Αθανάσιος Χρ.Τζέμος (Α.Μ 286) Μεταπτυχιακός Φοιτητής Θεωρητικής Φυσικής «Γενική Σχετικότητα» 11/3/2008

Transcript

1 Αθανάσιος Χρ.Τζέμος (Α.Μ 86) Μεταπτυχιακός Φοιτητής Θεωρητικής Φυσικής «Γενική Σχετικότητα» /3/008 Μια νέα απόδειξη του θεωρήματος της θετικής ενέργειας Στο παρόν πόνημα θα γίνει προσπάθεια να σκιαγραφηθεί η απόδειξη του θεωρήματος της θετικής ενέργειας, που έγινε το 98 από τον Edward Witten. Πριν πούμε οτιδήποτε, οφείλουμε να τονίσουμε πως ο Edward Witten (γεννηθείς το 95) είναι Αμερικάνος θεωρητικός φυσικός και καθηγητής στο Ινστιτούτο Ανώτερων Μελετών του Πανεπιστημίου του Princeton (απ όπου έχουν περάσει οι Von Neumann, Einstein, Gödel και πολλοί άλλοι). Θεωρείται δε εξέχουσα φυσιογνωμία στο χώρο της θεωρητικής φυσικής και ειδικότερα στη θεωρία υπερχορδών (θεωρητική κοσμολογία). Το 990 βραβεύτηκε με το μετάλλιο Fields για τη συμβολή του στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Όσον αφορά την εργασία, είναι γνωστό ότι στις κλασικές θεωρίες πεδίων που χρησιμοποιούνται στη Φυσική, η ολική ενέργεια είναι ολοκλήρωμα μιας θετικής ορισμένης ενεργειακής πυκνότητας Τ 00. (Το Τ 00 είναι ο τανυστής ενέργειας-ορμήςτάσης ή για συντομία ο τανυστής ύλης. Συνοψίζει σε μακροσκοπικό επίπεδο τις πυκνότητες παρουσίας και ροής της ενέργειας-ορμής σε ένα υλικό μέσο, των οποίων οι μικροσκοπικές λεπτομέρειες ενδέχεται να είναι πολύ περίπλοκες). Η θετικότητα της ενέργειας προσδίδει ευστάθεια της θεμελιώδους κατάστασης των συστημάτων. Στη βαρυτική όμως Φυσική τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά. Ακόμη και στην περίπτωση της προσέγγισης ασθενούς πεδίου (η γραμμική προσέγγιση ή προσέγγιση ασθενούς πεδίου ενδείκνυται όταν σε μια κατάλληλη κλάση συστημάτων συντεταγμένων η μετρική διαφέρει ελάχιστα από τη μορφή του Minkowski, δηλαδή G μν = γ μν +h μν, με γ μν =γ μν και h μν πολύ μικρά, ώστε να αγνοούνται όροι με περισσότερους από ένα παράγοντες h. Το σημαντικό σημείο της ασθενούς προσεγγίσεως είναι πως δεν αλλάζει ο τανυστής Riemann, άρα δεν αλλάζει και η Φυσική με την προσέγγιση αυτή) δεν είναι εύκολο να ορίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα του βαρυτικού πεδίου. Μπορεί μεν να οριστεί ως ένας ψευδοτανυστής

2 ενέργειας, αλλά όπως λέει και το όνομά του δεν είναι τανυστής και δεν ορίζεται θετικά. Ψευδοτανυστής είναι μια ποσότητα που συμπεριφέρεται σαν τανυστής κάτω από μια proper rotation, αλλά αλλάζει πρόσημο κάτω από μια improper rotation. Proper rotation είναι μια κανονική περιστροφή, ενώ improper είναι ένας συνδυασμός μιας περιστροφής γύρω από έναν άξονα και μιας αντιστροφής ως προς την αρχή των αξόνων. Σε επίπεδο σχετικότητας, πρέπει να τονιστεί ότι η εισαγωγή ψευδοτανυστού μας βοηθάει να κατανοήσουμε, ότι λόγω της μη ακριβούς τους κατασκευής, οι εξισώσεις με ψευδοτανυστές ως προς ένα σύστημα αναφοράς δεν ισχύουν πάντα ως προς ένα άλλο σύστημα αναφοράς. Οι ψευδοτανυστές δηλαδή δεν είναι αναλλοίωτοι. Η ολική ενέργεια ενός συστήματος που υπόκειται στη βαρύτητα, μπορεί να οριστεί μέσω της ασυμπτωτικής του συμπεριφοράς σε μεγάλες αποστάσεις από το βαρυτικό πεδίο. Εντούτοις δεν είναι προφανές ότι η ολική ενέργεια που ορίζεται κατ αυτόν τον τρόπο είναι πάντα θετική. Από παλιά (ως προς το 98) λοιπόν υπήρχε η εικασία ότι η ολική ενέργεια είναι πάντα αυστηρώς θετική, εκτός από τον επίπεδο χώρο Minkowski, ο οποίος έχει μηδενική ενέργεια. Το ζήτημα μελετήθηκε από πολλούς ερευνητές (Bondi, Bribb, Leibovitz,Fisher, Peser κτλ) και από διάφορες σκοπιές. Η τελευταία απόδειξη του θεωρήματος της θετικής ενέργειας πριν αυτή του Witten, είναι αυτή των Schoen και Yan, το 979 με χρήσης μεταβολικών μεθόδων. Το θεώρημα της θετικής ενέργειας λέει ότι κάτω από τη συνθήκη κυρίαρχης ενέργειας (η μάζα-ενέργεια δεν μπορεί ποτέ να ρέει γρηγορότερα από το φως)-η μάζα-ενέργεια ενός ασυμπτωτικά επίπεδου χωρόχρονου δεν είναι αρνητική. Επιπλέον, η μάζα-ενέργεια είναι μηδενική μόνο για το χωρόχρονο Minkowski. Ασυμπτωτικά επίπεδος χωρόχρονος είναι μια πολλαπλότητα Lorentz, μέσα στην οποία (μιλώντας γενικώς) η καμπυλότητα μηδενίζεται σε μεγάλες αποστάσεις από κάποια περιοχή, έτσι ώστε η γεωμετρία της να μη μπορεί να διακριθεί από αυτή του χωροχρόνου Minkowski. O Witten πριν καταπιαστεί με την απόδειξη του θεωρήματος ασχολήθηκε για λίγο με τη σταθερότητα του χώρου του Minkowski. Λέει χαρακτηριστικά ότι εάν το

3 θεώρημα θετικής ενέργειας ήταν ψευδές, θα υπήρχε προφανώς μια κατάσταση αρνητικής ενέργειας στη γενική σχετικότητα. Αυτό με τη σειρά του θα σήμαινε ότι ο χώρος του Minkowski θα ήταν ασταθής και θα «κατέρρεε» (decay) στην αρνητικής ενέργειας κατάσταση. Από τη στιγμή όμως που οι φυσικοί γνώριζαν ότι ο χώρος Minkowski παρουσιάζει ευστάθεια σε μικρές διακυμάνσεις (η ενέργεια των γραμμικοποιημένων βαρυτικών κυμάτων είναι θετική), η υποθετική αυτή κατάρρευση θα πραγματοποιείτο μέσω διάτρησης ενός φράγματος, ή ενός κβαντικού φαινομένου σήραγγος διαμέσου ενός φράγματος. Συνεχίζοντας, λέει ότι είχε από τότε αποδειχτεί ότι σε μη μηδενικές θερμοκρασίες η κβαντική βαρύτητα είναι ασταθής σε τέτοιες διεργασίες. Επίσης, σε εργασία του Witten που δημοσιεύτηκε αργότερα σε σχέση με την παρούσα, αποδείχτηκε ότι η θεμελιώδης κατάσταση της ενοποιημένης κατά Kaluza-Klein θεωρίας της βαρύτητας-ηλεκτρομαγνητισμού, είναι ασταθής σε διατρήσεις φραγμάτων. Άρα η ερώτηση αν ο Minkowski χώρος παρουσιάζει σε ημικλασική προσέγγιση αστάθεια, είναι λογική και όχι άσκοπη. Το πώς θα χειρίζεται κανείς στη θεωρία πεδίων την κατάρρευση μιας ασταθούς θεμελιώδους καταστάσεως μέσω διάτρησης φράγματος, ήταν από τότε γνωστό. Αυτό γινόταν με την εύρεση των λύσεων των κλασικών Ευκλείδειων εξισώσεων που έμοιαζαν με instantons. Στις Ευκλείδειες εξισώσεις πεδίων, τα πεδία προσέγγιζαν την τιμή που είχαν στην ασταθή κατάσταση κενού (Η κατάσταση με τη χαμηλότερη δυνατή ενέργεια εξ ορισμού δεν περιέχει φυσικά σωματίδια. Πολλές φορές ορίζεται να έχει μηδενική ενέργεια, κάτι που δεν είναι απόλυτα σωστό μιας και είναι συνδεδεμένη με την ενέργεια μηδενικού σημείου, η οποία όμως έχει μετρήσιμες επιπτώσεις). Τα instantons-στιγμιόνια είναι από φυσικής πλευράς κλασικές λύσεις στις εξισώσεις κίνησης είτε στην κβαντική μηχανική, είτε στην κβαντική θεωρία πεδίων. Ακριβέστερα, είναι λύσεις στις εξισώσεις κίνησης της κλασικής θεωρίας πεδίου σε ευκλείδειο χωροχρόνο. Μπορούν να θεωρηθούν σαν κρίσιμα σημεία της δράσης (μέγιστα, ελάχιστα ή σάγματα). Είναι σημαντικά στην κβαντική θεωρία πεδίου, διότι πρώτον εμφανίζονται στα ολοκληρώματα διαδρομών σαν οι κύριες κβαντικές διορθώσεις στην κλασική συμπεριφορά ενός συστήματος και δεύτερον μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη φαινομένων σήραγγας σε διάφορα συστήματα. 3

