UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ
|
|
- Δορκάς Αβραμίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ Vosnovnemtečaju mehanike trdnih teles smo izpeljali sistem petnajstih osnovnih enačb, s katerimi lahko načeloma določimo napetosti, deformacije in pomike poljubnega linearno elastičnega izotropnega telesa pri omejenih geometrijskih spremembah, če le poznamo njegove geometrijske in materialne lastnosti, način podpiranja ter velikost in način delovanja zunanje obtežbe. Kakor vemo, je omenjeni sistem sestavljen iz treh parcialnih diferencialnih enačb ravnotežja, šestih parcialnih diferencialnih kinematičnih enačb ter šestih linearnih algebrajskih konstitucijskih enačb. Še posebej reševanje parcialnih diferencialnih enačb je težavno opravilo, že pri nekoliko bolj splošnih primerih geometrije in zunanje obtežbe pa praktično sploh ni mogoče dobiti analitičnih rešitev. Reševanje številnih mehanskih problemov si lahko občutno olajšamo z uporabo tako imenovanih energijskih metod, utemeljenih na fizikalnih zakonitostih energijskega stanja telesa. 1.1 Fizikalna definicija mehanskega dela Spomnimo se, kako je mehansko delo definirano v elementarni fiziki. Če na trdno telo B deluje konstantna sila P in se pri tem telo premakne v novo lego tako, kakor to določa vektor pomika u (slika 1.1), je opravljeno mehansko delo D določeno s skalarnim produktom D = P u = Pucos α. (1.1) 1
2 1.2 Deformacijsko delo Slika 1.1 Če na telo deluje še konstantna dvojica M in telo razen translatornega pomika u doživi tudi zasuk ω, je mehansko delo določeno z vsoto D = P u + M ω. (1.2) Pri tem smo poudarili, da sta sila P in dvojica M konstantna vektorja, torej se med premikom in zasukom telesa ne spreminjata ne po velikosti ne po smeri. Z drugimi besedami to pomeni, da sta sila P in dvojica M neodvisni od pomika u in zasuka ω. 1.2 Deformacijsko delo (deformacijska energija) V mehaniki trdnih teles je bolj običajno, da se deformacije telesa razvijajo v odvisnosti od delujoče zunanje obtežbe. Kot zgled določimo mehansko delo, ki ga opravi natezna vzdolžna sila P na koncu enakomerno debele palice med tem, ko se palica iz začetnega nedeformiranegastanjapodaljša za u (slika 1.2). Začetna dolžina palice je l, ploščina njenega prečnega prereza pa je A x. Vzemimo še, da je palica izdelana iz linearno elastičnega materiala z modulom elastičnosti E in da so deformacije dovolj majhne, da lahko uporabimo enačbe elementarne teorije linijskega nosilca, kakršne smo izpeljali v 5. poglavju knjige Mehanika trdnih teles. 2
3 1.2 Deformacijsko delo Kot izhodišče vzemimo, da je poljuben del palice v ravnotežju. Edina notranja sila v prerezu A x je osna sila N x,kijevravnotežnem stanju po velikosti enaka obtežbi P in je očitno konstantna po celotni dolžini palice N x = P. (1.3) Tedaj je pomik u na koncu palice enak spremembi dolžine palice Δl in je premosorazmeren delujoči navpični sili P u = Δl = l N EA x x = l P EA x u = l P. (1.4) EA x Slika 1.2 V tem primeru torej delujoča sila P P = EA x u l = P (u ) (1.5) ni konstantna, temveč se linearno spreminja od vrednosti, ki ustreza nedeformiranemu stanju palice ( u = ), do vrednosti P, ki ustreza končni deformirani obliki pri pomiku u na koncu palice P = EA x l u. (1.6) 3
