Za boljšo komunikacijo s študenti in med študenti se poslužujte Foruma, ki smo ga odprli posebno v ta namen:

Transcript

1

2 Spoštovani študenti! Ped vami je skipta, ki jo lahko upoabljate za lažje spemljanje pedavanj pi pedmetu Osnove elektotehnike 1 na visokošolskem študiju na Fakulteti za elektotehniko, Univeza v Ljubljani Sestavljena je kot zbika mojih pipav na pedavanja Skipta večinoma ne vsebuje slikovnega mateiala, azen v posebnih pimeih Je pa v njej ezevian določen posto, kje lahko naišete ustezno sliko, ki ste jo že naisali na pedavanjih Na ta način si lahko z nekoliko lastne aktivnosti pipavite liteatuo, pimeno za pipavo na izpit Skipta je neke vste delovni zvezek Vsebuje teoijo, pimee, napotke za obnavljanje znanja, dodatne naloge, poleg tega pa še usmeja k upoabi spleta za dopolnjevanje znanja Poleg»standadnega«teksta z azlagami osnovnih elektičnih pojavov in pojmov te njihovega matematičnega zapisa sem dodal nekaj pimeov upoabe Matlaba za izačun in vizualizacijo polja Več pimeov si lahko ogledate na spletni stani na Pedlagam, da tudi sami poskusite upoabiti Matlab ali pa kakšen sooden pogamna spletu so na voljo tudi bezplačni pogami, ki tudi omogočajo zelo kakovostno delo Poglejte na pime možnosti pogamov FeeMat ( ali Octave (wwwgnuog/softwae/octave) Poleg analitične obavnave smo upoabili tudi pogame za numeičen izačun elektičnega polja Ta je posebno pimeen za vizualizacijo polja, je pa tudi pogost način dela v paksi V delu je upoabljen komecialen pogamski paket Femlab (wwwcomsolcom), za študentsko delo pa so pimeni tudi dugi nekomecialni pogami (np Quickfield ali Maxwell SV) Pi pedmetu OE1 imate možnost izdelati seminasko nalogo To ni obveznost, se pa uspešno izvedena seminaska naloga upošteva pi končni oceni (izpitu) Pimei možnih nalog so na stani lahko pa pedlagate tudi svojo Na spletni stani se nahaja osnovna stan pedmetov OE1 in OE, kje najdete tudi povezave na zbiko ešenih izpitnih in kolokvijskih nalog, ki so izdatno opemljene z ešitvami To je gadivo, ki vam ga toplo pipoočam kot študijsko gadivo, pedvsem kot pipava za pisni del izpita in kolokvije Za boljšo komunikacijo s študenti in med študenti se poslužujte Fouma, ki smo ga odpli posebno v ta namen: Poleg te skipte obstaja veliko knjižnega gadiva, ki je pimeen kot študijsko gadivokajši spisek je na stani Pa še to: vejetno ste se za študij elektotehnike odločili zato, ke vas to podočje zanima Če boste iz tega izhajali,ste na pavi poti Pedmet Osnove elektotehnike I vam bo dal znanja s kateimi boste azumeli osnovne koncepte, ki jih upoabljamo za azlago in seveda izkoiščanje elektičnih pojavov Uspešen študij, Dejan Kižaj, 8

3 VSEBINA Poglavja 1-5 so v skipti Osnove elektotehnike 1: enosmena vezja 6 COULOMBOV ZAKON 7 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST 8 PORAZDELITEV NABOJA 9 KOORDINATNI SISTEMI 1 ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST PORAZDELJENIH NABOJEV 11 GAUSSOV ZAKON 1 DELO IN ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA POLJA 13 POTENCIAL IN NAPETOST 14 PREVODNIK V POLJU 15 ZVEZA MED E IN V 16 GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM POLJU 17 ELEKTRIČNI DIPOL 18 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALNIH RAVNIN 19 METODA ZRCALJENJA KAPACITIVNOST 1 DIELEKTRIK V ELEKTRIČNEM POLJU KONDENZATOR 3 ENERGIJA 4 ČASOVNO KONSTANTNO TOKOVNO POLJE 5 VIRI NAPETOSTI

4

5 Coulombov_zakon(6)doc Oct-7 6 Coulombov zakon Vsebina: sila med točkastima nabojema, dielektična konstanta vakuuma, vektoski zapis sile, supepozicija sil Že stai gki so ugotovili, da med naelektenimi telesi deluje sila, ki jo je William Gilbet leta 16 v znameniti knjigi De Magnete poimenoval elektična sila Kljub znanstevnim aziskavam je peteklo ka nekaj časa, da je bila dognana zveza med velikostjo sile in nabojev, ki to silo povzočajo Osnovno zakonitost je s pomočjo ekspeimenta s tozijsko tehtnico dognal Chales Augustin de Coulomb Ugotovil je, da je sila med dvema naelektenima kogljicama popocionalna poduktu nabojev in invezno popocionalna kvadatu azdalje med kogljicama Matematično to zapišemo kot QQ 1 F = k, kje je k konstanta Odvisna je od izbie meskega sistema V sistemu meskih enot, ki je v veljavi dandanes (SI), velja 1 k = 4πε in jepibližno enaka 9 V m k 91 As ε imenujemo dielektična konstanta vakuuma * in je enaka 1 ε 8,854 1 As/Vm Da bi bila enačba točna, moata biti kogljici čim manjši Eksaktno enačba velja le za tako imenovane točkaste elektine Coulombova tozijska tehtnica s kateo je izvajal poskuse in ugotovil povezavo med nabojem in silo To je čista matematična fomulacija, saj točkastih nabojev v naavi ni Še tako majhen naboj ima določen polme, četudi majhen Je pa koncept točkaste elektine (točkastega naboja) zelo pomemben v elektotehniki in z njegovo pomočjo izpeljemo izaze za silo med naelektenimi telesi Pime: Določimo elektično silo med dvema točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = 5 µc, ki sta oddaljena za 1 cm Izačun: QQ 1 9 V m µc 5µC Sila je F = k = 9 1 = 9N As(,1m) Iz ezultata lahko ugotovimo, da smo enoto N(ewton) ka pipisali, saj bi po izvajanju moala biti enota za silo VAs/m To tudi je ekvivalentna enota za silo, le da je bolj običajno, da silo izazimo z enoto iz mehanike, newtnom (njutnom) Izačun sile med točkastimi naboji je toej pepost Potebno pa je poudaiti, da je sila vektoska veličina, saj ima poleg velikosti tudi sme Kot smo že omenili, je sme sile taka, da se enako naznačena naboja odbijata, naspotno naznačena pa pivlačita To pavilo moamo le * Pogosto tudi zak smatamo za posto bez nabojev, v kateem določamo silo med naboji na enak način kot v vakuumu Kasneje bomo ugotovili, da je za izačun sil in elektičnega polja v azličnih medijih potebno upoštevati vpliv samega medija Ta vpliv opišemo z elativno dielektično kostanto Za vakuuma je ta 1, za zak pa 1,59 Polme elektona je, m 1/4 DK

6 Coulombov_zakon(6)doc Oct-7 še zapisati v matematični obliki in ga upoštevati pi izačunu sile Pi tem si pomagamo z vektoskim zapisom Silo zapišemo kot vekto, hkati pa z vektoji zapišemo tudi pozicije mest, kje se naboji nahajajo SLIKA: Odbojna in pivlačna sila med naboji Imejmo točkasta naboja Q 1 in Q, ki se nahajata v točkah T 1 in T, kje je točka T 1 določena s koodinatami (x 1, y 1, z 1 ) in T z (x, y, z ) Vekto iz koodinatnega izhodišča do točke T 1 označimo z 1 in ima komponente (x 1, y 1, z 1 ) te s komponentami (x, y, z ) Določimo še vekto, ki kaže iz točke T 1 v točko T Ta je 1 = ozioma 1 = ( x x, y y, z z ) QQ 1 Da bi izačunali vekto sile, moamo velikosti sile, določeni z enačbo F = k, dodati še sme Sme sile, ki jo naboj Q 1 povzoča na navoj Q bo v smei vektoja 1 Potebujemo toej vekto, ki kaže v smei vektoja 1, njegova velikost pa je 1 Ta vekto imenujemo enotski vekto in ga dobimo tako, da vekto 1 delimo z njegovo absolutno vednostjo 1 (velikostjo): e = 1 1 Silo na Q, ki jo povzoča naboj Q 1 zapisana v vektoski obliki je 1 QQ F = F = e Q 1 1 4πε 1 1 To enačbo imenujemo Coulombov zakon Zapisana sila je sila na naboj Q, če pa želimo izaziti silo na naboj Q 1 moamo obniti vekto 1 ozioma upoštevati F1 = F1 SLIKA: Sila med nabojema Q 1 in Q Pime: Določimo elektično silo med točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = -5 µc Q 1 se nahaja v točki T 1 (1,,) cm, naboj Q pa v točki T (,3,1) cm Izačun: Zapišimo točki z vektojema 1 in te tvoimo vekto 1 = ( 1,3,1 ) cm = (1,3, 1) cm Enotski vekto dobimo tako, da delimo vekto z njegovo absolutno vednostjo /4 DK

7 Coulombov_zakon(6)doc Oct-7 1 = ( 1) cm= 11 cm 1 (1, 3, 1)cm (1, 3, 1) in e = 1 = = 1 11cm 11 Sila na naboj Q je toej 1 QQ 1 1 µc ( 5µC) (1,3, 1) FQ = F 1 = e = = 1 4πε 1 4πε 11cm V m 1 A s (1,3, 1) = 91 4,7(1,3, 1)N m 11 Rezultat je negativen, toej sila kaže v naspotno sme kot vekto 1, ka je seveda pavilno, saj sta naboja naspotnega pedznaka in se toej pivlačita Kolikšna je komponenta sile v smei določene osi? Pomnožimo komponente z 4,7 in dobimo: F1 4,7 N ex 74 N ey + 4,7 N ez Supepozicija sil Kaj pa če imamo ti ali več nabojev? Kako določimo silo na določen naboj? Določimo jo peposto s seštevanjem posameznih pispevkov sil Matematično temu ečemo supepozicija in pincip seštevanja sil kot supepozicija sil Sila na Q 1 bi toej bila enaka vsoti sil med nabojema Q 1 in Q, Q 1 in Q 3, Q 1 in Q 4, itd F = F + F + F + Q1 Q Q1 Q3 Q1 Q4 Q1 Pime: Poleg nabojev Q 1 in Q iz gonjega pimea imamo še naboj Q 3 = 3 µc, ki se nahaja na mestu T 3 (,3,-3)cm Določite skupno silo na naboj Q Izačun: Silo med nabojema Q 3 in Q je nekoliko lažje izačunati, saj je azdalja med nabojema 1 cm (azlika samo v smei z osi), ke je en naboj pozitiven dugi pa negativen, bo sila na Q 3 v smei naboja Q, toej v smei z osi Rezultat bo toej 1 QQ 3 1 3µC ( 5µC) F3 = e = ( e ) 1 z = 4πε 3 4π ε (4cm) 1 9 V m 15 1 A s = 9 1 e 84,38 N -4 z = ez 16 1 m Skupni seštevek je F = F1 = 4,7 N ex + 74 N ey + 59,675N ez Pepoznali smo dva možna pistopa k ačunanju Coulombove sile: 1 matematični, pi kateem določimo vektoje 1,, 1, e 1 in nato vstavimo v enačbo 1 QQ 1 FQ = F 1 = e 1 (pvi pime) 4πε 1 z azmislekom, pi čeme posebej določimo sme sile in velikost sile in nato zapišemo F = ef F (dugi pime) 3/4 DK

8 Coulombov_zakon(6)doc Oct-7 Vpašanja: 1) Kdaj je sila med dvema nabojema odbojna in kdaj je pivlačna? ) Razloži Coulombov zakon 3) Kako določimo azdaljo med nabojema, če sta mesti nabojev podani s koodinatami? 4) Kako tvoimo enotski vekto? 5) Zapišite vekto sile med nabojema 6) Kako ačunamo silo na naboj v okolici več nabojev? 4/4 DK

9 ELEKTROSTATIČNI GENERATORJI Zgodovina Že Gki (Thales iz Mileta, 6 st) so poznali lastnost jantaja; da pivlači duge pedmete, kada ga podgnemo ob blago ali kzno Znanstvene temelje opazovanjem elektike pa je postavil šele William Gilbet ( ), ki je leta 16 izdal znamenito knjigo De Magnete V njej je pedvsem aziskal magnetne pojave, med dugim pa je tudi pvi upoabil besedo electicus - elektika (beseda izhaja iz gščine in pomeni janta) Lastnost, da je mogoče z dgnenjem ločevati naboj, je upoabil Otto von Gueicke, ki je leta 1663 izdelal peposto napavo v obliki kogle iz žvepla Izdelal jo je tako, da je staljeno žveplo vliv v stekleno bučko in jo azbil, ko se je žveplo stdilo Kasneje je ugotovil, da tudi samo steklo daje podobne učinke Nadaljnji azvoj je vodil v sme učinkovitejšega pidobivanja elektične enegije Znana je vsta napav za poizvodnjo elektične enegije V osnovi vse temeljijo na dveh pincipih ločevanja naboja: s pomočjo tiboelektike (ločevanja nabojev z dgnenjem) te elektostatične influence (pivlaka naspotno pedznačenih nabojev) Več o tem v nadaljnjih pedavanjih Poleg čisto znanstvenih aziskav je bilo zelo populano upoabljati geneatoje elektike v paktične namene Ena bolj zabavnih upoab je bil ti elektični poljub Našle pa so se tudi duge»ekstotične«upoabe, kot na pime zdavljenje zobobola Osnovna kaakteistika pvih elektostatičnih geneatojev je bila, da so omogočali doseganje pecej visokih napetostih, tok, pa je bil elativno majhen ali pa katkotajen (azelektitev) Poblem je pedstavljajo shanjevanje nakopičenega naboja Pi doseženi visoki napetosti je nameč pišlo do azelektitve naboja v zaku (peboja) Velik napedek pi shanjevanju naboja je bila iznajdba kondenzatoja Zaslugo za to ima pof Musschenboek, ki je leta 1745 opazil, da se je učinek elektostatičnega geneatoja močno povečal, če je v oki džal steklenico (ti Leidenska steklenica), v notanjost katee je bil v vodo potisnjen en kontakt od geneatoja (Več o tem v poglavju o kondenzatojih) Z vezavo več kondenzatojev je bilo mogoče shaniti večje količine naboja, ka pa je hkati zaadi visoke napetosti in povečanja količine shanjenega naboja pedstavljalo smtno nevanost

10 Leidenska flaša in upoaba pincipa elektostatične indukcije so pipeljali do azvoja novih tipov elektostatičnih geneatojev (Toplejev, Caejev, Ramsdenov, Bonnetijev, Wintejev, Wimshustov) Na sliki sta pikazani Toplejev in Wimshustov influenčni geneato Nekatee od teh se je pogosto upoabljalo za geneacijo X-žakov v katodni cevi Dandanes se elektostatični geneatoji upoabljajo le v demonstacijske namene (in omenjene efeence ) (lepe slike) Zanimiv pincip je tudi ti pani elektostatični geneato, kje je ločevanje naboja posledica tenja upajenih kaplic vode Znan je ti Amstongov pani geneato iz leta 184 Modeni geneatoji: Van de Gaffov geneato Moden pincip elektostatičnega geneatoja pedstavlja izum Van de Gaffa, ki omogoča pidobivanje zelo visokih napetosti Leta 199 je izdelal pvi model geneatoja, ki je omogočal doseganje napestosti 8 kv Že leta 1931 pa je pikazal napavo, ki je omogočala napetosti milijon voltov, leta 1933 pa napavo, ki je omogočala celo 7 MV Osnova delovanja Van de Gaffovega geneatoja je silno peposta in učinkovita: na hito vteči nepevodni tak se na spodnjem delu nalagajo naboji, ki potujejo po taku navzgo do pevodne kogle, kamo se penesejo na povšino kogle Manjši van de Gaffovi geneatoji omogočajo doseganje napetosti nekaj deset do nekaj sto kv, večji pa tudi do MV 7 MV Van de Gaffov geneato Peme ene poliane aluminijaste kogle je 4,6 m

11 EPolje(7)doc Dec-7 7 Elektična poljska jakost Vsebina poglavja: definicija elektične poljske jakosti, supepozicija elektičnega polja Pojem elektične poljske jakosti je en najpomembnejših konceptov v elektotehniki V osnovi abstakten pojem se bo kasneje izkazal kot ključen za določanje napetosti, enegije in dugih pomembnih veličin Elektična poljska jakost je definiana kot sila na enoto pozitivnega naboja Q t = 1C: F E = Q t Elektično poljsko jakost v poljubni točki v postou določimo tako, da v to točko postavimo poskusni (testni) naboj Q t in določimo silo na ta naboj Nato silo delimo s poskusnim nabojem QQ t Q t in dobimo elektično poljsko jakost Med točkastima nabojem Q in Q t je sila, kje 4πε je azdalja med nabojema Elektična poljska jakost na mestu naboja Q t je toej 1 QQ t Q E = t 4π = Q ε 4π ε Ke pa je tako sila kot elektična poljska jakost vektoska veličina, moamo upoštevati še sme Ta je v smei vektoja, ki je vekto od mesta naboja Q do testnega naboja Q t SLIKA: Vekto elektične poljske jakosti na oddaljenosti od točkastega naboja Q Elektična poljska jakost na oddaljenosti od naboja Q je toej enaka E = e Q 4π ε Pime: Določimo elektično poljsko jakost v koodinatnem izhodišču (,, ) cm, če se v točki T 1 (1,,) cm nahaja Q = µc Izačun: Izačuna se lahko lotimo na enak način, kot da bi določali silo na (pozitivni) naboj Q t v točki (,, ) F Qt QQ ( e ) 1 Q µc (1,,) t t = = = 4πε 4πε 5cm V m Qt 1 As (1,,) 7 Q -4 t = 91 = 1,611(1,,)V/m As 51m 5 Elektična poljska jakost pa je 1/3 DK

12 EPolje(7)doc Dec-7 F Q t 7 7 E = = 1,61 1 (1,,)N/C = 1,61 1 (1,, ) V/m Q t Enota za elektično poljsko jakost je V/m Iz pimea vidimo, da lahko sme elektične jakosti določimo kot sme sile na namišljen pozitivni naboj V pincipu je vseeno, kako velik je ta testni naboj, saj vidimo, da v enačbi sploh ne nastopa v enačbi nastopa naboj, ki povzoča silo na testni naboj Naboj 1 C je zelo velika količina naboja, ki ga je (1) ealno nemogoče zbati v točki (v malem adiju) in () tak naboj bi vsekako pedstavljal izazito veliko silo na okoliške naboje in povzočil njihovo pemaknitev Zato je bolj natančna definicija za elektično poljsko jakost, da je to sila na majhen poskusni pozitivni naboj, matematično F E = lim Qt Q t V čem je potem azlika med silo in elektično poljsko jakostjo? Pomembna konceptualna azlika je v tem, da je mogoče sile določati le med naboji, medtem ko je elektična poljska jakost definiana v vsaki točki v postou Supepozicija elektičnega polja Kako določimo elektično poljsko jakost v točki, če je v okolici več nabojev? Enako kot smo določali silo na naboj v okolici več nabojev V točko postavimo poskusni naboj, izačunamo silo na poskusni (pozitivni) naboj kot supepozicijo posameznih pispevkov sile te nato delimo s poskusnim nabojem Ozioma, določimo elektično poljsko jakost za vsak naboj posebej in pispevke seštejemo E = E + E + E + = E 1 3 i i SLIKA: Več nabojev in elektična poljska jakost v točki kot supepozicija elektičnih poljskih jakosti posameznih nabojev Pikazovanje elektične poljske jakosti v postou Ke je polje definiano v vsaki točki postoa, pomeni, da lahko v vsaki točki postoa ponazoimo polje z vektojem, ki kaže sme in velikost polja v točki Običajno se spopijaznimo s tem, da išemo vektoje elektične poljske jakosti v določenih točkah v postou in tako pikažemo vektosko polje Duga možnost je, da pikazujemo velikost polja (venda ne smei) z D ali 3D pikazom /3 DK

13 EPolje(7)doc Dec-7 SLIKA: Pikazovanje elektične poljske jakosti v okolici točkastega naboja: a) z vektoji, b) 1D pikaz, c) D pikaz, d) 3D pikaz SLIKA: D in 3D pikaz elektične poljske jakosti za polje v okolici dveh pevodnih naelektenih veljev Na dveh slikah na levi je pikazano elektiično polje v okolici dveh valjev naelektenih z naboji naspotnega pedznaka (levi valj z negativnim, desni pa s pozitivnim nabojem), na desni pa dva valja z enakopedznačenim nabojem (pozitivnim) Sme polja pikazujejo puščice (vektoji), velikost pa tako velikost puščic, kot tudi obavanost toplejša bava pedstavlja večjo poljsko jakost Vpašanja za obnovo: 1 Definicija elektične poljske jakosti Enota 3 Izpopolnjena definicija 4 Konceptualna azlika med silo in elektično poljsko jakostjo 5 Supepozicija poljske jakosti 3/3 DK

14 Poazdelitev naboja(8)doc Oct-7 8 Poazdelitev naboja Vsebina poglavja: volumska, povšinska in linijska poazdelitev naboja in zapis z ustezno gostoto naboja Spoznali smo že koncept točkastega naboja, za kateega pa smo že ekli, da ga v naavi ni Najmanjši naboj je naboj elektona, s svojo maso in kvantiziano množino naboja Nadaljnji poblem je, da je količine osnovnih enot naboja, ki jih moamo vzeti v poštev običajno zelo veliko Če samo malo podgnemo, se med telesi penesejo milijoni elektonov Mi pa smo sposobni izačunati silo na nekaj točkastih nabojev No, v pincipu bi lahko s supepozicijo izačunali tudi silo med nekaj milijoni nabojev Ka pa ni običajno Potebno je najti nek dug način obavnave naelektenih teles Našli ga bomo v konceptu azličnih tipov poazdelitve naboja v postou Pedpostavili bomo, da je naboj zaadi velike količine delcev poazdeljen zvezno V tem smislu bomo definiali ti načine poazdelitve nabojev: volumsko, povšinsko in linijsko poazdelitev naboja Ti načini poazdelitve naboja: 1) naboj, poazdeljen v volumnu Govoimo o volumski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto volumske poazdelitve naboja ρ Enota je C/m 3 Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po volumnu, lahko gostoto volumskega naboja določimo kot Q ρ =, ozioma celotni naboj kot Q= ρv Bolj pogosto je, da ta naboj ni pozadeljen V enakomeno, tedaj lahko enakomeno poazdelitev smatamo le v nekem zelo omejenem malem delu celotnega volumna V Del celotnega naboja je toej Q= ρ V in če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq= ρ dv Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po volumnu: Q = ρ dv V ) naboj, poazdeljen po povšini Govoimo o povšinski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto povšinske poazdelitve naboja σ Enota je C/m Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po povšini, lahko povšinsko gostoto naboja določimo kot Q σ =, ozioma celotni naboj kot Q= σ A Bolj pogosto je, da ta naboj ni pozadeljen A enakomeno, tedaj velja zveza Q= σ Ale za en majhen del celotnega naboja na neki majhni povšini, toej Q= σ Ain če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq= σ da Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po povšini: Q= σ da A 3) naboj, poazdeljen po liniji (žici) Govoimo o linijski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto linijske poazdelitve naboja q Enota je C/m Če je tak naboj Q enakomeno poazdeljen po liniji, lahko linijsko gostoto naboja določimo kot q =, L ozioma celotni naboj kot Q= ql Bolj pogosto je, da ta naboj ni poazdeljen 1/ DK

15 Poazdelitev naboja(8)doc Oct-7 enakomeno, tedaj velja zveza Q= qlle za en majhen del celotnega naboja na neki majhni azdalji, toej Q= q Lin če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo d Q= q dl Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po liniji: Q = q dl Nekaj pimeov L (Kmalu pa se bomo soočili še z enim poblemom Če bi poznali poazdelitev naboja, bi še nekako izačunali posledice, toej elektične poljske jakosti in sile med naboji, telesi Običajno pa te poazdelitve niti ne poznamo, poznamo pa ecimo napetosti med telesi Potebno bo toej poiskati še zvezo med napetostjo in poazdelitvijo naboja A o tem kasneje) Vpašanja: 1 Naštejte ti azlične poazdelitve naboja Zapišite enačbe, ki povezujejo gostote poazdelitve s celotnim nabojem 3 Iz znane poazdelitve naboja pikažite izačun celotnega naboja / DK

16 Koodinatni sistemi(9)doc Oct-7 9 Koodinatni sistemi Vsebina: katezični, valjni (cilindični) in kogelni (sfeični) koodinatni sistem Točka v koodinatnem sistemu Difeencialni elementi v koodinatnih sistemih Zakaj upoabljati več koodinatnih sistemov (KS), če nam je katezični koodinatni sistem (KKS) najbolj poznan in najbolj azumljiv? Odgovo je pepost: zato, ke je v določenih pimeih izačun mnogo bolj pepost z izbio dugačnega koodinatnega sistema Na pime, če je naboj poazdeljen po povšini valja Sama po sebi se ponuja najboljša izbia za matematični opis poazdelitve naboja upoaba valjnega koodinatnega sistema, itd Za koodinatne sisteme, ki jih obavnavamo mi, je značilno to, da so vse avnine med sabo pavokotne Takim koodinatnim sistemom ečemo otogonalni Katezični koodinatni sistem (KKZ) Točko v koodinatnem sistemu določimo s pesekom teh avnin V KKS so to ti avnine: x = x 1 y = y z = z 1 1 Koodinate v KKS določa tojček (x,y,z) SLIKA: Katezični koodinatni sistem Vzdolž vsake osi lahko določimo difeencial dolžine Dobimo ga z limitianjem malega dela dolžine: dl = lim L V smei osi X je to dx, v smei osi Y je dy in v smei Z je dz V L splošnem lahko difeencial poti v KKS zapišemo kot vekto: dl = exdx+ eydy+ ezdz d l = (d x,d y,d z) Če pomnožimo vse ti difeenciale dolžine dobimo majhen difeencialen volumen zapisan v obliki dv = dx dy dz Ploskvice tega difeencialnega volumna imenujemo difeenciali ploskev in so dx dy, dx dzin dy dz Pogosto jim bomo dodali še sme in sice pavokotna na povšino To imenujemo sme nomale na povšino Kvadatku povšine dx dy bi toej pipisali sme osi Z Velja toej: dax = ex dy dz day = eydx dz daz = ez dx dy 1/4 DK

17 Koodinatni sistemi(9)doc Oct-7 Pimei: Valjni (cilindični) koodinatni sistem (CKS) Točka je določena s pesekom teh avnin = 1 ϕ = ϕ 1 z = z1 Pva avnina je plašč valja, duga je polavnina okoli Z osi, ki jo določa kot φ, tetja pa avnina z eno vednostjo koodinate Z Koodinate v CKS sestavlja toej tojček (, ϕ, z) Difeencial poti je dl = e d+ e dϕ + e d z ϕ z Difeenciali povšine so da = edϕ dz, daϕ = eϕd dz, daz = ezdϕ d Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija), V tem pimeu je difeencial v smei osi Z določen z da = πd Difeencial volumna je dv = ddϕdz z SLIKA: Valjni koodinatni sistem Pime: Določite ploščino diska z notanjim polmeom 1 cm in zunanjim polmeom 6 cm Izačun: Vzamemo difeencial povšine, ki kaže v smei osi Z in zapišemo dvojni integal π 6cm 6cm 6cm ddϕ π d π π (6 cm) (1cm) 35π cm 1cm 1cm 1cm P= = = = = Pime: Po povšini plašča valja višine m polmea 5 cm se speminja povšinska gostota ϕ naboja z izazom σ = sin µc/m Določimo povšinsko gostoto naboja /4 DK

18 Koodinatni sistemi(9)doc Oct-7 Izačun: Upoabimo zvezo Q= σ da, ka v našem pimeu pomeni A π m π ϕ ϕ sin µc/m dϕ d 5 cm cos µc/m m = Q= z =,1 4 µc =,4µC Kogelni (sfeični) koodinatni sistem (SKS) Točka je določena s pesekom teh avnin = 1 ϑ = ϑ 1 ϕ = ϕ1 Pva avnina je plašč koglje, duga je povšina stožca (kje je ϑ (theta) kot od Z osi navzdol), tetja pa polavnina znana iz CKS Koodinate v SKS sestavlja toej tojček (, ϑ, ϕ ) Difeencial poti je dl = e d+ e dϑ + e sin( ϑ)dϕ Difeenciali povšin so da = e sin( ϑ)dϑdϕ, daϑ = eϑsin( ϑ)dϕd, da = e d ϑ ϕ ϕ dϑ ϕ Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija) V tem pimeu je difeencial v smei osi R določen z da 4πd Difeencial volumna je dv = sin( ϑ)ddϑdϕ ϑ = SLIKA: Kogelni koodinatni sistem Pime: Določimo povšino kogle polmea R Izačun: Vzamemo difeencial volumna kogle d V ϑ R π π 3 R 3 π π 4πR sin( ϑ)d dϑd ϕ ( cos( ϑ)) ϕ 3 3 V = = = = sin( )d dϑdϕ in ga integiamo 3/4 DK

19 Koodinatni sistemi(9)doc Oct-7 WWW: Tudi pi GPS signalih se upoabljajo ustezni koodinatni sistemi Več: WWW: Katezični kodinatni sistem: Polani koodinatni sistem: 4/4 DK

20 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 1 Elektična poljska jakost poazdeljenih nabojev Vsebina: polje točkastega naboja, dela celotnega naboja in polje poazdeljenih nabojev Polje točkastega naboja Spoznali smo že definicijo elektične poljske jakosti te enačbo za izačun polja v okolici osamljenega točkastega naboja ( je vekto od točke, kje se nahaja naboj Q do točke, kje določamo polje ) E = e Q 4πε Polje točkastega naboja SLIKA: Polje v okolici točkastega naboja Nadalje smo ugotovili, da je število pesežkov nabojev pogosto zelo veliko, ka pomeni, da se že ob manjšem dgnenju dveh teles penese med telesi milijone in milijone elektonov Da bi izačunali elektično poljsko jakost, ki jo povzočajo ti naboji, bi potebovali mnogo ačunanja, saj bi z upoštevanjem supepozicije lahko izačunali pispevek polja vsakega naboja posebej in vplive sešteli Tak način ačunanja bi bil zelo zamuden in nepaktičen, čepav v pedagoške namene lahko upoabljamo tudi tak postopek Tipičen pime je pogam JaCoB (jacobfeuni-ljsi), ki ačuna silo med naboji in jih dinamično pomika v smei ezultančne sile Tak način izačunavanj se pogosto upoablja tudi v aziskavah osnovnih delcev, kje pa se upošteva tudi lastnosti tkanja delcev SLIKA: Pime izačuna in pikazovanja sil med naboji s pogamom JaCoB Polje poazdeljenih nabojev Pi izačunu elektične poljske jakosti poazdeljenih nabojev lahko pedpostavimo, da je zaadi velikega števila nabojev le-ta poazdeljen zvezno Spoznali smo že možnost pedstavitve poazdelitve nabojev kot volumsko, povšinsko ali linijsko gostoto nabojev Da bi dobili ustezen izaz za izačun polja, ki ga povzočajo tovstne poazdelitve nabojev, se Q najpej poslužimo ideje, da če velja za polje točkastega naboja izaz E = e, potem 4πε lahko tdimo, da bo to veljalo tudi za neko malo količino naboja Q, ki se nahaja na majhnem postou (majhnem v pimejavi z azdaljo ) V tem smislu bi za del celotnega naboja lahko določili polje, ki ga povzoča: Q E = e 4πε SLIKA: Polje, ki ga povzoča del celotnega naboja 1/1 DK

21 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 S pocesom limitianja difeenčnih vednosti dobimo izaz za difeencial polja, ki ga povzoča difeencial naboja: de = e dq 4πε Vpliv vseh delnih vednosti oz difeencialov naboja seštejemo s supepozicijo, ki v zveznem postou pedstavlja integacijo: E = po vseh Q-jih dq 4πε e Izaz za izačun polja poazdeljenih nabojev SLIKA: Integacija pispevkov difeencialov naboja za izačun elektične poljske jakosti je azdalja od dq-ja do točke v katei ačunamo polje Teoetično lahko na ta način določimo elektično poljsko jakost za poljubno poazdelitev naboja Paktično pa smo omejeni s pimei, ko je zapisan integal še analitično ešljiv V naspotnem pimeu nam peostane numeična integacija vplivov posameznih majhnih delov Qi celotnega naboja: E = E i = e 1 i 4πε i i Postopek za določitev polja poazdeljenih nabojev Zapišimo postopek, po kateem določimo elektično poljsko jakost za poazdeljene naboje z dq upoabo enačbe E = e, kje je vekto od mesta difeenciala naboja dq do 4πε po vseh Q-jih mesta, kje ačunamo elektično poljsko jakost; e je enotski vekto vektoja 1) Da bi natančneje določili difeencial volumna, povšine ali azdalje, moamo našo naelekteno stuktuo umestiti v ustezen koodinatni sistem Če bo stuktua na katei se nahaja naboj v obliki žice, bo najbolj pimena upoaba cilindičnega koodinatnega sistema, če bo naboj v volumnu kogle bo pimeen sfeični KS, itd Naboji, ki povzočajo polje so poazdeljeni po volumnu, povšini ali liniji V tem smislu bo difeencial naboja enak dq= ρdv, dq= σ da ali dq= qdl Te določimo v skladu s sledečo tabelo: 1 V paksi imamo na azpolago še nekaj dugih možnih načinov eševanja, ki jih bomo omenili v nadaljevanju /1 DK

22 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 Katezični ks Cilindični ks Sfeični ks dl dx, dy, dz d,d ϕ,dz d,d ϑ, sinϑdϕ da dxdy, dxdz, dydz dϕd z,dd z, dϕdz dϑd, sinϑdd ϕ, sinϑdϑdϕ dv dxdydz dd ϕ dz sinϑddϑdϕ ) Glede na izban koodinatni sistem določimo ustezen difeencial naboja Na pime, če se naboj speminja vzdolž palice, postavljene v osi X, bo dl = e x dx in dq= qdx Če se naboj nahaja na povšini valja, bo potebno upoabiti izaz dq= σ da, pi čeme bo da = dϕdz, itd 3) Postaviti moamo difeencial naboja na neko poljubno mesto na stuktui in določiti vekto kot funkcijo koodinat Vekto je vekto od mesta difeenciala naboja dq do točke, kje želimo izačunati polje 4) Zapišemo integal te določimo meje integacije Meje integacije so določene s koodinatami, ki zajamejo celoten naboj 5) Rešimo integal Pime izpeljave izaza za elektično poljsko jakost naelektene tanke palice Določimo elektično poljsko jakost h = 5 cm stan od sedine enakomeno naelektene tanke palice doložine d = 1 cm Naboj na palici je µc Izačun: Postopamo na sledeči način 1 Palico postavimo v koodinatni sistem Pimeen je valjni koodinatni sistem Naj bo sedina palice v sedišču ks in Z os usmejena vzdolž palice določimo dq, ki je v našem pimeu, ke ge za linijsko poazdelitev naboja, enak dq= qdl Ke ge za enakomeno poazdelitev naboja je q= Q/ l = Q/ d = µc/m 3 Glede na izban koodinatni sistem je dl = dz 4 Postavimo dq na neko poljubno mesto na palici, oddaljeno od izhodišča za z Od dq do točke, kje iščemo vednost polja, naišemo vekto in ga izazimo s koodinatami Velja = z + h 5 Sedaj difeencial polja v točki zapišemo v obliki d Q qdz de = = 4πε ( 4πε z + h ) 6 Sedaj moamo ugotoviti, da se vekto elektične poljske jakosti speminja za azlične lege dq-ja, ka pomeni, da jih moamo seštevati vektosko Da bi se temu izognili, lahko upoštevamo, da dq na zcalni stani Z osi povzoča polje, ki je v iskani točki usmejeno tako, da vsota kaže v smei adija To upoštevamo tako, da bomo seštevali le komponente polja, h ki so usmejeni v sme adija: de = de cos( γ ) = de z + h 3/1 DK

23 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 7 Te komponente pa lahko seštejemo z integacijo: l / qdz h E= de = l 4πε z + h z + h l qh E = 4π / / ε l / + dz ( z h ) ( ) 3/ l / qh z q/ l ql E = = = 3/ 4πε h ( z h ) 4π εh (/) l + h 4π εh (/) l + h + l / Dobili smo ešitev Vstaviti moamo le še vednosti in določimo velikost adialne 5 komponente polja: E,54 1 V/m Neskončno dolga tanka naelektena palica Zanimivo je pogledati, kakšno polje dobimo, če je naelektena palica neskončno dolga V tem pimeu moamo limitiati azdaljo l poti neskončno in dobimo qh z q/ l q E = = = Dobimo izedno pomemben ezultat, to je, 4πε h z h 4π ε hl (/) πε h ( + ) 3/ da polje z azdaljo od tanke neskončne naelektene palice upada z 1/h, medtem, ko polje v okolici točkaste elektine upada s kvadatom azdalje Neskončno dolgo tanko naelekteno palico lahko smatamo kot naelekteno pemico, zato taki stuktui tudi ečemo pemi naboj (elektina) Zapišimo polje peme elektine še enkat, tokat v smislu adija od peme elektine (pazi: v izpeljavi smo z definiali azdaljo od dq-ja do točke, sedaj je definian v smislu cilindičnega koodinatnega sistema kot adialna oddaljenost od pemega naboja): E = e q πε SLIKA: Polje v okolici peme elektine 4/1 DK

24 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 Polje tokovne daljice Izhajamo lahko iz ešitve za polje v okolici tokovne pemice in namesto sedinske umestitve določimo azdalji od koodinatnega izhodišča do levega oba z l 1 in do desnega oba z l Radialno komponento polja dobimo z ešitvijo integala l qh dz E = 4π ε 3/ l1 ( z h ), + ki je l qh z q l l E = = 4π ε + 4π ( ) ( ) 1 3/ h ( z h ) εh l + h l1 + h l 1 Enostavnejšo obliko tega zapisa dobimo, če upoabimo izaz za cosinusa notanjih kotov (glej sliko): q E = = ( cos( α) + cos( α1) ) 4πε h Na podoben način bi lahko določili še Z komponento polja Izkaže se, da je ezultat q E = = ( sin( α1) sin( α) ) 4πε h Če tudi sedaj namesto azdalje h upoabimo polme od tokovne daljice, dobimo enačbo : q E = e( cos( α1) cos( α) ) ez( sin( α1) sin( α) ) 4πε + + Ke je pema elektina le poseben pime naelktene daljice, dobimo iz gonje enačbe tudi enačbo za pemo elektino, ko veljaα 1 = α Tedaj je cos() = 1 in sin() = Sledi enačba za pemo elektino SLIKA: Tokovna daljica v koodinatnem sistemu Enačba je v dugi liteatui lahko pedstavljena z dugimi koti in je tem smislu spemenjena Potebno je toej pavilno določanje kotov α 1 in α 5/1 DK

25 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 Pime: Pimejajamo vednosti izačunov polja za polje naelektene daljice tako, da ga pimejamo s poljem naelektene pemice in točkaste elektine Vzemimo za pime naelekteno tanko palico dolžine d = 1 cm z enakomeno poazdeljenim nabojem µc Pimejava pokaže, da je velikost polja naelektene pemice in daljice enaka za majhne azdalje od tanke palice (azdalja dosti manjša od dolžine palice), da pa je za azdalje, ki so dosti večje od dolžine palice bolj pimena apoksimacija polja tanke palice s poljem točkastega naboja Razdalja (cm) E daljice (kv/m) E pemice (kv/m) E točke (kv/m), ,17,36, Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja od naelektene daljice / cm SLIKA: Pimejava med vednostjo polja v oddaljenosti od tanke naelektene palice (polna zelena čta) in pemega (čtkana moda čta) te točkastega naboja (točkasta deča čta) Polje v osi tokovne zanke V tem pimeu upoabimo cilindični koodinatni sistem in zapišemo del naboja kot dq= qdl = q dϕ Če označimo z a polme oboča velja dq= qadϕ Označimo dq na skici in potegnemo vekto od dq do točke na Z osi, ki je od sedišča oboča oddaljeno za azdaljo z Razdalja od dq do točke na Z osi je = a + z Nato ugotovimo, da se pi sumaciji pispevkov dq-jev k celotnemu polju ohanjajo le komponente polja v smei osi Z, ka pomeni, da moamo določiti le pispevek te komponente in ga integiati Pišemo 6/1 DK

26 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 z dez = de cos( α) = de dq de = 4πε de z dq z qazdϕ = = 4πε a z ( + ) 3/ 4πε Sedaj ugotovimo, da integiamo po kotu in da nobena od spemenljivk v enačbi ni funkcija kota, od kode sledi: E= d π qazdϕ qaz Ez = =, 4πε ( a + z ) ε ( a + z ) z 3/ 3/ po Q-jih ka je tudi že končen ezultat Zapišimo ga še v vektoski obliki: qaz E = ez 3/ ε ( a + z ) 1 Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja / m SLIKA: Polje v osi naelektenega oboča Polme oboča je cm, na njem je enakomeno (linijsko) poazdeljen naboj,1 nc Polje v osi naelektenega diska Polje v osi naelektenega diska izačunamo na podoben način kot za duge stuktue Disk umestimo v cilindični koodinatni sistem, določimo dq= σ da, kje da določimo iz poznavanja difeencialnih povšin v cilindičnem koodinatnem sistemu Upoabimo da = d dϕ, toej dq= σ ddϕ Skiciamo disk v cilindičnem koodinatnem sistemu, postavimo dq na neko poljubno azdaljo od sedišča diska, azdaljo od dq do točke T, kje ačunamo polje in je za azdaljo z oddaljena od sedišča diska, pa označimo z R Velja dq R = + z Naišemo de v točki T in ga zapišemo v obliki de = 4πε R Nadalje ugotovimo, da se adialne komponente polja odštevajo, sumiajo pa se pispevki polja v smei osi Z V tem smislu zapišemo difeencial komponente polja v smei osi Z: d d E z Q z z = d E cosδ = d E = R 4πε R R 7/1 DK

27 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 de z σzdd ϕ == 3 4πε R π R R σz σz σz 1/ R σz 1 1 Ez = dd ϕ = π d = 3/ 3/ ( ( + z ) ) = 4π ε( + z ) 4π ε ( + z ) ε ε z R + z Nekoliko še lahko spemenimo obliko enačbe in dobimo σ z σ Ez = 1 = ( 1 cos( δ )) ε R + z ε Polje v osi naelektenega diska določimo toej iz enačbe 3 : σ z σ E = ez 1 = ez ( 1 cos( δ )); za z > ε R + z ε 15 DISK OBROC Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja vzdolz Z osi / m SLIKA: Pimejava polj vzdolž Z osi naelektenega oboča (čtkana zelena čta) in naelektenega diska (polna moda čta) Naboj diska in oboča je nc, polme diska in oboča pa 5 cm Polje naelektenega diska je največje na povšini in upada z azdaljo, medtem ko je polje oboča pi z= enako nič V oddaljenosti je velikost polja podobna Naelektena avnina Naelektena avnina je le poseben slučaj naelektenega diska in to tedaj, ko ge adij diska v neskončnost ozioma, ko ge δ π/ Tedaj je E = ez σ ε Polje naelektene avnine (velja za z > ) To je pomemben ezultat in kaže, da je polje v okolici naelektene avnine neodvisno od višine nad avnino Neskončne avne povšine seveda ni, lahko pa je to dobe koncept v mnogih poenostavljenih pimeih Upoabili ga bomo tudi pi izačunu polja v ploščnem kondenzatoju, kje je ena plošča naelektena s pozitivnim, duga pa z negativnim nabojem 3 Enačba velja za pozitivne z-je Za negativne je potebno spemeniti pedznak polja, saj to kaže v smei negativne Z osi (za pozitivni naboj na disku) Bolj splošna oblika je toej σ z z E = ez ε z R + z 8/1 DK

28 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 Polje znotaj ploščnega kondenzatoja bo toej očitno vsota pispevkov vsake posamezne plošče Tudi ta enačba, ki smo jo izpeljali, velja za pozitivne z-je Za negativne z-je je potebno σ pedznak spemeniti, toej E = ez za z < ε SLIKA: Polje naelektene avnine Pime: Ravni plošči sta naelekteni z nabojema Q = ± pc Določimo elektično poljsko jakost med ploščama, če je povšina ene plošče cm Izačun: Kot smo že omenili, je polje znotaj plošč vsota pispevkov vsake plošče, toej E = σ σ ε = ε, kje je Q 8 σ = = 1 C/m Dobimo E 1,3 kv/m A 9/1 DK

29 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 PRIMERJAVE POTEKOV POLJA: 1 Pimejava med poljem v oddaljenosti od točkastega naboja in naelektenega oboča pokaže, da je potek polja popolnoma azličen v bližini naelektenih stuktu, kje polje točkastega naboja naašča s pibliževanjem poti neskončnosti, v sedišču naelektenega oboča pa je polje enako nič V oddaljenosti od oboča ozioma točkastega naboja pa sta ti polji vedno bolj podobni Elekticna poljska jakost / V/m 9 x TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Razdalja / m Elekticna poljska jakost / V/m TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem v oddaljenosti od točkastega naboja in v osi naelektenega oboča Oba imata enako velik naboj (,1 nc, polme pstana je cm) Levo: polje v bližini oboča Desno: polje v oddaljenosti od oboča V oddaljenosti od Q qaz pstana postane izaz E = e enakoveden izazu E = e z, v bližini 3/ 4πε ε ( a + z ) oboča (azdalja manjša od nekaj polmeov oboča) pa je azlika velika (polja naelektenega oboča na sliki levo ne vidimo, ke je bistveno manjši od polja točkastega naboja) Pimejava med poljem točkastega in pemega naboja pokaže, da polje točkastega naboja mnogo hiteje (s kvadatom azdalje) upada z azdaljo kot polje pemega naboja (1/) Elekticna poljska jakost / V/m x 15 TOCKASTI NABOJ PREMI NABOJ Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem točkastega (moda čta) in pemega naboja (zelena čta) Polje točkastega naboja upada s kvadatom azdalje (1/ ), polje pemega pa z azdaljo (1/) 1/1 DK

30 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 3 Pimejava med poljem naelektenega diska in neskončne avnine V inženiskem smislu je potebno vedno poiskati tisto stuktuo, ki najbolj pimeno opisuje elektično polje Na pime, če imamo opavka z naelektenim televizijskim ekanom in nas zanima elektično polje 1 cm stan od ekana, je dovolj natančno, če upoštevamo ekan kot neskončno naelekteno avnino, če nas zanima polje naelektenega ekana 1 ali 15 m stan od ekana pa bi bilo mnogo bolj pimeno ekan smatati kot točast naboj, še bolj pa kot naelekten disk Elekticna poljska jakost / V/m RAVNINA DISK Razmeje Ediska/Eavnine Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem naelektenega diska in neskončne avnine z enako velikim povšinskim nabojem Polme diska je 8 cm Desna slika kaže azmeje med poljem diska in poljem avnine Tik ob povšini je izačun ustezen, na azdalji polmea diska pa je polje diska 38 % polja avnine 11/1 DK

31 Epolje poazdeljenih nabojev(1b)doc Nov-7 POVZETEK IZPELJANIH ENAČB: Polje naelektene pemice (pema elektina): E = e q πε Polje naelektene daljice: (položene vzdolž Z osi) (glej sliko za azlago kotov): q E = e e 4πε + + ( cos( α ) cos( α )) ( sin( α ) sin( α )) 1 z 1 Polje v osi naelektenega oboča (polme oboča = a): E = e z qaz ε ( a + z ) 3/ Polje naelektene avnine (nomala v smei osi Z): E e =± σ z ε Vpašanja za obnovo: 1) Katei izaz nam omogoča izačun polja v okolici poazdeljenih nabojev? Kako ga dobimo iz izaza za točasti naboj? ) Kako upoabimo izaz za polje poazdeljenih nabojev na pimeu izačuna polja naelektene pemice, oboča, diska? 3) Zapišite in upoabite izaze za polje peme elektine, polje v osi naelektenega oboča, polje naelektene avnine 4) Skiciajte poteke polj obdelanih stuktu 5) Katee apoksimativne izaze bi upoabili, če bi želeli izačunati polje tik nad enakomeno naeleteno mizo ali pa 15 m nad naelekteno mizo? 1/1 DK

32 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 11 Gaussov zakon Vsebina poglavja: silnice polja, gostotne cevke (gostotnice), homogeno in nehomogeno polje, petok elektičnega polja, Gaussov zakon V tem poglavju bomo spoznali Gaussov zakon v integalni obliki, ki je v osnovi posledica Coulombovega zakona, toej dejstva, da polje v okolici točkastega naboja upada s kvadatom azdalje Da bi azumeli njegov pomen, se moamo najpej seznaniti s pojmi kot so silnice polja, petočne oz gostotne cevke in elektični petok Silnice Elektično poljsko jakost v postou lahko pikažemo z vektoji v postou Če vektoje povežemo z linijami, le te imenujemo silnice polja Pikaz s silnicami je zelo pimeen in pogost način pikaza polja (Konceptualno jih je vpeljal Michael Faaday, ki jih je imenoval lines of foce) Ke so silnice usmejene v smei polja, bi po silnici potoval naboj, če bi ga postavili v polje Pi tem moamo pedpostaviti, da vstavitev tega naboja v polje ne bi spemenila samega polja, saj bi tak naboj tudi deloval s silo na tiste naboje, ki ustvajajo polje v kateem potuje SLIKA: Vektoji in silnice polja za pikaz elektičnega polja v postou Petok elektičnega polja Nadalje je potebno spoznati koncept petoka elektičnega polja skozi neko ploskev * Elektičnemu polju, ki je povsod enako veliko (konstantno) in ima enako sme, običajno ečemo homogeno polje Če je homogeno polje usmejeno pavokotno na avno ploskev povšine A, potem je petok skozi to povšino določen kot podukt polja in povšine: E A (V nekem smislu je petok polja povezan s količino naboja iz kateih izhajajo silnice Na povšini naelektenega telesa se izkaže podukt E A diektno popocionalen količini naboja) Če je avna ploskev postavljena v smei homogenega polja, potem je ta petok enak nič, če pa je pod določenim kotom na ploskev, je potebno upoštevati kosinus vmesnega kota, pi čeme je to kot med nomalo (pavokotnico) na povšino in smejo elektičnega polja E A cos( α ) Po definiciji skalanega podukta lahko to zvezo zapišemo tudi s skalanim poduktom vektoja polja in vektoja povšine, pi čeme je potebno ponovno poudaiti, da je sme vektoja povšine določena z nomalo na povšino (smejo, ki je pavokotna na povšino) * Koncept petoka nekega vektoja skozi določeno povšino je splošen pojem, ki se pogosto upoablja za opis določenih veličin in ga pogosto imenujemo fluks V nadaljevanju bomo spoznali novo veličino, gostoto elektičnega petoka, ki jo bomo označili s čko D in bo za pazen posto enaka ε E 1/8 DK

33 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 Petok homogenega polja skozi poljubno postavljeno avno povšino je enak skalanemu poduktu (vektoja) elektičnega polja in vektoja povšine (ki ga določa nomala na povšino) Φ = E A e Petok homogenega elektičnega polja peko avne ploskve SLIKA: Petok homogenega elektičnega polja skozi avno ploskev Pime: Določimo petok homogenega elektičnega polja velikosti 5 kv/m, ki je usmejen pod kotom 3 na nomalo avne povšine določene s pavokotnikom dimenzij 3 x 4 m Izačun: 1 način: Pikažemo polje v koodinatnem sistemu in zapišemo vektoja E in A: E = eee = exesinα eyecosα = E( sin α, cos α,) A = ey A= (, 1, ) A E A= E( sin α, cos α,)(, 1, ) A= EAcosα način:poiščemo diektno komponento polja, ki je pavokotna na povšino, to je E = Ecosα 4,33 kv/m Sedaj le še pomnožimo nomalno komponento polja s povšino in n 3 dobimo petok Φ 4,33 kv/m 1m 5 1 V m E Petok nehomogenega polja skozi neavno povšino Kaj pa če polje ni homogeno in/ali če povšina skozi kateo ačunamo petok ni avna? Tedaj bomo dobili pavilni izaz za petok na že poznan način: najpej zapišemo petok za neko difeenčno majhno povšino, na katei bi homogenost veljala, toej za Φ e = E A, v limiti pa dobimo difeencial petoka dφ e = E da, celotni petok elektičnega polja pa kot * Φ = E da Petok polja za poljubno obliko polja in povšine e A V splošnem je petok elektičnega polja skozi poljubno povšino enak integalu elektičnega polja po tej povšini Pi te je potebno upoštevati skalani podukt vektoja polja in vektoja difeenciala povšine V smislu skalanega podukta je potebno upoštevati le komponento polja, ki je v smei nomale na povšino E n Lahko pišemo tudi Φ = E da e A n * Ponovno velja opozoiti, da je bisten element izačuna petoka vektoja skozi povšino upoaba skalanega podukta dveh vektojev V konketnem pimeu vektoja elektične poljske jakosti E in vektoja (difeenciala) povšine, pi čeme je sme vektoja povšine določena z nomalo (pavokotna sme) na povšino: A= en A /8 DK

34 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 SLIKA: Petok nehomogenega polja skozi neavno povšino Petočne cevke ali gostotnice Tudi petok elektičnega polja lahko ponazoimo na enak način kot ponazajamo silnice polja le da sedaj govoimo o gostotnih ali petočnih cevkah, silnice pa ponazajajo le stene gostotnih cevk Večji petok elektičnega polja dosežemo, če zajamemo več petočnih cevk SLIKA: Petok elektičnega polja znotaj gostotnic je konstanten (enako velik na poljubnem peseku) Petok polja po celotni (zaključeni) povšini Sedaj pa si poglejmo vednost tega petoka po celotni - zaključeni povšini Včasih ji ečemo tudi Gaussova povšina To pomeni, da nas zanima petok polja skozi povšino kogle ali skozi vseh šest stanic kocke ali pač poljubne povšine, ki v celoti zaobjame določen objekt Pi tem niti ni potebno, da ačunamo petok skozi neko povšino telesa, lahko je to popolnoma namišljeno (abstaktno) telo Matematično integacijo po zaključeni povšini naznačimo s kogcem v sedini simbola integala: Petok polja skozi zaključeno povšino = A E da Petok polja točkastega naboja skozi zamišljeno povšino kogle Vzemimo ka najpepostejši pime, kje je naboj Q postavljen v sedišče sfeičnega koodinatnega sistema in ačunamo petok skozi neko zamišljeno povšino kogle polmea : = = = Q ε π π Q Q π π E da e sin( )d d ( cos( )) e ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ 4πε 4πε A Ugotovimo, da je ta integal soazmeen naboju, ki se nahaja v sedišču namišljene kogle 3/8 DK

35 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 Ali je to naključje ali to moda velja za poljubno postavitev naboja znotaj namišljene kogle? Z azmislekom, da lahko naboj zamaknemo iz sedišča koodinatnega sistema, pa se število petočnic, ki»sekajo«povšino kogle, ne spemeni, lahko ugotovimo, da bo ezultat enak tudi za poljubno postavitev naboja Q znotaj (namišljene) kogle polmea SLIKA: Število petočnih cevk, ki sekajo povšino namišljene kogle je enako za poljubno postavitev naboja znotaj kogle Enako velja za poljubno obliko povšine zaključenega objekta Petok polja skozi zaključeno povšino poljubne oblike v katei se nahaja množica nabojev Nadalje lahko azmislimo, kakšen je petok elektičnega polja, če se v postou z zaključeno povšino nahaja več nabojev Razmislek je podoben kot v pejšnjem pimeu Pomagamo si z E = E1 + E + E3 + in zapišemo: veljavnostjo supepozicije polja ( ) Q Q1 Q i E d A= E + E + E + da= E da+ E da+ = + + = ε ε ε ( 3 ) 1 1 A A A A i znotaj A SLIKA: Petočne cevke več nabojev, ki jih zajamemo z namišljeno povšino kogle (ali poljubno zaključeno povšino) Vpliv nabojev zunaj zaključene povšine na petok polja skozi notanjost povšine Kaj pa naboji, ki se nahajajo zunaj kogle? Ugotovimo lahko, da sice povzočajo polje na povšini kogle, venda je petok polja v koglo enako veliko petoku polja iz kogle 4/8 DK

36 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 SLIKA: Petok polja skozi zaključeno povšino v katei ni nabojev je enak nič Če se v zunanji okolici povšine nahajajo naboji, je petok polja, ki vstopa v posto enak petoku polja, ki izstopa iz tega postoa Povzemimo ugotovitve: Petok elektične poljske jakost skozi sklenjeno (zaključeno) povšino je enak zaobjetemu naboju (algebajski vsoti nabojev) deljeno z ε Ta zapis imenujemo Gaussov zakon A E da= Q znotaj A ε Gaussov zakon Pomen Gaussovega zakona: 1) Ugotavlja izvonost elektičnega polja Elektično polje izvia iz pozitivnih nabojev in se zaključuje (ponia) na negativnih ) Omogoča izačun naboja v določenem postou ob poznavanju elektičnega polja na mejah tega postoa 3) Omogoča izačun elektičnega polja v pimeu simetične poazdelitve naboja V tem pimeu nameč polje ni funkcija spemenljivk integacije 4) Gaussov zakon smo spoznali v ti integalni obliki Zapisan je nameč z integalom in velja po določeni povšini Poznamo tudi zapis Gaussovega stavka v difeencialni obliki, ki definia povezavo med elektičnim poljem in nabojem (gostoto naboja) v točki v postou Ta zakon je en od osnovnih zakonov, ki opisujejo naavo elektičnega polja Gaussov zakon je znan tudi kot ena od štiih Maxwellovih enačb, ki v celoti opisujejo elektomagnetne pojave Pimei izačunov z upoabo Gaussovega zakona Pime naelektena kogla: Kogla polmea R ima enakomeno volumsko poazdelitev naboja Določimo elektično poljsko jakost znotaj in zunaj kogle Izačun: 1 Znotaj kogle si zamislimo zaključeno povšino kogle s polmeom <R in zapišemo petok polja skozi to ploskev Upoabimo izaz QA E da=, kje je Q A naboj zajet s povšino kogle polmea Ke je gostota naboja ε A ( ) 3 4π enakomeno poazdeljena, je celoten naboj zajet s koglo povšine A() ka QA = ρv = ρ 3 Polje je zaadi simetične poazdelitve naboja usmejeno adialno, ka lahko zapišemo v obliki E = ee () in je le funkcija adija Tudi difeencial povšine je usmejen v smei adija (pavokotno na povšino) in je enako da = eda Skalani podukt E d A je enak E da 5/8 DK

37 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 Poleg tega elektično polje ni odvisno od integacijskih spemenljivk, saj je povsod kje integiamo (po povšini kogle) polje enako veliko - konstantno Zato ga lahko pišemo ped integal: E da= E da, integal da po zaključeni povšini pa je ka enak tej povšini (ploščini): A ( ) A ( ) A ( ) E da= EA= E4π Sedaj le še sestavimo levo in desno stan enačbe in peuedimo 3 E 4π = ρ 4π / ε 3 ρ E = 3ε Na koncu le še dodamo»nastavek«e = ee () in polje je E = e ρ Ta zveza velja za 3ε poljubne adije znotaj kogle, toej za R Ugotovimo, da znotaj kogle s konstantno volumsko poazdelitvijo gostote naboja polje naašča lineano z adijem Polje zunaj kogle dobimo na podoben način: zamislimo si neko povšino kogle pi nekem adiju > R in zapišemo Gaussov zakon za to namišljeno povšino Ugotovimo, da bo leva stan enačbe enaka kot v pejšnjem pimeu, desna pa se spemeni, saj je potebno upoštevati, da smo zajeli celotni naboj že pi = R, za > R pa ni naboja Toej bo desna stan enačbe 3 R ka ρ 4π / ε, ozioma ka celoten naboj Q Dobimo 3 3 R E 4π = ρ 4π / ε 3 3 ρ R E = 3ε Ugotovimo, da polje v zunanjosti kogle upada s kvadatom adalje In še več, enačbo lahko Q zapišemo tudi v obliki E = e, ka ni nič dugega kot polje v okolici točkastega 4πε naboja Toej, kogla z enakomeno volumsko gostoto naboja ima v okolici enako polje, kot če bi bil celoten naboj skoncetian v centu kogle SLIKA: Polje v notanjosti in zunanjosti kogle z enakomeno volumsko gostoto naboja Pime naelektena valja: Določimo polje med enakomeno in naspotnosmeno naelektenima neskončnima plaščema vajlev z linijsko gostoto naboja q( = n ) = +q in q( = z ) = -q 6/8 DK

38 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 SLIKA: Dva plašča valja, naspotno naelektena Izačun: Zamislimo si nek plašč valja polmea in dolžine l med notanjim in zunanjim polmeom in zapišemo Gaussov zakon za ta namišljeni objekt Podobno kot za koglo lahko ugotovimo, da je polje neodvisno od spemenljivk integacije in je enako E da= EA= Eπl+ + Z dvema ničlama smo zapisali petok skozi stanske povšine A ( ) (ke je tam nomalna komponenta polja enaka nič) Desna stan enačbe Gaussovega zakona je ql enaka naboju, ki ga zaobjamemo z namišljenim valjem Ta je enaka Q / ε = Z zdužitvijo ε ql q leve in desne stani enačbe dobimo Eπl =, od kode sledi E = Dobili smo ε πε enačbo, ki jo že poznamo enaka je polju peme elektine Polje med naelektenima valjema je enako q E = πε Pime: Naelektena avnina S pomočjo Gaussovega zakona določimo polje v okolici naelektene povšine Izačun: Zapišemo Gaussov stavek skozi namišljeno kocko, katee polovica je na eni stani avnine in polovica na dugi stani Skozi stanske povšine je petok enak nič, skozi nomalni pa je enak E da = EA + EA = EA, desna stan je soazmeen zaobjetemu naboju A σ A Q / ε = Z zdužitvijo dobimo ε σ E = ε SLIKA: Naelektena avnina 7/8 DK

39 GAUSSOV ZAKON(11)doc Nov-7 Vpašanja: 1 Kaj so to silnice polja? Kaj je to petok elektičnega polja? 3 Kako določimo petok homogenega elektičnega polja skozi avno povšino? 4 Kako določimo petok nehomogenega elektičnega polja skozi poljubno povšino? 5 Čemu je enak petok elektičnega polja skozi zaključeno povšino? 6 Pokažite upoabo Gaussovega zakona na pimeu izačuna polja naelektene kogle, naelektenega valja in naelektene avnine 7 Kakšen je pomen Gaussovega zakona? Pimea kolokvijev: 1 kolokvij, 81, 1 decembe 1 8/8 DK

40 Delo_enegija(1)doc Dec-7 1 Delo in potencialna enegija Vsebina: Delo kot integal sile na poti, delo elektične sile, delo po zaključeni poti, potencialna enegija, potencialna enegija sistema nabojev, delo kot azlika potencialnih enegij V sednješolski fiziki je veljalo, da je delo enako poduktu sile in dolžine poti, toej, če vzdolž poti dolžine l deluje sila F, le ta opavi delo A = F l Če toej potiskamo voziček v smei poti dolžine 5 m s silo 1 N opavimo delo 5 N m ali 5 J Kaj pa, če voziček potiskamo s silo 1 N v smei, ki je pod kotom 6 na sme poti? V tem pimeu moamo upoštevati le tisto komponento sile, ki deluje v smei poti Delo je toej A= F l cos( α) =1 N 5m cos(6 ) = 5 J Ugotovimo, da je za izačun dela pimena upoaba skalanega podukta A = F l SLIKA: Pemikanje vozička s kostantno silo a) v smei poti in b) pod kotom 3 na sme poti Kaj pa dugi del sile, ki tudi nastopa pi pemiku? Ta sila je usmejena pavokotno na sme poti in ima za posledico tenje po ploskvi - ne pispeva pa k delu V smislu definicije dela, toej kot poduktu poti in sile v smei te poti V tem smislu je potebno azlikovati pojem besede delo, kot ga smatamo v vsakdanu Če pimemo in pi miu džimo težko košao v smislu definicije dela ne opavimo nič dela, čepav moamo v to naše početje vložiti določen napo (delo) Bolj ustezno bi naš napo ovednotili s pojmom enegije Ta enegija izhaja iz enegije, ki se toši v naših mišicah nekaj pa je ge pav gotovo tudi v toploto - potenje In koliko enegije potebujemo za pemik na poti 5 m? En del te enegije je očitno delo 5 J, ki se odaža v spemembi kinetične enegije vozička, dug del enegije pa potebujemo za pemagovanje sile tenja Za točen izačun bi toej moali poznati še enegijo, ki se poabi pi tenju vozička s podlago Delo po poljubni poti in velikosti sile Kaj pa če sila ni konstantna na poti in poleg tega ne deluje vedno v isti smei glede na pot? Potem lahko zapišemo delo le za en mali (difeenčni) odsek, da dobimo tisti del sile, ki deluje v smei poti pa upoabimo skalani podukt Difeenčni del sile na poti lje toej A = F l Z limitianjem dobimo iz difeenc difeencial: da = F dl, celotno delo pa je seveda integacija po poti od začetne točke do končne točke: A = da= F dl L 1/7 DK

41 Delo_enegija(1)doc Dec-7 SLIKA: Delo sil po poljubni poti Delo elektične sile Kako pa izačunamo delo elektičnih sil (A e ) na naboje? Na popolnoma enak način Upoštevamo, da je sila na naboj v elektičnem polju enaka F = QE, toej bo delo za pemik naboja v elektičnem polju iz točke T 1 v točko T enako T T A = A1 = QE dl = Q E dl e T1 T1 Pime: Vzemimo dva pozitivna naboja oddaljena za d = 1 cm z množino naboja Q = 1 nc Koliko dela opavi naboj (zunanji vi) za pemik na polovično azdaljo? Izačun: naboja postavimo vzdolž X osi, levega v izhodišče ks, desnega pa za azdaljo d v smei X osi Izačunali bomo delo, potebno za pemik desnega naboja v levo Da bi lahko izačunali delo, moamo desni naboj postaviti na neko poljubo mesto vzdolž X osi, oddaljeno Q za azdaljo x od levega naboja Polje na mestu desnega naboja je E = ex, dl pa je 4πε x usmejen v smei X osi * SLIKA: Pemik desnega naboja v smei levega naboja T x= d/ d / Q Q 1 A = QE d l = Q e ( e d x) = = 1 x x 4πε 1 1 x 4πε x T x = d d Q 1 1 Q 9 Vs ( ) = = C 1m = 91 J 4π ε d/ d 4πε d Am Dobljen ezultat je negativen, ka pomeni, da bi bila za pemik potebna neka zunanja sila (A z ), ki bi opavila to delo Veljati toej moa: A + A = z e * Kljub temu, da je dl usmejen v smei X osi ni njegova vednost e x dx, pač pa d l = e ( x ( x+ d x)) = e x x /7 DK

42 Delo_enegija(1)doc Dec-7 Pime: Določimo delo za pemik desnega naboja v desno za d/ Rezultat je T 3 d / 3 d / QQ Q 1 A1 = QE d l = ex ( e d ) x x = = 4πε 1 x 4πε T d x d Q 1 1 Q 9 Vs = = 1 = 9 1 (1 1 C) 1 m = 3 1 J 4πε 3 d/ d 4πεd 3 Am 3 Rezultat je pozitiven, saj polje opavi delo 3 µj: delec se pemakne v dugo točko pod vplivom elektične sile Zakaj je ezultat mnogo manjši kot v pejšnjem pimeu? SLIKA: Pemik desnega naboja stan od levega Delo po poljubni poti Kolikšno pa bi bilo delo, če bi ga opavili po dugi poti? Izačunajmo delo za enak pemik kot v pejšnjem pimeu le po dugi poti Izbeimo to pot tako, da bo šla najpej v smei kota za 45, nato v smei adija do =,5 cm in nato nazaj za kot 45 do končne točke Ugotovimo lahko, da je v smei kota ( dl = eϕ dϕ ) polje enako nič, saj je polje v vsaki točki usmejeno adialno Toej je podukt integacije E dl v smei kota enak nič in je ezultat enak kot pej Ke je ezultat integacije polja neodvisen od poti lahko vzamemo dve poljubni poti in zapišemo E dl = E dl L1 L Pi kolesajenju pogosto končamo na istem mestu kot smo začeli Če bi šlo za delo elektičnih sil, bi bilo na (po definiciji) na koncu delo enako nič Kako pa je z enegijo? SLIKA: Delo od točke T 1 do točke T po poti L 1 in poti L je enako 3/7 DK

43 Delo_enegija(1)doc Dec-7 Delo po zaključeni poti Ke velja E dl = E dl, integacija v naspotni smei pa spemeni pedznak integalu L1 L E dl = E dl = E dl, lahko pišemo L L L1 E dl = E dl = E dl + E dl = E dl E dl = L L1+ ( L) L1 L L1 L1 Pišli smo do pomembnega ezultata, da je kivuljni integal elektične poljske jakosti po poljubni zaključeni poti (zanki) enak nič * : E dl = L POTENCIALNA ENERGIJA SLIKA: S pemagovanjem sile težnosti pidobivamo (gavitacijsko) potencialno enegijo Na sliki je pime pofila pete etape kolesaske poti po okolici Gosupelj, ki je pimena za tiste, ki žele neposedno spoznavati povezavo med delom in enegijo te zakonitosti integalov po zaključeni poti Vi: Potencialna enegija ali delo pi penosu naboja v neskončnost (kje je polje enako nič) Določimo še delo, če bi enega od nabojev iz pejšnjega pimea pustili v neskončnost Opavljeno delo bi bilo: Q Q 1 A = QE d l = Q e ( e d ) = = 1 4πε 1 1 4πε T Q 1 1 Q = = 4πε 1 4πε1 1 * Pi tem je potebno biti peviden, saj smo doslej obavnavali le elektostatično polje, toej tako, ki se s časom ne speminja Zgonji zapis je toej točen le za elektostatične polje Ko bomo obavnavali dinamično polje bomo ugotovili, da je potebno zgonji zapis spemeniti dopolniti 4/7 DK

44 Delo_enegija(1)doc Dec-7 SLIKA: Delo pi penosu naboja od točke T do neskončnosti Lahko ečemo, da je imel sistem (naboj) ped penosom v neskončnost določeno enegijo, ki se je nato poabila za penos Ta (potencialna) enegija je avno enaka delu, potebnem za pemik naboja v neskončnost Če upoabimo simbol W za zapis elektične potencialne enegije, velja WT ( ) = Ae ( T T ) Delo, potebno za penos naboja Q od neke točke T do neskončnosti je enako elektični potencialni enegiji tega naboja v točki T Pime: Določite elektostatično potencialno enegijo sistema dveh nabojev velikosti 1 nc oddaljenih za 1 cm Izačun: Izačun smo že opavili, saj je ta enegija enaka delu polja za pemik enega od nabojev od začetne lege do neskončnosti: Q 1 1 Q We = A1 = QE dl == = = 9µJ 4πε 1 4πε T 1 1 Komenta: na tem mestu lahko vpeljemo tudi koncept elektičnega potenciala Potencialna enegija sistema nabojev Kolikšna pa je enegija sistema, če imamo več nabojev? Postopamo tako, kot da bi imeli najpej na mestu naboj * Q 1, nato na svoje mesto oddaljeno od Q 1 za 1 pipeljemo iz neskončnosti naboj Q Za to je potebno delo QQ 1 A = 1 QE dl =, da pipeljemo poleg še naboj Q 3 potebujemo delo 4πε T1 1 QQ 1 3 QQ 3 4πε13 + 4πε3 Enegija sistema teh nabojev bo toej QQ 1 QQ QQ πε1 + 4πε13 + 4πε3 V nadaljevanju bomo ta ezultat pikazali še nekoliko dugače SLIKA: Sistem teh nabojev z označenimi naboji in azdaljami med naboji * Za postavitev naboja Q 1 na določeno mesto ne potebujemo nobenega dela, saj imamo pedhodno sistem bez nabojev in toej bez polja V nadaljevanju pa seveda vsi nadaljnji naboji pispevajo k polju delu 5/7 DK

45 Delo_enegija(1)doc Dec-7 Delo kot azlika potencialnih enegij sistema Imamo sistem nabojev poazdeljenih po postou in toej določeno elektično potencialno enegijo Sedaj pemaknemo enega od nabojev iz izhodiščnega mesta T 1 na dugo mesto (T ) in pi tem opavimo določeno (pozitivno ali negativno) delo Če je to delo pozitivno, je delo opavilo elektostatično polje, enegija sistema pa je po pemiku manjša kot ped pemikom V naspotnem pimeu (delo negativno) moa delo opaviti neka zunanja sila, ka pomeni, da je končna enegija sistema večja kot ped pemikom Delo potebno za pemik naboja od T 1 do T je enako azliki potencialnih enegij sistema nabojev ped in po pemiku: A( T T ) = W( T) W( T ) 1 1 SLIKA: Delo je enako azliki potencialnih enegij sistema ped pemikom in po pemiku Vpašanja za obnovo: 1 Zapišite enačbo za izačun dela po poljubni poti in azložite pomen skalanega podukta Kako izačunamo delo elektičnih sil? 3 Kaj pomeni pozitivno delo in kaj negativno delo elektičnih sil? 4 Koliko je integal polja po zaključni poti? 5 Kakšna je povezava med delom elektičnih sil in elektično potencialno enegijo? 6 Kako izačunamo potencialno enegijo sistema nabojev? 6/7 DK

46 Delo_enegija(1)doc Dec-7 Pime iz kolokvija 614 7/7 DK

47 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 13 Potencial in napetost Vsebina poglavja: Elektični potencial - definicija, potencial v okolici točkastega naboja, potencial sistema točkastih nabojev, potencial v okolici zvezno poazdeljenih nabojev, ekvipotencialne avnine, elektična napetost, Kichoffov zakon Elektični potencial Ugotovili smo že, da je elektična potencialna enegija naboja Q na mestu T enaka delu pi penosu tega naboja od točke T v neskončnost ozioma do mesta, kje je enegija enaka nič: T( V= ) WT ( ) = Q E dl= Q E dl T T Nomiano potencialno enegijo imenujemo elektični potencial T( V= ) WT ( ) VT ( ) = = E dl Q T Enota za potencial je J/C = V Številčno je toej elektični potencial enak delu polja elektičnih sil za pemik enote naboja (1 C) od točke T do neskončnosti Ali obatno: Če poznamo potencial v določeni točki, bo enegija potebna za penos naboja v polju elektičnih sil iz neskončnosti do te točke enaka poduktu naboja in potenciala: WT ( ) = QVT ( ) ali tudi, če se na mestu T nahaja naboj Q (ali pa ga na to mesto postavimo) in ga sila polja pemakne do mesta, kje je polje enako nič, pidobi enegijo WT ( ) = QVT ( ) SLIKA: Potencial kot delo za penos naboja iz točke T v neskončnost Potencial v okolici točkastega naboja Q Z upoštevanjem definicije za potencial kot nomiane potencialne enegije, zapišemo (na določeno oddaljenost od naboja Q postavimo testni naboj Q t in določimo delo, pi penosu tega naboja od do neskončnosti): W() 1 Q Q V() = = Q e e d = Q Q t t t 4πε 4πε 1/15 DK

48 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 SLIKA: Potenciala v okolici točkastega naboja Ponovimo ta pomemben ezultat: potencial točkastega naboja se z oddaljenostjo manjša z 1/ in je enak Q V() = 4πε Pofil polja in potenciala točkastega naboja 1 x 18 1 x Polje / V/m -5 Potencial / V Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: Poazdelitev polja in potenciala v okolici točkastega naboja Polje upada 1/, potencial pa z 1/ % IZRIS POLJA IN POTENCIALA TOČKASTEGA NABOJA Z MATLABOM Q=1e-8; e=8854e-1; =-e-:1e-3:e-; V=Q/(4*pi*e*abs()); E=sign()*Q/(4*pi*e*^); % funkcija sign() poskbi za pavilen pedznak polja plot(,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potencial / V'); figue; zeo=zeos(length(),1); % vekto ničel potebujemo za izis linije ničle polja plot(,e,,zeo); xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); Pime: Določimo potencial v okolici točkastega naboja Q = 1 nc pi = 1 cm 9 Q 9 V m 1 1 C Izačun: Velja V( = 1cm) = = 9 1 = 9kV 4πε As 1 m (To tudi pomeni, da bi bila enegija potebna za pemik naboja 1 C iz neskončnosti do azdalje 1 cm od naboja 1 nc enaka 9 kv 1 As = 9 kj, enegija za penos naboja nc pa W = nc 9kV= 18µJ) Potencial sistema točkastih nabojev Q Ugotovili smo, da je potencial v okolici enega točkastega naboja enak V =, kje je 4πε azdalja od točke, kje iščemo potencial, do točke, kje se nahaja naboj Q Ke velja /15 DK

49 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 supepozicija polja lahko tudi potencial določimo kot supepozicijo posameznih delnih pispevkov nomiane enegije Za sistem točkastih nabojev bo toej potencial v točki T enak VT N = Q Q 1 Qi 4πε + 4πε + = 4πε =, 1 ( ) 1 i 1 i kje so 1, itd azdalje od naboja Q 1, Q, itd do točke T, kje ačunamo potencial SLIKA: Izačun potenciala sistema točkastih nabojev Pime: Določimo potencial v sedini med dvema točkastima nabojema Q = 1 nc oddaljenima za cm Q1 Q Q 9 V m 9-1 Izačun: V = + = = C 1 m = 18 kv 4πε 4πε 4πε 1cm A s 1 Potencial v okolici sistema zvezno poazdeljenih nabojev Za poazdelitev točkastih nabojev smo ugotovili, da lahko potencial določimo kot vsoto N 1 Qi V = 4π ε i= 1 i Če je poazdelitev naboja zvezna moamo vzeti en mali del celotnega naboja in z limitianjem vsote delnih pispevkov dobimo 1 d 4π lim N Qi Q V = ε = 4πε ozioma Q i= 1 i po vseh Q-jih dq dv = 4πε je azdalja od mesta, kje se nahaja dq do točke kje iščemo potencial Odvisno od načina poazdelitve naboja (po povšini, volumnu, liniji) določimo potencial kot V V V = = = V A L ρdv 4πε σ da 4πε ql d 4πε 3/15 DK

50 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 SLIKA: Izačun potenciala poazdeljenega naboja s seštevanjem (integacijo) delnih pispevkov dv Na sliki je naisan difeencial naboja, točka T kje ačunamo integal in azdalja od dq do točke T Pime: Izačunajmo potencial vzdolž Z osi za enakomeno naelekten tanek oboč polmea a z nabojem Q, ki leži v avnini z = ql d Ke je naboj poazdeljen enakomeno po oboču lahko upoabimo enačbo V =, ki jo 4πε L zapišemo v obliki V Q π a π qadϕ π Q = a = = 4πε a + z 4πε a + z 4πε a + z Ugotovimo lahko, da je način ačunanja potenciala podobno ačunanju elektične poljske jakosti, le da je običajno nekoliko bolj peposto Pedvsem zato, ke je potencial skalana veličina, polje pa vektoska Pogosto zato elektično polje določimo posedno, tako, da najpej izačunamo potencial, nato pa iz potenciala še elektično poljsko jakost Kako, bomo spoznali v nadaljevanju Potencialno polje je skalano polje Potencial lahko določimo v vsaki točki postoa neodvisno od poazdelitve nabojev, enako, kot je veljalo za elektično poljsko jakost Je pa za azliko od elektičnega polja, ki je vektosko polje, potencial skalana veličina in tvoi skalano polje Ekvipotencialne avnine Če povežemo točke z enako velikostjo potenciala dobimo avnino, ki jo imenujemo ekvipotencialna avnina ali ekvipotencialna ploskev V pimeu osamljenega točkastega naboja so ekvipotencialne ploskve kožnice, oz v 3D povšine kogle Običajno jih išemo tako, da je azlika potencialov med vsako naslednjo avnino konstantna Pime: Določimo ekvipotencialne avnine v okolici točkastega naboja Q = 1 nc Q Ugotovili smo že, da velja za potencial v okolici točkastega naboja enačba V() = 4πε Ugotovili smo tudi, da je ta potencial na azdalji 1 cm enak V( = 1cm) = 9kV Potencial 9 kv je toej enak v vseh točkah, ki so od točkastega naboja oddaljeni za 1 cm, ka pikažemo z lupino kogle (v D z kožnico) polmea 1 cm Kje pa se nahajajo ekcipotencialne avnine s potenciali 8 kv, 7 kv itd? Peposto: enačba, ki jo je potebno ešiti za ekvipotencialno avnino s potencialom 8 kv bo 9 9 Q kV = 8kV = Q/ ( 8kV 4πε ) = m =, 115 m = 1,15 cm 3 4πε 8kV Naslednja ekvipotencialka bo pi 7kV = 1,15 cm = 1, 85 cm itd V splošnem nas zanimajo 7 ekvipotencialne avnine, kateih potenciali se azlikujejo za konstantno azliko napetosti, v našem pimeu za 1 kv) Za ekvipotencialne avnine v okolici točkastega naboja lahko ugotovimo, da se vstijo v geometijskem zapoedju 4/15 DK

51 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 SLIKA: Pikaz ekvipotencialnih avnin za točkasti naboj SLIKA: Gafično na več načinov lahko pikazujemo ekvipotencialne ploskve Na podoben način so določene izohipse, kot točke z enako višinsko azliko Na sliki levo je azviden pofil azličnih vzpetin in ustezne izohipse Vi: 4osceedussi/gadiva/geo/zemljevid/vsehtm Podobno lahko pi azlagi vemena upoabljamo izobae (čte z enakim pitiskom), lahko tudi duge veličine, pomembne za azlago vemena: tempeatua, hitost dviganja veta Vi: Elektična napetost Ugotovili smo že, da lahko delo potebno za pemik naboja med dvema točkama določimo iz azlike potencialne enegije sistema nabojev ped in po pemiku Če to delo opavi testni naboj 1 C govoimo o elektični napetosti med dvema točkama Elektična napetost je toej številsko enaka delu polja elektičnih sil potebnem za penos enote naboja iz točke T 1 do točke T : T Qt E dl T AQ ( T1 T) WT ( 1) WT ( ) t T 1 U1 = = = = E dl Q Q Q t t t T1 Ugotovimo lahko, da lahko elektično napetost določimo tudi kot azliko potencialov: 1 1 T U = V( T) V( T ) = E dl E dl = E dl T1 T T1 5/15 DK

52 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 Kichoffov zakon Ugotovili smo, da elektično napetost med dvema točkama določimo z integacijo elektične poljske jakosti po poljubni poti od ene do duge točke Obenem smo ugotovili, da je ta integal enak nič, če je pot zaključena sama vase Toej bi lahko pisali: T 1 T T3 T 1 E dl = E dl = E dl+ E dl+ + E dl = U + U + + U = L T1 T1 T TN 1 1 N Ali tudi, vsota vseh napetosti po zaključeni poti (zanki) je enaka nič, ka je Kichoffov zakon: N i= 1 U i = 6/15 DK

53 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR: Dve avni vzpoedni naelekteni plošči: ploščni kondenzato Ravni vzpoedni plošči povšine A = 5 8 cm sta oddaljeni za d = 1 cm in imata naboj ± Q =± nc Določimo polje, potencial in napetost med ploščama, pi čeme pedpostavimo homogenost polja med ploščama (polje neskončnih naelektenih avnin) SLIKA: a) Dve avni naspotno naelekteni plošči postavljeni v koodinatni sistem z nomalo v smei osi X b) Napetost in polje med dvema avnima (naspotno) naelektenima ploščama Plošči postavimo v koodinatni sistem, ecimo tako, da je nomala na povšino v smei X osi in da ima leva elektoda pozitivni naboj Ob pedpostavki Q enakomene poazdelitve naboja, je σ = Dobimo A nc σ = = 5µm/m 4 cm Elektično polje med ploščama je supepozicija polj dveh plošč in je enako * E e σ σ = x = ex Napetost ε ε med ploščama dobimo z integacijo polja med ploščama: T d U = E dl = e σ σ x exdx d ε = ε T1 Mikoelektonska industija upoablja tehnologijo mikomehanske obdelave (MEMS) za ealizacijo mikonskih stuktu Na sliki integacija meilnika pospeškov, z elektoniko Meilnik pospeškov je v osnovi sestavljen iz niza ploščnih kondenzatojev Ene stanice so fiksno vpete, duge pa se lahko pemikajo Z mejenjem spemembe kapacitivnosti lahko določimo hitost spemembe pospešek ajian/ Izačun: 6 51 As/m U =,1m = 56,5 kv 1 As 8,854 1 V m * Tu smo pedpostavili polje v okolici dveh naelektenih avnin V esnici sta dve vzpoedni plošči omejenih dimenzij zato velja apoksimalcija le delno, toej pedvsem tedaj, ko je povšina plošč velika v pimejavi z azdaljo med ploščama 7/15 DK

54 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 Iz pimea ugotovimo, da je elektična poljska jakost med ploščama konstantna in enaka E = σ Takemu polju ečemo tudi homogeno polje ε σ Če v enačbi za napetost med ploščama zamenjamo = E, dobimo U Ed ε = ozioma U E = To sta enačbi, ki ju poznamo že iz sednješolske fizike Ugotovimo lahko, da d sta enačbi ustezni za izačun polja ali napetosti, venda le v tem konketnem pimeu, toej, za polje oz napetost med dvema avnima ploščama To seveda ne zmanjšuje pomembnosti izaza, pač pa velja le kot opozoilo, da se ga ne bi upoabljalo nekitično Če polje med dvema točkama ni homogeno, je potebno napetost med točkama izačunati s pomočjo integala elektične poljske jakosti po poti To bomo pikazali z naslednjim pimeom (koaksialni kabel) Določimo še potencial med ploščama ploščnega kondenzatoja: če ozemljimo desno elektodo (elektodo, ki ima negativni naboj), bo potencial med elektodama ( V( x= d) =, V( x= ) = U ): d V( x) = e σ σ x e dx ( d x) ε = x x ε Če ozemljimo levo elektodo, bo potencial med elektodama: V( x) = e σ σ x exdx x ε = ε V( x= ) =, V( x= d) = U x SLIKA: Levo: Ekvipotencialne avnine med in v okolici dveh naspotno naelektenih avnih plošč Ugotovimo, da so med ploščama ekvipotencialne avnine enakomeno azmalnjene, v okolici pa ne Desno: Vektoji elektične poljske jakosti skupaj z ekvipotencialnimi avninami in velikostjo elektične poljske jakosti (večje polje bolj deča bava) Za lažje opazovanje so vektoji polja enako veliki neodvisno od velikosti polja 8/15 DK

55 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 Koaksialni kabel: valjni kondenzato Med žilo in oklopom začnega koaksialnega kabla je napetost kv Določimo linijsko gostoto naboja na žili in oklopu te maksimalno elektično poljsko jakost, če je polme žile n = mm, o = 5 mm, z = 7 mm Oklop in žila sta iz pevodnega mateiala SLIKA: Koaksialni kabel s piključitvijo napetosti med oklopom in žilo Izačun: Najpej moamo pedpostaviti enakomeno poazdelitev naboja na žili in oklopu Pedpostavimo pozitivni naboj na žili (Q) in negativni na oklopu (-Q) Elektično poljsko jakost med žilo in oklopom določimo s pomočjo Gaussovega zakona Na neki azdalji od osi kabla izačunamo petok el polja skozi plašč valja (na velikost polja na adiju vpliva le zaobjeti naboj):in dobimo enačbo, ki je identična enačbi za polje v okolici peme elektine (naelektene pemice) * : ql q E πl = in E ε = πε ozioma q E = e πε Ali je povšinska gostota naboja enako velika na oklopu in na povšini žile? Odgovo je NE Enako velik je celotni naboj, za gostoto naboja pa velja: Q ( n) = σnπl n = Qo = σoπl o, toej bo n σo = σn o n mm V konketnem pimeu bo toej σ o = σn = σn = σn o 5mm 5 Pogosto nas zanima tudi gostota povšinsko poazdeljenega naboja Iz izpeljanih enačb q σ nπn σ n E ( n) = = = ozioma σ n = ε E ( n) πε πε ε n n Koaksialen kabel za visokofekvenčni penos signalov html Da bi lahko določili q ali σ moamo zapisati še izaz za napetost med žilo in oklopom Napetost med oklopom in žilo določimo z integacijo polja med kontaktoma: * Podobno bi izvajali, če bi izhajali iz enakomene povšinske gostote naboja na povšini žile σ ( = n ) = σ n : σ na( n) n l n nn E πl = in in E ε = σ π σ πεl = ε ozioma σ nn E = e Enačba je seveda ε enakovedna pejšnji, saj velja Q= ql = σ πl, ozioma q= σ π n n n n 9/15 DK

56 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 n z z U = E dl = E dl + E dl + E dl = + E dl + n n Zakaj sta pvi in tetji integal enaka nič? Zato, ke integiamo polje, ki pa je znotaj žile in znotaj (pevodnega oklopa) enako nič! To lahko hito ugotovimo z azmislekom, da se pozitivni in negativni naboji pivlačijo in se zato pozitivni nabeejo na povšini žile, negativni pa na notanji stani oklopa Z upoabo Gaussovega zakona na plašču valja z adijem, ki je večji od polmea bi hito ugotovili, da je polje znotaj oklopa enako nič, saj je zaobjeti naboj vsota enako velikega pozitivnega in negativnega naboja q q U = E e d = e e d = ln n πε πε n n Napetost bi lahko določili tudi iz azlike potencialov Če pipišemo potencialu oklopa potencial nič, toej V( o ) =, bo q U = V( ) V( ) = V( ) = E e d = ln πε n n n n q Potencial v poljubni točki bo toej V() = E ed = ln Znotaj žile ni polja (ka lahko πε pokažemo z Gaussovim stavkom), potencial je toej v notanjosti žile enak kot na povšini Podobno lahko pokažemu tudi za oklop In še izačun linijske gostote naboja (iz enačbe za napetost): 1 As π8,854 1 πε 3 q = U = 1 V V m =,11µC/m 5 mm ln ln mm n Elektično polje je maksimalno pi najmanjšem adiju, toej pi n : q U E = max e e πε = 3 1V Emax = = 1, 9 MV/m n n ln mln n Ponovimo pomembne ezultate iz tega pimea: napetost med žilo in plaščem koaksialnega kabla je q U = ln, πε n q σ nn elektično polje pa E = e ali E = e πε ε U ozioma izaženo z napetostjo E = e ln Povšinska gostota naboja pi n je σ = ε E ( ) n n n 1/15 DK

57 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 Izis poteka potenciala in polja znotaj koaksialnega kabla 1 x 15 1 El poljska jakost [V/m] Potencial [V] Radij [m] x Radij [m] x1-3 Slika: Elektična poljska jakost in potencial znotaj koaksialnega kabla % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8854e-1; U=; n=e-3; o=5e-3; q=u**pi*e/(log(o/n)); R=:1e-5:o; E=zeos(length(R),1);V=E; E=q/(*pi*e)/R; V=q/(*pi*e)*log(o/R); fo i=1:1:length(r) if R(i)<n V(i)=U; E(i)=; end end plot(r,v); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' Potencial [V]'); figue; plot(r,e); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' El poljska jakost [V/m]'); beak 11/15 DK

58 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 Kogelni (sfeični) kondenzato Obavnavamo dve lupini kogle z enakomeno in naspotno naelekteno gostoto naboja Pime kogelnega kondenzatoja je zemlja z začno atmosfeo, ki ločuje povšino zemlje od ionosfee Dug pomemben pime je biološka celica, ki ima slabo pevodno tanko membano Pime je tudi kogla Van de Gaffovega geneatoja z dugo elektodo v neskončnosti Pime: Na povšini zemlje izmeimo elektično poljsko jakost 15 V/m, ki je usmejena v smei sedišča zemlje Določimo napetost med zemljo in ionosfeo, ki je od povšine zemlje oddaljena pibližno * 4 km Določimo še povšinsko gostoto Zemlja kot sfeični kondenzato Med zemljo in ionosfeo je visoka napetost, ka vpliva na elektične pojave naboja Polme zemlje je n = 637 km, ionosfee pa i = 641 km Pedpostavimo zemljo in ionosfeo kot sfeični kondenzato SLIKA: Podočje med povšino zemlje in ionosfeo pedstavimo kot velik kogelni kondenzato Ke je polje na povšini usmejeno v smei sedišča zemlje pomeni, da je zemlja naelektena negativno glede na ionosfeo Zemljo in ionosfeo pedstavimo kot sfeični kondenzato Znano je, da je na povšini zemlje pesežek negativnega naboja, v ionosfei pa pozitivnega Elektično polje kaže v smei centa zemlje in je (lahko z upoabo Gaussovega zakona) enako (Q je negativen) Q E = e Napetost med ionosfeo in zemljo je 4πε Biološko celico lahko obavnavamo v elektičnem smislu kot sfeični kondenzato Celična membana je izedno tanka, nekaj nm, in slabo pevodna, medtem, ko je notanjost mnogo bolj pevodna nfo/fundamentals/ * Pi izačunu smo pedpostavili, da je zemlja oblike kogle Ionosfea je del atmosfee zemlje, ki je ionizian zaadi učinkov adiacije sonca in kozmičnih visokoenegijskih delcev Enegija, ki jo sonce oddaja v določenem spektu je tako velika, da lahko azbije molekule in jih ioniziaveč o tem: 1/15 DK

59 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 n n n Q Q 1 Q 1 1 U = E e d = e e d = = i n 4πε 4πε 4πε i i i 1 Q U 1 1 E ( = n) = e = e 15V/m e = Sledi 4πε n n i n ( ) U = 15V/m n = 15V/m m 1 m 6 MV i n Če pedpostavimo potencial zemlje enak nič V( n ) =, dobimo za potencial n n n Q Q 1 Q 1 1 V () = E ed = e e d = = 4πε 4πε 4πε n Gostota naboja na povšini zemlje je Q Q E ( ) 4πε σ ( n) = = = = E( n) ε A 4π 4 n n n π n In še ezultat: σ = 15 V/m ε = 1,33 nc/m Q= E( ) 4πε, n n 4 Potencial [V] El poljska jakost [V/m] Razdalja [m] x 1-3 SLIKA: Pikaz poazdelitve potenciala in absolutne vednosti polja v sfeičnem kondenzatoju (azdalje in napetosti so za pimejavo vzete iz pimea cilindičnega kondenzatoja) 13/15 DK

60 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8854e-1; U=; n=e-3; z=5e-3; Q=U*4*pi*e/(1/z-1/n); R=:1e-5:z; E=zeos(length(R),1); V=E; E=abs(Q/(4*pi*e*R)); V=Q/(4*pi*e)*(1/R-1/n); fo i=1:1:length(r) if R(i)<n V(i)=; E(i)=; end end [ax ax1 ax]=plotyy(r,v,r,e,'plot'); axes(ax(1)); ylabel(' Potencial [V]'); xlabel('razdalja [m]') axes(ax()); ylabel(' El poljska jakost [V/m]'); set(ax1,'linestyle',':') set(ax1,'linewidth',3) set(ax,'linewidth',) Pomembni ezultati za sfeični kondenzato: V splošnem imamo sfeični kondenzato z notanjim polmeom n in zunanjim polmeom i = z : Q Q 1 1 Polje v sfeičnem kondenzatoju je enako E = e, napetost pa U = 4πε 4πε n z 1 1 ozioma U = E( n) n Povšinska gostota naboja pi = n je σ ( n ) = E( n) ε n z 14/15 DK

61 Potencial_napetost(13)doc Nov-7 POVZETEK: 1) Elektični potencial je enaka nomiani potencialni enegiji naboja Ali tudi: elektični potencial v točki T je številsko enak delu pi penosu tega naboja od točke T v neskončnost ozioma do mesta, kje je enegija enaka nič T( V= ) WT ( ) VT ( ) = = E dl Q T ) Potencial v okolici točkastega naboja se manjša z 1/: V() = Q 4πε 3) Potencial sistema točkastih nabojev je enak vsoti pispevkov posameznih potencialov: N 1 Qi VT ( ) = 4π i je azdalja od točke, kje ačunamo potencial do naboja Q i ε i= 1 i 4) Potencial poazdeljenih nabojev določimo z integacijo dq-ja do točke, kje ačunamo potencial V dq = je azdalja od 4πε po vseh Q-jih 5) Potencial je tako kot elektična poljska jakost definian povsod v postou, zato ga lahko pikažemo kot potencialno polje Za vizualizacijo pogosto upoabljamo pikaz ekvipotencialnih ploskev, ki so ploskve z enako vednostjo elektičnega potenciala Običajno jih išemo tako, da je azlika potencialov med vsako naslednjo avnino konstantna 6) Elektična napetost je številsko enaka delu polja elektičnih sil potebnem za penos enote T AQ ( T1 T) t naboja iz točke T 1 do točke T U1 = = E dl Q Napetost je azlika potencialov U1 = V( T1 ) V( T ) t 7) Delo po zaključeni poti je enako nič, ka zapišemo tudi kot E d l = Iz tega sledi L Kichoffov zakon, da je vsota vseh padcev napetosti po zaključeni poti (zanki) enaka nič: N Ui = i= 1 T1 15/15 DK

62 Pevodnik_v_polju(14)doc Nov-7 14 Pevodnik v polju Vsebina poglavja: pevodnik v zunanjem elektičnem polju, povšina pevodnika je ekvipotencialna ploskev, elektostatična indukcija (influenca), polje znotaj votline pevodnika, Faadayeva kletka, pevodnik z nabojem v luknji pevodnika, elektično polje na povšini pevodnika, sila na povšinski naboj Že v pejšnjem poglavju smo ugotovili, da polja znotaj žile koaksialnega kabla ni, niti ga ni znotaj pevodnega oklopa koaksialnega kabla Ali je to le posledica simetične poazdelitve naboja in upoabe Gaussovega zakona, ali je to splošna lastnost pevodnikov? Odgovo dobimo z azmislekom o lastnostih pevodnikov: dobe pevodnik ima to lastnost, da je tudi v pimeu nevtalnosti (bez pesežkov naboja) mnogo nabojev (elektonov), ki so zelo šibko vezani na jedo, ka pomeni, da jih že najmanjše zunanje polje lahko pemakne iz avnovesne lege Pevodnik v zunanjem elektičnem polju Če pevodnik postavimo v zunanje elektično polje E zunanje, na vse naboje v pevodniku deluje elektična sila, v skladu z zvezo F = QE Posti ozioma šibko vezani elektoni se pomaknejo v naspotni smei polja (ke so negativnega pedznaka) do oba pevodnika * Koliko pa se jih pomakne? Toliko, koliko»zahteva«zunanje polje, ozioma toliko, da se vzpostavi novo avnotežje, v kateem je znotaj pevodnika polje enako nič Kaj pa ostane tam, kje ni več elektonov? Ostane pimankljaj elektonov, toej število potonov in elektonov ni več enako Ostane pozitiven naboj Toej, pemaknjeni naboji delujejo z lastnim elektičnim poljem E nabojev tako, da bo elektično polje v pevodniku Ev pevodniku = Ezunanje + Enabojev = E v pevodniku = SLIKA: a) V zunanje polje vstavimo pevodnik b) Po (hitem) pehodnem pojavu pide do peazpoeditve naboja (pesežka elektonov na eni stani in pomanjkanja na dugi stani) tako, da je polje znotaj pevodnika enako nič Polje znotaj, pa tudi v okolici, polpevodnika se spemeni ob peazpoeditvni naboja, saj na polje vplivajo tudi peazpoejeni naboji * V esnici elekton ne pepotuje celotne azdalje od enega oba do dugega oba pevodnika pač pa se elektoni le zamaknejo med samo Povpečna hitost elektonov v pevodniku je elativno počasna (eda ) in ji ečemo tudi hitost difta, saj med penosom tkajo z atomi v pevodniku tako, da njihova pot ni pemočtna pač pa se le v povpečju gibljejo v naspotni smei polja Peazpoeditev, ki smo ji piča ko vstavimo pevodnik v polje pa je skoaj hipna 1/5 DK

63 Pevodnik_v_polju(14)doc Nov-7 Povšina polpevodnika je ekvipotencialna ploskev Če je polje znotaj pevodnika enako nič, potem bo tudi napetost med poljubnima dvema T točkama znotaj pevodnika enaka nič, saj velja U = E dl To pa tudi pomeni, da imajo vse točke na pevodniku enak potencial in da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev 1 T1 Polje na nevtalno pevodno telo Če deluje polje na nevtalno pevodno telo, pide znotaj tega telesa do peazpoeditve elektonov, ki se pemaknejo v smei polja in pustijo za sabo pomanjkanje elektonov oz pozitivni naboj Pesežkov pozitivnega naboja je enako veliko kot peazpoejenih elektonov, tako, da je vsota vseh nabojev znotaj telesa še vedno enaka nič Peazpoeditvi naboja ečemo elektostatična indukcija Simulacija elektostatične indukcije s pogamom Jacob SLIKA: Peazpoeditev nabojev imenujemo elektostatična indukcija Ali je polje znotaj votline pevodnika v katei ni nabojev azlično od nič? Če bi to polje obstajalo, potem bi imeli znotaj votline pevodnika ekvipotencialne ploskve in po Gaussovem zakonu bi moali z integacijo polja okoli ekvipotencialne ploskve dobiti količino zaobjetega naboja Ke pa tega ni, je tudi polje enako nič SLIKA: Ekvipotencialne avnine znotaj votline pevodnika Polje kaže v smei manjšanja potenciala Kaj pa, če je poleg zunanjega polja še v votlini pevodnika naboj? Ali je tudi v tem pimeu polje v notanjosti pevodnika enako nič? Odgovo je da, saj če bi se v notanjosti pevodnika nahajal naboj in polje, bi ga potegnilo v smei, ki jo diktia zunanje polje ali pa v smei notanjega naboja v votlini Če zapišemo /5 DK

64 Pevodnik_v_polju(14)doc Nov-7 Gaussov stavek po pevodniku v okolici votline, hito ugotovimo, da moa biti na notanji povšini pevodnika (ob luknji) enaka količina naboja kot ga je v notanjosti SLIKA: Poazdelitev naboja po povšini pevodnika z luknjo v pimeu, ko se v luknji nahaja naboj Kaj pa če ni zunanjega polja? Če je toej je naboj v luknji, ki jo obkoža pevodnik Odgovo: V tem pimeu bo pišlo do elektostatične indukcije Na notanji povšini se bo inducial naboj naspotnega pedznaka kot je v luknji, na zunanji povšini se pa v smislu indukcije nakopiči naboj enakega pedznaka kot je v luknji Kaj pa polje v zunanjosti pevodnika? Vpliv polja naboja v luknji in naboja na notanji povšini pevodnika se izničita, ostane le polje na zunanji povšini pevodnika, ki je enakega pedznaka in velikosti kot naboj v luknji Ta bo povzočil polje v okolici Če je pevodnika sfeične oblike, bo polje v zunanjosti enako polju, ki bi ga povzočal točasti naboj v sedišču sfee SLIKA: Poazdelitev naboja v pevodniku z luknjo v katei se nahaja naboj Faadayeva kletka Ugotovili smo že, da se v izvotljenem pevodniku postavljenem v zunanje elektično polje vzpostavijo take azmee, da na povšini pevodnika pide do peazpoeditve naboja, znotaj pevodnika in tudi v votlini pa je polje enako nič Če hočemo del postoa elektično izoliati od okolice, ga moamo toej pevleči s pevodnikom, ki ga običajno ozemljimo Omeniti velja, da je taka zaščita popolna za elektostatično (enosmeno) polje, za časovno spemenljivo pa ne popolnoma, odvisno od fekvence motenj in debeline zaščitne plasti * Fadaayeva kletka učinkovito vauje ne le ped elektostatičnim poljem, pač pa tudi dinamičnim Neučinkovita je le pi magnetostatičnem polju * Znano je, da avto smatamo kot pecej vanega ped udaom stele, ke je njegova kaoseija iz pevodnika Podobno velja za letala, kje pa je kljub temu potebna pazljiva dodatna zaščita elektonike ped udai stel Poleg tega so modena letala lahko zgajena iz nepevodnih kompozitnih mateialov (zaadi večje tdote in manjše teže), ki jim je avno zaadi nevanosti stel potebno vgaditi dodatno pevodno plast 3/5 DK

65 Pevodnik_v_polju(14)doc Nov-7 SLIKA: Poces penosa naboja iz notanjega pevodnika na zunanjega ob dotiku Elektično polje na povšini pevodnika Ugotovili smo že, da je ob pevodnika ekvipotencialna ploskev To tudi pomeni, da na obu ne moe obstajati komponenta polja, ki je usmejena vzdolž oba pevodnika Taki komponenti ečemo tangencialna komponenta, pavokotno na povšino pa je nomalna komponenta Če bi tangencialna komponenta polja obstajala, bi to polje delovalo na šibko vezane elektone v kovini in jih pemaknila v novo avnovesno lego Velja toej: E t,na obu pevodnika = Poleg tega smo na teh pimeih (ploščati, valjni in kogljeni kondenzato) ugotovili, da je polje na povšini pevodnika enako σ / ε Ali to velja splošno? DA Polje na povšini polpevodnika je usmejeno v smei nomale na povšino in je enako * E na povšini pevodnika = e σ n ε SLIKA: Polje na povšini polpevodnika Razlika med poljem naelektene avnine in poljem na povšini pevodnika σ Za polje naelektene avnine smo ugotovili, da je enako in to v smei vstan od avnine v ε pimeu pozitivnega in v avnino v pimeu negativnega naboja na povšini pevodnika Tik nad povšino pevodnika lahko vpliv nabojev na polje azdelimo na dva dela En del polja σ pispevajo naboji na povšini, ti pispevajo polja, vsi ostali naboji pa tudi toliko, zato je ε σ polje na povšini naelektenega pevodnika enako ε * Za bolj natančno azlago glej ARSinigoj: Osnove elektomagnetike 4/5 DK

66 Pevodnik_v_polju(14)doc Nov-7 * Sila na naboj na povšini pevodnika Če je na povšini pevodnika elektično polje, toej moa na naboje na povšini delovati sila, pač v skladu z F = Q E Upoštevati je potebno elektično polje na naboje σ na povšini pevodnika, ki je posledica ostalih nabojev na pevodniku To polje je enako polovici celotnega polja na povšini pevodnika * σ oz ε Sila na naboje σ je ploskovna sila (ali pitisk) in je enaka fe = e σ n Celotno silo na objekt pa bi ε 1 dobili z integacijo ploskovne sile po celotni povšini Fe = σ da ε A * Dugače povedano, elektična poljska jakost na povšini pevodnika velja pavzapav tik nad povšino, medtem, ko je elektična poljska jakost na naboje σ na povšini pevodnika enaka povpečni jakosti v σ notanjosti in zunanjosti: Ke je v notanjosti polje enako nič, je polje na mestu nabojev enako ε 5/5 DK

67 ZVEZA MED E IN V (15)doc Nov-7 15 Zveza med E in V Vsebina poglavja: povezava med elektično poljsko jakostjo in potencialom, sme polja v smei zmanjševanja potenciala, gadient polja, izačun gadienta v azličnih koodinatnih sistemih, ocena velikosti polja glede na poazdelitev potenciala (ekvipotencialnih avnin) Izačun elektično poljske jakosti iz elektičnega potenciala Če poznamo poazdelitev elektičnega polja v postou, lahko z integacijo polja izačunamo potencial v poljubni točki: T( V= ) VT ( ) = E dl T Vpašajmo se, ali lahko tudi iz znane poazdelitve potenciala določimo elektično polje? Odgovo je seveda pitdilen, upoabiti pa je potebno naspotno opeacijo od integacije * Najpej zapišemo difeencial potenciala kot dv = E dl Vzdolž ekvipotencialne ploskve je elektična poljska jakost enaka nič Toej je elektična poljska jakost pavokotna na ekvipotencialne ploskve: E = e E = e n n n V n, kje je e n nomala na ekvipotencialno ploskev SLIKA: Elektična poljska jakost kaže v smei upadanja potenciala in je toej pavokotna na ekvipotencialne avnine * Iz matematičnega piočnika lahko ugotovimo sledečo zvezo: T d dx x f () t dt = f( x) Glede na definicijo potenciala bi lahko pisali tudi V ( T ) = E dl = ( Ex dx + Ey dy + Ez dz) E x V =, itd x T( V= ) T( V= ) T, od kode sledi Simbol x je simbol za pacialen odvod po x-u Razlika med totalnim odvodom d in pacialnim je v tem, da dx pi pacialnem odvodu odvajamo izaz pacialno, toej le po eni spemenljivki (v konketnem pimeu po x-u), vse ostale spemenljivke pa so v smislu odvajanja konstante 1/3 DK

68 ZVEZA MED E IN V (15)doc Nov-7 Če želimo ugotoviti velikost polja v smei koodinat pa upoabimo pacialno odvajanje po posameznih koodinatah: V Ex = x V Ey = y V Ez = z Če zdužimo posamezne komponente polja v vekto elektične poljske jakosti, ga v katezičnih koodinatah zapišemo kot : V V V E = ( Ex, Ey, Ez) =,, x y z Za cilindični koodinatni sistem velja E ( E Eϕ Ez) Za sfeični koodinatni sistem velja E ( E Eϑ Eϕ) V V V =,, =,, ϕ z V V V =,, =,, ϑ sin( ϑ) ϕ SLIKA: Večja gostota ekvipotencialnih avnin pomeni večjo elektično polje na tistem mestu, ozioma, zgoščenost ekvipotencialnih ploskev je meilo za velikost polja V V V Enačbo E =,, lahko zapišemo tudi kot E,, V x y z =, kje zapis v oklepaju x y z imenujemo opeato odvajanja, ki ga imenujemo nabla in pišemo s simbolom ali pa z imenom gadient Zvezo med potencialom in poljem lahko toej zapišemo kot E = V = gad( V) Ge toej za opeato, ki skalanemu polju piedi vektosko na tak način, da kaže v smei zmanjšanja potenciala, po velikosti pa je enak (kajevni) hitosti speminjanja polja /3 DK

69 ZVEZA MED E IN V (15)doc Nov-7 V V Pime: Elektični potencial v postou je določen z enačbo V ( x, y, z ) 4 3 m xy m z Določimo elektično poljsko jakost v poljubni točki postoa te v točki T(1 m, m, 3 m) Izačun: V V Ex = = 4 y m x V V Ey = = 4 x m y V V V Ez = = ( 3 z) = 6 z z m m V Exyz (,, ) = ( 4 y, 4 x,6z) m E (1 m, m, 3 m) = ( 8, 4,18) V m = SLIKA: Elektična poljska jakost kaže sme in hitost upadanja potenciala Pimea polja klinaste elektode ob avni elektodi in polja med avnima ploščama Na levi sliki so poljeg vektojev polja pikazane še ekvipotencialne avnine te potencial v bavni lestvici Na desni sliki pa so zaadi lažjega opazovanja vektoji polja nomiani, velikost polja pa pikazuje bavna lestvica Poleg tega so pikazane ekvipotencialne avnine 3/3 DK

70 GIBANJE NABOJEV (16)doc Nov-7 16 Gibanje nabojev v elektičnem polju Vsebina poglavja: sila na naelekten delec v elektičnem polju, enačba gibanja, odklon naelektenega delca v elektičnem polju, enegija delca med gibanjem, ohanitev enegije, pimejava med gavitacijsko in elektično silo, ekspeimenti JJ Thomsona s katodno cevjo Če se naboj nahaja v elektičnem polju in ima možnost gibanja, se giblje v skladu s silami, ki delujejo na naboj V splošnem velja enačba gibanja ma = F, kje pod vsoto vseh sil upoštevamo elektično, mehanično, kemično silo itd Mi i i se bomo pedvsem posvetili elektični sili na naboje V tem pimeu gibanje naboja določimo z upoštevanjem zveze: ma = QE Pospešek a je vekto, ki ima ti komponente, in je enak časovnemu odvodu hitosti, ta pa d d časovnemu odvodu poti, toej velja ma = m = QE(, t) ali na katko m = QE V dt dt splošnem moamo tajektoijo gibanja delcev določiti s pomočjo eševanja sistema teh difeencialnih enačb Pogosto pa je mogoče določiti pozicijo delca z upoabo osnovnih zvez, ka bomo pikazali ka na pimeu Pime: V homogeno polje V/m usmeimo elekton s hitostjo 1 6 m/s, ki vpade pečno na sme polja Določimo odklon elektona iz vpadne smei po peletu polja za 1 cm Izačun: Elekton nadaljuje pot v smei leta ped vpadom v polje s hitostjo 1 6 m/s, za 1 cm x 1cm 8 poti pa potebuje časa 6 1 t = = = s Obenem v pečni smei nanj deluje elektična vx 1 m/s 19 3 Qe E 1,6 1 As 1 V/m 14 sila in toej pospešek ay = = = -31 3,5 1 m/s, odklon v tej m 9,1 1 kg smei pa bo enak ( ) ,5 1 m/s 1 s ay t y = = = 17,58 mm SLIKA: Elekton pileti v elektično polje in se ukloni 1/3 DK

71 GIBANJE NABOJEV (16)doc Nov-7 Enegija delca med gibanjem In kako je z enegijo tega delca med gibanjem? Zgonjo enačbo integiamo v smei poti in dobimo T T ma dl = QE dl T1 T1 Če izvajanje poenostavimo le na gibanje v eni smei (ecimo X), se zgonja zveza poenostavi v T T T T dv dx mv mv1 m dx= m dv m vdv Q E dl dt = = dt iz česa sledi = QVT ( ( 1) VT ( ) ) T1 T1 T1 T1 V splošnem pa bo v = ( v + v + v ) Če to zvezo napišemo nekoliko dugače, dobimo x y z mv1 mv + QV ( T1) = + QV ( T) ozioma W ( T) + W ( T ) = W ( T ) + W ( T ) kin 1 pot 1 kin pot Enačbo pebeemo kot: Enegija se med gibanjem ohanja, se pa pi tem petvaja iz kinetične v potencialno ali obatno Na naboj, ki se giblje v smei polja deluje pospešek, toej sem mu povečuje hitost in s tem kinetična enegija, hkati pa se mu zmanjšuje potencialna enegija Pime: Elekton pileti s hitostjo 1 6 m/s v zavialno homogeno polje, ki ga vzpostavimo z napetostjo med vzpoednima elektodama oddaljenima za 1 cm Določimo potebno napetost med elektodama, da se bo delec ustavil na polovici azdalje med elektodama mv 1 Izačun: Na začetku bo imel elekton le kinetično enegijo, potencialna enegija pa je enaka nič Ko se elekton ustavi na sedini med elektodama, bo njegova kinetična enegija U enaka nič, potencialna pa bo enaka Q Potebno napetost toej določimo iz izenačitve enegij na začetku in na koncu (ko se elekton ustavi na polovici azdalje med elektodama je njegova hitost enaka nič): mv1 U = Q Sledi: 31 6 mv 9,1 1 kg( 1 m/s) 1 U = = = 5, 69 V 19 Q 1, 6 1 As Vpašanje: Zakaj je v konketnem pimeu azdalja med elektodama nepomembna? Kaj se»zgodi z elektonom po ustavitvi«? Odg: Polje ga bo pospešilo nazaj in izstopil bo iz polja z enako hitostjo, kot je v polje vstopil Pimejava gavitacijske in elektične sile Kako velika je elektična sila v pimejavi s silo gavitacije? Vzemimo ka pvi pime in pimejajmo velikost sile polja in sile gavitacije, če je elekton v polju kv/m: /3 DK

72 GIBANJE NABOJEV (16)doc Nov Fe Qe E 1, = = = 3, Fg mg 9,1 1 9,8 Ugotovimo, da je v tipičnih pimeih (že pi majhnem elektičnem polju) elektična sila mnogo večja od gavitacijske ekspeiment Josepha Johna Thomsona ( ) JJ Thomson je Nobelov nagajenec za fiziko za leto 196 Nagado je dobil za odkitje elektona, ka mu uspelo z ekpeimenti s katodno cevjo V enem od teh ekspeimentov je uspel odkiti, da so elektoni negativno naelekteni, saj se odklanjajo v elektičnem polju vzpostavljenim med dvema elektodama, ki sta postavljeni pečno na sme leta elektona Za azliko od dugih aziskovalcev, ki so opavljali podobne ekspeimente, je njemu leta 1897 to uspelo pokazati zato, ke je uspel zak v katodni cevi v zadostni mei azedčiti (doseči dovolj nizek tlak), da se niso elektoni, ki jih je»izsteljeval«iz katode (katodni žaki), ped pehodom do fluoescenčnega zaslona zadeli v molekule zaka V nadaljnjih ekspeimentih je s kombinacijo delovanja elektičnega in magnetnega polja ugotovil azmeje med maso elektona in njegovim nabojem Pokazal je tudi, da ima vodik le en elekton JJ Thomsonu pipisujemo izum masnega spektometa, napave, s pomočjo katee je mogoče azpoznavati kompozicjo snovi iz azmeja med maso in nabojem (masni spekte) SLIKA: Katodna cev, s pomočjo katee je JJ Tomson dokazal obstoj in naavo katodnih žakov (elektonov) SLIKA: Koncept masnega spektometa Vi: Wikipedia 3/3 DK

73 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 17 Elektični dipol Vsebina poglavja: polaizacija pevodnika (snovi) v elektičnem polju, elektični dipolni moment, polane in nepolane snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje v okolici dipola, navo na dipol Elektični dipol je en pomembnejših elementov v teoiji elektičnega polja S tem konceptom (elementom) med dugim lahko azložimo vpliv in delovanje elektičnega polja v snovi, ka je seveda zelo pomembno Do sedaj smo bili sposobni ugotavljati le polje v vakuumu, ka pa v veliki mei velja tudi za zak Poleg tega smo ugotovili, da elektičnega polja v pevodnikih ni, da je lahko le na povšini pevodnika Tam je polje soazmeno povšinski gostoti naboja Elektični dipol Če nevtalni pevodnik postavimo v elektično polje, pide v pevodniku do peazpoeditve naboja, pi čeme se elektoni pemaknejo (zamaknejo) v naspotni smei polja Ti zamiki potekajo toliko časa, da se v notanjosti pevodnika vzpostavi polje, ki je enako nič Pevodni delec tako dobi enovit potencial Pesežek pozitivnega naboja lahko konceptualno zdužimo v pozitivni točkasti naboj, pesežek negativnega pa v točkasti negativni naboj Ta naboja sta azmaknjena za neko fiksno azdaljo, ki jo lahko opišemo z vektojem, ki kaže od negativnega v smei pozitivnega naboja Elektični dipol je toej definian kot dva naspotno-pedznačena točkasta naboja azmaknjena za azdaljo d SLIKA: Pevodnik v elektičnem polju Peazpoeditev naboja lahko ponazoimo z dvema točkastima nabojema povezanima s fiksno azdaljo, ka ponazoimo s konceptom elektičnega dipola Elektični dipolni moment imenujemo podukt naboja Q in vektoja d, ki je distančni vekto od naboja Q do naboja Q in ga zapišemo s simbolom p : p = Qd ( * enota je Cm) Velja opozoiti, da je sme vektoja d avno naspotna smei polja, ki ga povzočata naboja in je toej definiana od minus naboja v smei plus naboja * Pogosto, posebno v elektokemiji, se upoablja za enoto elektičnega dipolnega momenta D (Debye) Velja D = 3,33 1 C m To omogoča tudi»lepše«zapise dipolnih momentov Np dipolni moment vode je p(h O)=1,85 D, p(hcl)=1,8 D, itd 1/8 DK

74 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 Pime: Vzdolž daljše osi ovalnega pevodnika dolžine 5 mm se peazpoedi 1 1 elektonov Ponazoimo pevodnik v obliki elektičnega dipola in ocenimo njegov elektični dipolni moment Izačun: p = Qd = 1 1,6 1 C 5 1 m= 8 1 C m Pime: V molekuli NaCl (sol) je azdalja med Na in Cl ionom,6 nm Izačunajmo elektični dipolni moment molekule NaCl Izačun: p = Qd = 1,61 C,61 m 1 Cm Polane in nepolane molekule Ni pa nujno potebno, da dobimo elektični dipol le pi vstavitvi pevodnika v elektično polje Določene snovi (molekule) so lahko že same po sebi take, da imajo neenakomeno poazdeljen naboj Tipičen pime je molekula vode (H ), ki ima vodikova atoma azmaknjena od sediščnega kisikovega za kot 15 Zakaj avno tak kot? Izkaže se, da ta kot omogoča minimalno enegijsko stanje molekule Zaadi nehomogene poazdelitve naboja je elektični dipolski moment molekule vode 6,7 1-3 Cm Molekula vode ima toej vgajen dipolni moment, ečemo tudi, da je polana molekula (ima pozitivni in negativni pol) v naspotju z nepolanimi, kje je naboj molekule poazdeljen tako, da je navzven nevtalna Lahko pa nepolana molekula postane bolj ali manj polana, če jo postavimo v elektično polje Temu efektu ečemo polaizacija Neenakomena poazdelitev pozitivnega in negativnega naboja v molekuli vode ustvai pemanentni dipolni moment vode l_books/4em/ch5/ch5html SLIKA: Polana in nepolana molekula: a) bez zunanjega elektičnega polja, b) v zunanjem elektičnem polju Dipol v elektičnem polju Kako se obnaša elektični dipol v elektičnem polju? Nanj deluje elektična sila, ki je F = F + F = Q E + ( Q) E = Q E E enaka Q Q Q Q ( Q Q) SLIKA: Dipol v homogenem in nehomogenem polju /8 DK

75 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 Če je polje homogeno, je EQ = E Q in skupna sila na dipol je enaka nič Deluje pa sila na oba naboja dipola v naspotni smei, tako, da bo delovala z navoom na dipol v taki smei, da bi dipol usmeila v sme polja Če pa je polje nehomogeno, na dipol deluje poleg navoa tudi pemikalna sila, ki je azlična od nič in deluje v smei večjega polja Te sile so običajno zelo majhne, kljub temu pa jih je mogoče koistno izabiti SLIKA: Sile na dipole usmeijo dipole v sme polja Pime semenk v enosmenem polju velike vednosti * Pime je ecimo koncentianje mikonskih in submikonskih delcev v nehomogenem elektičnem polju To se upoablja pedvsem za manipulacijo bioloških celic, kje s pomočjo mikoelektonske tehnologije ustvaimo zelo majhne elektode, ki imajo avne in»oste«obove Vzpostavitev napetosti med takima dvema elektodama vzpostavi polje med njima, ki je izazito nehomogeno in večje v okolici oste elektode Če se med elektodama znajde delec, se polaizia, nato pa nanj deluje sila v smei»oste«elektode Še bolj pogosta pa je manipulacija nevtalnih delcev (bioloških celic) z vzpostavitvijo izmeničnega elektičnega polja V tem pimeu lahko s speminjanjem fekvence elektičnega polja vplivamo na polaizabilnost molekul Pi določeni fekvenci se ustvaja večji ali manjši dipolni moment, odvisno od tega, kako hito so se sposobni peoientiati naboji v elektičnem polju Zagotoviti je potebno, da so elektične lastnosti polaizacije delca azlične od lastnosti polaizacije delca Če je to zagotovljeno, bo delec pi določenih fekvencah vzbu jalnega signala ustvajal dipolni moment, ki je v smei polja, pi dugih pa dipolni moment, ki je usmejen v naspotno sme kot polje S fekvenco je toej mogoče vplivati na silo na delce v smei večjega polja ali pa v smei manjšega polja Delci v elektičnem polju v zaku se polaiziajo, na njih deluje sila v smei večjega polja (v smei obov elektodnih stuktu, kot kaže zgonja slika) V pimeu, da so delci v snovi, je njihov pemik odvisen tudi od teh elektičnih lastnosti Če se delci v polju močneje polaiziajo kot snov v kateo so postavljeni, bo sila na delce delovala v smei večjega polja V naspotnem pimeu pa v smei manjšega polja Te lastnosti pa je mogoče speminjati tudi s fekvenco izmeničnega signala, kot je bilo opavljeno v pimeu na sliki Tipični polme celic je 1 µm 3/8 DK

76 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 Potencial v okolici elektičnega dipola Potencial v okolici elektičnega dipola ni težko določiti, saj ge za vsoto dveh potencialov, potencial od pozitivnega in negativnega naboja SLIKA: Elektični dipol v koodinatnem sistemu Q Q Q 1 VT ( ) = = 4πε 4πε 4πε 1 1 Če je azdalja med nabojema dosti manjša od azdalje do točke T, lahko smatamo, da je in 1 dcos( ϑ) Enačbo toej lahko zapišemo v obliki 1 Qd cos( ) p cos( ) VT ( ) = ϑ ϑ 4πε = 4πε p * Pogosto se zgonjo enačbo zapiše tudi v obliki VT ( ) = 3 4πε Potencial v okolici dipola se manjša s kvadatom azdalje od dipola Elektično polje dipola Elektično polje bi lahko določili iz pepostega seštevanja pispevkov obeh nabojev Ke pa je polje vekto, bi imeli nekoliko več dela kot pi seštevanju V V V potencialov Bolj elegantna pot je s pomočjo gadienta polja, saj velja E =,, x y z V 1 V 1 V ozioma v sfeičnih koodinatah E = ( E, Eϑ, Eϕ) =,,, toej ϑ sinϑ ϕ V pcos( ϑ) E = = 3 πε V psin( ϑ) Eϑ = = 3 ϑ 4πε E ϕ = Ugotovimo lahko, da polje v oddaljenosti od dipola upada s tetjo potenco (To je zelo hiteje od pemega in točkastega naboja) 4/8 DK

77 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec SLIKA: Ekvipotencialne avnine in nomiani vektoji elektične poljske jakosti SLIKA: Potencial in polje v okolici elektičnega dipola Navo na elektični dipol Ugotovili smo že, da na elektični dipol v zunanjem elektičnem polju deluje sila, ki želi usmeiti (zavteti) dipol v sme polja Kako pa bi določili navo na dipol v zunanjem elektičnem polju? Peposto, po definiciji za navo M = F SLIKA: Elektični dipol v homogenem polju Nanj deluje navo Opozoiti velja, da je pi vektoskem poduktu pomembno, katei vekto nastopa pvi, saj je ezultat vektoskega podukta vekto, ki kaže sme navoa (vtenja) Pavilno dobimo sme navoa tako, da vekto adija (očice) zavtimo v smei sile v smei najmanjšega kota Velja toej M = e F sin( ϑ), kje je sme nomale sme, ki je pavokotna na povšino, ki jo določata vektoja in F 5/8 DK n

78 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 Navo na pozitivni in negativni naboj je d d d d ( ) Qd M = F + F = QE + QE = E + E ( ) Q Q Q Q Q Q Če upoštevamo katko azdaljo med nabojema, lahko smatamo, da je polje na pozitivni naboj enako polju na negativni naboj (lokalno homogeno polje) in navo na dipol bo enak M = Qd E = p E Ponovimo ezultat: navo na dipol je enak vektoskemu poduktu elektičnega dipolskega momenta in jakosti polja Rezultat je vekto, ki opisuje sme vtenja M = p E Pime: Potencial se speminja vzdolž X osi v skladu z enačbo V = V m Pi x = 1 cm x 6 se nahaja elektični dipol z momentom p = 1 (1,,) Cm Določimo navo na dipol SLIKA: Elektično polje in dipol v polju Izačun: Elektično polje ima le komponento v smei X osi, ki je enaka V Ex V m 6 V = = Pi x = 1 cm je polje enako E x = V m = 1, navo x x 1cm m -6 6 V pa je M = p E = ( 1,,) 1 C/m 1,, =(,, 4) N m m * Način izačunavanja sile na dipol iz spemembe elektične enegije Podobno, kot smo poiskali zvezo med potencialom in elektično poljsko jakostjo kot T( V= ) V V V VT ( ) = E d l E=,, x y z T silo, saj velja lahko najdemo tudi povezavo med enegijo in T( W= ) W W W WT ( ) = F d l F=,, x y z T 6/8 DK

79 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 Ta način je pogosto upoabljen tudi pi numeičnemu izačunavanju, kje izačunamo poazdelitev polja, potenciala in enegije s pomočjo ačunalnika Za izačun sile je potebno izačun opaviti x, vsakič na tak način, da ahlo zamaknemo stuktuo (v našem pimeu dipol) za neko majhno azdaljo in vsakič izačunamo polje in enegijo Silo pa nato izačunamo kot difeenco W W W F,, x y z * Izačunavanje sile na dipol iz spemembe elektične poljske jakosti Postavimo dipol vzdolž in v smei X osi Na naboj Q deluje polje E x in toej sila Q Ex na naboj +Q, ki je dex od Q oddaljen za azdaljo dx, pa polje E x +dx ozioma Ex + dx, sila pa bo dx dex Q Ex + dx Če je polje nehomogeno, se bosta polji azlikovali, toej bo na dipol dx de delovala ezultančna sila v smei osi X, ki bo enaka x Q dx, ka lahko pišemo tudi kot dx dex dex F = x Qdx p d x = d x, kje smo Q d x zapisali z dipolnim momentom p Enačba, ki smo jo zapisali velja le, če dipol leži vzdolž X osi in nanj deluje polje v smei X osi V splošnem je potebno upoštevati možnost, da je dipol usmejen poljubno Toej bo potebno silo na dipol v smei osi X izačunati kot dex dex dex Fx = px + py + pz in na enak način tudi sili v smei osi Y in Z dx dy dz Enegija otacije dipola W = M dα = p E Vpašanja za obnovo: 1 Kaj je elektični dipol? Kako je definian elektični dipolni moement? 3 Kaj je azlika med polanimi in nepolanimi snovmi? 4 Kako se»obnaša«elektični dipol, če je postavljen v zunanje homogeno ali nehomogeno elektično polje? 5 Potencial v okolici elektičnega dipola Skiciajte ekcipotencialke, zapišite enačbo 6 Elektična poljska jakost elektičnega dipola S kateo potenco upada? 7 Navo na elektični dipol WWW: Splošno: Elektokadiogam: wwwupscaleutoontoca/iyealab/ekgpdf Sevanje dipola: Dipole_3html Elektofoeza in dielektofoeza: LCD mateiali: 7/8 DK

80 ELEKTRICNI DIPOL (17b)doc Dec-7 8/8 DK

81 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 18 Okovinjenje ekvipotencialnih avnin Vsebina poglavja: polje med okovinjenimi ekvipotencialkami, potencial v okolici dveh pemih nabojev, ekvipotencialne avnine v okolici dveh pemih nabojev, dva pevodna valja piključena na napetostni vi, ekscentičnost Polje med okovinjenimi ekvipotencialnimi avninami Ekvipotencialna avnina povezuje točke z enako vednostjo potenciala Ugotovili smo, da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev Celo več, celoten pevodnik je na istem potencialu Običajno išemo ekvipotencialne ploskve tako, da je med sosednjimi enaka potencialna azlika (napetost) Hiteje, kot se kajevno speminja potencial, večja je elektična poljska jakost Zgoščenost ekvipotencialnih avnin nam toej nakazuje zvečanost elektične poljske jakosti na tem mestu Velja seveda tudi obatno: Večje polje ima posledično bolj zgoščene ekvipotencialne ploskve na tem območju Sedaj se vpašamo: ali se azmee (poazdelitev polja in potenciala) med dvema ekvipotencialnima ploskvama spemeni, če ekvipotencialni avnini okovinimo, pi čeme okovinjena ekvipotencialka ohani vednost potenciala ekvipotencialke? Odgovo je NE, poazdelitev polja med okovinjenima ekvipotencialnika avninama se ne spemeni, saj je kovina sama kot pevodnik tudi ekvipotencialna avnina in če ohani potencial ekvipotencialke, se azmee ne spemenijo SLIKA: Poazdelitev ekvipotencialk in okovinjenje ekvipotencialke Razmee med ekvipotencialkama se ne spemeni Sistem dveh pemih naspotno naelektenih nabojev En najpomembnejših pimeov, ki ima tudi pecejšnjo paktično upoabo sledi iz okovinjenja ekvipotencialnih avnin sistema dveh pemih naspotno naelektenih nabojev Toej sistema dveh vzpoednih tankih enakomeno naelektenih žic Potencial v okolici ene same peme elektine je T( V= ) T( V= ) q q VT ( ) = E dl= e ed= ln( ) πε πε T T T T( V= ) Ugotovimo lahko, da zaidemo v težave, če vzamemo, da je točka, kje je potencial enak nič v neskončnosti, saj iz enačbe sledi ln( ) = Toej bi bil potencial v neskončnosti neskončen Poblem je v tem, da imamo pi enem samem pemem naboju opavka z enim samim 1/6 DK

82 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 neskončno azsežnim elektično nezaključenim sistemom, ka pa v ealnosti ni možno Nekaj, ka v ealnosti ni možno, pogosto tudi v teoiji ne da smiselne ezultate Temu poblemu se ognemo tako, da obavnavamo sistem dveh pemih naspotno naelektenih nabojev, azmaknjen za azdaljo s SLIKA: Dva pema naboja vzdolž X osi Vzemimo, da sta naboja položena na X osi simetično na Y os in potekata vzdolž Z osi (Glej sliko) Potencial v točki T, ki je od naboja q 1 oddaljena za 1 in od naboja q za azdaljo, je sedaj vsota pispevkov obeh nabojev: T( V= ) T( V= ) q q q q ( q + q ) VT ( ) = ln( ) + ln( ) = ln( ) ln( ) + ln( TV ( = )), πε πε πε πε πε Če velja q1 = q = q je tetji člen v gonji enačbi enak nič in potencial enak q q q VT ( ) ln ln ln = 1 = πε πε πε 1 Potencial v točki T v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev bo toej enak q VT ( ) = ln πε 1 Sedaj lahko ugotovimo, da je potencial enak nič v neskončnosti (kje je 1 = ), pa tudi vzdolž Y osi (pi x = ) Ekcipotencialne avnine so kožnice Poskušajmo določiti ekvipotencialne avnine sistema dveh naspotno naelektenih pemih q nabojev To pomeni, da iščemo točke, kje je ln = V πε 1 kje je V ep potencial ekvipotencialke ep ozioma 1 Vep πε q = e = k, Če upoštevamo, da je = ( x s) + y in 1 = ( x+ s) + y dobimo /6 DK

83 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 ( x s) + y = k in ( x s) + y = k (( x+ s) + y ) Po peueditvi lahko enačbo spavimo v ( x+ s) + y obliko ( x p) + y =, ka je enačba za kog polmea zamaknjen v X osi za p S pimejavo enačb dobimo k p = k + 1 s 1 k in = s k 1 te s = p Pime: Poiščimo potek ekvipotencialne avnine s potencialom V = 3 V za pema naboja q =± 1 nc/m, ki sta azmaknjena za,4 m Izačun: Vep πε q Določimo konstante s =, m, k = e 5,31, sledi p =-,15 m in =,78 m Toej, sedišče ekvipotencialke se nahaja,15 m stan od sediščne točke med nabojema, polme ekvipotencialke pa je 7,8 cm Pozitivni naboj je od centa ekvipotencialke oddaljen za 1,5 cm, ka tudi imenujemo ekscentičnost SLIKA: Ekvipotencialne avnine izačunane pi vednostih potenciala V = -3 V, -V, -1V, V, 1 V, V, 3 V, za pema naboja q = ± 1 nc/m % ekvipot_pemem q=1e-9; s=; eps=8854e-1; Veq=[-3,-,-1,1,1,, 3]; %Veq=[3]; fo i=1:length(veq) k=exp(veq(i)**pi*eps/q); p=-(k^+1)/(k^-1)*s; =sqt(p^-s^); x=-5*s:1*s:5*s; lx=length(x); y=sqt(ones(1,lx)*^-(x-ones(1,lx)*p)^); plot(x,y,x,-y); plot(x,y,x,-y); axis([-3*s 3*s -3*s 3*s]); axis equal; 3/6 plot(-s,,'o');plot(s,,'o') DK hold on end

84 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 Dva valja enakega polmea piključena na vi napetosti Namen vsega tega izvajanja ni bil samo določitev ekvipotencialnih avnin dveh pemih nabojev Šele z okovinjenjem ekvipotencialk dobimo stuktue, ki so tudi v ealnosti zanimive Ugotovili smo, da so ekvipotencialke za sistem dveh pemih nabojev kogi ozioma plašči valjev, ka pomeni, da je mogoče z okovinjenjem ekvipotencialk izačunati polje in potencial v okolici dveh naelektenih valjev s pomočjo sistema dveh pemih nabojev Kaj je potebno naediti? Običajno poznamo napetost med pevodnima valjema, polme valjev in azdaljo med valjema Toej je potebno iz znane napetosti in geometije določiti lokacijo dveh nadomestnih pemih nabojev in njun naboj Ko to določimo, lahko zelo peposto določimo tudi polje in potencial v okolici dveh naelektenih valjev: analizo polja in potenciala v okolici dveh pemih nabojev * Če analiziamo dve simetični okovinjeni ekvipotencialki (povšina valja), je napetost med njima enaka dvojni vednosti potenciala ene od njih (na sedini med valjema je potencial enak nič): q s + d/ U = V( T1) V( T) = V( T1) = ln, kje je polme valja, d azdalja med π ε s d/+ geometijskima sediščema valja, s pa azdalja od sedišča med nabojema do naboja q V pimeu okovinjena ekvipotencialnih avnin toej upoštevamo zamik naboja glede na d geometijsko sedišče ekvipotencialke Za ekvipotencialko, ki je povšina valja velja p = in = ka vstavimo v zvezo s = p in s določimo kot s = ( d /) Iz te enačbe toej lahko določimo lego naboja, ki pedstavlja v pimeu dveh pevodnih valjev le navidezni naboj znotaj valja Zamiku nabojev glede na geometijsko sedišče valjev imenujemo tudi ekscentičnost in je podana kot e= d/ s Z upoštevanjem zgonje enačbe je d d 4 e = Postopek izačunavanja je toej sledeč: Če poznamo legi in napetost med dvema pevodnima valjema, lahko lego nadomestnih pemih nabojev določimo s pomočjo zveze d d 4 s = ( d /), ali tudi e = kje je s azdalja od sedišča med valjema (kje je potencial enak nič) do lege nabojev Velikost naboja pa določimo iz enačbe za napetost q s + d / U = ln πε s d /+ Pime: Naelektena valja polmea 4 cm sta azmaknjena za 1 cm Med valjema je napetost kv Določimo lego in velikost navideznih nabojev * V esnici tega naboja ni, saj znotaj valja ni polja Lahko pa analiziamo polje v okolici dveh valjev z določitvijo polja v okolici dveh pemih nabojev Smiselne ešitve so le v postou zunaj in na povšini dveh valjev Znotaj pevodnih valjev je pač polje enako nič 4/6 DK

85 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 18 Izačun: d = 1 cm+ 4 cm = 18 cm s = ( d/) = 4 cm 8,6cm q 8, kv = ln iz česa sledi q = 3,833 1 C/m πε 8, Določimo še polje na sedini med valjema: q E = ex = e 171kV/m πε π 8,6 1 m 7 3,833 1 C/m x s ε In kolikšno bi bilo za pimejavo polje med avnima ploščama oddaljenima za 1 cm in U kv piključenima na napetost kv? E = = = kv/m Ugotovimo, da je polje na d,1 m sedini med valjema manjše od polja enako azmaknjenih vzpoednih plošč Je pa zato večje polje na povšini valjev Določite ga sami! Duge stuktue, ki jih lahko analiziamo z okovinjenjem ekvipotencialk dveh pemih nabojev: a) dva valja z azličnima polmeoma b) en valj v dugem (koaksialni kabel z ekscentom) c) valj nad pevodno avnino zemljo Posebno zanimiv je tetji pime, pime valja nad zemljo Ge nameč za pomembno stuktuo, ki jo sečamo v našem vsakdanu, za elektotehnika pa je še posebno zanimiva za daljnovodno žico nad zemljo To bomo obavnavali v posebnem (naslednjem) poglavju SLIKA: Pimei možne analize stuktu izhajajočih iz okovinjenja ekvipotencialk naspotno naelektenih pemih nabojev 5/6 DK

86 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18c)doc Dec-7 Izačun potenciala in polja vzdolž osi X s pomočjo pogama Matlab 15 x 14 1 Potencial / V Polje / V/m Razdalja / m x Razdalja / m % pot_pemem q=1e-9; s=; eps=8854e-1; x=-5*s:1*s:5*s; 1=x+s; =x-s; V=q/(pi*eps)*log(/1) E=q/(*pi*eps)*(1/1-1/) plot(x,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potencial / V'); figue; plot(x,(e)); axis([-*s *s -1e5 1e5]) xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); 6/6 DK

87 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 19 Metoda zcaljenja Vsebina poglavja: Valj nad zemljo z upoštevanjem ekscentičnosti, daljnovodna vv nad zemljo (zanemaitev ekscentičnosti), polje in povšinska gaostota naboja na povšini zemlje, analiza sistema vvi nad zemljo, kapacitivnost med vvjo in zemljo, točkasti naboj ob ozemljeni kogli V pejšnjem poglavju smo ugotavljali, da so ekvipotencialne Metoda zcaljenja se upoablja tudi v ploskve v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev ahitektui Na sliki najnovejša stavba kožnice ozioma plašči valjev Ena od kožnic je tudi avnina med nove opene hiše v Pekingu nabojema, v obavnavanem pimeu avnina x = (kožnica z neskončnim adijem) Tam je potencial enak nič Obenem smo ugotavljali, da lahko poljubne ekvipotencialne ploskve okovinimo in s tem ne spemenimo azme (polja) med okovinjenimi ploskvami Če je ena od okovinjenih ekvipotencialnih ploskev avnina x =, lahko v tem pimeu pepoznamo možnost analize vodnika nad pevodno avnino Običajno smatamo, da je zemlja dobe pevodnik V tem pimeu lahko valje nad zemljo (np daljnovodne vvi), smatamo kot valje nad pevodno avnino Take stuktuo analiziamo na način, da naboj zcalimo peko avnine, kje pa dobi naspoten pedznak SLIKA: Zcaljenje nabojev: točkasti naboj, pemi naboj, dipol, linijski na boj, povšinski naboj 1/8 DK

88 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Valj nad zemljo (upoštevanje ekscentičnosti) Pime je zelo podoben pejšnjemu, le da v tem pimeu okovinimo eno ekvipotencialko, ki ima adij in eno, ki ima neskončen adij (avnino v osi Y kje je potencial enak nič) Tudi ta pime lahko analiziamo z dvema naspotno naelektenima pemima nabojema En od teh se nahaja»pod zemljo«, zato pavimo, da analiziamo pime naelektenega valja nad zemljo s pomočjo metode zcaljenja To pomeni, da moamo v pimeu analize pemega naboja nad zemljo za izačun postaviti še navideznega zcalno na avnino zemlje Zcalni naboj ima naspotni pedznak od tistega nad zemljo SLIKA: Valj nad zemljo: okovinjenje ekvipotencialke z adijem in avnine x = Napetost med valjem in zemljo določimo podobno kot v pejšnjem pimeu, le da je sedaj q s+ d/ VT ( ) = in je U = V( T1) V( T) = V( T1) = ln πε s d/+ Razlika v izazu je le v»polovički«lego navideznega naboja določimo enako kot pej: azdalja med geometijskim sediščem valja in zemljo, o pa polme valja s ( d/) =, kje je d/ Daljnovodna vv nad zemljo (zanemaitev ekscentičnosti) Pime: m nad zemljo se nahaja daljnovodna vv polmea cm z nabojem q = 3 nc/m Določimo napetost med vvjo in zemljo, elektično poljsko jakost na povšini zemlje tik nad vvjo te povšinsko gostoto naboja na zemlji SLIKA: Izačun polja na povšini zemlje Izačun: d /=,1m; s= ( d/ ) =, cm Ugotovimo lahko, da je azmak med geometijskim sediščem vvi in lego nadomestnega naboja paktično /8 DK

89 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 6 zanemaljiv e= d/ s = (, 1, 99975)cm,5 1 cm V tem pimeu lahko ekscentično postavitev navideznega naboja zanemaimo in smatamo, da se navidezni naboj nahaja v geometijskem sedišču valja (vvi) Za zanemaitev ekscentičnosti moa veljati, da je azdalja od vvi do zemlje dosti večja od polmea vvi: 1 V paksi lahko d vzamemo,1 d V pimeu zanemaitve ekscentičnosti se poenostavi tudi izačun napetosti med vvjo in zemljo, ki je sedaj ( d s ): q d U = ln πε Izačunajmo napetost v konketnem pimeu 9 V m 9 4,4m U = C/m ln 41 kv As,m Dodatno: Določimo še polje na povšini zemlje Upoštevati je potebno oba naboja oiginalnega v sedišču vvi in zcalnega z naspotnim pedznakom Polje na povšini zemlje tik pod vvjo je toej vsota obeh in je enako 9 q 3 1 C/m E = ey = ey ey54 V/m πεh πε m Koliko pa je povšinska gostota naboja na tem mestu? Ugotovili smo že, da je na povšini 9 pevodnika σ = ε En, toej bo σ = 4,77 1 C/m V poljubni točki na zemlji je polje: q h q h E = e E cos( α) = e = e πε y y y πε h + x h + x ( h + x ) To polje je največje na zemlji diektno pod vvjo in se z oddaljenostjo manjša Za vizualizacijo se zopet poslužimo pogama Matlab 3/8 DK

90 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Polje / V/m % zcaljenje1m q=3e-9; h=; eps=8854e-1; fo h=5:5: x=-4:1*h:4; E=q*h/(pi*eps*(x^+h^)); plot(x,e) hold on end xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); -4-4 Razdalja / m SLIKA: Elektična poljska jakost na povšini zemlje za azdalje od zemlje do vvi 5, 1, 15 in m za naboj na vvi 3 nc Bližje kot se nahaja vv, večje je polje tik pod vvjo na zemlji Z integacijo povšine pod kivuljo polja bi dobili enak ezultat za vse kivulje Zakaj? Zato, ke je polje na povšini soazmeno gostoti naboja σ = ε En, z integacijo gostote naboja po povšini pa dobimo celotni naboj, ki je po iznosu enako velik kot naboj na vvi, le naspotnega pedznaka je To je naboj, ki se inducia na povšini zemlje kot posledica naboja na vvi Izačun linijske gostote naboja za azlične azdalje od zemlje do vvi in konstantno napetostjo 4 kv: h / m q / nc/m Izačun napetosti med vvjo in zemljo za azlične azdalje od zemlje do vvi in konstantno gostoto naboja 3 nc/m: h / m U / kv 5 33,5 1 37, ,4 41 4/8 DK

91 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Kapacitivnost med vvjo in zemljo Pi konstantni napetosti med vvjo in zemljo se naboj na vvi speminja v odvisnosti od višine vvi Bližje kot je vv povšini zemlje, večji je njen naboj In seveda obatno Pi konstatnem naboju na vvi ugotavljamo speminjanje napetosti z višino vvi Zakaj je temu tako? Zato, ke bližje, kot je vv zemlji, bolj se bodo na povšini zemlje pod vvjo zgostili (influiali) naboji naspotnega pedznaka in večja bo elektična poljska jakost na zemlji Posledično bo višja tudi napetost med zemljo in vvjo SLIKA: Kapacitivnost med vvjo in zemljo Med nabojem na vvi in napetostjo med vvjo in zemljo velja lineana zveza: U q d ln πε = ozioma U πε q = d ln Uπε l Če zapišemo celotni naboj na dolžini l vvi, dobimo Q= ql = d ln Razmeje Q/U je konstantno To konstanto imenujemo kapacitivnost Kapacitivnost sistema vvi nad zemljo je toej Q πε l C = = U d ln V paksi pogosto za daljnovodne vvi upoabljamo izaz za kapacitivnost na enoto azdalje, q πε c= C/ l = = U d ln Določimo kapacitivnost daljnovodne vvi na enoto dolžine v našem pimeu: 3 nc/m C/ l = 7,3pF/m 41 kv Kapacitivnost smo izačunali iz poznanega naboja in napetosti med vvjo in zemljo Ugotovimo lahko, da bi lahko kapacitivnost določili tudi diektno s pomočjo uokvijene enačbe in da ni odvisna ne od napetosti ne od naboja pač pa le od geometijskih azme, toej od azdalje od vvi do zemlje in njenega polmea Kapacitivnost je toej geometijski pojem 5/8 DK

92 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Računanje polja in potenciala v okolici daljnovodnih vvi nad zemljo Ugotovili smo, da običajno lahko zanemaimo vpliv ekscentičnosti, in da je napetost med q d vvjo in zemljo podana z enačbo U = ln Če imamo opavka z več πε daljnovodnimi vvmi, je smiselno ugotavljati potencial posamezne vvi, zato poglejmo, kako je sestavljen potencial ene same vvi: q V = U = ln ( d ) ln πε q Običajno zanemaimo tudi πε v pimejavi z d in dobimo q d q q V = ln = ln d ln πε πε πε ( ) ( ) Pvi člen je potencial, ki ga povzoča negativni naboj na mestu pozitivnega od kateega je oddaljen za azdaljo d Dugi člen je potencial lastnega (pozitivnega) naboja Da ne bi pi izačunu pozabili, da se pozitivni pedznak nanaša na azdaljo od negativnega naboja, lahko enačbo zapišemo tudi v obliki: q 1 q 1 V = ln + ln πε πε d Če je vvi več, je potebno seveda sešteti (supepozicija) vpliv vseh na vsako vv posebej Če bi na pime imeli nad zemljo dve vvi, je potencial vsake pispevek štiih vvi: lastne in lastne zcaljene te sosed nje in sosednje zcaljene Pime (izpitna naloga 45): Vodnika simetičnega dvovoda dolžine 5 m ležita vzpoedno nad ozemljeno pevodno ploščo Med njiju je piključen vi napetosti U = 4 V Izačunajte naboja na vodnikih ( h= 3 cm, d = 6 cm, = mm) Izačun: Glede na piključitev via sta vzdolžni gostoti nabojev na vodnikih enakih absolutnih vednosti, venda naspotnih pedznakov, ( ± q) Polje naboja ozemljene pevodne plošče določata polji zcalnih nabojev ( ± q) Naboja Q1, = ± ql vodnikov (dolžine l = 5m) določa napetost via, ki je enaka azliki potencialov vodnikov: U = V1 V Njiju zapišemo kot vsoto pispevkov dveh paov nabojev: q d q h q hd V 1 = ln + ln = ln πε πε ( h) + d πε ( h) + d q q ( h) + d q ( h) + d V = ln + ln = ln = V 1 πε d πε h πε hd h h h U + d U + V 1 q -q q hd πε lu U = V1 V = V1 = ln Q 1, =± ql =± 18, nc πε ( h) + d ln hd ( h) + d (-q) ( ) d (q) V V = V V = V 6/8 DK

93 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Duge vaiante možnih izačunov: a) Naboja na vveh sta piključena na vi napetosti: v tem pimeu je na eni vvi pozitivni, na dugi pa negativni naboj enake absolutne vednosti b) Naboja na vveh nista piključena na vi napetosti: v tem pimeu sta naboja (lahko) azlična c) Na nevtalnemu vodniku ni naboja Vodnika na kateem ni naboja ne zcalimo d) Vodnik se nahaja v homogenem polju V tem pimeu je poleg ostalih pispevkov potebno upoštevati še potencial vvi E h, kje je h višina vvi e) Zcalimo tudi točaste in duge naboje; zcalni naboji imajo naspotni pedznak f) Kapacitivnost med vvema je določena s kvocientom napetosti med vvema in naboja na vvema Domača naloga: kako izačunati polje na zemlji tik ob stebu? Pime, zcalnjenje točkastih nabojev: kolokvij 171 7/8 DK

94 METODA ZRCALJENJA(19)doc Dec-7 Zcaljenje točkastega naboja na kovinski kogli Vzemimo dva točkasta naboja vzdolž X osi Potencial v točki T je VT ( ) Q 4πε R Q 4πε R = Poiščimo točke (ekvipotencialno avnino), kje je potencial enak nič Tedaj bo Q1 Q R VT ( ) = Q 4πε R + 4πε R = R = Q Tudi pi azmeju dveh pemih nabojev smo dobili, da je azmeje adijev konstantno, ekvipotencialne avnine pa so bile kožnice ozioma plašči valjev V tem pimeu je ekvipotencialna avnina kogla s polmeom R, če je Q1 > Q Če zapišemo potenciala v dveh točkah na kogli, določimo ekscentično lego naboja Q znotaj kogle iz e =, kje je polme kogle, d pa azdalja od sedišča kogle do naboja d Q1 d Q 1 Poleg dobimo zvezo med Q 1 in Q : = Q SLIKA: Dva točkasta naboja imata ekvipotencialke od kateih je ena kogla s potencialom nič Polje v okolici naboja, ki se nahaja v bližini ozemljene kogle analiziamo s pomočjo zcalnega naboja, ki leži ekscentično od geometijskega sedišča kogle Pime: Določimo silo na točkasti naboj Q 1 = 1 nc, ki je oddaljen za 1 cm od pevodne ozemljene kogle polmea 8 cm Izačun: (8 cm) e = = 3,556 cm d 1 cm + 8 cm Naboj Q moamo toej postaviti za 3,556 cm od sedišča kogle v smei naboja Q 1 Po velikosti pa moa biti 8cm Q = Q1 = 1 nc = 8 nc d 1 cm Sila med nabojema (hkati tudi sila med pevodno naelekteno koglo in točkastim nabojem) QQ 1 QQ 1 1 nc ( 8 nc) je F = = = 498 µn 4πε 4 πε ( d e) 4 πε (18 cm 3,556 cm) 8/8 DK

95 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Kapacitivnost Vsebina poglavja: definicija kapacitivnosti, kondenzato, mejenje in ačunanje kapacitivnosti, kapacitivnost osnovnih stuktu, zapoedna in vzpoedna vezava kondenzatojev, analiza vezij s poljubno vezavo kondenzatojev V pejšnjem poglavju smo že spoznali soazmeje med količino naboja med dvema pevodnima telesoma in napetostjo med njima Fakto soazmenosti imenujemo kapacitivnost Ali z dugimi besedami: večanje napetosti med telesoma povzoči soazmeno povečanje naboja V matematični obliki pa to zapišemo kot ( ) Q = C V V ozioma Q CU A B =, od kode je C Q = U SLIKA: Kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma Kondenzato kot koncentian element Simbol in enota za kapacitivnost Dve poljubni pevodni telesi lahko pikažemo kot elektični sistem, ki ga imenujemo kondenzato Kljub temu, da iz sednješolske fizike (elektotehnike) že poznamo simbol za kodenzato, ga omenimo še enkat Simbol za kondenzato sta toej dve vzpoedni enako dolgi daljici, pečno na vodnika, azmaknjeni za malo azdaljo Če je med telesoma piključimo napetost U, se na telesu piključenem na + sponko via nakopičil naboj +Q, na telesu piključenem na negativno sponko pa naboj Q Velja zveza ± Q= CU C imenujemo Kondenzato, ki ga je patential Nikola Tesla leta 1896, US kapacitivnost sistema, sistem, ki»shanjuje«naboj pa kondenzato Enota za kapacitivnost je C/V = F, v čast pomembnemu znanstveniku in aziskovalcu Michaelu Faaday-u Pogosto tudi enoto za dielektičnost vakuuma ε označujemo z enoto F/m Zanimivo je to, da na pvi pogled na kapacitivnost med dvema telesoma vpliva napetost in naboj na telesih, v esnici pa ni tako Kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma v zaku je odvisna le od geometijskih značilnosti teles (oblike teles in postavitve) SLIKA: Simbol za kondenzato 1/8 DK

96 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Mejenje kapacitivnosti Kako bi določili kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma? Ekspeimentalno bi to lahko naedili tako, da bi ti dve telesi naelektili z znanim nabojem in izmeili napetost, ki se pojavi Q med telesoma Kapacitivnost bi določili iz azmeja C = U Peposti univezalni meilni inštumenti določajo kapacitivnost s pomočjo znanega tokovnega via in mejenjem (časovne spemembe) napetosti Iz kontinuitetne enačbe dq d i = in Q= CU dobimo dt i U = C Pi elektenju s konstantnim tokom je spememba d t napetosti v določenem času soazmena 1/C V pimeu idealnega kondezatoja naašča napetost lineano Take meitve so lahko zelo nenatančne v pimeu, ko kondenzato ni idealen (ka pogosto dži) Nekoliko izpopolnjen način upošteva še upoovne lastnosti kondenzatoja V tem pimeu napetost ne naašča lineano, pač pa eksponentno Iz eksponentnega naaščanja se določi časovna konstanta in upošteva pi izačunu kapacitivnosti Seveda je potebno kondenzato ped meitvijo azelektiti To lahko naedimo tako, da ga izpaznemo peko upoa ali pa nanj piključimo izmenični tokovni signal Več infomacij najdete na spletnih staneh * Za natančnejše meitve se upoablja izmeničen vi, pogosto tudi v kombinaciji z mostičnim vezjem Več o tem v naslednjem semestu, saj bomo tedaj obdelali to poblematiko Računanje kapacitivnosti V pincipu smo že dosedaj spoti opozajali na kapacitivnost Ko smo izačunali napetost med 1 naelektenima telesoma, je bila ta soazmena naboju in 1/C: U = Q Matematično toej C določimo kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma tako, da pedpostavimo, da sta telesi naelekteni z nabojema +Q in Q te izačunamo napetost med njima Kapacitivnost pa Q je azmeje med nabojem in izačunano napetostjo: C = U (Pogosto za ačunanje kapacitivnosti upoabljamo numeične metode, kje izačunamo polje in potencial v postou med objektoma V takem pimeu upoabimo lahko za izačun kapacitivnosti tudi izaz za elektično enegijo, shanjeno v kondenzatoju Več v nadaljevanju) * Več o meitvah kapacitivnosti: /8 DK

97 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Kapacitivnosti osnovnih stuktu Upoabili bomo ugotovitve iz poglavja o potencialu in napetosti osnovnih stuktu in določili kapacitivnosti Kapacitivnost začnega ploščatega kondenzatoja σ QA U = Ed = d ozioma U = d, kje je A povšina ene plošče, d pa azdalja med njima ε ε Kapacitivnost je Q A = = KAPACITIVNOST PLOŠČNEGA ZRAČNEGA KONDENZATORJA C ε U d Dobili smo enačbo, ki jo poznamo že iz sednješolske fizike (elektotehnike) Kapacitivnost začnega koaksialnega kabla q U = E e d = e e d = n πε πε n oklopa Kapacitivnost je q ln n, kje je n polme žile, pa notanji polme C Q ql πε l = = = KAPACITIVNOST ZRAČNEGA KOAKSIALNEGA KABLA U U ln n Kapacitivnost začnega sfeičnega kondenzatoja Napetost med sfeama s polmeoma n in z je z z z Q Q 1 Q 1 1 U = E ed = e e d = = 4πε 4πε 4πε n z Kapacitivnost je toej n n n C Q 4πε = = U 1 1 n z KAPACITIVNOST ZRAČNEGA SFERIČNEGA KONDENZATORJA Iz zgonje enačbe lahko določimo še kapacitivnost osamljene pevodne kogle, ki je ( z ): Q C = = 4πε KAPACITIVNOST OSAMLJENE PREVODNE KROGLE U n Kapacitivnost med valjem in zemljo Z zanemaitvijo ekscentičnosti smo dobili zvezo med napetostjo in linijsko gostoto naboja: q d U = ln Kapacitivnost je: πε 3/8 DK

98 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Q ql πε l C = = = U U d ln KAPACITIVNOST MED PREVODNIM VALJEM IN ZEMLJO d je azdalja med geometijskima sediščema dveh valjev Tistega nad zemljo in pezcaljenega Če se toej valj nahaja na višini h nad zemljo bo d = h+ in enačbo za izačun kapacitivnosti med pevodnim valjem nad zemljo lahko zapišemo tudi v obliki: Q ql πε l C = = = U U h + ln SLIKA: Pevodni valj nad zemljo Kapacitivnost med dvema valjema Napetost med dvema valjema je x večja kot med valjem in zemljo: q U ln d =, toej πε bo kapacitivnost med valjema (ob zanemaitvi ekscentičnosti): πε l C = KAPACITIVNOST MED PREVODNIMA VALJEMA d ln SLIKA: Dva pevodna valja 4/8 DK

99 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Kondenzatoska vezja Zapoedna vezava kondenzatojev Naišimo sliko zapoedno vezanih več kondenzatojev Med skajnima sponkama je napetost U, toej bo na pozitivni sponki naboj +Q, na negativni pa Q, zveza med njima pa je Q= CU Tudi na vsakem zapoedno vezanem kondenzatoju bo enako velik naboj, saj bo med dvema sosednjima kondenzatojema pišlo le do peazpoeditve naboja Na plošči kondenzatoja, ki je bliže negativni sponki, se bo nakopičil negativni naboj (-Q) in hkati pozitivni naboj na dugi plošči kondenzatoja Hkati bo pišlo do peazpoeditve naboja tudi na ostalih zapoedno vezanih kondenzatojih Toej velja: Q1 = Q = Qn = Q Celotna napetost bo vsota posameznih padcev napetosti: U = U1+ U + Un, ka lahko izazimo z nabojem in n Q Q Q Q Q kapacitivnostjo kondenzatojev U = = + + C C C C = Če enačbo delimo z C nabojem Q, dobimo: 1 n i= 1 i n C C C C C = + + = KAPACITIVNOST ZAPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV 1 n i= 1 i SLIKA: Zapoedna vezava kondenzatojev Pime: Določite nadomestno kapacitivnost zapoedne vezave teh kondenzatojev: 1 nf, nf in 5 nf Izačun: = + + = =, C = nf,588 nf C 1nF nf 5nF 1nF 1nF 17 Velja si zapomniti, da je nadomestna kapacitivnost zapoedno vezanih kondenzatojev vedno manjša od vsake posamezne kapacitivnosti V konketnem pimeu je najmanjša 1 nf, toej bo skupna gotovo manjša od 1 nf Kako si to azložimo? Peposto iz ugotovitve, da je kapacitivnost azmeje med nabojem in napetostjo Več kot je kondenzatojev vezanih zapoedno, večji je skupni padec napetosti, obenem pa se naboj ne speminja Števec toej ostaja enako velik, imenovalec pa se veča in posledično se manjša kapacitivnost Vzpoedna vezava kondenzatojev Pi vzpoedni vezavi kondenzatojev je na vseh kondenzatojih enaka napetost, naboj pa je soazmeen kapacitivnosti vsakega posebej: Q = CU = Q + Q + + Q = CU + C U + + C U = C + C + + C n U, toej bo 1 n 1 n 1 ( ) C C C C C = n = i i= 1 n KAPACITIVNOST VZPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV 5/8 DK

100 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 SLIKA: Vzpoedna vezava kondenzatojev Pime: Med dvema avnima vzpoednima ploščama povšine 1 cm je azdalja cm a) Določite kapacitivnost med ploščama b) Za koliko se kapacitivnost poveča/zmanjša, če plošči azmaknemo za tikatno azdaljo? c) Za koliko se kapacitivnost poveča/zmanjša, če povšino plošč povečamo za tikat? d) Za koliko se skupna kapacitivnost poveča/zmanjša, če ploščama zapoedno piključimo še enako velika kondenzatoja? Izačun: a) Kapacitivnost med ploščama je 4 A 1 F 1 1 m 1 C = ε = 8,854 1 = 4,47 1 F = 4,47 pf d m,m b) Če plošči azmaknemo za 3x, se poveča azdalja d za 3x, toej bo posledično kapacitivnost A 3x manjša: C = ε 1,48 pf 3d 3A c) Če povečamo povšino plošč za 3x, bo kapacitivnost tikat večja: C = ε 13, 3 pf d d) Če ploščama zapoedno piključimo še dva enaka kondenzatoja, bo skupna kapacitivnost C1 3x manjša: = + + = C = 1,48 pf Ugotovimo, da je zapoedna vezava C C1 C1 C1 C1 3 teh enakih kondenzatojev ekvivalentna povečanju azdalje med ploščama enega za 3x Hkati je vzpoedna vezava enakih kondenzatojev ekvivalentna povečanju povšine plošč enega kondenzatoja Peposta kondenzatoska vezja so ka vzpoedne in zapoedne vezave kondenzatojev V tem pimeu moamo ob upoštevanju zveze Q= CU vedeti le to, da je skupna (nadomestna) kapacitivnost vzpoedne vezave kondenzatojev vsota posameznih kapacitivnosti in da moamo pi zapoedni vezavi seštevati invezne vednosti Pime: Zapoedni vezavi kondenzatojev C 1 = 1 nf in C = nf piključimo vzpoedno še kondenzato C 3 = nf Določimo naboj na kondenzatoju C, če vezje piključimo na napetost 1 V SLIKA: Vezava kondenzatojev 6/8 DK

101 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Izačun: Določimo nadomestno skupno kapacitivnost, ki je CC 1 1 C1 = = nf,67 nf Cnad = C1 + C3,67 nf+ nf =,67 nf C + C 1+ 1 Naboj na Q 3 je Q = CU = C V = 67 nc Koliko naboja pa je na Q? Zaadi zapoedne vezave kondenzatojev C 1 in C, je naboj na kondenzatoju C enak naboju na C 1 in tudi na zapoedni skupni vezavi, toej Q = C1U,67 nf 1 V = 67 nc Enačbe potebne za analizo splošnega kondenzatoskega vezja Kako pa bi analiziali vezje z več kondenzatojev in viov, ko ni mogoče peposto vzpoedno in zapoedno seštevati kondenzatoje? V tem pimeu je potebno napisati sistem enačb ob upoštevanju osnovnih zakonitosti (potencialnost elektostatičnega polja in zakon o ohanitvi naboja): 1) Vsota vseh napetosti v zaključeni zanki je enaka nič: Uzanke = Ui ) Vsota nabojev v spojišču je enaka nič: Qspojisca = Qi i i Pime naloge iz kolokvija 111 (VSŠ): Glede na smei napetosti lahko zapišemo dve enačbi z upoštevanjem Kichoffovega zakona: UC1+ U UC = in UC UC3 + U = Poleg tega lahko zapišemo enačbo ohanitve naboja Naboj se le peazpoeja iz ene elektode kondenzatoja na duge Veljati moa QC1+ QC + QC3 = To enačbo lahko izazimo z napetostmi CU 1 1+ CU + CU 3 3 = in tako dobimo sistem teh enačb za ti neznane napetosti na kondenzatojih V ešitvi kolokvija je upoabljen nekoliko bolj»eleganten«način z vpeljavo spojiščnega potenciala 7/8 DK

102 KAPACITIVNOST()doc Dec-7 Vpašanja za obnovo: 1 Kako je definiana kapacitivnost? Od česa je odvisna kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma v zaku? 3 Kako izačunamo (določimo) kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma? 4 Ponovite izaze za kapacitivnost osnovnih stuktu 5 Nadomestna kapacitivnost zapoedne, vzpoedne in kombiniane vezave 6 Kako v splošnem analiziamo kondenzatoska vezja? 8/8 DK

103 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 1 Dielektik v elektičnem polju Vsebina poglavlja: elativna dielektičnost, povečanje kapacitivnosti z upoabo dielektika, vezan in posti naboj, vekto polaizacije, povšinska gostota vezanega naboja, elektična susceptibilnost, vekto gostote elektičnega petoka, povezave med E, D in P, modifician Gaussov zakon, mejni pogoji elektičnega polja med dvema dielektikoma, mejni pogoji med pevodnikom in dielektikom Dielektik vstavljen v začni kondenzato Do sedaj smo imeli opavka le s pevodniki v vakuumu ozioma zaku Kako pa vplivajo azlični mateiali (snovi) na elektične azmee? Na pime, kaj se zgodi, ko med plošči ploščnega kondenzatoja vložimo mateial, ki je idealen (elektični) izolato in ju piključimo na vi napetosti? Takemu mateialu pogosto ečemo Podvodni kabel, 4 kv wwwnexanscom dielektik in s tem poudaimo njegove dielektične (kapacitivne) lastnosti, medtem ko izolatojem paviloma pedpisujemo upoovne lastnosti; dobe izolato ima zelo veliko (specifično) uponost Če izmeimo kapacitivnost ped vložitvijo dielektika in po vložitvi ugotovimo, da se kapacitivnost po vložitvi poveča: C C diel zak = ε 1 ε imenujemo elativna dielektična konstanta in pove, za koliko se kapacitivnost poveča ob vstavitvi dielektika med plošči začnega kondenzatoja A Kapacitivnost začnega ploščatega kondenzatoja ped vstavitvijo dielektika je Czak = ε, d A po vstavitvi pa je Cdiel = εczak = εε d Izazi za kapacitivnosti azličnih tipov začnih kondenzatojev veljajo tudi v pimeu, ko je namesto zaka dielektik, le konstanto ε nadomestimo z ε ε Pime: Vzemimo ploščni kondenzato s povšino plošč 1 cm Med plošči stisnemo list papija debeline mm (ε = ) in mm debelo gumo z ε = 6 Kondenzato piključimo na napetost 1 V a) Kolikšen je padec napetosti na plasti papija in kolikšen na steklu? b) Kolikšno je polje v steklu in v papiju? c) Kolikšno je polje na meji med steklom in papijem? Izačun: A 1 1 m 8,854 1 F/m 8,854 1 F = papi = ε1ε = = 3 d1 1 m a) C C A 1 1 m C C 6 8,854 8,854 1 F/m 3C 6,56 1 F = steklo = ε ε = = 3 1 = d 1 m 1/16 DK

104 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Nadomestna kapacitivnost je CC 1 C13C1 3 1 C1 = = = C1 = 6,645 1 F/m, C1+ C C1+ 3C1 4 toej je naboj na skupni vezavi Q1 = C1U = 6,645 nc Ta naboj je tudi enak naboju na kondenzatoju C 1, zato je Q1 U1 = = 75 V in C 1 U = U U1 = 5 V b) Elektična poljska jakost v papiju je: U1 75 V E1 = = = 37,5 kv/m, v steklu pa d mm E U 5 V 1,5 kv/m = = = d mm c) Iz Q Q sledi CU ε E 1 = 1 1 CU 1 1 A A = ozioma ε 1 ε E 1 d 1 = ε ε E d, od kode je d d 1 = ε E Polje na meji med dielektikoma ima skok, je toej nezvezno Polje v dielektiku z manjšo dielektičnostjo je večje od polja v dielektiku z večjo dielektičnostjo 1 Kolikšno je povečanje kapacitivnosti ob vstavitvi dielektika? Večina plinov ima vednosti dielektičnosti okoli 1, med 1 in 1,1 in pebojno tdnost okoli 3 MV/m, medtem, ko imajo običajni izolatoji elativne dielektičnosti med in 1 in pebojne tdnosti od nekaj do nekaj sto MV/m Plin elativna dielektičnost bez enot pebojna tdnost MV/m vodik 1,7 suh zak 1,58 3 CO 1,99,9 Tekočine in izolatoji elativna dielektičnost pebojna tdnost v MV/m papi,3 etanol 3,7 16 voda (destiliana) 81 olje -5 guma 3 silicij 11 /16 DK

105 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Fizikalna azlaga spemembe kapacitivnosti ob upoabi dielektika 1) Ploščni kondenzato naelekten s postim nabojem med ploščama Vzemimo, da imamo med elektodama ploščnega kondenzatoja posti naboj, toej ± Qposti Med plošči vstavimo dielektik Pozitivni in negativni naboji na ploščah delujejo s silo na naboje v dielektiku tako, da se le ti peazpoedijo To peazpoeditev nabojev lahko ponazoimo z modelom dipola Dipoli se usmeijo v sme polja (navo M = p E je enak nič, ko sta vektoja vzpoedna), pi čeme je potebno upoštevati, da so negativni poli dielektika bližje pozitivni elektodi Polje med ploščama je vsota pispevkov vseh nabojev, tistih na ploščah kondenzatoja in ločenih nabojev (dipolov) v dielektiku med ploščama Dipoli so nanizani v veigi, kje se minus pol enega dipola kompenzia s plus polom naslednjega dipola Tako lahko smatamo, da se znotaj dielektika kompenziajo naboji dipolov, ostane pa na povšini nekompenzian naboj, ki pa je naspotnega pedznaka kot posti naboj na plošči Ti nekompenziani (vezani) naboji povzočajo polje, ki je naspotno usmejeno od polja, ki je povzočil polaizacijo Zato se polje med ploščama ob vstavitvi dielektika pi konstantnem naboju zmanjša Posledično se zmanjša tudi napetost Q med ploščama U = E dl Ke pa je kapacitivnost določena kot C =, se ob zmanjšanju U napetosti med ploščama in konstantnem postem naboju na ploščama kapacitivnost poveča Ob vložitvi dielektika med naelekteni plošči pi konstantnem (postem) naboju bo toej: Q C = U SLIKA: Naboj na ploščah kondenzatoja polaizia snov med ploščama, ka pikažemo s keianjem dipolov ) Ploščni kondenzato pi piključeni fiksni napetosti med ploščama Kako pa azložimo enako povečanje kapacitivnosti pi vložitvi dielektika med plošči začnega kondenzatoja ob konstantni napetosti? Tudi v tem pimeu si zamislimo, da se na elektodah zaadi napetosti nakopiči določen naboj Ko pa vstavimo dielektik, polje, vzpostavljeno med ploščama povzoči polaizacijo dielektika Zopet tako, da so negativni naboji dielektika v povpečju bližje pozitivnim nabojem na plošči Ti polaiziani naboji bi ob ohanjeni količini naboja na ploščama povzočili zmanjšanje polja in zmanjšanje napetosti med ploščama Ke pa je zunanja napetost vsiljena, piteče ob fiksni napetosti na elektodi dodaten naboj, ki kompenzia polaizian naboj Tudi v tem pimeu se toej poveča kapacitivnost, saj se poveča količina postega naboja na ploščah kondenzatoja Q Ob vložitvi dielektika pi konstantni napetosti bo: C = U 3/16 DK

106 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 SLIKA: Povečanje kapacitivnosti ob vložitvi dielektika v začni kondenzato na konstantni napetosti Vpeljava koncepta vektoja polaizacije Elektični dipolni moment smo že spoznali Definian je kot p = Qd Ugotovili smo, da na dipol v polju deluje navo M = p E V dielektiku, ki ga postavimo v polje se ustvaijo in usmeijo dipoli Vpeljemo pojem vektoja polaizacije, ki je določen kot postoska gostota dipolskih momentov: p dp P = = i i lim v v dv Cm C Enota za vekto polaizacije je = 3 m m Zakaj vpeljati nov vekto? Zopet imamo poblem, da je sice smiselno vpliv polja na dielektik ponazoiti z množico dipolov, ke pa je v snovi zelo veliko molekul in toej veliko dipolov, je potebno njihovo skupno delovanje pedstaviti na pimeen način Vekto polaizacije je toej makoskopski model in ponazaja povpečno delovanje velike množice dipolnih momentov v majhnem volumnu Na podoben način smo se lotili tudi obavnave naboja: s konceptom gostote naboja Povšinska gostota polaizianega naboja Vzemimo pime enakomeno polaizianega valja povšine A Na povšini je vezan (polaizian) naboj velikosti QP = P A V pimeu, da sme vektoja polaizacije ni v smei nomale na povšino je potebno upoštevati le nomalno komponento vektoja polaizacije = P A, če pa tudi ni enakomeno poazdeljen polaizian naboj pa Q = P da QP n Enako kot o gostoti postega povšinskega naboja lahko»govoimo«tudi o gostoti polaizianega (vezanega) povšinskega naboja, ki je enaka ka nomalni komponenti vektoja polaizacije na povšini: σ = P Pn P A SLIKA: Polaizian naboj v volumnu Na povšini je nomalna komponenta vektoja polaizacije neka gostoti povšinskega polaizianega (vezanega) naboja 4/16 DK

107 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Polaizian (vezan) naboj po zaključeni povšini dobimo z integacijo nomalne komponente vektoja polaitacije po celotni povšini: Q,zunaj = P da Ke ta naboj ni nujno enak nič, P ostane ob polaizaciji znotaj zaključene povšine povšinski polaizian naboj, ki je enak Q P,znotaj = P da A Ta naboj je potebno azlikovati od naboja, ki se»posto«giblje po pevodni povšini, saj je ta naboj vezan v snovi Lahko se giblje venda le omejeno, koliko se pač lahko giblje dipol A A Povezava med E in P Elektična susceptibilnost Ko dielektik postavimo v polje se naboji v snovi peazpoedijo - polaiziajo Ta peazpoeditev je lahko večja ali manjša, odvisno od lastnosti mateiala Peazpoeditev naboja pedstavimo z modelom elektičnih dipolov ozioma njihove gostote z vektojem polaizacije P Za mnogo snovi velja, da povečanje polja povzoči soazmeno povečanje polaizacije, ka matematično zapišemo kot: P= χε E Spomnimo se, kaj je ε E Na povšini polpevodnika je bil ε E enak povšinski gostoti naboja Konstanto χ (chi) imenujemo elektična susceptibilnost in»govoi«o odzivnosti snovi na elektično polje Je bezdimenzijska konstanta V vakuumu je toej χ enaka nič, saj tedaj ni polaizianega naboja Dielektik imenujemo lineaen, če susceptibilnost ni odvisna od velikosti polja (napetosti), homogen, če je neodvisen od pozicije in izotopen *, če je neodvisen od smei polja Vekto gostote elektičnega petoka - D Vzemimo, da imamo zunanje elektično polje E, ki ga vzpostavimo z zunanjimi vii V tako polje vstavimo dielektik Dielektik se polaizia, ka ponazoimo z vektojem polaizacije ozioma z peazpoeditvijo polaizianih nabojev in povzočijo dodatno polje E P To polje običajno deluje v naspotni smei polja, ki je povzočilo polaizacijo in zato se sumano polje zmanjša E = E + E P SLIKA: Supepozicija zunanjega polja in polja polaizianih nabojev * Anizotopen mateial ima azlično dielektičnost (susceptibilnost) v azličnih smeeh V tem pimeu bo polaizacija v vsaki smei dugačna Polaizacija v smei X osi bo toej enaka P = E + E + Podobno zapišemo za ostale smei V tem pimeu susceptibilnost ni več x ε χxx x εχxy y εχxze z skalana količina, pač pa jo moamo pedstaviti kot tenzo (v obliki matike) 5/16 DK

108 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Poglejmo, ali lahko upoštevamo Gaussov zakon in duge že znane ugotovitve Spoznali smo Q že potencialnost elektostatičnega polja: E dl =, pa tudi Gaussov zakon E da= L A ε Pvi integal je po zaključeni poti, dugi pa po zaključeni povšini Q je naboj, ki je zaobjet z integacijo Pvi se ne spemeni tudi, če ge del poti skozi dielektik, medtem, ko se dugi spemeni, saj je potebno upoštevati, da z integacijo polja po zaključeni povšini ne zajamemo le posti naboj pač pa tudi ujetega, polaizianega Ugotovili smo že, da je količina tega ujetega naboja po zaključeni povšini enaka Q,znotaj = P da, toej moamo Gaussov zakon zapisati v obliki Q Q posti, znotaj A P, znotaj A E da= +, ε A ε ka lahko zapišemo tudi kot A ε E da+ P da= Q osti, p A znotaj A ε E+ P da= Q ( ) A posti, znotaj A Zgodovina elektotehnike je dopinesla še eno veličino (lahko smatamo tudi dvopomensko), ki v osnovi izhaja iz gonjega zapisa JC Maxwell je nameč vpeljal vekto D, ki ga imenujemo vekto gostote elektičnega petoka in je definian kot D = ε E + P Enota vektoja D je C/m, enako kot gostota naboja na povšini pevodnika V osnovi je vekto D na povšini enak povšinski gostoti naboja, je pa za azliko od povšinskega naboja definian tudi povsod po volumnu S pomočjo tega vektoja lahko zapišemo zgonjo enačbo v obliki A D da= Q, posti, znotaj A ki ga lahko imenujemo modifician Gaussov zakon Z besedami bi ekli, da je petok vektoja D skozi zaključeno povšino enak zaobjetemu postemu naboju Odlika tega zapisa je pedvsem ta, da je zapis neodvisen od vplivov snovi na vekto D Ta vekto je izključno odvisen od lege postih nabojev, to pa so tisti, ki jih običajno vzpostavimo z zunanjim poljem S tem si bistveno olajšamo upoštevanje vplivov dielektika P A 6/16 DK

109 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Zveza med D in E Zdužimo enačbi D = ε E+ P in P = χε E in dobimo D = ε E + P = ε E + χε E = (1 + χ ) ε E = ε ε E Ponovimo pomembno zvezo med E in D: = E = εe D ε ε, kje ε imenujemo elativna dielektična konstanta Povezava med elektično susceptibilnostjo in elativno dielektično konstanto je peposta: ε = 1+ χ Zveza med D in P Če smo ugotovili enostavno zvezo med D in E, velja seveda tudi enostavna zveza med D in P, ( ε 1) ε saj velja ( ) D ( ε 1) P = χε E = ε 1 ε E =, toej P= D εε ε Pime: Vzemimo ploščni kondenzato povšine plošč 1 cm in ga piključimo na napetost V Vmes stisnimo mm debel list papija z elativno dielektično konstanto Določimo naboj na povšini, povšinsko gostoto naboja, vekto gostote petoka, vekto polaizacije, elektično poljsko jakost in kapacitivnost Izačun: Izačuna se lahko lotimo na več načinov Običajni postopek je tak, da najpej določimo D, ki ni odvisen od snovi, potem E, nato U, itd V ploščnem kondenzatoju velja: DdA = Q DA= σ A D= σ A D σ E = = ε εε d posti, znotaj σ U = Edx = Ed = d, ε ε od kode sledi: σ 9 = D = 177, 8 1 C/m, U V 1 kv/m 9 E = = =, D = εε E = 177,8 1 C/m, d mm ( ε 1) 1 D 9 P= D= D= = 88,54 1 C/m ε Sigma, ki smo jo izačunali je gostota povšinskega naboja D je enak sigmi, venda je D definian povsod v postou, sigma pa le na povšini Ke obavnavamo pime ploščnega kondenzatoja je D povsod enako velik Ke je nomalna komponenta P-ja na povšini enaka 9 povšinski gostoti polaizianega naboja, je σ P = P = 88,54 1 C/m Postega naboja na povšini plošče je x več od polaizianega povšinskega naboja, toej, vsaki dugi naboj posti naboj ima svoj naspotni polaizian naboj Pi dielektikih z veliko elativno dielektičnostjo bo P ka enak D 7/16 DK

110 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 SLIKA: Ploščni kondenzato z dielektikom Pi konstantni napetosti je polje v dielektiku neodvisno od dielektika in je enako U V E = = = 1 kv/m Zato pa bo v pimejavi z zakom potebna gostota naboja, ki bo d mm vzdževala to polje v dielektiku večja kot v pimeu, če med ploščama ni dielektika (je le σ U zak), saj velja E = σ = εεe = εε Ko bomo vstavili dielektik, se bo povšinska εε d 9 9 gostota naboja povečala za x: od 88,54 1 C/m na 177,8 1 C/m Razlika je avno posledica polaizacije, ki na povšini dielektika vzpostavi povšinsko gostoto polaizianega 9 naboja (naspotnega pedznaka kot posti naboj) velikosti 88,54 1 C/m Če pa imamo konstantno gostoto naboja, se bo polje po vložitvi dielektika med plošči σ zmanjšalo za ε : E =, toej na 5 kv/m To pomeni, da se bo zmanjšala tudi napetost in ε ε sice na 1 V Pime: Nekoliko dugačne pa bodo azmee, če bomo med plošči kondenzatoja vstavili dielektik, ki bo le delno zapolnil vmesni posto Vzemimo, da v začni kondenzato, ki je piključen na napetost V in ima mm azdalje med ploščama potisnemo 1 mm debel kos papija SLIKA: Ploščni kondenzato z dvema dielektikoma Izačun: D bo neodvisen od dielektikov in bo povsod konstanten Spemenilo pa se bo polje, D D ki bo E = v dielektiku (papiju) in E = v zaku Da bi določili vednosti polja ε ε ε moamo zapisati še napetost, ki bo 8/16 DK

111 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 d D D d1 d U = Edx= d1+ d = D + εε ε εε ε U V 9 D = = = 118, 53 1 C/m d 1mm 1 1 d εε ε ε D Toliko je tudi povšinska gostota naboja Elektično polje je toej E = = 6,667 kv/m v εε dielektiku (papiju), v zaku pa je x večje: 13,33 kv/m Gostota polaizianega povšinskega naboja na meji med papijem in ploščo in papijem in zakom je enaka D/ Reševanje pimea s pomočjo kapacitivnosti: d1 d 1 1 U = Q + = Q + Iz te zveze lahko določimo naboj na povšini, iz Aεε Aε C1 C Q Q znanega naboja napetost na papiju in v zaku: U1 = in U = Nato iz znanih napetosti C 1 C U1 U določimo polji: E1 = in E = d d 1 Na meji med dvema dielektikoma, v našem pimeu med papijem in zakom je skokovit pehod polja Ke je D enak v obeh medijih bo veljalo: ε 1εE1= εεe To je mejni pogoj za pehod med dvema dielektikoma, ki velja splošno, venda le za tisto komponento polja, ki je pavokotna na mejo Pime: Vzemimo pime dvoplastnega koaksialnega kabla, ki ga želimo dimenzioniati za delovanje na napetosti kv Pva, notanja plast je iz gume z elativno dielektičnostjo 3,, duga pa iz polistiena z ε =,6 Pebojna tdnost gume je 5 kv/mm, polistiena pa kv/mm Koaksialni kabel polmea žile 4 mm želimo dimenzioniati tako, da maksimalno polje v dielektikih ne peseže 5% pebojne tdnosti Določiti moamo debelino obeh dielektikov, toej adij do plasti polistiena P in zunanji adij Z Izačun: Pi vzpostavljeni napetosti kv imamo na žili +q naboj, na oklopu pa q Da bi določili polje v enem in dugem dielektiku, se poslužimo Gaussovega stavka za vekto D, ki je neodvisen od dielektikov Za poljubni adij med notanjim in zunanjim dobimo q q D D D () = ozioma D= ed() = e Polje v dielektikih dobimo iz zveze E = =, π π ε εε toej bo polje v plasti gume D q E = = e, ε ε πε ε g g v plasti polistiena pa D q E = = e ε ε πε ε p p 9/16 DK

112 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Maksimalno polje v gumi ne sme peseči 5% pebojne tdnosti, ka zapišemo kot 6 6 E = 5% E =,5 5 1 V/m = 6,5 1 V/m, max, guma peb, guma za polistien pa bo veljalo 6 6 E = 5% E =,5 1 V/m = 5 1 V/m max, poli peb, poli Polje bo maksimalno pi čim manjšem adiju, toej pi q 6 Emax, guma = = 6,5 1 V/m πε ε in E max, poli g n q = = 5 1 πε ε p p 6 V/m Če enačbi delimo, lahko določimo p : ε g 6,5 p = n =,6 cm ε 5 p Lahko tudi določimo linijsko gostoto naboja, ki bo q= πε ε 6,5 1 6 V/m = C/m g n Peostane nam še, da določimo potebno debelino plasti polistiena, za ka pa potebujemo še eno enačbo, ki jo dobimo iz enačbe za napetost Integiati je potebno polje od notanjega do zunanjega adija, pi čeme pa se polje spemeni med dvema dielektikoma Zato je potebno ločiti integal v dva, enako, kot da bi zapisali celotno napetost kot vsoto padcev napetosti v gumi in v polistienu Tako dobimo z p z U = E dl = U + U = Egume dl+ E poli dl n p z q q U = e ed e e + d πε ε = πε ε n gume poli n g p p p q p q z U = ln + ln πεgε n πεpε p V gonji enačbi je edina neznanka zunanji polme, ki jo določimo z vstavitvijoi vednosti in dobimo,77 cm SLIKA: Dvoplastni koaksialni kabel 1/16 DK

113 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Mejni pogoji Posedno smo z obavnavo polja v dveh stikajočih se dielektikih že spoznali Ugotovili smo, da na meji med dvema dielektikoma z azličnima dielektičnostima pide do nezveznega pehoda (skoka) elektičnega polja V tem poglavju želimo spoznati splošne zakonitosti pehoda polja iz enega medija v dugega Izpeljemo jih iz Gaussovega zakona in zakona o potencialnosti (konzevativnosti) elektostatičnega polja Mejni pogoj za nomalno komponento polja Mejni pogoj za nomalno (pavokotno) komponento dobimo iz Gaussovega zakona: A D da= Q posti,znotaj Zamislimo si povšino med dvema dielektikoma in kocko, katee stanice stiskamo v smei meje Ke moamo ačunati D skozi zaključeno povšino (ven iz povšine) bomo pisali: D1 da D da= σ posti da ali tudi e D D = σ ( ) n 1 posti ali tudi D1n Dn = σ posti Enotski vekto kaže iz dielektika z indeksom v dielektik z indeksom 1 Če je povšinska gostoto postega naboja na meji dveh dielektikov enaka nič, velja D1n = Dn ali tudi ε1e1n = ε En Če poznamo nomalno komponento polja na meji na eni stani dielektika, z lahkoto izačunamo nomalno komponento na meji v dugem dielektiku SLIKA: Pehod nomalne komponente polja Mejni pogoj za tangencialno komponento polja Potebujemo še mejni pogoj za komponente polja, ki so vzpoedne (tangencialne) z mejo Tu upoabimo zakon potencialnosti polja: L E dl = Vzemimo pavokotnik na meji dveh dielektikov in ga stiskajmo v smei meje Integal polja bo imel tako le komponenti v smei meje tangencialni komponenti Veljalo bo toej: E l E l = E = E 1t t 1t t 11/16 DK

114 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 E 1t = Et SLIKA: Pehod tangencialne komponente polja Zdužimo obe enačbi v»lomni zakon«če na meji dveh dielektikov ni povšinskega (postega) naboja, velja: E 1t ε E = E t = ε E 1 1n n Če enačbi delimo med sabo, dobimo: 1 E1t 1 Et = ε E ε E 1 1n n 1 1 tan( α ) = tan( α ) ali ε 1 1 ε tan( α1) ε1 = tan( α ) ε α je vpadni kot med nomalo na povšino in smejo polja SLIKA:»Lomni zakon«polja na meji dveh dielektikov Pime: Homogeno polje 1 V/m je usmejeno pod kotom 45 o iz zaka v olje z ε = Izačunajte elektično poljsko jakost v olju in skiciajte vektoja polja na meji zak-olje Izačun: Ohanja se tangencialna komponenta, ki bo tudi v olju enaka E1 t = Et = 1 V/m Nomalna komponenta polja v olju pa se zmanjša za ½, saj velja E ε 1 1 = E = 1 V/m E = 1 n 1n 1n ε 1n t 79 V/m Absolutna vednost polja v olju pa je E = E + E Polje v olju se zmanjša, saj se zmanjša nomalna komponenta polja, tangencialna pa ostane enaka SLIKA: Lom polja na meji zak-olje 1/16 DK

115 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Polje na meji dielektika in kovine Poseben pime je meja dielektik - pevodnik Vzemimo, da označimo dielektik z indeksom 1, pevodnik pa z Pedhodno smo že ugotovili, da je elektostatično polje znotaj pevodnika enako nič: E = Ke velja E 1t = E t, bo tangencialna komponenta polja v izolatoju na meji z dielektikom enaka nič To pa obenem pomeni, da bo imelo polje v izolatoju na meji s pevodnikom le nomalno komponento, ki bo enaka D = σ ozioma, E 1n posti σ = E = ε 1 1n 1 Pišli smo do že znane ugotovitve, da je polje na povšini pevodnika pavokotno na povšino in soazmeno povšinski gostoti naboja Zapišimo še enkat tudi ploskovno silo na pevodnik: f σ = σ ε SLIKA: Polje na meji izolato kovina 13/16 DK

116 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 * Sila med dielektiki Zanimiv je tudi pime, ko želimo izačunati silo med dvema dielektikoma Pime je na pime sila na nevtalne dielektične delce v nehomogenem polju Zaadi azlične dielektičnost delca in medija deluje na delec sila, ki jo lahko določimo z integacijo ploskovne sile na delec Bez izpeljave zapišimo ezultat, ki bo ε ε 1 D n f = Et + ε1ε Sme te ploskovne sile je v smei postoa z manjšo dielektičnostjo Tako je mogoče dielektične delce usmejati z vzpostavitvijo elektičnega polja med dvema ali več elektodami Delci se nabeejo tam, kje je polje največje na ostih obovih elektod ali pa na mestih, kje je elektično polje najmanjše Dodatno kontolo nad gibanjem delcev nam ponuja vzbujanje z izmeničnim signalom Dielektične lastnosti snovi (elativna dielektičnost) se s fekvenco signala speminja, ka omogoča manipulacijo delcev z elektičnim poljem V Laboatoiju za bioelektomagnetiko smo skupaj z Laboatoijem za mikosenzoske stuktue in Laboatoijem za biokibenetiko načtali in izdelali stuktue za manipulacijo bioloških celic s pomočjo dielektofoeze Če je elektofoeza pojav, v kateem izkoiščamo silo na naelektene delce, je dielektofoeza pojav, kje izkoiščamo silo na dielektične (elektično nevtalne) delce SLIKA: Manipulacija bioloških celic z elektičnim poljem Celice se koncentiajo na mestu najmanjšega polja, ki je v sedini in na povšini elektod Razdalja med elektodama je 5 µm Na desni sta pikazana modula z izdelanimi mikostuktuami Mikostuktue so izdelane s polpevodniško tehnologijo na Pyex steklu z dvoslojno metalizacijo Delovanje dielektofoeze smo ugotavljali tudi pi ekspeimentu s semenkami v enosmenem polju Semenke so iz dielektika in se usmeijo v sme polja, ke pa so v dovolj gostem mediju, se težje posto gibljejo Potebovali bi še večjo silo, da bi pemagali silo viskoznosti Smo pa opazili značilnost veiženja, ki jo opazimo tudi pi celicah na mikostuktuah Poleg tega so pazljivi lahko opazili, da se giblje tudi olje v kateem so bile semenke Tudi na molekule olja (dielektik) deluje sila, ki jih pemakne v smei elektod SLIKA: Veiženje celic pi pojavu dielektofoeze 14/16 DK

117 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 PRIMERI: Pime kolokvijske naloge z dne 1111: Nalogo bi lahko ešili tudi z upoabo lomnega zakona tan( α1) ε = 1, pi čeme pa bi moali tan( α ) ε paziti, da je kot alfa definian glede na nomalo in ne na mejo, toej je α 1 = 9 6 = 3 in = ε = 1 =, od kode je in α 54, ϕ = 35,8 tan( α) tan( α1) tan(3 ) 1,386 ε 1 5 Pime kolokvijske naloge 1713 (UNI): 15/16 DK

118 DIELEKTRIK(1)doc Dec-7 Vpašanja za obnovo: 1 Kako je definiana elativna dielektičnost in kaj pomeni? Kolikšne so tipične vednosti elativne dielektičnosti? 3 Kakšna je fizikalna azlaga spemembe kapacitivnosti ob upoabi dielektika pi a) konstantnem naboju med ploščama kondenzatoja in b) pi konstantni napetosti med ploščama? 4 Kako je definian vekto polaizacije? 5 Čemu je enak vekto polaizacije na povšini dielektika? 6 Kakšna je povezava med elektično poljsko jakostjo in vektojem polaizacije? 7 Kako je definian vekto gostote elektičnega petoka? Zakaj je njegova vpeljava koistna (potebna)? 8 Kakšna je zveza med gostoto elektičnega petoka in jakostjo polja? 9 Dobo pouči pimee nalog 1 Mejni pogoj za nomalno komponento polja 11 Mejni pogoj za tangencialni komponenti polja 1 Lomni zakon 13 Polje na meji dielektika in kovine 16/16 DK

119 Enegija()doc Dec-7 Enegija Vsebina poglavja: Ponovitev dela in potenncialne enegije, enegija naboja pi peletu polja, potencialna enegija sistema nabojev, elektična enegija v polju kondenzatoja, enegija sistema poazdeljenih nabojev, gostota enegije, enegija pi gibalnih pocesih sila Ponovitev: delo elektičnih sil, potencialna enegija, napetost in potencial V tem poglavju bomo ponovili določena spoznanja iz poglavja 1 (Delo in enegija) in jih nadgadili s celostnim pogledom na pojem enegije v elektostatiki V poglavju 1 smo spoznali, da je delo elektičnih sil potebno za pemik naboja Q iz točke T 1 v točko T T T Ae = A1 = Fe dl = Q E dl T1 T1 Elektična napetost je enaka delu, ki jo enota pozitivnega naboja (1 C) opavi pi pemiku iz točke T 1 v točko T T A e U = = E d Q l T1 Hkati smo ugotovili, da je potencialna enegija naboja enaka delu, ki ga opavi zunanja sila pi penosu iz oddaljenosti (kje je njegov potencial enak nič) do mesta, kje se nahaja Enakovedno lahko ečemo, da je ta enegija enaka delu elektičnih sil za pemik z mesta, kje se nahaja do neskončnosti (kje je potencial enak nič): WT ( ) = Ae ( T T ) Ta definicija pa je hkati definicija potenciala, le da je definiana s potencialno enegijo enote ( ) e naboja: ( ) ( ) T V= A T VT = = Edl Q T Q Potencial na azdalji od osamljenega točkastega naboja Q je V() = 4πε Da bi na azdaljo od naboja Q pipeljali naboj Q bi toej potebovali enegijo Q W = QV = Q 4πε SLIKA: Delo elektičnih sil in potencialna enegija Enegija posameznega naboja pi peletu elektičnega polja Če se v elektičnem polju giblje le en naboj, se njegova potencialna enegija poveča ali zmanjša za W = Q V = QU Tak pime je na pime gibanja elektona v elektičnem polju Če peleti elekton v smei polja napetost kv, se bo njegova kinetična enegija povečala na ačun zmanjšanja potencialne za W = QU = 1,6 1 As kv = 3, 1 J Pogosto namesto enote Joule pi zapisu 1/1 DK

120 Enegija()doc Dec-7 enegije delcev upoabljamo enoto elekton-volt, kje je 1 ev = 1, J V tem smislu je kinetična enegija delca po peletu polja kv enaka 1 3 ev ali kev SLIKA: Enegija naboja pi peletu polja Potencialna enegija sistema točkastih nabojev Vzemimo, da imamo posto bez nabojev in toej bez elektičnega polja Če želimo v ta posto penesti naboj, moamo opaviti delo V elektičnem smislu za penos pvega naboja (Q 1 ) ni potebno vložiti nič dela, saj ni nobene elektične sile na ta delec Ko pa želimo v njegovo bližino penesti naboj Q, moamo za to opaviti delo, ki bo QQ 1 A = 1 QE dl =, 4πε T1 1 kje je 1 azdalja med nabojema Q 1 in Q SLIKA: Elektenje postoa z vnašanjem nabojev Ko penašamo tetji naboj, moa ta pemagovati dvoje sil, tako na naboj Q 1, kot na naboj QQ 1 3 QQ 3 Q Toej potebujemo opaviti delo 4πε πε, kje sta 1 in 3 azdalji med 3 nabojema Q 1 in Q 3 te Q in Q 3 In tako dalje To delo se shani v obliki potencialne enegije v pozicijah delcev Potencialna enegija sistema teh nabojev je toej QQ 1 QQ 1 3 QQ 3 W = + + 4πε 4πε 4πε Zapišimo to vsoto nekoliko dugače: 1 Q Q 3 1 Q1 Q 3 1 Q1 Q W = Q1 + + Q + + Q3 + 4πε 4πε 4πε 4πε 4πε 4πε Ugotovimo, da so vednosti v oklepajih enake potencialom V 1, V in V 3, kje je V 1 potencial na mestu naboja Q 1, ki ga povzočata naboja Q in Q 3 Enačbo toej lahko zapišemo v obliki: W = QV 1 1+ QV + Q3V 3 /1 DK

121 Enegija()doc Dec-7 Očitno bi lahko za sistem n nabojev zapisali potencialno enegijo v obliki: W = QV 1 1+ QV + QV QV, n n ozioma na katko W n 1 = QV i i, i= 1 kje je V i je potencial na mestu naboja Q i in ga zapišemo kot vsoto: V i n 1 Q j =, 4π ε j= 1 i j ij kje so ij azdalje med nabojem Q i in Q j Pime: Določimo enegijo sistema teh enako velikih nabojev Q = nc, ki se nahajajo v ogliščih enakostaničnega tikotnika stanice a = 1 cm SLIKA: Sistem teh nabojev v ogliščih enakostaničnega tikotnika Izačun: Ke so naboji enako veliki in simetično azpoejeni, je tudi potencial na vseh mestih nabojev enako velik Na mestu naboja Q 1 je enak: 3 1 Q j 1 Q Q3 Q V1 = 4π ε = j 1 4π ε + = a a 4π ε a Enegija sistema bo toej = ij i j Q 3Q W = QV QV + QV = QV Q = 4πε a = 4πε a, in številčno 9 ( ) 3Q 3 1 C 9 V m W = = 9 1 = 18 µj 4πε a A s,1m Pime: Koliko dela moamo vložiti za pemik naboja iz enega oglišča v sedino med duga dva naboja? Izačun: Vzemimo zgonji naboj (označen kot Q 3 ) in ga pemaknimo med Q 1 in Q Delo T bi lahko določili iz osnovne fomule za izačun dela, toej kot A = Q E l, kje je E e d T1 polje na mestu naboja Q Izačunati bi moali polje na mestu naboja (ka v konketnem 3/1 DK

122 Enegija()doc Dec-7 pimeu ne bi bilo avno zahtevno) in ga integiati po poti Še bolj enostavno pa je določiti delo iz azlike potencialnih enegij sistema ped in po pemiku: A T T = W T W T = W W ( 1 ) ( 1) ( ) začetna končna Enegijo v začetni legi smo že določili, peostane še izačun v končni legi W(T ) W( T) = Wkončna = QV 1 1+ QV + QV 3 3 = QV 1 1+ QV 3 3 = Q Q 1 Q1 Q 3Q Q 5Q = Q1 + + Q3 + = + = 4πε a 4π εa/ 4π εa/ 4π εa/ 4πεa 4πεa 4πεa Enegija sistema se bo po pemiku očitno povečala, toej bo delo negativno To pomeni, da ga bodo moale opaviti zunanje sile To delo bo enako 3Q 5Q Q A = = = 7 µj 4πε a 4πε a 4πε a Enegija v polju kondenzatoja Tako kot smo potebovali določeno enegijo, da smo v posto pipeljali naboje, je potebna določena enegija, da naelektimo kondenzato V najpepostejši obliki si lahko kondenzato pedstavljamo ka kot dve pevodni telesi Med njiju piključimo vi napetosti in povečujmo napetost Z večanjem napetosti med telesoma, se povečuje tudi naboj na telesoma Pač skladno z enačbo Q = CU Vzemimo sedaj (difeencialno) majhen naboj dq in ga pemaknimo iz enega telesa na dugega, pi čeme je napetost med telesoma U Spememba enegije bo enaka dw = dq U Napetost lahko izazimo tudi z Q nabojem in kapacitivnostjo, tako da je difeencial enegije enak dw = dq Celotno C enegijo, ki smo jo pidobili z elektenjem kondenzatoja dobimo z integacijo naboja od začetnega (), do končnega Q končni : Q končni Q W = dq= C Q končni C SLIKA: Elektenje kondenzatoja in gaf povečevanja naboja na kondenzatoju z večanjem napetosti med elektodama To je enegija v naelektenem kondenzatoju, ki jo lahko izkoistimo v azlične namene Ni pa nujno, da je to tudi celotna enegija, ki jo lahko koistno upoabimo Del enegije se 4/1 DK

123 Enegija()doc Dec-7 ob azelektitvi lahko poabi tudi znotaj kondenzatoja (bateije) - na njeni notanji uponosti Enačbo lahko s pomočjo zveze Q Q CU QU W = = = C = CU zapišemo tudi v obliki Pime: Določimo enegijo v začnem ploščnem kondenzatoju kapacitivnosti nf, ki je piključen na enosmeni vi napetosti 6 V Za koliko pocentov se spemeni enegija shanjena v kondenzatoju, če azdaljo med ploščama azpolovimo? Izačun: Elektična enegija shanjena v kondenzatoju je CU nf (6 V) W = = = 36 µj Iz enačbe za kapacitivnost ploščnega kondenzatoja A C = ε ugotovimo, da zmanjšanje azdalje med ploščama za polovico pedstavlja d zvečanje kapacitivnosti za x, ka pomeni, da se bo enegija povečala za x, na 7 mj, toej za 1% Dodatno: Za koliko pocentov se bo spemenila enegija v kondenzatoju, če ped zmanjšanjem azdalje med ploščama kondenzatoja za polovico odklopimo kondenzato od via napajanja? Izačun: Sedaj se ohanja naboj, ki ga je ped odklopom Q = CU = nf 6 V = 1, µc, enako pa tudi po peklopu, saj se naboj ohanja Toej bo ob x večji kapacitivnost ob Q (1, µc) pemiku enegija enaka W = = = 18 µj Enegija v kondenzatoju se bo C nf očitno zmanjšala za x Zakaj? Med pozitivno in negativno naelekteno ploščo deluje sila, ki plošči pivlači Če ne bi delovale duge sile (težnosti, lepenja), bi se plošči zdužili, naboji bi se azelektili in enegija bi se petvoila v dugo obliko (ecimo toplotno) Toej se enegija sistema manjša z zmanjševanjem azdalje med elektodama Dodatno: V začni kondenzato vstavimo dielektik z elativno dielektično konstanto 1 Za koliko se poveča enegija v kondenzatoju pi ohanitvi piključene napetosti 6 V ali pi konstantnem naboju 1, µf A Izačun: V skladu z izazom C = εε se kapacitivnost kondenzatoja poveča za 1x V d skladu s tem se enegija v kondenzatoju pi piključeni napetosti poveča za 1x, v pimeu konstantnega naboja pa se zmanjša za 1x Vpašanje: Kako azložimo povečanje oz zmanjšanje enegije pi vstavitvi dielektika? SLIKA: Enegija v kondenzatoju z dielektikom in bez dielektika 5/1 DK

124 Enegija()doc Dec-7 Dodatno: Koliko je enegija v kondenzatoju, če pi piključeni napetosti vstavimo vanj dielektični listič debeline, ki je enaka polovici azdalje med elektodama in ima elativno dielektičnost 6? A Izačun: Spemeni se kapacitivnost C = ε in sice tako, da imamo sedaj zapoedno d A A vezavo dveh kapacitivnosti Czaka = ε in Cdiel = εε, toej je Cdiel = 6 Czaka in d / d / Cdiel Czaka 6Czaka Czaka nadomestna kapacitivnost Cnad = = = Czaka = C = C Cdiel + Czaka 6Czaka + Czaka Kapacitivnost kondenzatoja je po vložitvi dielektika pibližno x večja (za 1/7) od začetne kapacitivnosti Ke je piključena napetost fiksna, bo enegija po vložitvi lističa 1 CU večja od pvotne za 1/7 in bo enaka W = 7 = 61,71 mj Ped vložitvijo dielektičnega lističa pa je bila enegija v kondenzatoju 36 µj Zakaj se je enegija povečala? Ko vstavimo dielektik med plošči kondenzatoja, se na povšini kondenzatoja poveča naboj (ki pide iz via), ki kompenzia zmanjšanje polja v dielektiku zaadi polaizacije dielektika Dodatno: Kaj pa, če ped vstavitvijo dielektika odklopimo vi? V tem pimeu se bo na ploščama kondenzatoja ohanil naboj (ne bo se povečal), kapacitivnost pa se bo povečala kot smo že izačunali za 1/7 Enegija pa se bo posledično zmanjšala, ka Q sledi iz W =, toej za 7/1 1 C 7 Določitev kopacitivnosti iz enegije v kondenzatoju Pogosto se gonji izaz upoabi tudi za določitev kapacitivnosti Če toej znamo enegijo ob znani napetosti med elektodama v kondenzatoju določiti na nek dug način, potem W lahko izačunamo kapacitivnost iz C = U Enegija elektostatičnega sistema poazdeljenih nabojev Poslužimo se izaza iz pejšnjega odstavka, pi čeme zamenjamo napetost U za potencial V, ki je potencial na mestu difeencialno majhnega naboja dq: dw = dq V Z integacijo po vseh nabojih in upoštevanju potenciala na mestu teh nabojev je enegija elektostatičnega sistema enaka W = VdQ, po vseh Q-jih kje lahko pišemo tudi dq = ρ dv in W = V ρdv V el 6/1 DK

125 Enegija()doc Dec-7 Neodnost te enačbe je, da upoabljamo enak simbol za volumen in potencial Da bi to azmejili, smo v zadnji enačbi zapisali potencial kot V el Gostota enegije in enegija polja Do sedaj smo izačunavali elektično enegijo iz kapacitivnosti, naboja in napetosti Ke je vez med napetostjo in nabojem elektična poljska jakost, moa obstajati tudi povezava med enegijo in jakostjo polja Vzemimo pime naelektene kogle z nabojem Q, ki je na potencialu V Elektična enegija, potebna, da smo zbali skupaj ta naboj, je enaka 1 W = QV SLIKA: Enegija v polju naelektene kogle V tem smislu bi za postavitev dela naboja pi določenem potencialu potebovali enegijo 1 dw = VdQ dq lahko izazimo z upoabo Gaussovega zakona E da= d Q/ ε Difeencial enegije pa zapišemo v obliki 1 d W = V( ε Ed A) Poleg tega zapišemo difeencial potenciala kot d V = Edl, od kode lahko za difeencial enegije zapišemo dw = E d l( ε Ed A) in ke je difeencial volumna 1 1 enak dv = da dl je dw = EεEdV = εe dv Z integacijo po volumnu pa dobimo celotno enegijo sistema: W = E V 1 ε d V Izaz v integalu lahko pepoznam kot gostoto enegije in ga tako tudi poimenujemo te upoabimo simbol w: 1 w= εe Enota je enegija na volumen, toej J/m 3 Enačba za enegijo, ki smo jo zapisali, velja za polje v vakuumu oz zaku Če imamo polje v dielektiku, bi do izaza za enegijo pišli na podoben način, le z upoabo Gaussovega zakona za dielektike V tem smislu bi dobili za enegijo 1 W = εε E dv, Vol za difeencial enegije pa 1 7/1 DK

126 Enegija()doc Dec-7 w 1 = εε E Bolj splošen izaz, ki pa ga ne bomo izpeljevali je gostote enegije dw = E dd w= D E 1 ozioma za difeencial Pime: Določimo izaz za enegijo ploščnega kondenzatoja povšine plošč A in azdalje 1 med ploščama d z upoabo enačbe W = εεe V U Izačun: E =, d Vol V d V U W = εεe dv = εεe dv = εε V = d 1 U 1 U 1 A 1 εε A d εε A εε U C U = = = = d d d Dobimo seveda enak izaz kot smo ga že izpeljali za enegijio v polju kondenzatoja Razlika je le v tem, da znamo sedaj ugotavljati tudi enegijo shanjeno v elektičnem polju, izaženo z gostoto elektične enegije, ta pa je soazmena kvadatu elektične poljske jakosti Gibalni pocesi sila med na telesa 1) Pime gibalnih pocesov naelektenih teles bez piključenega via napetosti Vzemimo sistem dveh naelektenih teles z naboji +Q in -Q Enegija shanjena v QU elektičnem polju je enaka W e = Če dopustimo, da se eno od teles pemakne v smei dugega za neko majhno azdaljo dl, pi tem opavi delo da = Fe dl To delo se je opavilo na ačun zmajšanja elektične enegije sistema, saj moa veljati, da je vsota opavljenega dela in zmajšane elektične enegije enaka nič: dw + da= Če izazimo delo le v smei X, bo veljalo: F, dx = dw in toej ex e dwe Fex, = Če se azmee speminjajo tudi v dugih smeeh, je bolj koektno upoabiti dx pacialni odvod: We Fex, = x Enako lahko določimo tudi silo v dugih smeeh V splošnem je toej sila enaka We We We Fe =,, x y z e 8/1 DK

127 Enegija()doc Dec-7 SLIKA: Sila na naelekteno telo ) Pime gibalnih pocesov pi piključeni napetosti V tem pimeu je potebno v enegijsko bilanco vključiti tudi enegijo, ki pide ali se vne v vi Toej bo spemembe enegije polja in dela pemika enaka spemembi enegiji via: dw + F dl = da g, e e kje smo z da g označili spemembo enegije via Če se bosta telesi ob piključeni napetosti oddaljili za majhno azdaljo, bi se med njima povečala kapacitivnost, zato se bo tudi povečal naboj med telesoma za dq Ta naboj bo pišel iz via na ačun opavljenega dela da = dqu Zaadi povečanja naboja med telesoma se bo povečala tudi enegije v polju: ( ) Velja toej: U d Q + F e d l = d QU, toej je dqu F e d l = = d W e od kode sledi e U U U dwe = Q+ dq dq= d Q F e We We We =,, x y z Ugotovimo lahko, da se bo ob pemiku naboja v polju pi konstantni napetosti polovico dela geneatoja poabilo za pemik, duga polovica pa za gadnjo elektičnega polja Lahko pa je tudi obatno, da vi deluje kot poabnik, toej, da dobi enegijo iz gibalnega pocesa, na pime, če bi se naspotno naelektena naboja pibliževala Silo med telesi je najlažje določiti iz povezave med enegijo in kapacitivnostjo Pimei iz kolokvijskih in izpitnih nalog: Pime: Izpit (UNI) 311 Pime: Kolokvij 11 9/1 DK

128 Enegija()doc Dec-7 Vpašanja za obnovo: 1 Kolikšna je potencialna enegija naboja pi peletu elektičnega polja? Kako izačunamo potencialno enegijo sistema točkastih nabojev? 3 Kakšna je povezava med potencialno enegijo in delom elektičnih sil? 4 Kako določimo elektično enegijo v kondenzatoju? 5 Kako določimo elektostatično enegijo sistema poazdeljenih nabojev? 6 Kako je določena gostota enegije? 7 Izačun enegije iz gostote enegije 8 Kako določimo silo med naelektenima telesoma bez in z piključeno napetostjo? Pimei kolokvijskih in izpitnih nalog: izpit, 8 maec 5 izpit, 4 febua 5 izpit, 16 janua 7 Izpit, kolokvij, 17 1 Izpit, 9 5 Izpit, apila 5 izpit, 6 junij 1 1/1 DK

129 Kondenzato(3b)doc Jan-8 3 Kondenzato Vsebina poglavja: kondenzato kot napava za shanjevanje naboja, kot napava za shanjevanje elektične enegije, pomembne lastnosti kondenzatojev, aplikacije kondenzatojev Kondenzato kot napava za shanjevanje naboja Kondenzato je napava za shanjevanje naboja Večja kot je napetost med ploščama (elektodama), večja količina naboja se nakopiči na elektodah Konstanto soazmenosti imenujemo kapacitivnost: Q = CU Večja kot je kapacitivnost, več naboja lahko shanimo V začetnih aziskavah elektičnih pojavov pojma kondenzatoja niso poznali Naboje so ločevali z očno gnanimi elektostatičnimi napavami, ki so z inventivnimi načini ločevale naboje in jih Supekondenzato (ali ultakondenzato) podjetja Maxwell ima kapacitivnost 3 F in omogoča napetosti 75 V wwwmaxwellcom običajno kopičile na dveh ločenih pevodnih koglah Tipični pime je Whimshustov elektostatični geneato Če so bile kogle blizu, na pime ne več kot nekaj centimetov, je ob pimenih pogojih kopičenja naboja med koglama peskočila iska Toej je moala biti ob kogli dosežena peboja tdnost zaka Vzemimo ka skajni pime osamljene naelektene kogle polmea cm Peboja tdnost bo dosežena pi elektični poljski jakosti 3 MV/m, od Q kode izačunamo naboj pi peboju E = peb 4πε od kode sledi Q = 133,5 nc Napetost bo Q 6 tedaj V ( Epeb ) = = Epeb = 3 1 V/m, m = 6 kv Seveda duge elektode ne 4πε moemo imeti v neskončnosti, lahko pa je večjega polmea in dovolj daleč Vsekako večje napetosti od 6 KV ne moemo doseči Določimo lahko tudi kapacitivnost v pimeu, da je duga elektoda v neskončnosti C = 4πε n, pf To je pecej mala kapacitivnost Toej med elektodama v obliki kovinskih kogel ne moemo shaniti večje količine naboja Ta količina je omejena s pebojno tdnostjo Lahko pa povečamo polme kogle, kot smo to videli pi izgadnji Van de Gaffovih geneatoev, kje sta imeli kogli 7 MV geneatoja polmea 4,6 m Spodaj je del tabele iz Electical Engineeing Refeence Book, kje pa so podane pebojne napetosti med dvema sfeama enakega polmea Ugotovimo, da so pebojne napetosti seveda manjše, kot smo jo izačunali teoetično 1/1 DK

130 Kondenzato(3b)doc Jan-8 SLIKA: Inset tabele iz Electical Engineeing Refeence Book SLIKA: Kaskadno vezje za zvišanje napetosti, tipična upoaba do kv Cockoft- Waltonov CD geneato na ETH (Švica) 9kV/1mA Pve večje vednosti kapacitivnosti so dosegli z upoabo steklenice, tako imenovane Leidenske flaše, po kaju Leiden na Nizozemskem leta 1745 Zaslužen za inovacijo»flaše«je pofeso Piete van Musschenboek ( ) Hkati je do podobnih ugotovitev pišell tudi Ewald Geog von Kleist v Nemčiji Notanjost in zunanjost flaše je bila delno pekita s pevodnikom, steklenica pa je delovala kot dielektik Vzemimo hipotetičen pime steklenice pemea 8 cm s 3 mm debelo steno Znotaj /1 DK Piete van Musschenboek ( )

131 Kondenzato(3b)doc Jan-8 steklenice naj bo voda nalita do višine 15 cm, zunaj pa je pekita s pevodnikom (aluminijasto folijo) Relativna dielektičnost stekla naj bo 1 Kapacitivnost flaše je A π,8 m,15 m C ε ε = 1 ε = 74 pf 3 d 3 1 m V pimejavi s kapacitivnostjo kovisnke kogle je to že ka solidna kapacitivnost To veliko odkitje je pineslo tudi nekaj več pevidnosti pi upoabi Razelektitev naboja iz flaše z dotikom nameč ni več tako»nedolžna«je pa dopinesla k azvoju znanosti, saj je bilo šele z Leidensko flašo mogoče nakopičiti in shanjevati večjo količino naboja Naslednja pav tako pomembna in znamenita inovacija je bila Voltina bateija Volta je med dugim tudi pedlagal upoabo imena kondenzatov tedanjem času sta bili to vsekako zelo pomembni invaciji, pimeljivi z današnjimi dosežki nagajenimi z Novelovimi nagadami SLIKA: Pime ekspeimentov v zgodovini: Na desni pepost elektostatični geneato (očno gnana steklena kogla, naboj se ločuje z oko, ki na eni stani tsa ob koglo, na dugi stani pa dži pevodno veigo SLIKA: Pve slike upoabe Leidenske flaše 3/1 DK

132 Kondenzato(3b)doc Jan-8 SLIKA: Pime Leidenskih flaš Desno elektoskop Kondenzato kot napava za shanjevanje elektične enegije Še bolj pomembna kot količina shanjenega naboja je količina shanjene elektične enegije Za elektično enegijo v kondenzatoju je pomemben podukt naboja in napetost med 1 elektodama W = QU Vzemimo pime osamljene kovinske kogle polmea cm, ki je maksimalno naelektena, toliko, da elektično polje na povšini doseže bebojno tdnost Izačunali smo naboj 133,5 nc QU 133,5 nc 6 kv in napetost 6 kv Shanjena enegija bo enaka W = = = 4 mj Vzemimo za pimejavo kondenzato povpečno velike kapacitivnosti 1 µf in nanj piključimo napetost 1V Enegija shanjena v kondenzatoju je CU 1µF (1 V) W = = = 5 mj Toej je v kondenzatoju velikem za palec ali tudi dosti manj shanjeno enako veliko enegije, kot med osamljeno naelekteno koglo polmea cm pi pebojni napetosti Poleg uspešnosti shanjevanja enegije je pomembno tudi to, kako hito lahko to enegijo kondenzato spazni Na pime, elektolitske bateije zelo uspešno shanjujejo veliko količino enegije, je pa ne moejo hito izkoistiti Na dugi stani so elektolitski kondenzatoji, ki so majhnih dimenzij, so nekoliko manj učinkoviti v smislu gostote shanjene enegije, se pa lahko njihov shanjen naboj zelo hito azelekti Vez med bateijami in elektolitskimi kondenzatoji so ti supekondenzatoji ali ultakondenzatoji, ki ne omogočajo visokih napetosti, imajo pa izedno visoke kapacitivnosti (več sto faadov) in so tenutno posebno pimeni za vmesno shanjevanje enegije 4/1 DK

133 Kondenzato(3b)doc Jan-8 SLIKA: Pimejava med azličnimi tipi kondenzatojev, bateijami in supekondenzatojem Elektolitski kondenzatoji omogočajo azelektitev velikih tokov venda v zelo katkem času Bateije omogočajo shanjevanje velike količine enegije venda jo ne moejo zelo hito izkoistiti Supekondenzatoji so vez med navadnimi kondenzatoji in bateijami Omogočajo elativno velike toke azelektitve v pecej daljšem času kot navadni kondenzatoji Vi: Skeleton Supecaps Pomembne lastnosti kondenzatojev Kondenzatoji imajo v idealnem smislu le kapacitivne lastnosti in so idealni izolatoji V esnici pa idealnih lastnosti ni mogoče doseči Neidealne elektične lastnosti pikažemo z nadomestno shemo ealnega kondenzatoja, ki je v osnovi vzpoedna vezava kondenzatoja z upoom R P in zapoedno z induktivnostjo L S in uponostjo R S Pi azličnih aplikacijah je pomembna azlična lastnost Na pime, izgubna (vzpoedna R P ) uponost je pomembna v aplikacijah pi izmeničnih tokih in aplikacijah, kje je pomembno natančno shanjevanje SLIKA: Nadomestna shema ealnega kondenzatoja (po Analog Devices) naboja, kot na pime za integatoje ali»sample-hold«vezja ali ko jih upoabljamo pi visokih fekvencah Elektolitski (tantalove ali aluminijasti) kondenzatoji dosegajo visoke kapacitivnosti venda zaadi slabe izolacije tudi velike izgubne toke, na pime 5 na na µf V omenjene namene je bolje upoabiti»plastične«kondenzatoje: polipopilenske ali polistienske Zapoedna (ang equivalent seies esistance) uponost R S je pomembna pi aplikacijah z velikimi tokovi, saj se na kondenzatojih z veliko seijsko uponostjo poablja velika (izgubna) moč Kondenzatoji z majhno R S so iz filmov ali iz sljude (ang mica) 5/1 DK

134 Kondenzato(3b)doc Jan-8 Seijska induktivnost je tudi lahko poblematična pi visokih fekvencah Elektolitski, papini in plastični kondenzatoji niso pimeni za visokofekvenčne aplikacije, saj so večinoma sestavljeni iz dveh kovinskih plasti ločenih s plastjo dielektika in zviti v svitke Za visokofekvenčne aplikacije so pimeni keamični kondenzatoji Pomemben podatek je fakto disipacije (polnilni fakto), ki pedstavlja azmeje enegije, ki jo kondenzato potoši z enegijo, ki jo shani Dielektična absopcija nam pove histeezne lastnosti kondenzatoja Toej, kako je ponovljivo elektenje kondenzatoja bez efekta spomina Tipi kondenzatojev Dandanes so tudi kondenzatoji pecej dugačni poznamo jih veliko azličnih tipov, iz azličnih mateialov, dimenzij, oblik z zelo azličnimi elektičnimi (in mehanskimi) lastnostmi Pa si jih oglejmo nekaj: 1) Elektolitski kondenzatoji imajo med elektodama elektolite, ki omogočajo dobe stik z elektodama, visoko dielektičnost Upoabljajo se elektode iz aluminija z dodano tanko oksidacijsko membano Ta povzoči veliko A kapacitivnost kondenzatoja ( C ε ), pa tudi to, da je polaizian, ka d pomeni, da ga lahko obemenimo le tako, da je ena od sponk vedno bolj pozitivna od duge V naspotnem pimeu postane neupoaben ozioma nevaen, saj lahko eksplodia Ti kondenzatoji so ceneni in se pogosto upoabljajo, ecimo kot filti Ke se kondenzato lahko pokvai, če je obemenjen z višjo napetostjo kot je nazivna, je v paksi modo upoabiti kondenzato z dvakat višjo nazivno napetostjo, kot je potebna Njihove pednost je pedvsem velika kapacitivnost (cenenost), ki je posledica upoabe tanke izolacijske plasti dielektika in visoka napetost določena s pebojno tdnostjo dielektika Pomankljivost pa je neidealna kaakteistika zaadi polpevodniških lastnosti kombinacije pevodnika in oksida, elativno velika uponost, slabša visokofekvenčna kaakteistika in manjša življenska doba (v pimejavi z dugimi tipi kondenzatojev) ) Posebni tip elektolitskega kondenzatoja je tantalov elektolitski kondenzato Namesto aluminijaste elektode ima tantalovo, ozioma iz tantalovega pentoksida Ima boljše elektične lastnosti kot»navadni«elektolitski kondenzatoji, pedvsem glede tempeatunih in fekvenčnih kaakteistik So pa nekoliko dažji kot»navadni«3) Poliesteski film: ti kondenzatoji upoabljajo kot dielektik plast poliesteskega filma So poceni, tempeatuno stabilni in se pogosto upoabljajo 4) Polipopilenski kondenzato: upoabimo, ko so zahteve po toleancah večje Do fekvence 1 khz imajo zelo majhne toleance (1%) 5) Polistienski kondenzato: so izdelani kot koluti in niso pimeni za visoke fekvence So upoabni za aplikacije do nekaj sto kilohecov 6) Metaliziani poliesteski: imajo boljše lastnosti od 6/1 DK

135 Kondenzato(3b)doc Jan-8 navadnih poliesteskih So dimenzijsko majhni 7) Epoksi: 8) Keamični: izgledajo kot mali diski in niso izdelani v zavitkih, zato imajo dobe fekvenčne kaakteistike in jih upoabljamo za visokofekvenčne aplikacije Na pime za filtianje visokofekvenčnih motenj 9) Nastavljivi kondenzatoji (timeji): vsebujejo lahko keamični ali plastični dielektik 1) Nastavljivi začni kondenzatoji: upoabljajo zak kot dielektik Običajno jih najdemo v adijih 11) Supekondenzatoji: imajo izazito veliko kapacitivnost, na pime,47 F, kljub temu pa so majhnih dimenzij Te lastnosti je mogoče doseči z upoabo elektičnega dvojnega sloja Zapolnjujejo vzel med bateijami, ki sice shanjujejo velike količine naboja, ne moejo pa se hipno izpazniti in»klasičnimi«kondenzatoji, ki omogočajo hite naelektitve in azelektitve venda elativno majhno kapacitivnost (gostoto enegije) Ultakondenzatoji tenutno omogočajo gostote enegij velikosti 3 Wh/kg, se pa ta vednost z izboljšavo tehnologije stalno povečuje Poleg tega v pimejavi s klasičnimi bateijami ultakondenzatoji omogočajo zelo veliko ciklov paznenja in polnenja in ne izgubijo svojih lastnosti niti po daljšem času izpaznitve Za pimejavo dosežejo klasične svinčeve bateije enegijsko gostoto 3 Wh/kg, litij-ionska bateija pa 1 Wh/kg Hkati pa je kaloična vednost bencina 1 Wh/kg SLIKA: Razlika med klasičnim tipom»ploščnega«kondenzatoja in ultakondenzatoji je v veliki povšini elektod, ki jih pi ultakondenzatojih uspemo doseči s tehnologijo pooznega ogljika, v novejšem času pa z upoabo ogljikovih nanocevk Vi: SLIKA: Peez elektode ulta-kondenzatoja, izdelanega iz ogljikovih nanocevk Na ta način se izjemno poveča povšina kondenzatoja in s tem kapacitivnost Vi: 7/1 DK

136 Kondenzato(3b)doc Jan-8 Na desni, možnosti upoabe ultakondenzatojev v avtu: Honda FCX CAPACITOR COMPARISON CHART TYPE TYPICAL DIELECTRIC ABSORPTION ADVANTAGES DISADVANTAGES NPO ceamic <1% Small case sizeda geneally low, but may not be specified Inexpensive Good Limited to small values (1 nf) stability Wide ange of values Many vendos Low inductance Polystyene 1% Inexpensive Damaged by tempeatue > +85 C to % Low DA availablelage case size Wide ange of valueshigh inductance Good stability Polypopylene 1% Inexpensive Damaged by tempeatue > +15 C to % Low DA availablelage case size Wide ange of values High inductance Teflon 3% Low DA availablerelatively expensive to % Good stabilitylage size Opeational above +15 C High inductance Wide ange of values MOS 1% Good DALimited availability Small Available only in small capacitance values Opeational above +15 C Low inductance Polycabonate 1% Good stabilitylage size Low costda limits to 8-bit applications Wide tempeatue ange High inductance Polyeste 3% Modeate stabilitylage size to 5% Low costda limits to 8-bit applications Wide tempeatue angehigh inductance Low inductance (stacked film) Monolithic ceamic>% Low inductancepoo stability (High K) Wide ange of values Poo DA High voltage coefficient Mica >3% Low loss at HFQuite lage Low inductancelow values (<1 nf) Vey stableexpensive Available in 1% values o bette Aluminum electolytic High Lage valueshigh leakage High cuentsusually polaized High voltagespoo stability Small size Poo accuacy Inductive Tantalum electolytic High Small sizequite high leakage Lage valuesusually polaized Medium inductance Expensive Expensive Poo stability Poo accuacy SLIKA: Pimejalna tabela lastnosti kodenzatojev Po: Analog Devices: Ask The Applications Enginee 1 (iz spleta) SLIKA: azlični tipi kondenzatojev glede na zahtevano nazivno napetost Vi: wwwmuatacom 8/1 DK

137 Kondenzato(3b)doc Jan-8 SLIKA: Pime napedovanja tehnike izdelave kondenzatojev Hkati s tanjšanjem debeline dielektika se veča kapacitivnost na enoto volumna Nekaj aplikacij kondenzatojev - začasno nadomeščanje bateijskega napajanja v vezjih - za usmejanje v močnostnih aplikacijah - chage-pump kasakada (zvišanje napetosti) - glajenje signalov - izločanje AC komponente - izločanje DC komponente - kompenzacija moči - floescenčna osvetlitev - filtacija signalov - za doseganje esonančne fekvence Upoaba kondenzatoskega pincipa: - senzo azdalje (majhne azdalje) - senzo pospeška (ADXL) - senzo nivoja tekočine - kondenzatoski mikofon - senzoji dotika - visokonapetosti kondenzatoji za shanjenje enegije in hito paznenje (pulzni laseji, elektomagnetno izsteljevanje, ada, pospeševalniki, detonatoji, 9/1 DK

138 Kondenzato(3b)doc Jan-8 SLIKA: Kompenzacijski kondenzatoji v Aconi Jesenice Vi: WWW: /1 DK

139 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 4 Časovno konstantno tokovno polje Vsebina poglavja: Kontinuitetna enačba, gostota toka, časovno konstantno tokovno polje, tok v snovi, konventivni tok, konduktivni tok, mobilnost, Ohmov zakon v difeencialni obliki, specifična pevodnost in specifična uponost, tempeatune lastnosti, joulov zakon, mejni pogoji tokovnega polja, dualnost tokovnega in elektostatičnega polja Kontinuitetna enačba S pojmom toka smo se sečali že v pvem poglavju, kje smo ugotovili, da je elektični tok posledica gibanja nabojev, ka lahko izazimo tudi kot časovno spemembo količine naboja v zaključenem sistemu (kontinuitetna enačba) Po definiciji smo ga določili kot odtekanje pozitivnega naboja: dq+ i( t) = dt SLIKA: Pikaz definicije toka kot časovno odtekanje pozitivnega naboja Gostota toka Spomnimo se zveze med elektičnim petokom in gostoto elektičnega petoka Gostoto petoka smo označili z vektojem D, petok pa kot integal D-ja peko določene povšine: D da Na enak način izazimo gostoto toka s čko J, tok pa je integal gostote toka po A povšini A I = J da A Znotaj integala je skalani podukt dveh vektojev, ka pomeni, da k toku pispeva le tista komponenta gostote toka, ki je pavokotna na povšino, ozioma tista, ki je v smei nomale na povšino: J da = J e da = J da n n V pimeu, da se gostota toka po peseku ne speminja in je pavokotna na avnino peseka, lahko integal poenostavimo v I = J da = JA A Če želimo gostoto toka določiti iz toka, pa upoabimo obatno opeacijo od integacije: di = J da, toej bo gostota toka enaka odvodu toka po povšini 1 : 1 Ali pa: di = J da = J e da = J da n n toej J = e n di da 1/16 DK

140 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 di J = da Elektični tok je skalana veličina (ima le vednost, ne pa tudi smei), gostota toka pa je vektoska veličina (ima tako velikost kot sme) SLIKA: Tok in gostota toka: pimejava Pime: Skozi žico pemea mm teče tok 5 A Kolikšna je gostota toka v žici? Izačun: Povšina peseka je A = π = π(1 mm) = π mm, gostota toka pa je I 5 A J = = 16 A/mm A π mm Pime: Med oklopom in žilo koaksialnega kabla z notanjim polmeom 1 mm in zunanjim polmeom 3 mm je tok 1 ma Določimo gostoto toka pi notanjem in zunanjem polmeu na dolžini 1 m Izačun: Zapišemo tok skozi zamišljen pesek na polmeu : I = JA = J πl, od kode je I gostota toka pi polmeu : J = π l Sledi: 1 ma J ( n ) = 16 ma/m π 1 mm 1m 1 ma J ( z ) = 5,3 ma/m π 3 mm 1m Tokovno polje med žilo in oklopom je nehomogeno Pi žili je gostota toka večja, kot pi oklopu Kontinuitetna enačba dugič Povedali smo že, da tok ugotavljamo kot časovno spemembo naboja v zaključenem sistemu Če zapišemo integal gostote toka skozi zaključeno povšino, moa biti ta integal v skladu s kontinuitetno enačbo avno enak časovni spemembi naboja znotaj te zaključene povšine Kontinuitetna enačba toej»govoi«o kontinuiteti naboja znotaj zaključene povšine Kopičenje ali zmanjševaje naboja v zaključeni povšini je posledica elektičnega toka ali tudi /16 DK

141 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 obatno: tok skozi zaključeno povšino je posledica kopičenja ali odtekanja naboja skozi to povšino Matematično to zapišemo v obliki 1 : dq = J d A dt Časovno konstantno tokovno polje Govoimo o časovnem konstantnem tokovnem polju, kje v volumnu objetem z zaključeno povšino A velja d Q = in s tem dt J da = A Zgonja enačba ne govoi o tem, da ni toka v in izven zaključene povšine temveč le o tem, da enaka količina toka, ki vstopa v posto z zaključeno povšino, ta posto tudi zapušča Recimo, da zaključeno povšino azdelimo na ti dele V pva dva dela toka vstopata (I 1 in I ), skozi tetjega pa zapušča tok I 3 Velja J da = I1 + I I3 = Pepoznamo 1 Kichoffov zakon, da je vsota vseh tokov, ki vstopajo (ali izstopajo) v spojišče enaka nič: A N Ii = Tok smo označili z veliko tiskano čko, ke obavnavamo le stacionane pojave, toej take, kje se tok s časom ne speminja i= 1 SLIKA: Zaključena povšina s temi toki od kateih dva vstopata, en pa izstopa iz povšine Vsota tokov v spojišče je enaka nič Enak pogoj kot za časovno konstantno tokovno polje smo upoabili tudi za elektostatično polje ( d Q / dt = ) Toej bodo za časovno konstantno tokovno polje veljale tudi ugotovitve iz elektostatičnega polja: 1 ** Pogosto to enačbo izazimo še nekoliko dugače, pi čeme naboj izazimo z gostoto naboja Q = ρdv : dρ d V = J d A dt Znana pa je tudi oblika te enačbe v difeencialni obliki, kje je potebno upoabiti V A ρ ρ opeato divegence: divj = ali tudi J = t t V 3/16 DK

142 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 zakon potencialnosti polja: E dl = in Gaussov zakon: D da = Qposti, A L znotaj A Podobno, kot pi zakonu o ohanitvi naboja pepoznamo 1 Kichoffov zakon, lahko v zakonu o potencialnosti polja E dl = pepoznamo Kichoffov zakon, saj, če azdelimo L zaključeno pot na več delnih poti E dl = E dl + E dl + + E dl =, jih lahko L L1 L L N nadomestimo z napetostjo med koncema delnih poti: E dl = U1 + U + + U N = ali tudi U i = i Kljub temu pa ima časovno konstanto polje določeno»komponento«, ki jo elektostatično nima Pi elektostatičnem polju pedpostavimo azmee, ko toka ni; niti enosmenega Kljub temu da vemo, da je tok poteben za poces elektenja V teh azmeah je polje znotaj pevodnikov vedno enako nič Dugače pa je pi tokovnem polju, ki sice ima določene»komponente«elektostatičnega polja, ecimo ohanjeno veljavnost Gaussovega zakona in zakona o potencialnosti polja, pa pi azmeah tokovnega polja dovolimo časovno konstanten tok Usteznost enačb elektostatičnega polja, časovno konstantnega tokovnega polja in dinamičnega polja pikazuje naslednja tabela: Elektostatično Tokovno polje Dinamično polje polje Gaussov zakon D da = Q enako enako posti, A znotaj A Potencialnost polja E dl = enako E dl Kontinuitetna enačba L dq = dt (znotaj zaključene povšine) Ozioma ρ ( t) = konst Ali tudi A J da = L dq = dt (znotaj zaključene povšine) Ozioma ρ ( t) = konst Ali tudi A J da = L dq = i ( t ) dt ρ = ρ( t) Tok i( t ) = i( t) = konst i( t) = f ( t) 4/16 DK

143 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Tok v snovi Povežimo gostoto toka z lastnostmi mateialov Vemo, da nekatee snovi pevajajo tok bolje, duge pa slabše Najbolj peposta delitev bi bila lahko na pevodnike, ki odlično pevajajo tok in izolatoje, ki v idealnih azmeah toka ne pevajajo Vemo pa, da imamo tudi»vmesne«mateiale, ki bolj ali manj pevajajo tok Poiščimo zvezo med tokom in hitostjo gibanja nabojev: Vzemimo tok nabojev skozi pesek žice A s homogeno gostoto toka Tok v smei naaščanja dq količine pozitivnega naboja zapišemo kot I = in ga izazimo z gostoto toka, naboj pa z dt d( ρv ) gostoto naboja: I = JA = Vzemimo tok nabojev v smei X osi, kje na delu volumna s dt dx konstantno volumsko gostoto naboja zapišemo: J x A = ρ A = ρva, toej je gostota toka dt soazmena gostoti (postega) naboja in hitosti potovanja tega naboja: J = ρv Bolj splošna oblika enačbe upošteva gostoto toka kot vektosko veličino in je 1 J = ρv Naboji se v azličnih pogojih gibljejo na azlične načine V gobem azdelimo načine gibanja na konvektivni in konduktivni način Konvektivni tok Gibanje nabojev je zelo odvisno od medija v kateem se naboji gibljejo Če se naboji gibljejo v vakuumu ali azedčenemu plinu (zaku), je njihovo gibanje pospešeno, saj je sila na naboje enaka ma = QE V postou, kje ni»večjih ovi«, se naboji gibljejo QE pospešeno a = in v adt m = Takemu načinu gibanja ečemo konvektivno pevajanje in toku konventivni tok SLIKA: Konvenktivni tok v katodni cevi Konduktivni tok Če se naboji gibljejo v gostejši snovi, se ne gibljejo neoviano, pač pa tkajo z atomi snovi Zato se njihova hitost bistveno upočasni, ka se odaža v toplotnih 1 ρ (o) v enačbi pedstavlja volumsko gostoto (gibajočega se) naboja V nadaljevanju bomo enak simbol upoabili tudi za označitev specifične elektične uponosti Ne smemo zamešati njun azlični pomen v enačbah 5/16 DK

144 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 izgubah pevodnika Za mnogo snovi velja, da je povpečna hitost gibanja nabojev soazmena elektični poljski jakosti, ka zapišemo z izazom 1 v = µ E SLIKA: Konduktivni tok v pevodniku Konstanto µ (mi) imenujemo mobilnost in je snovna lastnost (tako kot elektična susceptibilnost oz elativna dielektična konstanta) Izpeljimo enoto za mobilnost: m V m [ µ ] [ µ ] s = = m Vs Ohmov zakon v difeencialni obliki Z upoštevanjem zveze med povpečno hitostjo gibanja nabojev in elektično poljsko jakostjo, lahko gostoto toka zapišemo kot J = ρv = ρµ E J = γ E ozioma, OHMOV ZAKON V DIFERENCIALNI OBLIKI kje konstanto γ (gama) imenujemo specifična elektična pevodnost in je enaka 1 γ = ρµ 1 Kako pidemo do te zveze? Vzemimo, da opazujemo let elektona v elektičnem polju Nanj deluje pospešek Qe E Qe E a =, toej se v času t njegova hitost od začetne v z poveča za v = v z + t Ke je tkov elektona z m m e atomi zelo veliko, moamo za pavilno obavnavo upoštevati povpečno hitost, ka zapišemo z izazom <>: Qe E v = vz + t Po tku z atomom se elekton odbije v naključno sme, zato je začetna hitost v me Qe E povpečju enaka nič, celotna povpečna hitost pa je enaka v = t t je povpečni čas med tki in ga me označimo s τ Za kovine je ta velikosti 1-14 s, za pline pa 1-9 s Povpečni hitosti pogosto s tujko (angleško) Qe E ečemo hitost difta, po slovensko bi moda pevedli v hitost odnašanja Pišemo toej lahko v = d m τ, od e kode azpoznamo zapisano lineano zvezo med povpečno hitostjo in elektično poljsko jakostjo v = µ E, kje Qe je mobilnost enaka µ = τ m e e 6/16 DK

145 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Dobili smo pomemben izaz, da je gostota toka v pevodnikih soazmena elektični poljski jakosti Tak tip toka imenujemo konduktivni (pevodni), ke z njim ustezno opišemo pevajanje toka v pevodnikih Konstanto soazmenosti imenujemo specifična elektična pevodnost (gama), celoten izaz pa ka Ohmov zakon v difeencialni obliki Poglejmo zakaj: Vzemimo pavokoten kos pevodnika dolžine l in peseka A z znano specifično pevodnostjo Med konca pevodnika piključimo napetost Znotaj pevodnika je homogeno elektično l polje, iz zveze za napetost U = E dl pa dobimo: l l l l l J I I I U = E dl = E dx = dx = dx dx l γ = = γ A γ A γ A ali pa takole: E 1 U A I = J da = da = da = U γ γ l γ l A A A SLIKA: Pavokoten kos pevodnika piključen na vi napetosti Če zapišemo izaz nekoliko dugače, pepoznamo Ohmov zakon v znani (integalni) obliki: I l U = l I IR γ A = γ A =, kje je l R = γ A 1 Izaz γ = ρµ lahko zapišemo tudi dugače, če gostoto nabojev izazimo s koncentacijo mobilnih elektonov nq n: ρ = nqe Sledi e τ γ = Ta izaz sice ne da točnih vednosti za specifično pevodnost, saj je vendale m nekoliko poenostavljen, kljub temu pa je iz njega azvidno, da imajo snovi z večjo koncentacijo postih elektonov večjo specifično pevodnost Poleg tega večja masa pomeni manjšo pevodnost, ka je pedvsem pomembno pi pevajanju ionov Poleg tega se povpečni čas tkov manjša z višanjem tempeatue, saj tedaj atomi bolj vibiajo in so tki v povpečju pogostejši 7/16 DK

146 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 elektična uponost Enoto je Ω (Ohm) Zopet lahko izpeljemo enoto za specifično pevodnost Če je enota za uponost Ohm, potem ugotovimo, da lahko specifično pevodnost 1 izazimo kot Ω m, pogosto tudi kot S (Siemens na mete) m Iz enačbe za uponost je azvidno, da je uponost povezana z geometijo pevodnika, enako, kot smo to ugotavljali za kapacitivnost Invezno vednost od specifične pevodnosti imenujemo specifična uponost (enota je Ωm): 1 ρl ρ =, R = γ A Običajno je podana ena ali duga vednost, v določenih pimeih (pedvsem v elektolitih) pa mobilnost nabojev Tu je potebno ločiti način pevajanja v tekočinah in pevodnikih V tekočinah pevajajo tako elektoni kot ioni (pozitivni in negativni), medtem, ko v pevodnikih pevajajo samo elektoni Obstajajo tudi posebne snovi, ki jim ečemo polpevodniki, pi kateih lahko elektične lastnosti speminjamo z dodajanjem pimesi Kos kistala silicija je izolato, zelo slab pevodnik, ki pa lahko postane dobe pevodnik, če mu dodamo pimesi To dodajanje poteka pi zelo visokih tempeatuah, nad 1 o Način pevajanja je odvisen od tipa dodanih pimesi Če je dodana snov fosfo (pi čeme se med kistalno ešetko silicija le vsake toliko vine kakšen atom fosfoja), imenujemo tak tip polpevodnika n-tip, saj vsebuje določeno število šibko vezanih elektonov, ki se lahko (dokaj) posto gibljejo ob piključeni napetosti Če dodamo siliciju atome boa se v kistalno ešetko silicija vinejo atomi boa, ki ustvaijo pomanjkanje elektonov, ka imenujemo vzel Izkaže se, da tudi takšno pomanjkanje elektonov lahko deluje kot pevodnik Pime: Specifična pevodnost baka je 5,7 1 7 S/m Določimo uponost avne palice pavokotnega peseka stanic 1x mm in dolžine 5 m l Izačun: Upoabimo enačbo R = in določimo uponost γ A 5 m R = 44 mω 7 6 5,7 1 S/m 1 m Pime: Določimo napetost koaka pi udau stele s tokom ka, če je čovek oddaljen za 1 = 15 m stan od udaa Specifična pevodnost zemlje je 1-4 S/m, azdalja koaka je s =,8 m SLIKA: Pikaz udaa stele in človeka 1 = 15 m stan od stele 8/16 DK

147 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Izačun: Pedpostavimo homogeno poazdelitev gostote toka, ki je na adiju od mesta udaa I I I stele v tla enaka J ( ) = A( ) = 4π = π Ke je gostota toka vektoska veličina, jo kot I vekto zapišemo kot J = e J I Iz Ohmovega zakona sledi polje E = = e π γ πγ I I d I 1 1 Napetost koaka je U1 = E dl = e e d = πγ πγ = πγ s I s U = 1 17 kv π γ ( + s) 1 1 Iz pimea smo ugotovili, da lahko nastopi pi uda stele ob azkoaku do pecej velike napetosti med stopaloma Ta je lahko v določenih pimeih tudi nevana za človeka (in živali) Po peposti enačbi za izačun še dovoljene napetosti koaka 1 + ρ(ω m) U koaka,max =, ki da čas tajanja pibližno 1 kv pi izbani specifični pevodnosti, ugotovimo, da smo pi 15 m znotaj nevane cone Ocenimo lahko vano azdaljo, pi čeme bomo pedpostavili 1 s (sice bi moali ešiti kvadatno enačbo): U koaka,max I s I s 1,min πγ πγ U Za U koaka,max = 1 kv dobimo kitično 1,min koaka,max azdaljo pibližno 5 m Pi toku 1 ka je ta azdalja 16 m, pi ka pa ka 16 m Pi manjših specifičnih uponostih tal je maximalna (kitična) napetost koaka manjša, kljub temu pa je vanostna azdalja večja Dodatno: Izačunajmo ozemljitveno uponost, če je ozemljilo v obliki pevodne polkogle v zemlji s specifično pevodnostjo 1-4 S/m Polkogla ima polme,5 m SLIKA: Ozemljitvena»kogla«polmea =,5 m Izačun: Pedpostavili smo določen tok I v koglo, ki povzoči med točkama T 1 in T napetost I 1 1 U1 = Napetost med povšino kogle in neskončno okolico ( 1 =, ) bo πγ 1 I toej U = πγ, toej bo uponost ozemljila enaka U 1 R = = Za izbane vednosti I πγ 1 ZCheng:»Calculation of step voltage nea lightning cuent«, IEEE 4 9/16 DK

148 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 je uponost ozemljila enaka 3, kω To je ka velika vednost za ozemljitveno uponost, ki naj bo čim manjša; v paksi se smata kakovostna ozemljitev z uponostjo manjšo od 5 Ω Pi izbani specifični pevodnosti zemlje bi bil potebni polme kogle za 5 Ω ozemljilo ka 3 m Ka seveda ni smiselno ozemljilo V paksi se okoli objekta položi ozemljitvena žica ali meža, če pa je specifična pevodnost tal večja, zadostuje tudi posebno oblikovan ozemljitveni klin V posebnih pimeih se specifično pevodnost tal lahko poveča z določenimi substancami, ki se jih vlije v podočje ozemljitve in stnjene pedstavljajo lokalno povečano specifično pevodnost tal Specifične pevodnosti tal se gibljejo od vednosti nekaj deset ms/m (močvina tla) do,1 ms/m (skalna tla) ŠE: Mejenje specifične pevodnosti tal, mejenje ozemljitvene uponosti Tempeatuna odvisnost specifične uponosti V nekateih pimeih je to zaželeno (če jo na pime izkoiščamo za določanje tempeatue), v dugih pa je nezaželena, saj speminja pogoje delovanja vezja, itd Pogosto zadostuje, da upoabimo lineaen zvezo, toej, da pedpostavimo lineano speminjanje specifične uponosti s tempeatuo: ( ( )) ρ( T ) = ρ( T ) 1+ α T T α imenujemo tempeatuni koeficient, ki je običajno podan pi sobni tempeatui T = Za večino pevodnikov je tempeatuni koeficient pozitiven, ka pomeni, da se specifična uponost snovi veča s tempeatuo, ka pomeni, da se z višanjem tempeatue veča tudi uponost pevodnega kosa mateiala To lahko zapišemo kot (zgonjo enačbo množimo z l/a) ( α ( )) R( T ) = R( T ) 1+ T T Snovne lastnosti nekateih pevodnikov: SNOV γ (S/m) ρ (Ωm) 1 α( K ) bake 5,7 1 7,39 zlato 4,1 1 7,34 aluminij 3,5 1 7,41 silicij 3,9 1-4 voda 1-4 zemlja steklo 1-1 guma /16 DK

149 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Joulov zakon Je povezan s segevanjem v snovi zaadi tkanja elektonov z atomi v snovi Difeencial dela, ki ga opavi difeencial elektine dq v polju E, se petvoi v toplotno enegijo l dw = da = dq E dl = dq U t e e Moč je definiana kot (časovna) hitost speminjanja enegije: dwt dq P = U IU dt = dt = dw P =, ki je v našem pimeu dt Dobimo že znano enačbo za moč pi enosmenih signalih: P = IU = I R = U G Definiamo lahko tudi gostoto moči, kot moč na enoto volumna V majhnem volumnu je (difeencial) moči enak dp = p dv, kje p imenujemo gostota moči, dv pa je difeencial volumna Hkati lahko difeencial moči zapišemo kot dp = di du = J da E dl = J E dv ( )( ) ( ) Gostoto moči lahko toej izazimo kot podukt gostote toka in elektične poljske jakosti, bolj natančna izpeljava pa pokaže, da je potebno vzeti vektoski podukt obeh veličin: p = J E Enota za gostoto moči je W/m 3 Pikaz gostote moči (bolj»voča«bava večja moč) v lomljenemu vodniku Vektoji kažejo gostoto toka, ki je večja ob ožinah in ostih obovih Z upoštevanjem Ohmovega zakona v difeencialni obliki J = γ E lahko gostoto toka zapišemo tudi kot p = ali kot γ E J p = γ Celotno (izgubno) moč v pevodniku določimo kot integal gostote moči v volumnu: P = pdv = J EdV V V Ta zapis imenujemo tudi Joulov zakon v integalni obliki 11/16 DK

150 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Mejni pogoji v tokovnem polju Podobno kot pi elektostatičnem polju izhajamo iz dveh osnovnih zakonov Iz J da = sledi (podobno kot iz D da = ), da se ohanja nomalna komponenta gostote toka: J A n = J n1 Če upoštevamo Ohmov zakon v difeencialni obliki ( J γ E) postih nabojev γ E = γ E n 1 n1 =, velja v pimeu, da na meji ni A SLIKA: Lom gostote toka na meji dveh medijev z azličnima pevodnostima Iz zakona o potencialnosti polja pa sledi, da se ohanja še tangencialna komponenta elektične poljske jakosti: E t = Et1 ozioma J γ = J γ t t1 1 Z deljenjem z mejnim pogojem za tangencialno komponento polja velja tan( α1) γ 1 =, tan( α ) γ kje sta kota definiana med nomalo in smejo polja Iz enačbe ugotovimo, da je v pimeu velikih azlik med specifičnimi pevodnostmi dveh mateialov (ecimo na meji pevodnik/izolato) tok v pevodniku neodvisno od kota gostote toka v izolatoju paktično vzpoedna z mejo Pime: Vekto gostote toka je usmejen pod kotom 1 o 1 iz izolatoja z γ i = 1 S/m na 7 pevodnik s specifično pevodnostjo γ = 1 S/m Določite kot odklona vektoja gostotetoka p v pevodniku 7 tan( α p ) 1 S/m Izačun: = α 9 1 p Tokovna gostota v pevodniku je paktično tan(1 ) 1 S/m vzpoedna s pevodnikom 1/16 DK

151 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 SLIKA: Gostota toka pada na mejo pevodnika pod kotom 1 o na nomalo Ke pa velja tudi Gaussov zakon v splošni obliki nomalne komponente gostote petoka: D da = σ, iz njega sledi pogoj za pehod A D D = σ n1 n Pi tem smo upoštevali, da je sme polja iz medija z indeksom v medij z indeksom 1 V tej smei kaže tudi nomala na povšino Ke sta nomalni komponenti gostote toka enaki ka zapišemo kot J n1 = J n = J n in velja Ohmov zakon v difeencialni obliki( J = γ E), sledi ε1en1 εen = σ in toej ε1 ε J n = σ γ 1 γ Iz enačbe ugotovimo, da bo azen v posebnih pogojih (ko velja ε γ ε γ = ), na meji dveh 1 1 dielektikov pišlo zaadi azlike med elektičnimi lastnostmi mateialov do pesežne ploskovne gostote naboja Pime: Vzemimo žico sestavljeno iz kosa baka, aluminija in baka Velja 7 7 γ Cu = 5,61 S/m in γ Al = 3,5 1 S/m Določimo povšinsko gostoto naboja na meji, če teče skozi pevodnike tok z gostoto toka 1 A/mm Izačun: Vzemimo, da teče tok iz leve poti desni Na meji Cu/Al bo veljalo σ = ε Jn = 9,5 1 C/m Ke je specifična pevodnost aluminija manjša od γ Al γ Cu specifične pevodnosti baka (dielektičnosti pa sta enaki 1), bo na meji Cu/Al v smei toka pesežek pozitivnega naboja, na meji Al/CU pa negativnega naboja 1 1 Nadalje lahko ugotovimo, da bo polje na povšini enako En = σ / ε = Jn γ Al γ Cu Dodatno: Če si zamislimo, da je namesto aluminija vmes plast izolatoja z zelo majhno γ << γ, potem bo iz enačbe za povšinski naboj pevodnostjo ( i Cu ) εi εi σ Jn γ ien εien γ = γ =, ka je znan izaz iz elektostatike i i 13/16 DK

152 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 SLIKA: Žica iz Cu/Al/Cu Povzetek: Zaadi velikih azlik v specifičnih pevodnosti med izolatojem in pevodnikom, je pi nediektnem vpadu gostote toka na pevodnik v pevodniku dominantna tangencialna komponenta gostote polja, v izolatoju pa nomalna komponenta elektičnega polja Na meji dveh snovi z azličnimi elektičnimi lastnostmi pide ob pehodu toka iz enega v dug mateial do kopičenja pozitivnega ali negativnega naboja Na meji izolato/pevodnik je ta naboj ka enak ε E, ka je znan ezultat elektostatike Dualnost tokovnega in elektostatičnega polja Vzemimo dve pevodni telesi piključeni na enosmeno napetost U, med telesi je medij kateega elektične lastnosti določata specifične pevodnost in elativna dielektičnost Pevodni telesi lahko smatamo za ekvipotencialki, elektično polje pa se poazdeli v skladu z zakonitostmi elektostatičnega polja Obstaja neposedna zveza med gostoto toka in elektično D poljsko jakostjo: J = γ E, pa tudi gostoto petoka J = γ E = γ, toej so gostotne cevke za ε obe polji enaki V tem smislu govoimo o dualnosti obeh polj Če izačunamo poazdelitev elektičnega polja, poznamo tudi poazdelitev tokovnega polja Toej moa obstajati tudi neka neposedna zveza med kapacitivnostjo in uponostjo med dvema telesoma: D da ε E da U Q ε = = = = = ρ ε γ A A RC I U J da γ E da Ponovimo ezultat: RC A A = ρε Paktična upoaba tega izaza je velika Vzemimo, da znamo izačunati kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma Potem lahko iz kapacitivnosti zelo hito dobimo izaz za uponost V pincipu je izaz za pevodnost ka enak izazu za kapacitivnost, le dielektičnost moamo zamenjati s specifično pevodnostjo: G = C γ ε 14/16 DK

153 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 Pime: Med dve pevodni palici okoglega peseka polmea = mm, azmaknjeni za cm piključimo napetost 1 V in ju potopimo za l = 3 cm v pevodni medij Izmeimo tok, ma Določimo uponost med elektodama in specifično pevodnost medija Izačun: V poglavju o okovinjenju ekcipotencialk smo imeli pime dveh naspotno naelektenih valjev, kje smo z upoštevanjem ekscentičnosti določili napetost med valjema q s + d / q d kot U = ln, bez upoštevanja ekscentičnosti pa U = ln Od π ε s d / + πε Q ql πε l tod je kapacitivnost C = = = Iz pogoja dualnosti določimo pevodnost med U U d ln πγ l palicama kot G = Specifična pevodnost dobimo kot d ln, ma π,3 m G = = = γ = γ 1 V mm ln mm 3 µs 39,3 1 m, od kode sledi γ 59 S/m Realni kondenzato Do sedaj smo ločeno obavnavali kondenzato in upo, čepav je v ealnosti tako upo kot kondenzato element, ki ima med dvema pevodnima kontaktoma snov, katee elektične lastnosti so podane z elativno dielektično konstanto in specifično pevodnostjo Za obavnavo ealnega kondenzatoja moamo vzeti pime časovno speminjajočega se toka, saj v enosmenih azmeah kondenzato v idealnih azmeah ne pevaja toka, v ealnih pa ima določeno uponost in tok pevaja Realni kondenzato piključimo toej na vi izmenične napetosti u g in določimo tok skozi ealni kondenzato SLIKA: Realni kondenzato piključen na vi napetosti u g Zaokožimo enega od kontaktov in upoabimo zakon o ohanitvi naboja dq J da = dt A Levi člen je enak azliki izstopnega (v kondenzato) in vstopnega toka (iz via) J da = Gug ig, A desni pa poljskemu toku v kondenzatoju, ki je posledica časovne spemembe naboja na povšini kontaktov 15/16 DK

154 Tokovno polje(4c)doc Jan-8 dq d( Cu ) = g dt dt Velja toej dug Gug ig = C d t Dobimo difeencialno enačbo (lineano, pvega eda), katee ešitev je zveza med napetostjo in tokom na kondenzatoju Ugotovimo, da lahko tok skozi kondenzato (enak toku i g ) ločimo na dva toka, enega zaadi ohmske uponosti, dugega pa zaadi kapacitivnih lastnosti: dug i( t) = ig = Gug + C d t Ta ločitev je seveda lahko samo modelna Znotaj kondenzatoja je to hkatni in neločljivi pojav Pi obavnavi kondenzatoja smo že omenili vzpoedno, pa tudi seijsko uponost, ki je pomemben podatek za kakovost kondenzatoja SLIKA: Nadomestna shema ealnega kondenzatoja Pime nelineanih upoov (ŠE) Vpašanja za obnovo: 1 Povezava med gostoto toka in tokom»v obe smei«zapis kontinuitetne enačbe z gostoto toka 3 Lastnosti časovno konstantnega tokovnega polja 4 Od česa je odvisen tok v snovi? 5 Kakšna je azlika med konduktivnim in konvektivnim tokom? 6 Ohmov zakon v difeencialni obliki 7 Kako iz Ohmovega zakona v difeencialni obliki pidemo do Ohmovega zakona v integalni obliki U = IR? 8 Razložite pojme mobilnost, specifična elektična pevodnost, specifična elektična uponost 9 Elektična uponost in pevodnost 1 Tempeatuna odvisnost specifične uponosti in pevodnosti 11 Zapis Joulovega zakona v difeencialni in integali obliki 1 Mejni pogoji za nomalno in tangencialno komponento toka 13 Določitev povšinske gostote naboja med dvema pevodnikoma iz Gaussovega zakona 14 Dualnost tokovnega in elektostatičnega polja 16/16 DK

155 Vi napetosti(5)doc Jan-8 5 Vii napetosti Vsebina poglavja: elektomotona sila, geneatoska napetost, elektični tokokog, bateije, sončna celica Geneatoska sila Do sedaj smo se ukvajali le z učinki elektičnega polja, ne pa tudi z načinom, kako sploh ustezno matematično opisati ločevanje naboja in geneianje napetosti Vzemimo na pime naelekten kondenzato, ki ima ločene pozitivne ion negativne naboje Sme elektostatičnega polja je od + nabojev poti nabojem, tako v notanjosti, kot v zunanjosti kondenzatoja SLIKA: Naelekten kondenzato z ločenimi naboji in elektostatičnim poljem v notanjosti in zunanjosti Če bi upoštevali le elektostatično polje (E es ) za kateo velja, da je delo elektičnih sil po zaključeni poti enako nič E dl =, ugotovimo, da to polje ne moe biti geneatosko, L es da to polje ni sposobno ločevanja nabojev, pač pa le zduževanja Toej moa biti neka duga sila, ki omogoča ločevanje nabojev naspotnega pedznaka Tej sili ečemo geneatoska ali azdvajalna sila V angleškem jeziku se pogosto upoablja izaz electomotive foce, poslovenjeno bi ji ekli elektomotona ali elektogeneatoska sila Označimo jo z F Fg g, pipadajoče elektično polje pa Eg = Vzemimo, da znotaj Q kondenzatoja deluje geneatoska sila, ki je sposobna azdvajanja nabojev Hkati, ko deluje geneatoska sila in azdvaja naboje, se vzpostavlja tudi elektostatična sila, ki pa je usmejena v naspotno sme Na elektodah se ustvaja akumulacija naboja, ki je v avnovesju taka, da je E + E = g es SLIKA: V kondenzatoju (bateiji) deluje geneatoska sila, ki azdvaja naboje in jih»nalaga«na elektodi 1/11 DK

156 Vi napetosti(5)doc Jan-8 Geneatoska napetost Poglejmo, koliko integal E dl, če je E sumana elektična poljska jakost, ki vključuje L tako geneatosko kot elektostatično silo L 1 naj bo pot znotaj, L pa zunaj kondenzatoja pi čeme naj bo L usmejena v naspotno sme Za elektostatično polje velja Ees dl = Ees dl = Ees dl = Ees dl L L1 L L1 L Ke pa elektično polje v kondenzatoju ni le elektostatične naave, velja E dl = E + E g dl + E dl = E dl + E dl = U, ( ) es es es g g L L1 L L1 L L1 toej velja tudi E dl = E dl = U es es g L1 L Ali dugače: Znotaj kondenzatoja je elektostatično polje (v stacionanem stanju) enako E + E dl =, peostane veliko a naspotno usmejeno geneatoskemu in je toej ( es g ) del L E dl = U es g Geneatoska napetost je usmejena od + naboja poti naboju, enako kot elektostatično polje in naspotno smei geneatoskega polja Povzetek: Integal E dl, ki ne vsebuje le elektostatične elektične poljske jakosti, pač L pa tudi sile dugega izvoa, ni nujno enak nič, pač pa neki napetosti, ki ji ečemo geneatoska napetost E dl = U g L V naslednjem semestu (OE) bomo ugotovili, da je ta integal azličen od nič tudi v pimeu časovno speminjajočega se magnetnega polja skozi zanko L1 Tokokog Zaključimo geneato v tokokog s ploščnim kondenzatojem s pesekom A, azmakom med ploščama l in specifično pevodnostjo γ Ponovno pogledamo, kako lahko azdelamo integal E dl = Integal azdelimo na pot znotaj via in peko kondenzatoja s es L pevodnim mateialom Ke je sedaj zaadi toka v tokokogu E es + E g, bo znotaj J g geneatoja Ees dl = U g Eg dl = U g dl Enako velja za integal znotaj γ L1 L1 L1 g J es pevodnika Ees dl = dl γ L L R Če pedpostavimo homogeno polje v peseku A tako za geneatoski medij, kot za beme, dobimo: I / A I / A l l E es dl = U g dl dl U g I I γ γ = γ A γ A = L L1 g L R g R Pvi člen je geneatoska napetost, dugi člen pedstavlja padec napetosti na notanji uponosti via, tetji pa padec napetosti na bemenskem pevodniku (upou): /11 DK

157 Vi napetosti(5)doc Jan-8 U g IRg IRR = Ugotovimo, da je ločevanje med geneatosko uponostjo in napetostjo mogoče le modelno, v ealnosti pa sta ta dva elementa vezij integiana v eni stuktui SLIKA: Tokokog iz geneatoskega in bemenskega dela ** Bateije Tak pincip geneacije naboja si lahko pedstavljamo v bateiji (akumulatoju), kje ločevanje naboja nastopa zaadi elekto-kemijskih eakcij Zn/Cu bateija Vzemimo pime dveh elektod, ene iz cinka (Zn) in duge iz baka (Cu) Če med elektodi vlijemo tekočino, ki ji ečemo elektolit, med elektodama zaadi elektokemijske eakcije nastane ti galvanski člen Če je elektolit žveplena kislina H S 4, le ta v vodi disociia (tvoijo se ioni) na ione H + in S - 4 H + ioni se nabiajo na - bakovi elektodi, kje tvoijo pesežek pozitivnega naboja Ioni S 4 se nabiajo na cinkovi elektodi, tam tvoijo cinkov sulfat in pesežek negativnega naboja Na Cu elektodi se tvoi pesežek pozitivnega naboja Vzpostavi se napetost, ki jo lahko izkoistimo kot geneatoski vi napetosti Ob piključitvi bemena (upoa) na bateijo, v piključnih žicah steče tok (elektonov), ki zmanjšuje količino geneianega naboja Elektokemijska eakcija nadomešča poabo naboja dokle je v elektolitu dovolj ionov ali dokle se cinkova elektoda ne iztoši 1 SLIKA: a) Bateija iz bakene in cinkove elektode v elektolitu iz azedčene žveplene kisline b) Tok ob katkem stiku elektod Kemijsko bi lahko eakcijo zapisali Zn + CuSO 4 = ZnSO 4 + Cu 1 Piznati je potebno, da se napetost med dvema azličnima kovinama pojavi že bez delovanja elektolita, toej pi neposednem stiku dveh kovin Ta napetost je posledica azličnih izstopnih del azličnih kovin in je med dugim tempeatuno odvisna Zato stik dveh azličnih kovinskih mateialov izkoistimo kot senzo tempeatue Tak spoj pa ne moe delovati kot geneato toka, azen v pimeu, da na tak spoj delujemo z zunanjo silo Na pime, da spoj segevamo ali ohlajamo 3/11 DK

158 Vi napetosti(5)doc Jan-8 Vodikovi ioni imajo pomanjkanje elektona, ki piteče iz tokokoga na bakovo elektodo (piključnih žic) kot elektični tok Vodikov ion pidobi iz bakene elektode elekton in se izloči iz elektolita temu pocesu ečemo edukcija Na cinkovi elektodi se vši oksidacija (izločanje pesežnih postih elektonov) pi čeme nastaja cinkov sulfat, ki se useda na dnu posode Faaday je z ekspeimenti ugotovil, da je količina snovi, ki se nabee na elektodah (v našem pimeu bake) soazmena toku, ki steče skozi piklopne žice Količina elektike, ki je potebna za en ekvivalent kemične akcije (ki usteza kemični eakciji potebni za izločitev 1g vodika iz kisline) je enaka enemu Faadayju, ka usteza naboju ampeskih sekund Za zgonjo eakcijo v katei sta udeležena ena enota cinka in ena enota baka usteza geneacija naboja F ali C Poskuse s podobno bateijo je pvi delal Alessando Volta v Italiji, ki se po njem imenuje Voltova celica ali Voltin člen Kovinske elektode imajo negativen potencial glede na aztopino Da bi jih lahko pimejali med seboj, jih pimejamo s potencialom ti efeenčne elektode, ki je iz platine z dodatki vodika Tako pimejane elektodne napetosti so za azlične mateiale sledeče: zlato platina sebo oglje bake železo cink aluminij 1,5 V 1, V,8 V,74 V,34 V -,44 V -,76 V -1,67 V Če toej sestavimo ti galvanski člen iz elektode iz baka in cinka, bo med njima napetost,34 V (,76 V) = 1, V Svinčeva bateija - akumulato Duga znana bateija je svinčeva bateija, v katei imamo dve elektodi, ena iz svinca, duga pa iz svinčevega dioksida Kot elektolit nastopa azedčena žveplena kislina Elektoda iz svinčevega dioksida ima za doba V višjo napetost od svinčeve Z vezavo šestih takih celic zagotovimo bateijo z 1-14 V izhodno napetostjo (avtomobilski akumulato) Rekacija, ki poteka je sledeča: na negativni elektodi: Pb + SO 4 - = PbSO 4 + e na pozitivni elektodi: PbO + Pb + H SO 4 + e = PbSO 4 + H O Na obeh elektodah nastaja svinčev sulfat, ka pomeni, da je ob popolni azelektitvi napetost med elektodama enaka nič Kot vemo, je mogoče te tipe bateij ponovno naelektiti, pi čeme s tokom ustvaimo geneacijo svinca na eni in svinčevega dioksida na dugi elektodi Poces je toej evezibilen PbSO 4 + H O = PbO + H SO 4 + Pb 4/11 DK

159 Vi napetosti(5)doc Jan-8 SLIKA: Bateija iz svinčeve elektode in iz elektode iz svinčevega dioksida Zanimivo je to, da se med azelektitvijo manjša, med naelektitvijo pa veča koncentacija kisline, medtem ko ostane napetost celice več ali manj konstanta V tem smislu nam mejenje napetosti na akumulatoju ne pedstavlja posebno natančnega meila»polnosti«slika: Kaakteistika naelektitve in azelektitve bateije (napetost čas) Vi: TR Compton: Battey efeence book, Newnes, Svinčene bateije so vejetno še vedno najbolj azšijene Pedvsem se upoabljajo v avtomobilski industiji Njihova pednost ped ostalimi je nizka cena, visoka napetost na celico in»doba«življenska doba (mnogokatno polnenje) Slabosti pa velika teža, slabe nizko-tempeatune lastnosti in ne sme biti v stanju azelektitve za daljše obdobje V podaji so tudi ti zapti tip akumulatojev (suhi), kateih pednost je, da jim ni potebno dolivati elektolita / destiliane vode Pi standadnih svinčenih bateijah nameč lahko posebno pi koncu elektitve ali pi pekomeni naelektitvi pide do elektolize žveplene kisline pi čeme se keiata kisik in vodik, ka v končni konsekvenci lahko škodno vpliva na kaakteistiko bateije Novi tipi bateij omogočajo, da geneian kisik in vodik tvoita vodo Pi azelektitvi ima svinčeva»celica«določeno notanjo uponost; standadni tip D ima pi napetosti celice V notanjo uponost 1 mω Nikelj kadmijeve bateije (Ni-Cd) so mehansko tdne in imajo dolgo življensko dobo Imajo tudi dobo nizkotempeatuno kaakteistiko in so hemetično zapte Imajo pa višjo ceno kot svinčene ali nikel-cinkove bateije V gobem jih po izdelavi delimo na dva tipa: celice z debelimi ploščami v kateih je aktiven mateial stisnjen v pefoian metalni tak v 5/11 DK

160 Vi napetosti(5)doc Jan-8 obliki žepkov ali tubusov, in na celice s sintanimi ploščami v kateih je aktivni mateial deponian v poozne eže metala Posebno slednje imajo majhno notanjo uponost in sposobnost velike obemenitve Upoabljajo se na pime v biomedicfinskih napavah, igačkah, itd Vsebujejo toksične substance Nikelj metal hididne bateije Omogočajo večjo gostoto enegije (enegija na kilogam teže) venda manjše število ponovnih polnenj kot nikel-kadmijeve bateije Upoaba: mobilne napave Litijeve-ionske bateije Hite azvoj, saj omogočajo zelo velike gostote enegije in majhno težo Upoaba: mobilni telefoni in penosni ačunalniki Litij je najlažji element od kovin, ima velik elektokemijski potencial in omogoča največjo gostoto enegije Metalne litijeve bateije so se izkazale kot nevane, saj se pi večkatnih polnenjih slabša tempeatuna kaakteistika (stabilnost) litijeve elektode Ta tip so nadomestile litij ionske bateije, ki so bolj vane: Pvo jih je komecialno začel izdelovati Sony leta 1991 Običajno je ena elektoda (anoda) iz gafita, duga (katoda) pa iz kobalta ali magnezija Elektolit je iz litijeve soli (LiPF 6, LiBF 4, o LiClO 4 ) Ena celica ima tipično napetost 3,6 V Čas polnenja je tipično 3h Komecialne Li-ionske bateije vsebujejo zaščitne elemente, na pime FET, ki odklopi bateijo, če je napetost višja od 4,3 V in vaovalko, ki odklopi tok, če tempeatua celice naaste na tempeatuo višjo od 9 o Poleg tega ima še vaovalo, ki pemanentno odklopi celico, če se poveča pitisk v notanjosti celice nad določeno vednost Tipična»življenska doba«li-ionskih bateij je 3 5 ciklov polnenja in paznenja ali dveleti od dneva poizvodnje (Vi: Wiki in wwwcadexcom) 6/11 DK

161 Vi napetosti(5)doc Jan-8 SLIKA: Pimejava bateij po gostoti enegije, notanji uponosti, času polnenja, itd Vi: wwwcadexcom SLIKA: Pimejava pednosti Litijevih bateij ped ostalimi glede na gostoto enegije Vi: TR Compton: Battey efeence book, Newnes, 7/11 DK

162 Vi napetosti(5)doc Jan-8 SLIKA: Napetostne kaakteistike V(t) azčnih tipov bateij Vi: TR Compton: Battey efeence book, Newnes, Galvani in Volta Zanimiva je zgodba nastanka Voltinovega izuma, ki je povezana s poskusi Luigija Galvanjija, Voltinega sonaodnjaka, ki je pesenečeno ugotavljal, da mtvi žabji kaki eagiajo na dotik s kovino, ka je azlagal z živalsko elektiko Volta je tej teoiji naspotoval in dokazal, da je to posledica zunanje geneiane napetosti, ka je tudi dokazal z upoabo elektike shanjene v Leidenski flaši ali pa z bimetalom, toej s stikom dveh azličnih kovinskih mateialov Dandanes vemo, da smo tudi ljudje sestavljeni iz celic, ki za svoje delovanje upoabljajo elektokemijske pincipe in da je penašanje signalov živčnih celic elektične naave Toej je imel delno Galvani pav, obstaja živalska elektika, le da je bila njegova intepetacija napačna V njegovem pimeu je bil ezultat tzljaja elektični sunek, ki je bil zunanje (ekstinsično) in ne notanje keian Voltini ekspeimenti in dognanja so mu pinesli pomembna piznanja (nagada Royal SLIKA: Voltine šalčke z elektolitom in Society leta 1791, Copleyeva nagada leta 1974) azličnima elektodama te Voltina kaskada in veliko slavo Raziskave je nadaljeval v smei povečanja napetosti, ki je bila zelo šibka (manj kot 1 V) in jo je bilo težko zaznati s tedaj najpopolnejšimi elektometi Uspelo mu je z zapoedno povezavo šalčk z elektolitom in bimetalnimi elektodami Povezal je diske iz cinka in seba te vmes dodal šibko kislino ali slano vodo in dobil Voltino kaskado, pi katei se je napetost na skajnih koncih povečevala v soazmeju s številom upoabljenih členov Zgodovinsko je moda zanimivo, da je njegovo delo močno podpl Napolenon, ki mu je podelil naziv vitez (Conte) in dal 8/11 DK

163 Vi napetosti(5)doc Jan-8 penzijo Hkati je Napoleon, ki se je zavedal pomena novih odkitij azpisal nagado 6 fankov za vsakoga, ki bi dosegel podobne dosežke kot Fanklin in Volta Leta 1881 na pvem intenacionalnem elektičnem (elektotehničnem) kongesu v Paizu, so v čast Volti po njemu poimenovali enoto za napetost Obstaja mnogo načinov geneianja elektične napetosti Poleg bateij je najbolj pomemben pincip upoabe geneacija izmenične napetosti z elektodinamskim načinom, ki pa ga bomo bolj natančno spoznali pi pedmetu OE SLIKA: Volta na»staem«bankovcu za 1 li ** Sončna celica Osnovni pincip delovanja sončne celice je geneacija paov elekton - vzel pod vplivom visoko enegijskih sončnih žakov Vzel pedstavlja pomanjkanje elektonov v dopianem polpevodniškem mateialu ozioma nezaključene vezi med atomi polpevodnika in dopanta Vzel se obnaša ekvivalentno pozitivnemu naboju in lahko potuje po polpevodniku, če nanj deluje elektična sila Njeno potovanje pa je počasnejše, kot potovanje postih elektonov (ečemo, da je mobilnost vzeli manjša od mobilnosti vzeli) Poleg tega je v polpevodnikih potebno upoštevati tok, ki je posledica kajevne azlike v koncentacijah nabojev, tako elektonov kot vzeli Ravno ta tok povzoči, da pi stiku dveh polpevodnikov azličnega tipa pide do peazpoeditve naboja in s tem do vgajenega elektičnega polja 9/11 DK

164 Vi napetosti(5)doc Jan-8 SLIKA: Sončna celica sestavljena iz polpevodniškega pn spoja Na povšini je antiefleksni sloj, ki povečuje absopcijo svetlobne enegije Vi: intenet Čisti, nedopian, polpevodniški mateial (ecimo Si ali Ge) je izolato Njegova specifična pevodnost je zelo majhna Če pa ga dopiamo z določenimi atomi, ecimo fosfoja ali boa, se ti atomi vgadijo v kistalno stuktuo silicija Dopianje se vši na zelo visoki tempeatui (čez 1 o C) Z dopianjem vnesemo v kistalno stuktuo silicija atome (pimesi), ki s sosednjimi atomi silicija tvoijo nezaključene vezi, ka v končni obliki pomeni, da je v pimeu vgajenega atoma fosfoja na mestu fosfoja višek elektona, ki je zelo šibko vezan na atom in je paktično posto gibljiv Na ta način lahko s kontolo množine (koncentacije) dopianih atomov uavnavamo pevodnost polpevodniškega mateiala Tak tip polpevodnika imenujemo n (negative) tip Kljub določeni koncentaciji postih (šibko vezanih) elektonov v snovi, pa je ta mateial še vedno elektično nevtalen Če podobno dopiamo silicij z atomi boa, tvoi atom boa z okoliškimi vezmi silicija nezaključeno vez, ka pedstavlja pomanjkanje elektona ozioma vzel Tak tip polpevodnika imenujemo p (positive) tip Tudi tak tip polpevodnika je pevoden, le da je mobilnost vzeli manjša kot mobilnost elektonov Zanimiv pa je stik dveh polpevodnikov azličnega tipa Ob stiku se tvoi ti pn spoj Tu pide zaadi izenačenja potenciala na meji do peazpoeditve nabojev, ka pomeni, da postane del pevodnika na meji bez nosilcev naboja in s tem ne več nevtalen Ostane vezan naboj, ki ustvai vgajeno elektično polje To polje kaže od n-tipa poti p-tipu polpevodnika To vgajeno polje se veča z večanjem ti zapone napetosti, toej tedaj, ko je na zunanji sponki n-tipa bolj pozitiven potencial kot na zunanji sponki p-tipu polpevodnika V tem pimeu skozi pevodnik teče le majhen, zaponi tok V naspotnem pimeu pa zunanja napetost povzoči zmanjšanje vgajenega polja in poveča pevodno pogo Ko zunanji vi vgajeno polje (pi pn diodi iz Si pi cca,7 V) izniči postane pn spoj pevoden in tok hito (eksponentno) naaste pn dioda je tipičen nelineaen element Kot smo že omenili je za delovanje sončne celice pomembna geneacija paov elektonvzel Če ta geneacija nastopi v osiomašenem podočju (kje je vgajeno polje), to polje potegne elektone v naspotni smei polja, vzeli (pozitivni naboj) pa v smei polja Ti naboji pedstavljajo zmanjšanje vgajenega polja venda obenem pesežek negativnih nabojev v n-tipu in pesežek vzeli v p-tipu polpevodnika Povzočijo neavnotežje, ki ga lahko zmanjšamo, če tako diodo katko sklenemo ali pa, če nanjo piključimo določeno beme Skozi beme steče tok, ki povzoči ponovno vzpostavitev avnotežja Če je fotogeneacija konstantna, je konstanten tudi tok, ki teče skozi piključeno beme Dobili smo geneato toka Več toka bomo seveda dobili če bo večja geneacija paov elekton- 1/11 DK