9. Potencial in napetost

Transcript

1 Potecial i apetost 9 9 Potecial i apetost Vsebia poglavja: Elektiči potecial - defiicija, potecial v okolici točkastega aboja, potecial sistema točkastih abojev, potecial v okolici zvezo poazdeljeih abojev, ekvipoteciale ploskve, elektiča apetost, Kichoffov zako Elektiči potecial Ugotovili smo že, da je elektiča poteciala eegija aboja a mestu T eaka delu pi peosu tega aboja od točke T v eskočost ozioma do mesta, kje je eegija eaka ič: T ( V = ) W ( T ) = E dl = E dl T T Nomiao potecialo eegijo imeujemo elektiči potecial T ( V = ) W ( T ) V ( T ) = = E dl T Eota za potecial je J/C = V Številčo je toej elektiči potecial eak delu polja elektičih sil za pemik eote aboja (1 C) od točke T do eskočosti Ali obato: Če pozamo potecial v določei točki, bo eegija poteba za peos aboja v polju elektičih sil iz eskočosti do te točke eaka poduktu aboja i poteciala: W ( T ) = V ( T ) ali tudi, če se a mestu T ahaja aboj (ali pa ga a to mesto postavimo) i ga sila polja pemake do mesta, kje je polje eako ič, pidobi eegijo W ( T ) = V ( T ) SLIKA: Potecial kot delo za peos aboja iz točke T v eskočost Potecial v okolici točkastega aboja Z upoštevajem defiicije za potecial kot omiae poteciale eegije, zapišemo (a določeo oddaljeost od aboja postavimo testi aboj t i določimo delo, pi peosu tega aboja od do eskočosti): W ( ) 1 V ( ) = = e e d = t t t 1/15

2 Potecial i apetost 9 SLIKA: Potecial v okolici točkastega aboja Poovimo ta pomembe ezultat: potecial točkastega aboja se z oddaljeostjo majša z 1/ i je eak V ( ) = Pofil polja i poteciala točkastega aboja 1 x 18 1 x Polje / V/m Potecial / V Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: Poazdelitev polja (levo) i poteciala (deso) v okolici točkastega aboja Polje upada 1/, potecial pa z 1/ % IZRIS POLJA IN POTENCIALA TOČKASTEGA NABOJA Z MATLABOM =1e-8; e=8854e-1; =-e-:1e-3:e-; V=/(4*pi*e*abs()); E=sig()*/(4*pi*e*^); % fukcija sig() poskbi za pavile pedzak polja plot(,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potecial / V'); figue; zeo=zeos(legth(),1); % vekto ičel potebujemo za izis liije ičle polja plot(,e,,zeo); xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); Pime: Določimo potecial v okolici točkastega aboja = 1 C pi = 1 cm 9 9 V m 1 1 C Izaču: Velja V ( = 1cm) = = 9 1 = 9kV A s 1 m /15

3 Potecial i apetost 9 (To tudi pomei, da bi bila eegija poteba za pemik aboja 1 C iz eskočosti do azdalje 1 cm od aboja 1 C eaka 9 kv 1 As = 9 kj, eegija za peos aboja C pa W = C 9 kv = 18µJ ) Potecial sistema točkastih abojev Ugotovili smo, da je potecial v okolici eega točkastega aboja eak V =, kje je azdalja od točke, kje iščemo potecial, do točke, kje se ahaja aboj Ke velja supepozicija polja, lahko tudi potecial določimo kot supepozicijo posamezih delih pispevkov omiae eegije Za sistem točkastih abojev bo toej potecial v točki T eak V T N = 1 i + + = =, 1 ( ) 1 i 1 i kje so 1, itd azdalje od aboja 1,, itd do točke T, kje ačuamo potecial SLIKA: Izaču poteciala sistema točkastih abojev Pime: Določimo potecial v sedii med dvema točkastima abojema = 1 C oddaljeima za cm 1 9 V m 9-1 Izaču: V = + = = C 1 m = 18 kv 1cm A s 1 * Potecial v okolici sistema zvezo poazdeljeih abojev Za poazdelitev točkastih abojev smo ugotovili, da lahko potecial določimo kot vsoto N 1 i V = 4π i= 1 i Če je poazdelitev aboja zveza moamo vzeti e mali del celotega aboja i z limitiajem vsote delih pispevkov dobimo 1 d 4π lim N i V = = ozioma i= 1 i po vseh -jih d dv = je azdalja od mesta, kje se ahaja d do točke kje iščemo potecial Odviso od ačia poazdelitve aboja (po povšii, volumu, liiji) določimo potecial kot V V V = = = V A L ρdv σ da qdl 3/15