4 1.2 Deformacijsko delo Zato mehanskega dela, ki ga opravi sila P med deformiranjem palice, ne moremo izračunati neposredno z enačbo (1.1). To enačbo pa lahko uporabimo, če doseženi pomik u povečamo za infinitezimalni prirastek du in vzamemo, da je na tem infinitezimalno majhnem pomiku sila P konstantna. Slika 1.3 Prirastek mehanskega dela dd je tedaj (slika 1.3.a) dd = P du, (1.7) celotno mehansko delo D na intervalu u u pa dobimo z integriranjem D = u dd = u P du = EA x l u u du = EA x 2l u 2. (1.8) Tako smo celotno opravljeno mehansko delo izrazili s končno doseženim pomikom u D = EA x u 2. (1.9) 2l Ob uporabi enačbe (1.6) dobimo zelo poučen zapis 4 D = 1 Pu, (1.1) 2
5 1.2 Deformacijsko delo ki pove, da je mehansko delo, ki ga sila P opravi na intervalu u u, po vrednosti enako ploščini trikotnika, ki ga v diagramu u P določata končni vrednosti u in P (slika 1.3.a). V obravnavanem preprostem primeru lahko enačbo (1.1) zapišemo tudi drugače. Ker je P = σ xx A x in u = Δl = ε xx l,dobimo D = 1 2 A xlσ xx ε xx. (1.11) Pri tem smo s σ xx označili vzdolžno normalno napetost, z ε xx pa specifično spremembo dolžine v vzdolžni smeri,ki sta v našem primeru enakomerni po celotni dolžini palice. Produkt V =A x l predstavlja prostornino palice, tako da je D = 1 2 Vσ xx ε xx. (1.12) Če upoštevamo, da je pri linearno elastičnem materialu zveza med deformacijo ε xx in napetostjo σ xx podana s Hookovim zakonom σ xx = Eε xx, lahko opravljeno mehansko delo izrazimo v odvisnosti od končne dosežene vzdolžne deformacije D = 1 2 EV ε2 xx. (1.13) Rezultat kaže, da se je vloženo mehansko delo porabilo za deformiranje palice. Zato ga pogosto imenujemo tudi deformacijsko delo. Dobljeno zvezo lahko razumemo tudi tako, da se je vloženo mehansko delo naložilo v palici v obliki tako imenovane deformacijske energije. Zaradi kasnejših posplošitev je ugodno vpeljati pojem specifično deformacijsko delo oziroma specifična deformacijska energija D. To je deformacijska energija, ki se pri deformiranju naloži v enoti prostornine telesa. V našem primeru je specifična deformacijska energija D = D V = 1 2 σ xx ε xx = E 2 ε2 xx. (1.14) 5
6 1.2 Deformacijsko delo Kakor vidimo, lahko tudi specifično deformacijsko energijo D, kise naloži v enoti prostornine telesa, predstavimo s ploščino trikotnika, ki ga v diagramu σ xx ε xx določata končno dosežena deformacija ε xx in pripadajoča napetost σ xx (slika 1.3.b) Prirastek dd specifične deformacijske energije pri spremembi deformacije za dε xx je tedaj dd = σ xx dε xx = Eε xx dε xx, (1.15) celotno specifično deformacijsko energijo, ki se naloži v palici, pa izračunamo z integriranjem tega prirastka v mejah od do ε xx D = εxx dd = E εxx ε xx dε xx = E 2 ε2 xx. (1.16) Celotna deformacijska energija deformirane palice je določena z integralom specifične deformacijske energije po prostornini palice. V splošnem je specifična deformacijska energija funkcija točke, v našem primeru pa je, tako kot napetosti in deformacije, enakomerna po vsej palici. Zato dobimo D = D dv = D dv = D V = 1 2 EV ε2 xx. (1.17) V V Rezultat se seveda ujema z enačbo (1.13). Zlahka se prepričamo, da dobimo enak rezultat tudi z integriranjem prirastka celotnega deformacijskega dela dd vmejahoddoε xx dd = VdD = Vσ xx dε xx D = EV εxx ε xx Iz primerjave enačbe (1.7) z enačbo (1.18) sledi 6 = EV ε xx dε xx, (1.18) dε xx = 1 2 EV ε2 xx. (1.19) dd = P du = Vσ xx dε xx. (1.2)
7 1.3 Dopolnilno deformacijsko delo Dobljena enakost pove, da je prirastek mehanskega dela, ki ga zunanja sila P opravi na prirastku pomika du, enaka prirastku deformacijskega dela,kiganapetostσ xx opravi na prirastku deformacije dε xx. 1.3 Dopolnilno deformacijsko delo (dopolnilna deformacijska energija) V dosedanjih izvajanjih smo za neodvisno spremenljivko izbrali pomik u oziroma deformacijo ε xx. Ker imamo opraviti z linearno elastičnim materialom, dobimo enak rezultat tudi v primeru, da za neodvisno spremenljivko izberemo silo P in pomik u izrazimo z enačbo (1.4) kot funkcijo te sile u = l P EA x = u (P ). (1.21) Slika 1.4 Če silo P povečamo za infitezimalni prirastek dp, dobimo pripadajoči prirastek mehanskega dela kot produkt prirastka sile dp in konstantnega pomika u (slika 1.4.a) dd = u dp. (1.22) 7
8 1.3 Dopolnilno deformacijsko delo VpeljalismonovooznakozaprirastekmehanskegadeladD,dabiga razlikovali od prirastka dd, ki smo ga dobili kot delo, ki ga sila dp opravi na prirastku pomika u. Celotno mehansko delo D na intervalu P P dobimo z integriranjem D = D = P dd = P u dp = l EA x P P dp l 2EA x P 2. (1.23) S slik 1.4.a in 1.5.a lahkorazberemo,dadelod dopolni deformacijsko delo D do vrednosti, ki bi jo dobili, če bi z enačbo (1.1) izračunali mehansko delo konstantne sile P na neodvisnem pomiku u D + D = Pu. (1.24) Zato vrednost D imenujemo dopolnilno ali komplementarno deformacijsko delo. Kakor smo že omenili, je pri linearno elastičnem materialu dopolnilno deformacijsko delo D enako deformacijskemu delu D. Pri nelinearno elastičnem materialu pa vrednosti D in D nista enaki (slika 1.5.b). 8 Slika 1.5
9 1.4 Castiglianov izrek Podobno kakor v prejšnjem primeru lahko vpeljemo prirastek specifičnega dopolnilnega deformacijskega dela dd dd = ε xx dσ xx = 1 E σ xx dσ xx (1.25) ter celotno specifično dopolnilno deformacijsko delo D, ki se v obliki specifične dopolnilne deformacijske energije naloži v palici (slika 1.4.b) D = σxx dd = 1 E σxx σ xx dσ xx = 1 2E σ2 xx. (1.26) Celotno dopolnilno deformacijsko delo deformirane palice pa je D = D dv = D V = V 2 E σ2 xx, (1.27) V kjer smo spet upoštevali, da je pri zgolj osno obteženi palici specifično dopolnilno deformacijsko delo enakomerno po celotni prostornini palice. 1.4 Castiglianov izrek Z enačbama (1.9) in (1.23) smo za linearno elastično telo izrazili deformacijsko delo D in dopolnilno deformacijsko delo D skončno doseženim pomikom u oziroma s končno doseženo silo P D = EA x 2l D = u 2 (1.28) l 2EA x P 2. (1.29) Odvajajmo enačbo (1.28) po pomiku u in enačbo (1.29) po sili P ter upoštevajmo zvezi (1.16) in (1.4); tako dobimo D u = EA x u = P l (1.3) D P = l P = u. EA x (1.31) 9
10 1.5 Virtualno delo. Izrek o virtualnih pomikih Rezultata sta v skladu s Castiglianovim izrekom, kipravi,dajepri linearno elastičnem materialu odvod deformacijskega dela po pomiku enak pripadajoči sili, odvod dopolnilnega deformacijskega dela po sili pa pripadajočemu pomiku. Pri tem je pomembno, da gre za pomik prijemališča sile v smeri njenega delovanja. Podobno pravilo lahko izpeljemo za odvode specifičnega deformacijskega dela. Brez posebnega truda se namreč lahko prepričamo, da velja D = Eε xx = σ xx (1.32) ε xx D = σ xx σ xx E = ε xx. (1.33) Castiglianov izrek v obliki (1.32) ali (1.33) je pomemben predvsem kot ugotovitev, da pri linearno elastičnem telesu lahko najdemo tako funkcijo deformacije D(ε xx ) da njen odvod po deformaciji ε xx enolično določa ustrezno napetost σ xx, oziroma tako funkcijo napetosti D (σ xx ), da je njen odvod po σ xx enak deformaciji ε xx. 1.5 Virtualno delo. Izrek o virtualnih pomikih V dosedanjih izpeljavah smo imeli opravka z energijskimi količinami, ki imajo razviden fizikalni pomen in jih je mogoče vsaj posredno tudi izmeriti. V nadaljevanju pa bomo vpeljali pojma virtualno delo in dopolnilno virtualno delo, ki sta v svojem bistvu zgolj formalni matematični količini, vendar ju izračunamo podobno kakor prirastka deformacijskega oziroma dopolnilnega deformacijskega dela. Znova vzemimo, da je opazovana natezna palica v ravnotežju, ko nanjo deluje zunanja sila P. Pomik obteženega prostega konca palice je tedaj Prvi del izreka velja tudi za nelinearno elastično telo, drugi del pa le za linearno elastično telo. 1
11 1.5 Virtualno delo. Izrek o virtualnih pomikih Δl = u. Sedaj pa si zamislimo, da se prosti konec palice premakne še za poljubno, vendar dovolj majhno vrednost δu v smeri delovanja sile P (slika 1.6.a). Slika 1.6 Poudarimo, da gre za namišljen, virtualen pomik, ki ni v nikakršni zvezi z dejansko obtežbo P. Zato lahko po vzorcu enačbe (1.7) izračunamo namišljeno mehansko delo, ki ga zunanja sila P opravi na virtualnem pomiku δu. Dobljeno količino imenujemo virtualno delo zunanje sile in jo označimo z δw δw = Pδu. (1.34) V ravnotežnem stanju palice je sila P uravnotežena z normalno napetostjo σ xx vprečnem prerezu, tako da je P = A x σ xx. Virtualni pomik δu pa naj bo z virtualno deformacijo δε xx povezan s kinematičnim pogojem δε xx = δδl = δu. (1.35) l l Za virtualni pomik, ki ustreza enačbi (1.35) in kinematičnim robnim pogojem, pravimo, da je kinematično dopusten ali kinematično možen. Enačbo (1,34) lahko sedaj zapišemo takole δw = A x σ xx lδε xx = Vσ xx δε xx, (1.36) 11
12 1.5 Virtualno delo. Izrek o virtualnih pomikih Na desni strani enačbe (1.36) je virtualno delo izraženo z napetostmi, torej z notranjo specifično površinsko obtežbo. Tako izraženo virtualno delo imenujemo virtualno delo notranjih sil in ga označimo z δ D δ D = Vσ xx δε xx, (1.37) S primerjavo enačb (1.34), (1.36) in (1.37) dobimo tako imenovani izrek o virtualnem delu ali izrek o virtualnih pomikih, kipove,dajev ravnotežnem stanju telesa virtualno delo zunanjih sil enako virtualnemu delu notranjih sil δw = δ D. (1.38) Za praktično delo v mehaniki je bolj koristna naslednja oblika izreka o virtualnih pomikih: Če je pri kinematično dopustnih virtualnih pomikih telesa virtualno delo zunanjih sil enako virtualnemu delu notranjih sil, je telo v ravnotežju. Izrek o virtualnem delu torej predstavlja drugačen zapis ravnotežnih enačb. Glede na to, da so ravnotežne enačbe v svoji izvorni obliki parcialne diferencialne enačbe, je zapis v obliki izreka o virtualnem delu pogosto znatno bolj ugoden. Delovanje izreka o virtualnem delu si oglejmo kar na primeru natezne palice, s katero se v tem poglavju že ves čas ukvarjamo (slika 1.7). Virtualno delo zunanjih sil je v tem primeru δw = Pδu. (1.39) Pri tem smo upoštevali, da v podpori na palico sicer deluje reakcija R, vendar je njeno virtualno delo enako nič. Virtualni pomiki morajo namreč zadoščati kinematičnim robnim pogojem, zato je δu =. Virtualno delo notranjih sil izrazimo ob upoštevanju enačbe (1.37) takole δ D δu = Vσ xx δε xx = la x σ xx. (1.4) l 12
13 1.5 Virtualno delo. Izrek o virtualnih pomikih Ker je A x σ xx = N x,lahkopišemo in iz izreka o virtualnem delu sledi Slika 1.7 δ D = N x δu (1.41) δw = δ D (P N x ) δu =. (1.42) Virtualni pomik δu je poljuben, zato je enačba (1.42) izpolnjena le tedaj, ko velja P N x = N x = P. (1.43) Venačbi (1.43) zlahka prepoznamo ravnotežni pogoj za poljuben del opazovane palice, kar potrjuje ugotovitev, da izrek o virtualnem delu nadomešča ravnotežne pogoje. 13
