Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρ"

Transcript

1 Μορφές Εικονικής Αναπαράστασης της Έννοιας του Τριγώνου στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να µελετήσει το ρόλο των παραστάσεων του τριγώνου στα σχολικά εγχειρίδια των µαθηµατικών όλων των τάξεων του δηµοτικού σχολείου. Πιο συγκεκριµένα γίνεται προσπάθεια καταγραφής και κατηγοριοποίησης των εικόνων-σχηµάτων καθώς και διερεύνηση του ρόλου που παίζει η κάθε κατηγορία στη δηµιουργία προτύπου για το τρίγωνο στην αντίληψη του αναγνώστη. Από την καταγραφή των παραστάσεων του τριγώνου παρατηρούµε ότι εµφανίζεται συνήθως σε όλα τα εγχειρίδια των µαθηµατικών του δηµοτικού είτε ως άµεσος στόχος διδασκαλίας της έννοιας του τριγώνου είτε ως δοµικό στοιχείο για άλλες γεωµετρικές ή µη έννοιες είτε ως βοηθητικό στοιχείο για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών. Ανάλογα κάθε φορά µε το στόχο της ενότητας η παράσταση έχει συνήθως διαφορετική µορφή και παίζει ως επί το πλείστον και διαφορετικό ρόλο. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Η εικονική αναπαράσταση είναι ένα εργαλείο που διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο στη µαθηµατική εκπαίδευση ως µέσο υποστήριξης της σκέψης, της επικοινωνίας και της µετάδοσης µαθηµατικών ιδεών. Λόγω του ότι τα µαθηµατικά έχουν να κάνουν περισσότερο από οτιδήποτε άλλο µε αφηρηµένες έννοιες, για να γίνουν αφενός πιο κατανοητά και αφετέρου πιο ελκυστικά και ενδιαφέροντα, δηµιουργείται συχνά η ανάγκη συγκεκριµένων αναφορών τους µέσα από τη χρήση εικόνων και σχηµάτων. Κατά συνέπεια στα σχολικά εγχειρίδια εκτός της τυπικής µαθηµατικής γλώσσας περιλαµβάνονται και η φυσική καθηµερινή γλώσσα, οι γραφικές παραστάσεις, τα γεωµετρικά σχήµατα, τα σύµβολα, τα υλικά, οι εικόνες κ.α.. Το ότι οι παραστάσεις διαδραµατίζουν σηµαντικό ρόλο στον τοµέα της διδασκαλίας και της µάθησης των µαθηµατικών, φαίνεται και από τα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια που περιλαµβάνουν εξαιρετικά µεγάλο αριθµό εικονικών κυρίως αναπαραστάσεων (εικόνες, σχήµατα, διαγράµµατα, γραφικές παραστάσεις) παρά ποτέ προηγουµένως. Αυτό γίνεται για πολλούς λόγους µεταξύ των οποίων είναι και το γεγονός ότι σύµφωνα µε αποτελέσµατα ερευνών (Trelinski & Macedonska, 2003) το περιεχόµενο και η εικόνα των µαθηµατικών όπως παρουσιάζονται στα σχολικά εγχειρίδια επηρεάζουν πολύ τη στάση των µαθητών και των δασκάλων. Ένας άλλος λόγος που χρησιµοποιούνται οι εικονικές αναπαραστάσεις είναι ότι επιτυγχάνεται η εστίαση της προσοχής του µαθητή µε επιδιωκόµενο αποτέλεσµα τη συγκεκριµενοποίηση της σκέψης του για την παραγωγή λύσης. Όσον αφορά στην ενότητα της Γεωµετρίας, οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται στα σχολικά εγχειρίδια ανήκουν σε τρία διαφορετικά συστήµατα: τη φυσική γλώσσα, τη συµβολική γλώσσα και τα γεωµετρικά σχήµατα τα οποία συνδέονται µε ένα οπτικό σύστηµα αντίληψης που έχει τους δικούς του νόµους οργάνωσης (Καµπάνη Ποτουρίδου, 2003). Όπως φαίνεται και στον πίνακα 1 για το ίδιο γεωµετρικό αντικείµενο µπορούµε να έχουµε τόσες διαφορετικές πιθανές παραστάσεις, όσα και τα συστήµατα αναπαράστασης: 1

