Equilibrio termodinamico in uno spaziotempo curvo: conservazione del tensore energia-impulso

Transcript

1 Università degli studi di Firenze Dipartimento di Fisica e Astronomia Corso di Laurea Triennale in Fisica e Astrofisica Equilibrio termodinamico in uno spaziotempo curvo: conservazione del tensore energia-impulso Relatore: Prof. Francesco Becattini Candidato: Marco Marinucci Anno accademico 2014/2015

2 INDICE ii Indice Introduzione iii 1 Equilibrio termodinamico e geometria Vettori di Killing Relazione tra derivata covariante del vettore di Killing e tensore di Riemann Derivata di Lie Costruzione del tensore energia-impulso Effetto della conservazione: caso particolare Effetto della conservazione: caso generale Termini di curvatura Termini quadratici nei gradienti di β Relazioni dei coefficienti del tensore energia-impulso Termini quadratici nelle derivate Termini di curvatura Equazioni vincolari Tensori di curvatura nulli Vettore β costante Conclusioni 24 Appendice 25

3 iii Introduzione Nello spazio-tempo curvo della relatività generale la nozione di equilibrio termodinamico richiede che esista un quadrivettore di tipo tempo che soddisfi l equazione di Killing [1]. Questa condizione generalizza in modo corretto la familiare nozione di equilibrio termodinamico completo della fisica classica e special-relativistica, nelle quali all equilibrio si impone che la temperatura e la velocità di un sistema siano le stesse ovunque. La lunghezza del quadrivettore, detto quadrivettore temperatura, e generalmente indicato con β, è interpretabile come l inverso della temperatura locale mentre la sua direzione è interpretabile come la quadrivelocità locale u. La distribuzione di energia ed impulso del sistema all equilibrio è data dal tensore energia-impulso T µν, la grandezza fisica tensoriale sorgente della gravitazione. Nel caso di un sistema all equilibrio termodinamico usuale nello spazio-tempo di Minkowski, con β = costante, ha la forma nota come ideale, ovvero: T µν = (ρ + p)u µ u ν pη µν (1) dove ρ e p sono, rispettivamente, il significato fisico di densità di energia propria e di pressione. La forma sopra è usualmente impiegata nelle equazioni di campo di Einstein in quasi tutti i problemi di astrofisica (es. equilibrio stellare) e cosmologici. Tuttavia, essa dipende in modo essenziale dalle simmetrie dello spaziotempo di Minkowski, ovvero traslazioni e rotazioni. In uno spaziotempo privo di simmetrie di questo tipo, la forma del tensore energia-impulso potrebbe essere diversa e dipendere, oltre che dal campo β e dalla metrica g (ricordiamo che u = β/ β 2 e che T = 1/ β 2 ) anche dalle derivate di β e di g. Questa possibilità è stata prevista per esempio in [2]. Se dunque, la metrica - assegnata - dello spaziotempo non differisce molto da quella piatta, ci si può attendere che il tensore energia-impulso della materia all equilibrio termodinamico sia dato dall equazione sopra più termini correttivi dipendenti dalle derivate. Scopo di questo lavoro è quello di determinare alcune relazioni che i coefficienti di tali termini correttivi soddisfano in seguito all imposizione delle equazioni di conservazione covarianti del tensore T µν, ovvero µ T µν = 0.

4 1 Capitolo 1 Equilibrio termodinamico e geometria In questo primo capitolo studieremo cosa sono e quali proprietà hanno i campi vettoriali di Killing, che, come accennato nell Introduzione sono lo strumento indispensabile per caratterizzare l equilibrio termodinamico nel caso generale di una metrica di uno spaziotempo curvo. 1.1 Vettori di Killing I vettori di Killing - o più in generale il campo di Killing - sono strumenti matematici che, nel formalismo covariante, descrivono le simmetrie di un certo sistema. Ma in un tale formalismo come si definisce una simmetria? Sappiamo che nella teoria della Relatività Generale la metrica è la variabile dinamica che definisce la forma dello spazio-tempo - più precisamente la sua curvatura - perciò una simmetria non sarà altro che una trasformazione di coordinate tale da lasciare invariata la forma della metrica. Definiamo una metrica g µν (x) invariante in forma, rispetto a una certa trasformazione di coordinate x x, quando la nuova metrica ottenuta g µν(x ) presenta la stessa funzione - la stessa forma funzionale -, con argomento x µ, della funzione originale g µν (x), cioè g µν(y) = g µν (y) y. (1.1) Per ciascun punto la metrica trasformata è data dalla relazione o, equivalentemente, g µν(x ) = xρ x µ x σ x ν g ρσ(x) g µν (x) = x ρ x σ x µ x ν g ρσ(x ). Se vale la relazione (1.1) allora possiamo sostituire g ρσ(x ) con g ρσ (x ), ottenendo così una richiesta fondamentale per avere una metrica che sia invariante in forma: g µν (x) = x ρ x µ x σ x ν g ρσ(x ). (1.2)

5 1.1 Vettori di Killing 2 Qualsiasi trasformazione x x che soddisfa la (1.2) è detta isometria. In generale questa condizione è molto complicata per la funzione x µ ; si può semplificare prendendo in considerazione il caso di una trasformazione infinitesima di coordinate: x µ = x µ + εβ µ (x) con ε 1 (1.3) Cerchiamo di capire quali condizioni deve soddisfare il vettore β affinché questa trasformazione x x sia un isometria. Per farlo sostituiamo l equazione (1.3) all interno della (1.2), fermandoci al primo ordine in ε. Otteniamo perciò: g ρσ (x ) = g ρσ (x + εβ) che possiamo scrivere, al primo ordine in ε, come con la convenzione Abbiamo inoltre Dunque = x λ λ. se trascuriamo i termini ε 2 g ρσ (x + εβ) g ρσ (x) + εβ λ λ g ρσ x ρ x µ = δρ µ + ε µ β ρ x σ x ν = δσ ν + ε ν β σ. g µν (x) = (δ ρ µ + ε µ β ρ )(δ σ ν + ε ν β σ )(g ρσ (x) + εβ λ λ g ρσ ) g µν (x) = δ ρ µδ σ ν g ρσ (x) + εδ ρ µδ σ ν β λ λ g ρσ (x) + εδ ρ µg ρσ ν β σ + εδ σ ν g ρσ µ β ρ Eliminando il termine al primo membro con il primo termine al secondo membro e semplificando la ε, otteniamo infine: β λ λ g µν + g µσ ν β σ + g νρ µ β ρ = 0 (1.4) Da questa equazione possiamo ricavare la proprietà che definisce i vettori di Killing in due casi differenti. Nel caso più semplice in cui ci troviamo in uno spazio piatto, o più in generale in cui la metrica sia costante, abbiamo λ g µν = 0 Perciò dall equazione sopra otteniamo una prima condizione di Killing per uno spazio-tempo a curvatura nulla ν β µ + µ β µ = 0 (1.5) Questa è già una condizione di equilibrio termodinamico, nel caso si consideri il vettore β come nel paragrafo precedente. Generalizziamo questa condizione al caso di spazio-tempo curvo; andremo poi ad analizzare come si modifica la forma del

6 1.1 Vettori di Killing 3 tensore energia-impulso di un sistema immerso in uno spazio-tempo curvo. Riscriviamo l equazione (1.4) in termini delle componenti covarianti di β: β σ = g µσ β µ Per farlo riscriviamo l equazione in una forma più comoda: β λ λ g µν + ν (g µλ β λ ) β λ ν g µλ + µ (g νλ β λ ) β λ µ g νλ = 0 β λ λ g µν + ν β µ + µ β ν β λ ν g µν β λ µ g νλ = 0 Raccogliendo i termini che presentano β λ : Scrivendo β λ = β σ g λσ si ottiene: ν β µ + µ β ν + β λ [ λ g µν ν g µλ µ g νλ ] = 0 ν β µ + µ β ν + β σ g λσ [ λ g µν ν g µλ µ g νλ ] = 0 Nell ipotesi di compatibilità metrica la definizione di simbolo di Christoffel è µ g ρσ = 0 (1.6) Γ σ νµ = 1 2 gλσ [ λ g µν ν g µλ µ g νλ ] (1.7) vediamo che la quantità che moltiplica β σ è proprio 2 volte il simbolo di Christoffel, perciò, considerando che nella nostra teoria - a torsione nulla - è simmetrico nello scambio µ ν, possiamo scrivere: ν β µ β σ Γ σ νµ + µ β ν β σ Γ σ µν = 0 Ricordando la definizione di derivata covariante di un vettore covariante: otteniamo infine: µ B ν = µ B ν Γ σ µνb σ ν β µ + µ β ν = 0 (1.8) L equazione (1.8) è proprio quella che chiamiamo condizione di Killing: qualsiasi vettore β µ (x) che soddisfi tale condizione è detto vettore di Killing della metrica g µν (x). Il problema di determinare tutte le isometrie di una data metrica è ora ridotto al problema di determinare tutti i vettori di Killing della metrica. La condizione di Killing trovata precedentemente è molto più restrittiva di quanto appaia poiché ci permette di determinare l intera funzione β µ (x) dato un certo valore di β µ e ρ β µ in un certo punto X. Questo perché, come vedremo, esiste una relazione tra la derivata prima del campo di Killing, il tensore di Riemann e il campo di Killing stesso che permette di determinare univocamente tutta la funzione β µ in un certo punto.

7 1.1 Vettori di Killing Relazione tra derivata covariante del vettore di Killing e tensore di Riemann Quello che si analizza in questo paragrafo è la relazione che c è tra il tensore di Riemann e la derivata covariante di un vettore che soddisfa la condizione di Killing. Per farlo richiamiamo la definizione e le proprietà del tensore di Riemann e del suo duale. Il tensore di Riemann è definito come R λ µνκ Γλ µν x κ Γλ µκ x ν + Γη µνγ λ κη Γ η µκγ λ νη (1.9) dove Γ σ νµ è il simbolo di Christoffel definito dalla (1.7); adottiamo la convenzione utilizzata in [3]. Per il tensore di Riemann valgono le seguenti proprietà: Simmetria rispetto allo scambio (λµ) (νκ) R λµνκ = R νκλν (1.10) Antisimmetria rispetto allo scambio (λ µ) o (ν κ) Prima identità di Bianchi Seconda identità di Bianchi R λµνκ = R µλνκ = R λµκν = R µλκν (1.11) R λµνκ + R λνκµ + R λκµν = 0 (1.12) η R λµνκ + ν R λµκη + κ R λµην = 0 (1.13) Possono essere formati nuovi tensori, utilizzando la metrica g µν, a partire dal tensore di Riemann R µναβ. I più importanti sono il tensore di Ricci, R µν g αβ R αµβν (1.14) e lo scalare di curvatura, Definiamo il duale di Riemann R g µν R µν. (1.15) R µνρσ = E µναβ R αβ ρσ dove E ρσµν è lo pseudotensore di Levi-Civita definito per uno spazio-tempo curvo come: E ρσµν = gε ρσµν (1.16) g è il determinante della metrica g µν e ε ρσµν è l abituale pseudotensore di Levi- Civita totalmente antisimmetrico nello spazio piatto - in qualsiasi sistema di coordinate - con le proprietà: +1 se (ρ, σ, µ, ν) è una permutazione pari di (0, 1, 2, 3), ε ρσµν = 1 se (ρ, σ, µ, ν) è una permutazione dispari di (0, 1, 2, 3), 0 se (ρ, σ, µ, ν) non è una permutazione di (0, 1, 2, 3).

8 1.1 Vettori di Killing 5 Notiamo subito che la derivata covariante del tensore di Levi-Civita µ E νρσλ = ε νρσλ µ g (1.17) è nulla nell ipotesi di metrica compatibile (1.6), come si vede in [4]. Dalle proprietà del tensore di Riemann possiamo ricavare delle nuove proprietà per il duale di Riemann: Antisimmetria rispetto a µ ν o ρ σ R µνρσ = R νµρσ = R µνσρ ; La definizione di R è, a meno di un fattore moltiplicativo, indipendente da quali indici contraggo. Per la prima identità di Bianchi e le proprietà di simmetria del tensore di Riemann abbiamo R µνρσ = E µναβ R αβ ρσ = E µναβ R ρσ αβ = 2E µναβ R βα ρ σ; Qualsiasi contrazione del duale di Riemann è nulla g µν Rµνρσ = 0 (dall antisimmetria di E µναβ ), g ρσ Rµνρσ = 0 (dall antisimmetria di R αβ ρσ rispetto a ρ σ), g µρ Rµνρσ = 0 (dalla prima identità di Bianchi). Ricordiamo la formula, valida per qualsiasi vettore V µ, che descrive la regola di commutazione tra due derivate covarianti: κ ν V µ ν κ V µ = V σ R σ µνκ Se sostituiamo a V µ un vettore di Killing β µ Scriviamo: µ ρ β σ ρ µ β σ = β λ R λ σρµ σ ρ β µ ρ σ β µ = β λ R λ µσρ σ µ β ρ µ σ β ρ = β λ R λ ρµσ Per la prima identità di Bianchi: R λ σρµ + R λ ρµσ + R λ µσρ = 0 otteniamo µ ρ β σ ρ µ β σ σ ρ β µ + ρ σ β µ + σ µ β ρ µ σ β ρ = 0 Utilizzando la condizione di Killing (1.8) per cui: µ β ν = ν β µ (1.18)

9 1.1 Vettori di Killing 6 abbiamo µ ρ β σ ρ µ β σ σ ρ β µ ρ µ β σ σ ρ β µ + µ ρ β σ = 0 Sommando i termini uguali e semplificando abbiamo: Dunque σ ρ β µ = ρ µ β σ µ ρ β σ = β λ R λ σµρ σ ρ β µ = β λ R λ σρµ (1.19) che è proprio la relazione che cercavamo. Dati β λ e ρ β λ in un punto X possiamo perciò determinare la derivata seconda di β λ (x) in X e possiamo trovare successivamente derivate di β λ di grado superiore derivando semplicemente l equazione trovata. Ogni vettore di Killing β λ (x) di una data metrica è perciò unicamente definito dai valori di β λ (X) e ρ β λ (X) in un particolare punto X. Si definisce il tensore ϖ µν costruito con le derivate prime della metrica ϖ µν ν β µ (1.20) Dalla proprietà di Killing (1.8) e (1.18) si vede subito che è un tensore antisimmetrico ϖ µν = ν β µ = µ β ν = ϖ νµ (1.21) È noto che un tensore antisimmetrico a due indici può essere riscritto, definendo le due nuove grandezze vettoriali spacelike come a µ = ϖ µν u ν ω µ = 1E (1.22) 2 µτρσϖ ρσ u τ ϖ µν = a µ u ν a ν u µ + E µνρσ ω ρ u σ (1.23) dove E µνρσ è il tensore di Levi-Civita (1.16). u µ è il versore del campo β µ, cioè u = β/ β 2. Dunque il nuovo tensore antisimmetrico ϖ µν può essere espresso in funzione di due vettori indipendenti, a µ e ω µ. Definiamo perciò il duale del tensore (1.20) ϖ µν = 1 2 E µνρσϖ ρσ (1.24) anch esso un tensore antisimmetrico - per l antisimmetria di E µνρσ - per il quale possiamo definire le grandezze che ci permettono di scrivere ã µ = ϖ µν u ν ω µ = 1E (1.25) 2 µτρσ ϖ ρσ u τ ϖ µν = ã µ u ν ã ν u µ + E µνρσ ω ρ u σ (1.26)

10 1.2 Derivata di Lie 7 Si nota che, utilizzando la definizione (1.24), ã µ = ω µ (1.27) ω µ = a µ dunque per il duale possiamo scrivere la forma equivalente ϖ µν = ω µ u ν ω ν u µ + E µνρσ a ρ u σ (1.28) che deriva dalla definizione di duale (1.24). Abbiamo dunque visto che i tensori antisimmetrici ϖ µν e ϖ µν sono indipendenti e ciascuno di essi, in particolare ϖ µν può essere riscritto come combinazione di due campi vettoriali spacelike indipendenti, come si vede nella (1.23) definendo (1.22), alla stregua del campo elettromagnetico. Per la definizione (1.20) e la proprietà trovata precedentemente (1.19) valgono dove R µν è il tensore di Ricci. Per il duale vale invece λ ϖ µν = β α R ανµ λ (1.29) µ ϖ µν = β α R αν (1.30) λ ϖ ρσ = 1 2 β α R ρσα λ (1.31) ρ ϖ ρσ = 0 per le proprietà del duale di Riemann. (1.32) Si trova, inoltre, una proprietà molto importante che lega la derivata del modulo quadro del campo di Killing al tensore ϖ che discende direttamente dalla condizione di Killing. Si ha infatti ρ β 2 = ρ β 2 = ρ (β λ β λ ) = 2β λ ρ β λ = 2β λ λ β ρ (1.33) dunque otteniamo, utilizzando la definizione (1.20) ρ β 2 = 2Dβ ρ = 2β λ ϖ λρ (1.34) dove D è la derivata covariante lungo la direzione del campo di Killing D = β λ λ. 1.2 Derivata di Lie L ultimo strumento matematico che dobbiamo introdurre per la descrizione dell equilibrio termodinamico in uno spazio-tempo curvo è la derivata di Lie lungo le linee di flusso del campo di Killing β. In matematica la derivata di Lie valuta la variazione di un campo tensoriale (inclusi funzioni scalari e campi vettoriali) lungo le linee di flusso di un altro campo vettoriale. 1 La derivata di Lie di una funzione scalare f lungo un certo vettore V è, ad esempio: 1 Per una trattazione della derivata di Lie vedere [5, cap.5]. (L V f) = V α α f = V α α f (1.35)

11 1.2 Derivata di Lie 8 mentre per un campo vettoriale A µ e per un tensore a due indici covarianti T µν : (L V A) µ = V ρ ρ A µ + A ρ µ V ρ (1.36) (L V T ) µν = V ρ ρ T µν + T ρν µ V ρ + T µρ ν V ρ (1.37) In generale la derivata di Lie lungo un campo vettoriale V di un generico tensore con indici controvarianti (µ 1,..., µ N ) e indici covarianti (ν 1,..., ν M ) è (L V T ) µ 1...µ N ν1...ν M = V ρ ( ρ T µ 1...µ N ν1...ν M ) ( ρ V µ 1 )T ρµ 2...µ N ν1...ν M... ( ρ V µ N )T µ 1...µ N 1 ρ ν1...ν M + ( ν1 V ρ )T µ 1...µ N ρν2...ν M ( νm V ρ )T µ 1...µ N ν1...ν M 1 ρ (1.38) La derivata di Lie è uno strumento utile a definire i vettori di Killing. In uno spazio con metrica compatibile infatti un vettore β è un vettore di Killing se la derivata di Lie della metrica g lungo β è nulla: Questa corrisponde alla condizione di Killing (1.8), infatti (L β g) µν = 0 (1.39) (L β g) µν = β ρ ρ g µν + g ρν µ β ρ + g µρ ν β ρ = µ β ν + ν β µ = 0 (1.40) che è proprio la condizione (1.8). Nell ipotesi di background esterno - ovvero nel caso si consideri un sistema all equilibrio termodinamico che interagisca con un campo gravitazionale esterno, dunque con metrica g µν fissata - si può dimostrare che le derivate di Lie lungo il campo di Killing del tensore di Ricci R µν, dello scalare di curvatura R e dello scalare K = β µ β ν R µν sono nulle. In questa ipotesi si vede inoltre che anche la derivata di Lie di funzioni scalari che sono funzione del modulo quadro di un vettore di Killing β 2 è nulla. Dimostriamo che (L β F (β 2 )) = β ρ ρ F (β 2 ) = 0 (1.41) Possiamo riscrivere il secondo membro dell equazione (1.41) β ρ ρ F (β 2 ) = β ρ F (β2 ) β 2 ρ β 2 Analizzando solo il termine β ρ ρ β 2, utilizzando la relazione (1.34), si trova che β ρ ρ β 2 = β ρ ρ (β λ β λ ) = β ρ β λ ρ β λ + β ρ β λ ρ β λ = 2β ρ β λ ρ β λ = 0 L ultimo termine è nullo perché è il prodotto tra un tensore simmetrico β λ β ρ ed uno antisimmetrico ϖ λρ = ρ β λ. Ne consegue che β ρ ρ F (β 2 ) = 0

12 1.2 Derivata di Lie 9 proprio come nella (1.41). Analizziamo adesso l andamento della derivata covariante del tensore di Ricci lungo il campo di Killing DR µν = β λ λ R µν Contraendo la seconda identità di Bianchi (1.13) con g λρ si ottiene Contraendo nuovamente col vettore β σ σ R λνρµ + ρ R λνµσ + µ R λνσρ = 0 σ R νµ + ρ R ρ νµσ µ R νσ = 0 (1.42) β σ σ R νµ + β σ ρ R ρ νµσ β σ µ R νσ = 0 (1.43) In [3, p. 348] si trova la relazione, ricavabile dalla definizione e proprietà di vettore di Killing [ R λ ρσνδ κ µ + R λ µσνδ κ ρ R λ σρµδ κ ν + R λ νρµδ κ σ]ϖ λκ = [ ν R λ σρµ σ R λ νρµ]β λ (1.44) Contraendo, in questa formula, σ con ρ si ha β λ [ ν R λµ σ R λνσµ ] = R λ νϖ λµ + R λµσν ϖ λσ + R λ µϖ λν + R λνσµ ϖ λσ (1.45) Il secondo e il quarto termine del secondo membro si annullano, infatti rinominando gli indici perché ϖ λσ = ϖ σλ. Dunque la (1.45) diventa R λµσν ϖ λσ + R λνσµ ϖ λσ = R σνλµ ϖ λσ + R λνσµ ϖ λσ R σνλµ ϖ λσ + R λνσµ ϖ λσ = R λνσµ ϖ σλ + R λνσµ ϖ λσ = 0 β λ σ R σµνλ β λ ν R λµ = R λ νϖ λµ + R λ µϖ λν (1.46) Inserendo questo risultato nella (1.43) otteniamo β λ λ R νµ + ϖ λν R λ µ + ϖ λµ R λ ν = 0 (1.47) cioè (L β R) µν = β λ λ R νµ + ϖ λν R λ µ + ϖ λµ R λ ν = 0 (1.48) ovvero abbiamo trovato che in un background esterno la derivata di Lie lungo il campo di Killing del tensore di Ricci è nulla. Si nota che contraendo con g µν la relazione (1.48) otteniamo β λ λ R + 2ϖ λµ R λµ = 0 (1.49)

13 1.2 Derivata di Lie 10 in cui il secondo termine è nullo perché è il prodotto di un tensore simmetrico per un tensore antisimmetrico, dunque che è quello che volevamo dimostrare. (L β R) = β λ λ R = 0 (1.50) Vediamo ora che la proprietà trovata per la derivata di Lie del tensore di Ricci ha delle conseguenze anche sulla derivata di Lie dello scalare K = β µ β ν R µν, che non è altro che la contrazione del tensore di Ricci con due vettori di Killing. Partendo dalla (1.48) e contraendola per β µ β ν β µ β ν β ρ ρ R µν + β µ β ν ϖ ρν R ρ µ + β µ β ν ϖ ρµ R ρ ν = 0 (1.51) Vediamo subito che il secondo e il terzo termine sono uguali, perciò si può scrivere Sfruttando la proprietà β µ β ν β ρ ρ R µν + 2β µ β ν ϖ ρµ R ρ ν = 0 (1.52) β ρ ρ (R µν β µ β ν ) = β ρ ρ K = β µ β ν β ρ ρ R µν +β µ β ρ R µν ρ β ν +β ν β ρ R µν ρ β µ (1.53) Inserendola nella (1.52) si ottiene β ρ ρ K β µ β ρ R µν ϖ ν ρ β ν β ρ R µν ϖ µ ρ + 2β µ β ν ϖ ρµ R ρ ν = 0 (1.54) Se nel secondo e nel terzo termine cambio nome agli indici - ρ µ, ν ρ, µ ν e ρ µ, µ ρ rispettivamente - la loro somma è proprio uguale a 2β µ β ν ϖ ρµ R ρ ν. Si ottiene dunque quello che stavamo cercando. (L β K) = β ρ ρ K = 0 (1.55) Abbiamo a questo punto definito tutti gli strumenti e le proprietà matematiche necessarie per la costruzione del tensore energia-impulso di un sistema che si trovi all equilibrio termodinamico in uno spazio-tempo curvo con background esterno e metrica fissata.

14 11 Capitolo 2 Costruzione del tensore energia-impulso Nello spaziotempo di Minkowski, in coordinate cartesiane, la condizione di equilibrio termodinamico è equivalente alla condizione: µ β ν + ν β µ = 0 (2.1) Fisicamente, il campo vettoriale quadritemperatura β µ è interpretabile come una quadritemperatura β = 1 T uµ, ovvero T rappresenta la temperatura locale misurata da un termometro che si muove con quadrivelocità u [1]. In particolare l equazione (2.1) è soddisfatta nel caso in cui sia β = costante vettore timelike, ovvero il familiare equilibrio in cui il sistema è fermo per un osservatore inerziale, nel qual caso troviamo la forma ideale del tensore energia-impulso, come dettata dalle simmetrie traslazionali e rotazionali associate alla soluzione β = costante: T µν = (ρ + p)u µ u ν pg µν (2.2) Nel caso di spazio-tempo curvo con background esterno la nuova condizione di equilibrio termodinamico è data dalla condizione (1.8) in cui le derivate usuali diventano covarianti : µ β ν + ν β µ = 0 (1.8) Ci chiediamo allora, in questo caso generale, qual è la forma di (2.2). In generale, l esistenza di un campo di Killing timelike non garantisce che il modulo del vettore sia costante, e dunque che l equilibrio termodinamico sia caratterizzato da una temperatura propria T costante. Per esempio [6, p. 568], nel caso della metrica di Schwarzschild a simmetria sferica non è più T ad essere costante, ma T g 00, nota come legge di Tolman. Il tensore energia-impulso non sarà più della forma (2.2) ma potrà essere comunque espresso a partire da grandezze locali: oltre alla metrica g µν e alla quadritemperatura β µ (eventualmente il potenziale chimico, che però non consideriamo, poiché soggetto alle condizione di essere costante [6]), vi saranno le loro derivate a tutti gli ordini nel punto dello spaziotempo in esame. Potremo dunque scrivere in generale che: T µν = T µν (g, β, g, β, 2 g, β,... ) (2.3)

15 2.1 Effetto della conservazione: caso particolare 12 La dipendenza di T µν dai suoi argomenti dipenderà dalla metrica assegnata e sarà in generale molto complessa. Tuttavia, è da aspettarsi che i contributi derivativi siano via via meno importanti al crescere dell ordine della derivata. Detto altrimenti, soprattutto nel caso di spazitempi di curvatura piccola rispetto alle scale di lunghezza microscopiche e termica, i termini dominanti saranno quelli lineari in β e g (come nell equazione (2.2) mentre quelli derivativi saranno gerarchicamente soppressi all aumentare sia dell ordine della derivata che della potenza a cui la derivata sarà innalzata. L obiettivo di questo capitolo è di identificare i termini oltre il principale che compaiono nella espressione del tensore energia-impulso fermandosi all ordine 2, ovvero includendo soltanto derivate seconde e termini quadratici nelle derivate prime, sia di β che di g, sempre nell ipotesi di equilibrio termodinamico espresso dall equazione di Killing. Si nota subito che non potranno comparire nel tensore energia-impulso termini con derivate prime della metrica poiché questi - per il principio di equivalenza - sono sono sempre annullabili utilizzando un opportuno sistema di riferimento. I tensori che possono essere formati con le derivate seconde sono il tensore di Riemann (1.9) e le sue contrazioni - ovvero il tensore di Ricci (1.14) e lo scalare di curvatura (1.15) moltiplicato per g µν e questi dovranno allora comparire linearmente nelle correzioni cercate. Per quanto riguarda i termini con il campo di Killing, abbiamo visto che la derivata covariante del tensore ϖ µν = ν β µ - che non è altro che la derivata prima di β - è legata al tensore di Riemann secondo la formula (1.19); ne segue che non esistono termini tensoriali nelle derivate covarianti seconde di β indipendenti dai tensori di curvatura. Invece, dovremo considerare termini costruiti con ϖ (o ϖ) quadratici. Ogni termine tensoriale che introdurremo sarà preceduto da un coefficiente funzione della temperatura locale, cioè di β 2. Quello che ci interessa è trovare dei vincoli che questi coefficienti devono rispettare perchè sia rispettata la conservazione (covariante) del tensore energia-impulso espressa dall equazione µ T µν = 0 (2.4) Imponendo questa equazione troveremo delle equazioni vincolari che i coefficienti così introdotti dovranno rispettare. Per comprendere meglio la natura e il significato fisico di queste equazioni, vediamo prima di tutto il caso più semplice, ovvero quello di un tensore energia-impulso della forma (2.2) e cosa otteniamo imponendo la relazione (2.4). 2.1 Effetto della conservazione: caso particolare Andiamo a vedere il caso più semplice, quello in cui T µν presenta solo termini non derivativi. Gli unici termini tensoriali che possiamo costruire sono proporzionali a β µ β ν e g µν. Ne segue che sarà: T µν = A(β 2 ) βµ β ν β 2 + B(β 2 )g µν (2.5)

16 2.1 Effetto della conservazione: caso particolare 13 dove A e B sono funzioni del modulo quadro della quadritemperatura β 2. Imponiamo ora µ T µν = 0 [ A(β µ T µν =β µ β ν 2 ] ) µ + A(β2 ) β ν β 2 β 2 µ β µ + A(β2 ) β µ β 2 µ β ν + g µν µ B(β 2 ) + B(β 2 ) µ g µν = 0 Il primo termine si annulla per la relazione trovata nel capitolo 1 (1.41). Il secondo è nullo a vista: data l antisimmetria del termine quadratico ϖ ν µ = ϖµ ν - equazione (1.18) - si ottiene immediatamente che µ β µ = ϖ µ µ = ϖ µ µ = 0. L ultimo termine è nullo dato che abbiamo richesto la compatibilità metrica (1.6). Dunque abbiamo µ T µν = A(β2 ) β µ β 2 µ β ν + g µν µ B(β 2 ) Il termine µ B(β 2 ) può essere riscritto come µ B(β 2 ) = B(β2 ) β 2 µ β 2 Per il primo termine, dato che vale la proprietà (1.34) otteniamo Abbiamo infine β µ µ β ν = 1 2 gνσ σ β 2 = 1 2 ν β 2 µ T µν = 1 A(β 2 ) ν β 2 + B(β2 ) ν β 2 = 0 2 β 2 β 2 Abbiamo perciò trovato una relazione vettoriale perché sia nulla deve valere [ 1 2 A(β 2 ] ) + B(β2 ) ν β 2 = 0, β 2 β 2 B(β 2 ) β 2 = A(β2 ) 2β 2 (2.6) Questa è in realtà una ben nota equazione della termodinamica. Infatti, uguagliando la ((2.5) alla forma (2.2) abbiamo A(β 2 ) = p + ρ e B(β 2 ) = p, e la equazione sopra diventa p β = ρ + p (2.7) 2 2β 2 Se ricordiamo che β 2 = 1 - e che quindi dβ 2 = d( 1 ) = 2dT T 2 T 2 T 3 p T µ T = ρ + p T - otteniamo infine (2.8)

17 2.2 Effetto della conservazione: caso generale 14 Abbiamo indicato che µ/t è tenuto costante perchè in effetti è questa la grandezza legata ad una corrente conservata che deve essere costante all equilibrio termodinamico generale [1]. L equazione (2.8) è in effetti equivalente alle relazioni di Gibbs-Duhem: p = s (2.9) T µ p = n (2.10) µ T dove s e n sono rispettivamente la densità di entropia e la densità numerica di particelle [6]. Ritroviamo dunque, con la condizione di conservazione, il noto legame tra densità di energia e pressione (a µ/t dato). Ritornando al nostro approccio iniziale, solo uno dei due coefficienti A e B è indipendente, o, in altre parole, la densità di energia è ricavabile dalla pressione facendo derivata della pressione rispetto alla temperatura. 2.2 Effetto della conservazione: caso generale Adesso scriveremo l equazione (3.24) aggiungendo al termine "ideale", tutti i termini possibili lineari nei tensori di curvatura e quadratici nelle derivate del vettore di Killing, come premesso. Scriveremo cioè:. T µν = T µν ideal + T µν ( β, R) = A(β 2 ) βµ β ν β 2 + B(β 2 )g µν + T µν ( β, R) (2.11) Termini di curvatura Iniziamo a vedere quali sono i termini prodotti dalle derivate della metrica. I tensori simmetrici che possiamo costruire a partire dallo scalare di curvatura R, dai vettori di Killing β µ e β ν e dal tensore della metrica g µν sono B 1 Rβ µ β ν (2.12) B 2 Rg µν (2.13) I termini che possiamo costruire con il tensore di Ricci, con le richieste fatte precedentemente, sono B 3 R µν (2.14) B 4 β ρ β σ R ρσ β µ β ν (2.15) B 5 β ρ β σ R ρσ g µν (2.16) B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ ) (2.17) Si vede bene che i termini (2.12) e (2.15) sono indipendenti in quanto, pur essendo gli indici liberi su due vettori di Killing (β µ β ν ), gli scalari a moltiplicare sono R

18 2.2 Effetto della conservazione: caso generale 15 e β ρ β σ R ρσ, i quali si ottengono dalla contrazione del tensore di Ricci R ρσ con due tensori indipendenti - nel caso dello scalare di curvatura con g ρσ, nel secondo caso con β ρ β σ. Lo stesso discorso vale per i termini (2.13) e (2.16). L unico termine non nullo con il tensore di Riemann, simmetrico ed indipendente da quelli già trovati è B 7 R µρνσ β ρ β σ (2.18) Il termine (2.18) è indipendente dal termine (2.14) perché nel primo caso abbiamo il tensore di Riemann con due indici contratti con il tensore β ρ β σ, mentre R µν è il risultato della contrazione del tensore di Riemann con il tensore metrico. Tutti gli scalari da B 1 a B 7 sono funzioni di β 2. Abbiamo omesso la dipendenza esplicita per non appesantire troppo la notazione Termini quadratici nei gradienti di β Consideriamo ora i termini possibili costruiti con le derivate del campo di Killing. Il tensore ϖ µν = ν β µ è antisimmetrico, per la proprietà (1.18), dunque può essere scomposto e riscritto come combinazione di due campi vettoriali spacelike, come abbiamo visto nella (1.23). Per definizione, (1.20) e (1.24), il termine derivativo ed il suo duale sono indipendenti: prendiamo questi per una descrizione equivalente del campo ϖ µν. Abbiamo visto che vale la relazione (1.19) tra ϖ ed R, dunque consideriamo termini derivativi al primo ordine del campo β, dato che termini di ordine successivo saranno dipendenti in forma dal tensore di Riemann, e dunque dai termini trovati nella sezione precedente. Utilizziamo i due tensori ϖ e ϖ per la costruzione dei termini quadratici, prenderemo infatti combinazioni di ϖ e ϖ di ordine 2 nelle derivate rispetto alle coordinate - ad esempio ϖϖ, ϖ ϖ e ϖ ϖ 1, mentre non combineremo ϖ con il tensore di Riemann, o sue contrazioni, dato che i termini che costituiscono il tensore energia-impulso si prendono al massimo di grado 2 nelle derivate rispetto alle coordinate. Ogni termine costruito con il tensore ϖ µν avrà perciò, a priori, un termine analogo costruito sostituendo a ϖ µν, ϖ µν. Gli scalari A 1,..., A 7, analogamente a prima, sono funzioni di β 2. I termini al secondo ordine nelle derivate, simmetrici ed indipendenti che si posso costruire utilizzando il tensore ϖ µν sono A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ (2.19) A 2 ϖ 2 β µ β ν (2.20) A 3 ϖ 2 g µν (2.21) A 4 ϖ µρ ϖρ ν (2.22) A 5 (ϖ µ σϖ σρ β ρ β ν + ϖ ν σϖ σρ β ρ β µ ) (2.23) Nuovamente vediamo che il termine (2.19) e il termine (2.22), che possiamo riscrivere come A 4 ϖ µρ ϖ σν g ρσ, sono indipendenti l uno dall altro, perché lo sono β µ β ν e g µν, 1 Esiste un unico termine possibile costruito con una sola ϖ: β ρ ϖ ρµ β ν + β ρ ϖ ρν β µ che però non consideriamo perché non rispetta l invarianza per inversione temporale.

19 2.2 Effetto della conservazione: caso generale 16 come detto precedentemente. Analogamente anche i termini (2.20) e (2.21) lo sono. Per quanto riguarda i termini costruiti con ϖ µν abbiamo solo A 6 β ρ β σ ϖ µρ ϖ νσ (2.24) A 7 ϖ µρ ϖ ρ ν (2.25) Come si vede, il termine (2.24) è l analogo del (2.19) e il (2.25) del (2.22). Non sono presenti termini del tipo ϖ 2, che sarebbero i corrispondenti analoghi dei termini (2.20) e (2.21). Questo perché, se svolgiamo esplicitamente il calcolo di ϖ 2 vediamo che è una combinazione lineare di ϖ 2, quindi può essere incluso nei termini già scritti. Vediamo infatti che ϖ 2 = ϖ µν ϖ µν = 1 4 Eµνρσ ϖ ρσ E µνλγ ϖ λγ (2.26) Sappiamo che, a meno di un fattore numerico, il prodotto E µνρσ E µνλγ è proporzionale al prodotto di delta di Kronecker dunque se sostituiamo nella (2.26) otteniamo E µνρσ E µνλγ (δ ρ λ δσ γ δ σ λδ ρ γ) (2.27) ϖ 2 ϖ 2 (2.28) A meno di un fattore numerico vediamo che ϖ 2 e ϖ 2 sono uguali, quindi, come detto precedentemente, non consideriamo i termini del tipo ϖ 2 g µν e ϖ 2 β µ β ν. Analogamente non si trova un termine indipendente costruito con ϖ che sia il corrispondente di (2.23). Cercando infatti un termine del tipo ϖ µ σ ϖ σρ β ρ β ν ed esplicitando i conti otteniamo una combinazione lineare di termini già trovati ϖ µ σ ϖ σρ β ρ β ν E µσγδ E σρɛκ ϖγδϖ ɛκ β ρ β ν (δ µ ρ δ γ ε δ δ κ δ µ ρ δ δ εδ γ κ + δ γ ρδ µ ε δ δ κ + δ γ ρδ δ εδ µ κ + δ δ ρδ µ ε δ γ κ δ δ ρδ γ ε δ µ κ)ϖ γδ ϖ εκ β ρ β ν = 2ϖ 2 β µ β ν + 4ϖ ρε ϖ εµ β ρ β ν (2.29) dunque non è altro che una combinazione lineare dei termini (1.21) e (1.24). A questo punto possiamo esplicitare la condizione µ T µν = 0 per trovare le equazioni che dovranno soddisfare i coefficienti A 1,..., A 7 e B 1,..., B 7.

20 17 Capitolo 3 Relazioni dei coefficienti del tensore energia-impulso L imposizione dell equazione di conservazione µ T µν = 0 genererà dei termini che risulteranno di ordine 1 e 3 nelle derivate (dove per ordine, ricordiamo si intende la somma dell ordine della derivata e della potenza a cui la derivata appare). Il termine principale del tensore energia-impulso nell eq. (2.11) produrrá la solita equazione di ordine 1 nelle derivate già vista nel capitolo 2. Siccome non vi saranno altri termini a modificarla, la condizione (2.6) continuerà ad essere valida. Nel primo paragrafo di questo capitolo analizzeremo il caso più generale, nei successivi studieremo invece due casi particolari in cui il il numero di variabili e di equazioni si riduce, semplificando il problema: tensore di Riemann nullo: R µνρσ = 0 da cui deriva che R µν = 0 e R = K = 0; vettore di Killing costante: µ β ν = ϖ νµ = 0. Per ogni termine in gioco, svolgeremo l operazione di derivazione µ e scriveremo il risultato. La relazione µ T µν = 0 è una relazione vettoriale, dato che rimane ν come indice libero; la tecnica che adotteremo sarà quella di ridurre tutta l espressione in componenti indipendenti con indice libero ν ed annullare ciascuna componente indipendentemente dalle altre. Nella trascrizione dei risultati si evidenzieranno perciò le componenti vettoriali; alla fine metteremo insieme tutti i coefficienti di una stessa componente e imponendo che le equazioni così trovate si debbano annullare tutte contemporaneamente troveremo i vincoli che devono rispettare A 1,..., A 7, B 1,..., B 7. Le componenti vettoriali indipendenti i cui coefficienti si dovranno complessivamente annullare risultano essere 9: ν β 2 ; β ν ; ν R; ν K; β α R αρ ϖ ρν ; β ρ ϖ ρµ R µν ; β λ ϖ σρ R σρλν ; β λ β σ β ρ ϖ µρ R µλσν ; β ρ ϖ σµ ϖ ρµ ϖ σν. β ν e ν β 2 sono indipendenti dato che risulta impossibile esprimere ν β 2 in funzione della sola componente vettoriale β ν, come si vede dalla (1.34). Le componenti ν R e ν K sono indipendenti per motivi già evidenziati nella sezione 1.2.1, quando si è mostrata l indipendenza tra (2.12) e (2.15). Possiamo riscrivere β α R αρ ϖ ρν come β α R αρ ϖ ρν = ν K β α β ρ ν R αρ β ρ R αρ ν β α

21 3.1 Termini quadratici nelle derivate 18 per la simmetria del tensore di Ricci (1.10) l ultimo termine del secondo membro e il termine al primo membro sono uguali. Dunque si ottiene β α R αρ ϖ ρν = 1 2 ν K βα β ρ 2 ν R αρ perciò può essere riscritta prendendo come indipendente la componente trovata β α β ρ ν R αρ, ma data l arbitrarietà e l equivalenza tra le due si prende come indipendente β α R αρ ϖ ρν. Il termine β ρ ϖ ρµ R µν è indipendente da β λ β σ β ρ ϖ µρ R µλσν per motivi già visti per spiegare l indipendenza tra (2.14) e (2.18). Anche il termine β λ ϖ σρ R σρλν è indipendente dagli altri termini per arbitrarietà sulla scelta della componente indipendente, come per β α R αρ ϖ ρν. L ultimo, β ρ ϖ σµ ϖ ρµ ϖ σµ, è l unico a presentare una forma con 3 ϖ. 3.1 Termini quadratici nelle derivate Per il calcolo della derivata covariante dei termini costruiti con i termini quadratici dobbiamo tenere presente la convenzione utilizzata per ϖ µν, per ϖ µν e per le loro derivate - equazioni (1.20), (1.24), (1.29), (1.30), (1.31), (1.32). I risultati sono riportati in una forma utile alla separazione successvia in componenti indipendenti. A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ µ (A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ ) = 1 2 (A 1ϖ 2 + K 2ϖ µρ ϖ λµ β λ β ρ A 1 β 2 ) ν β 2 + A 1 β ρ ϖ σµ ϖ ρµ ϖ σν + A 1 β λ β σ β ρ ϖ µρ R µλσν (3.1) A 2 ϖ 2 β µ β ν Per questo conto si utilizza la compatibilità metrica per ottenere la proprietà µ ϖ 2 = µ (ϖ αβ ϖ αβ ) = 2ϖ αβ µ ϖ αβ per ottenere µ (A 2 ϖ 2 β µ β ν ) = A 2 2 ϖ2 ν β 2 (3.2) A 3 ϖ 2 g µν µ (A 3 ϖ 2 g µν ) = A 3 β 2 ϖ2 ν β 2 + 2A 3 β λ ϖ σρ R σρλν (3.3) A 4 ϖ µρ ϖ ν ρ µ (A 4 ϖ µρ ϖ ρ ν ) = 2β λ ϖ λµ ϖ µρ ϖ ρν A 4 β 2 A 4β α R αρ ϖ ρν + A 4 β α ϖ ρµ R µαρν (3.4)

22 3.1 Termini quadratici nelle derivate 19 Vediamo che qui compare un termine del tipo β α ϖ ρµ R µαρν, che è differente dal termine che compare nell equazione (3.3) β λ ϖ σρ R σρλν, infatti l ordine degli indici contratti è differente. Utilizzando le proprietà del tensore di Riemann si vede però che non sono indipendenti. Per la prima identità di Bianchi abbiamo che dunque R µρνσ = R µνσρ R µσρν R µρνσ ϖ σµ β ρ = R µνσρ ϖ σµ β ρ R µσρν ϖ σµ β ρ cambiando nome agli indici del primo termine (σ µ, µ σ) e a quelli del secondo (σ ρ, ρ σ) e otteniamo da cui otteniamo Dunque nel nostro caso perciò l espressione precedente diventa R µρνσ ϖ σµ β ρ = R µρνσ ϖ σµ β ρ + R µρνσ ϖ ρµ β σ R µρνσ ϖ σµ β ρ = 1 2 Rµρνσ ϖ ρµ β σ β α ϖ ρµ R µαρν = 1 2 β ρϖ µα R µαρν (3.5) µ (A 4 ϖ µρ ϖ ρ ν ) = 2β λ ϖ λµ ϖ µρ ϖ ρν A 4 β 2 A 4β α R αρ ϖ ρν A 4β ρ ϖ µα R µαρν (3.6) A 5 (ϖ µ σϖ σρ β ρ β ν + ϖ ν σϖ σρ β ρ β µ ) µ [A 5 (ϖ µ σϖ σρ β ρ β ν + ϖ ν σϖ σρ β ρ β µ )] =[2β λ β ρ ϖ µσ ϖ σρ ϖ λµ A 5 β 2 + (β ρβ α ϖ µσ R µαρσ + ϖ µ σϖ σρ ϖ ρµ + β α β ρ ϖ ρσ R ασ )A 5 ]β ν (3.7) Il termine β ρ β α ϖ µσ R µαρσ è nullo per le proprietà di simmetria e antisimmetria del tensore di Riemann, infatti β ρ β α ϖ µσ R µαρσ = β ρ β α ϖ µσ R ρσµα = β ρ β α ϖ µσ R σραµ = β ρ β α ϖ σµ R σραµ Notiamo che la grandezza D = β λ β ρ ϖ µσ ϖ σρ ϖ λµ è nulla, infatti β λ ϖ λµ β ρ ϖ σρ ϖ µσ = β λ ϖ λµ β ρ ϖ ρσ ϖ σµ = β λ ϖ λµ β ρ ϖ ρσ ϖ µσ = 0 essendo β λ ϖ λµ β ρ ϖ ρσ simmetrico rispetto allo scambio µ σ mentre ϖ µσ è antisimmetrico. Abbiamo infine µ [A 5 (ϖ µ σϖ σρ β ρ β ν + ϖ ν σϖ σρ β ρ β µ )] = (ϖ µ σϖ σρ ϖ ρµ + β α β ρ ϖ ρσ R ασ )A 5 β ν (3.8)

23 3.2 Termini di curvatura 20 A 6 β ρ β σ ϖ µρ ϖ νσ Nel calcolo esplicito della derivata covariante di questo termine otteniamo, utilizzando le proprietà trovate (1.31) e (1.32) µ (A 6 β ρ β σ ϖ µρ ϖ νσ ) =2β ρ β σ β λ ϖ λµ ϖ µρ ϖ νρ A 6 β 2 +A 6 [(β σ ϖ ρµ + β ρ ϖ σ µ ) ϖ µρ ϖ νρ 1 2 βρ β σ β α ϖ µρ Rνσαµ ] (3.9) Esplicitando i termini duali - del termine quadratico e del tensore di Riemann - e svolgendo esplicitamente il prodotto tra i tensori di Levi-Civita utilizzando la formula δα ρ δ ρ β δµ ρ δ ρ ν E αβµν E ρσγδ = δ ρσγδ αβµν = δα σ δβ σ δµ σ δ σ ν δα γ δ γ β δµ γ δν γ (3.10) δ α δ δβ δ δµ δ δν δ otteniamo infine µ (A 6 β ρ β σ ϖ µρ ϖ νσ ) =[( β2 ϖ 2 + 2β ρ β σ ϖ ρδ ϖ δσ ) A 6 2 β (5 2 4 ϖ2 + K 2 )A 6] ν β 2 +[(ϖ δ ρ ϖ ργ ϖ γδ + β ρ β σ ϖ ρδ R σ δ )A 6 ]β ν +(2β 2 A 6 β 2 + 5A 6)β µ ϖ ρµ ϖ ρσ ϖ σν + β2 2 A 6β ρ ϖ δγ R δγρν +A 6 β ρ β σ β γ ϖ σδ R γδρν + A 6 β 2 β ρ R ρσ ϖ σν (3.11) in cui compaiono termini vettoriali già presenti anche nei conti degli altri termini. A 7 ϖ µρ ϖ ν ρ Analogamente al caso precedente, procedendo con il conto esplicito abbiamo µ (A 7 ϖ µρ ϖ ν ρ ) = 2 A 7 β 2 βλ ϖ λµ ϖ µρ ϖ ρ ν A 7 2 β λ ϖ µρ Rρναµ (3.12) svolgendo esplicitamente il prodotto tra i tensori di Levi-Civita (3.10) otteniamo infine µ (A 7 ϖ µρ ϖ ν ρ ) = 4 A 7 β 2 β λϖ µγ ϖ λµ ϖ γν +ϖ 2 A 7 β 2 ν β 2 + A 7 2 β αϖ κσ R σκαν +A 7 β α R ασ ϖ σν 3.2 Termini di curvatura (3.13) Nel calcolo esplicito di questi termini dobbiamo utilizzare le regole trovate nel capitolo 1 sulla derivata di Lie del tensore di Ricci (1.48), dello scalare di curvatura (1.50) e dello scalare K (1.55).

24 3.2 Termini di curvatura 21 B 1 Rβ µ β ν B 2 Rg µν B 3 R µν µ (B 1 Rβ µ β ν ) = B 1R 2 ν β 2 (3.14) µ (B 2 Rg µν ) = R B 2 β 2 ν β 2 + B 2 ν R (3.15) µ (B 3 R µν ) = B 3 β 2 Rµν µ β 2 + B 3 µ R µν (3.16) Utilizzando la proprietà (1.34) e l identità di Bianchi scritta nella forma µ (R µν 1 2 gµν R) = 0 (3.17) otteniamo infine µ (B 3 R µν ) = 2 B 3 β 2 βρ ϖ ρµ R µν + B 3 2 ν R (3.18) B 4 β ρ β σ R ρσ β µ β ν µ (B 4 Kβ µ β ν ) = B 4K 2 ν β 2 (3.19) B 5 β ρ β σ R ρσ g µν B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ ) µ (B 5 Kg µν ) = K B 5 β 2 ν β 2 + B 5 ν K (3.20) µ [B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ )] = 2β σ β ρ ϖ ρµ R µσ B 6 β 2 βν 2B 6 β σ R µσ ϖ µν (3.21) B 7 β ρ β σ R µρνσ µ (B 7 β ρ β σ R µρνσ ) = 2 B 7 β 2 β ρβ σ β λ ϖ µλ R µρσν B 7β σ ϖ µρ R µρσν + B 7 ν K B 7 β ρ R ρσ ϖ σν + B 7 β ρ ϖ σρ R σν (3.22)

25 3.3 Equazioni vincolari Equazioni vincolari Procediamo alla separazione in termini indipendenti. Per ogni componente indipendente troviamo una combinazione lineare dei coefficienti A 1,..., A 7, B 1,..., B 7 e delle loro derivate prime rispetto a β 2 ; annullando queste relazioni otteniamo le condizioni sui coefficienti stessi. I coefficienti che moltiplicano le componenti che abbiamo elencato all inizio del capitolo - ν β 2, β ν, ν R, ν K, β α R αρ ϖ ρν, β ρ ϖ ρµ R µν, β λ ϖ σρ R σρλν, β λ β σ β ρ ϖ µρ R µλσν, β ρ ϖ σµ ϖ ρµ ϖ σν - devono annullarsi tutti contemporaneamente, data l indipendenza; abbiamo dunque un sistema di 9 equazioni in 14 incognite. Chiamando ϖ µρ ϖ λµ β λ β ρ = Σ ϖ µ σϖ σρ ϖ ρµ = Γ (3.23) β α β ρ ϖ ρσ R ασ = Λ ed utilizzando la notazione A i β 2 = A i, otteniamo il sistema di equazioni A 1 2 (ϖ2 + K) ΣA 1 A ( 2 2 ϖ2 + A 3ϖ 2 + 2Σ β2 ϖ 2 ) A 6 2 ( 5 4 ϖ2 + K ) A 6 + ϖ 2 A 7 B 1R + RB 2 B 4K + KB 5 = (3.24a) (Γ + Λ)A 5 + (Γ + Λ)A 6 + 2ΛB 6 = 0 (3.24b) B 2 + B 3 2 = 0 (3.24c) B 5 + B 7 = 0 (3.24d) A 4 + β 2 A 6 + A 7 2B 6 B 7 = 0 2B 3 B 7 = 0 (3.24e) (3.24f) 2A 3 + A β2 A 6 A B 7 2 = 0 (3.24g) A 1 + A 6 + 2B 7 = 0 (3.24h) A 1 2A 4 + 2β 2 A 6 + 5A 6 4A 7 = 0 (3.24i) Come si vede abbiamo ottenuto 9 equazioni differenziali alle derivate prime rispetto a β 2 - almeno a prima vista - in 14 coefficienti. Questo ci dice che, in generale, non tutti i termini che abbiamo aggiunto al tensore energia-impulso sono termodinamicamente indipendenti e che in effetti solo 5 lo sono. Basta perciò avere 5 coefficienti perché anche gli altri siano definiti. Si vede inoltre che la quarta equazione della (3.24) è la nota condizione per cui il tensore di Einstein è covariantemente conservato, ovvero: µ (R µν 1 ) 2 gµν R = 0 (3.25) Questa condizione era ovviamente prevedibile dato che l unica condizione per la quale il tensore energia-impulso sia conservato e allo stesso tempo abbia un termine proporzionale al tensore di Ricci è che questo sia in realtà proporzionale al tensore

26 3.3 Equazioni vincolari 23 di Einstein, condizione notoriamente utilizzata per dedurre le equazioni di campo della relatività generale. Analizziamo adesso i due casi particolari di cui all inizio del presente capitolo Tensori di curvatura nulli Se R µνρσ = 0, anche il tensore di Ricci R µν, lo scalare di curvatura R e lo scalare K = β ρ β σ R ρσ sono nulli. Per questo motivo tutti i termini con i coefficienti B 1,..., B 7 si annullano. Anche il numero delle componenti indipendenti diminuisce: non dobbiamo più considerare le equazioni che derivano dall annullare i coefficienti delle componenti ν R, ν K, β α R αρ ϖ ρµ, β ρ ϖ ρµ R µν, β λ ϖ σρ R σρλν e β λ β σ β ρ ϖ µρ R µλσν. Le equazioni che rimangono sono dunque: ϖ 2 ( 2 A 1 CA 1 ϖ2 2 A 2 + ϖ 2 A 3 + 2C β2 ϖ 2 ) A 6 5ϖ2 2 4 A 6 + ϖ 2 A 7 = 0 (3.26) ΓA 5 + ΓA 6 = 0 (3.27) A 1 2A 4 + 2β 2 A 6 + 5A 6 4A 7 = 0 (3.28) Le equazioni trovate possono essere ridotte nella forma più semplice A 6 = A 5 A 7 = A 1 4 A 4 2 β2 2 A 5 5A 4 5 A 2 = 3A A 3 A 4 2C (A ϖ A 5) (3.29) Come si vede sono 3 equazioni differenziali alle derivate prime rispetto a β 2 in 7 variabili: dunque, semplificando le nostre ipotesi annullando il tensore di Riemann, rimangono solo 4 incognite indipendenti Vettore β costante Analizziamo un altro caso particolare, quello in cui si annullino tutte le derivate covarianti di β µ nulle, µ β ν = ϖ νµ = 0. In questo caso le uniche componenti indipendenti non nulle che rimangono sono: β ν, ν R, ν K. Tutte le funzioni A 1,..., A 7 si annullano, dunque le equazioni che rimangono sono B 2 = B 3 2 (3.30) B 5 = B 7 In questo caso vediamo che, di 7 incognite, soltanto 5 sono termodinamicamente indipendenti.

27 24 Conclusioni In questo lavoro di tesi abbiamo studiato le possibili forme di un tensore energiaimpulso conservato in uno spaziotempo curvo con metrica assegnata sotto l ipotesi di equilibrio termodinamico globale, cioè l esistenza di un quadrivettore temperatura di tipo tempo di Killing. A priori, il tensore-energia impulso locale può dipendere da derivate del campo di quadritemperatura e della metrica di qualunque ordine e in qualsiasi potenza. In questo lavoro, ci siamo limitati a considerare termini aggiuntivi, oltre la forma cosiddetta ideale, di ordine 2, cioè al più quadratici nelle derivate covarianti del campo di Killing e lineari nei tensori di curvatura. Abbiamo ottenuto delle relazioni che i coefficienti moltiplicativi dei suddetti termini devono soddisfare. È così emerso che, mentre i coefficienti indipendenti oltre quelli "ideali" di ordine più basso sono 14, da considerarsi tutti funzioni termodinamiche della temperatura locale T = 1/ β 2, l equazione di conservazione µ T µν = 0 produce 9 condizioni e dunque i coefficienti indipendenti si riducono a 5. Nei due casi particolari esaminati, il risultato finale varia in maniera poco significativa: nel caso in cui si imponga che il tensore di Riemann sia nullo, si hanno 7 coefficienti di cui solo 4 sono indipendenti; nel secondo caso, con derivata covariante di β nulla, si ha che il numero di coefficienti si riduce a 7 e il numero di variabili indipendenti rimane 5, come nel caso generale. Questo si ha a causa di un minor numero di vincoli sui coefficienti, dovuto alla nuova condizione di variazioni di β nulle.

28 25 Appendice Si riportano di seguito i calcoli necessari per ottenere i risultati esposti in questa tesi. Si svolge esplicitamente l operazione µ per tutti i termini trovati, eccetto che per quelli già svolti nelle sezioni 3.1 e 3.2. A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ µ (A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ ) = ϖ µρ ϖ νσ β ρ β σ A 1 β 2 µβ 2 + A 1 {ϖ µρ ϖ νσ β σ ϖ ρµ + ϖ µρ ϖ νσ β ρ ϖ σµ Utilizzando le proprietà (1.29) e (1.30) otteniamo µ (A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ ) +β ρ β σ ϖ νσ µ ϖ µρ + β ρ β σ ϖ µρ µ ϖ νσ } = 2ϖ µρ ϖ νσ ϖ λµ β ρ β σ β λ A 1 β 2 + A 1{ϖ 2 β σ ϖ σν β ρ ϖ µρ ϖ σµ ϖ νσ β ρ β σ ϖ νσ β λ R λρ + β ρ β σ ϖ µρ β λ R λσν µ } = 2ϖ µρ ϖ νσ ϖ λµ β ρ β σ β λ A 1 β + A 1{ϖ 2 β 2 σ ϖ σν + β ρ ϖ µρ ϖ σµ ϖ νσ + Kβ σ ϖ σν β ρ β σ β λ ϖ µρ R Raccogliendo i termini simili abbiamo [ ] 1 µ (A 1 ϖ µρ β ρ ϖ νσ β σ ) = 2 (ϖ2 + K) ϖ µρ ϖ λµ β λ A 1 β ρ ν β 2 β 2 A 2 ϖ 2 β µ β ν + A 1 (β ρ ϖ µρ ϖ σµ ϖ νσ β ρ β σ β λ ϖ µρ R ν λµσ ) µ (A 2 ϖ 2 β µ β ν ) = ϖ 2 β µ β ν A 2 β µβ ϖ 2 A 2 β ν µ β µ + A 2 ϖ 2 β µ µ β ν + A 2 β µ β ν µ ϖ 2 Il primo termine è nullo per la proprietà (1.41), mentre il secondo per la proprietà di Killing (1.8). Mostriamo che anche β µ β ν µ ϖ 2 = 0. µ ϖ 2 = 2ϖ σρ µ ϖ σρ = 2ϖ σρ β λ R λ µσρ (3.31) Se moltiplichiamo questo risultato per β µ vediamo subito che si annulla, dato che R λ µσρ, che è antisimmetrico nello scambio (λ, µ) viene moltiplicato per un tensore simmetrico β µ β λ. Perciò abbiamo µ (A 2 ϖ 2 β µ β ν ) = A 2ϖ 2 ν β 2 2 λµσ ν }

29 26 A 3 ϖ 2 g µν µ (A 3 ϖ 2 g µν ) = ϖ 2 A 3 β 2 ν β 2 + 2β λ ϖ σρ R σρλµ dove abbiamo utilizzato la (3.31) per il secondo termine. A 7 ϖ µρ ϖ ν ρ µ (A 7 ϖ µρ ϖ ρ ν ) = ϖ µρ ϖ ρ ν A 7 β µβ 2 + A 2 7 { ϖ ρ ν µ ϖ µρ + ϖ µρ µ ϖ ρ ν } = = 2β λ ϖ λµ ϖ µρ ϖ ν ρ A 7 β 2 A 7 2 β α ϖ µρ Rρναµ Analizzando ciascun termine utilizzando nuovamente la regola del prodotto tra due tensori di Levi-Civita (3.10) otteniamo 2β λ ϖ λµ ϖ µρ ϖ ν ρ A 7 β 2 = 4β λ ϖ λµ µγϖ γν + ϖ 2 ν β 2 A 7 2 β α ϖ Rρναµ µρ = A 7 2 ϖ κσβ α R σκαν + A 7 β α ϖ δν Rδ α Rimettendole insieme otteniamo µ (A 7 ϖ µρ ϖ ν ρ ) = 4 A 7 β 2 β λϖ µγ ϖ λµ ϖ γν +ϖ 2 A 7 β 2 ν β 2 + A 7 2 β αϖ κσ R σκαν +A 7 β α R ασ ϖ σν B 1 Rβ µ β ν µ (B 1 Rβ µ β ν ) = Rβ µ β ν B 1 β 2 µβ 2 + B 1 β µ β ν µ R + B 1 Rβ ν µ β µ + B 1 Rβ µ µ β ν Il primo termine è nullo per (1.41). Il secondo termine è nullo per la (1.50). Il terzo termine è nullo per la (1.8). B 4 β ρ β σ R ρσ β µ β ν µ (B 1 Rβ µ β ν ) = B 1R 2 ν β 2 µ (B 4 Kβ µ β ν ) = Kβ µ β ν B 4 β 2 µβ 2 + B 4 β µ β ν µ K + B 4 Kβ ν µ β µ + B 4 Kβ µ µ β ν Come già detto, il primo termine è nullo per la (1.41); il secondo termine per la (1.55); il terzo per (1.8) µ (B 4 Kβ µ β ν ) = B 4K 2 ν β 2

30 27 B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ ) µ [B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ )] = (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ ) µ β 2 B 6 β 2 +B 6 {β σ β ν µ R µσ + R µσ β ν ϖ σµ + R µσ β σ ϖ ν µ + β σ β µ µ R νσ +R νσ β µ ϖ σµ + R νσ β σ ϖ µ µ} Il termine R µσ β ν ϖ σµ è nullo perché prodotto di un tensore simmetrico per uno antisimmetrico. Il termine β σ β µ µ R νσ può essere riscritto utilizzando la (1.48), per cui β ρ ρ R µν = R µρ ρ ξ ν + R ρν ρ ξ µ Se inserisco questo risultato nell equazione precedente otteniamo µ [B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ )] = 2R µσ β σ β ν β ρ B 6 ϖ ρµ β + B 1 6{ 2 2 βν β σ σ R +R µσ β σ ϖ ν µ + β σ R νρ ϖ σ ρ + β σ R ρσ ϖ ν ρ + R νσ β µ ϖ σµ } I termini β σ R νρ ϖ σ ρ e R νσ β µ ϖ σµ sono uguali solo con segno invertito, a causa dell antisimmetria di ϖ µν, dunque si annullano. Invece i termini R µσ β σ ϖ ν µ e β σ R ρσ ϖ ν ρ sono uguali e si sommano. Otteniamo infine µ [B 6 (R µσ β σ β ν + R νσ β σ β µ )] = 2R µσ β σ β ν β ρ B 6 ϖ ρµ β 2B 6β 2 σ R µσ ϖµ ν B 7 β ρ β σ R µρνσ µ (B 7 β ρ β σ R µρνσ ) = β ρ β σ R µρνσ B 7 β 2 µβ 2 +B 7 {β σ R µρνσ ϖ ρµ +β ρ R µρνσ ϖ σµ +β ρ β σ µ R µρνσ } I due termini β σ R µρνσ ϖ ρµ e β ρ R µρνσ ϖ σµ rispettano la relazione trovata (3.5). Perciò µ (B 7 β ρ β σ R µρνσ ) = β ρ β σ R µρνσ B [ ] 7 3 β µβ 2 + B β σr µρνσ ϖ ρµ + β ρ β σ µ R µρνσ Ora analizziamo il termine β ρ β σ µ R µρνσ. Sfruttando la seconda identità di Bianchi abbiamo µ R µρνσ = ν R µρσ µ σ R µρ µ ν = ν R ρσ σ R ρν Perciò β ρ β σ µ R µρνσ = β ρ β σ ν R ρσ β ρ β σ σ R ρν Il primo termine del secondo membro si può riscrivere come β ρ β σ ν R ρσ = ν K β ρ R ρσ ϖ ν σ β σ R ρσ ϖ ν ρ mentre il secondo termine del secondo membro lo riscrivo β ρ β σ σ R ρν = β ρ (R ρσ σ β ν + R σν σ β ρ )