14 1.6 Dopolnilno virtualno delo. Izrek o virtualnih silah 1.6 Dopolnilno virtualno delo. Izrek o virtualnih silah Drug pomemben in koristen izrek spoznamo, če prosti konec opazovane palice, ki se je pod vplivom sile P premaknil v vzdolžni smeri za u, obtežimo z virtualno silo δp (slika 1.6.a). Virtualna sila je neodvisna od dejanske obtežbe in pomikov, zato lahko po zgledu enačbe (1.22) izračunamo delo δw, ki ga ta sila opravi na dejanskem pomiku u. To delo imenujemo dopolnilno ali komplementarno virtualno delo zunanje sile δw = uδp. (1.44) Tokrat je u dejanski pomik, ki je z dejansko deformacijo ε xx povezan s kinematičnim pogojem u = lε xx. δσ xx pa je statično dopustna virtualna vzdolžna normalna napetost, kar pomeni, da je napetost δσ xx povezana z virtualno silo δp zravnotežnim pogojem δσ xx = δp A x. (1.45) S tem lahko dopolnilno virtualno delo zapišemo takole (slika 1.6.b) δw = lε xx A x δσ xx = Vε xx δσ xx. (1.46) Izraz na desni strani enačbe (1.45) imenujemo dopolnilno ali komplementarno virtualno delo notranjih sil in ga označimo z δ D δ D = Vε xx δσ xx. (1.47) Enakost, ki sledi iz enačb (1.44), (1.46) in (1.47), imenujemo izrek o dopolnilnem virtualnem delu oziroma izrek o virtualnih silah δw = δ D. (1.48) Glede na potek izpeljave lahko izrek o dopolnilnem virtualnem delu povzamemo takole: 14
15 1.6 Dopolnilno virtualno delo. Izrek o virtualnih silah Če je pri statično dopustni virtualni obtežbi izpolnjen izrek o dopolnilnem virtualnem delu, tedaj sta dejanska deformacija in dejanski pomik povezana s kinematičnim pogojem. Uporabo izreka o dopolnilnem virtualnem delu si spet oglejmo na primeru natezne palice (slika 1.8). Slika 1.8 Ob upoštevanju enačb (1.44) do (1.47) in izreka (1.48) sledi δp uδp = la x ε xx A x in po ureditvi (u lε xx ) δp =. (1.49) Ker je δp poljubna virtualna sila, je enačba (1.49) izpolnjena le, če je izraz v oklepaju enak nič. Tedaj velja ε xx = u l, (1.5) kar je dokaz, da dejanski pomik u in vzdolžna deformacija ε xx zadoščata kinematičnemu pogoju obravnavanega preprostega primera. Še bolj koristno ugotovitev ponuja naslednji zapis izreka o dopolnilnem virtualnem delu 15
16 1.6 Dopolnilno virtualno delo. Izrek o virtualnih silah kjer vzamemo enotsko virtualno silo δp =1 δw = uδp = δ D, (1.51) δp =1 u = δ D. (1.52) To pomeni, da je v primeru, da za virtualno silo izberemo velikost 1, vrednost pripadajočega dopolnilnega virtualnega dela notranjih sil δ D že kar enaka velikosti pomika v prijemališču in v smeri delovanja privzete virtualne sile. Ta ugotovitev ima daljnosežne in zelo ugodne posledice pri vrsti nalog, pri katerih je treba določiti pomike ali zasuke posameznih diskretnih točk konstrukcijskih elementov. Za opazovano palico bi ob upoštevanju znanih enačb nosilca dobili ε xx = N x EA x in δσ xx = δn x A x, (1.53) tako da je in po ureditvi u = δ D = la x N x EA x δn x A x u = l N x δn x EA x = l N x(p ) δn x (δp =1) EA x. (1.54) Poudarili smo, da je N x dejanska osna sila v palici, ki se pojavi zaradi delovanja zunanje obtežbe P, δn x pa je osna sila, ki pripada enotski virtualni sili δp =1. Vnašem primeru je N x = P in δn x = 1 in iz enačbe (1.54) sledi l u = P, (1.55) EA x karseujemazenačbo (1.4). 16
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότερα386 4 Virtualni pomiki in virtualne sile. A 2 x E 2 = 0. (4.99)
386 4 Virtualni pomiki in virtualne sile oziroma Ker je virtualna sila δf L poljubna, je enačba 4.99) izpolnjena le, če je δf L u L F ) L A x E =. 4.99) u L = F L A x E. Iz prikazanega primera sledi, da
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότερα6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda
596 6 Geometrijska nelinearnost nosilcev varnost V E pa z enačbo V E = F E F dej 6.92) Z A x je označena ploščina prečnega prereza nosilca, količina i min je najmanjši vztrajnostni polmer, F dej pa je
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότερα7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)
7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem
Διαβάστε περισσότερα3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
Διαβάστε περισσότεραprimer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότερα1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu 145. Vzdolž nevtralne osi oklepajo normale ravnin glavnih napetosti s smerjo x naslednje kote
1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu 145 Smeri glavnih normalnih napetosti vzdolž osi nosilca Vzdolž nevtralne osi oklepajo normale ravnin glavnih napetosti s smerjo x naslednje kote σ xx = M y z =
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραLADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij. Višja dinamika. Rešene naloge iz analitične mehanike. Dr. Janko Slavič. 22.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo LADISK Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij Višja dinamika Rešene naloge iz analitične mehanike Dr. Janko Slavič 22. avgust 2012 Zadnja različica
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραNaloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότερα1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:
1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραGlavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo: P. δ 10. 3 Pomik δ 10 :δ 10 = P (2L ) Reakciji pri levi in desni podpori: ΣV=0
OGM Metoda sil. METODA SIL. OIS METODE Metoda sil se uporablja za račun statično nedoločenih konstrukcij. V njej kot neznanke nastopajo sile. Namenjena je predvsem ročnemu računanju konstrukcij, ki so
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραTehniška mehanika 1 [N]
Tehniška mehanika 1 Osnovni pojmi Togo in deformabilno telo, ter masno središče Obnašanje togega telesa lahko obravnavamo, kot obnašanje točke, v kateri je zbrana vsa masa telesa m. To točko imenujemo
Διαβάστε περισσότεραSlika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραr T = 1. Redukcija sile 2. Telo in težišče telesa
1. Redukcija sile Izračunavanje rezultante porazdeljenih sil je lahko zamudno, mnogokrat si pomagamo tako, da porazdeljeno silo nadomestimo z drugim sistemom sil, ki je enostavnejši, njegov vpliv na opazovano
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραPROCESIRANJE SIGNALOV
Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραTEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 2014/2015
TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 014/015 BF : Viskokošolski strokovni študij 6. 10. 14 KINEMATIKA IN DINAMIKA TOČKE Kinematika Položaj točke P, opazovalec O, kartezični koordinatni
Διαβάστε περισσότερα13. poglavje: Energija
13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto,
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu
Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: med šolskim letom: objavljeno na vratih in na internetu pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραKlasična mehanika 2 ELASTOMEHANIKA & HIDRODINAMIKA
Klasična mehanika 2 ELASTOMEHANIKA & HIDRODINAMIKA Matej Ulčar predavanja pri prof. Primožu Ziherlu 18. avgust 2014 Povzetek O zapiskih: ti zapiski so nastajali v glavnem sproti po predavanjih z namenom
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραENOTE IN MERJENJA. Izpeljana enota je na primer enota za silo, newton (N), ki je z osnovnimi enotami podana kot: 1 N = 1kgms -2.
ENOTE IN MERJENJA Fizika temelji na merjenjih Vsa važnejša fizikalna dognanja in zakoni temeljijo na ustreznem razumevanju in interpretaciji meritev Tudi vsako novo dognanje je treba preveriti z meritvami
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότερα