εκπαιδευτικών σεναρίων και δραστηριοτήτων ανά γνωστικό αντικείμενο 6.5 Ανάπτυξη, εφαρμογή και αξιολόγηση εκπαιδευτικών σεναρίων και δραστηριοτήτων ανά γνωστικό αντικείμενο Το εκπαιδευτικό σενάριο Η χρήση των Τ.Π.Ε. στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση θα πρέπει να γίνεται με οργανωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

kafoussi@rhodes.aegean.gr, kara@rhodes.aegean.gr, kalabas@rhodes.aegean.gr

kafoussi@rhodes.aegean.gr, kara@rhodes.aegean.gr, kalabas@rhodes.aegean.gr Οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών και των γονιών για τις άτυπες γνώσεις των νηπίων στα µαθηµατικά Σόνια Καφούση, Χρυσάνθη Σκουµπουρδή, Φραγκίσκος Καλαβάσης Πανεπιστήµιο Αιγαίου kafoussi@rhodes.aegean.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Λέξεις κλειδιά : Διδακτική παρέμβαση, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, δυναμική γεωμετρία.

Λέξεις κλειδιά : Διδακτική παρέμβαση, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, δυναμική γεωμετρία. Το πιλοτικό πρόγραμμα σπουδών στο γυμνάσιο: Μετασχηματισμοί Δημήτρης Διαμαντίδης 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Φιλήμονος 38 & Τσόχα, Αθήνα dimdiam@sch.gr Περίληψη Στο κείμενο περιγράφεται μια διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle

Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle 221 Για τα παιδιά η γεωμετρία ξεκινά με παιχνίδι: Seven-Pieces Mosaic Puzzle Ιωάννης Παπαδόπουλος 1 Αλέξανδρος Παπαμιχαήλ 2 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΑΠΘ 1, 2 ypapadop@eled.auth.gr 1 avpapami@eled.auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 556 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Ματούλας Γεώργιος άσκαλος Σ Ευξινούπολης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή εισήγηση

Εργαστηριακή εισήγηση Εργαστηριακή εισήγηση «Διδακτικό Σενάριο: Προσεγγίζοντας Κωνικές Τομές με τη βοήθεια της Μεσοκαθέτου στο Δυναμικό Περιβάλλον του Geometer s Sketchpad» Σάββας Πιπίνος 1, Σταύρος Κοκκαλίδης 2, Χρήστος Ηρακλείδης

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού

υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού Λούκας Τσούκκας, Ξένια Ξυστούρη, Κωνσταντίνος Χρίστου, ήµητρα Πίττα- Πανταζή Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, Κύπρος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης

Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά της υποχρεωτικής εκπαίδευσης ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Το νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Σκοπός της έρευνας

1. Σκοπός της έρευνας Στατιστική ανάλυση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων των εξετάσεων πιστοποίησης ελληνομάθειας 1. Σκοπός της έρευνας Ο σκοπός αυτής της έρευνας είναι κυριότατα πρακτικός. Η εξέταση των δεκτικών/αντιληπτικών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή.

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή. Το παζλ ανταλλαγής Ηλικίες: 7 ενήλικες Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Καμία Χρόνος: 50-60 λεπτά Μέγεθος ομάδας: 8 με 30 Εστίαση Τι είναι αλγόριθμος; Δοκιμή Αποδοτικότητα αλγορίθμων Υπολογιστική και αλγοριθμική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έρευνα και Συγγραφή

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έρευνα και Συγγραφή ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΜΕ9900 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έρευνα και Συγγραφή Διάλεξη 7η Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβλήματος με μεταβλητές για την Στ τάξη του δημοτικού σχολείου με τη χρήση του ελεύθερου λογισμικού Geogebra

Επίλυση προβλήματος με μεταβλητές για την Στ τάξη του δημοτικού σχολείου με τη χρήση του ελεύθερου λογισμικού Geogebra Επίλυση προβλήματος με μεταβλητές για την Στ τάξη του δημοτικού σχολείου με τη χρήση του ελεύθερου λογισμικού Geogebra Σπύρος Κυριαζίδης Δάσκαλος Προτύπου Πειραματικού Δημοτικού Σχολείου Σερρών kiriazidiss@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Το µάθηµα Ηλεκτρονική ηµοσίευση

Το µάθηµα Ηλεκτρονική ηµοσίευση Τµήµα Αρχειονοµίας Βιβλιοθηκονοµίας Ιόνιο Πανεπιστήµιο Το µάθηµα Ηλεκτρονική ηµοσίευση Σαράντος Καπιδάκης Επικοινωνία Σαράντος Καπιδάκης Εργαστήριο Ψηφιακών Βιβλιοθηκών και Ηλεκτρονικής ηµοσίευσης sarantos@ionio.gr

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική δραστηριότητα Α Γυμνασίου

Διδακτική δραστηριότητα Α Γυμνασίου Διδακτική δραστηριότητα Α Γυμνασίου 1. Ταυτότητα δραστηριότητας Τίτλος: Και πάλι στο σχολείο Δημιουργός: Μαρία Νέζη Πεδίο, διδακτικό αντικείμενο και διδακτική ενότητα: Μάθημα: Νεοελληνική Λογοτεχνία Τάξη:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 184 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ιωάννου Στυλιανός Εκπαιδευτικός Μαθηματικός Β θμιας Εκπ/σης Παιδαγωγική αναζήτηση Η τριγωνομετρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Επιµέλεια: Καλαντζής Παναγιώτης, ηµ. Σχ. Παίδων «Π. & Α. Κυριακού». Γνωστικό αντικείµενο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ 1. ΤΙΤΛΟΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ: Μονάδες µέτρησης επιφανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους)

ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) ΕΝΤΑΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Ε.Χαραλάμπους) Όνομα Παιδιού: Ναταλία Ασιήκαλη ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ: Πως οι παράγοντες υλικό, μήκος και πάχος υλικού επηρεάζουν την αντίσταση και κατ επέκταση την ένταση του ρεύματος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού

Παραδοτέο Π.1 (Π.1.1) Εκθέσεις για προµήθεια εκπαιδευτικού υλικού 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ Μέτρο 2.2 Αναµόρφωση Προγραµµάτων Προπτυχιακών Σπουδών ιεύρυνση Τριτοβάθµιας Κατ. Πράξης 2.2.2.α Αναµόρφωση Προγραµµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων]

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] 1. Είστε ικανοποιημένος/η από το Πρόγραμμα; Μ. Ο. απαντήσεων: 4,7 Ικανοποιήθηκαν σε απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α. Β ΦΑΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α. Β ΦΑΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α. Β ΦΑΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: «Χαράξεις με χάρακα και διαβήτη. Ορθές γωνίες» (Κεφάλαιο : 16 ο ) Σχολείο:

Διαβάστε περισσότερα

Α ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΝΩΣΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-ΑΘΗΝΑ 2005

Α ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΝΩΣΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-ΑΘΗΝΑ 2005 Α ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΕΝΩΣΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-ΑΘΗΝΑ 2005 Η ικανότητα επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων και η χρήση στρατηγικών από μαθητές Β δημοτικού ΕΛΕΝΑ ΠΑΝΑΓΙΔΟΥ, ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΑΝΝΗ Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα