Μαθηµατικοποίηση και Μαθηµατικός Αλφαβητισµός, µέσω υναµικών Περιβαλλόντων Γεωµετρίας: Η περίπτωση του ορθόκεντρου τριγώνων

Transcript

1 Μαθηµατικοποίηση και Μαθηµατικός Αλφαβητισµός, µέσω υναµικών Περιβαλλόντων Γεωµετρίας: Η περίπτωση του ορθόκεντρου τριγώνων Μαστρογιάννης Αλέξιος 1, Αναστόπουλος Αναστάσιος 2 1 Σχολικός Σύµβουλος Π.Ε alexmastr@yahoo.gr 2 /ντής Ειδικού ηµοτικού Σχολείου Πύργου aanasto@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η χάραξη των υψών τριγώνου και η εύρεση του σηµείου τοµής τους καταγράφεται ως µια, µάλλον, ατελέσφορη διαδικασία στην πλειονότητα, κυρίως των µαθητών του ηµοτικού Σχολείου. Μια σειρά από λόγοι, όπως για παράδειγµα η εσφαλµένη, στερεοτυπική αντίληψη των µαθητών ότι το ύψος είναι πάντα κατακόρυφο, δηµιουργούν τη µαθησιακή ανάσχεση. Στο σύγχρονο Σχολείο, όπως και το πρόγραµµα έρευνας PISA υπογραµµίζει, µια κύρια µαθησιακή συνιστώσα αφορά στην ανάγκη µαθηµατικοποίησης προβληµάτων καθηµερινής ζωής, µέσω πολλών βιωµατικών δραστηριοτήτων, για ενίσχυση του λεγόµενου «Μαθηµατικού Αλφαβητισµού». Η παρούσα εργασία προτείνει να αξιοποιηθεί το υναµικό Περιβάλλον του Cabri Geometry, µέσω µιας βιωµατικής, δυναµικής κατασκευής και του αντίστοιχου και «καθηµερινής ζωής» προβλήµατος-σεναρίου της, για να υποστηριχθεί η έννοια του ύψους στα τρίγωνα αλλά και ο εντοπισµός του ορθόκεντρου σε κάθε είδος τριγώνων. Αρκετές έρευνες, επισηµαίνουν και αναδεικνύουν τη θετική συµβολή των υναµικών Περιβαλλόντων Γεωµετρίας στη µάθηση της Γεωµετρίας. Το Cabri-Geometry παρέχει δυνατότητες κατασκευής και πραγµατοποίησης µαθησιακών δραστηριοτήτων σύµφωνα µε τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδοµιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη µάθηση. Μάλιστα, η κατασκευή αυθεντικών δραστηριοτήτων πραγµατικής ζωής (real life), που αξιοποιείται στην παρούσα εργασία, µπορεί να αποτελέσει ισχυρό κίνητρο µάθησης. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: Μαθηµατικός αλφαβητισµός, Cabri, ύψη τριγώνων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η σχολική πραγµατικότητα είναι αδιάψευστος µάρτυρας πολλών παρερµηνειών και εσφαλµένων αντιλήψεων των µαθητών, όσον αφορά σε απλές γεωµετρικές έννοιες. Για παράδειγµα τα είδη (µεγέθη) γωνιών, τα είδη τετραπλεύρων και ακόµα εντονότερα τα ύψη τριγώνων, κατατρύχουν και ταλανίζουν την πλειονότητα, σχεδόν, των µαθητών του ηµοτικού ή ακόµα και του Γυµνασίου, όπως καθηµερινά βιώνεται στις σχολικές αίθουσες. Η «ταραγµένη» αυτή «γεωµετρική» σχέση λειτουργεί, αρκετές φορές ανασχετικά και ανασταλτικά, αφαιρώντας τα περιθώρια συµφιλίωσης των µαθητών µε τα Μαθηµατικά και ειδικότερα µε τη Γεωµετρία. Βέβαια, σ αυτό, ίσως, καίρια να συντελεί και η αποσπασµατικότητα του τρόπου διδασκαλίας της Γεωµετρίας, στο ηµοτικό