ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Transcript

1 ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α + α Q [ ] Ορισμός: Έστω τετραγωνική μορφή Q X X Εάν Q X X για όλα τα Χ, τότε η τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετικά ημιορισμένη, ενώ εάν Q X X, ( Χ ), τότε λέμε ότι είναι αρνητικά ημιορισμένη Εάν στις παραπάνω περιπτώσεις η ισότητα Q, ισχύει μόνον όταν X τότε η τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετικά ορισμένη, ή αρνητικά ορισμένη, αντίστοιχα, κατά περίπτωση Εάν Q X X > για κάποια X και Q < για κάποια άλλα τότε η τετραγωνική μορφή ονομάζεται αόριστη Σημείωση: Οι ίδιες ονομασίες χρησιμοποιούνται και για τον πίνακα, που ορίζει την τετραγωνική μορφή Q Διαγώνιες τετραγωνικές μορφές: Τετραγωνικές μορφές που ορίζονται από διαγώνιο πίνακα, δηλαδή τετραγωνικές μορφές με τύπο: Q [ ν ] λ λ λ + λ + + λ v ν λ ν ν

2 Παρατηρήσεις: () Εάν λ ( λ ),,,ν τότε η διαγώνια τετραγωνική μορφή Q είναι θετικά ημιορισμένη (αρνητικά ημιορισμένη) () Εάν λ > ( λ < ),,, ν τότε η διαγώνια τετραγωνική μορφή Q είναι θετικά ορισμένη (αρνητικά ορισμένη) () Εάν υπάρχουν θετικά και αρνητικά λ τότε η διαγώνια τετραγωνική μορφή Q είναι αόριστη Παρατήρηση: Έστω τετραγωνική μορφή Q X X Εάν ομαλός πίνακας(δηλ αντιστρέψιμος), θεωρούμε την αλλαγή συντεταγμένων X X Οπότε έχουμε Q X X ( X ) ( X ) X ( ) X Δηλαδή, ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων η τετραγωνική μορφή ορίζεται από τον πίνακα ( ) Εάν κατορθώσουμε να βρούμε πίνακα έτσι ώστε ο να είναι διαγώνιος πίνακας τότε η τετραγωνική μορφή Q μπορεί να χαρακτηρισθεί σύμφωνα με τα παραπάνω κριτήρια που χρησιμοποιούμε για τις διαγώνιες τετραγωνικές μορφές Για την εύρεση ενός τέτοιου πίνακα θα κάνουμε χρήση μεταξύ άλλων εννοιών όπως οι συμμετρικοί πίνακες, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα, οι οποίες παρουσιάζονται παρακάτω Συμμετρικοί πίνακες Ένας τετραγωνικός πίνακας S s λέμε ότι είναι συμμετρικός εάν s s, ή j ισοδύναμα εάν S S Ιδιότητες Εάν S και S είναι συμμετρικοί πίνακες τότε συμμετρικοί θα είναι και οι πίνακες S + S και λ S, ( λ IR ) Έστω S και S συμμετρικοί πίνακες Ο SS είναι συμμετρικός πίνακας SS S S Για οποιονδήποτε πίνακα τα γινόμενα, ορίζονται, είναι τετραγωνικοί πίνακες και επίσης είναι συμμετρικοί πίνακες Απόδειξη της, κλ λκ (κλ)(λκ) (λκ)(κλ) (κκ) (λλ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j Ένας τετραγωνικός πίνακας δηλαδή (Αναγκαστικά j όταν j ) Τ ονομάζεται αντισυμμετρικός εάν, j j j

