Uvjeti ortogonalnosti. Uvjeti ortogonalnosti. Primjer faktorizacije. Spektralna faktorizacija. Daubechies, db1. Primjer faktorizacije

Transcript

1 Dr. sc. Damir Seršić -7 Teme predavaja Teorija sigala arauitarost Ortogoali filtarsi slogovi Spetrala fatorizacija rimjeri dizaja Doc. dr. Damir Seršić Uitare matrice Defiicija parauitare matrice Za svau matricu za oju važi: A T* A c I za ei c >. ažemo da je uitara. Stupci tave matrice su međusobo ortogoali, a orma im je ista: c Tave matrice je lao ivertirati: A A T* c Matrica će ostati uitara i ao joj ei od stupaca i/ili redaa pomožimo sa. Svojstva filtarsog sloga u Z domei opisuje modulacijsa matrica. Člaovi modulacijse matrice su fucije omplese varijable z. Defiicija: matrica (z je parauitara, ao je uitara za vrijedosti z a jediičoj ružici ( z. j z, z C z e ω, ω R ( e ( e c I * T z C, z Defiicija parauitare matrice arauitara modulacijsa matrica ( e ( e c I ( e ( e c I * T T Odoso, za svai z : ( z ( z c I T Filtarsi slog ojem je aalizirajuća modulacijsa matrica parauitara čuva eergiju sigala i azivamo ga ortogoalim. 5 Ao je m parauitara (uz c vrijedi: ( ( ( z ( z z z ( ( ( ( z z z z T ( z m m ( z Izraz je uvjet R za filtarsi slog bez ašjeja, a prvu matricu prepozajemo ao sitetizirajuću F m, odoso: F ( z ( z F ( z ( z 6

2 Dr. sc. Damir Seršić -7 Uvjeti ortogoalosti F ( z ( z, F ( z ( z Zamjea z >z odgovara preoretaju uzoraa impulsog odziva u vremesoj domei: f [] h [ ], f [] h [ ]. Za poišteje aliasiga odabrali smo: F ( z ( z, F ( z ( z Koačo, uvjet R ortogoalog sloga bez ašjeja glasi: ( z z ( z ( z. ( 7 Uvjeti ortogoalosti ( z ( z ( z. Očito, za ortogoali filtarsi slog potrebo je polupojasi produt filtar (z fatorizirati u fatore (z i (z. Često se uvjet R ortogoalog filtarsog sloga izražava u spetraloj domei: jπ + jπ ( e e ( e ( e, ( j( ω+π ( e + ( e. 8 Spetrala fatorizacija rimjer fatorizacije j ( e ( e ( e ( e To je izraz za polupojasi filtar u spetraloj domei. ostupa proalažeja odgovarajućeg (e iz (e aziva se spetrala fatorizacija. oazuje se da rješeje postoji za (e. Uvjet je ispuje za polupojase filtre. ostupa spetrale fatorizacije ije jedostava, a više predložeih metoda može se proaći u literaturi. ω 9 p ( z ( + z Q (. p z ea je (z masimalo glada biomi filtar. Za sustav bez ašjeja imamo: p p p ( z z ( + z z Q ( z. p Biomi dio je lao fatorizirati, jer su ultoče a jediičoj ružici, a potecija bioma je para: p + z + z ( ( p rimjer fatorizacije Daubechies, db oazuje se da poliom Q(z uvije sadrži parove ultočaa: jθ jθ z re, z e. r Ortogoala fatorizacija zahtjeva razdvajaje recipročih ultočaa u različite fatore. Stoga orto filtri za p > e mogu biti simetriči. Daubechies izbor: F (z s ultočama uutar jediiče ružice (filtar ajmaje faze F F : o, F: Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z.

3 Dr. sc. Damir Seršić -7 Daubechies, db Daubechies, db F : o, F: + F : o, F: F F Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. Daubechies, db Daubechies, db5.8.8 F : o, F: + F : o, F: F F Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. 5 6 ajmaje asimetriča: sym ajmaje asimetriča: sym5 F : o, F: F : o, F: F F Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. Drugačija fatorizacija daje simetričiji imp. odziv! 7 Lijevo: impulsi odzivi, deso: ultoče (z i F (z. Drugačija fatorizacija daje simetričiji imp. odziv! 8

4 Dr. sc. Damir Seršić -7 Druga rješeja Teme predavaja Q(z višeg reda od miimalog p- radi postizaja željeih svojstava filtara (Coifma,. Simetriči ortogoali filtri s približo potpuom reostrucijom (Saramai,. Biortogoali filtri željeih svojstava (Vetterli, User,. Wavelet filtarsi slogovi Wavelet fucija i fucija sale Brza otava DWT Aaliza sigala DWT slogom Frevecijsa aaliza Detecija disotiuiteta oištavaje polioma otisivaje šuma metodom praga i druge primjee. 9 Wavelet filtarsi slogovi Otava DWT ao slog filtara Zamo projetirati biortogoale i ortogoale masimalo decimirae filtarse slogove s potpuom reostrucijom. itaje: mogu li se tavi slogovi isoristiti za realizaciju otave DWT vremesi disretih sigala? x Reurziva realizacija (ω L (ω (ω X (mτ, X (m T, L (ω (ω X (m T, L (ω Filtarsi slogovi s dva filtra. Wavelet stablo, aaliza Wavelet stablo, reostrucija (z a ( [] a ( [] G (z (z a ( [] (z d ( [] d ( [] G (z G (z (z a ( [] (z d ( [] d ( [] G (z G (z x[] (z d ( [] Reurzivo izračuavaje oeficijeata DWT wavelet filtarsim stablom. Razlagaje se poavlja u isopropusoj grai. d ( [] G (z Reurziva reostrucija sigala wavelet filtarsim stablom. Ao je svai filtarsi slog s R, jaso je i da je cijeli sustav s potpuom reostrucijom. x r []

5 Dr. sc. Damir Seršić -7 Fucije razlagaja Wavelet stablo, aaliza itaje je oje su fucije razlagaja u wavelet filtarsom stablu i oja je veza s DWT trasformacijom? U stablu se javlja asada decimatora i filtara. Zamjea redoslijeda rezultira sljedećim relacijama (eg. oble Idetities: X(z X(z M Y(z X(z Y(z (z (z M M Y(z X(z Y(z (z (z a ( [] (z 8 (z (z 8 d ( [] (z (z d ( [] x[] (z d ( [] U -toj razii imamo sljedeće asade filtara: ( ( z i ( z i ( ( z ( z i ( z i 5 6 Wavelet stablo, aaliza Aalizirajući filtri db u četiri razie razlagaja ( ( z ( z i ( z i ( ( z i ( z i Filtri ( određuju fucije razlagaja u različitim raziama wavelet stabla ( wavelet fucije. Filtri ( određuju jima omplemetare fucije razlagaja ( fucije sale. ogledat ćemo primjer U višim raziama razlagaja impulsi odziv filtara zadržava isti obli, ali ima približo dvostruo trajaje. 8 Wavelet fucija i fucija sale db: overgecija aalizirajuće fucije sale i wavelet fucije Defiiramo otiuirae fucije, oje su po odsječcima jedae impulsim odzivima filtara. ϕ ( t ψ ( t h / / [ ], h [ ], + t <, + t <. Ovao defiirae otiuirae fucije su ormirae po vremeu i eergiji. 9 5

6 Dr. sc. Damir Seršić -7 db: overgecija reostrucijsih fucija Wavelet fucija i fucija sale za db ridružee otiuirae fucije ostate po odsječcima overgiraju ao broj razia razlagaja teži u besoačo. U ašem primjeru rezultirajuće fucije su zadovoljavajuće glate (regulare. Uvjet realizacije DWT disretih sigala filtarsim slogom: overgecija i regularost pridružeih wavelet fucija i fucija sale ada broj razia razlagaja teži u besoačost. uži i dovolji uvjeti oazuje se da je za overgeciju uža ultoča isopropusog filtra (z a z, te vrijedost a z : ( z, ( z z z Dovolja uvjet (Mallat 89 je da filtar ema ultočaa a jediičoj ružici u raspou od π/ do π/. ; Kod ortogoalih slogova reostrucijse fucije su zrcalo preoreute aalizirajuće. Kod biortogoalih slogova reostrucijse fucije redovito su sasvim različite od aalizirajućih. Za broje primjee (ompresija, potisivaje šuma, važija am je regularost reostrucijsih fucija. bior.: overgecija aalizirajuće fucije sale i wavelet fucije bior.: overgecija reostrucijsih fucija 5 6 6

7 Dr. sc. Damir Seršić -7 Aalizirajuća straa: filtarsi oeficijeti i fucije Aalizirajuća straa: filtarsi oeficijeti i fucije ea fucija sale i wavelet fucija overgiraju: ϕ( t lim ϕ ( t, ψ ( t limψ ( t. Vrijede sljedeće veze s filtarsim oeficijetima: ϕ ( t h [] ϕ(t ψ ( t h [ ] ϕ(t rovjerit ćemo a primjeru. 7 ψ ( t ϕ( t ϕ ( t h [] ϕ(t ψ ( t h [ ] ϕ(t rimjer (aarov wavelet: t < / / t drugdje t drugdje h {, } / ψ ( t ϕ(t ϕ(t h {, }/ ϕ( t ϕ(t + ϕ(t 8 Brza otava DWT + t ψ m, ( t ψ m, X ψ m, [ m, ] x( t ( t dt ea je Ψ (t wavelet fucija (limes Ψ (t, te ea je ϕ (t pripada fucija sale. Kreemo račuaje a primjer od razie : + A [ m, ] x( t ϕ( t m dt A[m,] zovemo aprosimacijsim oeficijetima. 9 Brza otava DWT Kao je slijedi: X X ψ ( t h t ψ ( m [ ] ϕ(t h m + x( t h ϕ( t h A m, [ ] ϕ( t [ m,] [ ] m dt [ m,] [ ] [ ] Ovo odgovara filtriraju oeficijeata A[m, ] filtrom h, te decimaciji s fatorom. Brza otava DWT Iz slijedi: ϕ( t h [,] h [ ] A[ m,] A m [] ϕ(t To je filtriraje s h i decimacija s fatorom. Koačo, imamo postupa za brzu DWT:. itegrirajem sigala pomožeog s pomautim fucijama izračuavamo aprosimacijse oeficijete A[m, ].. Za dobivaje X[m,] za > aprosimacijse Zaljučci Wavelet filtarsi slog možemo oristiti za brzo račuaje DWT. S druge strae, postupa dizaja filtarsog sloga možemo promatrati ao metodu projetiraja ortogoalih ili biortogoalih waveleta oačog trajaja. oeficijete propustimo roz wavelet filtarsi slog! 7

8 Dr. sc. Damir Seršić -7 Aaliza sigala DWT slogom apravit ćemo aalizu više sigala različitim DWT slogovima. rvi primjer: sigal je slože od dva siusa različitih frevecija. Aaliza: ortogoalim wavelet filtarsim slogom db. ortogoalim wavelet filtarsim slogom sym. aarovim wavelet filtarsim slogom. Sigal: dva siusa. Wavelet: db Lijevo: izlazi iz filtara u 5 razia ( aprosimacije. Deso: izlazi iz V filtara u 5 razia (wavelet oeficijeti ili detalji. Sigal: dva siusa. Wavelet: sym Ortogoalo razlagaje uz ajmaje esimetriče fucije daje ešto bolji opis. Sigal: dva siusa. Wavelet: aar. Razlagaje siusog sigala u wavelete ostate po odsječcima e daje dobar opis. 5 6 Aaliza polioma DWT slogom Drugi primjer: sigal je slože od dva polioma (ovdje pravca različitih agiba. Aaliza: biortogoalim wavelet filtarsim slogom bior. Zapis biorm. zači m ultočaa reostrucijsog filtra F i ultočaa aalizirajućeg filtra a freveciji ω π. Sigal: dva pravca. Wavelet: bior. Wavelet s m poištava poliome drugog reda. Rezultat: pravci u a 5, disotiuitet u wavelet oeficijete d -d

9 Dr. sc. Damir Seršić -7 ultoče, ul-mometi i poištavaje polioma ultoče, ul-mometi i poištavaje polioma Kreimo od biortogoalog filtarsog sloga i promatrajmo reostrucijsi filtar F. ea F ima m ultočaa a yquistovoj freveciji ω π. Oda vrijedi: m j ( f [] za j,,..., m 9 F m ultočaa od F a ω π zači: apišemo izraze za spetar i jegove derivacije a ω π : F jπ ( ω f[ ] e f[ ](, ω π ' jπ ( ω f[ ]( j e f[]( j( ω π L F ' ( m ( ω F ( ω K F ( ω. ω π ω π ω π Izjedačavaje svih izraza s ulom daje rezultat s prethodog slajda., 5 ultoče, ul-mometi i poištavaje polioma ultoče, ul-mometi i poištavaje polioma Filtar F određuje aalizirajući V filtar : h [] ( f[] pa imamo: m j h [] za j,,..., m Aalizirajuća wavelet fucija ψ(t astaje asadim algoritmom iz h, stoga se može poazati: ( Wavelet fucija ψ(t ima m ul-momeata (eg. vaishig momets. Ao je aalizirai sigal poliom m-tog reda, wavelet oeficijeti će redom biti jedai uli. Tavo wavelet razlagaje poištava (eg. aihilates poliome: iformacija se preosi isljučivo u aprosimacijsim oeficijetima. Kao se svaa glata fucija može predstaviti poliomom u eoj oolii, ovo je izuzeto važo svojstvo za ocetriraje iformacije. t j ψ t dt za j,,..., m 5 5 ultoče, ul-mometi i poištavaje polioma Zaljuča: Wavelet razlagaje je dobro za opis sigala sastavljeih od odsječaa glatih fucija. Tavi su mogi reali sigali i slie! Aaliza šuma DWT slogom Treći primjer: sigal je bijeli šum. Aaliza: ortogoalim wavelet filtarsim slogom

10 Dr. sc. Damir Seršić -7 otisivaje šuma Sigal: bijeli šum. Wavelet: db Šum se distribuira po wavelet oeficijetima u svim raziama razlagaja. Četvrti primjer: sigal je sastavlje od odsječaa polioma s pribrojeim bijelim šumom. Aaliza: wavelet filtarsim slogom bez decimacije otisivaje šuma Korisi sigal sastavlje od odsječaa polioma ili glatih fucija će se presliati u mali broj wavelet i aprosimacijsih oeficijeata velie vrijedosti. Bijeli šum će se distribuirati po svim wavelet oeficijetima. 57 otisivaje šuma Ideja (dvije varijate: Odbaciti wavelet oeficijete ispod eog praga (eg. hard thresholdig Odbaciti wavelet oeficijete ispod praga a ostale umajiti za izos praga (eg. soft thresholdig. d[ ] d[ ] > ε, d d [] d[] ε. d sg( d[ ] ( d[ ] ε d[] > ε, d d [] d[] ε. d 58 otisivaje šuma rag se odabire tao da se potise većia šuma. rva varijata daje maju pogrešu pri reostruciji sigala u smislu ajmajih vadrata. Druga je redovito bolja u primjeama, osobito od potisivaja šuma u slici jer ema aglih soova u vrijedosti oeficijeata. Bolje rezultate se postiže wavelet filtarsim slogom bez decimacije. 59 6

11 Dr. sc. Damir Seršić -7 Druge primjee Metoda praga može se oristiti i za broje druge primjee. rocjea fucije gustoće vjerojatosti a podacima iz histograma apravi se wavelet aaliza, a metodom praga rezultati se učie glatim. Wavelet regresija Umjesto poliomom, fucijsa ovisost se aprosimira wavelet fucijama