ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ."

Transcript

1 ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΟΠΩΣ ΑΥΤΟ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΝΑΣΧΟΛΗΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΕΜΒΑ ΟΥ. Ιωάννα Μαµωνά-Downs Ιωάννης Παπαδόπουλος Πανεπιστήµιο Πατρών Σωρεία µελετών εξετάζουν την κατανόηση της έννοιας του εµβαδού επίπεδων σχηµάτων την οποία είτε ήδη κατέχουν είτε αναπτύσσουν µαθητές του δηµοτικού σχολείου ή των πρώτων τάξεων του γυµνασίου. Στην παρούσα εργασία, το ερευνητικό ενδιαφέρον µετατίθεται στη θεώρηση των δεξιοτήτων επίλυσης προβληµάτων που, πιθανόν, συσσωρεύονται µέσα από την ενασχόληση των µαθητών µε δραστηριότητες σχετικές µε τον υπολογισµό εµβαδού. Πιο συγκεκριµένα, εξετάζεται η εργασία δυο µαθητών της Α Γυ- µνασίου πάνω σε µια συγκεκριµένη δραστηριότητα σε αντιπαραβολή µε ορισµένα ζητή- µατα εκτελεστικού ελέγχου (executive control)που αφορούν την επιλογή, τον τρόπο εφαρµογής και την προσαρµογή µέσα από ένα σύνολο ήδη γνωστών µεθόδων οι οποίες συνδέονται µε τον ακριβή καθορισµό του εµβαδού. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πολλές εµπειρικές µελέτες παιδαγωγών που ερευνούν το πώς οι µαθητές κατανοούν µαθηµατικές έννοιες, συχνά αξιοποιούν µη-τετριµµένες δραστηριότητες προκειµένου να ελέγξουν και να προκαλέσουν σε µεγάλο βαθµό την γνώση (cognition) των µαθητών γύρω από τις µελετώµενες έννοιες. Όµως, η χρήση µη-τετριµµένων δραστηριοτήτων θα µπορούσε να φέρει στο προσκήνιο όψεις της επίλυσης προβληµάτων βασισµένες στην επιλογή στρατηγικών, οι οποίες δεν συµβάλλουν απαραίτητα στην ο- ποιαδήποτε νέα εµβάθυνση της εικόνας της έννοιας (concept image). (Βλέπε για παράδειγµα, Tall & Vinner, 1981, για την ιδέα της εικόνας της έννοιας.) Από την άλλη, τα τεχνάσµατα που έλαβαν χώρα στην αντιµετώπιση τέτοιου είδους δραστηριοτήτων τείνουν να αναφέρονται στο σχετικό εννοιολογικό σκηνικό που υποδηλώνεται από τη δραστηριότητα. Όταν την προσοχή των µαθητών τη µονοπωλεί το στοιχείο της στρατηγικής, τότε θα λέµε ότι οι µαθητές απασχολούνται µε δραστηριότητες επίλυσης προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από µια έννοια, σε αντιπαράθεση µε τον εµπλουτισµό της έννοιας ο οποίος καταδεικνύεται από την ενασχόληση µε µη-τετριµµένες δραστηριότητες. Καθώς το στοιχείο της στρατηγικής εξακολουθεί να είναι σχετικό µε την έννοια, αν και σε πιο λειτουργικό ρόλο, µπορεί να θεωρηθεί ενδιάµεσο στοιχείο στη διδασκαλία σχετικά µε την επίλυση προβληµάτων και στη διδασκαλία µέσω της επίλυσης προβληµάτων, µια διάκριση που συχνά απαντάται στη βιβλιογραφία (για παράδειγµα, Schroeder & Lester, 1989). Στην εργασία αυτή παρουσιάζουµε µέρος µιας µελέτης η οποία, µέσα από τις προσεκτικά σχεδιασµένες δραστηριότητες που δόθηκαν στους µαθητές που συµµετείχαν, ενεθάρρυνε την επίλυση προβληµάτων συµπληρωµατικά γύρω από την έννοια του 1

