Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces"

Transcript

1 1 Gemetry f Parallelzable Manflds n the Cntext f Generalzed Lagrange Spaces arxv: v1 [gr-qc] 16 Apr 2007 M. I. Wanas, N. L. Yussef and A. M. Sd-Ahmed Department f Astrnmy, Faculty f Scence, Car Unversty Department f Mathematcs, Faculty f Scence, Car Unversty Abstract. In ths paper, we deal wth a generalzatn f the gemetry f parallelzable manflds, r the abslute parallelsm (AP-) gemetry, n the cntext f generalzed Lagrange spaces. All gemetrc bjects defned n ths gemetry are nt nly functns f the pstnal argument x, but als depend n the drectnal argument y. In ther wrds, nstead f dealng wth gemetrc bjects defned n the manfld M, as n the case f classcal AP-gemetry, we are dealng wth gemetrc bjects n the pullback bundle π 1 (TM) (the pullback f the tangent bundle TM by π : TM M). Many new gemetrc bjects, whch have n cunterpart n the classcal AP-gemetry, emerge n ths mre general cntext. We refer t such a gemetry as generalzed AP-gemetry (GAP-gemetry). In analgy t AP-gemetry, we defne a d-cnnectn n π 1 (TM) havng remarkable prpertes, whch we call the canncal d-cnnectn, n terms f the unque trsn-free Remannan d-cnnectn. In addtn t these tw d-cnnectns, tw mre d-cnnectns are defned, the dual and the symmetrc d-cnnectns. Our space, therefre, admts twelve curvature tensrs (crrespndng t the fur defned d-cnnectns), three f whch vansh dentcally. Smple frmulae fr the nne nn-vanshng curvatures tensrs are btaned, n terms f the trsn tensrs f the canncal d-cnnectn. The dfferent W-tensrs admtted by the space are als calculated. All cntractns f the h- and v-curvature tensrs and the W-tensrs are derved. Secnd rank symmetrc and skew-symmetrc tensrs, whch prve useful n physcal applcatns, are sngled ut. Ths paper, hwever, s nt an end n tself, but rather the begnnng f a research drectn. The physcal nterpretatn f the gemetrc bjects n the GAP-space that have n cunterpart n the classcal AP-space wll be further nvestgated n frthcmng papers. 1 Keywrds: Parallelzable manfld, Generalzed Lagrange space, AP-gemetry, GAPgemetry, Canncal d-cnnectn, W-tensr AMS Subject Classfcatn. 53B40, 53A40, 53B50. 1 Ths paper was presented n The Internatnal Cnference n Fnsler Extensns f Relatvty Thery held at Car, Egypt, Nvember 4-10, 2006.

2 2 1. Intrductn The gemetry f parallelzable manflds r the abslute parallelsm gemetry (AP-gemetry) ([5], [10], [14], [15]) has many advantages n cmparsn t Remannan gemetry. Unlke Remannan gemetry, whch has ten degrees f freedm (crrespndng t the metrc cmpnents fr n = 4), AP-gemetry has sxteen degrees f freedm (crrespndng t the number f cmpnents f the fur vectr felds defnng the parallelzatn). Ths makes AP-gemetry a ptental canddate fr descrbng physcal phenmena ther than gravty. Mrever, as ppsed t Remannan gemetry, whch admts nly ne symmetrc lnear cnnectn, AP-gemetry admts at least fur natural (bult-n) lnear cnnectns, tw f whch are nn-symmetrc and three f whch have nn-vanshng curvature tensrs. Last, but nt least, asscated wth an AP-space, there s a Remannan structure defned n a natural way. Thus, APgemetry cntans wthn ts gemetrcal structure all the mathematcal machnary f Remannan gemetry. Accrdngly, a cmparsn between the results btaned n the cntext f AP-gemetry and general relatvty, whch s based n Remannan gemetry, can be carred ut. In ths paper, we study AP-gemetry n the wder cntext f a generalzed Lagrange space ([7], [9], [11], [12]). All gemetrc bjects defned n ths space are nt nly functns f the pstnal argument x, but als depend n the drectnal argument y. In ther wrds, nstead f dealng wth gemetrc bjects defned n the manfld M, as n the case f classcal AP-space, we are dealng wth gemetrc bjects n the pullback bundle π 1 (TM) (the pullback f the tangent bundle TM by the prjectn π : TM M) [1]. Many new gemetrc bjects, whch have n cunterpart n the classcal AP-space, emerge n ths mre general cntext. We refer t such a space as a d-parallelzable manfld r a generalzed abslute parallelsm space (GAP-space). The paper s rganzed n the fllwng manner. In sectn 2, fllwng the ntrductn, we gve a bref accunt f the basc cncepts and defntns that wll be needed n the sequel, ntrducng the ntn f a nn-lnear cnnectn Nµ α. In sectn 3, we cnsder an n-dmensnal d-parallelzable manfld M ([2], [11]) n whch we defne a metrc n terms f the n ndependent π-vectr felds λ defnng the parallelzatn n π 1 (TM). Thus, ur parallelzable manfld becmes a generalzed Lagrange space, whch s a generalzatn f the classcal AP-space. We then defne the canncal d-cnnectn D, relatve t whch the h- and v-cvarant dervatves f the vectr felds λ vansh. We end ths sectn wth a cmparsn between the classcal AP-space and the GAP-space. In sectn 4, cmmutatn frmulae are recalled and sme denttes btaned. We then ntrduce, n analgy t the AP-space, tw ther d-cnnectns: the dual d-cnnectn and the symmetrc d-cnnectn. The nne nnvanshng curvature tensrs, crrespndng t the dual, symmetrc and Remannan d-cnnectns are then calculated, expressed n terms f the trsn tensrs f the canncal d-cnnectn. In sectn 5, a summary f the fundamental symmetrc and skew symmetrc secnd rank tensrs s gven, tgether wth the symmetrc secnd rank tensrs f zer trace. In sectn 6, all pssble cntractns f the h- and v- curvature tensrs are btaned and the cntracted curvature tensrs are expressed n terms f the fundamental tensrs gven n sectn 5. In sectn 7, we study the dfferent W-tensrs crrespndng t the dfferent d-cnnectns defned n the space, agan

3 3 expressed n terms f the trsn tensrs f the canncal d-cnnectn. Cntractns f the dfferent W-tensrs and the relatns between them are then derved. Fnally, we end ths paper by sme cncludng remarks. 2. Fundamental Prelmnares Let M be a dfferental manfld f dmensn n f class C. Let π : TM M be ts tangent bundle. If (U, x µ ) s a lcal chart n M, then (π 1 (U), (x µ, y µ )) s the crrespndng lcal chart n TM. The crdnate transfrmatn law n TM s gven by: x µ = x µ (x ν ), y µ = p µ ν yν, where p µ ν = xµ and det(p µ x ν ν ) 0. Defntn 2.1. A nn-lnear cnnectn N n TM s a system f n 2 functns Nβ α(x, y) defned n every lcal chart π 1 (U) f TM whch have the transfrmatn law where p ǫ β σ = pǫ β x σ = 2 x ǫ x β x σ. N α β = pα α p β β N α β + p α ǫ p ǫ β σ yσ, (2.1) The nn-lnear cnnectn N leads t the drect sum decmpstn T u (TM) = H u (TM) V u (TM), u T M = TM \ {0}, where H u (TM) s the hrzntal space at u asscated wth N supplementary t the vertcal space V u (TM). If δ µ := µ Nµ α α, where µ :=, x µ µ :=, then ( y µ µ ) s the natural bass f V u (TM) and (δ µ ) s the natural bass f H u (TM) adapted t N. Defntn 2.2. A dstngushed cnnectn (d-cnnectn) n M s a trplet D = (Nµ α, Γ α µν, Cµν), α where Nµ α (x, y) s a nn-lnear cnnectn n TM and Γ α µν(x, y) and Cµν α (x, y) transfrm accrdng t the fllwng laws: Γ α µ ν = pα α pµ µ p ν ν Γα µν + pα ǫ pǫ µ ν, (2.2) C α µ ν = pα α pµ µ p ν ν Cα µν. (2.3) In ther wrds, Γ α µν transfrm as the ceffcents f a lnear cnnectn, whereas Cα µν transfrm as the cmpnents f a tensr. Defntn 2.3. The hrzntal (h-) and vertcal (v-) cvarant dervatves wth respect t the d-cnnectn D (f a tensr feld A α µ) are defned respectvely by: A α µ ν := δ νa α µ + Aǫ µ Γα ǫν Aα ǫ Γǫ µν ; (2.4) A α µ ν := ν A α µ + Aǫ µ Cα ǫν Aα ǫ Cǫ µν. (2.5) Defntn 2.4. A symmetrc and nn-degenerate tensr feld g µν (x, y) f type (0, 2) s called a generalzed Lagrange metrc n the manfld M. The par (M, g) s called a generalzed Lagrange space.

4 4 Defntn 2.5. Let (M, g) be a generalzed Lagrange space equpped wth a nn-lnear cnnectn N α µ. Then a d -cnnectn D = (N α µ, Γ α µ,ν, C α µν) s sad t be metrcal wth respect t g f g µν α = 0, g µν α = 0. (2.6) The fllwng remarkable result was prved by R. Mrn [8]. It guarantees the exstence f a unque trsn-free metrcal d-cnnectn n any generalzed Lagrange space equpped wth a nn-lnear cnnectn. Mre precsely: Therem 2.6. Let (M, g) be a generalzed Lagrange space. Let N α µ be a gven nnlnear cnnectn n TM. Then there exsts a unque metrcal d-cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, C α µν ) such that Λ α µν := Γ α µν Γ α νµ = 0 and T α µν := C α µν C α νµ = 0. Ths d-cnnectn s gven by Nµ α and the generalzed Chrstffel symbls: Γ α µν = 1 2 gαǫ (δ µ g νǫ + δ ν g µǫ δ ǫ g µν ), (2.7) C α µν = 1 2 gαǫ ( µ g νǫ + ν g µǫ ǫ g µν ). (2.8) Ths cnnectn wll be referred t as the Remannan d-cnnectn. 3. d-parallelzable manflds (GAP-spaces) The Remannan d-cnnectn mentned n Therem 2.6 plays the key rle n ur generalzatn f the AP-space, whch, as wll be revealed, appears natural. Hwever, t s t be nted that the clse resemblance f the tw spaces s deceptve; as they are smlar n frm. Hwever, the extra degrees f freedm n the generalzed AP-space makes t rcher n cntent and dfferent n ts gemetrc structure (see Remark 3.6). We start wth the cncept f d-parallelzable manflds. Defntn 3.1. An n-dmensnal manfld M s called d-parallelzable, r generalzed abslute parallelsm space (GAP-space), f the pull-back bundle π 1 (TM) admts n glbal lnearly ndependent sectns (π-vectr felds) λ(x, y), = 1,..., n. If λ = ( λ α ), α = 1,..., n, then λ α λ β = δβ α, where ( λ α ) dentes the nverse f the matrx ( λ α ). λ α λ α = δ j, (3.1) j Ensten summatn cnventn s appled n bth Latn (mesh) ndces and Greek (wrld) ndces, where all Latn ndces are wrtten n a lwer pstn. In the sequel, we wll smply use the symbl λ (wthut a mesh ndex) t dente any ne f the vectr felds λ ( = 1,..., n) and n mst cases, when mesh ndces appear they wll be n pars, meanng summatn. We shall ften use the expressn GAP-space (resp. GAP-gemetry) nstead f d-parallelzable manfld (resp. gemetry f d-parallelzable manflds) fr ts typgraphcal smplcty.

5 5 Therem 3.2. A GAP-space s a generalzed Lagrange space. In fact, the cvarant tensr feld g µν (x, y) f rder 2 gven by g µν (x, y) := λ µ λ ν, (3.2) defnes a metrc n the pull-back bundle π 1 (TM) wth nverse gven by g µν (x, y) = λ µ λ ν (3.3) Assume that M s a GAP-space equpped wth a nn-lnear cnnectn Nµ α. By Therem 2.6, there exsts n (M, g) a unque trsn-free metrcal d-cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, C α µν ) (the Remannan d-cnnectn). We defne anther d-cnnectn D = (N α µ, Γ α µν, C α µν) n terms f D by: Γ α µν := Γ α µν + λ α λ µ ν, (3.4) Cµν α := C α µν + λ α λ µ ν. (3.5) Here, and dente the h- and v-cvarant dervatves wth respect t the Remannan d-cnnectn D. If and dente the h- and v-cvarant dervatves wth respect t the d-cnnectn D, then λ α µ = 0, λ α µ = 0. (3.6) Ths can be shwn as fllws: λ α µ = δ µ λ α + λ ǫ Γ α ǫµ = δ µλ α + λ ǫ ( Γ α ǫµ + λ α λ j j ǫ µ ) = (δ µ λ α + λ ǫ Γ α ǫµ) λ α j µ ( λ ǫ λ ǫ ) = 0. In exactly the same way, t can be shwn that j λ α µ = 0. Hence, we btan the fllwng Therem 3.3. Let (M, λ(x, y)) be a GAP-space equpped wth a nn-lnear cnnectn Nµ α. There exsts a unque d-cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, Cµν), α such that λ α µ = λ α µ = 0. Ths cnnectn s gven by Nβ α, (3.4) and (3.5). Cnsequently, D s metrcal: g µν σ = g µν σ = 0. Ths cnnectn wll be referred t as the canncal d-cnnectn. It s t be nted that relatns (3.6) are n accrdance wth the classcal APgemetry n whch the cvarant dervatve f the vectr felds λ wth respect t the canncal cnnectn Γ α µν = λ α ( ν λ µ ) vanshes [15]. Therem 3.4. Let (M, λ(x, y)) be a d-parallelzable manfld equpped wth a nnlnear cnnectn Nµ α. The canncal d-cnnectn D = (Nα µ, Γα µν, Cα µν ) s explctly expressed n terms f λ n the frm Γ α µν = λ α (δ ν λ µ ), Cµν α = λ α ( ν λ µ ). (3.7) Prf. Snce λ α ν = 0, we have δ ν λ α = λ ǫ Γ α ǫν. Multplyng bth sdes by λ µ, takng nt accunt the fact that λ α λ µ = δµ α, we get Γα µν = λ µ (δ ν λ α ) = λ α (δ ν λ µ ). The prf f the secnd relatn s exactly smlar and we mt t. It s t be nted that the cmpnents f the canncal d-cnnectn are smlar n frm t the cmpnents f the canncal cnnectn n the classcal AP-cntext [15], ntng that ν s replaced by δ ν (fr the h-cunterpart) and by ν (fr the v-cunterpart) respectvely (See Table 1). The abve expressns fr the canncal cnnectn seem therefre lke a natural generalzatn f the classcal AP case. By (3.4) and (3.5), n vew f the abve therem, we have the fllwng

6 6 Crllary 3.5. The Remannan d-cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, C α µν ) s explctely expressed n terms f λ n the frm Γ α µν = λ α (δ ν λ µ λ µ ν ), C α µν = λ α ( ν λ µ λ µ ν ). (3.8) Remark 3.6. As a result f the dependence f λ n the velcty vectr y, the n 3 functns λ α ( ν λ µ ), as ppsed t the classcal AP-space, d nt transfrm as the ceffcents f a lnear cnnectn, but transfrm accrdng t the rule λ α ( ν λ µ ) = p α α pµ µ p ν ν λ α ( ν λ µ ) + p α ǫ pǫ µ ν + pα α pµ µ p ν ν ǫ C α yǫ µν. (3.9) Smlarly, t can be shwn that, n general, tensrs n the cntext f the classcal AP-space d nt transfrm lke tensrs n the wder cntext f the GAP-space; ther dependence n the velcty vectr y spls ther tensr character. In ther wrds, tensrs n the classcal AP-cntext d nt necessarly behave lke tensrs when they are regarded as functns f pstn x and velcty vectr y. Ths means that thugh the classcal AP-space and the GAP-space appear smlar n frm, they dffer radcally n ther gemetrc structures. We nw ntrduce sme tensrs that wll prve useful later n. Let γµν α := λ α λ µ ν = Γ α µν Γ α µν, Gα µν := λ α λ µ ν = Cµν α C α µν. (3.10) In analgy t the AP-space, we refer t γ α µν and G α µν as the h- and v-cntrtn tensrs respectvely. Let Λ α µν := Γα µν Γα νµ = γα µν γα νµ. (3.11) be the trsn tensr f the canncal cnnectn Γ α µν and Ω α µν := γµν α + γνµ. α (3.12) Smlarly, let Tµν α := Cµν α Cνµ α = G α µν G α νµ (3.13) be what we may call the trsn tensr f Cµν α and D α µν := Gα µν + Gα νµ. (3.14) Nw, f γ σµν := g ǫσ γ ǫ µν and G σµν := g ǫσ G ǫ µν, then γ σµν and G σµν are skew symmetrc n the frst par f ndces. Ths, n turn, mples that Hence, f then γǫν ǫ = Gǫ ǫν = 0. (3.15) β µ := γ ǫ µǫ, B µ := G ǫ µǫ, Λ ǫ µǫ = γ ǫ µǫ = β µ, T ǫ µǫ = G ǫ µǫ = B µ. (3.16) Fnally, t can be shwn, n analgy t the classcal AP-space [3], that the cntrtn tensrs γ µνσ and G µνσ can be expressed n terms f the trsn tensrs n the frm γ µνσ = 1 2 (Λ µνσ + Λ σνµ + Λ νσµ ) (3.17) G µνσ = 1 2 (T µνσ + T σνµ + T νσµ ), (3.18)

7 7 where Λ µνσ := g ǫµ Λ ǫ νσ and T µνσ := g ǫµ Tνσ ǫ. It s clear by (3.11), (3.13), (3.17) and (3.18) that the trsn tensrs vansh f and nly f the cntrtn tensrs vansh. The next table gves a cmparsn between the fundamental gemetrc bjects n the classcal AP-gemetry and the GAP-gemetry. Smlar bjects f the tw spaces wll be dented by the same symbl. As prevusly mentned, h stands fr hrzntal whereas v stands fr vertcal. Table 1: Cmparsn between the classcal AP-gemetry and the GAP-gemetry Classcal AP-gemetry GAP-gemetry Buldng blcks λ α (x) λ α (x, y) Metrc g µν (x) = λ µ (x) λ ν (x) g µν (x, y) = λ µ (x, y) λ ν (x, y) Remannan cnnectn Γ α µν = 1 2 gαǫ { µ g νǫ + ν g µǫ + ǫ g µν } Γ α µν = 1 2 gαǫ {δ µ g νǫ + δ ν g µǫ + δ ǫ g µν } (h) C α µν = 1 2 gαǫ { µ g νǫ + ν g µǫ + ǫ g µν } (v) Canncal cnnectn Γ α µν = λ α ( ν λ µ ) Γ α µν = λ α (δ ν λ µ ) (h-cunterpart) Cµν α = λ α ( ν λ µ ) (v-cunterpart) AP-cndtn λ α µ = 0 λ α µ = 0 (h-cvarant dervatve) λ α µ = 0 (v-cvarant dervatve) Trsn Λ α µν = Γα µν Γα νµ Λ α µν = Γα µν Γα νµ (h-cunterpart) T α µν = C α µν C α νµ (v-cunterpart) Cntrsn γ α µν = Γα µν Γ α µν γ α µν = Γα µν Γ α νµ (h-cunterpart) G α µν = Cα µν C α µν (v-cunterpart) Basc vectr β µ = Λ α µα = γ α µα β µ = Λ α µα = γ α µα (h-cunterpart) B µ = T α µα = Gα µα (v-cunterpart)

8 8 4. Curvature tensrs n Generalzed AP-space Owng t the exstence f tw types f cvarant dervatves wth respect t the canncal cnnectn D, we have essentally three cmmutatn frmulae and cnsequently three curvature tensrs. Lemma 4.1. Let [δ σ, δ µ ] := δ σ δ µ δ µ δ σ and let [δ σ, µ ] be smlarly defned. Then [δ σ, δ µ ] = R ǫ σµ ǫ, [δ σ, µ ] = ( µ N ǫ σ ) ǫ, (4.1) where R α σµ := δ µn α σ δ σn α µ s the curvature tensr f the nn-lnear cnnectn Nα µ. Therem 4.2. The three cmmutatn frmulae f cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, Cµν) α are gven by (a) λ α µσ λ α σµ = λ ǫ R α ǫµσ + λα ǫ Λ ǫ σµ + λα ǫ R ǫ σµ (b) λ α µσ λ α σµ = λ ǫ S α ǫµσ + λα ǫ T ǫ σµ (c) λ α µ σ λ α σ µ = λ ǫ P α ǫµσ + λ α ǫ C ǫ σµ + λ α ǫ P ǫ σµ, λ α crrespndng t the canncal where Rνµσ α : = (δ σγ α νµ δ µγ α νσ ) + (Γǫ νµ Γα ǫσ Γǫ νσ Γα ǫµ ) + Lα νµσ, (h-curvature) Sνµσ α : = σ Cνµ α µ Cνσ α + Cǫ νµ Cα ǫσ Cǫ νσ Cα ǫµ, (v-curvature) Pνµσ α : = Cνµ σ α µ Γ α νσ PσµC ǫ νǫ, α (hv-curvature) gven that L α νµσ := C α νǫ R ǫ µσ and P ν σµ := µ N ν σ Γ ν µσ. A drect cnsequence f the abve cmmutatn frmulae, tgether wth the fact that λ α µ = λ α µ = 0, s the fllwng Crllary 4.3. The three curvature tensrs Rνµσ α, Sα νµσ and P νµσ α cnnectn D = (Nµ α, Γα µν, Cα µν ) vansh dentcally. f the canncal It s t be nted that the abve result s a natural generalzatn f the crrespndng result f the classcal AP-gemetry [15]. The Banch denttes [4] fr the canncal d-cnnectn (N α µ, Γα µν, Cα µν ) gves Prpstn 4.4. The fllwng denttes hld (a) S ν,µ,σ Λ α νµ σ = S ν,µ,σ(λ α µǫ Λǫ νσ + Lα µνσ ) (b) S ν,µ,σ T α νµ σ = S ν,µ,σ(t α µǫ T ǫ νσ ), where S ν,µ,σ dentes a cyclc permutatn n ν, µ, σ. Crllary 4.5. The fllwng denttes hld: (a) Λ ǫ µν ǫ = β µ ν β ν µ + β ǫ Λ ǫ µν + S ǫ,ν,µl ǫ ǫνµ. (b) T ǫ µν ǫ = B µ ν B ν µ + B ǫ T ǫ µν,

9 9 Prf. Bth denttes fllw by cntractng the ndces α and σ n the denttes (a) and (b) f Prpstn 4.4, takng nt accunt that β µ = Λ ǫ µǫ, B µ = T ǫ µǫ and L α µνσ = Lα µσν. In addtn t the Remannan and the cannncal d-cnnectns, ur space admts at least tw ther natural d-cnnectns. In analgy t the classcal AP-space, we defne the dual d-cnnectn D = (N α µ, Γ α µν, C α µν) by and the symmetrc d cnnectn D = (N α µ, Γ α µν, Ĉα µν ) by Γ α µν := Γα νµ, Cα µν := C α νµ (4.2) Γ α µν := 1 2 (Γα µν + Γα νµ ), Ĉα µν := 1 2 (Cα µν + Cα νµ ). (4.3) Cvarant dfferentatn wth respect t Γ α µν and Γ α µν wll be dented by and respectvely. Nw, crresndng t each f the fur d-cnnectns there are three curvature tensrs. Therefre, we have a ttal f twelve curvature tensrs three f whch, as already mentned, vansh dentcally. The vanshng f the curvature tensrs f the canncal d-cnnectn allws us t express, n a relatvely cmpact frm, sx f the ther curvature tensrs (the h- and v-curvature tensrs) crrespndng t the Remannan, symmetrc and the dual d-cnnectns. These curvature tensrs are expressed n terms f the trsn tensrs Λ α µν, Tµν α and ther cvarant dervatves wth respect t the canncal d-cnnectn, tgether wth the curvature Rµν α f the nnlnear cnnectn Nµ α. The ther three hv-curvature tensrs are calculated, thugh ther expressns are mre cmplcated. Ths s t be expected snce the expressn btaned fr the hv-curvature tensr f the canncal d-cnnectn lacks the symmetry prpertes enjyed by the h- and v-curvature tensrs. Therem 4.6. The h-, v- and hv-curvature tensrs f the dual d-cnnectn D = (Nµ α, Γ α µν, C µν α ) can be expressed n the frm: (a) R α µσν = Λα σν µ + Cα ǫµ Rǫ σν + Lα σνµ + Lα νµσ. (b) S α µσν = T α σν µ. (c) P α νµσ = T α µν σ Λα σν µ + T ǫ µνλ α σǫ T α µǫλ ǫ σν Λ α ǫνc ǫ σµ P ǫ σµt α ǫν. The crrespndng curvature tensrs f the symmetrc d-cnnectn D = (N α µ, Γ α µν, Ĉα µν ) can be expressed n the frm: (d) R α µσν = 1 2 (Λα µν σ Λα µσ ν ) (Λǫ µν Λα σǫ Λǫ µσ Λα νǫ ) (Λǫ σν Λα ǫµ ) (T α ǫµ Rǫ σν ). (e) Ŝα µσν = 1 2 (T α µν σ T α µσ ν ) (T ǫ µνt α σǫ T ǫ µσt α νǫ) (T ǫ σνt α ǫµ). (f) P α νµσ = 1 2 (Λα µν σ Λα σν µ ) Λǫ σµt α ǫν 1 2 Λα ǫνc ǫ σµ S µ,ν,σλ ǫ µνλ α σǫ 1 2 P ǫ σµt α ǫν.

10 10 The crrespndng curvature tensrs f the Remannan d-cnnectn D = (N α µ, Γ α µν, C α µν ) can be expressed n the frm (g) R α µσν = γα µν σ γα µσ ν + γǫ µσ γα ǫν γǫ µν γα ǫσ + γα µǫ Λǫ νσ + Gα µǫ Rǫ νσ. (h) S α µσν = Gα µν σ Gα µσ ν + Gǫ µσ Gα ǫν Gǫ µν Gα ǫσ + Gα µǫ T ǫ νσ. () P α νµσ = u γ α νσ G α νµ σ + (Gǫ νµ C ǫ νµ)γ α ǫσ (G α ǫµ C α ǫµ)γ ǫ νσ + P ǫ σµg α νǫ. Prf. We prve (a) and (c) nly. The prf f the ther parts s smlar. (a) We have (c) We have R α µσν = δ ν Γ α µσ δ σ Γ α µν + Γ ǫ µσ Γ α ǫν Γ ǫ µν Γ α ǫσ + C α µǫ Rǫ σν = δ ν Γ α σµ δ σ Γ α νµ + Γ ǫ σµγ α νǫ Γ ǫ νµγ α σǫ + C α ǫµr ǫ σν = {δ ν Γ α σµ + Γǫ σµ (Λα νǫ + Γα ǫν )} {δ σγ α νµ + Γǫ νµ (Λα σǫ + Γα ǫσ )} + C α ǫµ Rǫ σν = (δ ν Γ α σµ + Γ ǫ σµγ α ǫν) (δ σ Γ α νµ + Γ ǫ νµγ α ǫσ) (Γ ǫ σµλ α ǫν + Γ ǫ νµλ α σǫ) + C α ǫµr ǫ σν = (R α σµν Cα σǫ Rǫ µν + δ µγ α σν + Γǫ σν Γα ǫµ ) (Rα νµσ Cα νǫ Rǫ µσ + δ µ Γ α νσ + Γǫ νσ Γα ǫµ ) (Γǫ σµ Λα ǫν + Γǫ νµ Λα σǫ ) + Cα ǫµ Rǫ σν. = δ µ Λ α σν + Γ α ǫµλ ǫ σν Γ ǫ σµλ α ǫν Γ ǫ νµλ α σǫ + C α ǫµr ǫ σν + C α σǫr ǫ νµ + C α νǫr ǫ µσ = Λ α σν µ + Cα ǫµ Rǫ σν + Lα σνµ + Lα νµσ. P α νµσ = C α µν e σ µ Γ α σν ( µ N ǫ σ Γ ǫ σµ)c α ǫν = C α νµ σ + (C α µν e σ Cα νµ σ) µ Λ α σν µ Γ α νσ µ N ǫ σ(t α ǫν + C α νǫ) + (Λ ǫ σµ + Γǫ µσ )(T α ǫν + Cα νǫ ) = P α νµσ ( µ N ǫ σ Γǫ µσ )T α ǫν µ Λ α σν + Λǫ σµ Cα ǫν + (Cα µν e σ Cα νµ σ ) = (C α µν e σ Cα νµ σ) + Λ ǫ σµc α ǫν µ Λ α σν P ǫ σµt α ǫν = T α µν σ + Cǫ µν Λα σǫ Cα µǫ Λǫ σν µ Λ α σν P ǫ σµ T α ǫν = T α µν σ µ Λ α σν + (T ǫ µν + C ǫ νµ)λ α σǫ (T α µǫ + C α ǫµ)λ ǫ σν P ǫ σµt α ǫν = T α µν σ Λα σν µ + T ǫ µν Λα σǫ T α µǫ Λǫ σν Λα ǫν Cǫ σµ P ǫ σµ T α ǫν. 5. Fundamental secnd rank tensrs Due t the mprtance f secnd rder symmetrc and skew-symmetrc tensrs n physcal applcatns, we here lst such tensrs n Table 2 belw. We regard these tensrs as fundamental snce ther cunterparts n the classcal AP-cntext play a key rle n physcal applcatns. Mrever, n the AP-gemetry, mst secnd rank tensrs whch have physcal sgnfcance can be expressed as a lnear cmbnatn f these fundamental tensrs. The Table s cnstructed as smlar as pssble t

11 11 that gven by Mkhal (cf. [5], Table 2), t facltate cmparsn wth the case f the classcal AP-gemetry whch has many physcal applcatns [14]. Crrespndng hrzntal and vertcal tensrs are dented by the same symbl wth the vertcal tensrs barred. It s t be nted that all vertcal tensrs have n cunterpart n the classcal AP-cntext. Table 2: Summary f the fundamental symmetrc and skew-symmetrc secnd rank tensrs Hrzntal Vertcal Skew-Symmetrc Symmetrc Skew-Symmetrc Symmetrc ξ µν := γ µν α α øξ µν := G µν α α γ µν := β α γ µν α øγ µν := B α G µν α η µν := β ǫ Λ ǫ µν φ µν := β ǫ Ω ǫ µν øη µν := B ǫ T ǫ µν øφ µν := B ǫ D ǫ µν χ µν := Λ α µν α ψ µν := Ω ǫ µν ǫ øχ µν := T α µν α øψ µν := D α µν α ǫ µν := 1 2 (β µ ν β ν µ ) θ µν := 1 2 (β µ ν + β ν µ ) øǫ µν := 1 2 (B µ ν B ν µ ) øθ µν := 1 2 (B µ ν + B ν µ ) k µν := γ ǫ αµ γα νǫ γǫ µα γα ǫν h µν := γ ǫ αµ γα νǫ + γǫ µα γα ǫν øk µν := G ǫ αµ Gα νǫ Gǫ µα Gα ǫν øh µν := G ǫ αµ Gα νǫ + Gǫ µα Gα ǫν σ µν := γ ǫ αµ γα ǫν øσ µν := G ǫ αµ Gα ǫν ω µν := γ ǫ µαγ α νǫ øω µν := G ǫ µαg α νǫ α µν := β µ β ν øα µν := B µ B ν Due t the metrcty cndtn n Therem 3.3, ne can use the metrc tensr g µν and ts nverse g µν t perfrm the peratns f lwerng and rasng tensr ndces under the h- and v- cvarant dervatves relatve t the canncal d-cnnectn. Thus, cntractn wth the metrc tensr f the abve fundamental tensrs gves the fllwng table f scalars:

12 12 Table 3: Summary f the fundamental scalars Hrzntal α := β µ β µ θ := β µ µ φ := β ǫ Ω ǫµ µ ψ := Ω αµ µ α ω := γ ǫµ α γ α µǫ σ := γ ǫ α µ γ α ǫµ h := 2γ αµ ǫ γ ǫ αµ Vertcal øα := B µ B µ øθ := B µ µ øφ := B ǫ D ǫµ µ øψ := D αµ µ α øω := G ǫµ α G α µǫ øσ := G ǫ α µ G α ǫµ øh := 2G αµ ǫ G ǫ αµ In physcal applcatns, secnd rder symmetrc tensrs f zer trace have specal mprtance. Fr example, n the case f electrmagnetsm, the tensr characterzng the electr-magnetc energy s a secnd rder symmetrc tensr havng zer trace. S t s f nterest t search fr such tensrs. The Table belw gves sme f the secnd rank tensrs f zer trace. Table 4: Summary f the fundamental tensrs f zer trace Hrzntal Vertcal φ µν + 2α µν øφ µν + 2ᾱ µν ψ µν + 2θ µν øψ µν + 2øθ µν h µν + 2ω µν øh µν + 2øω µν 1 2 (φ µν ψ µν ) + θ µν α µν 1 2 g µνβ α 1 e α 2 (øφ µν øψ µν ) + øθ µν øα µν 1 2 g µνb α α e We nw cnsder sme useful secnd rank tensrs whch are nt expressble n terms f the fundamental tensrs appearng n Table 2. Unlke the tensrs f Table 2, sme f the tensrs t be defned belw have n hrzntal and vertcal cunterparts. T ths end, let L µν := L α αµν = C α αǫr ǫ µν, M µν := L α µαν = C α µǫ R ǫ αν, N µν := C α ǫµ R ǫ αν, F µν := C α ǫµ R ǫ αν. Then, clearly T µν := M µν N µν = T α µǫ R ǫ αν, G µν := M µν F µν = G α µǫ R ǫ αν, G µν T µν = G α ǫµ R ǫ αν. Fnally, let T := g µν T µν and G := g µν G µν. By the abve, we have the fllwng: Symmetrc secnd rank tensrs: M (µν), N (µν), F (µν). Skew-symmetrc secnd rank tensrs: M [µν], N [µν], F [µν], L µν.

13 13 6. Cntracted curvatures and curvature scalars It may be cnvenent, fr physcal reasns, t cnsder secnd rank tensrs derved frm the curvature tensrs by cntractns. It s als f nterest t reduce the number f these tensrs t a mnmum whch s fundamental (cf. Prpstns 6.1 and 6.2). Cntractng the ndces α and µ n the expressns btaned fr the h- and v- curvature tensrs n Therem 4.6, takng nt accunt Crllary 4.5, we btan Prpstn 6.1. Let R σν := R ασν α, Rσν := R ασν α and R σν := R α ασν expressns fr S σν, Ŝσν and S σν. Then, we have wth smlar (a) R σν = β σ ν β ν σ + β ǫ Λ ǫ σν + B ǫrσν ǫ, (b) S σν = B σ ν B ν σ + B ǫ Tσν ǫ, (c) R σν = 1 R 2 σν, (d) Ŝσν = 1 S 2 σν, (e) R σν = S σν = 0. Prpstn 6.2. Let R µσ := R µσα α, Rµσ := R µσα α and R µσ := R α µσα expressns fr S µσ, Ŝµσ and S µσ. Then, we have wth smlar (a) R µσ = β σ µ + CǫµR α σα ǫ + L α σαµ + L α αµσ, (b) S µσ = B σ µ, (c) R µσ = 1 R 2 µσ + 1{β 4 ǫλ ǫ σµ + Λǫ ασ Λα µǫ }, (d) Ŝµσ = 1 S 2 µσ + 1{B 4 ǫtσµ ǫ + T ασ ǫ T µǫ α }, (e) R µσ = β µ σ γµσ α α + β ǫγµσ ǫ γµǫγ α σα ǫ + G α µǫrασ, ǫ (f) S µσ := S α µσα = B µ σ G α µσ α + B ǫg ǫ µσ Gα µǫ Gǫ σα. Prpstn 6.3. The fllwng hlds. (a) R [µσ] = 1 {β 2 σ µ β µ σ } + CǫαR ǫ µσ α + C(ασ) ǫ Rα ǫµ C(αµ) ǫ Rα ǫσ, (b) R (µσ) = 1{β 2 σ µ + β µ σ + Tαµ ǫ Rα σǫ + T ασ ǫ Rα µǫ }, (c) S [µσ] = 1{B 2 σ µ B µ σ }, (d) S (µσ) = 1{B 2 σ µ + B µ σ }, (e) R [µσ] = 1 R 2 [µσ] + 1 β 4 ǫ Λ ǫ σµ, (f) R (µσ) = 1 R 2 (µσ) Λǫ ασ Λ α µǫ, (g) Ŝ[µσ] = 1 S 2 [µσ] + 1 B 4 ǫ Tσµ, ǫ

14 14 (h) Ŝ(µσ) = 1 2 S (µσ) T ǫ ασ T α µǫ, () R [µσ] = 1 2 {Lα αµσ + C α σǫ R ǫ αµ C α µǫ R ǫ ασ}, (j) R (µσ) = 1 2 {(β µ σ + β σ µ ) Ω α µσ α + β ǫ Ω ǫ µσ } γα µǫ γǫ σα {Gα µǫ Rǫ ασ + Gα σǫ Rǫ αµ }, (k) S [µσ] = 0, (l) S (µσ) = 1 2 {(B µ σ + B σ µ ) D α µσ α + B ǫ D ǫ µσ } Gα µǫ Gǫ σα. Crllary 6.4. The fllwng hlds: (a) R σ σ := g µσ Rµσ = β σ σ + T ǫσ α R α ǫσ, (b) S σ σ := gµσ Sµσ = B σ σ, (c) R σ σ := g µσ Rµσ = 1 2 {βσ σ + T ǫσ α R α ǫσ} Λǫσ α Λ α ǫσ, (d) Ŝσ σ := g µσ Ŝ µσ = 1 2 Bσ σ T ǫσ α T α ǫσ, (e) R σ σ := g µσ R µσ = β σ σ 1 2 Ωασ σ α β α Ω ασ σ γ ασ ǫ γ ǫ σα + Gασ ǫ R ǫ ασ, (f) S σ σ := g µσ S µσ = B σ σ 1 2 Dασ σ α B α D ασ σ G ασ ǫ G ǫ σα. We nw apply a dfferent methd fr calculatng bth R µσ and S µσ, nw expressed n terms f the cvarant dervatve f the cntrsn tensrs wth respect t the Remannan d-cnnectn. Then we btan Prpstn 6.5. The Rcc tensrs R µσ and S µσ can be expressed n the frm (a) R µσ = β µ σ γ α µσ α β ǫγ ǫ µσ + γǫ µα γα ǫσ + Gα µǫ Rǫ ασ. (b) S µσ = B µ σ G α µσ α B ǫg ǫ µσ + Gǫ µα Gα ǫσ. Prf. We prve (a) nly; the prf f (b) s smlar. We have 0 = R α µσα = (δ αγ α µσ δ σγ α µα ) + (Γǫ µσ Γα ǫα Γǫ µα Γα ǫσ ) + Rǫ σα Cα µǫ = δ α ( Γ α µσ + γα µσ ) δ σ( Γ α µα + γα µα ) + ( Γ ǫ µσ + γǫ µσ )( Γ α ǫα + γα ǫα ) Cnsequently, ( Γ ǫ µα + γǫ µα )( Γ α ǫσ + γα ǫσ ) + Rǫ σα Cα µǫ = R µσ (δ σ γµα α γǫα α Γ ǫ µσ) + (δ α γµσ α + γµσ ǫ Γ α ǫα γǫσ α γµǫ α Γ ǫ σα ) + Rǫ σα (Cα µǫ C α µǫ ) + γǫ µσ γα ǫα γǫ µα γα ǫσ. Γ ǫ µα R µσ = β µ σ γ α µσ α β ǫγ ǫ µσ + γǫ µα γα ǫσ + Gα µǫ Rǫ ασ. In vew f Prpstn 6.2 (e) and (f) and Prpstn 6.5, we btan

15 15 Crllary 6.6. The fllwng denttes hlds: (a) (β µ σ β µ σ ) (γ α µσ α γα µσ α) = (γǫ µαω α σǫ 2β ǫ γ ǫ µσ) (b) (B µ σ B µ σ ) (G α µσ α Gα µσ α) = (Gǫ µαd α σǫ 2B ǫ G ǫ µσ). The next tw tables summarze the results btaned n ths sectn, where the cntracted curvatures are expressed n terms f the fundamental tensrs. Table 5 (a): Secnd rank curvature tensrs Skew-symmetrc Symmetrc Dual R[µσ] = ǫ σµ L σµ + M [σµ] + N [σµ] R(µσ) = θ µσ + M (µσ) N (µσ) S [µσ] = øǫ σµ S(µσ) = øθ µσ Symmetrc R[µσ] = 1 2 R [µσ] η σµ R(µσ) = 1 2 R (µσ) {h µσ ω µσ σ µσ } Ŝ [µσ] = 1 2 S [µσ] øη σµ Ŝ (µσ) = 1 2 S (µσ) {øh µσ øω µσ øσ µσ } Remannan R [µσ] = 1 2 L µσ F [µσ] R(µσ) = θ µσ 1 2 (ψ µσ φ µσ ) ω µσ + M (µσ) F (µσ) S [µσ] = 0 S (µσ) = øθ µσ 1 2 (øψ µσ øφ µσ ) øω µσ Table 5 (b): h- and v-scalar curvature tensrs h-scalar curvature v-scalar curvature Dual Rσ σ = θ + T Sσ σ = øθ Symmetrc Rσ σ = 1(θ + T) 1(3ω + σ) 2 4 Ŝσ σ = 1øθ 1 (3øω + øσ) 2 4 Remannan R σ σ = θ 1 (ψ φ) ω + G 2 S σ σ = øθ 1 (øψ øφ) øω 2

16 16 7. The W-tensrs The W-tensr was frst defned by M. Wanas n 1975 [13] and has been used by F. Mkhal and M. Wanas [6] t cnstruct a gemetrc thery unfyng gravty and electrmagnetsm. Recently, tw f the authrs f ths paper studed sme f the prpertes f ths tensr n the cntext f the classcal AP-space [15]. Defntn 7.1. Let (M, λ) be a generalzed AP-space. Fr a gven d-cnnectn D = (Nβ α, Γα µν, Cα µν ), the hrzntal W-tensr (hw-tensr) Hα µνσ s defned by the frmula λ µ νσ λ µ σν = λ ǫ Hµνσ, ǫ whereas the vertcal W-tensr (vw-tensr) V α µνσ λ µ νσ λ µ σν = λ ǫ V ǫ µνσ, s defned by the frmula where and are the hrzntal and the vertcal cvarant dervatves wth respect t the cnnectn D. We nw carry ut the task f calculatng the dfferent W-tensrs. As ppsed t the classcal AP-space, whch admts essentally ne W-tensr crrespndng t the dual cnnectn, we here have 4 dstnct W-tensrs: the hrzntal and vertcal W-tensrs crrespndng t the dual d-cnnectn, the hrzntal W-tensr crrespndng t the symmetrc d-cnnectn and, fnally, the hrzntal W-tensr crrespndng t the Remannan d-cnnectn. The remanng W-tensrs cncde wth the crrespndng curvature tensrs. It s t be nted that sme f the expressns btaned fr the W-tensrs are relatvely mre cmpact than thse btaned fr the crrespndng curvature tensrs. Therem 7.2. The hw-tensr H µνσ α, the vw-tensr Ṽ µνσ α, the hw-tensr Ĥα µνσ and the hw-tensr H α µνσ crrespndng t the dual, symmetrc and the Remannan d-cnnectns respectvely can be expressed n the frm: (a) H α µνσ = Λ α σν µ + Λǫ νσλ α µǫ + S µ,ν,σ L α µσν. (b) Ṽ α µνσ = T α σν µ + T ǫ νσ T α µǫ. (c) Ĥα µνσ = 1 2 (Λα µν σ Λα µσ ν ) (Λǫ µν Λα σǫ Λǫ µσ Λα νǫ ) (Λǫ σν Λα ǫµ ). (d) H α µνσ = γα µν σ γα µσ ν + γǫ µσ γα ǫν γǫ µν γα ǫσ + Λǫ νσ γα µǫ. Prf. We prve (a) nly. The prf f the ther parts s smlar. We have λ ǫ Hǫ µνσ = λ ǫ Rǫ µσν + λ µ e ǫ Λǫ σν + λ µ e ǫ R ǫ σν. Hence, takng nt accunt Therem 4.6 (a), we btan H µνσ α = R µσν α + λ α (δ ǫ λ µ λ β Γ β ǫµ ) Λ ǫ σν + λ α ( ǫ λ µ λ β C ǫµ β )Rǫ σν = R µσν α + Λǫ νσ (Γα µǫ Γα ǫµ ) + Rǫ σν (Cα µǫ Cα ǫµ ) = Λ α σν µ + C α ǫµr ǫ σν + L α σνµ + L α νµσ + Λ ǫ νσλ α µǫ + T α µǫr ǫ σν = Λ α σν µ + T α ǫµ Rǫ σν + Cα µǫ Rǫ σν + Lα σνµ + Lα νµσ + Λǫ νσ Λα µǫ + T α µǫ Rǫ σν = Λ α σν µ + Λǫ νσ Λα µǫ + S µ,ν,σl α µσν.

17 17 Prpstn 7.3. Let Hνσ := H ανσ α, Ĥ νσ := Ĥα ανσ and H νσ := H α ανσ wth smlar expressn fr Ṽνσ. Then, we have (a) H νσ = β σ ν β ν σ + 2β ǫ Λ ǫ σν, (b) Ṽνσ = B σ ν B ν σ + 2B ǫ Tσν, ǫ (c) Ĥνσ = 1 { H 2 νσ + β ǫ Λ ǫ νσ}, (d) H νσ = 0. Prpstn 7.4. Let H µσ := H µασ α, Ĥ µσ := Ĥα µασ and H µσ := H α µασ expressns fr Ṽµσ. Then, we have wth smlar (a) H µσ = β σ µ + Λ ǫ ασλ α µǫ + S α,µ,σ L α αµσ, (b) Ṽµσ = B σ µ + T ǫ ασ T α µǫ, (c) Ĥµσ = 1 2 H µσ (β ǫλ ǫ σµ + Λǫ σα Λα µǫ ), (d) H µσ = β µ σ γ α µσ α + β ǫγ ǫ µσ γǫ σα γα µǫ. Prpstn 7.5. The fllwng hlds: (a) H [µσ] = 1 2 {β σ µ β µ σ } + S α,µ,σ L α αµσ, (b) H (µσ) = 1 2 {β σ µ + β µ σ } + Λ ǫ ασ Λα µǫ, (c) Ṽ[µσ] = 1 2 {B σ µ B µ σ }, (d) Ṽ(µσ) = 1 2 {B σ µ + B µ σ } + T ǫ ασt α µǫ, (e) Ĥ[µσ] = 1 2 H [µσ] β ǫλ ǫ σµ, (f) Ĥ(µσ) = 1 2 H (µσ) Λǫ σα Λα µǫ, (g) H [µσ] = 1 2 S αµσl α αµσ, (h) H (µσ) = 1 2 {(β µ σ + β σ µ ) Ω α µσ α + β ǫω ǫ µσ } γα µǫ γǫ σα. Crllary 7.6. the fllwng hlds: (a) H α α = βα α + Λ ǫµ αλ α ǫµ, (b) Ṽ α α = Bα α + T ǫµ αt α ǫµ, (c) Ĥα α = 1 2 βα α Λǫµ αλ α ǫµ, (d) H σ σ = β σ σ 1 2 Ωασ σ α β αω ασ σ γ ασ ǫγ ǫ σα. Takng nt accunt Prpstn 4.4, Therem 7.2 and the Banch dentty [4] fr the Remannan d-cnnectn, we get the fllwng

18 18 Prpstn 7.7. The hw-tensrs H α µνσ, Ĥα µνσ, H α µνσ and the vw-tensrs Ṽ α µνσ satsfy the fllwng denttes: (a) S µ,ν,σ Hα µνσ = 2S µ,ν,σ (Λ α µǫ Λǫ νσ + Lα µσν ). (b) S µ,ν,σ Ṽ α µνσ = 2S µ,ν,σ(t α µǫ T ǫ νσ ). (c) S µ,ν,σ Ĥ α µνσ = S µ,ν,σ L α µσν. (d) S µ,ν,σ H α µνσ = S µ,ν,σ L α µσν. We cllect the results btaned n ths sectn n the fllwng tables, where the cntracted W-tensrs are expressed n terms f the fundamental tensrs. Table 6 (a): Secnd rank W-tensrs Skew-symmetrc Symmetrc Dual H[µσ] = ǫ σµ L σµ + 2M [σµ] H(µσ) = θ µσ (ω µσ + σ µσ h µσ ) Ṽ [µσ] = ǫ σµ Ṽ (µσ) = θ µσ ( ω µσ + σ µσ h µσ ) Symmetrc Ĥ [µσ] = 1 2 H [µσ] η σµ Ĥ (µσ) = 1 2 H (µσ) {ω µσ + σ µσ h µσ } Remannan H [µσ] = 1 2 L µσ M [µσ] H(µσ) = θ µσ 1 2 (ψ µσ φ µσ ) ω µσ Table 6 (b): Scalar W-tensrs h-scalar W-tensrs v-scalar W-tensrs Dual Hσ σ = θ (3ω + σ) Ṽ σ σ = θ (3 ω + σ) Symmetrc Ĥσ σ = 1θ 1 (3ω + σ) 2 4 Remannan H σ σ = θ 1 (ψ φ) ω 2

19 19 Cncludng remarks In the present artcle, we have develped a parallelzable structure n the cntext f a generalzed Lagrange space. Fur dstngushed cnnectns, dependng n ne nn-lnear cnnectn, are used t explre the prpertes f ths space. Dfferent curvature tensrs characterzng ths structure are calculated. The cntracted curvature tensrs necessary fr physcal applcatns are gven and cmpared (Tables 5(a)). The traces f these tensrs are derved and cmpared (Table 5(b)). Fnally, the dfferent W-tensrs wth ther cntractns and traces are als derved (Tables 6(a) and 6(b)). On the present wrk, we have the fllwng cmments and remarks: 1. Exstng theres f gravty suffer frm sme prblems cnnected t recent bserved astrphyscal phenmena, especally thse admttng anstrpc behavr f the system cncerned (e.g. the flatness f the rtatn curves f spral galaxes). S, theres n whch the gravtatnal ptental depends n bth pstn and drectn are needed. Such theres are t be cnstructed n spaces admttng ths dependence. Ths s ne f the ams mtvatng the present wrk. 2. Amng the advantages f the AP-gemetry are the ease n calculatns and the dverse and ts thrugh applcatns. In ths wrk, we have kept as clse as pssble t the classcal AP-case. Hwever, the extra degrees f freedm n ur GAP-gemetry have created an abundance f gemetrc bjects whch have n cunterpart n the classcal AP-gemetry. Snce the physcal meanng f mst f the gemetrc bjects f the classcal AP-structure s clear, we hpe t attrbute physcal meanng t the new gemetrc bjects appearng n the present wrk, especally the vertcal quanttes. 3. Due t the wealth f the GAP-gemetry, ne s faced wth the prblem f chsng gemetrc bjects that represent true physcal quanttes. As a frst step t slve ths prblem, we have wrtten all secnd rder tensrs n terms f the fundamental tensrs defned n sectn 5. Ths s dne t facltate cmparsn between these tensrs and t be able t chse the mst apprprate fr physcal applcatn. The same prcedure has been used fr scalars. 4. We are aware that the present paper s f cmputatnal nature. The paper s certanly nt ntended t be an end n tself. In t, we try t cnstruct a gemetrc framewrk capable f dealng wth and descrbng physcal phenmena. The success f the classcal AP-gemetry n physcal applcatns made us chse ths gemetry as a gude lne. The physcal nterpretatn f the gemetrc bjects exstng n the GAPgemetry and nt n the AP-gemetry wll be further nvestgated n a frthcmng paper.

20 20 References [1] D. Ba, S. Chern and Z. Shen, An ntrductn t Remann-Fnsler Gemetry, Graduate Texts n Mathematcs, Sprnger, [2] F. Brckell and R. S Clark, Dfferentable manflds, Van Nstrand Renhld C., [3] K. Hayash and T. Shrafuj, New general relatvty, Phys. Rev. D 19 (1979), [4] M. Matsumt, Fundatns f Fnsler Gemetry and specal Fnsler spaces, Kasesha Press, Otsu, Japan, [5] F. I. Mkhal, Tedrad vectr felds and generalzng the thery f relatvty, An Shams Sc. Bull., N. 6 (1962), [6] F. I. Mkhal and M.I Wanas, A generalzed feld thery. I. Feld equatns, Prc. R. Sc. Lndn, A. 356 (1977), [7] R. Mrn, A Lagrangan thery f relatvty, Sem de Gem. s Tp., 84, Tmsara, Rmana, [8] R. Mrn, Metrcal Fnsler structures and specal Fnsler spaces, J. Math. Kyt Unv., 23 (1983), [9] R. Mrn, Cmpendum n the Gemetry f Lagrange Spaces, Handbk f Dfferental Gemetry, Vl. II (2006), [10] H. P. Rbertsn, Grups f mtn n spaces admttng abslute parallelsm, Ann. Math, Prncetn (2), 33 (1932), [11] T. Sakaguch, Parallelzable generalzed Lagrange spaces, Anal. St. Unv. AI. I. Cuza, Ias, Mat., 33, 2 (1987), [12] T. Sakaguch, Invarant thery f parallelzable Lagrange spaces, Tensr, N. S., 46 (1987), [13] M. I. Wanas, A generalzed feld thery and ts applcatns n csmlgy, Ph. D. Thess, Car Unversty, [14] M. I. Wanas, Abslute parallelsm gemetry: Develpments, applcatns and prblems, Stud. Cercet, Stn. Ser. Mat. Unv. Bacau, N. 10 (2001), [15] N. L. Yussef and A. M. Sd-Ahmed, Lnear cnnectns and curvature tensrs n the gemetry f parallelzabl manflds, Submtted.

Geometry of parallelizable manifolds in the context of generalized Lagrange spaces

Geometry of parallelizable manifolds in the context of generalized Lagrange spaces Gemetry f parallelzable manflds n the cntext f generalzed Lagrange spaces M.I. Wanas, Nabl L. Yussef and A.M. Sd-Ahmed Abstract. In ths paper, we deal wth a generalzatn f the gemetry f parallelzable manflds,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Test Data Management in Practice

Test Data Management in Practice Problems, Concepts, and the Swisscom Test Data Organizer Do you have issues with your legal and compliance department because test environments contain sensitive data outsourcing partners must not see?

Διαβάστε περισσότερα

Final Test Grammar. Term C'

Final Test Grammar. Term C' Final Test Grammar Term C' Book: Starting Steps 1 & Extra and Friends Vocabulary and Grammar Practice Class: Junior AB Name: /43 Date: E xercise 1 L ook at the example and do the same. ( Κξίηα ηξ παοάδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014

LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV. 4 February 2014 LESSON 12 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑ) REF : 202/055/32-ADV 4 February 2014 Somewhere κάπου (kapoo) Nowhere πουθενά (poothena) Elsewhere αλλού (aloo) Drawer το συρτάρι (sirtari) Page η σελίδα (selida) News τα νέα (nea)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *6301456813* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία Η ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΕΦΗΒΟΥΣ ΜΕ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ ΑΝΔΡΕΟΥ Φ.Τ:2008670839 Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία Ενοποιημένου Σχεδιασμού

Εργασία Ενοποιημένου Σχεδιασμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Εργασία Ενοποιημένου Σχεδιασμού ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΙΣΟΔΟΥ / ΕΞΟΔΟΥ ΒΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ RFID ΣΤΗΝ ΚΑΡΔΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One For Examination from 2015 SPECIMEN ROLE PLAY Approx.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30 April 2010

Διαβάστε περισσότερα

S. Gaudenzi,. π υ, «aggregation problem»

S. Gaudenzi,. π υ, «aggregation problem» υμυμπα «ΜΜΜΜααΜΑΜΜπΜαΜΜυαΜαΜυαΜφαΜΜ πμαπυμαμμαμυααμυevidence based policy making)». Aα, 07.10.2015 H ΕΕΗ Η Η Η, Η ΗΗ Ω Ω Ω Η Η ΕΕΩ ΕΗΩ ΓΜΧΑ πάμαμφαμαπυμαμαα (ΑΜΑαπυα αω) αμχαμχωααμα ΑπυΜΑΘ, gmich@plandevel.auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Case 1: Original version of a bill available in only one language.

Case 1: Original version of a bill available in only one language. currentid originalid attributes currentid attribute is used to identify an element and must be unique inside the document. originalid is used to mark the identifier that the structure used to have in the

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * *

Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * * Chapter 2 * * * * * * * Introduction to Verbs * * * * * * * In the first chapter, we practiced the skill of reading Greek words. Now we want to try to understand some parts of what we read. There are a

Διαβάστε περισσότερα

STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18

STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18 STARTING STEPS IN GRAMMAR, FINAL TEST C TERM 2012 UNITS 1-18 Name.. Class. Date. EXERCISE 1 Answer the question. Use: Yes, it is or No, it isn t. Απάντηςε ςτισ ερωτήςεισ. Βάλε: Yes, it is ή No, it isn

Διαβάστε περισσότερα

Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement

Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement GREEK Newborn Upfront Payment & Newborn Supplement Female 1: Το μωρό μου θα ρθει σύντομα, θα πρέπει να κανονίσω τα οικονομικά μου. Άκουσα ότι η κυβέρνηση δεν δίνει πλέον το Baby Bonus. Ξέρεις τίποτα γι

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *9458676952* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30 April 2015 No Additional

Διαβάστε περισσότερα

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Business English Ενότητα # 9: Financial Planning Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM

Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM Bring Your Own Device (BYOD) Legal Challenges of the new Business Trend MINA ZOULOVITS LAWYER, PARNTER FILOTHEIDIS & PARTNERS LAW FIRM minazoulovits@phrlaw.gr What is BYOD? Information Commissioner's Office

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή. Σκοπός

ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή. Σκοπός ΠΕΡΙΛΗΨΗ Εισαγωγή Η παιδική παχυσαρκία έχει φτάσει σε επίπεδα επιδημίας στις μέρες μας. Μαστίζει παιδιά από μικρές ηλικίες μέχρι και σε εφήβους. Συντείνουν αρκετοί παράγοντες που ένα παιδί γίνεται παχύσαρκο

Διαβάστε περισσότερα

Terabyte Technology Ltd

Terabyte Technology Ltd Terabyte Technology Ltd is a Web and Graphic design company in Limassol with dedicated staff who will endeavour to deliver the highest quality of work in our field. We offer a range of services such as

Διαβάστε περισσότερα

PVC + ABS Door Panels

PVC + ABS Door Panels PVC + ABS Door Panels Η εταιρεία «ΤΕΧΝΗ Α.Ε.» ιδρύθηκε στην Ξάνθη, το 1988 με αντικείμενο τις ηλεκτροστατικές βαφές μετάλλων. Με σταθερά ανοδική πορεία, καταφέρνει να επεκτείνει τις δραστηριότητες της

Διαβάστε περισσότερα

LECTURE 2 CONTEXT FREE GRAMMARS CONTENTS

LECTURE 2 CONTEXT FREE GRAMMARS CONTENTS LECTURE 2 CONTEXT FREE GRAMMARS CONTENTS 1. Developing a grammar fragment...1 2. A formalism that is too strong and too weak at the same time...3 3. References...4 1. Developing a grammar fragment The

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) «Αρχιμήδης ΙΙΙ Ενίσχυση Ερευνητικών ομάδων στην Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.» Υποέργο: 8 Τίτλος: «Εκκεντρότητες αντισεισμικού σχεδιασμού ασύμμετρων

Διαβάστε περισσότερα

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η θέση ύπνου του βρέφους και η σχέση της με το Σύνδρομο του αιφνίδιου βρεφικού θανάτου. Χρυσάνθη Στυλιανού Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΝΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΣΕ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΝΤΑΤΙΚΗΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΤΑΜΟΣΧΕΥΣΗ ΟΡΓΑΝΩΝ ΑΠΟ ΕΓΚΕΦΑΛΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές αρχές. Spiros Prassas National & Kapodistrian University of Athens

Μηχανικές αρχές. Spiros Prassas National & Kapodistrian University of Athens Μηχανικές αρχές 1 Σηµαντικοί παράγοντες στην εκτέλεση από µηχανικής απόψεως ικανότητα απόκτησης ύψους ικανότητα περιστροφής ικανότητα αιώρησης ικανότητα προσγείωσης Δύναµη είναι η φυσική οντότητα η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εισοδημάτων Παραπέμπεται από την υπηρεσία Προστασίας Παιδιών

Διαχείριση Εισοδημάτων Παραπέμπεται από την υπηρεσία Προστασίας Παιδιών Διαχείριση Εισοδημάτων Παραπέμπεται από την υπηρεσία Προστασίας Παιδιών Τι είναι η Διαχείριση Εισοδημάτων [Income Management]; Η Διαχείριση Εισοδημάτων [Income Management] είναι ένας τρόπος που σας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΦΙΛ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ALUMINIUM PROFILES. aluminium

ΠΡΟΦΙΛ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ALUMINIUM PROFILES. aluminium ΠΡΟΦΙΛ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ALUMINIUM POFILES alumnum alumnum Προφίλ γενικής χρήσης Profles for DIY and professonal purpose Βέργα πλακέ αλουμινίου, Ασημί Flat bar, anodzed alumnum, Slver 1 x 2 mm, 1 m 01013 7000.0000

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens

Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens Περιοχή διαγωνισμού Rethink Athens Πρόγραμμα : Statistical_Analysis_1.prg Ανάλυση : 28/06/2012 13:05 Κατάλογος : C:\Workspace\Planning\Mst\2010\Statistics\Analysis_5\ Vesrion : 2.8.0, 20-06-2011 Τα κοινά

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CMRIDGE INTERNTIONL EXMINTIONS International General Certificate of Secondary Education *3788429633* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking and Listening Role Play ooklet One

Διαβάστε περισσότερα

Quantifying the Financial Benefits of Chemical Inventory Management Using CISPro

Quantifying the Financial Benefits of Chemical Inventory Management Using CISPro of Chemical Inventory Management Using CISPro by Darryl Braaksma Sr. Business and Financial Consultant, ChemSW, Inc. of Chemical Inventory Management Using CISPro Table of Contents Introduction 3 About

Διαβάστε περισσότερα

Modern Greek *P40074A0112* P40074A. Edexcel International GCSE. Thursday 31 May 2012 Morning Time: 3 hours. Instructions. Information.

Modern Greek *P40074A0112* P40074A. Edexcel International GCSE. Thursday 31 May 2012 Morning Time: 3 hours. Instructions. Information. Write your name here Surname Other names Edexcel International GCSE Centre Number Modern Greek Candidate Number Thursday 31 May 2012 Morning Time: 3 hours You do not need any other materials. Paper Reference

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ 1. Η διαφήμιση της Τράπεζας για τα "Διπλά Προνόμια από την American Express" ισχύει για συναλλαγές που θα πραγματοποιηθούν από κατόχους καρτών Sunmiles American Express, American

Διαβάστε περισσότερα

45% of dads are the primary grocery shoppers

45% of dads are the primary grocery shoppers 45% of dads are the primary grocery shoppers 80% for millennial dads Y&R New York North America s study on dads Shutterfly greeting cards/2014 Goodbye daddy rule. Hello daddy cool! Οι new generation daddiesέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ Ονοματεπώνυμο : Φάραχ Βαλεντίνα Αρ. Φοιτητικής Ταυτότητας : 2008899422 ΚΥΠΡΟΣ- ΛΕΥΚΩΣΙΑ 2012

Διαβάστε περισσότερα

Review 4n.1: Vowel stems of the third declension: πόλις, πρέσβυς

Review 4n.1: Vowel stems of the third declension: πόλις, πρέσβυς Review 4n.1: Vowel stems of the third declension: πόλις, πρέσβυς We review side by side a model of stems ending in ι: πόλις, πόλεως, ἡ = city-state and a masculine model of stems ending in υ: πρέσβυς,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο Μαργαρίτα Μάου Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιάµεση Εξέταση CCD. l s. l o. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. HMY 626 Επεξεργασία Εικόνας

Ενδιάµεση Εξέταση CCD. l s. l o. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. HMY 626 Επεξεργασία Εικόνας HMY 66 Ενδιάµεση Εξέταση 1. Imaging with a micrscpe (16 An ptical micrscpe cnsists f tw lenses, a sample bjective and ne fr the eyepiece r camera(see figure 1. The entire setup can be viewed as ne ptical

Διαβάστε περισσότερα

AME SAMPLE REPORT James R. Cole, Ph.D. Neuropsychology

AME SAMPLE REPORT James R. Cole, Ph.D. Neuropsychology Setting the Standard since 1977 Quality and Timely Reports Med-Legal Evaluations Newton s Pyramid of Success AME SAMPLE REPORT Locations: Oakland & Sacramento SCHEDULING DEPARTMENT Ph: 510-208-4700 Fax:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ HACCP ΣΕ ΜΙΚΡΕΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΕΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΠΑΡΧΙΑ ΛΕΜΕΣΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG. 14 January 2013

LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG. 14 January 2013 LESSON 9 (ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΝΙΑ) REF : 101/011/9-BEG 14 January 2013 Up πάνω Down κάτω In μέσα Out/outside έξω (exo) In front μπροστά (brosta) Behind πίσω (piso) Put! Βάλε! (vale) From *** από Few λίγα (liga) Many

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ INDEX ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ TECHNICAL INFORMATION ΣΤΡΟΓΓΥΛΕΣ ΟΠΕΣ ROUND HOLES ΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΟΠΕΣ SQUARE HOLES

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ INDEX ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ TECHNICAL INFORMATION ΣΤΡΟΓΓΥΛΕΣ ΟΠΕΣ ROUND HOLES ΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΟΠΕΣ SQUARE HOLES Η εταιρεία Λεωνίδας Ματθαίου µεταφέρει µια εµπειρία 41 χρόνων, συνεχίζοντας την πορεία που ξεκίνησε ο πατέρας του, Ιωάννης Ματθαίου, από το 1967, στον Πειραιά. Επανιδρύθηκε το 2008, µε νέες ιδέες και προϊόντα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΙΚΗ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑ Ονοματεπώνυμο: Μιχαέλλα Σάββα Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή Εργασία ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΠΟΝΟΥ ΣΕ ΑΣΘΕΝΕΙΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟ. Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Ο ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΑΡΚΙΝΟ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥΣ ΣΤΙΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΦΟΡΕΙΣ ΤΟΥ ΟΓΚΟΓΟΝΙΔΙΟΥ BRCA1 ΚΑΙ BRCA2. Βασούλλα

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/01 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 1 Listening and Responding

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/01 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 1 Listening and Responding Centre No. Candidate No. Paper Reference 1 7 7 6 0 1 Surname Signature Paper Reference(s) 1776/01 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 1 Listening and Responding Friday 18 June 2010 Morning Time: 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ. Λεμεσός ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΟ ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ ΚΑΙ Η ΒΛΑΠΤΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑ ΑΣΗ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ονοματεπώνυμο Αγγελική Παπαπαύλου Αριθμός Φοιτητικής

Διαβάστε περισσότερα

Pantelos Group of Companies

Pantelos Group of Companies Pantelos Group of Companies Company Profile Η εταιρεία «ΤΕΧΝΗ Α.Ε.» ιδρύθηκε στην Ξάνθη, το 1988 µε αντικείµενο τις ηλεκτροστατικές βαφές µετάλλων. Με σταθερά ανοδική πορεία, καταφέρνει να επεκτείνει τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΑ IV. Ενότητα 1γ: Deciding on a topic, purpose, rationale. Ιφιγένεια Μαχίλη Τμήμα Διεθνών & Ευρωπαϊκών Σπουδών

ΑΓΓΛΙΚΑ IV. Ενότητα 1γ: Deciding on a topic, purpose, rationale. Ιφιγένεια Μαχίλη Τμήμα Διεθνών & Ευρωπαϊκών Σπουδών Ενότητα 1γ: Deciding on a topic, purpose, rationale Ιφιγένεια Μαχίλη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΑΛΕΞΗ ΣΤΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 25 ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ.Π.Θ. Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η Η σύλληψη της ιδέας της Ασαφούς Λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered

Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered Οδηγίες χρήσης υλικού D U N S Registered Οδηγίες ένταξης σήματος D U N S Registered στην ιστοσελίδα σας και χρήσης του στην ηλεκτρονική σας επικοινωνία Για οποιαδήποτε ερώτηση, σας παρακαλούμε επικοινωνήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΣΕ ΗΛΙΚΙΩΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ Θεοφάνης Παύλου Αρ. Φοιτ. Ταυτότητας: 2010207299 Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΑΙΤΙΩΝ ΠΡΟΚΛΗΣΗΣ ΘΑΝΑΤΟΥ ΑΤΟΜΩΝ ΜΕ ΨΥΧΟΓΕΝΗ ΑΝΟΡΕΞΙΑ Γεωργία Χαραλάµπους Λεµεσός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΦΙΛ ΠΛΑΚΙΔΙΩΝ TILE PROFILES. aluminium

ΠΡΟΦΙΛ ΠΛΑΚΙΔΙΩΝ TILE PROFILES. aluminium ΠΡΟΦΙΛ ΠΛΑΚΙΔΙΩΝ TILE POFILES alumnum alumnum Tle profles Προφίλ με ημιστρόγγυλη εξωτερική γωνία Το προφίλ πλακιδίων με ημιστρόγγυλη γωνία, είναι κατάλληλο στην τοποθέτηση πλακιδίων ως μια εξωτερική γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή Διατριβή Η ΣΥΝΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΑΛΚΟΟΛ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ, ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΟ ΕΜΒΡΥΟ ΣΤΕΦΑΝΗ ΘΡΑΣΥΒΟΥΛΟΥ Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΕΦΗΒΟΥ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 1 ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ ΑΝΤΛΙΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΕΚΧΥΣΗΣ ΙΝΣΟΥΛΙΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή διατριβή ΠΙΘΑΝΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΛΑΤΟΝΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΥ ΓΙΑΟΥΡΤΙΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΠΡΟΒΕΙΟ ΓΑΛΑ

Διαβάστε περισσότερα

JEREMIE Joint European Resources for Micro to medium Enterprises

JEREMIE Joint European Resources for Micro to medium Enterprises JEREMIE Joint European Resources for Micro to medium Enterprises ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Αθήνα, 1 η Ιουνίου 2010 Σχετικά με την Πρόσκληση Υποβολής Προτάσεων στο «Σχέδιο Επιμερισμού Ρίσκου και Συγχρηματοδότησης» της

Διαβάστε περισσότερα

Παρατήρηση 2 από EFT Hellas A.E.

Παρατήρηση 2 από EFT Hellas A.E. Σχόλια του ΑΔΜΗΕ σχετικά με τις παρατηρήσεις των Συμμετεχόντων αναφορικά με την Δημόσια Διαβούλευση για την τροποποίηση του Εγχειριδίου Εκκαθάρισης της Αγοράς στις 19/9/2013 Παρατήρηση 1 από EFT Hellas

Διαβάστε περισσότερα

Biodiesel quality and EN 14214:2012

Biodiesel quality and EN 14214:2012 3η Ενότητα: «Αγορά Βιοκαυσίμων στην Ελλάδα: Τάσεις και Προοπτικές» Biodiesel quality and EN 14214:2012 Dr. Hendrik Stein Pilot Plant Manager, ASG Analytik Content Introduction Development of the Biodiesel

Διαβάστε περισσότερα

2007 Classical Greek. Intermediate 2 Translation. Finalised Marking Instructions

2007 Classical Greek. Intermediate 2 Translation. Finalised Marking Instructions 2007 Classical Greek Intermediate 2 Translation Finalised Marking Instructions Scottish Qualifications Authority 2007 The information in this publication may be reproduced to support SQA qualifications

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΥΕ 335 «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: Γίντσης Αλέξανρος (3479)

ΜΑΘΗΜΑ: ΥΕ 335 «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: Γίντσης Αλέξανρος (3479) «Mουσικοί κύκλοι» ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ/ΤΡΙΕΣ ΤΗΣ Γ -Δ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΛΑΚΕΤΑΣ MAKEY-MAKEY ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΣΤΟ SCRATCH ΜΑΘΗΜΑ: ΥΕ 335 «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

SOAP API. https://bulksmsn.gr. Table of Contents

SOAP API. https://bulksmsn.gr. Table of Contents SOAP API https://bulksmsn.gr Table of Contents Send SMS...2 Query SMS...3 Multiple Query SMS...4 Credits...5 Save Contact...5 Delete Contact...7 Delete Message...8 Email: sales@bulksmsn.gr, Τηλ: 211 850

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑΣΦΑΛΕΙΑΣ 1.Στοιχείαουσίας/παρασκευάσματοςκαιεταιρείας/επιχείρηση Στοιχείατηςουσίαςήτουπαρασκευάσματος Αριθμόςπροΐόντος Ονομασίαπροΐόντος 4332653 HumanB2M (Beta-2-Microglobulin)EndogenousControl(FAM

Διαβάστε περισσότερα

E.O.U.D.A.T.K. CMAS GREECE

E.O.U.D.A.T.K. CMAS GREECE E.O.U.D.A.T.K. CMAS GREECE '80 - CMAS.,,. EOUDATK - CMAS GREECE........ 2118,3/101/07/10-8-2007.,,......., EOUDATK - CMAS GREECE. 1. 1.1 EOUDATK - CMAS GREECE......... (.... ) 1.2, EOUDATK - CMAS GREECE,

Διαβάστε περισσότερα

Basic Raster Styling and Analysis

Basic Raster Styling and Analysis Basic Raster Styling and Analysis QGIS Tutorials and Tips Author Ujaval Gandhi http://google.com/+ujavalgandhi Translations by Christina Dimitriadou Paliogiannis Konstantinos Tom Karagkounis Despoina Karfi

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή εργασία. Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια

Πτυχιακή εργασία. Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Παραγωγή Βιοντίζελ από Χρησιμοποιημένα Έλαια Ελένη Χριστοδούλου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Λουκία Βασιλείου

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Λουκία Βασιλείου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΙΔΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΗΒΙΚΗ ΚΑΚΟΠΟΙΗΣΗ: ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΥΓΕΙΑ Λουκία Βασιλείου 2010646298 Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

Κατάλογος Βάσεων Στήριξης Για Βιομηχανική Οροφή Base Cataloge For Industrial Rooftops ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΥΛΙΚΩΝ - PRODUCT CATALOGE

Κατάλογος Βάσεων Στήριξης Για Βιομηχανική Οροφή Base Cataloge For Industrial Rooftops ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΥΛΙΚΩΝ - PRODUCT CATALOGE ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΥΛΙΚΩΝ - PRODUCT CATALOGE Κατάλογος Βάσεων Στήριξης Για Βιομηχανική Οροφή Base Cataloge For Industrial Rooftops tel: 00302109653270 fax: 00302109653180 mail:info@pvmounting.gr ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research

Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research Write your name here Surname Other names Edexcel GCE Centre Number Candidate Number Greek Advanced Unit 2: Understanding, Written Response and Research Tuesday 18 June 2013 Afternoon Time: 3 hours Paper

Διαβάστε περισσότερα

3/6/2015. Τιτίκα Δημητρούλια Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

3/6/2015. Τιτίκα Δημητρούλια Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τιτίκα Δημητρούλια Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τελευταία έρευνα στην Ελλάδα: 2000-2001 Αφορούσε την επαγγελματική κατάσταση των μεταφραστών Διεξήχθη μέσω σωματείων και συλλόγων ως επί το πλείστον

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 7615/01 London Examinations GCE Modern Greek Ordinary Level. Friday 14 May 2010 Afternoon Time: 3 hours

Paper Reference. Paper Reference(s) 7615/01 London Examinations GCE Modern Greek Ordinary Level. Friday 14 May 2010 Afternoon Time: 3 hours Centre No. Candidate No. Paper Reference 7 6 1 5 0 1 Surname Signature Paper Reference(s) 7615/01 London Examinations GCE Modern Greek Ordinary Level Friday 14 May 2010 Afternoon Time: 3 hours Initial(s)

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή εργασία Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΜΕ ΧΡΟΝΙΟ ΑΣΘΜΑ

Πτυχιακή εργασία Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΜΕ ΧΡΟΝΙΟ ΑΣΘΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή εργασία Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΝΟΣΗΛΕΥΤΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΜΕ ΧΡΟΝΙΟ ΑΣΘΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΛΟΙΖΟΥ ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Θέμα: «Ο Προσανατολισμός του Περιφερειακού Σκέλους του Γ ΚΠΣ»

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. Θέμα: «Ο Προσανατολισμός του Περιφερειακού Σκέλους του Γ ΚΠΣ» ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θέμα: «Ο Προσανατολισμός του Περιφερειακού Σκέλους του Γ ΚΠΣ» Διπλωματική Εργασία Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυο προστασίας για τα Ελληνικά αγροτικά και οικόσιτα ζώα on.net e-foundatio //www.save itute: http:/ toring Insti SAVE-Monit

ίκτυο προστασίας για τα Ελληνικά αγροτικά και οικόσιτα ζώα on.net e-foundatio //www.save itute: http:/ toring Insti SAVE-Monit How to run a Herdbook: Basics and Basics According to the pedigree scheme, you need to write down the ancestors of your animals. Breeders should be able easily to write down the necessary data It is better

Διαβάστε περισσότερα

INPROFOOD S REPORT FOR THE SELECTION OF THE 27 ORGANIZATIONS

INPROFOOD S REPORT FOR THE SELECTION OF THE 27 ORGANIZATIONS The Greek database developed for INPROFOOD contains the categories of: a.ngos (1369 entries) b.public (835 entries) c.business (39 entries) According to the instructions provided by Wissenschaftsladen

Διαβάστε περισσότερα

Βιογραφικό Σημείωμα Curriculum Vitae (CV)

Βιογραφικό Σημείωμα Curriculum Vitae (CV) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑς ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗς, ΦΥΣΙΚΗς ΑΓΩΓΗς & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Βιογραφικό Σημείωμα Curriculum Vitae (CV) ΜΑΡΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΟΥ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ ΣΤΟ ΤΕΦΑΑ-ΠΘ mpolymer@pe.uth.gr Curriculum Vitae A curriculum vitae

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποιώντας Τεχνικές Συσταδοποίησης με βάση Υποχώρους σε Συστήματα Συστάσεων

Αξιοποιώντας Τεχνικές Συσταδοποίησης με βάση Υποχώρους σε Συστήματα Συστάσεων Αξιοποιώντας Τεχνικές Συσταδοποίησης με βάση Υποχώρους σε Συστήματα Συστάσεων Katharina Rausch 1, Ειρήνη Ντούτση 1, Κώστας Στεφανίδης 2, Hans Peter Kriegel 1 Ελληνικό Συμπόσιο Διαχείρισης Δεδομένων Ιούλιος

Διαβάστε περισσότερα

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING COMMITTEE BANSKO 26-5-2015 «GREECE BULGARIA» Timeline 02 Future actions of the new GR-BG 20 Programme June 2015: Re - submission of the modified d Programme according

Διαβάστε περισσότερα

Beauty accessories & tools Catalogue. Bούρτσες Brushes

Beauty accessories & tools Catalogue. Bούρτσες Brushes Beauty accessories & tools Catalogue Τεχνικά χαρακτηριστικά - Technical Specifications Οι βούρτσες Tek παράγονται εξ ολοκλήρου στην Ιταλία από χέρια εξειδικευµένου προσωπικού µε τα ποιο απαιτητικά κριτήρια

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GCE Centre Number Candidate Number Greek Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Monday 18 May 2009 Afternoon Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ IDENTITY Τσουμάνης ΑΒΕΕ

ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ IDENTITY Τσουμάνης ΑΒΕΕ DESIGN 02 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Η Τσουμάνης ΑΒΕΕ ιδρύεται το 1983, με αντικείμενο την επίπλωση καταστημάτων. Μέσα στις δύο πρώτες δεκαετίες εξελίσσεται σε μια πλήρως καθετοποιημένη μονάδα, ικανή να προσφέρει ολοκληρωμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ. Φοινίκη Αλεξάνδρου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙΛΟΧΕΙΑ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ Φοινίκη Αλεξάνδρου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Aluminium Door Panels Pressed + Traditional + Inox

Aluminium Door Panels Pressed + Traditional + Inox Aluminium Door Panels Pressed + Traditional + Inox Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Τ Ι Κ Α / C E R T I F I C A T E S Με σεβασμό στο περιβάλλον και τον άνθρωπο With respect for the human and the environment ΕΛΟΤ 1801

Διαβάστε περισσότερα

Modern Greek *P40075A0112* P40075A. Edexcel International GCSE. Monday 3 June 2013 Morning Time: 3 hours. Instructions. Information.

Modern Greek *P40075A0112* P40075A. Edexcel International GCSE. Monday 3 June 2013 Morning Time: 3 hours. Instructions. Information. Write your name here Surname Other names Edexcel International GCSE Centre Number Modern Greek Candidate Number Monday 3 June 2013 Morning Time: 3 hours You do not need any other materials. Paper Reference

Διαβάστε περισσότερα

- S P E C I A L R E P O R T - EMPLOYMENT. -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service

- S P E C I A L R E P O R T - EMPLOYMENT. -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service - S P E C I A L R E P O R T - UN EMPLOYMENT -January 2012- Source: Cyprus Statistical Service This Special Report is brought to you by the Student Career Advisory department of Executive Connections. www.executiveconnections.eu

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ «ΒΙΟΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΝΔΟΓΕΝΩΝ ΑΠΟΔΟΜΗΤΩΝ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΜΕ ΥΛΙΚΑ ΧΑΜΗΛΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ»

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ «ΒΙΟΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΝΔΟΓΕΝΩΝ ΑΠΟΔΟΜΗΤΩΝ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΜΕ ΥΛΙΚΑ ΧΑΜΗΛΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ «ΒΙΟΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΝΔΟΓΕΝΩΝ ΑΠΟΔΟΜΗΤΩΝ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΜΕ ΥΛΙΚΑ ΧΑΜΗΛΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ» ΔΡΥΓΙΑΝΝΑΚΗ ΗΛΕΚΤΡΑ ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΚΑΛΟΓΕΡΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ (ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ) ΠΑΣΑΔΑΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

solid Design & Manufacturing

solid Design & Manufacturing από το σχεδιασμό... from design...... στην υλοποίηση... to implementation μελέτη και σχεδιασμός / research and design παραγωγή / production ποικιλία χρωμάτων / variety of colours εφαρμογή / applications

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΧΡΗΣΗ ΚΙΝΗΤΟΥ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΟΓΚΩΝ ΕΓΚΕΦΑΛΟΥ. ΧΡΙΣΤΟΣ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2012 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή Διατριβή Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Κα Παναγιώτα Ταμανά ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΑΤΟΜΩΝ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΣΤΟ ΕΜΒΟΛΙΟ ΚΑΤΑ ΤΟΥ ΚΑΡΚΙΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η αντίσταση στην ανθρωπιστική ψυχοθεραπεία

Η αντίσταση στην ανθρωπιστική ψυχοθεραπεία Η αντίσταση στην ανθρωπιστική ψυχοθεραπεία Σταλίκας Αναστάσιος, Καθηγητής, Πάντειο Πανεπιστήμιο Γιωτσίδη Βασιλική, Διδάκτωρ Κλινικής Ψυχολογίας, Ψυχοθεραπεύτρια. Χριστίνα Σεργιάννη, Διδάκτωρ Κλινικής Ψυχολογίας,

Διαβάστε περισσότερα