Σχολείο. Ιδιαίτερης µνείας χρήζει η αδυναµία εντοπισµού, κατηγοριοποίησης και ταξινόµησης των γνωστών και «δηµοφιλών» τετράπλευρων σχηµάτων, από τους µαθητές, αφού πολλές φορές αυτοί, δεν ενεργοποιούν τους ορισµούς, δε διακρίνουν τις ιδιότητές τους, τις διαφορές µεταξύ τους, και έτσι, οδηγούνται σε εσφαλµένες παραδοχές, ως προς το είδος του τετραπλεύρου, που µελετούν. Επίσης, κοινότοπη εµφανίζεται και η διαπίστωση, περί της σύγχυσης, δηλαδή, των µαθητών στην «ονοµασία» γωνιών, µε βάση το µέγεθός τους, αφού αυτό συναρτάται, εσφαλµένα, µε το «µήκος» των πλευρών των γωνιών. Ακόµα, σύνηθες, «µαθητικό ατόπηµα», όπως καταγράφεται στη σχετική βιβλιογραφία, είναι η παρατηρούµενη «δυστοκία», στη χάραξη των υψών ενός τριγώνου και, συνεπακόλουθα, του σηµείου τοµής τους (ορθόκεντρου). Μερικές στερεοτυπικές, λανθασµένες αντιλήψεις των µαθητών ηµοτικού και Γυµνασίου, υπεύθυνες για την εσφαλµένη κατασκευή των υψών ενός τριγώνου, αναφέρονται παρακάτω (Cutugno & Spagnolo, 2002; Blanco, 2001): Κ. Γλέζου & Ν. Τζιµόπουλος (Επιµ.), Πρακτικά Εργασιών 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη», σ. 1-5 Σύρος, 6-8 Μαΐου 2011

2 2 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ Τα τρίγωνα έχουν ένα ύψος Το ύψος είναι µια κατακόρυφη γραµµή. Στα τρίγωνα, λοιπόν, όπου δεν υπάρχει οριζόντια βάση, η χάραξη του ύψους, εξελίσσεται σε δυσχερή, ατελέσφορη διαδικασία. Το ύψος πρέπει να σύρεται µέσα στο τρίγωνο. Αυτή η αστοχία είναι η αιτία της δυσκολίας των µαθητών, στην κατασκευή του ύψους, σε ένα αµβλυγώνιο ή και ορθογώνιο τρίγωνο. Το ύψος πρέπει να διαιρεί σε δύο µέρη τη βάση του τριγώνου. Μερικοί µαθητές δε σχεδιάζουν τα ύψη κάθετα. Φυσικά, η δυσπραγία και η σύγχυση, σχετικά µε το ύψος, επιτείνεται εξαιτίας, ίσως, και της διαφορετικής σηµασίας που αποδίδει η µαθηµατική γλώσσα σε λέξεις τής φυσικής γλώσσας. Εννοείται, δηλαδή, η σύγκρουση µεταξύ της γεωµετρικής έννοιας «ύψος» και της κοινής έννοιας της λέξης. Πολλά από τα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν οι µαθητές, στα Μαθηµατικά, οφείλονται στη γλώσσα τους. Οι εστίες δυσκολιών αφορούν στο µαθηµατικό λεξιλόγιο, στο µαθηµατικό κείµενο και στα µαθηµατικά σύµβολα (Αγαλιώτης, 2000). Οι δυσκολίες, που προκύπτουν και εκπορεύονται από το µαθηµατικό λεξιλόγιο και κείµενο, πέραν της τυπικής τελειότητας, του µαθηµατικού φορµαλισµού και της σχολαστικότητας, οφείλονται, κυρίως, στη διαφορετική και ξεχωριστή σηµασία που αποκτούν λέξεις της καθοµιλούµενης, µε την ένταξή τους σε µαθηµατικά πλαίσια. Το φαινόµενο αυτό καλείται πολυσηµία και ενοχοποιείται, ως κύρια πηγή δυσκολιών και µαθητικών παρανοήσεων. Η µελέτη της πολυσηµίας ή της πολλαπλότητας των σηµασιών των λέξεων, έχει µακρόχρονη ιστορία, στη φιλοσοφία της γλώσσας, τη γλωσσολογία, την ψυχολογία και τη λογοτεχνία (Ravin & Leacock, 2000). Παραδείγµατα τέτοιων λέξεων µε πολυσηµικά εννοιολογικό και µαθηµατικό περιεχόµενο είναι και οι: µονός, ζυγός, γωνία, φορές, πίνακας, γινόµενο, όµοια, κάνω, βγάζω, δύναµη κ.ά, που, πράγµατι, διαφέρουν από το καθηµερινό νόηµά τους. Μερικές, ακραιφνώς µαθηµατικές λέξεις έχουν παραπάνω από µια σηµασία, όπως για παράδειγµα τα αριθµητικά, ως τακτικά και ως παρονοµαστές. Στο ίδιο σηµαίνον αντιστοιχίζεται διαφορετικό σηµαινόµενο, διαφοροποιείται δηλαδή, το γλωσσικό σηµείο, γεγονός που καταγράφεται ως ανασταλτικός, ανασχετικός παράγοντας στην κατανόηση της γλώσσας των Μαθηµατικών. Έρευνες έχουν δείξει ότι οι µαθητές επιλέγουν τη βασική κυρίαρχη σηµασία µιας διφορούµενης, πολυσηµικής λέξης, παρά αυτή των λιγότερων γνωστών, εξειδικευµένων πλαισίων (Durkin et all, 1985). Λαµβανοµένων, λοιπόν, υπόψη όλων των παραπάνω, και µε «σύµµαχο» το περιβάλλον υναµικής Γεωµετρίας Cabri-Geometry II, κατασκευάστηκε µια αλληλεπιδραστική, βιωµατική δραστηριότητα, για την υποστήριξη τής µάθησης τής έννοιας τού ύψους στα τρίγωνα. Σε εποικοδοµιστικά περιβάλλοντα µάθησης, όπως το Cabri-Geometry II, ο ρόλος των δραστηριοτήτων είναι καθοριστικός. Έξι βασικοί τύποι µαθησιακών, διερευνητικών δραστηριοτήτων, µε σκοπό την ενεργητική συµµετοχή και την οικοδόµηση γνώσης µπορούν να σχεδιαστούν, για να εκτελεσθούν από τους µαθητές, στα πλαίσια αυτού του υναµικού Περιβάλλοντος Γεωµετρίας (Kordaki & Mastrogiannis 2006; Mastrogiannis & Kordaki, 2006; Kordaki & Mastrogiannis, 2007): ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τη µεταβολή µιας γεωµετρικής κατασκευής ιατυπώσεις/επαληθεύσεις εικασιών µε βάση τα µεταβαλλόµενα αριθµητικά δεδοµένα Επαληθεύσεις σχέσεων ραστηριότητες τύπου «µαύρου κουτιού» (Black-box) ραστηριότητες πολλαπλών επιλύσεων, και τέλος Κατασκευές που αντιγράφουν πραγµατικά προβλήµατα ζωής (real life problems). Στο περιβάλλον του Cabri Geometry, όντως, µπορούν να κατασκευασθούν και να ενσωµατωθούν σηµαντικές, αυθεντικές, δηµιουργικές δραστηριότητες µάθησης, που σχετίζονται µε καταστάσεις πραγµατικής ζωής, συνιστώντας έτσι ένα πλούσιο, παρωθητικό, διδακτικό και µαθησιακό πλαίσιο. Η προτεινόµενη, αλληλεπιδραστική αυτή, «πραγµατικής ζωής» κατασκευή, αποτελεί ένα όλο, συγκροτώντας ένα µικρόκοσµο, στα πλαίσια του περιβάλλοντος Cabri-Geometry II. Η διαχείρισή της από τους µαθητές είναι πολύ απλή και στηρίζεται στη χρήση κατάλληλων κουµπιών. Μάλιστα, χάριν φιλικότητας, προς το χρήστη, διατηρείται το ίδιο περιβάλλον διεπαφής, αφού η εργασία αυτή αξιοποιεί πλήρως, την λειτουργία «τύπου κουµπιού». Η κατασκευή είναι εξ ολοκλήρου δυναµική, ίσως πολύ δύσκολη στην κατασκευή, δεδοµένου ότι το λογισµικό αυτό δεν επιτρέπει την εισαγωγή εικόνων, οι οποίες πρέπει να κατασκευαστούν πρωτογενώς και, µάλιστα, κινούµενες.