2 εµβαδού. Το κίνητρο για την πραγµατοποίηση της µελέτης αυτής υπήρξε ένα ερευνητικό µας έργο που προηγήθηκε, το οποίο περιελάµβανε µαθητές δηµοτικού και οργανώθηκε για να εξετάσει και να επεκτείνει την κατανόηση του εµβαδού και τη διατήρησή του κάτω από συγκεκριµένες ενέργειες. Τα αποτελέσµατα από αυτό το προηγηθέν εγχείρηµα, µολονότι αποκαλύπτουν πολλά νέα ενδιαφέροντα στοιχεία µέσα από το νεωτεριστικό διδακτικό υλικό (χρήση υπολογιστών), είχαν εν τούτοις οµοιότητες µε αποτελέσµατα άλλων εργασιών που διαπραγµατεύτηκαν το ίδιο θέµα, στο ίδιο επίπεδο, και την ίδια βαθµίδα (για παράδειγµα, Baturo & Nasons, 1996; Clements & Stephan, 1998). Παρατηρήσαµε όµως ότι οι µαθητές είχαν πρόβληµα στο να οργανώσουν τις µεθόδους τους προκειµένου να εφαρµόσουν τη γνώση τους για την έννοια (πέρα από το απλά να προκαλέσουν τη γνώση αυτή). Αν και αυτή η οπτική γωνία για την επίλυση προβληµάτων αποτελεί µια προοπτική που αξίζει α- ναµφίβολα να εξεταστεί, είναι κάτι που µέχρι τώρα δεν έχει αποτελέσει σαφές αντικείµενο έρευνας και δικαιολογεί την παρούσα µελέτη. Η µελέτη µας πραγµατοποιείται µε δυο µαθητές της Α Γυµνασίου που είχαν λάβει µέρος σε ευρύτερη προηγούµενη έρευνά µας. To θέµα της έρευνας ήταν, και συνεχίζει κι εδώ να είναι, η µέτρηση του εµβαδού. Στην παρούσα εργασία περιοριζόµαστε σε µια περίπτωση που περιλαµβάνει µια δραστηριότητα και τους δυο µαθητές. επειδή παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον από την άποψη του εκτελεστικού ελέγχου που ασκείται κατά την εφαρµογή και προσαρµογή ενός συνόλου µεθόδων γνωστών στους µαθητές σχετικών µε τον υπολογισµό ή τη σύγκριση εµβαδών. (Για µια αναλυτική περιγραφή του εκτελεστικού ελέγχου, βλέπε Schoenfeld, 1985). Προφανώς, η επικέντρωση σε αυτές τις µεθόδους σηµαίνει ότι ο έλεγχος θα πρέπει να σχετίζεται µε το γνωστικό υπόβαθρο του /των µαθητή(ών), κι εποµένως αποκτούν ιδιαίτερο ενδιαφέρον µια σειρά από θέµατα, όπως: Εκµεταλλεύτηκαν οι µαθητές το απόθεµα των ήδη από πριν γνωστών µεθόδων και αν ναι, µε ποιον τρόπο; Κατά τη διάρκεια της επίλυσης οι µαθητές πραγµατοποίησαν αλλαγές στην κατεύθυνση µε την οποία προσέγγιζαν το πρόβληµα. Ποια ήταν η ποιότητα του σκεπτικού που συνόδευε τις αλλαγές αυτές; Τι τύπους επαλήθευσης επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν στη διαδικασία επίλυσης του προβλήµατος οι µαθητές; Η εργασία θα περιγράψει τη δραστηριότητα επίλυσης προβλήµατος συµπληρωµατικά-γύρω-από την έννοια του εµβαδού όπως αναδεικνύεται µέσα από τη δουλειά των δυο µαθητών, ειδικά σε σχέση µε τα τρία παραπάνω ερωτήµατα που αφορούν στον εκτελεστικό έλεγχο. 2. Η ΥΠΟ ΟΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ, ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι δυο µαθητές (Νίκος και Κατερίνα) φοιτούσαν στην Α Γυµνασίου σε σχολεία της Θεσσαλονίκης. Μέσα από τις κανονικές παραδόσεις στο µάθηµα των µαθηµατικών είχαν διδαχθεί κάποιες βασικές έννοιες της γεωµετρίας συµπεριλαµβανοµένων ορι- 2

3 σµένων σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους (τα σχήµατα αυτά περιορίζονται κυρίως στα τρίγωνα, τετράπλευρα και κύκλους). Επίσης οι µαθητές γνώριζαν τους τύπους για τον υπολογισµό του εµβαδού κάθε είδους των παραπάνω σχηµάτων. Επιπλέον, και οι δυο µαθητές συµµετείχαν σε προγενέστερα στάδια της έρευνάς µας που διεξήχθη παράλληλα µε την κανονική διδασκαλία των µαθηµάτων τους στο σχολείο. Το γεγονός ότι συµµετείχαν στην προηγούµενη έρευνά µας τους παρείχε εµπειρία στη χρήση ποικίλλων εργαλείων που τους επέτρεπαν να υπολογίζουν το εµβαδόν µη-κανονικών επίπεδων σχηµάτων. Σε αυτά τα διαθέσιµα εργαλεία περιλαµβάνονται: η χρήση πλέγµατος σε έναν γεωπίνακα, η υποδιαίρεση µιας µονάδας µέτρησης επιφάνειας (συνήθως ένα τετράγωνο) σε υπο-µονάδες, εργαλεία µέτρησης µήκους τα οποία επιτρέπουν τον υπολογισµό του εµβαδού ιδιαίτερα των ξεχωριστών µερών στα οποία διαιρούνταν ένα µη-κανονικό σχήµα και επίσης η µέθοδος της αποκοπήςεπικόλλησης. εδοµένου ότι από τη σκοπιά της επίλυσης προβληµάτων και οι δυο µαθητές απεδείχθησαν ιδιαίτερα ικανοί, αυτό που αναµέναµε ήταν ότι θα τα κατάφερναν καλύτερα από άλλους µαθητές στην περίπτωση που ο σχεδιασµός των δραστηριοτήτων θα έδινε έµφαση σε δεξιότητες ελέγχου (κάτι στο οποίο αποσκοπούσε το τελευταίο στάδιο της έρευνάς µας). Στην παρούσα εργασία επιλέγουµε µια από τις δραστηριότητες από αυτήν την τελική φάση και παρουσιάζουµε τη συµπεριφορά επίλυσης προβληµάτων των µαθητών σε σχέση µε τη δραστηριότητα αυτή. Εικόνα 1: Παρουσίαση της δραστηριότητας Επιτρέπεται µόνο δυο φορές να κόψεις ένα κοµµάτι και να το κολλήσεις όπου νοµίζεις ότι ταιριάζει ώστε το τρίγωνο να µετασχηµατιστεί στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι µεγαλύτερο, µικρότερο ή ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου; Το σκεπτικό µας σχετικά µε το σχεδιασµό της παραπάνω δραστηριότητας είναι το ακόλουθο: Οι µαθητές ήταν εξοικειωµένοι µε την τεχνική της αποκοπής-επικόλλησης, και όντως είχαν εµπειρία µε δραστηριότητες όπου απαιτούνταν αρκετές φορές η τεχνική αυτή. Όµως, ποτέ δεν είχαν αντιµετωπίσει την περίπτωση να πρέπει να πραγµατοποιήσουν πολλαπλές ενέργειες κατά τρόπο ώστε οι διαφορετικές ενέργειες να είναι αλληλοεξαρτώµενες, όπως συµβαίνει στην περίπτωση της δραστηριότητας που τους δόθηκε παραπάνω. Μιλώντας µε όρους της επίλυσης προβληµάτων θα µπορούσαµε να πούµε 3

