primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

Transcript

1 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74

2 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L p p h L >> h RAK: P-XII/2/74

3 Reševanje mehanskih problemov z MKE pomiki v Kartezijevem koordinatnem sistemu u u - RAK: P-XII/3/74

4 Reševanje mehanskih problemov z MKE pomiki v Kartezijevem koordinatnem sistemu u z - u RAK: P-XII/4/74

5 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε ε - RAK: P-XII/5/74

6 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε zz - ε - RAK: P-XII/6/74

7 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε z - ε z - RAK: P-XII/7/74

8 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ σ - RAK: P-XII/8/74

9 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ zz - σ - RAK: P-XII/9/74

10 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ z - σ z - RAK: P-XII//74

11 Reševanje mehanskih problemov z MKE Mises-ova primerjalna napetost σ prim RAK: P-XII//74

12 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje Kdaj lahko mehanski problem obravnavamo kot ravninsko napetostni problem? da lahko problem obravnavamo kot ravninsko napetostni problem ( privzemimo da obravnavamo ravnino (,) ), mora biti izpolnjeno: ) komponente napetostnega tenzorja σ zz, σ z in σ z morajo biti tako majhne, da jih lahko zanemarimo 2) homogen material, katerega fizikalne lastnosti so lahko tudi ortotropne 3) predpisani robni pogoji se nanašajo na ravnino obravnavanega problema 4) obremenitev mora ležati v ravnini obravnavanega problema z RAK: P-XII/2/74

13 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje od nič različne komponente napetostnega tenzorja v Kartezijevem koordinatnem sistemu za primer ravninskega napetostnega stanja so naslednje σ ij = σ σ σ z = σ σ σ z = σ σ σ z z zz = = = RAK: P-XII/3/74

14 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje komponente deformacijskega tenzorja lahko v Kartezijevem koordinatnem sistemu zapišemo v odvisnosti od pomikov v obravnavanem območju, upoštevajoč ravninsko napetostno stanje ε zz ε =, = u ε =, γ z =, γ z = ε =? u ε = = u γ u u γ [ L]{ u} u RAK: P-XII/4/74

15 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje za homogeni, izotropni, linearno elastični material, lahko iz zveze med napetostmi in deformacijami, ki jo definira Hookov zakon, izračunamo še komponento deformacijskega tenzorja ε zz E ν σ = = [ vε vε ( v) ε ] ε = ε ε ( v)( 2 v) ( v) zz zz zz RAK: P-XII/5/74

16 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje upoštevajoč izraz za komponento deformacijskega tenzorja ε zz ν ε = ε ε ( v) zz v zapisu Hookovega zakona, dobimo sistem treh enačb, v katerem nastopajo samo komponente deformacijskega in napetostnega tenzorja, ki se nanašajo na ravnino (,) E σ = [ ε 2 vε ] ( v ) E σ = [ ε 2 vε ] ( v ) σ E = γ 2( v) RAK: P-XII/6/74

17 Dobljeni sistem enačb lahko simbolno matrično zapišemo { σ} = [ E]{ ε} upoštevajoč v zapisu { } { σ} = σ σ σ { } { ε} = ε ε γ Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje T T E ( ν ) [ E] = 2 ν ν ( ν) 2 RAK: P-XII/7/74

18 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje izoparametrični 2D KE interpolacija geometrije KE = = ( ~, ~ ) = ( ~, ~ ) = N v j= N v j= j j ~ ψ ( ~, ~ ) j ~ ψ ( ~, ~ ) j ( 4, 4 ) ( 3, 3 ) (, ) 2 ~ (, ) (, ) 2, ) ( 2 Kartezijev 2D koordinatni sistem 3 4 ~ (, ) (, ) naravni koordinatni sistem RAK: P-XII/8/74

19 Osnove MKE ψɶ j interpolacijske funkcije za štiri vozliščni izoparametrični 2D KE lahko zapišemo z enačbo ψ ɶ ( ɶ, ɶ ) = 4 ( ɶɶ )( ɶɶ ) j j j (, ) 2 ~ (, ) 3 4 ~ (, ) (, ) naravni koordinatni sistem RAK: P-XII/9/74

20 Osnove MKE izpeljava interpolacijske funkcije za tri vozliščni 2D KE upoštevajoč trikotniške koordinate: A ψ z = Λ z = { } Tab j(,, ) j(,, ), a b j, a,b,2,3 A23 j =,2,3 A A A = A T23 T3 T (, ) 3 3 T(,) 2 (, ) 2 2 (,,, ) (,,) 3 A T3 T A T23 2 (, ) (,, ) A T2 (,, ) Kartezijev koordinatni sistem volumski koordinatni sistem RAK: P-XII/2/74

21 Izrazimo funkcije Λ j v odvisnosti od Kartezijevih koordinat Osnove MKE = Λ Λ Λ = Λ Λ Λ Λ 2 3 = 2 2 Λ 3 Λ3 Za enolično izražavo potrebujemo še eno enačbo, ki jo dobimo iz zveze AT23 AT3 AT2 = A23 Λ Λ 2 Λ 3 = Tako dobimo sistem treh enačb za tri iskane funkcije Λ j Λ 2 = 3 Λ2 2 3 Λ3 Λ 2 2 Λ = 3 Λ RAK: P-XII/2/74

22 Izračunane vrednosti a i, b i in c i v inverzni matriki so seveda konstante, odvisne od koordinat v Kartezijevem koordinatnem sistemu Osnove MKE Λ 2 2 Λ = 3 Λ Λ a b c 2 a2 b2 c Λ = 2 Λ 3 a3 b3 c 3 Interpolcijsko funkcijo lahko sedaj zapišemo v sledeči obliki ψ (, ) = Λ (, ) = a b c j j j j j RAK: P-XII/22/74

23 matrični zapis enačbe KE za linearno elastični statično obremenjeni problem Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje za posamezni KE dobimo toliko enačb, kolikor ima KE prostostnih stopenj v vozlišču KE sta neznani dve primarni veličini pomika, tako da ima posamezni KE (2*N v ) prostostnih stopenj [ K ] = F e { U} e { } e K K2 K3 K(2 N v ) U F K 2 K 22 K 23 K 2(2 N v ) U F K U 3 K 32 K 33 K 3(2 N 2 F2 v ) = K K K K U(N ) F (N ) (2N v v v ) (2N v )2 (2N v )3 (2N v )(2N v ) e e e RAK: P-XII/23/74

24 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje togostna matrika [K] e se izračuna na sledeči način T [ ] ( ) ( ) K = [ L][ N] [ E] [ L][ N] h dω = e = Ω e T [ Gɶ ][ Pɶ ] [ E] [ Gɶ ][ Pɶ ] h J dɶ dɶ ( ) ( ) e produkt matrik [ L][ N ] je določen s sledečim izrazom u N ψ ψ v U U ε U u u ψ ψ U Nv ε = = = = [ L][ N ] u ε U N U v u u Nv ψ ψ ψ N ψ v U Nv U N v RAK: P-XII/24/74

25 matrika [ G ɶ ] je določena s sledečim izrazom u u u ɶ ɶ u u ε I ɶ I ɶ u ɶ ɶ ε = = I I G u = ɶ ɶ ɶ u ε I I I I u u ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ u u Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje ɶ ɶ RAK: P-XII/25/74

26 I kk ɶ Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje Elementi matrike [ G ɶ ] so elementi inverzne Jacobijeve matrike [ J] ɶ ɶ Iɶ Iɶ = = I I ɶ ɶ ɶ ɶ ki predstavlja povezavo med Kartezijevim koordinatnim sistemom in naravnim koordinatnim sistemom uk uk uk I I ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ = =, k =, u I k uk I ɶ ɶ uk ɶ ɶ ɶ ɶ RAK: P-XII/26/74

27 matrika [ P ɶ ] izhaja iz že znane odvisnosti polja pomikov od vozliščnih vrednosti pomikov in interpolacijskih funkcij izraženih v naravnem koordinatnem sistemu Nv (, ) j ψɶ j( ɶ, ɶ) = { } { ψɶ } j= u U U Nv (, ) j ψɶ j( ɶ, ɶ) = { } { ψɶ } j= u U U Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje RAK: P-XII/27/74

28 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje tako da lahko odvode po koordinatah naravnega koordinatnega sistema izrazimo z vozliščnimi vrednostmi pomikov in odvodi interpolacijskih funkcij u ψɶ ψɶ N v ɶ ɶ ɶ U U u ψɶ ψɶ N v U U ɶ ɶ ɶ P u = = ɶ ψ ψ ɶ ɶ N v U N U v Nv ɶ ɶ ɶ u U N U v N ψ ψ ɶ ɶ v Nv ɶ ɶ ɶ RAK: P-XII/28/74

29 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje posamezni element vektorja {F} e predstavlja v vozlišču KE delujočo vektorsko komponento sile v smeri določene koordinatne osi v primeru, da je velikost vektorske komponente pomika v smeri določene koordinatne osi v vozlišču KE poznana, velikost točkovne mehanske obremenitve v tej smeri ni poznana Uik = Fik =?, i =,.., N v, k =, RAK: P-XII/29/74

30 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje v primeru, da velikost komponente pomika v smeri določene koordinatne osi v vozlišču KE ni poznana, je velikost točkovne mehanske obremenitve v tej smeri možno izračunati Uik =? Fik =, i =,.., Nv, k =, v primeru točkovne mehanske obremenitve na ograji obravnavanega območja, mrežo KE generiramo tako, da točka, v kateri deluje točkovna obremenitev, sovpada z vozliščem KE FIk = FTk, I = {,.., NKE}, k =, točkovna obremenitev: - je vezana na vozlišče mreže KE in ne na posamezni KE RAK: P-XII/3/74

31 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje velikost točkovne obremenitve F k predstavlja celotno silo po debelini obravnavanega območja v smeri z koordinatne osi F = h f, k = F f k k k k [N] [N/m], z h F k RAK: P-XII/3/74

32 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje v primeru ploskovno porazdeljene mehanske obremenitve na ograji obravnavanega območja, izračunamo ekvivalentne vozliščne sile za posamezni KE { Fp } e = Γ e p[ N] T h dγ F p p Γ e z h p z RAK: P-XII/32/74

33 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE U = U = U = U = U u ( ɶ, ɶ ) = U ψɶ ( ɶ, ɶ ) = U j j j= u (, ) ɶ ɶ = U ε ij u u u ε γ = = = γ σ u u u [ ] RAK: P-XII/33/74

34 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE U = U = U U = U = U u ( ɶ, ɶ ) = U ψɶ ( ɶ, ɶ ) = U ɶ u j j j= ( ɶ, ɶ ) = U U ε ij u u u ε γ U = = = γ σ u u u [ ] RAK: P-XII/34/74

35 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE 3 U 2 4 U U = U = U U = U = U u ( ɶ, ɶ ) = U ψɶ ( ɶ, ɶ ) = U ɶ u j j j= ( ɶ, ɶ ) = U U ε ij u u u ε γ U = = = γ σ u u u U [ ] RAK: P-XII/35/74

36 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE U 2 3 U 4 U U U = U = U U = U = U u ( ɶ, ɶ ) = U ψɶ ( ɶ, ɶ ) = U ɶɶ u j j j= ( ɶ, ɶ ) = ε ij u u u ε γ U ɶ U ɶ = = = γ σ u u u U ɶ [ ] RAK: P-XII/36/74

37 Osnove MKE numerični izračun integrala po dveh spremenljivkah z Gaussovo integracijsko formulo I = m m ~ f ( ~, ~ )d ~ d ~ - j= i= w j w i ~ f ( ~ i, ~ j ) lega integracijskih točk v primeru 2D KE: (-,) ~ (,) (-,) ~ (,) ~ ~ (-,-) (,-) (-,-) (,-) RAK: P-XII/37/74

38 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE 2 (-,) ~ (,) 3 4 ~ U (-,-) (,-) ε ij u u u ε γ = = = γ σ u u u [ ] RAK: P-XII/38/74

39 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE 2 (-,) ~ (,) 3 4 ~ U U (-,-) (,-) ε ij u u u ε γ U = = = γ σ u u u [ ] RAK: P-XII/39/74

40 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE U 2 U (-,) ~ (,) 3 4 ~ U U (-,-) (,-) ε ij u u u ε γ U = = = γ σ u u u U [ ] RAK: P-XII/4/74

41 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje vpliv numerične integracije na rezultate izračuna v primeru štiri vozliščnega 2D KE U 2 U (-,) ~ (,) 3 4 ~ U U (-,-) (,-) ε ij u u u ε γ U ɶ U ɶ = = = = γ σ u u u U ɶ [ ] RAK: P-XII/4/74

42 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje primerjava Mises-ove primerjalne napetosti: 3D KE 2D ravn. nap. KE 3D KE σ prim 2D KE σ prim RAK: P-XII/42/74

43 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p RAK: P-XII/43/74

44 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p RAK: P-XII/44/74

45 Reševanje mehanskih problemov z MKE pomiki v Kartezijevem koordinatnem sistemu u - u RAK: P-XII/45/74

46 Reševanje mehanskih problemov z MKE pomiki v Kartezijevem koordinatnem sistemu u z - u RAK: P-XII/46/74

47 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε - ε - RAK: P-XII/47/74

48 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε zz - ε - RAK: P-XII/48/74

49 Reševanje mehanskih problemov z MKE deformacije v Kartezijevem koordinatnem sistemu ε z - ε z - RAK: P-XII/49/74

50 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ - σ - RAK: P-XII/5/74

51 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ zz - σ - RAK: P-XII/5/74

52 Reševanje mehanskih problemov z MKE napetosti v Kartezijevem koordinatnem sistemu σ z - σ z - RAK: P-XII/52/74

53 Reševanje mehanskih problemov z MKE Mises-ova primerjalna napetost σ prim RAK: P-XII/53/74

54 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje Kdaj lahko mehanski problem obravnavamo kot ravninsko deformacijski problem? da lahko problem obravnavamo kot ravninsko deformacijski problem ( privzemimo da obravnavamo ravnino (,) ), mora biti izpolnjeno: ) komponente deformacijskega tenzorja ε zz, ε z in ε z morajo biti tako majhne, da jih lahko zanemarimo 2) homogen material, katerega fizikalne lastnosti so lahko ortotropne 3) predpisani robni pogoji se vzdolž z koordinatne osi ne spreminjajo 4) obremenitev se vzdolž z koordinatne osi ne spreminja z RAK: P-XII/54/74

55 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje komponente deformacijskega tenzorja lahko v Kartezijevem koordinatnem sistemu zapišemo v odvisnosti od pomikov v obravnavanem območju, upoštevajoč ravninsko deformacijsko stanje ε ε u u =, γ = u = ε =, γ =, γ = zz z z u ε u ε = = u γ [ L]{ u} RAK: P-XII/55/74

56 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje od nič različne komponente napetostnega tenzorja v Kartezijevem koordinatnem sistemu za primer ravninskega deformacijskega stanja so naslednje σ ij = σ σ σ z = σ σ σ z = σ σ z z σ = = zz RAK: P-XII/56/74

57 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje za homogeni, izotropni, linearno elastični material, lahko iz zveze med napetostmi in deformacijami, ki jo definira Hookov zakon, izračunamo od nič različne komponente napetostnega tenzorja E σ = [( v) ε vε ] ( v)( 2 v) E σ = [ vε ( v) ε ] ( v)( 2 v) E σ zz = [ vε vε ] ( v)( 2 v) σ E = γ 2( v) RAK: P-XII/57/74

58 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje upoštevajoč izraz za komponento napetostnega tenzorja σ zz σ E zz = [ v v ] ( v)( 2 v) ε ε v zapisu Hookovega zakona, dobimo sistem treh enačb, v katerem nastopajo samo komponente deformacijskega in napetostnega tenzorja, ki se nanašajo na ravnino (,) E σ = [( v) ε vε ] ( v)( 2 v) E σ = [ vε ( v) ε ] ( v)( 2 v) σ E = γ 2( v) RAK: P-XII/58/74

59 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje dobljeni sistem enačb lahko simbolno matrično zapišemo { σ} = [ E]{ ε} upoštevajoč v zapisu { } { σ} = σ σ σ { } { ε} = ε ε γ [ E] T T ( ν) ν E = ν ( ν) ( ν)( 2ν) ( 2ν) 2 RAK: P-XII/59/74

60 izoparametrični 2D KE interpolacija geometrije KE Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje = = ( ~, ~ ) = ( ~, ~ ) = N v j= N v j= j j ~ ψ ( ~, ~ ) j ~ ψ ( ~, ~ ) j ( 4, 4 ) ( 3, 3 ) (, ) 2 ~ (, ) (, ) 2, ) ( 2 Kartezijev 2D koordinatni sistem 3 4 ~ (, ) (, ) naravni koordinatni sistem RAK: P-XII/6/74

61 interpolacija polja pomikov po območju KE Nv ˆ ɶ ɶ ɶ j ψɶ j j= Nv ˆ ɶ ɶ ɶ j ψɶ j j= Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje { } u (, ) u (, ) = u (, ) = U ( ɶ, ɶ ) = U { ψɶ } { } u (, ) u (, ) = u (, ) = U ( ɶ, ɶ ) = U { ψɶ } u { ψɶ } { U } { u} e = = [ N ]{ U } = ɶ u { ψ } ɶ { U } e e e ( 4, 4 ) ( 3, 3 ) (, ) 2 ~ (, ) (, ) 2, ) ( 2 Kartezijev 2D koordinatni sistem 3 4 ~ (, ) (, ) naravni koordinatni sistem RAK: P-XII/6/74

62 matrični zapis enačbe KE za linearno elastični statično obremenjeni problem Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje za posamezni KE dobimo toliko enačb, kolikor ima KE prostostnih stopenj v vozlišču KE sta neznani dve primarni veličini pomika, tako da ima posamezni KE (2*N v ) prostostnih stopenj [ K ] = F e { U} e { } e K, K,2 K,3 K,(2 N v ) U F K 2, K 2,2 K 2,3 K 2,(2 N v ) U F K3, K3,2 K3,3 K 3,(2N v ) U 2 = F2 K K K K U N FN (2N v ), (2N v ),2 (2N v ),3 (2N v ),(2N v ) v e v e e RAK: P-XII/62/74

63 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje togostna matrika [K] e se izračuna na sledeči način T [ ] ( ) ( ) K = [ L][ N] [ E] [ L][ N] h dω = e = Ω e T [ Gɶ ][ Pɶ ] [ E] [ Gɶ ][ Pɶ ] h J dɶ dɶ ( ) ( ) e RAK: P-XII/63/74

64 matrika [ G ɶ ] je določena s sledečim izrazom u u u ɶ ɶ u u ε I ɶ I ɶ u ɶ ɶ ε = = I I G u = ɶ ɶ ɶ u ε I I I I u u ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ u u Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje ɶ ɶ RAK: P-XII/64/74

65 I kk ɶ Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje Elementi matrike [ G ɶ ] so elementi inverzne Jacobijeve matrike [ J] ɶ ɶ Iɶ I ɶ = = I I ɶ ɶ ɶ ɶ ki predstavlja povezavo med Kartezijevim koordinatnim sistemom in naravnim koordinatnim sistemom uk uk uk I I ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ = =, k =, u I k uk I ɶ ɶ uk ɶ ɶ ɶ ɶ RAK: P-XII/65/74

66 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje matrika [ P ɶ ] izhaja iz že znane odvisnosti polja pomikov od vozliščnih vrednosti pomikov in interpolacijskih funkcij izraženih v naravnem koordinatnem sistemu Nv (, ) j ψɶ j( ɶ, ɶ) = { } { ψɶ } j= u U U Nv (, ) j ψɶ j( ɶ, ɶ) = { } { ψɶ } j= u U U RAK: P-XII/66/74

67 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko napetostno stanje tako da lahko odvode po koordinatah naravnega koordinatnega sistema izrazimo z vozliščnimi vrednostmi pomikov in odvodi interpolacijskih funkcij u ψɶ ψɶ N v ɶ ɶ ɶ U U u ψɶ ψɶ N v U U ɶ ɶ ɶ P u = = ɶ ψ ψ ɶ ɶ N v U N U v Nv ɶ ɶ ɶ u U N U v N ψ ψ ɶ ɶ v Nv ɶ ɶ ɶ RAK: P-XII/67/74

68 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje posamezni element vektorja {F} e predstavlja v vozlišču KE delujočo vektorsko komponento sile v smeri določene koordinatne osi v primeru, da je velikost vektorske komponente pomika v smeri določene koordinatne osi v vozlišču KE poznana, velikost točkovne mehanske obremenitve v tej smeri ni poznana U = F =?, i =,..,N, k =, k k i i v - pomik je lahko poznan samo v vozlišču KE, ki leži na ograji obravnavanega območja RAK: P-XII/68/74

69 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje velikost točkovne obremenitve F k predstavlja celotno silo po dolžini obravnavanega območja v smeri z koordinatne osi F = h f, k = F f k k k k [N] [N/m], f h z RAK: P-XII/69/74

70 v primeru, da velikost komponente pomika v smeri določene koordinatne osi v vozlišču KE ni poznana, je velikost točkovne mehanske obremenitve v tej smeri možno določiti U Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje =? F =, i =,..,N, k = r,z k k i i v v primeru točkovne mehanske obremenitve na ograji obravnavanega območja, mrežo KE generiramo tako, da točka, v kateri deluje točkovna obremenitev, sovpada z vozliščem KE F = F, I = {,..,N }, k =, k k I T KE točkovna obremenitev: - je vezana na vozlišče mreže KE in ne na posamezni KE - predstavlja celotno obremenitev po dolžini obravnavanega območja v smeri z koordinatne osi RAK: P-XII/7/74

71 v primeru ploskovno porazdeljene mehanske obremenitve na ograji obravnavanega območja, izračunamo ekvivalentne vozliščne sile za posamezni KE { Fp } e = Γ e p[ N] T h dγ Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje h z F p RAK: P-XII/7/74

72 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje primer reševanja ravninsko napetostnega mehanskega problema z MKE 3D KE: 4 KE (6 pl., 8 vozl.) 2 vozlišč 336 enačb 2D ravn. def. KE: 2 KE (4 str., 4 vozl.) 22 vozlišč 44 enačb RAK: P-XII/72/74

73 Reševanje mehanskih problemov z MKE ravninsko deformacijsko stanje primerjava Mises-ove primerjalne napetosti: 3D KE 2D ravn. def. KE 3D KE σ prim 2D KE σ prim RAK: P-XII/73/74

74 2. predavanje: TEORETIČNA VPRAŠANJA 75. Kaj mora biti izpolnjeno, da lahko problem obravnavamo kot ravninsko napetostni problem? 76. Opišite prednosti uporabe ravninskih KE v primerjavi z uporabo volumskih KE? 77. Kako izračunamo deformacijo v smeri pravokotno na ravnino problema v primeru uporabe ravninsko napetostnega KE in linearno elastičnega materialnega modela? 78. Kakšen je lahko vpliv numerične integracije na mehanski odziv volumskih in ploskovnih KE? 79. Kaj mora biti izpolnjeno, da lahko problem obravnavamo kot ravninsko deformacijski problem? 8. V čem se razlikuje KE za reševanje ravninsko napetostnega problema od ravninsko deformacijskega problema? 8. V čem se razlikujeta tri in štiri vozliščnih KE za reševanje ravninskih problemov? 82. Kako izračunamo napetost v smeri pravokotno na ravnino problema v primeru uporabe ravninsko deformacijskega KE in linearno elastičnega materialnega modela? RAK: P-XII/74/74