4 Potecial i apetost 9 SLIKA: Izaču poteciala poazdeljeega aboja s seštevajem (itegacijo) delih pispevkov dv Na sliki je aisa difeecial aboja, točka T kje ačuamo itegal i azdalja od d do točke T Pime: Izačuajmo potecial vzdolž Z osi za eakomeo aelekte taek oboč polmea a z abojem, ki leži v avii z = qdl Ke je aboj poazdelje eakomeo po oboču lahko upoabimo eačbo V =, ki jo L zapišemo v obliki V π a π qadϕ π = a = = a + z a + z a + z Ugotovimo lahko, da je ači ačuaja poteciala podobo ačuaju elektiče poljske jakosti, le da je običajo ekoliko bolj peposto Pedvsem zato, ke je potecial skalaa veličia, polje pa vektoska Pogosto zato elektičo polje določimo posedo, tako, da ajpej izačuamo potecial, ato pa iz poteciala še elektičo poljsko jakost Kako, bomo spozali v adaljevaju Potecialo polje je skalao polje Potecial lahko določimo v vsaki točki postoa eodviso od poazdelitve abojev, eako, kot je veljalo za elektičo poljsko jakost Je pa za azliko od elektičega polja, ki je vektosko polje, potecial skalaa veličia i tvoi skalao polje Ekvipoteciale ploskve Če povežemo točke z eako velikostjo poteciala dobimo ploskev, ki jo imeujemo ekvipoteciala avia ali bolje ekvipoteciala ploskev V pimeu osamljeega točkastega aboja so ekvipoteciale ploskve kožice, oz v 3D povšie kogle Običajo jih išemo tako, da je azlika potecialov med vsako asledjo ploskvijo kostata Pime: Določimo ekvipoteciale ploskve v okolici točkastega aboja = 1 C Ugotovili smo že, da velja za potecial v okolici točkastega aboja eačba V ( ) = Ugotovili smo tudi, da je ta potecial a azdalji 1 cm eak V ( = 1cm) = 9kV Potecial 9 kv je toej eak v vseh točkah, ki so od točkastega aboja oddaljei za 1 cm, ka pikažemo z lupio kogle (v D z kožico) polmea 1 cm Kje pa se ahajajo ekcipoteciale ploskve s 4/15

5 Potecial i apetost 9 poteciali 8 kv, 7 kv itd? Peposto: eačba, ki jo je potebo ešiti za ekvipotecialo ploskev s potecialom 8 kv bo kv = 8kV = / ( 8 kv ) = m =, 115 m = 1,15 cm 3 8kV Nasledja ekvipotecialka bo pi 7kV = 1,15 cm = 1, 85 cm itd V splošem as zaimajo 7 ekvipoteciale ploskve, kateih poteciali se azlikujejo za kostato azliko apetosti, v ašem pimeu za 1 kv) Za ekvipoteciale ploskve v okolici točkastega aboja lahko ugotovimo, da se vstijo v geometijskem zapoedju SLIKA: Pikaz ekvipotecialih ploskev za točkasti aboj SLIKA: Gafičo a več ačiov lahko pikazujemo ekvipoteciale ploskve Na podobe ači so določee izohipse, kot točke z eako višisko azliko Na sliki levo je azvide pofil azličih vzpeti i usteze izohipse Vi: 4osceedussi/gadiva/geo/zemljevid/vsehtm Podobo lahko pi azlagi vemea upoabljamo izobae (čte z eakim pitiskom), lahko tudi duge veličie, pomembe za azlago vemea: tempeatua, hitost dvigaja veta Vi: Elektiča apetost Ugotovili smo že, da lahko delo potebo za pemik aboja med dvema točkama določimo iz azlike poteciale eegije sistema abojev ped i po pemiku Če to delo opavi testi aboj 1 C govoimo o elektiči apetosti med dvema točkama Elektiča apetost je toej številsko eaka delu polja elektičih sil potebem za peos eote aboja iz točke T 1 do točke T : 5/15

6 Potecial i apetost 9 T t E dl T A ( T1 T ) W ( T1 ) W ( T ) t T 1 U1 = = = = E dl t t t T1 Ugotovimo lahko, da lahko elektičo apetost določimo tudi kot azliko potecialov: 1 1 T U = V ( T ) V ( T ) = E dl E dl = E dl ELEKTRIČNA NAPETOST T1 T T1 Kichoffov zako Ugotovili smo, da elektičo apetost med dvema točkama določimo z itegacijo elektiče poljske jakosti po poljubi poti od ee do duge točke Obeem smo ugotovili, da je ta itegal eak ič, če je pot zaključea sama vase Toej bi lahko pisali: T1 T T3 T1 E dl = E dl = E d l + E dl + + E dl = U + U + + U = L T1 T1 T TN 1 1 N Ali tudi, vsota vseh apetosti po zaključei poti (zaki) je eaka ič, ka je Kichoffov zako: N i= 1 U i = 6/15

7 Potecial i apetost 9 OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR: Dve avi vzpoedi aelektei plošči: plošči kodezato Ravi vzpoedi plošči povšie A = 5 8 cm sta oddaljei za d = 1 cm i imata aboj ± = ± C Določimo polje, potecial i apetost med ploščama, pi čeme pedpostavimo homogeost polja med ploščama (polje eskočih aelekteih avi) SLIKA: a) Dve avi aspoto aelektei plošči postavljei v koodiati sistem z omalo v smei osi X b) Napetost i polje med dvema avima (aspoto) aelekteima ploščama Plošči postavimo v koodiati sistem, ecimo tako, da je omala a povšio v smei X osi i da ima leva elektoda pozitivi aboj Ob pedpostavki eakomee poazdelitve aboja, je σ = Dobimo A C σ = = 5µm/m 4 cm Elektičo polje med ploščama je supepozicija polj dveh plošč i je eako * E e σ σ = x = ex Napetost med ploščama dobimo z itegacijo polja med ploščama: T d U E dl e σ σ = = x exdx = d T1 Mikoelektoska idustija upoablja tehologijo mikomehaske obdelave (MEMS) za ealizacijo mikoskih stuktu Na sliki itegacija meilika pospeškov, z elektoiko Meilik pospeškov je v osovi sestavlje iz iza ploščih kodezatojev Ee staice so fikso vpete, duge pa se lahko pemikajo Z mejejem spemembe kapacitivosti lahko določimo hitost spemembe pospešek ajia/ Izaču: A s/m U =,1m = 56,5 kv 1 A s 8,854 1 V m * Tu smo pedpostavili polje v okolici dveh aelekteih avi V esici sta dve vzpoedi plošči omejeih dimezij, zato velja apoksimalcija le delo, toej pedvsem tedaj, ko je povšia plošč velika v pimejavi z azdaljo med ploščama 7/15

8 Potecial i apetost 9 Iz pimea ugotovimo, da je elektiča poljska jakost med ploščama kostata i eaka E = σ Takemu polju ečemo tudi homogeo polje Če v eačbi za apetost med ploščama zamejamo σ = E, dobimo U Ed = ozioma U E = To sta eačbi, ki ju pozamo že iz sedješolske fizike Ugotovimo lahko, da d sta eačbi ustezi za izaču polja ali apetosti, veda le v tem koketem pimeu, toej, za polje oz apetost med dvema avima eakomeo aelekteima ploščama To seveda e zmajšuje pomembosti izaza, pač pa velja le kot opozoilo, da se ga e bi upoabljalo ekitičo Če polje med dvema točkama i homogeo, je potebo apetost med točkama izačuati s pomočjo itegala elektiče poljske jakosti po poti To bomo pikazali z asledjim pimeom (koaksiali kabel) Določimo še potecial med ploščama ploščega kodezatoja: če ozemljimo deso elektodo (elektodo, ki ima egativi aboj), bo potecial med elektodama ( V ( x = d) =, V ( x = ) = U ): d V ( x) = e σ σ x e dx ( d x) = x x Če ozemljimo levo elektodo, bo potecial med elektodama: V ( x) = e σ σ x exdx x = V ( x = ) =, V ( x = d) = U x SLIKA: Levo: Ekvipoteciale ploskve med i v okolici dveh aspoto aelekteih avih plošč Ugotovimo, da so med ploščama ekvipoteciale ploskve eakomeo azmakjee, v okolici pa e (bolj goste so ob obovih elektod) Deso: Vektoji elektiče poljske jakosti skupaj z ekvipotecialimi ploskvami i velikostjo elektiče poljske jakosti (večje polje bolj deča bava) Za lažje opazovaje so vektoji polja pikazai eako veliki eodviso od velikosti polja 8/15

9 Potecial i apetost 9 Koaksiali kabel (valji kodezato) Med žilo i oklopom začega koaksialega kabla je apetost kv Določimo liijsko gostoto aboja a žili i oklopu te maksimalo elektičo poljsko jakost, če je polme žile = mm, o = 5 mm, z = 7 mm Oklop i žila sta iz pevodega mateiala SLIKA: Koaksiali kabel s piključitvijo apetosti med oklopom i žilo Izaču: Najpej moamo pedpostaviti eakomeo poazdelitev aboja a žili i oklopu Pedpostavimo pozitivi aboj a žili () i egativi a oklopu (-) Elektičo poljsko jakost med žilo i oklopom določimo s pomočjo Gaussovega zakoa Na eki azdalji od osi kabla izačuamo petok el polja skozi plašč valja (a velikost polja a adiju vpliva le zaobjeti aboj):i dobimo eačbo, ki je idetiča eačbi za polje v okolici peme elektie (aelektee pemice) * : ql q E πl = i E = ozioma q E = e Ali je povšiska gostota aboja eako velika a oklopu i a povšii žile? Odgovo je NE Eako velik je celoti aboj, za gostoto aboja pa velja: ( ) = σ π l = o = σ o πo l, toej bo σ o = σ o mm V koketem pimeu bo toej σ o = σ = σ = σ o 5mm 5 Pogosto as zaima tudi gostota povšisko poazdeljeega aboja Iz izpeljaih eačb q σ π σ E( ) = = = ozioma σ = E( ) Koaksiale kabel za visokofekveči peos sigalov html Da bi lahko določili q ali σ moamo zapisati še izaz za apetost med žilo i oklopom Napetost med oklopom i žilo določimo z itegacijo polja med kotaktoma: * Podobo bi izvajali, če bi izhajali iz eakomee povšiske gostote aboja a povšii žile σ ( = ) = σ : σ A( ) l E πl = i i E = σ π σ l = ozioma σ E = e Eačba je seveda eakoveda pejšji, saj velja = ql = σ π l, ozioma q = σ π 9/15

10 Potecial i apetost 9 z z U = E dl = E dl + E dl + E dl = + E dl + Zakaj sta pvi i tetji itegal eaka ič? Zato, ke itegiamo polje, ki pa je zotaj žile i zotaj (pevodega oklopa) eako ič! To lahko hito ugotovimo z azmislekom, da se pozitivi i egativi aboji pivlačijo i se zato pozitivi abeejo a povšii žile, egativi pa a otaji stai oklopa Z upoabo Gaussovega zakoa a plašču valja z adijem, ki je večji od polmea bi hito ugotovili, da je polje zotaj oklopa eako ič, saj je zaobjeti aboj vsota eako velikega pozitivega i egativega aboja q q U = E e d = e e d = l Napetost bi lahko določili tudi iz azlike potecialov Če pipišemo potecialu oklopa potecial ič, toej V ( o ) =, bo q U = V ( ) V ( ) = V ( ) = E e d = l q Potecial v poljubi točki bo toej V ( ) = E ed = l Zotaj žile i polja (ka lahko pokažemo z Gaussovim stavkom), potecial je toej v otajosti žile eak kot a povšii Podobo lahko pokažemo tudi za oklop I še izaču liijske gostote aboja (iz eačbe za apetost): 1 A s π8, q = U = 1 V V m =,11µC/m 5 mm l l mm Elektičo polje je maksimalo pi ajmajšem adiju, toej pi : q U 3 Emax = e = e 1 V E max = = 1,9MV/m l m l Poovimo pomembe ezultate iz tega pimea: apetost med žilo i plaščem koaksialega kabla je q U = l, q elektičo polje pa E = e ali E σ = e U ozioma izažeo z apetostjo E = e l Povšiska gostota aboja pi je σ = E( ) 1/15

11 Potecial i apetost 9 Izis poteka poteciala i polja zotaj koaksialega kabla 1 x 15 1 El poljska jakost [V/m] Potecial [V] Radij [m] x Radij [m] x 1-3 Slika: Elektiča poljska jakost i potecial zotaj koaksialega kabla % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8854e-1; U=; =e-3; o=5e-3; q=u**pi*e/(log(o/)); R=:1e-5:o; E=zeos(legth(R),1);V=E; E=q/(*pi*e)/R; V=q/(*pi*e)*log(o/R); fo i=1:1:legth(r) if R(i)< V(i)=U; E(i)=; ed ed plot(r,v); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' Potecial [V]'); figue; plot(r,e); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' El poljska jakost [V/m]'); beak 11/15

12 Potecial i apetost 9 Kogeli (sfeiči) kodezato Obavavamo dve lupii kogle z eakomeo i aspoto aelekteo gostoto aboja Pime kogelega kodezatoja je zemlja z začo atmosfeo, ki ločuje povšio zemlje od ioosfee Dug pomembe pime je biološka celica, ki ima slabo pevodo tako membao Pime je tudi kogla Va de Gaffovega geeatoja z dugo elektodo v eskočosti Pime: Na povšii zemlje izmeimo elektičo poljsko jakost 15 V/m, ki je usmejea v smei sedišča zemlje Določimo apetost med zemljo i ioosfeo, ki je od povšie zemlje oddaljea pibližo * 4 km Določimo še povšisko gostoto Zemlja kot sfeiči kodezato Med zemljo i ioosfeo je visoka apetost, ka vpliva a elektiče pojave aboja Polme zemlje je = 637 km, ioosfee pa i = 641 km Pedpostavimo zemljo i ioosfeo kot sfeiči kodezato SLIKA: Podočje med povšio zemlje i ioosfeo pedstavimo kot velik kogeli kodezato Ke je polje a povšii usmejeo v smei sedišča zemlje pomei, da je zemlja aelektea egativo glede a ioosfeo Zemljo i ioosfeo pedstavimo kot sfeiči kodezato Zao je, da je a povšii zemlje pesežek egativega aboja, v ioosfei pa pozitivega Elektičo polje kaže v smei ceta zemlje i je (lahko z upoabo Gaussovega zakoa) eako ( je egative) E = e Napetost med ioosfeo i zemljo je Biološko celico lahko obavavamo v elektičem smislu kot sfeiči kodezato Celiča membaa je izedo taka, ekaj m, i slabo pevoda, medtem, ko je otajost mogo bolj pevoda fo/fudametals/ * Pi izačuu smo pedpostavili, da je zemlja oblike kogle Ioosfea je del atmosfee zemlje, ki je ioizia zaadi učikov adiacije soca i kozmičih visokoeegijskih delcev Eegija, ki jo soce oddaja v določeem spektu je tako velika, da lahko azbije molekule i jih ioiziaveč o tem: 1/15

13 Potecial i apetost U = E e d = e e d = = i i i i 1 U 1 1 E( = ) = e = e 15V/m e = Sledi i ( ) U = 15V/m = 15V/m m 1 m 6 MV i Če pedpostavimo potecial zemlje eak ič V ( ) =, dobimo za potecial V ( ) = E e d = e e d = = Gostota aboja a povšii zemlje je E( ) σ ( ) = = = = E( ) A 4π 4 π I še ezultat: σ = 15 V/m = 1,33 C/m = E( ), 4 Potecial [V] El poljska jakost [V/m] Razdalja [m] x 1-3 SLIKA: Pikaz poazdelitve poteciala i absolute vedosti polja v sfeičem kodezatoju (azdalje i apetosti so za pimejavo vzete iz pimea cilidičega kodezatoja) 13/15

14 Potecial i apetost 9 % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8854e-1; U=; =e-3; z=5e-3; =U*4*pi*e/(1/z-1/); R=:1e-5:z; E=zeos(legth(R),1); V=E; E=abs(/(4*pi*e*R)); V=/(4*pi*e)*(1/R-1/); fo i=1:1:legth(r) if R(i)< V(i)=; E(i)=; ed ed [ax ax1 ax]=plotyy(r,v,r,e,'plot'); axes(ax(1)); ylabel(' Potecial [V]'); xlabel('razdalja [m]') axes(ax()); ylabel(' El poljska jakost [V/m]'); set(ax1,'liestyle',':') set(ax1,'liewidth',3) set(ax,'liewidth',) Pomembi ezultati za sfeiči kodezato: V splošem imamo sfeiči kodezato z otajim polmeom i zuajim polmeom i = z : Polje v sfeičem kodezatoju je eako E = e 1 1, apetost pa U = z 1 1 ozioma U = E( ) Povšiska gostota aboja pi = je σ ( ) = E( ) z 14/15

15 Potecial i apetost 9 POVZETEK: 1) Elektiči potecial je eaka omiai poteciali eegiji aboja Ali tudi: elektiči potecial v točki T je številsko eak delu pi peosu eote aboja (1 C) od točke T v eskočost ozioma do mesta, kje je potecial eaka ič T ( V = ) W ( T ) V ( T ) = = E dl T ) Potecial v okolici točkastega aboja se majša z 1/: V ( ) = 3) Potecial sistema točkastih abojev je eak vsoti pispevkov posamezih potecialov: N 1 i V ( T ) = i= 1 i je azdalja od točke, kje ačuamo potecial do aboja i i d 4) Potecial poazdeljeih abojev določimo z itegacijo V = je azdalja od d-ja do točke, kje ačuamo potecial po vseh -jih 5) Potecial je tako kot elektiča poljska jakost defiia povsod v postou, zato ga lahko pikažemo kot potecialo polje Za vizualizacijo pogosto upoabljamo pikaz ekvipotecialih ploskev, ki so ploskve z eako vedostjo elektičega poteciala Običajo jih išemo tako, da je azlika potecialov med vsako asledjo ploskvijo kostata 6) Elektiča apetost je številsko eaka delu polja elektičih sil potebem za peos T A ( T1 T ) t eote aboja iz točke T 1 do točke T U1 = = E dl Napetost je azlika potecialov U1 = V ( T1 ) V ( T ) 7) Delo po zaključei poti je eako ič, ka zapišemo tudi kot E dl = Iz tega sledi Kichoffov zako, da je vsota vseh padcev apetosti po zaključei poti (zaki) eaka ič: N Ui = i= 1 t T1 L 15/15