Lezione 13. Equazione di Dirac

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ŌΓώγ Αντωνόπουλος
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1 Lezione 3 Equazione di Dirac

2 Equazione di Schrödinger col principio di equivalenza E = p2 2m ; E i h t ; p i h i h t ψ = i h 2 2m ψ = h2 2m 2 ψ Conservazione della corrente t ρ + J =

3 Moltiplichiamo l equazione di Schrödinger per ψ e poi ne sottraiamo il complesso coniugato. ψ i h ] t + h2 ψ = ; ψ i h ] t + h2 ψ = Dividendo per i h Soluzione 2m 2 i h ψ t ψ + ψ t ] ψ t + h2 2m 2m 2 ψ 2 ψ ψ 2 ψ ] = ψ ψ i h 2m ψ ψ ψ ψ ] = ρ = ψ 2 ; J = i h 2m ψr, t = Ne ik r ωt ρ = ψ 2 = N 2 ; ψ ψ ψ ψ ] J = i h 2m ik ik] N 2 = hk m N 2

4 Equazione di Klein-Gordon h 2 2 t 2 + h2 2 c 2 E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 i h t 2 ψ i h 2 c 2 ψ = m 2 c 4 ψ ] ψ = m 2 c 4 ψ ; 2 t c 2 ] ψ = m2 h 2 c4 ψ Moltiplichiamo per iψ e consideriamo la complessa coniugata ] iψ 2 t c 2 ψ = m2 h 2 c4 ψψ i Sottraendo i iψ 2 t c 2 ψ 2 2 t2ψ ψ t 2ψ ] ] ψ = m2 h 2 c4 ψψ i iψ 2 c 2 ψ + iψ 2 c 2 ψ =

5 iψ t ψ iψ t ψ ] + i ψ c 2 ψ ψ c 2 ψ ] t ρ = i ψ t ψ ψ t ] ψ Soluzione di onda piana 2 t c 2 ; J = i ψ c 2 ψ ψ c 2 ψ ] ψr, t = Ne ik r ωt ] ω 2 k 2 c 2 = m2 c 4 Ne ik r ωt = m2 h 2 c4 Ne ik r ωt h 2 ; h 2 ω 2 h 2 k 2 c 2 = m 2 c 4 E = hω ; p = hk

6 ρ = in e ik r ωt iωne ik r ωt ine ik r ωt iωn e ik r ωt = 2ω N 2 = 2 Ē h N 2 J = 2k N 2 = 2 N 2 p h E = ± p 2 c 2 + m 2 c 4 Densità di probabilità negative

7 Equazione di Dirac Eψ = i h ψ = Hψ ; H = α i h c + βmc2 t α α, α 2, α 3 e β costanti da determinare. Per la particella libera E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 = α pc + βmc 2] α pc + βmc 2] = α pα pc 2 + βmc 2 α pc + α pcβmc 2 + β 2 m 2 c 4 = = i 3 i= α i p i 3 j= α j p j c 2 + mc 3 β 3 i= α i p i α i p i c 2 + α i α j + α j α i p i p j c 2 i j α i p i + mc 3 3 j= α j p j β + β 2 m 2 c 4 +mc 3 i βα i + α i βp i + β 2 m 2 c 4 = i p 2 i c2 + m 2 c 4

8 Proprietà di α e β α 2 i = ; α iα j + α j α i = ; α i β + βα i = ; β 2 = Non commutano, sono matrici. 2 Sono hermitiane perché H è hermitiano α i = α i, β = β 3 Dato che α 2 i = α iα i = I e ββ = I, sono unitarie, hanno autovalori ±. 4 Dato che le tracce sono nulle hanno dimensioni pari. T rab] = T rba] T rα i ] = T rα i ββ] = T rβα i β] = T rβ βα i ] = T r β 2 α i ] = T r α i ] = 5 Per matrici 2 2 non c è nessuna β che anticommuti con α,2,3. Si deve passare alle dimensioni successive 4 4.

9 Equazione di Dirac i h t ψ = i hcα ψ + βmc2 ψ ; ψ = Continuità dell equazione di Dirac i h ] t ψ = ψ i hcα ψ + βmc 2 ψ ] ψ ψ ψ 2 ψ 3 ψ 4 i h t ] ψ ψ = i hc ψ α + mc 2 ψ β ] ψ Sottraendo i h ψ t ψ + t ψ ψ ] = i h c ψ α ψ + ψ αψ ] + mc 2 ψ βψ ψ βψ ] i h t ψ ψ = i h c ψ αψ ] ρ = ψ 2 ; J = cψ αψ

10 Unità naturali h = c = Eψ = α p + βm ψ i ψ = iα + βm ψ t i + iα βm ] ψ = t α e β non hanno espressione univoca. Scelta comune. σ I α = β = α σ I 2 i = β2 = σ = σ 2 = Moltiplico a sinistra per β. i i σ 3 = iβ t + iβα β2 m ] ψ = Definiamo le 4 componenti di un quadrivettore γ β, βα] γ, γ ] I =

11 Forma covariante dell equazione di Dirac iγ t + iγ m] ψ = γ i = βα i = σi σ i γ = I I Indici i, j, k =, 2, 3 µ, ν =,, 2, 3 Proprietà delle matrici γ γ ν γ µ = γ µ γ ν ν µ γ i 2 = I γ 2 = I γ µ = γ γ µ γ γ i = γ i γ = γ γ 5 = iγ γ γ 2 γ 3 γ 5 2 = I γ 5 = γ 5 γ 5 γ µ = γ µ γ 5 γ 5 = I I

12 Prodotto scalare A µ A, A A µ A, A A µ B µ µ=,,2,3 A µ B µ = A B A B Invarianti relativistici Equazione di Dirac x µ t, r x µ x µ = t 2 r 2 p µ E, p p µ p µ = E 2 p 2 = m 2 x µ t, iγ µ m x µ ] p µ ψ = i t, i Hamiltoniana NON commuta con L 2 e L z ma commuta con J 2 e J z dove J = L + σ/2

13 Soluzione di onde piane Sistema di riferimento a riposo p =. i t ψ = βmψ ; β = I I ; ψ = φr, tu u = ; u 2 = ; u 3 = ; u 4 = βu,2 = u,2 ; βu 3,4 = u 3,4 i t φr, tu,2 = mφr, tu,2 ; φr, t = e imt ; ψ,2 = e imt u,2 i t φr, tu 3,4 = mφr, tu 3,4 ; φr, t = e imt ; ψ 3,4 = e imt u 3,4 Autovalori dell hamiltoniana sono ±m. Energie negative!!!

14 Invariante relativistico mt = p ν x ν = E t p r Le soluzioni dell equazione si modificano in un sistema di riferimento in moto ψ,2 = e ip r Et u,2 ; ψ 3,4 = e ip r Et u 3,4 i ψ + iα ψ βmψ = t ψ = e ip r Et u = e ip r Et φ χ E α p βm u = I I E σ σ p I I m ] φ χ = Eφ σ pχ mφ = Eχ σ pφ + mχ = φ = σ p E m χ χ = σ p E + m φ E mφ = σ pχ E + mχ = σ pφ

15 det E m σ p σ p E + m = E me + m σ p2 = E 2 m 2 p 2 = E = ± p 2 + m 2 Energie positive E = E φ = σ p E m χ Regime non relativistico E m quindi φ χ Scegliamo φ = φ = Soluzioni ad energia positiva ψ + = Ne ip r Et u + = Ne ip r Et φ σ p E+m φ ]

16 Energie negative E = E χ = σ p E + m φ = σ p E + m φ Regime non relativistico E m quindi χ φ Scegliamo χ = χ = Soluzioni ad energia negativa ψ = Ne ip r+ E t u = Ne ip r+ E t σ p E +m χ χ ] N costante di normalizzazione. Per ψ ψ = N = m + E 2 E

17 Spinori in onde piane u = p z E +m p x +ip y E +m ; u 2 = p x ip y E +m p z E +m u 3 = p z E +m p x+ip y E +m ; u 4 = p x ip y E +m p z E +m

18 Antimateria

19 Antiparticelle Proprietà che NON variano massa, spin, isospin, vita media Proprietà uguali in valore assoluto e segno opposto carica elettrica, 3 a componente isospin, momento magnetico, n o leptonico, n o barionico, stranezza, charm, beauty Fermioni identificati con una barra p. Tranne leptoni e ±, µ ±, τ ±.

20 Equazione di Klein-Gordon per densità di carica e 2 t c 2 m 2 Carica unitaria con segno -. ] ψ = ψ = Ne ip r Et ρe = e2e N 2 Je = e2p N 2 Cambio carica ρe + = e2e N 2 Je + = e2p N 2 Posso ottenere il cambio carica anche cambiando E E e p p. Nella soluzione ottengo lo stesso risultato cambiando t t, che cambia p p. ψ = Ne i p r E t Interpetazione di Feynmann-Stückelbeg Le antiparticelle sono particelle che simuovono all indietro nel tempo.

21 Diagrammi di Feynmann γ t e - γ e - g e - e - W,Z spazio Particelle scambiate virtuali. Non soddisfano E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. I punti che uniscono 3 o più linee sono vertici. Costante di accoppiamento dell interazione. Propagatore /q 2 ω 2 + M 2 c 2.

22 Mie convenzioni e - e + e - e - γ = γ e - e + e - e -

23 Bibliografia Approfondimenti degli argomenti presentati possono essere trovati nei cap., 2 e 3 del libro J. D. Bjorken and S. D. Drell Relativistic Quantum Mechanics Mc Graw - Hill, New York 964

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