4 ότι το ιδιαίτερο ενδιαφέρον της δραστηριότητας έγκειται στο να δούµε κατά πόσο οι µαθητές θα µπορούσαν να συντονίσουν τις δυο ενέργειες. Για να κάνουν την πρώτη τους ενέργεια θα έπρεπε να προβλέψουν τη δεύτερη. Μια άλλη ενδιαφέρουσα παρά- µετρος είναι το κατά πόσο οι µαθητές θα προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα χρησιµοποιώντας άλλες µεθόδους παρά το γεγονός ότι η εκφώνηση του προβλήµατος τους προσανατόλιζε προς συγκεκριµένη κατεύθυνση. Η δραστηριότητα αυτή αποτελεί µέρος µιας συνεδρίας περίπου δυο ωρών κατά την οποία οι µαθητές ήρθαν αντιµέτωποι µε ακόµη τέσσερις δραστηριότητες. Οι µαθητές εργάστηκαν ατοµικά και τους ζητήθηκε να εκφράζουν µεγαλοφώνως τις σκέψεις τους ενόσω προσπαθούσαν να λύσουν το πρόβληµα. Αυτό ζητήθηκε µε βάση την ανάλυση πρωτοκόλλου όπως αυτή έχει παρουσιαστεί συστηµατικά από τους Simon & Ericsson (1984). Η ανάλυση πρωτοκόλλου που αποτελεί κατάληξη µιας συνεδρίας επίλυσης προβληµάτων χωρίς µεσολαβήσεις από την πλευρά των ερευνητων, θεωρείται ιδιαίτερα πρόσφορη για την τεκµηρίωση της παρουσίας ή απουσίας εκτελεστικών αποφάσεων στην επίλυση προβληµάτων και την επεξήγηση των συνεπειών αυτών των εκτελεστικών αποφάσεων (Schoenfeld, 1992). Η ανάλυση πρωτοκόλλου από τη φύση της ελαχιστοποιεί την παρέµβαση µιας συνέντευξης (από την πλευρά των ερευνητών). Κρίναµε όµως ότι θα ήταν χρήσιµο για την έρευνα να ρωτήσουµε απευθείας τους δύο µαθητές σχετικά µε τα κίνητρα των αποφάσεων τους στη διάρκεια της εργασία τους µε τη δραστηριότητα. Για το λόγο αυτό τους καλέσαµε σε συνέντευξη λίγες µέρες µετά τη συνεδρία. Και οι δυο τύποι δεδοµένων ηχογραφήθηκαν και µεταγράφηκαν για τους σκοπούς της παρούσας έρευνας. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΡΙΝΑΣ. Η Κατερίνα, αµέσως µετά την ανάγνωση του προβλήµατος έθεσε σε εφαρµογή µια θεωρούµενη πορεία επίλυσης. Αρχικά κατασκεύασε το τετραγωνικό πλέγµα στο ε- σωτερικό του τριγώνου και του ορθογωνίου. Αυτό ήταν προφανής συνέπεια της επίδρασης του γεγονότος ότι κατά τα δυο τελευταία χρόνια είχε συσσωρεύσει εµπειρία από προβλήµατα που το περιβάλλον τους περιείχε µια τέτοια διάταξη τελειών και συνεπώς η κατασκευή του τετραγωνικού πλέγµατος ήταν µια οικεία στρατηγική γι αυτήν. Το επόµενο βήµα (επίσης απόρροια της παρελθοντικής της εµπειρίας) ήταν να διαιρέσει τις µη πλήρεις τετραγωνικές µονάδες σε υποµονάδες. Όταν κατά τη διάρκεια της συνέντευξης της ζητήσαµε να εξηγήσει της επιλογή της αυτή, η απάντησή της ήταν: «Μόλις είδα το πρόβληµα, αµέσως θυµήθηκα τα προβλήµατα που είχαµε λύσει όσο ήµαστε στο δηµοτικό σχολείο». Όµως, λίγα δευτερόλεπτα αργότερα απέρριψε αυτήν την αρχική της προσέγγιση, πραγµατοποιώντας την πρώτη της αλλαγή κατεύθυνσης στη διαδικασία σκέψης: K.4.5. Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Τη ρωτήσαµε γιατί απέρριψε την πρώτη της σκέψη. Η απάντησή της ήταν: Οι οδηγίες µιλούν για δυο κινήσεις. Εάν συνέχιζα µε τα τετραγωνάκια θα έπρεπε να τα µετακινώ 4

5 ένα-ένα και εποµένως θα χρειαζόµουν περισσότερες από δυο κινήσεις προκειµένου να λύσω το πρόβληµα. Αποφάσισε τότε να διαιρέσει το τρίγωνο σε τρία µέρη α, β and γ (Εικόνα 2): K Το τµήµα γ δε χρειάζεται να το µετακινήσω καθόλου γιατί ήδη βρίσκεται µέσα στο ορθογώνιο. Η Κατερίνα πολύ γρήγορα ξεκαθάρισε ότι το κοµµάτι γ ήταν η κοινή επιφάνεια των δυο σχηµάτων, ένα εύρηµα που θα τη βοηθούσε να προχωρήσει στην επίλυση του προβλήµατος. Ο τρόπος όµως που προσέγγισε τη λύση µετά την απόφασή της αυτή ήταν εντελώς αριθµητικός. Προσπάθησε να υπολογίσει το εµβαδόν κάθε υποσχήµατος βασισµένη πάλι στις τετραγωνικές µονάδες που σχηµάτιζε η διάταξη των τελειών που υπήρχε στο σχήµα. Η ύπαρξη όµως µη-πλήρων τετραγωνικών µονάδων ήταν ένα εµπόδιο. Ως αντίδραση στο εµπόδιο αυτό, η Κατερίνα πραγµατοποίησε τη δεύτερη αλλαγή κατεύθυνσης της σκέψης της. Παρατήρησε την ορθή γωνία στο κοµµάτι δ εξωτερικά του τριγώνου. Αποφάσισε έτσι να µεταφέρει το κοµµάτι α (που είναι ορθογώνιο τρίγωνο) µέσα στο υπόλοιπο εσωτερικό µέρος του ορθογωνίου έτσι ώστε να συµπίπτουν οι ορθές γωνίες. Εικόνα 2. Η διαίρεση του τριγώνου από την Κατερίνα και η µεταφορά των µερών που προέκυψαν. Στο σηµείο αυτό παρέµενε ανοικτό το ερώτηµα πως η µαθήτρια κατάφερε να σχεδιάσει την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου στη νέα του θέση. Στη συνέντευξη η αντίδρασή της ήταν: «Μέτρησα τις τελείες. Ήξερα ότι η ορθή γωνία χωράει ακριβώς στην άκρη. Έτσι µέτρησα την απόσταση ανάµεσα στις άκρες». Έπειτα, µετέφερε το κοµµάτι β όπως φαίνεται στην εικόνα 2. Τέλος, η Κατερίνα κάνει µια εκτίµηση για τη διατήρηση του εµβαδού µέσα στο πλαίσιο αυτό. Στο ερώτηµα: ποιο εµβαδόν είναι µεγαλύτερο, η απάντησή της ήταν: «Ακριβώς το ίδιο. Αφού δεν περισσεύει κανένα κοµµάτι». 3.2 Η ΠΟΡΕΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΝΙΚΟΥ. Ο Νίκος αρχικά κατανάλωσε ένα µέρος του χρόνου του στο να εξοικειωθεί µε το πρόβληµα προτού αποφασίσει για το πώς να προχωρήσει. Η αρχική του σκέψη ήταν ότι το τρίγωνο ΑΒΧ ήταν ισοσκελές (Εικόνα 3). Προσπάθησε να το αποδείξει µετρώντας τα µήκη των δυο υποτιθέµενων ίσων πλευρών. Η προσπάθειά του βασίστηκε στις τελείες του πίνακα, όµως οι µετρήσεις του δεν ήταν ακριβείς επειδή ο πίνακας επιτρέπει ακριβείς µετρήσεις µόνο οριζόντια ή κατακόρυφα (ενώ οι πλευρές του τριγώνου κείνται πλάγια). Είναι προφανές ότι αυτό που πέτυχε ήταν να βρει προ- 5

6 σεγγίσεις των πραγµατικών µηκών. Κατά συνέπεια οι µετρήσεις των πλευρών δεν έδωσαν ίσα εξαγόµενα και αυτό τον παρακίνησε να δηλώσει πως αυτές οι µετρήσεις δεν στάθηκαν ικανές να τον βοηθήσουν. Στο σηµείο αυτό πραγµατοποίησε την πρώτη του αλλαγή στην κατεύθυνση της σκέψης του: Figure 3. Η διαίρεση του τριγώνου από το Νίκο. N.4.17 Ίσως πρέπει να κόψω αυτό το τρίγωνο.αυτό που περισσεύει έξω και να το βάλω µέσα στο άλλο σχήµα. Σχεδίασε στη συνέχεια τα τρίγωνα Β Ω και ΕΩΧ. Ήδη είχε πραγµατοποιήσει µια κατάλληλη διαίρεση σε επιµέρους κοµµάτια όµως δεν µπορούσε ακόµη να δει το πως θα πρέπει να µεταφέρει τα κοµµάτια που προέκυψαν από τη διαίρεση αυτή µέσα στο ορθογώνιο: N.4.46 Πρέπει να βρω κάποιο τρίγωνο που θα είναι ακριβώς το ίδιο µε το ΑΓΕ. Λόγω της αδυναµίας του να δουλέψει σε ένα γεωµετρικό πλαίσιο στράφηκε προς ένα αριθµητικό, για δεύτερη φορά κατά τη διάρκεια αυτής της δραστηριότητας, συγκρίνοντας µήκη. Στο σηµείο αυτό διατύπωσε τη γνώµη ότι το σηµείο Ε είναι το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΧ. N.4.71 N.4.72 N.4.76 N.4.81 N.4.82 Το σηµείο E χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΧ ακριβώς στη µέση. Έτσι, το ευθύγραµµο τµήµα ΑΕ θα προσαρµόζει ακριβώς πάνω στο ΕΧ. Και µας περισσεύει µια περιοχή Είναι µια ορθή γωνία. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να τοποθετήσω το τρίγωνο κατά τέτοιο τρόπο ώστε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην ΕΑ.. Λογικά τα δυο τρίγωνα ΕΩΧ και Β Ω θα πρέπει να έχουν και τα δυο µαζί εµβαδόν ίσο µε αυτό του τριγώνου ΑΕΓ. Πρέπει να επαληθεύσω ότι αυτό είναι σωστό. Θα βρω το εµβαδόν των δυο πρώτων τριγώνων και θα το συγκρίνω µε το εµβαδόν του ΑΓΕ. Μολονότι η διαίσθησή του τον πληροφόρησε ότι τα δυο τρίγωνα µαζί είχαν το ίδιο εµβαδόν µε το τρίτο, ο ίδιος αισθάνθηκε ότι πρέπει να σιγουρευτεί γι αυτό. Κατέφυγε λοιπόν ξανά σε µια αριθµητική προσέγγιση. Μέτρησε κατά προσέγγιση βάσεις και ύψη, εφάρµοσε το γνωστό τύπο για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου, όµως τα δυο επιµέρους εξαγόµενα ήταν διαφορετικά. Ο Νίκος το απέδωσε στο ότι έκανε λανθασµένες µετρήσεις. N.4.89 N.4.90 Αυτό σηµαίνει ότι µάλλον έχω κάνει κάποιο λάθος στον υπολογισµό των εµβαδών των προηγουµένων σχηµάτων. Πρέπει να το ξανακοιτάξω. Το ένστικτό του, λοιπόν, τον έκανε να επιµένει στην αρχική του διαίσθηση, πράγµα που υποδηλώνει πως αυτή η διαίσθηση ήταν τόσο ισχυρή ώστε να υποθέτει ότι η α- 6

7 ποτυχία του στην επαλήθευση οφειλόταν σε λανθασµένους υπολογισµούς. Πράγµατι, όταν αργότερα τον ρωτήσαµε γιατί επέµενε τόσο, απάντησε: Ήµουν τόσο σίγουρος ότι το εµβαδόν των δυο τριγώνων µαζί, του ΕΩΧ και του ΩΒ, ήταν ίσο µε το εµβαδόν του ΑΕΓ, ώστε να πιστεύω πως το ότι δεν µπορούσα να το επιβεβαιώσω µε τους αριθµούς, ο- φειλόταν σε δικούς µου λανθασµένους υπολογισµούς και συνεπώς έπρεπε να ξαναπροσπαθήσω µε αριθµούς. Τέλος στράφηκε ξανά σε µια γεωµετρική προσέγγιση. N Θα κόψω το τρίγωνο ΒΩ και θα το προσαρµόσω στη γωνία ΑΓΕ. N Μετά, θα κόψω το τρίγωνο ΕΧΩ και θα το κολλήσω µε τέτοιο τρόπο ώ- στε η πλευρά ΕΧ να εφάπτεται στην πλευρά ΑΕ και η κορυφή Ω να κοιτά προς το σηµείο Γ. Ενδιαφέρουσα είναι τέλος η εξήγηση που δίνει ο Νίκος σχετικά µε την καθυστέρησή του να φτάσει στη λύση του προβλήµατος: N N Νοµίζω ότι άργησα πολύ να φτάσω στη λύση επειδή από την αρχή ασχολήθηκα µε τους τύπους και δεν το κοίταξα σαν να ήταν ένα σχήµα. εν έψαξα να βρω τη σχέση που είχε το σχήµα που µου ζητούνταν να φτιάξω µέσω του µετασχηµατισµού, µε το σχήµα που ήδη υπήρχε. 4. ΣΧΟΛΙΑ Στη συνέχεια παραθέτουµε µια ερµηνεία των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από τα στοιχεία που συλλέξαµε: 1) Τι τεχνικές επέλεξαν να χρησιµοποιήσουν οι µαθητές στη διάρκεια της επίλυσης; Η Κατερίνα διάβασε το πρόβληµα και αµέσως επέλεξε να εφαρµόσει µια µέθοδο από το απόθεµα αυτών που κατά το παρελθόν είχε συναντήσει και που ήταν σχετικές µε τη µέτρηση του εµβαδού. Υπάρχουν ενδείξεις ότι η απόφασή της αυτή επηρεάστηκε από το γεγονός ότι το πρόβληµα δίνονταν σε πλέγµα τελειών. Η διάταξη των τελειών ενεργοποίησε, στην Κατερίνα, τη συµπλήρωση και καταµέτρηση τετραγωνικών µονάδων που βρίσκονταν εξολοκλήρου µέσα στο σχήµα, ως µέθοδο επίλυσης. (Στην εργασία της Mamona-Downs, 2002, διατυπώνεται ο ισχυρισµός ότι κάποιοι σχηµατισµοί ( cues ) δρουν ως νοητά ερεθίσµατα που πυροδοτούν την πρόσβαση σε συγκεκριµένες περιοχές γνώσης). Αυτό συνέβη παρά τη ρητή οδηγία να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος αποκοπής-επικόλλησης. Η αρχική συµπεριφορά του Νίκου µε την οποία αντιµετωπίζει το πρόβληµα έρχεται σε αντίθεση µε αυτήν της Κατερίνας. Αρχικά, αφιέρωσε κάποιο χρόνο για να εξοικειωθεί µε το περιβάλλον του προβλήµατος και να κάνει µια προκαταρκτική διερεύνηση. Αυτό θα µπορούσε να συσχετιστεί µε το πρώτο βήµα που εισηγήθηκε ο Polya για την επίτευξη µιας λύσης κατά την επίλυση προβληµάτων, γνωστού ως Αποκτώντας εξοικείωση?? [Κατανοώντας το πρόβληµα??], (βλέπε Polya, 1973, σ. 33). Επίσης, το σηµείο εκκίνησης του Νίκου ε- µπλέκει µια δοµική εικασία (structural conjecture) (ένα συγκεκριµένο τρίγωνο είναι ισοσκελές). Η εικασία αυτή ανασύρει στην επιφάνεια προηγούµενή του εµπειρία σχετικά µε τη µέτρηση µηκών µέσα στο δεδοµένο πλέγµα τελειών, ως κριτήριο της 7

8 εγκυρότητας. Στην πραγµατικότητα και οι δυο µαθητές κατέφυγαν στη µέθοδο αυτή προκειµένου να ελέγξουν τις γεωµετρικές τους ιδέες. Όµως, το πιο σηµαντικό ίσως ήταν ότι στο τέλος και οι δυο πραγµατοποίησαν την πρώτη από τις δυο µεταφορές κατά τρόπο που να µην συνάδει ακριβώς µε το πρωτόκολλο της αποκοπής και επικόλλησης. Και αυτό γιατί το κοµµάτι που µεταφέρθηκε τοποθετήθηκε µέσα στο εναποµείναν ορθογώνιο, όχι όµως έτσι ώστε να έχει κοινή τη µια του πλευρά µε το αρχικό σχήµα από το οποίο είχε αποκοπεί. Η ευρετική του Polya σχετικά µε το µπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα; φάνηκε να επηρεάζει τους µαθητές ούτως ώστε αυτοί να διευρύνουν µια γνωστή τους από την προηγούµενη εµπειρία τους µέθοδο σε µια περισσότερο ευέλικτη η οποία προσεγγίζει περισσότερο την γενικότερη εικόνα της διαίρεσης ενός πολύπλοκου σχήµατος σε επί µέρους υπο-σχήµατα, όπως αυτή η διαίρεση περιγράφεται από τον Hartshorne, 2000, σ ) Η λήψη αποφάσεων Και οι δυο µαθητές πραγµατοποίησαν ποικίλες αλλαγές στην προσέγγιση του προβλήµατος κατά τη διάρκεια επίλυσης. Η Κατερίνα απορρίπτει την αρχική της ιδέα για τη χρήση του πλέγµατος επειδή η µέθοδος αυτή δεν ανταποκρίνεται στις δεδοµένες προδιαγραφές του προβλήµατος σχετικά µε τις δυο κινήσεις. Όµως, αυτή η αιτιολόγηση θα µπορούσε να αποτελεί µια έµµεση θεώρηση που θα στόχευε στο να εξηγηθεί το προηγούµενό της σχόλιο: Αυτό που έκανα δε χρησιµεύει σε τίποτα. Προφανώς συνάντησε δυσκολίες στη µέθοδό της, όµως αντί να προσπαθήσει να ξεκαθαρίσει τη σκέψη της προτιµά να προσέξει περισσότερο µια συνθήκη του προβλήµατος την οποία πρωτύτερα είχε αγνοήσει. Όµως, αυτό στην πράξη αποδείχθηκε µια χρήσι- µη ενέργεια ελέγχου: Αν µια µέθοδος που χρησιµοποιείς δε φαίνεται να αποδίδει, κοίτα πίσω στην εκφώνηση του προβλήµατος για να σιγουρευτείς εάν δεν υπάρχει κάποιος υπαινιγµός για το πώς να προχωρήσεις προς µια άλλη κατεύθυνση. Αυτό επέτρεψε την Κατερίνα να αλλάξει εντελώς την επικέντρωση του της, και έτσι υλοποιεί το χωρισµό του τριγώνου σε τρία µέρη. ιατυπώνει µια δικαιολογία γι αυτό: ένα µέρος είναι κοινό τόσο στο τρίγωνο όσο και στο ορθογώνιο και άρα θα παρέµενε αµετάβλητο, αφήνοντας έτσι τα άλλα δύο µέρη που µπορούν να µεταφερθούν. Αυτό θα µπορούσε να θεωρηθεί ως µια ενέργεια ελέγχου, βασισµένη στην αξιοποίηση δοµικών οµοιοτήτων που η Κατερίνα έχει αντιληφθεί (Mamona-Downs & Downs, 2005). Ο Νίκος ξεκίνησε την προσπάθειά του επιχειρώντας να δείξει ότι ένα τρίγωνο ήταν ισοσκελές, τη στιγµή που αυτό δε φαινόταν να εξυπηρετεί κάποια σκοπιµότητα σε σχέση µε τις απαιτήσεις του προβλήµατος. (Η ανάληψη τέτοιων τυφλών κατευθύνσεων και τα αποτέλεσµατά τους έχουν καλυφθεί από τον Schoenfeld, 1985.) Σύντοµα απορρίπτει την προσέγγιση αυτή, αλλά όπως και η Κατερίνα, το κάνει αυτό χωρίς να έχει µια πρακτική θεώρηση: η ορθότητα της βασικής ιδέας παραµένει αδιαµφισβήτητη. Αργότερα, ο Νίκος αντιµετωπίζει µια σύγκρουση µεταξύ κάποιων δεδοµένων που επιτεύχθηκαν από µετρήσεις και της γεωµετρικής του διαίσθησης. Παίρνει µια απόφαση: να θεωρήσει τη µέτρηση λανθασµένη, και να κατευθύνει την προσοχή του στο πως να ενισχύσει το επιχείρηµά του βασισµένος τώρα στην εξεικόνιση (visualization) απαξιώνοντας έτσι την αξία της µέτρησης. Και αυτό πράγµατι κάνει και µάλιστα αρ- 8

9 κετά πειστικά στο τέλος. Τέλος, σε ένα από τα σχόλια µε τα οποία κλείνει ο Νίκος (N.4.123) δηλώνει ότι κάνοντας µια ανασκόπηση της εργασίας ένιωσε ότι θα έπρεπε να ήταν περισσότερο προσανατολισµένη προς το ζητούµενο του προβλήµατος, υποδεικνύοντας και πάλι την ευρετική του Polya Μπορείς να χρησιµοποιήσεις το αποτέλεσµα;. 3) Επαλήθευση Σε προηγούµενες ασκήσεις όπου οι µαθητές είχαν να αντιµετωπίσουν τη µέθοδο της αποκοπής και επικόλλησης, η µεταφορά της περιοχής γινόταν αντιληπτή µε το µάτι. Το περισσότερο εξεζητηµένο πλαίσιο αυτού του προβλήµατος ωστόσο έκανε και τους δυο µαθητές να αισθανθούν την ανάγκη να επαληθεύσουν ότι οι δυο µεταφορές πράγµατι εξασφάλιζαν το ζητούµενο. Αυτό από µόνο του αποτελεί µια σηµαντική ενέργεια ελέγχου. Το συνταίριασµα των κοµµατιών δεν ήταν τόσο ευδιάκριτο ώστε να αφεθεί χωρίς να συζητηθεί. Τελικά οι δυο µαθητές επαλήθευσαν µε διαφορετικό τρόπο: Η Κατερίνα βασίστηκε στη µέτρηση και ο Νίκος στην εξεικόνιση. Ο τρόπος επαλήθευσης της Κατερίνας, συγκρινόµενος µε του Νίκου, ήταν περισσότερο πρακτικός ενώ η λύση, όπως την αντιλαµβάνεται τελικά ο Νίκος, χαρακτηρίζεται από µεγαλύτερη γνωστική εµβάθυνση. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο εκτελεστικός έλεγχος αφορά την αξιολόγηση από µέρους του λύτη της κατάστασης της εργασίας του/της όπως εξελίσσεται εκείνη τη στιγµή σε αντιπαραβολή µε τις προθέσεις του/της. Γενικά, αυτό απαιτεί ώριµη περίσκεψη στην προβολή του δυνα- µικού της σκέψης εκείνη τη στιγµή συναρµοσµένου µε µια πρόβλεψη του πως αυτή σκέψη θα µπορούσε να εναρµονιστεί µε το σύστηµα που υποδηλώνεται από το ίδιο το πρόβληµα. Ο Schoenfeld (1985) έχει καταδείξει ότι πολλοί προπτυχιακοί φοιτητές έχουν περιορισµένες δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου. Από την άλλη, ο ίδιος παρατήρησε ότι µερικοί, αρκετά µικροί, µαθητές φαίνεται να έχουν την ικανότητα να παίρνουν προσεκτικές αποφάσεις που οδηγούν σε αποτελεσµατικές αλλαγές στον τρόπο προσέγγισης του προβλήµατος (1992) συµβάλλοντας στο ερευνητικό ερώτη- µα: Τι δεξιότητες εκτελεστικού ελέγχου µπορούµε να περιµένουµε από τους µικρότερους µαθητές; Η παρούσα µελέτη, που εµπλέκει δωδεκάχρονους µαθητές, απαντά στο προηγούµενο ερώτηµα και αποκαλύπτει ότι: (i) Οι µαθητές έχουν την ικανότητα να προσαρµόζουν και να επεκτείνουν γνωστές µεθόδους ανταποκρινόµενοι σε µη τετριµµένες καταστάσεις επίλυσης προβλη- µάτων, όποτε κατανοήσουν ότι η προβληµατική κατάσταση µπορεί να δεχτεί µια ευρύτερη προσέγγιση. (ii) Οι µαθητές προκαλούν αλλαγές στην προσέγγιση, αν και οι ενδείξεις της παρούσας µελέτης αφήνουν να εννοηθεί ότι αυτές οι αλλαγές υποκινούνται περισσότερο από την αδυναµία τους να προχωρήσουν περαιτέρω παρά από το γεγονός ότι είναι σε θέση να ανακαλύψουν µε ακρίβεια γιατί η συγκεκριµένη προσέγγιση δεν αποδίδει όπως θα επιθυµούσαν. Οι µαθητές εκµεταλλεύονται τα φανερά δοµικά χαρακτηρι- 9

10 στικά που εµφανίζονται µέσα στο περιβάλλον του προβλήµατος και τα οποία πλαισιώνουν τις στρατηγικές τους. (iii) Όταν οι µαθητές συλλάβουν σε γενικές γραµµές ένα σχέδιο που θα οδηγήσει πιθανόν στην επίλυση του προβλήµατος, δραστηριοποιούνται και επιµένουν στη δια- µόρφωση επαληθεύσεων και δεν περιορίζονται µόνο στην υπόθεση ότι απλά το νοητικό τους σχέδιο λύνει το πρόβληµα. Βιβλιογραφία Baturo Annette and Nasons Rod (1996). Student teachers' subject matter knowledge within the domain of area measurement. Educational Studies in Mathematics, (31), Clements Douglas & Stephan Michele (1998). Measurement in Pre K2 mathematics. In Clements D, Sarama J, and Dibiase AM (Eds), Engaging young people in mathematics: Standards for Early Childhood Mathematics Education, (pp ), Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Ass. Hartshorne Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer - Verlag. Mamona-Downs J. (2002). Accessing knowledge for problem solving. In Vakalis I., Hughes Hallet D, et al (Compilers), Proceedings of the 2 nd Conference on the teaching of mathematics at the undergraduate level (electronic form), Iraklion (Greece), John Wiley, NY. Mamona-Downs J, Downs M (2005). The identity of problem solving. Journal of Mathematical Behavior (24), Polya, G. (1973 Edition). How to solve it. Princeton: Princeton University Press. Schoenfeld H Alan (1985). Mathematical problem solving. Academic Press, Inc. Schoenfeld H Alan (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In Grouws D (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. (pp ). New York: MacMillan. Schroeder L Thomas & Lester K Frank (1989). Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving. In Traftor R Paul (Ed.), New Directions for Elementary School Mathematics (pp ). Reston: NCTM. Simon H & Ericsson A (1984) Protocol Analysis. Verbal Reports as Data. Cambridge, MA: MIT Press. Tall, D. O. & Vinner, S. (1981) " Concept Image and Concept Definition in Mathematics with particular reference to Limits and Continuity, Educational Studies in Mathematics, 12(2),

«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη

«Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη «Ανακαλύπτοντας» Εκ Νέου Τεχνικές για τον Υπολογισμό του Εμβαδού μη Κανονικών Σχημάτων. Aπό τον 18 ο Αι. στη Σύγχρονη Τάξη Παπαδόπουλος Ιωάννης Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση Περίληψη Στην εργασία αυτή υποστηρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια

Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια 1 Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια Ιωάννης Παπαδόπουλος Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών ypapadop@otenet.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή θα δώσουμε την περιγραφή μιας θεωρητικής προσέγγισης στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου

Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Εµβαδόν Παραλληλογράµµου Τριγώνου Τραπεζίου Σύντοµη περιγραφή του σεναρίου Η βασική ιδέα του σεναρίου Το συγκεκριµένο εκπαιδευτικό σενάριο αναφέρεται στην εύρεση των τύπων µε τους

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια

πολυγώνων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να καλυφθεί το επίπεδο γύρω από µια Κάθε οµάδα παρουσιάζει στην τάξη: (1) Τις logo διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασε τα κανονικά πολύγωνα. (2) Τις διαδικασίες µε τις οποίες σχεδίασαν τα κανονικά πολύγωνα γύρω από µια περιοχή. (3) Τα τεχνουργήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος

Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος Ο Πειραματισμός ως Συνιστώσα της Επιτυχούς Επίλυσης Προβλήματος Ιατρίδου Μαρία 1, Παπαδόπουλος Ιωάννης 2 1 Δρ Παιδαγωγικού Τμήμ. Ιωαννίνων 2 Δρ Τμήμ. Μαθηματικών Πατρών Περίληψη Στην εργασία αυτή δυο μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση Μαθηµατική Μοντελοποίηση Μοντελοποίηση Απαιτητική οικονοµία και αγορά εργασίας Σύνθετες και περίπλοκες προβληµατικές καταστάσεις Μαθηµατικές και τεχνολογικές δεξιότητες Επίλυση σύνθετων προβληµάτων Μαθηµατικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία. Ε. Κολέζα Διαφοροποιημένη Διδασκαλία Ε. Κολέζα Τι είναι η διαφοροποιημένη διδασκαλία; Είναι μια θεώρηση της διδασκαλίας που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι οι δάσκαλοι πρέπει να προσαρμόσουν τη διδασκαλία τους στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Πανεπιστήµιο Αιγαίου O ΓΕΩΠΙΝΑΚΑΣ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΝΗΠΙΑ Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Αικατερίνη Κωσσοπούλου Πανεπιστήµιο Αιγαίου kara@aegean.gr Η κατασκευή γεωµετρικών σχηµάτων, µε χρήση κάποιου µέσου,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ ( ) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ε.Π. Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση, ΕΣΠΑ (2007 2013) ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Πρακτική Άσκηση Εκπαιδευομένων στα Πανεπιστημιακά Κέντρα Επιμόρφωσης

Διαβάστε περισσότερα

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α , α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ

«ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ Β ΦΑΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Διδάσκουσες:

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών

Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Τίτλος Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Φτιάχνω γεωµετρικά σχήµατα», (Μαθηµατικά Β ηµοτικού) 2. Εµπλεκόµενες γνωστικές περιοχές Κατά την υλοποίηση του διδακτικού σεναρίου θα αξιοποιηθούν κατά κύριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κάθε αναφορά απόψεις που προέρχεται από εξωτερικές πηγές -βιβλία, περιοδικά, ηλεκτρονικά αρχεία, πρέπει να επισημαίνεται, τόσο μέσα στο κείμενο όσο και στη βιβλιογραφία,

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών).

Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Σενάριο 1. Σκιτσάροντας µε Παραλληλόγραµµα Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία (και σχέσεις µεταξύ γενικευµένων αριθµών). Θέµα: Η διερεύνηση µερικών βασικών ιδιοτήτων των παραλληλογράµµων από τους µαθητές µε χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ

Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ Μορφές Εικονικής Αναπαράστασης της Έννοιας του Τριγώνου στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να µελετήσει το ρόλο των παραστάσεων του τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΞΑΓΩΓΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: Υ404 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ( Β ΦΑΣΗ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α.) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΑΛΕΓΑΝΕΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Οι εκπαιδευόμενοι χρειάζεται να δουν και να χρησιμοποιήσουν ποικίλα μοντέλα του κλάσματος, εστιάζοντας αρχικά στα οικία κλάσματα όπως είναι το μισό, τα τέταρτα, πέμπτα,

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Α Φάση ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

Α Φάση ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Μέτρηση µήκους Γ Δημοτικού Δ Δημοτικού Ε Δημοτικού Μ2. Μετρούν και Μ2. Υπολογίζουν την συγκρίνουν την περίμετρο περίμετρο σχημάτων πολυγωνικών σχημάτων χρησιμοποιώντας και επιλύουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα

Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες. Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Γεωμετρική σκέψη και γεωμετρικές έννοιες Γεωμετρικά σχήματα και σώματα Αφόρμιση Σχεδιάστε 5 τρίγωνα, κάθε ένα από τα οποία διαφέρει από τα άλλα Εξηγείστε ως προς τι διαφέρουν τα τρίγωνά σας Σε τι διαφέρουν;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών.

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Α. Πέρδος 1, I. Σαράφης, Χ. Τίκβα 3 1 Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί perdos@kalamari.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 556 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Ματούλας Γεώργιος άσκαλος Σ Ευξινούπολης

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015

Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Εκπαίδευση Ενηλίκων: Εμπειρίες και Δράσεις ΑΘΗΝΑ, Δευτέρα 12 Οκτωβρίου 2015 Μάθηση και γνώση: μια συνεχής και καθοριστική αλληλοεπίδραση Αντώνης Λιοναράκης Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ. Σχεδιασμός - Περιγραφή

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ. Σχεδιασμός - Περιγραφή ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής - Υπεύθυνος Κ. Παπαμιχάλης Εργαστηριακές ασκήσεις Φυσικής Β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ Η εικόνα έχει ληφθεί από τον ιστότοπο: http://www.vbhelper.co/vbgptoc.ht Πώς θα μετρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 415 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Μεταφετζής Γιώργος Δάσκαλος, 1ο ΔΣ Βόλου gmetafetz@in.gr

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΟ Γ1 ΤΟΥ 10 ΟΥ Δ.Σ. ΤΣΕΣΜΕ ( ) ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. ΜΑΘΗΜΑ: Μελέτη Περιβάλλοντος. ( Ενότητα 3: Μέσα συγκοινωνίας και μεταφοράς

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΟ Γ1 ΤΟΥ 10 ΟΥ Δ.Σ. ΤΣΕΣΜΕ ( ) ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. ΜΑΘΗΜΑ: Μελέτη Περιβάλλοντος. ( Ενότητα 3: Μέσα συγκοινωνίας και μεταφοράς ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΤΟ Γ1 ΤΟΥ 10 ΟΥ Δ.Σ. ΤΣΕΣΜΕ (10.11.2010) ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: Μελέτη Περιβάλλοντος ( Ενότητα 3: Μέσα συγκοινωνίας και μεταφοράς Κεφάλαιο 3: Κυκλοφορούμε με ασφάλεια) ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

To σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί µε το λογισµικό Function probe.

To σενάριο προτείνεται να υλοποιηθεί µε το λογισµικό Function probe. Σενάριο 7. Η Οµοιότητα Τριγώνων ως Λόγος Πλευρών Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η γραµµική συνάρτηση ψ= αχ. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας. Γεωµετρία Α' Λυκείου Οµοιότητα τριγώνων Θέµα: To προτεινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα