A3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό."

Μυρρίνη Παπανδρέου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ~σελίδα αό ~ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A. α. Ψ β. Θεωρούμε τη συνάρτηση f, με f () =. H f είναι συνεχής στο = διότι im f () = f () = και η f δεν είναι αραγωγίσιμη διότι f () - f () f () - f () im = - και im = A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. D = (, + ) και D = (-, ) (, + ) f D = D και g () D fog g f g = (-, ) (, + ) και > ηλίκο D = (-, ) (, + ) και (, ) = (, ) fog (fog) () = f (g ()) = ng () = n, (, ) -

2 Β. ος τρόος ~σελίδα αό ~ - h () = n = = = - - ( - ) ( - ) - Είναι h () > στο (, ), άρα η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα η h είναι -, άρα η h αντιστρέφεται. ος τρόος h ( ) = h ( ) = = n n ( - ) = ( - ) - = - = άρα η h είναι -, άρα η h αντιστρέφεται. Θέτω = u - im h () = im n = im nu = im = u h + - Θέτω = t - imh () = imn = im nt = im = + t + - h ((, )) = D = IR h - - n - - y y y y = = - = y y y y y = + = ( + ) = y άρα h () =, IR

3 Β. φ () = = + ( + ) ( ) ( + ) - ( + ) ~σελίδα αό ~ ( + ) = = = > ( + ) ( + ) ( + ) άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα φ () = = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) - ( + ) ( + ) - ( + ) ( + ) (( + - ) = = ( + ) ( + ) = ( - ) ( + ) ( - ) φ () = = - = = ( + ) ( - ) φ () > > - > ( + ) < < < - + φ () + - φ () Η φ είναι κυρτή στο (-, ], ενώ είναι κοίλη στο [, +) φ () = =, άρα σημείο καμής Α, +

4 ~σελίδα αό ~ Β. im φ () = im =, διότι im = άρα έχει οριζόντια ασύμτωτη στο - την y = ( ) + + ( ) im φ () = im = im = im =, + ( + ) + + DL'H + + άρα έχει οριζόντια ασύμτωτη στο + την y = ΘΕΜΑ Γ Γ. f () = - ημ και f () = -συν, [, ] ε : εφατομένη της C στο σημείο της Μ (, f ( )) ε : y - f ( ) = f ( ) ( - ) ε : y + ημ = -συν ( - ) A, - (ε) - + ημ = -συν - - συν - ημ + = f

5 ος τρόος Θεωρώ τη συνάρτηση q, με = συν = - ημ, [, ] q () = - συν - ημ +, [, ] q () = - συν - ημ + = - συν + - (συν) - (ημ) + - (-ημ) - συν ~σελίδα 5 αό ~ - + ημ + + q () q () q () = q () = q < < q () < q () q () > q < q () > q () q () > άρα η q () έχει μοναδικές ρίζες τις = και = (ε ) : y - f () = f () ( - ) (ε ) : y = - (ε ) : y - f () = f () ( - ) (ε ) : y = -

6 ος τρόος Θεωρώ τη συνάρτηση q, με q () = - συν - ημ +, [, ]. ~σελίδα 6 αό ~ Προφανείς ρίζες τα και. Έστω ότι η q έχει και τρίτη ρίζα ρ, με < ρ <. Η q είναι συνεχής στα [, ρ] και [ρ, ] Η q είναι αραγωγίσιμη στα (, ρ) και (ρ, ), με = συν q () = - συν - ημ + = - συν + - (συν) - (ημ) = - ημ q () = q (ρ) = q () = Θ. Roll + - (-ημ) - συν υάρχουν (, ρ) και (ρ, ), τέτοια ώστε q ( ) = q ( ) = ATOΠΟ, διότι η q () μηδενίζεται μόνο στα, και. άρα η q () έχει μοναδικές ρίζες τις = και = (ε ) : y - f () = f () ( - ) (ε ) : y = - (ε ) : y - f () = f () ( - ) (ε ) : y = -

7 Γ. η λύση E = - -ημ d = ημ d = -συν = -συν + συν = (ΟΑΒ) = (ΟΒ) (ΑΚ) = = Ε (ΟΑΒ) - Ε (ΟΑΒ) Ε = = - = Ε Ε Ε Ε η λύση ~σελίδα 7 αό ~ E = - -ημ d = ημ d = -συν = -συν + συν = (με υολογισμό του Ε ) (ΟΑΒ) = (ΟΒ) (ΑΚ) = = Ε = (ΟΑΒ) - Ε = - E = (-ημ + ) d + (-ημ - + ) d - = - 8 = -συν + + -συν - + = - Ε = = - Ε 8 ή

8 Γ. ~σελίδα 8 αό ~ f () + im = im f () + = +, διότι - f () - + f () - + im f () + = > και - im f () - + = +, διότι im f () - + = - - αφού η C βρίσκεται άνω αό την ε, f άρα f () - + >. η Γ. λύση Για κάθε [, ] η C βρίσκεται άνω αό την ε, άρα f > f () f () > - > - f () d > - d f () f () d > - n d > - - η λύση Για κάθε [, ] είναι : > ημ < -ημ > - f () > - f () f () > - d > - d f () f () d > - n d > - Όμως είναι - > - - αφού > εομένως f () d > - -

9 ~σελίδα 9 αό ~ ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι συνεχής στο [-, ) ως σύνθεση συνεχών. Η f είναι συνεχής στο (, ] ως γινόμενο συνεχών. Στο = : im f () = im = - - im f () = im ( ημ) = f συνεχής στο + + = f () = ημ = Eομένως η f είναι συνεχής στο [-, ]. Aναζητούμε την αράγωγο της f [-, ) : - f () = = = = ή = = = = < 8 6 < f () = = = - = = - (-) = - (, ] : f () = ημ = (ημ + συν) < f () - f () - - = : im = im = im = im - - = f () - f () ημ im+ = ημ im = im im = = η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο =. - Άρα f () = ή f () =, [-, ) -, [-, ) (ημ+συν), (,] (ημ+συν), (,]

10 Η f δεν αραγωγίζεται στο =, άρα το = είναι ένα κρίσιμο σημείο. ~σελίδα αό ~ Είναι f () < στο [-, ), άρα η f δεν έχει κρίσιμα σημεία στο [-, ). Στο > (, ] : f () = (ημ + συν) = ημ + συν = ημ + συν = συν = -ημ συν = συν + = κ - +, κ Ζ ή = κ - + αδύνατη (, ] = κ -, κ Ζ = κ -, κ Ζ κ = = - = (κρίσιμο σημείο) ή ημ + συν = Είναι συν, διότι ημ συν + = αν συν =, τότε ημ =. συν συν εφ + = Όμως ημ + συν = εφ = - εφ = εφ - + = (άτοο) (, ] κ = = κ -, κ Ζ = - = (κρίσιμο σημείο) Εομένως τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα = και =.

11 Δ. Στο [-, ) είναι f () <. ~σελίδα αό ~ Στο, η συνεχής f δεν μηδενίζεται, άρα αό συνέειες Θ.Bolzano διατηρεί σταθερό ρόσημο και εειδή f = ημ + συν = > θα είναι f () >, για κάθε,. Στο, η συνεχής f δεν μηδενίζεται, άρα αό συνέειες Θ.Bolzano διατηρεί σταθερό ρόσημο και εειδή f = ημ + συν = - < θα είναι f () <, για κάθε,. - f () f () Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα [-, ] και,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο,. Η f αρουσιάζει : τοικό μέγιστο για = -, την τιμή f (-) = τοικό ελάχιστο για =, την τιμή f () = τοικό μέγιστο για =, την τιμή f = τοικό ελάχιστο για =, την τιμή f () =

12 Δ = [-, ] Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ f (-) = f () = f (Δ ) = [, ] Δ =, Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ im f () = + im - f () = f (Δ ) =, ~σελίδα αό ~ Δ =, Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ f = f () = f (Δ ) =, Εομένως το σύνολο τιμών της f είναι (*) f (A) = f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) =, * > ( ) > > > > >

13 ~σελίδα αό ~ Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, με φ () = g () - f (), [, ]. 5 φ () = - ημ = ( - ημ) Για [, ] είναι ημ, άρα φ () 5 5 E = φ () d = ( - η μ) d = d - ημ d d = = - = = ημ d = ( ) ημ d = ημ - (ημ) d = - - συν d = - ( ) συν d = - συν + (συν) d = + + (-ημ) d = + - ημ d= + - Είναι = + - = + = + 5 E = d - ημ d = = = τ.μ.

14 Δ f () - ( - ) = 8 6f () ( - ) - = 8 6f () - ( - ) = 8 6f () - - = 8 6f () = 8 8 f () - - = 6 f () - - = f () - = - ~σελίδα αό ~ Η f αρουσιάζει ολικό μέγιστο το, άρα f () f () - και το "=" ισχύει μόνο για = () Eίναι - και το "=" ισχύει μόνο για = () Αό () και () για να ισχύει η ισότητα, ρέει =. Εομένως η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την =.

Σχετικά έγγραφα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.