3 Ερώτηση: Υπάρχει πίνακας πού είναι συμμετρικός και αντισυμμετρικός ταυτόχρονα; Απάντηση: Μόνον ο μηδενικός πίνακας Θεώρημα: Κάθε τετραγωνικός πίνακας γράφεται κατά τρόπο μοναδικό ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα, S +, + όπου S και + + ( ) Απόδειξη: S ( ) + + S ( ) ( ) Προφανώς S + Επίσης η παραπάνω έκφραση είναι μοναδική διότι: έστω S + S + ( S S ) ( ) συμμετρικός αντισυμμετρικός Άρα (S S ) ( ), διότι όπως είδαμε παραπάνω δεν υπάρχει μημηδενικός πίνακας που είναι ταυτόχρονα συμμετρικός και αντισυμμετρικός Επομένως S S και (Σημείωση: Ο πίνακας S ονομάζεται συμμετρικό μέρος του και ο πίνακας αντισυμμετρικό μέρος του ) + Θεώρημα: Εάν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας και S το συμμετρικό μέρος του, τότε οι πίνακες και S ορίζουν την ίδια τετραγωνική μορφή, δηλαδή: Q X X X SX Απόδειξη: Εάν το αντισυμμετρικό μέρος του πίνακα τότε έχουμε: Q X X X ( S+ ) X X SX + X X Όμως κάθε τετραγωνική μορφή που ορίζεται από έναν αντισυμμετρικό πίνακα είναι μηδενική (πχ [ y ] [ y ] y + y ) y y Άρα X X και επομένως Q X X X SX Παρατήρηση: Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει πώς κάθε τετραγωνική μορφή μπορεί να ορισθεί από έναν συμμετρικό πίνακα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

4 Ορ Έστω τετραγωνικός πίνακας μεγέθουςν ν Ένα μη-μηδενικό διάνυσμα IR ν ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του Α, εάν υπάρχει αριθμός λ τέτοιο ώστε Α λ Το λ ονομάζεται ιδιοτιμή του Επίσης λέμε ότι το ιδιοδιάνυσμα αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ πχ το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του το οποίο αντιστοιχεί στην 8 ιδιοτιμή λ Πράγματι 8 Προσδιορισμός Ιδιοτιμών Ένα μη-μηδενικό διάνυσμα IR ν θα είναι ιδιοδιάνυσμα του λ τέτοιο ώστε λ, ( λi ) λ τέτοιο ώστε ( λi ) Δηλαδή θέλουμε το ομογενές γραμμικό σύστημα ( λi ) να έχει μη μηδενικές λύσεις Κάτι τέτοιο θα ισχύει εάν και μόνον εάν λ I Άρα για να βρούμε τις ιδιοτιμές του, αρκεί να βρούμε όλα εκείνα τα λ για τα οποία λ I Μπορεί να αποδειχθεί ότι ν ν λ I λ + c λ + + cν Άρα ο ( ν ν ) θα έχει το πολύ ν διαφορετικές ιδιοτιμές πχ λ λi - λ λ λ I ( λ)( λ) + είναι οι αριθμοί και λ+ λ + Άρα οι ιδιοτιμές του θα Προσδιορισμός Ιδιοδιανυσμάτων

5 Ένα ιδιοδιάνυσμα το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ θα είναι ένα μη-μηδενικό διάνυσμα το οποίο ικανοποιεί τη σχέση λ ( λi), δηλ το θα είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ είναι μη μηδενική λύση του ( I) Οι λύσεις του παραπάνω συστήματος αποτελούν υπόχωρο του IR ν (συμβ με X λ ) και άρα κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, θα ανήκει σ αυτό τον υπόχωρο λ πχ, λi λ λ λ I ( λ) λ ( λ I ) s X : δηλαδή όλα τα μη-μηδενικά διανύσματα πού ανήκουν στο υπόχωρο X είναι όλα τα ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ Παράδειγμα: Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του παρακάτω πίνακα 5 Απάντηση λ I λ, λ 5 λ λ 5 λ ( λ + ) ( λ 5 ) Εάν λ,

6 ( I λ ) 4 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ : Διάσταση του X Εάν λ 5, ( I λ ) Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 5 : s s s + Διάσταση του X 5 Θεώρημα: Έστω S συμμετρικός πίνακας μεγέθους ν ν Τότε () Όλες οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικές () Ιδιοδιανύσματα πού αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνια μεταξύ τους(δηλ το εσωτερικό τους γινόμενο ισούται με μηδέν) () Ο υπόχωρος των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή είναι διάστασης ίσης με την αλγεβρική πολλαπλότητά της Θεώρημα: Εάν ο πίνακας είναι συμμετρικός τότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας τέτοιος ώστε ο πίνακας να είναι διαγώνιος Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας αλγόριθμος με τον οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο πίνακα, ο οποίος έχει την ιδιότητα που αναφέρεται στο παραπάνω Θεώρημα δηλ διαγωνοποιεί ένα συμμετρικό πίνακα Αλγόριθμος διαγωνοποίησης ενός συμμετρικού πίνακα Βήμα : Βρίσκουμε βάση για κάθε υπόχωρο ιδιοδιανυσμάτων του λ I ( λ -) (- λ +8) Άρα λ, λ 8 πολ/τητα ιδιοτιμής

7 Για λ ( λi ) + + Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ : s s + s βάση του Χ Για λ 8 4 ( λi ) 4 4 s Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 8 : s s s βάση του Χ 8 Βήμα : Κάνουμε τις βάσεις αυτές ορθοκανονικές χρησιμοποιώντας την διαδικασία των Gram Schmd ({ u, u, u h } { e, e, e h } ορθογώνια βάση e u, e j u j j - pr uj j,, h pr uj uj e e e e e e ) Πρώτη βάση : u, e ( -,, ) e - u u u e ee e (-,, ) ( ) (-,, ) (,, )

8 e e ορθοκανονική βάση του Χ Δεύτερη βάση : και u e, ορθοκανονική βάση του Χ 8 Βήμα : Ο πίνακας, που έχει για στήλες του όλα τα διανύσματα των ορθοκανονικών βάσεων του βήμ, είναι ο ζητούμενος πίνακας, δηλ ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον Δηλαδή Πράγματι 8 Θεώρημα : Ο πίνακας είναι διαγώνιος και στην κύρια διαγώνιό του έχει για στοιχεία του, τις ιδιοτιμές του Κάθε ιδιοτιμή εμφανίζεται τόσες φορές όσες και η πολλαπλότητά της Έστω τετραγωνική μορφή Q X X με ν μεταβλητές Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο είναι συμμετρικός πίνακας (διότι κάθε τετραγωνική μορφή μπορεί να ορισθεί από ένα συμμετρικό πίνακα) Κατασκευάζουμε έναν ορθογώνιο πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι:

9 λ * Α λ λv όπου λ είναι οι ιδιοτιμές του συμμετρικού πίνακα και όπου κάθε ιδιοτιμή εμφανίζεται τόσες φορές, όσες και η πολλαπλότητά της Θεωρούμε την αλλαγή των μεταβλητών X X Επομένως έχουμε λ * Q ( X ) ( X ) X ( λ ) X X X X X λv λ λ ν λ + + λ ν ν λv ν Παρατηρήσεις: Εάν για όλα τα λ ισχύει ότι λ ( λ ) τότε η Q θα είναι θετικά ημιορισμένη (αρνητικά ημιορισμένη) Εάν για όλα τα λ ισχύει ότι λ > ( λ < ) τότε η Q θα είναι θετικά ορισμένη (αρνητικά ορισμένη) Εάν υπάρχουν θετικά και αρνητικά λ τότε η Q θα είναι αόριστη Η αλλαγή μεταβλητών X X, λέμε ότι διαγωνοποιεί την τετραγωνική μορφή Q Άσκηση: Θεωρούμε την τετραγωνική μορφή Q X X όπου (ι) Να προσδιορισθεί το είδος της (ιι) Να προσδιορισθεί η αλλαγή μεταβλητών που διαγωνοποιεί την Q Απάντηση: () λ I λ λ ( λ ) 4 ( λ) ( λ ) 4 ( λ) Άρα η Q είναι αόριστη λ λ

10 (ιι) Για να προσδιορίσουμε την αλλαγή μεταβλητών X X που διαγωνοποιεί την εργαζόμαστε ως εξής: Q Για λ ( ) I λ + ) ( ) ( Χ - Για λ ( I λ ) Χ Ο πίνακας θα έχει την μορφή Άρα η ζητούμενη αλλαγή μεταβλητών θα είναι: X X δηλ Πράγματι επειδή Q [ ] εάν θέσουμε

11 + + θα έχουμε Q ) 4( + +