4 Η αστάθεια στην κατάσταση κενού εμφανίστηκε μέσω αρνητικών action modes για μικρές διακυμάνσεις γύρω από τα instantons. O Witten θέλοντας να μελετήσει την σταθερότητα του χώρου Minkowski, προσπάθησε να βρει μια λύση των εξισώσεων Minkowski (με ευκλείδεια μετρική), που σε μεγάλες αποστάσεις προσεγγίζει ασυμπτωτικά τον Ευκλείδειο χώρο. Στην συγκεκριμένη δημοσίευση μελέτησε την περίπτωση καθαρής βαρύτητας χωρίς πεδία ύλης και γι αυτό έλαβε υπ όψιν του τις εξισώσεις Einstein χωρίς πηγές R μν =0 (), με τη συνοριακή συνθήκη ότι έξω από μια συμπαγή περιοχή μπορεί κανείς να εισάγει τις συντεταγμένες x i στις οποίες η μετρική g ij είναι ασυμπτωτικά Ευκλείδεια., δηλαδή G ij =δ ij +α ij, α ij 0 όταν x (). Σύμφωνα με αυτά που προηγήθηκαν, η ενέργεια του χώρου Minkowski θα ελάμβανε κάποτε μια φανταστική συνεισφορά που θα έδειχνε αστάθεια, εάν υπήρχε μετρική που θα ικανοποιούσε ταυτοχρόνως τις () και () και για μικρές διακυμάνσεις γύρω από τη μετρική υπήρχαν αρνητικοί action modes. Εντούτοις ο Witten δείχνει πως ο μόνος χώρος που ικανοποιεί τις και ταυτόχρονα είναι ο επίπεδος Ευκλείδειος χώρος. Πως όμως το αποδεικνύει; Θέλοντας να υπάρχει ένα περιληπτικό ύφος σε αυτή την αναφορά και να μη δοθεί έκταση σε μαθηματικές λεπτομέρειες, που ούτως ή άλλως υπάρχουν στη δημοσίευση, παρουσιάζεται η απόδειξη κατά βήματα: ) Σε πολύ μεγάλες αποστάσεις το α ij στην () είναι πολύ μικρό και προσεγγίζει τις λύσεις των γραμμικοποιημένων εξισώσεων Einstein. Ο Witten χρησιμοποιεί 4 διαστάσεις όπου είναι γνωστό ότι κάθε λύση των προηγουμένων εξισώσεων που μηδενίζεται σε μεγάλες αποστάσεις, φθίνει τουλάχιστον κατά r -4 εάν οι επιλεγμένες μεταβλητές x i είναι αρμονικές. Υποθέτει λοιπόν πως G ij =δ ij +0 (r -4 ), ώστε η αρμονική συσχέτιση να έχει συμπεριφορά Γ J jk r -5. ) Προσπαθεί να αποδείξει το ζητούμενο με κατασκευή συντεταγμένων για τις οποίες ο μετρικός τανυστής είναι ταυτοτικά δ ij. Οι συνήθεις καρτεσιανές συντεταγμένες είναι αρμονικές συναρτήσεις και ικανοποιούν την εξίσωση Laplace t x y z t = 0,η οποία σε καμπυλόγραμμο σύστημα γράφεται: D t=0 με D =g μν D μ D ν (D η κατάλληλη Laplacian). 4

5 Με την κατασκευή λοιπόν των συντεταγμένων φ μελετάει την εξίσωση D φ=0. 3) Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο τελεστής D είναι θετικός (άρα η εξίσωση Laplace έχει μη μηδενικές λύσεις που μηδενίζονται στο άπειρο) και ότι κάθε αρμονική συνάρτηση μηδενίζεται στο άπειρο φθίνει τουλάχιστον σαν r -, βγάζει ότι το φ (που είναι ένα από τα φ i ), είναι σταθερά που μηδενίζεται, αφού μηδενίζεται στο άπειρο. 4) Στη συνέχεια μιλάει για την D φ=0 και λέει ότι υπάρχουν λύσεις της χωρίς απαραίτητα να ισχύει ότι το φ μηδενίζεται στο άπειρο. Αποδεικνύει δε, ότι εάν α i είναι ένα σταθερό διάνυσμα, υπάρχει πάντα μια μοναδική λύση φ της D φ=0 ώστε αx+0(v -3 ) όταν x. Η απόδειξη του παραπάνω συλλογισμού γίνεται γράφοντας την επιθυμητή αρμονική συνάρτηση φ σαν φ=φ +φ, όπου D φ = -D φ και το φ =αxf( x ) με f μια λεία συνάρτηση που είναι για x R και x R 0 (προσωπικά μου έκανε μεγάλη εντύπωση η συλλογιστική του Witten σε αυτό το σημείο). 5) Το τελευταίο βήμα γίνεται με την απόδειξη ότι το K ν = ν φ είναι αναλλοίωτα σταθερό D μ Κ ν =0. Η απόδειξη γίνεται με την εύρεση του ότι το ολοκλήρωμα ) μ dx( D K μηδενίζεται.για το λόγο αυτό χρησιμοποιεί ότι 0, μ ν DK μ = Dφ = R μν = 0 και ότι η ποσότητα ν μ μ ν ( K D K K DμK ) μ ν συγκλίνει πολύ γρήγορα. Μετά από αυτά τα βήματα έχει καταφέρει να κατασκευάσει ένα συναλλοίωτα σταθερό διανυσματικό πεδίο Κ μ. Επειδή όμως το σταθερό α i χρησιμοποιήθηκε για αυτό το λόγο και επειδή δουλεύει σε 4 διαστάσεις, προκύπτουν 4 γραμμικώς ανεξάρτητα πεδία Κ που το καθένα είναι συναλλοίωτα σταθερό. Μια τετραδιάστατη πολλαπλότητα με 4 σταθερά πεδία πρέπει να είναι επίπεδη (γνωστό από τα μαθηματικά). Άρα ο χώρος είναι επίπεδος. Η απόδειξη έγινε για 4 διαστάσεις, αλλά επειδή τα α είναι αυθαίρετα, μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Προκύπτει λοιπόν ότι ο μετρικός τανυστής είναι σταθερός ως προς τις συντεταγμένες φ i και η σταθερά ισούται με δ ij, αφού ασυμπτωτικά το x i =φ i. Συνεπώς τα φ i είναι πράγματι καρτεσιανές συντεταγμένες. Μετά από τη μελέτη του χώρου Minkowski, o Witten εισέρχεται στο κύριο μέρος της δημοσίευσης, με το θεώρημα της θετικής ενέργειας. Στην αρχή τοποθετεί το πρόβλημα ως εξής: 5

6 Έστω χωροχρόνος που ικανοποιεί τις εξισώσεις Einstein R g R= 8 GΤ μν μν π μν H μόνη απαίτηση για τον τανυστή Τ μν είναι ότι Τ 00 0 σε κάθε σημείο του χωροχρόνου και για κάθε τοπικό σύστημα αναφοράς. Υποτίθεται επίσης ότι σε αυτό τον χωροχρόνο υφίσταται μια χωροειδής υπερεπιφάνεια που είναι ασυμπτωτικά Ευκλείδεια. Η επιφάνεια αυτή μπορεί να θεωρηθεί σαν η επιφάνεια των αρχικών τιμών. Πιο συγκεκριμένα, γίνεται η παραδοχή ότι στη «γειτονιά» της υπερεπιφάνειας η μετρική συμπεριφέρεται στο άπειρο σαν g μν x ( r ) = η + 0 () κ g μν μν = 0 ( r ), όπου η μν η μετρική του επίπεδου χώρου. Η ολική ενέργεια του συστήματος ορίζεται σαν το επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην ασυμπτωτική συμπεριφορά του βαρυτικού πεδίου Ε= 6π x xj j ds g jk g κ kk, όπου το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σε μια ασυμπτωτικά επίπεδη περιοχή της επιφάνειας αρχικών τιμών. Το πρόβλημα είναι να αποδείξουμε ότι η ολική ενέργεια Ε είναι πάντα 0 και 0 μόνο για τον επίπεδο χώρο Minkowski. Αυτή ήταν η αυστηρή διατύπωση του προβλήματος, ακριβώς όπως τη δίνει ο Witten. Στη συνέχεια και αμέσως πριν την απόδειξη, ο ερευνητής κάνει μια ποιοτική ανάλυση. Λέει χαρακτηριστικά πως υπάρχουν χώροι (όπως για παράδειγμα ο χώρος Schwarzschild) για τους οποίους το παραπάνω ολοκλήρωμα ροής είναι αρνητικό και οι οποίοι ικανοποιούν τις εξισώσεις Einstein σε μεγάλες αποστάσεις. Στις περιπτώσεις όμως αυτές εμφανίζονται ανωμαλίες (Schwarzschild Singularity). Όσον αφορά τη συντηρητικότητα της Ε, αυτή ισχύει πάντα. Γιατί; Επειδή δεν υπάρχουν υπερφωτεινά σώματα, καμία φυσική διεργασία δε μπορεί να αλλάξει τη συμπεριφορά του βαρυτικού πεδίου στο χωροειδές άπειρο. Επίσης, ημικλασικά φαινόμενα σήραγγος σαν αυτά που προείπαμε, συντηρούν την ολική ενέργεια, κάτι που θα ισχύει και για κάθε διεργασία μέσω της οποίας μπορούσε να καταρρεύσει ο χώρος 6

7 Minkowski. Για αυτό λοιπόν το θεώρημα της θετικής ενέργειας διασφαλίζει την ευστάθεια του χώρου Minkowski αφού ο τελευταίος είναι ο μοναδικός χώρος ελάχιστης ενέργειας (σύμφωνα με αυτό!). Τέλος στην ειδική περίπτωση που Τ μν =0 παντού (απουσία της ύλης), το θεώρημα λέει ότι η ολική ενέργεια του αμιγούς βαρυτικού πεδίου είναι 0. Παρουσία της ύλης, το θεώρημα εγγυάται ότι η ενέργεια του συστήματος (ενέργεια ύλης+ ενέργεια πεδίου) είναι 0 για Τ Και τώρα η απόδειξη Ο Witten γνωστοποιεί στον αναγνώστη ότι η απόδειξη θα περιέχει μελέτη των λύσεων της εξίσωσης Dirac idε / = 0,πάνω στην υπερεπιφάνεια αρχικών τιμών. Ο τελεστής δεν είναι ο γνωστός τελεστής Dirac τεσσάρων διαστάσεων, αλλά τριών διαστάσεων και ορισμένος πάνω στην επιφάνεια αρχικών τιμών. Ισχύει 3 i /= γ Di i= D, όπου το άθροισμα είναι πάνω σε 3 κατευθύνσεις εφαπτόμενες στην αρχική επιφάνεια. Το D i είναι μια ποσότητα που μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους: Α) Σαν η συναλλοίωτη παραγωγός πολλαπλότητας-γεωμετρίας 4 διαστάσεων Dμ της κανονικής ή Β) σαν η συναλλοίωτη παραγωγός που αντιστοιχεί στην εσωτερική γεωμετρία της τρισδιάστατης επιφάνειας αρχικών τιμών. Η διαφορά είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση ένα εφαπτομενικό διάνυσμα στην υπερεπιφάνεια παραμένει εφαπτομενικό μετά από παράλληλη μεταφορά, ενώ στην πρώτη ακολουθεί την ολική πολλαπλότητα και δεν αλλάζει διεύθυνση. 7

8 Ένα πολύ ενδιαφέρον στοιχείο στην απόδειξη του Witten και μάλιστα χαρακτηριστικό αυτής, είναι η χρησιμοποίηση των spinors ε. Όπως λέει και ο ίδιος ο ερευνητής η χρησιμοποίησή τους ήταν η μη αναμενόμενη και προήλθε από τη θεωρία της υπερσυμμετρίας. Τι είναι οι spinors; Στη φυσική και στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στη θεωρία ομάδων, οι spinors είναι στοιχεία ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου που εισήχθησαν για την επέκταση της έννοιας του διανύσματος. Είναι απαραίτητοι επειδή η πλήρης δομή των ομάδων των στροφών σε δεδομένες διαστάσεις, χρειάζεται κάποιους επιπλέον αριθμούς διαστάσεων για να αναπαρασταθεί. Μιλώντας λίγο αυστηρότερα, οι spinors ορίζονται σαν γεωμετρικά αντικείμενα που κατασκευάζονται από συγκεκριμένο διανυσματικό χώρο και είναι εφοδιασμένοι με τετραγωνικές μορφές σε επίπεδο άλγεβρας και κβάντωσης (quantitation είναι χονδρικά η διαμόρφωση διακριτού συνόλου τιμών από ένα συνεχές σύνολο. Στη Φυσική είναι η διαδικασία κατασκευής κβαντικής θεωρίας πεδίου από κλασική θεωρία πεδίου). Η ομάδα στροφών δρα πάνω στους spinors, έχοντας όμως μια αμφισημία στο πρόσημο. Η τελευταία μπορεί να αρθεί αν δει κανείς το χώρο των spinors σαν γραμμική αναπαράσταση ομάδας της ομάδας του spin. Αυτό είναι μια εναλλακτική θεώρηση σε σχέση με την κυρίαρχη, σύμφωνα με την οποία οι spinors είναι απλώς μια προβολική αναπαράσταση της ομάδας των στροφών. Η θεώρηση αυτή κάνει ευκολότερα κατανοητές τις αλγεβρικές του ιδιότητες αλλά συσκοτίζει τις γεωμετρικές τους καταβολές. Από ιστορικής πλευράς οι spinors ανακαλύφθηκαν το 93 από τον Elie Cartan. 8

9 Ο spinor στην εξίσωση idε / = 0 ορίζεται από τον Witten πάνω στην αρχική επιφάνεια. Συνεχίζοντας, ο ερευνητής θεωρεί σαν ορισμό του D i αυτόν της ολικής πολλαπλότητας, αλλά με την προϋπόθεση ότι θα παραγωγίζει μέσα στην τρισδιάστατη επιφάνεια αρχικών τιμών. Επειδή η απόδειξη είναι μακροσκελής και αρκετή δύσκολη, θα περιγραφεί με μια σειρά βημάτων, ακριβώς όπως και πριν. ) Ο Witten αποδεικνύει ότι η εξίσωση Dirac idε / = 0 δεν έχει λύση ε που να μηδενίζεται σε μεγάλες αποστάσεις. Πράγματι οι spinors που χρησιμοποιεί ικανοποιούν την εξίσωση Dirac και δεν μηδενίζονται στο άπειρο. Η απόδειξη του παραπάνω ισχυρισμού αρχίζει με τη σχέση: ( ) i i j 0= id/ ε = 0 = D Diε γ, γ Di, D j ε 4 και την ταυτότητα που ισχύει για τους spinors i α β Di, D j ε = R ijαβ γ, γ ε 8 αβ Μετά από πολύπλοκη μαθηματική ανάλυση ο συγγραφέας (χρησιμοποιώντας και τις εξισώσεις Einstein R00 g00r= 8π GΤ 00 )καταλήγει στο συμπέρασμα ότι κάθε λύση της idε / = 0 ικανοποιεί τη σχέση ij + Τ + Τ = i 0 j DDiε 4πG 00 0 jγ γ ε 0 i j Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία με ε -ν και ολοκληρώνοντας προκύπτει τελικά 3 * 3 0 j dx g( Diε Diε) + 4πG dx g Τ 00 + Τ0 jγ γ ε = 0 () Το κρίσιμο τώρα σημείο είναι ότι ο Τ 00 Τ 0j. Αλλιώς θα μπορούσε Τ 00 <0 σε κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, κάτι που δεν επιτρέπεται αφού ο Τ + Τ j j 0 j 00 0 jγ γ είναι θετικά ορισμένος (είναι ερμιτιανός με θετικές ιδιοτιμές). Υποχρεωτικά λοιπόν θα πρέπει / Dε = 0 Όμως, αν ε διάφορο του μηδενός, τότε το ε δεν μηδενίζεται στο άπειρο. (Στη συνέχεια ο Witten παραθέτει ένα πολύ τεχνικό ιντερλούδιο, το οποίο έρχεται σαν συμπλήρωμα του παραπάνω ισχυρισμού και με λίγα λόγια λέει ότι υπάρχει λύση ε 0 ώστε ε ε0 + 0 r ( r ) ). 9

10 ) Ο Witten αφού έχει αποδείξει ότι είναι εφικτό, ψάχνει να βρει ένα spinor ε(x) με την προηγούμενη ιδιότητα. Όπως και στη μελέτη του χώρου Minkowski ε=ε +ε με το ε να μηδενίζεται στο άπειρο τουλάχιστον σαν r -. Τελικά βγάζει ότι (το 4π r ε γ ε 4π r 3 ( x) = dy xd ˆ / ( y) + 0( r ) μας θυμίζει τις συναρτήσεις Green! Πράγματι χρησιμοποίησε μια συνάρτηση μια συνάρτηση Green του τελεστή D/ ). 3)Επαναλαμβάνοντας τον ίδιο μαθηματικό συλλογισμό που τον οδήγησε στην (), χωρίς όμως να λάβει υπόψιν τις συνοριακές συνθήκες που ικανοποιεί το ε, βγάζει ότι 3 * k 3 * 3 * 0 j dx k ( ε Dε) = dxd ( iε Diε) + dxε Τ 00 + Τ0 jγ γ ε Αφού το δεξί μέλος είναι θετικό θα πρέπει 3 * k dx k ( ε Dε) 0 ( ( ) ) 3 * k k dx ε * k D ε = ds ε Dkε 4) Προσπαθεί να υπολογίσει το επιφανειακό ολοκλήρωμα, βρίσκοντας το D κ ε για όρους μέχρι.αυτό ισοδυναμεί με υπολογισμό του ε μέχρι και όρους. Το S r r είναι αναλλοίωτο ως προς την επιφάνεια αρχικών τιμών. αναλλοίωτες ποσότητες που μπορούν να σχηματιστούν από τον όρο j Όμως οι μοναδικές r στο μετρικό τανυστή είναι η ολική ενέργεια και η ολική ορμή. (υπολογισμός του ε μέχρι και όρους ισοδυναμεί με γνώση του μετρικού τανυστή μέχρι και όρους r r ). Συνεπώς το S μπορεί πιθανώς να οριστεί μέσω της ορμής ή της ενέργειας του συστήματος. 5) Παίρνει την προσέγγιση ασθενούς πεδίου ώστε να υπολογιστεί το S. Επειδή στη γενική περίπτωση οι υπολογισμοί είναι «δαιδαλώδεις» όπως λέει και ο ίδιος, ξεκινάει από ένα σώμα με ηρεμία, του οποίου το πεδίο είναι ασυμπτωτικά Scwarzschild πεδίο, δηλαδή GM GM hij = δij h0 j = 0 h00 = r r Τελικώς βγάζει για αυτή την περίπτωση ότι S = 4πGMε ε 0 M 0 * 0 6) Επανέρχεται στη γενική περίπτωση, όπου οι μόνες υποθέσεις που κάνει είναι ότι g μν =η μν +h μν, με h μν r και h r a μν στο χωροειδές άπειρο. Ανεξάρτητα της 0

11 τιμής της ορμής Ρ κ, είναι πάντα δυνατό να διαλέξει κανείς το ε 0 σαν 0 ιδιοδιάνυσμα του πίνακα γ γ P * 0 k * ώστε Pε γ γ ε = P ε ε. Κατ αυτήν την * έννοια, S 4πGε0ε0( E P) k k = και επειδή S 0 E P. Η τελευταία είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η ολική ενέργεια να είναι θετική σε κάθε (ασυμπτωτικά) Lorentz σύστημα αναφοράς. Ξεκινώντας λοιπόν από τον ορισμό του επιφανειακού ολοκληρώματος όρους ε, το υπολογίζει μέχρι και για * S = dωr ε D r r αφού είναι οι μόνοι που συμβάλλουν. Με ε ε ε ( θ φ) = 0 + 0, /r και 3 Drε rε0 (, ) + 0( r ) Γ r r παίρνουμε 0 r 0 0 ε θ φ * * και S = dωr ε Γ ε dωε (, ) Κάνοντας πολύπλοκες πράξεις βρίσκει ότι ι ( k κ Γι) k * S = ds ε 0 Γ γγ ε0 =Γ r ε θ φ Στην προσέγγιση ασθενούς πεδίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ορθοκανονική βάση e i i = δ + h. Ως προς αυτή τη βάση η γραμμικοποιημένη μορφή των i μ μ μ πινάκων για τη σύνδεση του spin είναι α β Γ λ = ( βhαλ αhβλ) γ, γ 6 Κάνοντας χρήση της τελευταίας καταλήγει στη σχέση αβ S = ε ε ds ε ( ihji jhii) + ε0γ γ ε 4 i 4 * j * * 0 k k j ( j 0k 0hjk + δ jk 0hii δ jk 0 0i ) ds h h Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση με τις γενικές σχέσεις που ισχύουν για την ολική ενέργεια και ορμή ενός βαρυτικού συστήματος: 6π G j E = ds h 6π G ( i ji jhii) j και P= ds ( jh0k 0hjk + δ jk 0hii δ jk 0h0i ) βγάζει το γενικό τελικό αποτέλεσμα * * 0 k S = 4πG ε0εe+ ε0εγ γ ε0 Pk k

12 Όμως όπως προαναφέρθηκε, διαλέγοντας το ε 0 σαν ιδιοδιάνυσμα του ερμιτιανού 0 πίνακα γ γ P με ιδιοτιμή P προκύπτει E P, (επειδή S 0 ) που είναι το πολυπόθητο αποτέλεσμα. 7) Η απόδειξη δεν έχει τελειώσει ακόμη! Πρέπει να δείξει ότι Ε=0 μόνο για τον επίπεδο χώρο Minkowski. Για Ε=0 τότε Ρ =0 και S=0 για κάθε επιλογή του ε 0. Από τη σχέση όμως 3 * 3 * 3 * 0 j dx ε Dε = dxdε Dε + dxε Τ 00 + Τ0 jγ γ ε j k k ( ) ( i i ) D i αν S=0, τότε ε = 0 σε όλη την επιφάνεια αρχικών τιμών. Πιο συγκεκριμένα το ε είναι συναλλοίωτα σταθερό και δεν μηδενίζεται πουθενά στην επιφάνεια αυτή. Αλλά α b Diε = 0 Di, D j ε = 0 ή R ijab γ, γ ε = 0. Η ύπαρξη μόνο ενός μη μηδενικού spinor ε δε συνεπάγεται ότι R ijαβ =0. Επειδή όμως το ε 0 που υπάρχει στο ε είναι αυθαίρετο και το S μηδενίζεται ε 0, δεν έχουμε απλώς ένα συναλλοίωτα σταθερό spinor, αλλά μια ολόκληρη βάση μη μηδενικών συναλλοίωτα σταθερών πεδίων spinor. Άρα R ijαβ =0 σε όλη την επιφάνεια αρχικών τιμών. Επειδή όμως η τελευταία σχέση ισχύει μόνο για την επιφάνεια αρχικών τιμών και o R ijαβ είναι υποπερίπτωση του ολικού R μναβ (για στοιχεία γι τα οποία μ=i και ν=j που είναι εφαπτόμενα στην επιφάνεια), ο Witten κάνει μια πολύ έξυπνη κίνηση: Παραμορφώνει την επιφάνεια αρχικών τιμών τοπικά χωρίς να την αλλάξει στο άπειρο. Κατ αυτή την έννοια τα Ε και Ρ δεν αλλάζουν και το S συνεχίζει να είναι 0. Άρα R ijαβ =0 στην καινούρια επιφάνεια. Για να είναι όμως το R ijαβ μηδενικό σε κάθε χωροειδή επιφάνεια στην οποία μπορεί να «παραμορφωθεί» η αρχική, θα πρέπει R μναβ =0 παντού. Θα πρέπει δηαδή ο χώρος να είναι επίπεδος! Τέλος επειδή R μναβ =0 παντού, από τις εξισώσεις Einstein R g R= 8π GΤ μν μν μν παίρνουμε αμέσως Τ μν =0, δηλαδή ο χώρος είναι κενός! Συνεπώς ο χώρος Minkowski έχει μηδενική ενέργεια! Αυτή ήταν σε γενικές γραμμές η απόδειξη του θεωρήματος της θετικής ενέργειας, το κύριο δηλαδή μέρος της εργασίας. Ο Witten στη συνέχεια κάνει κάποια ποιοτικά σχόλια για τον spinor. Διαλέγοντας κατάλληλα τον «αυθαίρετο» ε 0 μπορούμε να φτιάξουμε ένα συναλλοίωτα σταθερό διάνυσμα Η μ =εγ μ ε, το οποίο θα είναι πάντα φωτοειδές, που σημαίνει ότι το σύστημά μας θα διαδίδεται με την

13 ταχύτητα του φωτός. (Αυτό γίνεται μέσω συναλλοίωτα σταθερών spinors ε θετικής και αρνητικής chirality). Επίσης μπορούμε από τον ε να φτιάξουμε ένα συναλλοίωτα σταθερό αντισυμμετρικό τανυστή K μν T μν = e Cσ ε (C ο πίνακας συζυγίας του φορτίου). Μέσω αυτού του τανυστού οι Ehlers και Kundt έδειξαν ότι η μόνη ασυμπτωτικά επίπεδη λύση των εξισώσεων Einstein στο κενό Ε= Ρ είναι ο χώρος Minkowski και ότι δεν υπάρχουν μη τετριμμένες ασυμπτωτικά επίπεδες λύσεις των εξισώσεων Einstein-Maxwell για Ε= Ρ. Ο Witten δούλεψε στις 3+ διαστάσεις. Η απόδειξη όμως γίνεται και για οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων με την προϋπόθεση να ορίζεται ο spinor στην επιφάνεια αρχικών τιμών. Πιθανόν σε κόσμο περισσότερων των 3 διαστάσεων να υπάρχουν εμπόδια τοπολογικής φύσεως στον ορισμό των spinors, οπότε η απόδειξη δε μπορεί να γενικευτεί. Τέλος, μπορεί κάποιος να φανταστεί την επιφάνεια αρχικών τιμών να συνδέει διαφόρους ασυμπτωτικά επίπεδους κόσμους, οπότε ο κάθε παρατηρητής θα βλέπει διαφορετικές μάζες. Μπορεί να αποδειχτεί ότι αυτές οι μάζες είναι θετικές, παρουσιάζοντας τις λύσεις της εξίσωσης Dirac που είναι ασυμπτωτικά σταθερές στον ένα κόσμο ενώ είναι ασυμπτωτικά 0 στους άλλους! Η ερευνητική δημοσίευση κλείνει με λίγα λόγια για την υπερβαρύτητα. Στην υπερβαρύτητα η Hamiltonian είναι Η= Q h / Οι Deser, Teitelbolm και Erisaru έδειξαν ότι ο τύπος αυτός δείχνει τη θετικότητα της ενέργειας στην υπερβαρύτητα. Επειδή όμως η υπερβαρύτητα δεν έχει νόημα σαν κλασική θεωρία πεδίου, η a a Η= Qa h / δεν έχει προφανές νόημα. Ο Erisaru λοιπόν έδωσε την ιδέα ότι για h 0 μπορεί κανείς να αποδείξει τη θετικότητα της ενέργειας σε επίπεδο κλασικής γενικής σχετικότητας. Τέλος δείχνει πως οδηγήθηκε στην επιλογή των spinors. Το φορτίο στην 3 υπερσυμμετρία είναι Q= d x S 0a με ένα σταθερό spinor. Η επιλογή του ε ε α S 0a είναι αυθαίρετη και «μοιάζει» με την επιλογή βαθμίδας στην υπερβαρύτητα. Από τη στιγμή που θέλει να καταλήξει στη θετικότητα της ενέργειας, προσπαθεί να βάλει συνθήκες στον ορισμό του ε. Για D i ε=0 δεν υπάρχει λύση (ισχυρή συνθήκη) οπότε καταφεύγει στην γ D i ε=0 (ασθενής συνθήκη). Πιθανόν αυτή η συνθήκη να a 3

14 αντιστοιχεί σε επίπεδο υπερβαρύτητας στην επιλογή βαθμίδας γ i ψ i =0, αφού δ(γ i ψ i )=γ i δψ i =γ ι D i ε. Για D i ε=0 στη επιφάνεια αρχικών τιμών οδηγούμαστε στην επιλογή μοναδικού ε, όπως και έγινε στην απόδειξη. Προσωπικό σχόλιο: Η δημοσίευση αυτή αποτελεί σταθμό για τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Πραγματοποιήθηκε το 98, χρονιά την οποία άλλη μια μεγάλης σημασίας έρευνα ήλθε στο φως. Ήταν αυτή του Allan Guth, ο οποίος μίλησε πρώτος για το πληθωριστικό Σύμπαν (στον οποίο επίσης έχω πάρει εργασία!). Το 98 λοιπόν ήταν σπουδαίο έτος για την Κοσμολογία. Επειδή δεν ασχολούμαι με τη Φυσική των Πεδίων μπορώ να πω πως ότι ξέρω γι αυτήν το έμαθα κυρίως μέσα απ τη δημοσίευση. Παρ αυτα η μαθηματική ικανότητα και η οξυδέρκεια του Witten φαίνεται αμέσως και αυτό είναι που μου έκανε τη μεγαλύτερη εντύπωση απ την όλη εργασία. Η συλλογιστική του είναι απαράμιλλη, ιδίως στο σημείο της παραμόρφωσης της επιφάνειας αρχικών τιμών, με σκοπό να δείξει ότι ο χώρος με μηδενική ενέργεια οφείλει να είναι επίπεδος και στη μελέτη της D φ=0. Με πολύ λακωνικό τρόπο (τον οποίο πέρασα στην αναφορά) παρουσιάζει βήμα-βήμα τη συλλογιστική του και έρχεται όλο και πιο κοντά στο στόχο του. Ειλικρινά, όταν διάλεξα το θέμα με το οποίο θα ασχοληθώ, δεν είχα ιδέα τι θα συναντήσω και δεν περίμενα να εντυπωσιαστώ τόσο με δημοσίευση κλάδου άλλου από αυτόν που ασχολούμαι (κάνω Κβαντική Πληροφορία). Τέλος, επειδή η δημοσίευση αυτή είναι πολύ υψηλού μαθηματικού επιπέδου και συνεπώς δύσκολη στην παρουσίασή της με λίγα μαθηματικά, ακολούθησα κατά γράμμα τον συλλογισμό του ερευνητή, προσπαθώντας να θέτω εμβόλιμες επεξηγηματικές παρατηρήσεις που παρουσιάζονται στα πλαίσια με μπλε γράμματα. 4

15 Βιβλιογραφία ) Η δημοσίευση του Witten ) Σχετικιστική Κβαντομηχανική, Στεφανος Τραχανάς, Π.Ε.Κ. 3) Γενική Σχετικότητα (Μια εισαγωγή για Φυσικούς), J.L. Martin, Π.Ε.Κ. 4) Wikipedia 5