3 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 3 Η ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Ένα από τα κύρια φαινόµενα της ένδειας της σχολικής γνώσης, πέραν των παρανοήσεων και της έλλειψης κριτικής σκέψης, είναι η λεγόµενη αδρανής γνώση, οι αποκτηθείσες σχολικές γνώσεις και δεξιότητες δηλαδή, που δεν µεταφέρονται και δε χρησιµοποιούνται σε καταστάσεις της καθηµερινής ζωής. Αυτού του είδους η βιωµατικότητα δεν υποστηρίζεται και δεν ενισχύεται στο σχολείο, εξαιτίας του ανερµάτιστου τρόπου διδασκαλίας και της αδυναµίας των εκπαιδευτικών να συνδέουν τις γνώσεις που δίνονται στον σχολείο µε τις καταστάσεις της πραγµατικής ζωής (Βοσνιάδου, 2006). Μάλιστα η µελέτη πραγµατικών, φυσικών προβληµάτων αποτελεί εσωτερικό, φυσικό κίνητρο για τη µελέτη των µαθηµατικών και την ανάδειξη της σπουδαιότητάς τους. Πολλοί και σηµαντικοί µαθηµατικοί κλάδοι είχαν ως γεννήτορες τις προσπάθειες επίλυσης πραγµατικών προβληµάτων (Kline, 1993). Οι βιωµατικές δραστηριότητες µπορούν να βοηθήσουν τους µαθητές να αναπτύξουν ισχυρό κίνητρο για τη µάθηση και την προσέγγιση των µαθηµατικών, ως µια ανθρώπινη δραστηριότητα (Kordaki & Mastrogiannis, 2007). Εξάλλου, και η θεωρία του κονστρουκτιβισµού προτρέπει η µάθηση να συντελείται µέσα σε αυθεντικές καταστάσεις, οµαδοσυνεργατικά, οργανώνοντας τη διδασκαλία σε θέµατα προσωπικού ενδιαφέροντος. Ειδικά για τα µαθηµατικά, και το Πρόγραµµα PISA, πέραν των άλλων, υπογραµµίζει την ανάγκη µαθηµατικοποίησης πραγµατικών, καθηµερινών προβληµάτων, µέσω του λεγόµενου «Μαθηµατικού Αλφαβητισµού». Σκοπός του περίφηµου προγράµµατος έρευνας PISA είναι η αξιολόγηση, για κάθε χώρα, των δεικτών επίτευξης βασικών µαθησιακών στόχων µέσω της µέτρησης των γνώσεων και δεξιοτήτων δεκαπεντάχρονων µαθητών σε βασικά γνωστικά πεδία, όπως στην κατανόηση κειµένου, στα µαθηµατικά, στις φυσικές επιστήµες. Επιπλέον εξετάζει την ικανότητα των µαθητών να αναλύουν, να επιχειρηµατολογούν, αλλά και να εκφράζονται αποτελεσµατικά, όταν µελετούν, ερµηνεύουν και επιλύουν προβλήµατα της καθηµερινής ζωής Ο όρος Μαθηµατικός Αλφαβητισµός δίνει βαρύτητα στη µαθηµατική γνώση, που χρησιµοποιείται για τη µελέτη ποικίλων πρακτικών προβληµάτων της καθηµερινής ζωής, η επίλυση των οποίων προϋποθέτει µια σειρά βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων. υστυχώς όµως και λυπηρώς, η Ελλάδα βρίσκεται στην 28η θέση στην κατάταξη σε επίπεδα µαθηµατικών και ανάγνωσης, ανάµεσα στις τριάντα χώρες του ΟΟΣΑ. Υποστηρίζεται ότι η µαθηµατικοποίηση πρέπει να είναι πρωταρχικός στόχος της µαθηµατικής εκπαίδευσης και πρέπει να περιλαµβάνει πέντε στοιχεία (Hope, 2007): Αφετηρία µε ένα πρόβληµα της πραγµατικής ζωής Οργάνωση των πληροφοριών και των δεδοµένων, µέσω µαθηµατικών εννοιών Μετασχηµατισµός της πραγµατικής, συγκεκριµένης εφαρµογής σε ένα αφηρηµένο πρόβληµα µαθηµατικών Επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος Αναστοχασµός από τη µαθηµατική λύση στην πραγµατική κατάσταση για να αποσαφηνιστεί εάν η απάντηση έχει νόηµα Το προτεινόµενο, λοιπόν, καθηµερινής ζωής πρόβληµα, αξιοποιεί την ιδιότητα του ορθόκεντρου ενός τριγώνου, φέρει τον τίτλο «οι συναντήσεις τριών φίλων» και το σχετικό σενάριό του είναι το ακόλουθο: Τρεις φίλοι διαµένουν σε 3 χωριά, κάπου στην (πεδινή) Μακεδονία. Η τριγωνική περιοχή, που σχηµατίζουν τα χωριά αυτά, περικλείεται από 3 αυτοκινητόδροµους, που, ανά 2, διέρχονται από κάθε χωριό. Είναι δε, απαραίτητο, οι φίλοι αυτοί να κινούνται, καθηµερινά, και στους 3 αυτοκινητόδροµους, µέσω των διερχόµενων λεωφορείων (Σχήµα 1). Κάποια επιµέρους, αρχικά ερωτήµατα είναι τα εξής: Ποια είναι, καταρχάς, η µικρότερη διαδροµή, που θα καλύψει, ο καθένας από τους 3 φίλους, ώστε να µεταβεί στον απέναντι αυτοκινητόδροµο; Θα υπάρχει κοινό σηµείο, (τόπος ανέγερσης, ίσως, µικρού παραπήγµατος) εντός της σχηµατιζόµενης τριγωνικής περιοχής, για τις 3 διαδροµές των φίλων; Πώς θα πρέπει να είναι η διάταξη των κορυφών - χωριών του τριγώνου- τριγωνικής περιοχής, έτσι ώστε, πάντοτε, οι 3 διαδροµές να διέρχονται από το ίδιο, εσωτερικό τού «τριγώνου», σηµείο; Υπάρχει ειδική περίπτωση, στην οποία το κοινό σηµείο, ταυτίζεται µε κάποιο από τα 3 χωριά; Σε όλες τις δυνητικές περιπτώσεις υπάρχει, πάντοτε, κοινό σηµείο στις διαδροµές των 3 φίλων;

4 4 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ Αν υποθέσουµε ότι οι φίλοι ξεκινούν την ίδια ώρα και κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, πώς θα πρέπει να είναι η θέση των κορυφών - χωριών του τριγώνου- τριγωνικής περιοχής, έτσι ώστε, οι 3 φίλοι (ή οι 2) να συναντηθούν, να ιδωθούν στο ίδιο σηµείο; Σχήµα 1: Οι συναντήσεις των τριών φίλων Οι µαθητές µπορούν να σχεδιάσουν ένα σηµείο Κ πάνω στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και ακολούθως να κατασκευάσουν το ευθύγραµµο τµήµα ΑΚ και να το µετρήσουν. Μετακινώντας συνεχώς το σηµείο Κ οι µαθητές µπορούν να εντοπίσουν την ελάχιστη απόσταση µεταξύ του σηµείου Α και της πλευράς ΒΓ, µέσω της συνεχούς γραφικής και της αριθµητικής, αυτόµατης ανατροφοδότησης που παρέχει το λογισµικό, παρατηρώντας στην οθόνη την µεταβαλλόµενη τιµή τού µήκους τού ΑΚ. Στη συνέχεια, κατασκευάζοντας το ύψος Α του τριγώνου µπορεί να αντιληφθούν ότι η κάθετη, που θα συµπίπτει µε το ΑΚ, είναι η µικρότερη απόσταση σηµείου από ευθεία και συνεπώς και ο τρόπος κίνησης των φίλων, ώστε να προσεγγίσουν µε τον ελάχιστο δυνατό κόπο, τον απέναντι αυτοκινητόδροµο. Σχήµα 2: Σηµείο τοµής των υψών σε οξυγώνιο τρίγωνο

5 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 5 Στη συνέχεια, κατασκευάζοντας και τα υπόλοιπα ύψη του τριγώνου - τριγωνικής περιοχής και µετακινώντας τις κορυφές, οι µαθητές µπορεί να παρατηρήσουν, πότε το σηµείο τοµής των υψώνδιαδροµών, είναι εσωτερικό ή εξωτερικό του τριγώνου ή ταυτίζεται µε κάποια κορυφή-χωριό. Μετρούν αν χρειαστεί τις γωνίες ΑΒΓ και ΑΓΒ και ΒΑΓ (Σχήµα 2). Ακολούθως, οι µαθητές µπορεί να διερευνήσουν πότε είναι δυνατή και ωφέλιµη η κατασκευή τού µικρού παραπήγµατος, ως τόπου ξεκούρασης των πεζών ή και εποχούµενων φίλων και να δικαιολογήσουν την απάντησή τους, αναφέροντας όλες τις περιπτώσεις, που, ενδεχοµένως, είναι ανώφελη η κατασκευή της µικρής «παράγκας» (Σχήµα 3). Σχήµα 3: Σηµείο τοµής των υψών σε αµβλυγώνιο τρίγωνο («ανώφελη η κατασκευή παράγκας») Ακόµα, οι µαθητές µπορεί να υποθέσουν ότι οι 3 φίλοι ξεκινούν την ίδια ώρα και κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, και ακολούθως να εξετάσουν την ύπαρξη πιθανότητας συνάντησης των φίλων µεταξύ τους. Οι µαθητές µετρούν τις αποστάσεις των κορυφών του τριγώνου από το σηµείο τοµής και τα µήκη των υψών. Μετακινούν τις κορυφές του τριγώνου και προσδιορίζουν την ειδική περίπτωση του «συναπαντήµατος» των 3 (ή και 2) φίλων. Επίσης µπορούν να αποφανθούν πότε οι διαδροµέςύψη είναι ίσες. Τέλος χαρακτηρίζουν το είδος του τριγώνου-τριγωνικής περιοχής που σχηµατίζεται, στις παραπάνω ειδικές περιπτώσεις, µετρώντας, αν χρειαστεί, τις πλευρές τού τριγώνου. Σε ένα δεύτερο, υστερόχρονο στάδιο και πάντα στα διδακτικά πλαίσια της µελέτης και εξέτασης των τεσσάρων στοιχείων των τριγώνων µπορούν οι µαθητές να γευτούν ή και να απολαύσουν και αυτήν την αίσθηση της µαγείας, που προσφέρουν τα λογισµικά υναµικής Γεωµετρίας. Η Γεωµετρία είναι µια δεξιότητα των µατιών, των χεριών καθώς επίσης και του νου. Οι λέξεις «θεώρηµα» και «θέατρο» είναι οµόριζες και σχετίζονται µε τις παρουσιάσεις, µε τις επιδείξεις, ενώ και οι δύο παρέχουν µια αύρα µαγείας γύρω τους (Johnston- Wilder & Pimm, 2005). Η δηµιουργία και ο συνεχής µετασχηµατισµός διαγραµµάτων και άλλων µαθηµατικών µορφών, σε συνδυασµό µε το βασικό χαρακτηριστικό των δυναµικών λογισµικών της Γεωµετρίας, που είναι η δυναµική τροποποίηση, η µετακίνηση και ο µετασχηµατισµός των σχηµάτων, µε διατήρηση όµως, των βασικών σχέσεων και ιδιοτήτων τους, παρέχει µια, µάλλον µαθησιακά καθηλωτική ατµόσφαιρα µαγείας (Μαστρογιάννης, 2009). Είναι σαν τα σχήµατα να αντιδρούν στους χειρισµούς του χρήστη, ακολουθώντας τους νόµους της Γεωµετρίας, ακριβώς όπως τα υλικά αντικείµενα αντιδρούν, σύµφωνα µε τους νόµους της Φυσικής (Laborde et all, 2006). Επιπλέον και αντίθετα από την ανθρώπινη νοητική φαντασία, η οθόνη του υπολογιστή µπορεί επίσης να κρατήσει συγκεκριµένες εικόνες για παρατήρηση και διερεύνηση και, επιπλέον, είναι ένας δηµόσιος χώρος, που καθιστά τις δυναµικές φαντασίες, ορατές σε όλους (Johnston- Wilder & Pimm, 2005). Έτσι, οι «µαγικές» δυνατότητες του Cabri Geometry, µπορούν να αποτυπωθούν, να αξιοποιηθούν αλλά και να επιδοκιµαστούν στην ταυτόχρονη (και οπτικά καταπληκτική) σχεδίαση των 4 στοιχείων

6 6 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ των τριγώνων (διαµέσων, διχοτόµων, µεσοκαθέτων και υψών). Ο δυναµικός µετασχηµατισµός του τριγώνου σε ισόπλευρο προσφέρει το µαγικό αποτέλεσµα της απόλυτης ταύτισης και των 12 συνολικά τµηµάτων, των 4 αυτών στοιχείων του τριγώνου, µεταξύ τους (Σχήµα 4). Σχήµα 4: Τα στοιχεία του τριγώνου (αριστερά) και τα ίδια στο ισόπλευρο τρίγωνο(δεξιά) ΣΥΖΗΤΗΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Η χρήση των εκπαιδευτικών εργαλείων της τεχνολογίας πρέπει να συνιστά αναπόσπαστο τµήµα της µάθησης και της διδασκαλίας των µαθηµατικών (N.C.T.M., 2000). Μάλιστα, ο αντίκτυπος της τεχνολογίας στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι τριπλός, αφού: α) πολλά από τα µαθητικά ζητήµατα έχουν χάσει την αξία τους και ίσως β) µπορούν να διδαχθούν καλύτερα µε τη βοήθεια της τεχνολογίας και γ) πολλά µαθηµατικά θέµατα καθίστανται προσβάσιµα, πλέον, εξαιτίας της τεχνολογίας (Van de Walle, 2005). Το περιβάλλον υπολογιστή µε τη µορφή εκπαιδευτικού λογισµικού χαρακτηρίζεται ως µέσο διαµεσολάβησης, µε ρόλο νοητικής σκαλωσιάς, εξαιτίας της υποστηρικτικής του λειτουργίας στην ανάπτυξη της µαθηµατικής δραστηριότητας των µαθητών, καθώς και µε τη συµβολή του στην αναδιοργάνωσης της σκέψης των παιδιών (Κορδάκη, 2004). Σχετικές έρευνες δείχνουν ότι τα Λογισµικά υναµικής Γεωµετρίας είναι, µάλλον, αποδοτικά στη µάθηση της Γεωµετρίας (Gomes & Vergnaud, 2004), αφού µπορούν να ασκήσουν σηµαντική επίδραση στη διδασκαλία της και ειδικότερα στη