1 ELEMENTI KOMBINATORIKE

Transcript

1 Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 1 ELEMENTI KOMBINATORIKE UVOD PRINCIPI PREBROJAVANJA PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA PERMUTACIJE S PONAVLJANJEM VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA VARIJACIJE S PONAVLJANJEM KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM to želi zati više Poovimo

2 Radi materijal 2

3 Poglavlje 1 ELEMENTI KOMBINATORIKE KOMBINATORIKA je graa graa matematie oja se bavi osovim svojstvima oačih supova i metodama prebrojavaja. Pozati ombiatori problemi su: problem izbora upravog odbora, problem mostova u Koigsbergu, problem magičih vadrata, problem 4 boje. Zadata ovog poglavlja je da se upozaju metode prebrojavaja oje će se isoristiti za račuaje vjerojatosti slučajih dogadaja. 1.1 UVOD MOTIV 1.1 Izračuajte oeficijet uz x 6 u razvoju (1 + x Defiicija 1.1 (FAKTORIJEL Za priroda broj N, defiiramo priroda broj fatorijela u ozaci! sa: a dogovoro 0! 1.! , (BINOMNI KOEFICIJENT Nea su, N,. Biomi oeficijet je prirodi broj u ozaci ( ( povrh defiira a sljedeći ači: ( ( 1... ( !!(!,

4 1.1. UVOD a dogovoro: ( 0 1, ( PRIMJER 1.1 T: Svojstva biomih oeficijeata: (i ( (. (ii ( ( ( Rješeje: D: to želi zati više (i (!!(!! (!!! (!( (! (. (ii ( ( + + 1!!(! +! ( + 1!( 1!!!( 1!( +!!( + 1( 1!!( + 1 +!(!( + 1( 1!(!( + 1 ( + 1!(! ( + 1! ( + 1!(( + 1 ( + 1! ( NAPOMENA 1.1 Stirligova formula Za približo izračuavaje fatorijela veliih brojeva možemo primijeiti aprosimativu Stirligovu formulu:! e 2π. PRIMJER 1.2 Izračuajte 5! pomoću Stirligove formule. Kolia je greša aprosimacije? Radi materijal 4

5 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Rješeje: Pomoću Stirligove formule račuamo 5! 5 5 e 5 2π Kao je po defiiciji 5! greša aprosimacije je Peti Peaov asiom prirodih brojeva je asiom matematiče iducije oji ćemo oristiti u doazima formula za broj permutacija, varijacija i ombiacija. TEOREM 1.1 AKSIOM MATEMATIČKE INDUKCIJE (AMI Nea je N sup prirodih brojeva. Ao je M N, i vrijedi: (i 1 M, (ii ( m N, m M m + 1 M oda je M N. AMI primijejujemo pri doazivaju općeite valjaosti formula oje sadrže varijablu N. TEOREM 1.2 (BINOMNI TEOREM Nea su a, b R, N. Biomi teorem izražava razvoj -te potecije bioma formulom:. (a + b 0 ( a b, N Doaz: to želi zati više Tvrdja se doazuje pomoću asioma matematiče iducije (AMI. Nea je M Treba doazati da je M N. (B.I 1 M: N : (a + b (a + b ( 1 a + b b + a. 0 ( a b. a 1 b 1 5 Radi materijal

6 1.1. UVOD (P.I. m M: (a + b m m ( m 0 a b m (K.I. Treba poazati oristeći (P.I. da je m + 1 M tj. Račuamo m 1 ( m 0 m 1 ( m 0 m+1 ( m + 1 (a + b m+1 a b m+1. 0 (a + b m+1 (a + b m (a + b P.I. m ( m 0 m ( m 0 a b m (a + b a +1 b m + m ( m 0 ( ( m m a +1 b m + a m m+1 b 0 + a 0 b m ( ( ( m m m a b m+1 + a 1 m m+1 b 0 a 0 b m a 0 b m+1 + ( m ( m m+1 ( m m ( m [ 1 1 a 0 b m+1 + a 0 b m+1 + m ( m [ 1 1 m ( m a b m+1. Zaljučujemo prema AMI da je M N. ( m + ]a b m+1 + ( m + ]a b m+1 + a b m+1 + a b m+1 m ( m 1 m ( m 1 ( m m a m+1 b 0 a b m+1 a b m+1 ( m + 1 a m+1 b 0 m + 1 ( m + 1 a m+1 b 0 m + 1 Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.3 motiv Izračuajte oeficijet uz x 6 u razvoju (1 + x Radi materijal 6

7 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Rješeje: Prema biomom teoremu račuamo (1 + x ćemo odrediti iz uvjeta da je (x 3 x 6. Za 14 dobili smo da je 12. Dvaaesti čla u razvoju je x 6, pa je jegov oeficijet ( oeficijet uz poteciju x 6 je 91. ( 1 (x 3. U razvoju ( Tražei 7 Radi materijal

8 1.2 PRINCIPI PREBROJAVANJA 1.2. PRINCIPI PREBROJAVANJA MOTIV 1.2 U gradu ima 8 studetsih restoraa ravomjero rasporedeih u 4 gradse četvrti. U oolii svaog restoraa alaze se dvije sportse dvorae. Studet želi uajmiti sta. Na olio ačia može odabrati četvrt, studetsi restora i sportsu dvorau ao: a ije bito i da studetsi restora bude u istoj četvrti iti dvoraa; b ije bito da studetsi restora bude u istoj četvrti ali dvoraa treba biti; c sve bude u ajbližoj oolii. TEOREM 1.3 (PRINCIP SUME Nea oači supovi imaju i elemeata, i N, i 1, 2,..,, S i i i ea su disjuti za svai izbor i j, S i S j. Ao je S S 1 S 2... S, oda sup S ima elemeata: S 1 S 2... S S 1 + S S. TEOREM 1.4 (PRINCIP PRODUKTA Nea oači supovi S i imaju i elemeata, i N, i 1, 2,..,, S i i. Ao je S S 1 S 2... S (artezijev produt supova, oda sup S ima elemeata (uredeih -tori s(s 1,s 2,...,s : S 1 S 2... S S 1 S 2... S. PRIMJER 1.4 Bacamo dvije igraée oce različite boje. (a Kolio različitih ishoda ima ao bacamo jedu za drugom? (b Na olio različitih ačia mogu pasti ao ih bacamo zajedo? Rješeje: S 1 ima 1 6 elemeata, S 2 ima 2 6 elemeata. (a S S 1 S 2, S S 1 + S (b S S 1 S 2, S S 1 S Pricip produta ili osovi pricip ombiatorie ima drugu iterpretaciju u teoremu o uzastopom prebrojavaju. TEOREM 1.5 ( TEOREM O UZASTOPNOM PREBROJAVANJU Proučavamo uredee -tore. Nea prvi elemet uredee -tore možemo izabrati a 1 ačia, a za već izabrai prvi elemet, drugi možemo izabrati a 2 ačia i tao dalje do -tog oji možemo izabrati a ačia. Tada uredeu -toru možemo izabrati a ačia. Radi materijal 8

9 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.5 motiv U gradu ima 8 studetsih restoraa ravomjero rasporedeih u 4 gradse četvrti. U oolii svaog restoraa alaze se dvije sportse dvorae. Studet želi uajmiti sta. Na olio ačia može odabrati četvrt, studetsi restora i sportsu dvorau ao: a ije bito i da studetsi restora bude u istoj četvrti iti dvoraa; b ije bito da studetsi restora bude u istoj četvrti ali dvoraa treba biti; c sve bude u ajbližoj oolii. Rješeje: a , b c Radi materijal

10 1.3. PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA 1.3 PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA MOTIV 1.3 Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5 ao ije dozvoljeo poavljaje zaova? Defiicija 1.2 Nea sup S ima različitih elemeata. Svaa uredea -tora elemeata supa S zove se permutacija supa S. T: Broj svih -člaih permutacija je P(! ( 1 ( ; D: Prema teoremu o uzastopom prebrojavaju, prvi elemet možemo izabrati a ačia, drugi možemo izabrati a ( 1 ačia, treći a ( 2 ačia itd. D: to želi zati više Pomoću AMI po : Nea je M { N : P!}. (B.I Provjeravamo je li 1 M. Za 1 broj uredeih jedori iz supa oji ima samo 1 elemet jeda P 1 1. Prema formuli! 1! 1 za 1; Tao je 1 M. (P.I Pretpostavimo m M, tj. vrijedi formula V m m!. (K.I U orau iducije trebamo poazati da je m + 1 M, tj. treba poazati da vrijedi P m+1 (m + 1!. Sup svih permutacija od m + 1 elemet možemo podijeliti a m + 1 podsupova u ojima su permutacije s fisim prvim elemetom pr. a 1, sve permutacije s fisim prvim elemetom a 2 itd. Tao je P m+1 (m + 1 P m (P.I. (m + 1 m! (m + 1!, pa smo poazali da je m + 1 M. Prema AMI zaljučujemo da je M N. Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.6 motiv Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao ije dozvoljeo poavljaje zaova. Radi materijal 10