2 Σύστηµα αν/σης Φυσική γλώσσα Συµβολική γλώσσα Γεωµετρικό σχήµα Αναπ/ση Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ ισούται µε την πλευρά ΑΓ και µε την πλευρά ΒΓ ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ Β Α Γ Πίνακας 1: Πιθανές διαφορετικές αναπαραστάσεις του ισόπλευρου τριγώνου. Η εικονική αναπαράσταση των γεωµετρικών σχηµάτων ωστόσο, χρειάζεται «διάβασµα» και όχι απλή παρατήρηση που από µόνα τους τα σχήµατα µε την εικονικότητα και τη διαφάνειά τους µας προκαλούν να κάνουµε. Επειδή όµως στη διαδικασία «ανάγνωσης» ενός γεωµετρικού σχήµατος υπεισέρχεται πολύ ο υποκειµενικός παράγοντας και η προηγούµενη εµπειρία του αναγνώστη πολύ συχνά η µονοµερής και χωρίς ποικιλία εικονική αναπαράσταση µιας έννοιας (π.χ. του τριγώνου ως ισόπλευρου) οδηγεί στην ταύτιση της παράστασης µε τη συγκεκριµένη έννοια. Αυτό γίνεται πολύ συχνά και στα σχολικά εγχειρίδια, αλλά και από τον ίδιο το διδάσκοντα όπου χρησιµοποιεί µια εικονική αναπαράσταση για το τρίγωνο µε σκοπό να παρασταθούν όλα τα τρίγωνα. Αυτό θυµίζει την περίπτωση της άλγεβρας όπου η χρήση γραµµάτων γίνεται για όποιον αριθµό. Όµως µια σηµαντική διαφορά είναι ότι το γράµµα δεν είναι κάποιος συγκεκριµένος αριθµός, ενώ το ζωγραφισµένο τρίγωνο που χρησιµοποιείται για να παραστήσει όλα τα τρίγωνα µπορεί να ειδωθεί και να χαρακτηριστεί ως ένα συγκεκριµένο τρίγωνο αφού δεν είναι όλα τα τρίγωνα όµοια µεταξύ τους. Τα γεωµετρικά σχήµατα δεν είναι υλικά αντικείµενα που παρουσιάζουν ατέλειες, ούτε αντίγραφα πραγµατικών αντικειµένων, αλλά νοητικές οντότητες οι οποίες καθορίζονται από τον ορισµό τους. Το γεωµετρικό σχήµα δεν είναι µια συνηθισµένη εικόνα, αλλά µια λογικά ελεγχόµενη δοµή που παρουσιάζει διπλή φύση: εννοιολογική και σχηµατική. Η διπλή αυτή φύση των γεωµετρικών σχηµάτων διεγείρει στους διδάσκοντες µια εσωτερική διαδικασία εξιδανίκευσης ώστε το σχήµα, ανεξάρτητα από ατέλειες, να είναι συνεπές µε τις ιδιότητες που το καθορίζουν, αλλά και µε το συνολικό γεωµετρικό πλαίσιο (π.χ. σε οποιοδήποτε τρίγωνο «βλέπει» τις γωνίες να έχουν άθροισµα ). Αντίθετα για τα µικρά παιδιά, τα εννοιολογικά και τα σχηµατικά χαρακτηριστικά των γεωµετρικών σχηµάτων παραµένουν διαχωρισµένα και οι αποφάσεις τους συχνά βασίζονται µόνο στο υλικό σχήµα, γεγονός που αποτελεί συχνά αιτία λαθών (π.χ όταν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε τη µεσοκάθετη στην ΑΒ δεν την αναγνωρίζουν ως τέτοια γιατί δεν περνάει από την κορυφή Γ όπως συµβαίνει µε τη µεσοκάθετη στην ΒΓ). Όµως κριτήριο και παράγοντας αποτελεσµατικής γεωµετρικής λειτουργίας είναι η ικανότητα του ατόµου να διατηρεί τη διπλή φύση των γεωµετρικών σχηµάτων κατά την επεξεργασία τους (Καµπάνη, 2003). Σε αυτό µπορεί να βοηθήσει η προσέγγιση της γεωµετρικής έννοιας όχι µε µια µόνο εικόνα, αλλά µέσα από διαφορετικά είδη σε διαφορετικές θέσεις. Παρουσιάζοντας ποικιλία εικόνων κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, ο διδάσκοντας αποσκοπεί στο να µπορέσει ο µαθητής να συλλάβει την κοινή εσωτερική δοµή τους, τα κοινά χαρακτηριστικά τους, που θα τον οδηγήσουν στην κατανόηση της έννοιας που αναπαρίσταται και που αποτελεί το αντικείµενο διδασκαλίας. Από τα επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα που συναντάµε στο δηµοτικό σχολείο (κύκλος, τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο, ρόµβος) επιλέξαµε να ασχοληθούµε µε το 2

3 τρίγωνο γιατί είναι ένα από τα βασικά σχήµατα µε το οποίο έρχονται σε επαφή τα παιδιά από πολύ νωρίς στο αναλυτικό πρόγραµµα και συχνά πριν ακόµα αρχίσουν το σχολείο. Είναι µια έννοια που διατρέχει την ύλη του δηµοτικού και δεν είναι µια έννοια µεµονωµένη. Χρησιµοποιείται πολύ συχνά σε όλες τις τάξεις του δηµοτικού, για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών, ενώ διδάσκεται στις τάξεις Β, Γ, και Ε όπως επίσης εµφανίζεται και ως δοµικό στοιχείο άλλων γεωµετρικών ή µη εννοιών (όπως περιγράφεται αναλυτικά παρακάτω). Άλλος ένας λόγος για τον οποίο επιλέξαµε το τρίγωνο είναι το γεγονός ότι είναι ένα επίπεδο γεωµετρικό σχήµα που για να γίνει αντιληπτή η ποικιλία ως προς το είδος του (π.χ. ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαλινό, οξυγώνιο, ορθογώνιο, αµβλυγώνιο κ.λ.π.) και ως προς τη θέση του ίδιου τριγώνου (π.χ. 6, 7), θα πρέπει να παρασταθεί µε πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Τέλος, ένας άλλος λόγος που µας οδήγησε να µελετήσουµε τις παραστάσεις της έννοιας του τριγώνου είναι το γεγονός ότι σύµφωνα µε έρευνες (Pimm, 1995), παρόλο που τα παιδιά µαθαίνουν τη λέξη «τρίγωνο» και µερικές από τις ιδιότητές των τριγώνων από το νηπιαγωγείο ή την πρώτη τάξη του δηµοτικού σχολείου, η αντίληψή τους για το τρίγωνο συχνά παραµένει πολύ ισχνή κατά τη διάρκεια του δηµοτικού σχολείου. Αναρωτηθήκαµε λοιπόν µήπως σε αυτό συµβάλλει και ο τρόπος παράστασής του από τα σχολικά εγχειρίδια. Με βάση τα παραπάνω, αποφασίσαµε να µελετήσουµε το ρόλο των παραστάσεων του τριγώνου στα σχολικά εγχειρίδια των µαθηµατικών όλων των τάξεων του δηµοτικού σχολείου. Πιο συγκεκριµένα προσπαθήσαµε να καταγράψουµε και να κατηγοριοποιήσουµε τις εικόνες- σχήµατα της έννοιας του τριγώνου καθώς επίσης να διερευνήσουµε το ρόλο που παίζει η κάθε κατηγορία στη δηµιουργία προτύπου για το τρίγωνο στην αντίληψη του αναγνώστη. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Αρχικά καταγράφηκαν όλες οι παραστάσεις τριγώνων από τα σχολικά εγχειρίδια των µαθηµατικών όλων των τάξεων του δηµοτικού σχολείου (12 εγχειρίδια: 2 τόµοι για κάθε τάξη) και κατηγοριοποιήθηκαν ως προς το διδακτικό στόχο. Πιο συγκεκριµένα γίνεται διερεύνηση του ρόλου της παράστασης του τριγώνου ως: - άµεσου στόχου διδασκαλίας - δοµικού στοιχείου για άλλες γεωµετρικές έννοιες - δοµικού στοιχείου για µη γεωµετρικές έννοιες - βοηθητικό στοιχείο για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών Στη συνέχεια έγινε επεξεργασία κάθε κατηγορίας και δηµιουργία τεσσάρων υποκατηγοριών ανάλογα µε το ρόλο που παίζουν οι εικόνες-σχήµατα: 1) ιδακτικό ρόλο παίζουν οι σχήµατα-εικόνες που χρησιµοποιούνται κυρίως στην ενότητα που το τρίγωνο αποτελεί άµεσο στόχο διδασκαλίας. 2) Όταν το κείµενο του εγχειριδίου αναφέρεται σε εικόνες-σχήµατα ή συµπλέγµατά τους µε προτροπή να αναγνωρίσει ή να ανακαλύψει ο αναγνώστης την ύπαρξη τριγώνων µέσα σε αυτά (ρόλος αναγνώρισης). 3) Εικόνες-σχήµατα ή συµπλέγµατά τους που περιέχουν τρίγωνα στα οποία το σχολικό εγχειρίδιο αναφέρεται, αλλά όχι για τη συγκεκριµένη έννοια παρά για κάτι άλλο (ρόλος βοηθητικού σχήµατος). 4) Εικόνες-σχήµατα ή συµπλέγµατά τους που περιέχουν τρίγωνα στα οποία το σχολικό εγχειρίδιο δεν αναφέρεται καθόλου (αισθητικός ρόλος). 5) Όταν το σχολικό εγχειρίδιο χρησιµοποιεί το τρίγωνο ως πλαίσιο µέσα στο οποίο πρέπει να γραφτεί το αποτέλεσµα µιας πράξης (ρόλος πλαισίου). 3

4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Από την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων των µαθηµατικών των τάξεων του δηµοτικού σχολείου έγινε φανερό ότι η ενότητα της γεωµετρίας κατέχει ιδιαίτερη θέση σε όλες τις τάξεις µέσα από τις ενότητες: Βασικές µαθηµατικές έννοιες, Μετρήσεις, Βασικά επίπεδα σχήµατα, Γεωµετρία, Γεωµετρικά στερεά, Πολύγωνα, Κύκλος. Η εµφάνιση του τριγώνου στα εγχειρίδια των µαθηµατικών του δηµοτικού γίνεται είτε ως άµεσος στόχος διδασκαλίας είτε ως δοµικό στοιχείο για άλλες γεωµετρικές ή µη έννοιες είτε ως βοηθητικό στοιχείο για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΩΣ ΑΜΕΣΟΣ ΣΤΟΧΟΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Άµεσα η έννοια του τριγώνου διδάσκεται στις τάξεις Β, Γ, και Ε δηµοτικού, µέσα σε ενότητες που αφορούν στα επίπεδα γεωµετρικά σχήµατα (πίνακας 2). Ενότητα/ Τάξη Α Β Γ Ε Στ Τα βασικά επίπεδα σχήµατα Τετράγωνο, Ορθογώνιο, Τρίγωνο, Κυκλικός δίσκος. Πολύγωνα Χ (5 σελ.) Χ (3 σελ.) Χ (3 σελ.) Τρίγωνο Χ (14 σελ.) Πίνακας 2: Ενότητες ανά τάξη που περιέχουν το τρίγωνο ως άµεσο στόχο διδασκαλίας Οι τρόποι παράστασης του τριγώνου όταν πρόκειται για τη διδασκαλία του, ποικίλουν (ισόπλευρο, ορθογώνιο, αµβλυγώνιο, ισοσκελές) και στις περισσότερες περιπτώσεις ο ρόλος που παίζουν είναι διδακτικός γιατί το σχήµα του τριγώνου είναι απαραίτητο για τη διδασκαλία και την κατανόηση της έννοιας. Πιο συγκεκριµένα οι παραστάσεις που χρησιµοποιούνται για τη διδασκαλία της έννοιας του τριγώνου καθώς και ο ρόλος που παίζει η καθεµία από αυτές παρουσιάζονται παρακάτω: Α) ιδακτικό ρόλο παίζουν οι παρακάτω παραστάσεις, που χρησιµοποιούνται για τη διδασκαλία της έννοιας του τριγώνου, µε αναφορά στη µέτρηση του αριθµού των πλευρών και των γωνιών του καθώς και του µήκους των πλευρών του (Β τάξη) ή της περιµέτρου του (Γ τάξη) ή µε αναφορά στα κύρια στοιχεία του (Ε ): Στη Β τάξη: Στη Γ τάξη: 4

5 Στην Ε τάξη: Β) Ρόλο αναγνώρισης παίζουν οι παρακάτω εικόνες-σχήµατα και τα συµπλέγµατά τους, όπου µέσα σε αυτά πρέπει να αναγνωρίσουν ή να ανακαλύψουν τα παιδιά τα τρίγωνα (Β, Γ ): Στη Β τάξη: Στη Γ τάξη: Στη τάξη: Γ) Αισθητικό ρόλο παίζει η παρακάτω παράσταση που διακοσµεί κάποιο σηµείο της ενότητας: 5

6 Στη Β τάξη: ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΩΣ ΟΜΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΙΑ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εκτός από τις ενότητες της Γεωµετρίας που έχουν στόχο τη διδασκαλία της έννοιας του τριγώνου, υπάρχουν και άλλες ενότητες που χρησιµοποιούν το τρίγωνο ως δοµικό στοιχείο (µέρος ενός άλλου σχήµατος ή ενός συµπλέγµατος) για να εισάγουν γεωµετρικές έννοιες. Στη Β τάξη µέσα στις ενότητες: - Σύνδεση των επίπεδων σχηµάτων µε τις επιφάνειες των στερεών - Πρόβλεψη του σχήµατος από την τοµή και ένωση επίπεδων επιφανειών - Κατασκευή και ιχνογράφηση επίπεδων σχηµάτων - Κατασκευή διαβαθµισµένης χαρτοταινίας Μετρήσεις ευθ. τµηµάτων Οι παρακάτω παραστάσεις κατέχουν ρόλο αναγνώρισης εφόσον πρόκειται για αναγνώριση του τριγώνου µέσα σε αυτές και διδακτικό ρόλο όσον αφορά στη µέτρηση του ευθ. τµήµατος (πλευρά τριγώνου): Στη Γ τάξη µέσα στις ενότητες: - Οι γωνίες - Γεωµετρικά στερεά Οι παρακάτω παραστάσεις τριγώνων που παίζουν ρόλο αναγνώρισης η πρώτη (ο µαθητής καλείται να αναγνωρίσει ποια είναι η ορθή γωνία) και διδακτικό ρόλο η δεύτερη (ο µαθητής καλείται να χαρακτηρίσει το σχήµα). Στη τάξη µέσα στις ενότητες: - Παράλληλες ευθείες, είδη γραµµών, κύκλος - Συµµετρία - Μετρούµε την περίµετρο - Μετρούµε επιφάνειες Από τις παρακάτω παραστάσεις η πρώτη, η δεύτερη και η τελευταία παίζουν διδακτικό ρόλο (ο µαθητής καλείται να αναγνωρίσει τεθλασµένες και καµπύλες 6

7 γραµµές και να βρει την περίµετρο στην 1 η, στη 2 η να βρει και να κατασκευάσει άξονα συµµετρίας και στην τελευταία να βρει πόσα τ. εκατ. εµβαδόν έχει το κάθε σχήµα), η 3 η και η 4 η παίζουν ρόλο βοηθητικού σχήµατος (ο µαθητής καλείται να βρει άξονα συµµετρίας στο σύµπλεγµα των σχηµάτων). Στην Ε τάξη µέσα στις ενότητες: - Τα παραλληλόγραµµα Ιδιότητες παραλληλογράµµων - Άλλα πολύγωνα - Εµβαδό παραλληλογράµµων - Εγγραφή κανονικών πολυγώνων σε κύκλο Οι παρακάτω παραστάσεις τριγώνων παίζουν διδακτικό ρόλο (στην 1 η το τρίγωνο ως το µισό του παραλληλογράµµου, στη 2 η ως κανονικό πολύγωνο, στην 3 η τρίγωνα ως µέρος του πολυγώνου, στην 4 η το εµβαδόν των παραλληλογράµµων και οι υπόλοιπες εγγραφή σε κύκλο). Στη Στ τάξη µέσα στις ενότητες: - Γνωρίσµατα των γεωµετρικών στερεών - Αναπτύγµατα επιφανειών γεωµετρικών στερεών - Πώς κατασκευάζουµε και σχεδιάζουµε τα σχήµατα των γεωµετρικών στερεών - Μετρούµε γωνίες Οι παρακάτω παραστάσεις τριγώνων που παίζουν διδακτικό ρόλο (ως δοµικό στοιχείο της πυραµίδας και ως άθροισµα των γωνιών). 7

8 ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΩΣ ΟΜΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΙΑ ΜΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παραστάσεις τριγώνου χρησιµοποιούνται συχνά ως δοµικά στοιχεία άλλων σχηµάτων για τη διδασκαλία άλλων µαθηµατικών εννοιών εκτός των γεωµετρικών. Συγκεκριµένα στις παραστάσεις αυτές συναντάµε τα τρίγωνα ως στοιχείο κάποιου άλλου γεωµετρικού σχήµατος και παίζουν ρόλο βοηθητικού σχήµατος αφού χρησιµοποιούνται για τη διδασκαλία κάποιας άλλης µαθηµατικής έννοιας. Παραδείγµατα τέτοιων παραστάσεων συναντάµε σε όλες σχεδόν τις τάξεις. Συγκεκριµένα: Στην Α τάξη µέσα στην ενότητα: - η έννοια του µισού Στη Β τάξη µέσα στην ενότητα: - Τα κλάσµατα ½, ¼, 2/4, ¾, και 4/4 Στη Γ τάξη µέσα στην ενότητα: - Τα κλάσµατα ½, ¼, 2/4, ¾, και 4/4 Στη τάξη µέσα στην ενότητα: - Πώς δηµιουργούµε κλασµατικούς αριθµούς Στην Ε τάξη µέσα στις ενότητες: - Οι κλασµατικές µονάδες - Οι κλασµατικοί αριθµοί 8

9 ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΛΛΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Η παράσταση της έννοιας του τριγώνου εκτός από την ενότητα της Γεωµετρίας εµφανίζεται πολύ συχνά και σε άλλες µαθηµατικές ενότητες στις µικρές τάξεις του δηµοτικού (Α, Β και Γ τάξη). Ο ρόλος των παραστάσεων σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αναγνώρισης όταν χρησιµοποιούνται βοηθητικά για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών (ταξινόµηση, οµαδοποίηση ως προς κάποιο χαρακτηριστικό) χωρίς να γίνεται καµία αναφορά στην έννοια και σε ελάχιστες περιπτώσεις αισθητικός όταν χρησιµοποιούνται απλά για να διακοσµήσουν το βιβλίο. Σε µία περίπτωση µέσα στην ενότητα «η πράξη του πολλαπλασιασµού» παίζει το ρόλο πλαισίου: Οι παραστάσεις της έννοιας του τριγώνου που συναντάµε στις ενότητες αυτές, τείνουν να έχουν οµοιοµορφία (ισόπλευρο τρίγωνο) και να εµφανίζονται πολύ συχνά. Πιο συγκεκριµένα ο αριθµός ανά παράσταση που συναντάµε σε κάθε τάξη περιγράφεται στον πίνακα 3. Τα τρίγωνα που εικονίζονται τα συναντάµε σε διάφορα χρώµατα και διάφορα µεγέθη, αλλά πάντα µε τη µορφή του ισοσκελούς σε διάφορες θέσεις. Πιο συγκεκριµένα: Α Β Γ Ε Στ Πίνακας 3: Ο αριθµός των παραστάσεων της έννοιας του τριγώνου σε άλλες µαθηµατικές ενότητες ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την ανάλυση των σχολικών εγχειριδίων των µαθηµατικών του δηµοτικού σχολείου παρατηρήσαµε ότι οι παραστάσεις που αφορούν στην έννοια του τριγώνου ποικίλουν και εµφανίζονται: - σε ενότητες που αφορούν στη Γεωµετρία (ως άµεσος στόχο διδασκαλίας ή ως δοµικό στοιχείο για άλλες γεωµετρικές έννοιες), αλλά και - σε ενότητες που δεν αφορούν στη Γεωµετρία (ως δοµικό στοιχείο για µη γεωµετρικές έννοιες ή ως βοηθητικό στοιχείο για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών) µε τη µορφή - τριγώνου ή - στοιχείου µέσα σε κάποιο άλλο σχήµα ή σύµπλεγµα. 9

10 Ο ρόλος που παίζει η εικονική αναπαράσταση εξαρτάται κάθε φορά από την µαθηµατική ενότητα µέσα στην οποία εµφανίζεται. Πολύ γενικά µπορούµε να πούµε ότι αν η παράσταση βρίσκεται µέσα σε ενότητα της γεωµετρίας που έχει ως άµεσο στόχο τη διδασκαλία της έννοιας του τριγώνου τότε ο ρόλος της είναι διδακτικός (χρησιµοποιείται κυρίως ως άµεσος στόχος διδασκαλίας). Αν βρίσκεται µέσα σε ενότητα της γεωµετρίας η οποία ασχολείται µε τη διδασκαλία άλλων εννοιών εκτός του τριγώνου τότε ο ρόλος της εναλλάσσεται ανάµεσα σε διδακτικό (γίνεται αναφορά στις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά της έννοιας) και ρόλο αναγνώρισης (αναγνώριση ή ανακάλυψη τριγώνων µέσα σε σχήµατα ή συµπλέγµατα). Η παράσταση που χρησιµοποιείται για την έννοια του τριγώνου µέσα σε όχι γεωµετρικές ενότητες είναι ουσιαστικά µία. Συγκεκριµένα στις µικρές τάξεις (Α, Β και Γ τάξη) χρησιµοποιείται 820 φορές το τρίγωνο µε µία και µόνο µορφή εκείνη του ισόπλευρου. Στην κλασσική θέση µε τη βάση προς τα κάτω τη συναντάµε 788 φορές και µε την κορυφή προς τα κάτω 28 φορές. Τα τρίγωνα αυτά τα συναντάµε σε µεγάλη ποικιλία χρωµάτων και µεγεθών. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να υποθέσουµε ότι η παράσταση χρησιµοποιείται για να παραστήσει όλα τα τρίγωνα κάτι που δεν είναι σωστό γιατί αυτό το τρίγωνο (ισόπλευρο) είναι συγκεκριµένο και δεν είναι όλα τα τρίγωνα όµοια µεταξύ τους. Αυτό το γεγονός µπορεί να οδηγήσει τα παιδιά στην ταύτιση της παράστασης του ισόπλευρου τριγώνου µε την έννοια του τριγώνου. Ποικιλία στις παραστάσεις συναντάµε στις ενότητες της διδασκαλία της έννοιας του τριγώνου και ακόµα περισσότερο στις ενότητες που το τρίγωνο αποτελεί στοιχείο κάποιου άλλου σχήµατος. Στη δεύτερη περίπτωση βέβαια, είναι δύσκολο να παρατηρηθεί η ποικιλία των παραστάσεων από ένα παιδί λόγω του ότι µπλέκονται και άλλες γραµµές που σχετίζονται µε τα άλλα σχήµατα. Έτσι στην οπτική αντίληψη του µαθητή µένουν οι καθαρές παραστάσεις και ίσως σε αυτό το γεγονός να οφείλεται ότι τα περισσότερα παιδιά είναι εξοικειωµένα µε κάποιους µόνο τύπους τριγώνων, όπως: Ενώ η οπτική αντίληψή τους για τα τρίγωνα συνήθως δεν περιλαµβάνει παραστάσεις όπως οι παρακάτω αν και γνωρίζουν τυπικά ότι το τρίγωνο έχει «τρεις πλευρές ή γραµµές και τρεις γωνίες». (Hill, 1987) Εφόσον κριτήριο και παράγοντας αποτελεσµατικής γεωµετρικής λειτουργίας είναι η ικανότητα του ατόµου να διατηρεί τη διπλή φύση των γεωµετρικών σχηµάτων κατά την επεξεργασίας τους, θα πρέπει να δοθεί µεγάλη προσοχή στην παράσταση της γεωµετρικής έννοιας του τριγώνου. Η παράσταση αυτή δε θα πρέπει να γίνεται µόνο µε µια εικόνα, αλλά µέσα από διαφορετικά είδη και θέσεις τριγώνων για να µπορέσει ο µαθητής να συλλάβει την κοινή εσωτερική δοµή τους και τα κοινά χαρακτηριστικά τους που θα τον οδηγήσουν στην κατανόηση της έννοιας που αναπαρίσταται και που αποτελεί το αντικείµενο διδασκαλίας. 10

11 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Hill J. (1987) Geometry for Grades K-6 Readings from the Arithmetic Teacher NCTM Καµπάνη Ποτουρίδου, Ε. (2003). Ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη λύση µαθηµατικών προβληµάτων ιδακτορική ιατριβή Ιωάννινα. Pimm, D. (1995). Symbols and meanings in school mathematics. Routledge NY Trelinski, G. & Macedonska, L. (2003). Textbooks in mathematics without mathematics. Conferences abstract CIEAEM 55 Poland ΥΠΕΠΘ & Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1987). Τα µαθηµατικά µου A τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου A τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Β τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Β τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Γ τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Γ τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Ε τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Ε τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Στ τάξη δηµοτικού Πρώτο µέρος Ο.Ε..Β (1987). Τα µαθηµατικά µου Στ τάξη δηµοτικού εύτερο µέρος Ο.Ε..Β. 11

επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων)

επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) Μαθηματικά αντικείμενα Έννοιες Ιδιότητες (θεωρήματα, πορίσματα) Σχέσεις Ενέργειες Διαδικασίες Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Το ιδακτικό Υλικό στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων της Γ τάξης του ηµοτικού: Τρόπος Κατανόησης και ιαχείρισής του από Μαθητές και ασκάλους Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Φραγκίσκος Καλαβάσης Περίληψη Στην εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GEOGEBRA Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΠΡΩΤΗ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ GEOGEBRA 1. ΓΕΝΙΚΑ Με το λογισµικό Geogebra µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα σχεδόν τα γεωµετρικά επίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1. Τίτλος Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Φτιάχνω γεωµετρικά σχήµατα», (Μαθηµατικά Β ηµοτικού) 2. Εµπλεκόµενες γνωστικές περιοχές Κατά την υλοποίηση του διδακτικού σεναρίου θα αξιοποιηθούν κατά κύριο

Διαβάστε περισσότερα

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας

Cabri II Plus. Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri II Plus Ο Jean-Marie LABORDE ξεκίνησε το 1985 το πρόγραμμα με σκοπό να διευκολύνει τη διδασκαλία και την εκμάθηση της Γεωμετρίας Ο σχεδιασμός και η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη:

Publishers, London. Ευκλείδης Γ Τεύχη: Ανάλυση και Συγκριτικές Επισηµάνσεις Σχολικών Βιβλίων του ηµοτικού Σχολείου (Ελλάδας, Κύπρου, Αγγλίας) όσον αφορά στην Έννοια της Πιθανότητας. Συγγραφέας: Ιδιότητα: Καλαβάσης Φραγκίσκος Σκουµπουρδή Χρυσάνθη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης

ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης (έννοιες, αντιλήψεις, αναπαραστάσεις) οργάνωση περιεχομένου μαθηματικών, εννοιολογικές αντιλήψεις στα μαθηματικά και στους μαθητές Μαρία Καλδρυμίδου θέματα οργάνωση περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΜΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Π.Δ 409 του 1994 Για τις προαγωγικές εξετάσεις Μαΐου Ιουνίου ισχύει το Π.Δ. 508/77 και η Εγκύκλιος ΥΠΕΠΘ Γ2/2764/6-5-96) (ΕΙΔΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά

Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας ανακά Θεωρητικό πλαίσιο Μαθηµατικά Β Γιώργος Αλβανόπουλος Σχολικός 1 Πορεία παρουσίασης 1. Θεωρητικό πλαίσιο - Άξονες περιεχοµένων 2. Επιλογή κεφαλαίου 3. Προσδιορισµός κυρίαρχου στόχου 4. Υλοποίηση δραστηριότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Διδασκαλία III

Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαθηματικά για Διδασκαλία III Μαριάννα Τζεκάκη Απαραίτητα στον εκπαιδευτικό Μαθηματικό περιεχόμενο γνώση Ζητήματα των στόχων της διδασκαλίας των μαθηματικών μάθησης και του σχετικού μαθηματικού περιεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για τα Χριστούγεννα. Μέρος Α Άλγεβρα. 1. Να γίνουν οι πράξεις: α. Α=(-3)(-4)+3[(-3).4+(-6) ] β. Β=--8.3+7[7(-3)+(-)(-1)] 8 γ. Γ= 3 ( ) ( 8) 3 9 3 δ. Δ=(-3+9-)(3-9)+(9-0)(4:+).

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Συγγραφική Ομάδα Βλάμος Παναγιώτης Δρούτσας Παναγιώτης Πρέσβης Γεώργιος Ρεκούμης Κωνσταντίνος Φιλολογική Επιμέλεια Βελάγκου Ευγενία Σκίτσα Βρανάς Θεοδόσης Υπεύθυνος Παιδαγωγικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο - Οι φυσικοί αριθµοί 1.1. Φυσικοί αριθµοί - ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση 1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ

Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση - Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Παρεµβολή ή Παλινδρόµηση Συνέργειες οµίλων Προτύπων ΓΕΛ Σωτήρης. Χασάπης Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σµύρνης 9η Μαθηµατική Εβδοµάδα Θεσσαλονίκη Τετάρτη 15 Ιουνίου 2016 Περιεχόµενα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουν δοθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση αριθμών Γ2.1 Oνομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες) με διάφορα

Διαβάστε περισσότερα