διδασκαλία των αποδείξεων, αν και υπάρχουν κάποιες δυσκολίες, κατά τη γενίκευση των αιτιολογήσεων, ακόµα και σε υποψήφιους δασκάλους (Connor & Moss & Grover, 2004). Αποτελέσµατα δείχνουν ότι η τεχνολογία µπορεί να συµβάλει στην κατανόηση των «στοιχείων του Ευκλείδη», µε την παροχή νέων προσεγγίσεων στα παραδοσιακά ερωτήµατα και µε την υποβολή νέων ερωτηµάτων, τα οποία εξετάζονται µε δυσκολία, χρησιµοποιώντας τα παραδοσιακά µέσα (Schiefsky 2007). Ειδικά στην Πρωτοβάθµια Εκπαίδευση, η διερευνητική προσέγγιση των γεωµετρικών εννοιών, που παρέχουν αυτά τα περιβάλλοντα είναι ο προθάλαµος και ο προποµπός των τυπικών αποδείξεων, που θα κληθούν να αντιµετωπίσουν οι µαθητές, στο Γυµνάσιο και το Λύκειο (Τσούκκας κ. ά, 2004). Στην επίσηµη ιστοσελίδα του Cabri αναφέρεται, δίχως να µπορεί να τεκµηριωθεί, ότι Ισπανοί ερευνητές πραγµατοποίησαν µια µελέτη, πάνω από 6 χρόνια, που αφορούσε σε µαθητές Γυµνασίου και 400 δασκάλους. Στόχος υπήρξε η µέτρηση της επίδρασης της χρήσης των ΤΠΕ στην τάξη των Μαθηµατικών. Μεταξύ των λογισµικών, που επιλέχτηκαν για το πείραµα, το Cabri ήταν το µοναδικό, για το µάθηµα της Γεωµετρίας.

7 «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη ιδακτική Πράξη» 7 Τα αποτελέσµατα αυτής της µελέτης, σύµφωνα, πάντα µε τους δηµιουργούς του λογισµικού, έδειξαν ότι οι µαθητές που χρησιµοποίησαν το Cabri απέδωσαν καλύτερα, σε ποσοστό 30%, έναντι της οµάδας ελέγχου, η οποία δεν χρησιµοποίησε κανένα λογισµικό. Η παρούσα εργασία προτείνει µια ελκυστική και παιχνιδίζουσα, ίσως, µαθηµατικοποίηση καθηµερινών προβληµάτων και στοχεύει να αποκοµίσει µαθησιακά οφέλη, µέσω της αξιοποίησης του περιβάλλοντος Cabri Geometry στην κατασκευή αλληλεπιδραστικών δραστηριοτήτων, που παρουσιάζονται µε σενάρια και επεισόδια όρων πραγµατικής ζωής. Η εφαρµογή και η δοκιµή στην τάξη, αυτής της πρότασης, που αφορά στη χάραξη των υψών του τριγώνου και γενικά στη µελέτη της θέσης του σηµείου τοµής τους, µπορεί να αναδείξει και τον βαθµό µιας πιθανής µαθησιακής ενθάρρυνση σε µαθητές που θα χρησιµοποιήσουν το λογισµικό, πέραν και µιας, ενδεχοµένως, παιδαγωγικής ιλαρότητας, κατά τη µελέτη της συγκεκριµένης δραστηριότητας. Φυσικά και τα απαραίτητα ανατροφοδοτικά οφέλη, που θα προκύψουν και θα αποκοµισθούν, δε θα πρέπει να παραβλέπονται. Σε κάθε περίπτωση, βέβαια, αδιαµφισβήτητο γεγονός θα αποτελεί πάντα, ίσως και παιδαγωγικό αξίωµα, ότι οι επιµορφωµένοι και σωστά καταρτισµένοι εκπαιδευτικοί θα κρατούν τα σκήπτρα στη µαθησιακή διαδικασία και στην επίτευξη και κατάκτηση των σκοπών και στόχων της µάθησης. Έτσι θα προβάλλουν ορατά και απτά τα αντισταθµιστικά, εκπαιδευτικά οφέλη της χρήσης του Υπολογιστή και γενικά των ΤΠΕ, ως γνωστικά και ισχυρά διαµεσολαβητικά εργαλεία και ως αποτελεσµατικά και παραγωγικά µέσα διδασκαλίας. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές υσκολίες στα Μαθηµατικά, Αθήνα: Ελληνικά Γράµµατα. 2. Βοσνιάδου, Σ. (2006). Παιδιά Σχολεία και Υπολογιστές, Αθήνα: Gutenberg. 3. Kline, M. (1993). Γιατί δεν µπορεί να κάνει πρόσθεση ο Γιάννης, Αθήνα: Εκδόσεις Βάνιας. 4. Κορδάκη, Μ. (2004). Υποστηρίζοντας το ρόλο της Τεχνολογίας στη διδασκαλία και τη µάθηση των Μαθηµατικών: Η περίπτωση των Κέντρων Μαθηµατικών και Τεχνολογίας. Eπιστηµονική Συνάντηση για την Παιδεία, Πάτρα, 9-10, Ιανουαρίου, Μαστρογιάννης, Α. (2009). Παραδειγµατικές περιπτώσεις διατύπωσης και επαλήθευσης εικασιών, ως µαθησιακές διαδικασίες, στο δυναµικό περιβάλλον του Cabri Geometry. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΕΠ- ΤΠΕ µε τίτλο: «Σχολείο 2.0». ιοργάνωση: ΕΕΕΠ- ΤΠΕ (Επιστηµονική Ένωση Εκπαιδευτικών Πρωτοβάθµιας για τη διάδοση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση), Πειραιάς, Οκτωβρίου Τσούκκας, Λ. & Ξυστούρη, Ξ. & Χρίστου, Κ. & Πίττα-Πανταζή,. (2004). υναµική Γεωµετρία: Η περίπτωση της διδασκαλίας εµβαδού και απόδειξης µέσω µετασχηµατισµού. 4ο Συνέδριο ΕΤΠΕ, Αθήνα. 7. Van de Walle, J. (2005). Μαθηµατικά για το ηµοτικό και το Γυµνάσιο: Μια Εξελικτική ιδασκαλία, Αθήνα: Τυπωθήτω. 8. Blanco, L. (2001). Errors in the Teaching/Learning of the Basic Concepts of Geometry. International Journal for Mathematics Teaching and Learning, 24th May, Connor, J. & Moss, L. & Grover, B. (2004). An Obstruction to Exploration with Dynamical Geometry Software. ICME 10 TSG 10: Programme, Research and development in the teaching and learning of geometry, Copenhagen, 4-11 July. 10. Cutugno, P. & Spagnolo, F. (2002). Misconceptions about triangle in elementary school. In Rogerson, Alan (Ed), International conference The humanistic renaissance in mathematics education, Palermo. 11. Durkin, K. & Crowther, R. & Shire, B. & Riem, R. & Nash, P. (1985). Polysemy in Mathematical & Musical Education. Applied Linguistics, Vol 6, No Gomes, A. & Vergnaud, G. (2004). On the learning of geometric concepts using dynamic geometry software. Novas tecnologias na educaçāo, 2(1), Hope, M. (2007). Mathematical Literacy. Principal Leadership, v7 n Johnston- Wilder, S. & Pimm, D. (2005). Teaching Secondary Mathematics with ICT, Open University Press 15. Kordaki, M. & Mastrogiannis, A. (2007). Αn activity based virtual space course for the learning of geometrical concepts using dynamic geometry systems. In Proceedings of

8 8 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο των Εκπαιδευτικών για τις ΤΠΕ MEDCONF 2007, The Fifth Mediterranean Conference on Mathematics Education, April 13-15, 2007, Rhodes, Greece. 16. Kordaki, M.,& Mastrogiannis, Α. (2006).,The potential of multiple solution tasks in e- learning environments: Exploiting the tools of Cabri Geometry II. In T. Reeves & S. Yamashita (Eds), Proceedings of World Conference on E-Learning in Corporate, Government, Healthcare & Higher Education (E-Learn 2006), October, 13-17, Honolulu, Hawaii, USA, (pp ), Chesapeake 17. Laborde, C. & kynigos, C. & Hollebrands, K. & Strässer, R. (2006). Teaching and learning geometry with technology. In Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future. A. Gutiιrrez, P. Boero (eds.), , Sense Publishers. 18. Mastrogiannis, A. & Kordaki, M. (2006). The concept of similarity in triangles within the context of tools of Cabri-Geometry II. In Proceedings of m-icte 2006, IV International conference on multimedia and information and communication technologies in education (pp ). November, 22-25, 2006, Seville, Spain. 19. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). Principles and standards for school mathematics, Reston: VA: NCTM 20. Ravin, Y. & Leacock, C. (2000). Polysemy. Theoretical and computational approaches, Oxford University Press 21. Schiefsky, M. (2007). New technologies for the study of Euclid s. Ανακτήθηκε από τη διεύθυνση στις 11 Σεπτεµβρίου