11 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Rješeje: Svaa lozia je jeda permutacija bez poavljaja 4-člaog supa S {v, c, 1, 5}. Uupa broj permutacija bez poavljaja je P(4 4! Možemo formirati 24 lozie. PRIMJER 1.7 Kolio ima svih četverozameastih brojeva sastavljeih od zamei supa S{1,2,3,4} tavih da se zamee e poavljaju? Rješeje: Svai 4-zameasti broj je permutacija 4-člaog supa S. Broj permutacija je P(4 4! PERMUTACIJE S PONAVLJANJEM MOTIV 1.4 Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao sa slovo v poovi 2 puta? MOTIV 1.5 Esperimet oji ima 3 ishoda poavljamo 7 puta. Kolio je mogućih izova esperimeata tavih da se prvi ishod dogodi 1 put, drugi ishod 2 puta, a treć ishod 4 puta? Defiicija 1.3 Nea sup S ima elemeata od ojih je 1 jede vrste, 2 druge vrste,..., -te vrste, Uredea -tora elemeata supa S zove se -člaa permutacija s poavljajem. T: Broj -člaih permutacija s poavljajem je D: to želi zati više P ( 1, 2,...,! 1! 2!...!. Pretpostavimo da su svi elemeti u permutaciji sa poavljajem različiti i da imamo permutaciju bez poavljaja od elemeata. Uupa broj tih permutacija je ( !. U permutaciji s poavljajem možemo zamijeiti mjesta a ojima su elemeti prve vrste a 1! ačia i pri tom se permutacija eće promijeiti. Sličo zaljučujemo i za elemte druge,..., -te vrste. Za svau permutaciju s poavljajem postoji 1! 2!...! permutacija 11 Radi materijal

12 1.3. PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA bez poavljaja u ojima se e mijeja poreda različitih elemata supa S. Mijejajući poreda različitih elemeata dobili bismo uupa broj permutacija bez poavljaja od elemeata. Stoga je uupa broj permutacija bez poavljaja jeda ( ! 1! 2!...!P ( 1, 2,...,. slijedi da je uupa broj permutacija s poavajem da formulom P ( 1, 2,...,! 1! 2!...!. Otuda Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.8 motiv Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v (malo slovo i brojeva 1 i 5, ao se slovo v poovi 2 puta? Rješeje: Lozia je je 4-člaa permutacija s poavljajem elemeata iz supa S {v, v, 1, 5}, tao da je Broj permutacija s poavljajem je P ( 1, 2,..., P 4 (2, 1, 1 4! 2!1!1! 12. Možemo formirati 12 lozii. PRIMJER 1.9 Kolio ima peterozameastih brojeva sastavljeih od zamei iz supa S {1, 2, 3, 4}, tavih da se zamee poavljaju i to zamea 1 dva puta? Rješeje: Svai 5-zameasti broj je 5-člaa permutacija s poavljajem elemeata tao da je Broj permutacija je P ( 1, 2,..., P 5 (2, 1, 1, 1 5! 2!1!1!1! 60. PRIMJER 1.10 U utiji je 10 uglica: 4 cre, 2 bijele, 2 crvee, 1 zelee i 1 plava. Izvlačim ih jedu po jedu i slažem po redu u iz. (zapišemo i vratimo. Kolio mogućih izova možemo apraviti? Rješeje: Svai iz duljie 10 je permutacija s poavljajem, tao da je Broj permutacija je P ( 1, 2,..., P 10 (4, 2, 2, 1, 1 10! 4!2!2!1!1! PRIMJER 1.11 Kolio različitih riječi se može apraviti od slova u riječi VIVAMARIA? Radi materijal 12

13 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Rješeje: P 9 (2, 2, 3. PRIMJER 1.12 Uzora s vraćajem Sup S ima elemeata od ojih je 1 jede vrste, 2 druge vrste,..., -te vrste, Uredea r-tora ima r 1 elemeata prve supie, r 2 elemeata druge supie,...,r elemeata - te supie rr 1 +r r. Broj uredeih r-tori s vraćajem je: P r (r 1, r 2,..., r ( 1 r 1 ( 2 r2... ( r. Ao je velii a r mali u odosu a možemo odrediti broj uredeih r-tori s vraćajem: P r (r 1, r 2,..., r. PRIMJER 1.13 U velioj utiji su crvee, bijele i plave olove. Na olio ačia možemo izabrati uzora od 9 olovaa taav da su 2 crvee, 3 bijele i 4 plave olove. Rješeje: Koristimo formulu za uzora s vraćajem (velii u odosu a r. Osovi sup je veli (epozat. Uzora je uredea r-tora sastavljea od r r 1 + r 2 + r olovaa. Broj uzoraa je broj uzoraa s vraćajem je P 9 (4, 2, 3. Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.14 motiv Poavljamo esperimet oji ima 3 ishoda 7 puta a da se uvjeti esperimeta e mijejaju. Broj mogućih izova esperimeata tavih da se prvi ishod dogodi 1 1 puta, 2 2 puta,...,-ti ishod 4 puta je: P ( 1, 2,...,, 7! P 7 (1, 2, 4 1! 2! 4!. jer je broj različitih izova esperimeata jeda broju uzoraa s vraćajem. 13 Radi materijal

14 1.4. VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA 1.4 VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA MOTIV 1.6 (a Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao ije dozvoljeo poavljaje zaova (b Kolio se lozii duljie 3 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao ije dozvoljeo poavljaje zaova Defiicija 1.4 Nea sup S ima različitih elemeata. Uredea r-tora (r elemeata supa S zove se varijacija r-tog razreda od elemeata. T: Broj svih varijacija r-tog razreda od elemeata je V (r ( 1( 2... ( r + 1 V ( P(!! ( r! ; D: Prema teoremu o uzastopom prebrojavaju, prvi elemet možemo izabrati a ačia, drugi možemo izabrati a ( 1 ačia, treći a ( 2 ačia, r-ti a ( r + 1 ači. D: to želi zati više Pomoću AMI po : Nea je M { N : V (r! ( r!, 1 r }. (B.I Provjeravamo je li 1 M. Za 1 parametar 1 r može poprimiti samo vrijedost r 1 pa je broj uredeih jedoori iz supa oji ima samo 1 elemet jeda V (1! 1. Prema formuli 1 ( r! 1! (1 1! 1 za 1; Tao je 1 M. (P.I Pretpostavimo m M, pa tada za svai dai 1 r m vrijedi formula V (r m m! (m r!. (K.I U orau iducije trebamo poazati da je m + 1 M. (i Ao je r 1 oda je očito broj svih uredeih jeedori iz supa oji ima m + 1 elemet jeda V (1 m+1 m + 1. Prema formuli! ( r! (m+1! (m+1 1! (m + 1 za m + 1 i r 1. Tao je m + 1 M za r 1. (ii Ao je 2 r m + 1 treba poazati da vrijedi V (r m+1 (m+1! (m+1 r!. Za svai fisi r možemo sup svih varijacija podijeliti a m + 1 podsupove u ojima su varijacije s fisim prvim elemetom pr. a 1, sve varijacije s fisim prvim elemetom a 2 itd. Tao je V (r m! (m + 1! (m + 1 V(r 1 m+1 m (P.I. (m + 1 (m r + 1! (m + 1 r!. Radi materijal 14

15 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Tao smo poazali da je m + 1 M za 2 r m + 1. Prema AMI zaljučujemo da je M N. Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.15 motiv (a Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao ije dozvoljeo poavljaje zaova (b Kolio se lozii duljie 3 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao ije dozvoljeo poavljaje zaova Rješeje: (a Lozia duljie 4 zaa je jeda varijacija 4.tog razreda od 4-člaog supas {v, c, 1, 5} tj. permutacija bez poavljaja od 4 elemeta. Broj varijacija je V (4 P(4 4! 24. Možemo formirati 24 lozie. (b Lozia duljie 3 zaa 4 je jeda varijacija 3-eg razreda od 4-člaog supas {v, c, 1, 5}. Broj varijacija je V (3 4! 4 (4 3! 24. Možemo formirati 24 lozie. PRIMJER 1.16 Kolio ima dvozameastih brojeva sastavljeih od zamei iz supa S{1, 2, 3, 4}, tavih da se zamee e poavljaju? Rješeje: Svai 2-zameasti broj je varijacija 2-og razreda od 4-člaog supa S. Broj varijacija je V (2 4! 4 (4 2! 12.. PRIMJER 1.17 Kolio ima četverozameastih brojeva sastavljeih od zamei iz supa S{0, 1, 2, 5, 7}, tavih da se zamee e poavljaju? Rješeje: Svai 4-zameasti broj je varijacija 4-og razreda od 5 elemeata. Broj varijacija je V (4 5! 5 (5 4! 120. Nula e može biti a prvom mjestu pa od V (4 moramo oduzeti sve varijacije 5 3-eg razreda od 4 elemeta V (3 4! 4 (4 3! 24. Tražeih brojeva ima V (4 V ( PRIMJER 1.18 Kolio ima četverozameastih brojeva djeljivih s 5 sastavljeih od zamei iz supa S {0, 1, 2, 5, 7}, tavih da se zamee e poavljaju? 15 Radi materijal

16 1.4. VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA Rješeje: Broj je djeljiv s 5 ao mu je zadja zamea 0 ili 5. Prvo, fisiramo zadju zameu 5. Svai taav trozameasti broj je varijacija 3-eg razreda od 4-člaog supa S {0, 1, 2, 7}. Broj varijacija je V (3 4! 4 (4 3! 24. Nula e može biti a prvom mjestu pa od V (3 moramo oduzeti sve varijacije 2-og 4 razreda od 3 elemeta iz supa {1, 2, 7} V (2 3! 3 (3 2! 6. Zatim, fisiramo zadju zameu 0. Svai taav 3-zameasti broj je varijacija 3-eg razreda od 4-člaog supa S {1, 2, 5, 7}, pa ih uupo ima V (3 4! 4 (4 3! 24. Uupa broj tražeih brojeva je V (3 V (2 + V ( PRIMJER 1.19 Na olio se ačia u razredu u ojem je 30 učeia može odabrati glumača družia za Crveapicu? Liovi su Crveapica, vu, baa i lovac. Rješeje: V ( VARIJACIJE S PONAVLJANJEM MOTIV 1.7 Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao je dozvoljeo poavljaje zaova. Defiicija 1.5 Nea sup S ima različitih elemeata. Uredea r-tora elemeata - člaog supa S ali tao da se elemeti mogu i poavljati (r može biti i veće od zove se varijacija s poavljajem r-tog razreda od elemeata. T: Broj varijacija s poavljajem r-tog razreda od elemeata V (r r. D: Prema teoremu o uzastopom prebrojavaju, prvi elemet možemo izabrati a ačia, drugi možemo izabrati a ačia, treći a ačia, itd., r-ti a ačia jer je dozvoljeo poavljaje elemeata iz supa S. D: to želi zati više Radi materijal 16

17 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE Pomoću AMI po r : Nea je M {r N : V (r r, N}. (B.I Provjeravamo je li 1 M. Za r 1 broj uredeih jedori iz supa oji ima samo elemet jeda V (1. Prema formuli r 1 za r 1; pa je 1 M. (P.I Pretpostavimo da je m M, tj. vrijedi formula V (r m m. (K.I U orau iducije trebamo poazati da je m + 1 M. tj. treba poazati da vrijedi V (m+1 m+1. Sup svih varijacija s poavljajem možemo podijeliti a podsupova u ojima su varijacije s poavljajem s fisim prvim elemetom pr. a 1, sve varijacije s fisim prvim elemetom a 2 itd. Tao je V (m+1 Poazali da je m + 1 M za N. Prema AMI zaljučujemo da je M N. Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.20 motiv V (m (P.I. m m+1. (a Kolio se lozii duljie 4 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao je dozvoljeo poavljaje zaova. (b Kolio se lozii duljie 3 zaa može formirati od slova v i c (mala slova i brojeva 1 i 5, ao je dozvoljeo poavljaje zaova. Rješeje: (a Lozia je varijacija s poavljajem 4-tog razreda od 4-člaog supa S v, c, 1, 5. Broj varijacija je V ( Možemo formirati 256 lozii. (b Lozia je varijacija s poavljajem 3-tog razreda od 4-člaog supa S v, c, 1, 5. Broj varijacija je V ( Možemo formirati 256 lozii. PRIMJER 1.21 Kolio ima dvozameastih brojeva sastavljeih od zamei iz supa S {1, 2, 3, 4}, tavih da se zamee poavljaju? Rješeje: Svai taav dvozameasti broj je varijacija s poavljajem 2-og razreda od 4-člaog supa S. Broj varijacija je V ( PRIMJER 1.22 Razdioba različitih predmeta Svaa razdioba r različitih predmeta a različitih mjesta je varijacija s poavljajem r-tog razreda od elemeata. Broj razdioba je: V (r. 17 Radi materijal

18 1.4. VARIJACIJE BEZ PONAVLJANJA PRIMJER uglice različitih boja rasporedujemo u 6 utija. možemo dobiti? Kolio razdioba Rješeje: V (3 6 PRIMJER 1.24 Uočimo da je izbor r uglica iz jede utije u ojoj je različitih uglica s vraćajem u utiju (a poreda je važa, aaloga rasporedu r različitih uglica u različitih utija. PRIMJER 1.25 Iz utije u ojoj je šest uglica različitih boja izvlačimo tri uglice jedu po jedu s vraćajem poovo u utiju. postupom? Rješeje: V (3 6. Kolio različitih uzoraa možemo dobiti tim PRIMJER 1.26 Listić sportse progoze ima 10 parova. Svai par može dobiti ozau 0,1 ili 2 (poraz, eriješeo,pobjeda domaćia. Kolio listića treba ispuiti da bi siguro jeda listić bio dobiti? Rješeje: S {0, 1, 2}, 3. Listić je varijacija s poavljajem r 10-og razreda od 3 elemeta. varijacija je V ( Broj Radi materijal 18

19 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE 1.5 KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA MOTIV 1.8 U sladištu je 100 proizvoda, 70 proizvoda prve lase, 20 proizvoda druge lase i 10 proizvoda treće lase. Kotrolor testira tri proizvoda i daje pozitvu ocjeu ao su svi proizvodi prve lase. Na osovu olio posto svih uzoraa će otrolor dati pozitivu ocjeu proizvoda? Defiicija 1.6 Nea sup S ima različitih elemeata. Svai r-člai podsup (r (redoslijed elemeata u supu ije bita -člaog supa S zove se ombiacija r-tog razreda od elemeata. T: Broj svih ombiacija r-tog razreda je od elemeata je (i C (r ( r! r! ( r! ; (ii C (r V(r r!. D: (i Budući da u r-člaom supu redoslijed ije bita oda broj uredeih r-tori od elemeata moramo podijeliti s brojem permutacija r-člaog supa. (ii Prema teoremu o uzastopom prebrojavaju, prvi elemet možemo izabrati a ačia, drugi možemo izabrati a ( 1 ačia, treći a ( 2 ačia, r-ti a ( r + 1 ači. D: to želi zati više Pomoću AMI po : Nea je M { N : C (r! ( r! r!, 1 r }. (B.I Provjeravamo je li 1 M. Za 1 parametar 1 r može poprimiti samo vrijedost r 1 pa je broj jedočlaih podsupova iz supa oji ima samo 1 elemet jeda C (1! 1! 1. Prema formuli 1 ( r! r! (1 1! 1! 1 za 1; Tao je 1 M. (P.I Pretpostavimo m M, pa tada za svai dai 1 r m vrijedi formula C (r m m! (m r! r!. (K.I U orau iducije trebamo poazati da je m + 1 M. ( Ao je r 1 oda je očito broj svih jedočlaih podsupova iz supa oji ima 19 Radi materijal

20 1.5. KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA m + 1 elemet jeda C (1 m+1 m + 1. Prema formuli! m + 1 i r 1. ( r! r! (m+1! (m+1 1! r! (m + 1 za Poazali smo da je m + 1 M za r 1. ( Ao je 2 r < m + 1 treba poazati da vrijedi C (r m+1 (m+1! (m+1 r! r!. Za svai fisi r možemo sup svih ombiacija podijeliti a dva podsupa u ojima su ombiacije bez poavljaja oje sadrže fisi elemet pr. a 1, i podsup u ojem su ombiacije bez poavljaja oje e sadrže fisi elemet a 1. Tao je C (r m+1 C(r 1 m + C (r m (P.I. Tao smo poazali da je m + 1 M za 2 r < m + 1. m! (m r + 1 (r 1! + m! (m r r! m + 1! (m + 1 r! r!. ( Ao je r m+1 oda je očito broj svih m+1 -člaih podsupova iz supa oji ima m + 1 elemet jeda C (m+1! 1. Prema formuli m+1 ( r! r! (m+1! (m+1 (m+1! (m+1! 1 za m + 1 i r m + 1. Vrijedi m + 1 M za r m + 1. Prema AMI zaljučujemo da je M N. PRIMJER 1.27 Loto ima 39 brojeva. Izvlači se slučajo 7 brojeva. Kolio različitih listića s ombiacijama 7 brojeva treba ispuiti da se dobije jeda sigura pogoda? Rješeje: S {1, 2, 3,..., 39}, 39. Listić je ombiacija 7-og razreda (r 7 od 39 elemeata. Broj ombiacija je C (7 39 ( ! Treba ispuiti listića da bi bili siguri da ćemo imati jeda dobita. PRIMJER 1.28 U ravii je 5 točaa od ojih 3 iada e leže a istom pravcu. a Kolio pravaca odreduju te toče? b Kolio trouta odreduju te toče? Rješeje: S {1, 2, 3, 4, 5}, 5. a Pravac je ombiacija 2-og razreda (r 2 od 5 elemeata. Broj ombiacija je C (2 ( ! 10. Toče odreduju 10 pravaca. b Trout je ombiacija 3-eg razreda (r 3 od 5 elemeata. Broj ombiacija je C (3 ( ! 10. Toče odreduju 10 trouta. Radi materijal 20

21 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE PRIMJER 1.29 Uzora bez vraćajem Sup S ima elemeata od ojih je 1 jede vrste, 2 druge vrste,..., -te vrste, Uredea r-tora ima r 1 elemeata prve supie, r 2 elemeata druge supie,...,r elemeata - te supie rr 1 +r r Broj uredeih r-tori bez vraćaja je: C r 1 1 C r C r. PRIMJER 1.30 Studeti dva turusa biraju po tri predstavia u Klub studeata prve godie GF. Prvi turus ima 20 studeata, a drugi 30 studeata. Kolio moguće je različitih sastava Kluba studeata? Rješeje: Koristimo formulu za uzora bez vraćaja (oristimo teorem o uzastopom prebrojavaju i broj ombiacija r i -razreda od i elemeata ,r r 1 + r Uupa broj ačia da se dobije 6-člai Klub je C (3 20 C(3 30 ( ( PRIMJER 1.31 U supu od 27 proizvoda 7 je eispravih. Na olio ačia se može dobiti uzora oji se sastoji od 5 dobrih i 3 eisprava proizvoda? Rješeje: Koristimo formulu za uzora bez vraćaja (oristimo teorem o uzastopom prebrojavaju i broj ombiacija r i -razreda od i elemeata. S 20T + 7D, T + D ; T 20, D 7. Uzora r 5T + 3D, r r T + r D ; r T 5, r D 3. Broj tražeih uzoraa je C (5 20 C(3 ( ( PRIMJER 1.32 Ao želimo ispitati valitetu 10 proizvoda od ojih je 6 ispravih i 4 eisprava uzimamo uzora od tri proizvoda. Kolio uzoraa ima u ojima a ema eispravih proizvoda b ima jeda eisprava proizvod c ima barem dva isprava proizvoda? 21 Radi materijal

22 1.5. KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA Rješeje: Koristimo formulu za uzora bez vraćaja. a Osovi sup ima 10 elemeata; T + D 6+4. Uzora bez eispravih proizvoda ima r r T + r D Broj uzoraa oji emaju eispravih proizvoda je: C (3 6 C ( b Osovi sup ima 10 elemeata; T + D 6+4. Uzora s 1 eispravim proizvodom ima r r T + r D Broj uzoraa oji imaju 1 eispravi proizvod je: C (2 6 C ( c Osovi sup ima 10 elemeata; T + D Uzora s bar dva isprava proizvoda može biti ao ima 1 ili 0 eisprava proizvoda. Broj uzoraa s bar 2 isprava proizvoda je: c a + b C (3 C (0 + C (2 C ( Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.33 motiv U sladištu je 100 proizvoda, 70 proizvoda prve lase, 20 proizvoda druge lase i 10 proizvoda treće lase. Kotrolor testira tri proizvoda i daje pozitvu ocjeu ao su svi proizvodi prve lase. Na osovu olio posto svih uzoraa će otrolor dati pozitivu ocjeu proizvoda? Rješeje: Broj uzoraa veličie r 3 od 100 elemeata je C ( Koristimo formulu za uzora bez vraćaja. Osovi sup ima proizvoda Uzora prve lase ima r r 1 + r 2 + r proizvoda. Broj uzoraa prve lase je: C (3 70 C(0 20 C( Kotrolor će dati pozitivu ocjeu u ili u 33, 8% slučajeva KOMBINACIJE S PONAVLJANJEM to želi zati više MOTIV 1.9 Na olio ačia možmo rasporediti 3 bagera (jedai a 6 gradilišta? Defiicija 1.7 Nea sup S ima različitih elemeata. Svai r-člai podsup (r N, -člaog supa S gdje se elemeti mogu i poavljati (redoslijed elemeata u r-torci ije bita zove se ombiacija s poavljajem r-tog razreda od elemeata. Radi materijal 22

23 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE T: Broj svih ombiacija s poavljajem r-tog razreda od elemeata je (i C (r ( +r 1 r ; (ii C (r C (r +r 1 ; (iii C (r P +r 1 ( 1, r. D: to želi zati više (i Pomoću AMI po s + r 1 : Nea je M {s + r 1 N : C (r ( +r 1 r,, r N}. (B.I Provjeravamo je li 1 M. Za s 1 tj. + r 1, parametari su r 1, 1. Broj 1-čl. podsupova iz supa oji ima samo 1 elemet jeda je C ( Prema formuli ( +r 1 r 1! (1 1! 1! 1 za s 1; pa je s 1 M. (P.I Pretpostavimo da s m M, tj. za + r 1 m vrijedi formula C (r ( +r 1 r. (K.I U orau iducije trebamo poazati da je s m + 1 M tj. da za + r 1 m + 1 vrijedi formula C (r ( +r 1 r ( Ao je r 1 oda je očito broj svih 1-člaih podsupova s poavljajem iz supa oji ima m + 1 elemet jeda C (1 m+1 m + 1. Prema formuli ( +r 1 r (m + 1 za m + 1 i r 1. ( m+1 1 Poazali smo da je s m + 1 M za r 1. ( Ao je 1 oda je očito broj svih m+1-člaih podsupova s poavljajem iz supa oji ima 1 elemet jeda C (m Prema formuli ( ( +r 1 r m+1 1 za 1 i r m + 1. Tao je s m + 1 M za 1. ( U ostalim slučajevima, sup svih ombiacija s poavljajem možemo podijeliti a dva podsupa u ojima su ombiacije sa poavljajem oje sadrže fisi elemet pr. a 1, i ombiacije sa poavljajem oje e sadrže fisi elemet a Radi materijal

24 1.5. KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA Zato je C (r C (r 1 + C (r 1 ( + r 2 r 1 + Poazali smo da je s m + 1 M za 2 r i 2. ( ( + r 2 + r 1 (P.I. r r. Prema AMI zaljučujemo da je M N. (ii Poazat ćemo a primjeru 3, r 2 da formula vrijedi. Nea je sup S {1, 2, 3}. Sve ombiacije s poavljajem 2-og razreda od 3 elemeta su (elemete smo poredali po uzlazim vrijedostima: {1,1} {1,2} {1,3} {2,2} {2,3} {3,3}. Tih ombiacija ima C ( Defiirajmo presliavaje oje će ovim podsupovima pridijeliti podsupove dobivee tao da prvom člau podsupa dodamo 0, a drugom člau 1. {1,1} {1,2} {1,2} {1,3} {1,3} {1,4} {2,2} {2,3} {2,3} {2,4} {3,3} {3,4}. Slie su ombiacije bez poavljaja 2-og razreda od 4-člaog supa {1,2,3,4}. Presliavaje je bijecija izmedu supa svih ombiacija s poavljajem 2-razreda od 3 elemeta i ombiacija 2-razreda od 4 elemeta. Budući da postoji bijecija, ti su supovi jedaobroji pa vrijedi C (2 3 C ( (ii Uočimo da je izbor r uglica iz jede utije u ojoj je različitih uglica s vraćajem u utiju, aaloga rasporedu r jedaih uglica u različitih utija. Svai raspored ao se r uglica može rasporediti u utija je ombiaciju s poavljajem r-tog razreda od elemeata. Zamislimo da imamo utija poredaih u iz i da u jih bacamo uglica. Problem je sada ao da slažemo uglice i pregrade izmedu jih. Jeda raspored možemo gledati ao uredeu 1 + r -toru gdje imamo 1 izbor pregrada i r izbora za uglice. Svai taav raspored je permutacija s poavljajem od 1 + r elemetata od ojih jede vrste ima 1, a druge r. Uupa broj tavih permutacija s poavljajem ima P 1+r ( 1, r. Radi materijal 24

25 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE PRIMJER 1.34 Zamislimo da imamo 5 utija poredaih u iz i da u jih bacamo r9 uglica. Problem možemo razmatrati ao da slažemo uglice i pregrade medu utijama. Imamo -14 jedae pregrade i r9 jedaih uglica. Dale, imamo permutacije +r-113 elemeata od ojih su 4 jede vrste i 9 druge vrste pa je jihov broj: P 13 (4, 9. PRIMJER 1.35 Razdioba jedaih predmeta Svaa razdioba r jedaih predmeta a različitih mjesta je ombiacija s poavljajem r -tog razreda od elemeata. Broj razdioba je C (r. Prisjetimo se motivacijsog primjera: PRIMJER 1.36 motiv Na olio ačia možmo rasporediti 3 bagera (jedai a 6 gradilišta? Rješeje: Bagere možemo rasporediti a C (3 6 ( ( ( +r 1 r ačia. PRIMJER uglice iste boje rasporedujemo u 6 utija. Kolio razdioba možemo dobiti? Rješeje: C (3 6. PRIMJER 1.38 Uočimo da je izbor r uglica iz jede utije u ojoj je različitih uglica s vraćajem u utiju ( redoslijed ije važa, aaloga rasporedu r jedaih uglica u različitih utija. PRIMJER 1.39 Iz utije u ojoj je 6 uglica različite boje izvlačimo tri uglice jedu po jedu s vraćajem. Kolio uzoraa možemo dobiti ao redoslijed ije važa? Rješeje: C ( Radi materijal

26 1.5. KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA PRIMJER 1.40 U prodavaoici se može upiti 5 vrsta čarapa. Kolio različitih poloa može apraviti prodavač ao je pairao po 9 pari? Rješeje: S {1, 2, 3, 4, 5}, 5 vrsta čarapa. Polo je ombiacija s poavljajem 9-razreda (r 9 od 5 elemeata. Broj poloa je C (9 5 ( ( ( +r 1 r PRIMJER 1.41 Iz utije u ojoj je šest uglica različitih boja izvlačimo tri odjedom (bez vraćaja. Kolio tavih ombiacija možemo dobiti ao redoslijed ije važa? Rješeje: C (3 6. PRIMJER 1.42 Iz utije u ojoj je 6 uglica različitih boja izvlačimo tri uglice jedu po jedu s vraćajem. Kolio uzoraa možemo dobiti ao redoslijed ije važa? Rješeje: C (3 6. Radi materijal 26

27 1. ELEMENTI KOMBINATORIKE 1.6 Poovimo BEZ PONAVLJANJA broj permutacija od elemeata P(! broj varijacija r tog razreda od elemeata broj ombiacija r tog razreda od elemeata V (r! ( r! C (r ( r! r! ( r! S PONAVLJANJEM br. permutacija s po. od el. P ( 1, 2,...,! 1! 2!...! br. varijacija s po. r tog raz. od el. br. ombiacija s po. r tog raz. od el. IZBOR - s vraćajem V (r C (r r ( +r 1 r IZBOR: r-čl. uzora iz -čl. supa različitih elemeata ije važa poreda važa poreda C (r V (r IZBOR - bez vraćaja IZBOR: r-čl. uzoraa iz -čl. supa različitih elemeata ije važa poreda važa poreda C (r V (r RAZDIOBE - proizvoljo predmeta u utijama RAZDIOBE: r predmeta u različitih utija jedaih predmeta različitih predmeta C (r V (r RAZDIOBE - ajviše po jeda predmet u utiji RAZDIOBE: r predmeta u različitih utija jedaih predmeta različitih predmeta C (r V (r 27 Radi materijal

28 1.6. Poovimo UZORCI UZORCI: veličie r r 1 + r r iz čl. supa bez vraćaja C (r 1 1 C (r 2 2 C (r s vraćajem P r (r 1, r 2,..., r ( 1 r 1( 2 r 2... ( r s vraćajem r P r (r 1, r 2,..., r Radi materijal 28