Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα"

Transcript

1 Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε το άθροισμα: Δ A =ΔΔ με κέντρο το n S = f(, ) ΔA n = Καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα Δ, Δ να τείνουν στο, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε ή και (, ) f ( da, ) Δ A = f dd n f ( da, ) = lim f(, ) ΔA Ιδιότητες Διπλών Ολοκληρωμάτων. Ισχύουν: f( da, ) = f( da, ) όπου ( f (, ) ± g (, )) da= f( da, ) ± gda (, )

2 f ( da, ) αν f(, ) στο f ( da, ) gda (, ) αν f(, ) g (, ) στο f (, ) da = f (, ) da + f (, ) da Διπλά Ολοκληρώματα για τον υπολογισμό του όγκου. z f (, ) (, ) n Όγκος = lim S = lim f(, ) Δ A = f(, ) da n ΔA = Θεώρημα Fubini. Έστω ότι η f ( είναι, ) συνεχής παντού σε ένα ορθογώνιο χωρίο Τότε Παράδειγμα: : a b, c d d b b d f (, ) da = f (, ) dd = f (, ) dd c a a c Υπολογισμός του όγκου της συνάρτησης :,. ( ) ( ) V = f (, ) da = 6 dd = d = f (, ) = 6στο χωρίο = = ( ) ( ) d ( ) d [ ] = 6d= 8 = 8 ( 8) = 4 κυβικές μονάδες V f (, ) da 6 dd = = = = d = = ( ) ( ) = = = 4 κυβικές μονάδες =

3 Διπλά Ολοκληρώματα σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. Έστω ότι η (, ) f είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. Το οποίο διαμερίζουμε σε κυψελίδες το άθροισμα: Δ με κέντρο το (, ). Σχηματίζουμε A Sn = f(, ) ΔA d ΔA (, ) Δ c Δ a b Καθώς πυκνώνουμε τον αριθμό των κυψελίδων μικραίνοντάς τις, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε ή και (, ) (, ) f da Δ A = f dd n f ( da, ) = lim f(, ) ΔA f (, ) da = f (, ) da + f (, ) da Θεώρημα Fubini. (ισχυρό) Έστω ότι η f ( είναι, ) συνεχής παντού σε ένα χωρίο

4 Αν το ορίζεται από τις σχέσεις a b, g ( ) g( ) και οι g( ), g() είναι συνεχείς στο [ ab, ] τότε g ( ) f ( da, ) = f( dd, ) a g( ) b Αν το ορίζεται από τις σχέσεις c d, h ( ) h( ) και οι h( ), h ( ) είναι συνεχείς στο [, ] cd τότε d h ( ) f ( da, ) = f( dd, ) c h ( ) Ο όγκος σε μη ορθογώνιο χωρίο. Το εμβαδό της διατομής g ( ) A ( ) = f (, ) d g( ) z g ( ) A ( ) = f (, ) d g( ) z = f(, ) a g ( ) b g ( ) Οπότε ο όγκος είναι V b = f (, ) da = A ( ) d a Το εμβαδό της διατομής h ( ) A( ) = f(, ) d h ( ) 4

5 z h ( ) A( ) = f(, ) d h ( ) z = f(, ) c d h ( ) h ( ) Οπότε ο όγκος είναι V d = f (, ) da = A ( ) d c Διαδικασία εύρεσης ορίων ολοκλήρωσης. Α. Για τον υπολογισμό του f ( da, ) σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις καμπύλες. + = + = Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του. Σημειώνουμε τις τιμές του που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς και είναι συνήθως συναρτήσεις του. 5

6 + = Έξοδος = + = Είσοδος = Βήμα : Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς που περιέχουν όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από το. + = Έξοδος = + = Είσοδος = Ελάχιστο = Μέγιστο = = = f ( da, ) = f( dd, ) = = Β. Για τον υπολογισμό του f ( da, ) σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Η αντίστοιχη διαδικασία με παραπάνω όπου αντί για κατακόρυφες ευθείες χρησιμοποιούμε οριζόντιες. 6

7 Μέγιστο = + = Έξοδος = + = Είσοδος = Ελάχιστο = = = f ( da, ) = f( dd, ) = = Παράδειγμα: Υπολογισμός του όγκου πρίσματος του οποίου η βάση είναι το τριγωνικό χωρίο στο επίπεδο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες = και = και του οποίου η πάνω πλευρά ανήκει στο επίπεδο z = f(, ) =. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = = Έξοδος = Είσοδος = Ελάχιστο = Μέγιστο = = V = ( ) dd = d = d = = = = = κυβική μονάδα = 7

8 Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = = Μέγιστο = Έξοδος = Ελάχιστο = Είσοδος = = V = ( ) dd = d d = + + = 5 5 = 4 d κυβική μονάδα + = + = = = Παράδειγμα: sin Υπολογισμός του da σε χωρίο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες = και =. = sin sin dd = d sin d cos.46 = = + = Όμως sin dd =? Όπου το sin d δεν υπολογίζεται με απλές παραγούσες συναρτήσεις. = Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο επίπεδο είναι A= da Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες = στο πρώτο τεταρτημόριο. = και ( ) τετραγωνικές μονάδες 6 [ ] A = da = dd = d = d = = 8

9 Έξοδος = (,) = Ελάχιστο = Είσοδος = Μέγιστο = Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες =. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = + και = = + (,4) = + (,) = + 8 ( ) 4 ( ) = A= da= dd= + d= + = = 8 = τετραγωνικές μονάδες Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. 9

10 = = (,4) = + (,) = = 4 ( ) = d + + d =... 4 A = da = da = da + da = dd + dd = Υπολογισμοί όγκων με διπλά Ολοκληρώματα. Όπως έχουμε δει όγκοι μπορούν να υπολογισθούν είτε με τη χρήση διπλών είτε με τη χρήση τριπλών ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία μικρή πίστα για sateboard από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο που κείται (βρίσκεται) μεταξύ του κυλίνδρου z = και του επιπέδου, και φράσσεται από τα επίπεδα =,=,=-,=. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Το σχήμα της πίστας είναι το ακόλουθο: z z = Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

11 = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = = = = f (, ) da = dd = d = d = d = = = = = = μονάδες όγκου. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο +z=, και από τον κύλινδρο =4-. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. = z + z= 4 = 4 Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

12 = 4 = 4 = = 4 Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το ( ) ( ) 4 = 4 = 4 = 4 = 4 4 f (, ) da = ( ) dd = d = 4 d = = = = = 4 4 = = 4 = μονάδες όγκου 4 Εναλλακτικά, ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς : = = 4 = = 4 = 4 (, ) = ( ) = ( ) = ( )[ ] f da dd dd d = = = = = = = = = ( )( 4 ) ( 8 4 ) ( 8 4 ) = = = = d = + d = + d = 4 6 = μονάδες όγκου 4 = + = Μέση τιμή συνάρτησης δύο μεταβλητών. Αν f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο τότε η μέση τιμή της συνάρτησης στο χωρίο ισούται όπου Α το εμβαδόν του χωρίου. f ( da, ) f( da, ) M = = A da Αν η f είναι η επιφανειακή πυκνότητα ενός λεπτού στρώματος που καλύπτει το χωρίο τότε το M είναι η μέση πυκνότητα του σώματος σε μονάδες μάζας ανά μονάδα εμβαδού. Αν f ( είναι, ) η απόσταση ενός σημείου (, ) από σταθερό σημείο P τότε η μέση τιμή της συνάρτησης είναι η μέση απόσταση των σημείων του από το P.

13 Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της συνάρτησης f (, ) = cosστο ορθογώνιο χωρίο : π, π A = da = dd = d =π π π π [ ] π = = = = = [ ] = = + = cos da cos dd sin d sin d cos π M f(, ) da f(, ) da = = = A da π Ροπές και κέντρα μάζας. Τρεις μάζες προσδένονται σε άκαμπτο άξονα που στηρίζεται σε υπομόχλιο τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων m m m Κάθε μάζα m ασκεί μία δύναμη mg προς τα κάτω και η δύναμη αυτή έχει την τάση να στρέψει τον άξονα ως προς την αρχή. Αυτή η επίδραση ονομάζεται ροπή βαρύτητας και υπολογίζεται από το mg όπου η προσημασμένη απόσταση από την αρχή των αξόνων. Η ροπή βαρύτητας του συστήματος είναι ίση με gm Η ποσότητα M = m ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς την αρχή. Όταν το σύστημα ισορροπεί τότε η ροπή βαρύτητας του συστήματος ισούται με. Εάν η θέση ισορροπίας αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση m m m Εάν η θέση αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση όπου M m M mg ( ) = = = m M = m η μάζα του συστήματος.

14 Εάν θεωρήσουμε πεπερασμένο αριθμό μαζών στο επίπεδο. Τώρα θεωρούμε τις πρώτες ροπές μάζας ως προς τον κάθε άξονα. m (, ) M m = ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον άξονα M m = άξονα ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι m = = m M M m M, = = m M = = Έχουμε ως ισορροπία ως προς την δοκό ισορροπίας = και τη δοκό ισορροπίας =. Και το σώμα συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του. Έστω ότι έχουμε να βρούμε το κέντρο μάζας ενός λεπτού επίπεδου στρώματος (π.χ. δίσκος από αλουμίνιο ή ατσάλινο πλακίδιο) με πυκνότητα δ (, ) (μάζα ανά μονάδα επιφανείας, επιφανειακή πυκνότητα). Κόβουμε το στρώμα σε λωρίδες παράλληλες με τον άξονα. Παίρνοντας όλο και στενότερες λωρίδες των οποίων το πλάτος τείνει στο μηδέν και τότε αντί για άθροισμα παίρνουμε διπλά ολοκληρώματα. 4

15 Λωρίδα μάζας Δm % Κέντρο μάζας λωρίδας Δm % Οπότε: Η μάζα του στρώματος είναι M δ ( da, ) = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M δ (, ) da = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M δ (, ) da = Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι M M =, = M M Παράδειγμα: Έστω λεπτό στρώμα καλύπτει την τριγωνική περιοχή που φράσσεται από τον άξονα και τις ευθείες = και = στο πρώτο τεταρτημόριο. Η πυκνότητα του στρώματος στο σημείο (, ) είναι δ (, ) = Βρείτε τη μάζα του στρώματος, τις πρώτες ροπές του ως προς τους άξονες συντεταγμένων και το κέντρο μάζας του. = = Έξοδος = Ελάχιστο = Η μάζα Είσοδος = Μέγιστο = 5

16 = = M = δ (, ) da = ( ) dd = d = = (4 + ) d= = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι = = δ (, ) = ( ) = + + = 4 (8 ) d 7 4 M da dd d= = + = + = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι = = δ (, ) = 6 ) ( d = = 4 ( ) d M da d d= = + + = = Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι M M 5 = =, = =. M 7 M 4 Διπλά Ολοκληρώματα σε πολική μορφή. r = a θ = β ( r, θ) Δr Δr Δr Δθ ΔA α + Δθ α + Δθ θ = α = ( ) = g( θ ) r g θ r Πολική ημιευθεία: ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων. θ = π θ = Έστω ότι μία συνάρτηση f (, r θ ) είναι ορισμένη σε ένα χωρίο που φράσσεται από τις πολικές ημιευθείες θ=α και θ=β και από τις συνεχείς καμπύλες r =g (θ) και r =g (θ). Έστω ότι g( θ) g( θ) a για κάθε θ μεταξύ των α και β. Δημιουργούμε ένα πλέγμα κυκλικών τόξων και πολικών ημιευθειών όπως στο σχήμα. Έτσι δημιουργούνται στοιχειώδη χωρία (πολικά ορθογώνια) με κέντρα (r κ,θ κ ) και εμβαδά ΔΑ κ. Σχηματίζουμε το άθροισμα Sn = f( r, θ) ΔA 6

17 lim S f( r, θ ) da Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Α η f είναι συνεχής παντού στο, το άθροισμα αυτό θα τείνει σε κάποιο όριο καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα Δr και Δθ να τείνουν στο. Το όριο αυτό το καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε n n = Μια εκδοχή του θεωρήματος Fubini μας λέει ότι: θ= β θ r=g( ) f (, r θ ) da= f(, r θ ) drd θ θ= α θ r=g( ) Ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες πρώτα ως προς r και κατόπιν ως προς θ. Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις συνοριακές του καμπύλες. + = 4 = (, ) Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα r θεωρούμε πολική ημιευθεία L που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του r. Σημειώνουμε τις τιμές του r που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς r και είναι συνήθως συναρτήσεις του θ. + = 4 rsin( θ ) = = = L Έξοδος r = Είσοδος r= /sin( θ) 7

18 Βήμα : Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς θ βρίσκοντας την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή που παίρνει το θ εντός του. Μέγιστο θ = π / L + = 4 = = Ελάχιστο θ = π /4 θ= π / r= f (, r θ ) da= f(, r θ ) drd θ θ= π /4 r= /sin( θ) Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο πολικό επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο πολικό επίπεδο είναι Παράδειγμα: A = rdr dθ Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τον λημνίσκο Μέγιστο θ = π / r = 4cosθ Έξοδος r = 4cosθ Είσοδος r = Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 4 φορές το εμβαδόν που περικλείεται στο πρώτο τεταρτημόριο. r= 4cosθ π /4 4cos θ π /4 r π /4 π /4 θ θ θ θ r= 4 A= 4 rdr d = 4 d = 4 cos d = 4sinθ = Μετατροπή καρτεσιανών ολοκληρωμάτων σε πολικά. Αν G είναι το χωρίο ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες και σε καρτεσιανές τότε: f (, ) dd = f ( r cos θ, r sin θ) r drdθ G 8

19 Παράδειγμα: Βρείτε το ολοκλήρωμα e + dd Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα όπου το ημικυκλικό χωρίο που φράσσεται από τον άξονα και από την καμπύλη =. r = θ = π θ = r, θ π π r π r π π + + e dd = e d d = e rdr dθ = e dθ = ( e ) dθ = ( e ) Σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν ήταν δυνατό να υπολογισθεί άμεσα το ολοκλήρωμα ενώ σε πολικές είναι άμεσο με στοιχειώδεις υπολογισμούς. Τριπλά Ολοκληρώματα. Τα τριπλά ολοκληρώματα μας χρησιμεύουν στον υπολογισμό όγκων τρισδιάστατων σχημάτων, μαζών και ροπών στερεών σωμάτων και μέσων τιμών συναρτήσεων τριών μεταβλητών. Οι ιδιότητές τους είναι ανάλογες με αυτές των διπλών ολοκληρωμάτων και η επιλογή των ορίων ολοκλήρωσης είναι μια διαδικασία ανάλογη η οποία όμως προϋποθέτει καλή γνώση και χειρισμό των επιφανειών στον χώρο. Έστω ότι η F(,, z) είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο κλειστό χωρίο D του χώρου. Τότε ο όγκος του χωρίου είναι V = και η μέση τιμή της συνάρτησης σε αυτό M D dv F(,, z) dv F(,, z) dv D = = V D D dv 9

20 Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της F(,, z) = zστο κυβικό χωρίο που ανήκει στο πρώτο οκτημόριο και φράσσεται από τα επίπεδα που ορίζουν ανά δύο οι άξονες συντεταγμένων και από τα επίπεδα =, = και z=. z 8 V = dv = dddz = ddz = ddz = dz = 4 dz = D F(,, z) dv D M = = zdddz = zddz = zddz V z = zdz = zdz = 4 = = Αντίστοιχα, ορίζονται και τα ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες όπου για την μετατροπή των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιούμε τις γνωστές σχέσεις: r = ρ sinϕ = rcosθ = ρsinϕcosθ z = ρ cosϕ = rsinθ = ρsinϕsinθ = z = z z = cos θ θ ρ ρ = + + z = r + z ϕ Και dv = dddz = dz r drdθ = ρ sin ϕ dρ dϕ dθ Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι ένα χωρίο G του επιπέδου uv μετασχηματίζεται ένα προς ένα σε χωρίο του επιπέδου μέσω εξισώσεων της μορφής:

21 =g(u,v), =h(u,v) Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Καλούμε το είδωλο του G. Κάθε συνάρτηση f(,) ορισμένη στο μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση f(g(u,v),h(u,v)) ορισμένη στο G. Av οι g,h και f έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους και η ποσότητα J(u,v) μηδενίζεται μόνο σε μεμονωμένα σημεία ή πουθενά τότε f (, ) dd = f ( g( u, v), h( u, v)) J ( u, v) dudv όπου J(u,v) ονομάζεται Ιακωβιανή (ορίζουσα) και ισούται με G u v Juv (, ) = = u v v u u v Παράδειγμα: Αν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό των πολικών συντεταγμένων στις καρτεσιανές = rcos θ, = rsinθ, τότε r θ cosθ r sinθ Juv (, ) = = = r(cos θ + sin θ) = r sinθ rcosθ r θ και εφόσον r είναι θετικό, έχουμε τον τύπο που είδαμε παραπάνω f (, ) dd = f ( r cos θ, r sin θ ) r drd θ = f ( r cos θ, r sin θ ) rdrdθ G G Παράδειγμα: Υπολογίστε το 4 /+ dd εφαρμόζοντας / το μετασχηματισμό u =, v= και ολοκληρώνοντας στο κατάλληλο χωρίο του επιπέδου uv. Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. Φανερά, =, v= u+ v. Οπότε αφού το 4τότε v. Επίσης u Εναλλακτικά από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. = 4 v= = v= = v= ( u+ v) u = = v= ( u+ v) u =

22 = 4 = 4 v v = = u = u ( u+ v) ( u+ v) u v u v Juv (, ) = = = = ( v) ( v) u v u v Οπότε το ολοκλήρωμα ισούται + ( u v) v dd = + J ( u, v) dudv = u dudv = u dv dv = = 4 / / Παράδειγμα: Υπολογίστε το + ( ) dd Από τη μορφή του ολοκληρώματος οδηγούμαστε στο να εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό u = +, v= Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v u = + = u Οπότε, v= u = και τελικά Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. u v Από = + = v= u u v Από = = v= u u v u v Από = + = + u = u v = +

23 v v = u = = u = u = v = u u v u v ( ) ( ) u v u v Juv (, ) = = = = = u v u v 9 ( + ) ( + ) u v u v u ( ) ( ) + dd = u v J ( u, v) dvdu = u u 7 9 ( ) u v ( ) = u v dvdu = u du = u( u + 8 u ) du = u du = u u 9 Λυμένες Ασκήσεις:. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Παρατηρώ ότι το ολοκλήρωμα u e dd. = 9 e dδεν υπολογίζεται με τις γνωστές τεχνικές. Για αυτό θα αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι D= {(, ), } = = Μέγιστο = Έξοδος = Ελάχιστο = Είσοδος =

24 Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι {(, ), } D= = = Έξοδος = Είσοδος = Ελάχιστο = Οπότε I = e dd = e dd = e d = e d = 9 ' e ( ) e d e d e = = = = Μέγιστο =. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο =-, και από την επιφάνεια z=cos(π/),. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Λύση z π z = cos = 4

25 Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = π = π = = π f (, ) da = cos dd = cos dd = ( )cos d = = = = = = = = = ' = = π = π π π = cos d cos d = sin sin d π π = ' = = π π = (- ) sin d = sin d= π = π π π = π = ' π = sin ( ) sin d = π π = π = π sin = cos d= = = d π π = π π 4 π 4 π 4 = cos = cos cos() = μονάδες όγκου π π π ' '. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο σφηνοειδούς σχήματος που αποκόπτουν από τον κύλινδρο + = τα επίπεδα z= και z=-. Λύση 5

26 z z = + = Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = = = = f (, ) da = dd = d = d = = = = = = = = + = μονάδες όγκου - 4. Υπολογίστε το όγκο αμμόλοφου του οποίου η βάση καλύπτει περιοχή του επιπέδου, και φράσσεται από την παραβολή + =6 και την ευθεία =. Το ύψος του αμμόλοφου πάνω από το σημείο (,) είναι. Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: 6

27 6 = = 6 6 Οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας και της παραβολής βρίσκονται εύκολα λύνοντας την εξίσωση =- +6 και είναι - και. Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = 6 = = 6 = f (, ) da = dd = dd = ( 6 ) d = = = = = = = μονάδες όγκου = Σας ζητείται να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd στο χωρίο στο επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες =, =, =. Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει να θεωρήσετε το μετασχηματισμό u =, v= +. Ακολουθήστε τα ακόλουθα: Α) Σχεδιάστε το στο επίπεδο, Β) Λύστε ένα σύστημα για να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Γ) Για κάθε ένα από τα σύνορα του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δηλαδή, βρείτε την εικόνα του στο επίπεδο των uv, με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δ) Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv,. Ε) Βρείτε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. ΣΤ) Τελικά με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 7

28 u+ v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u+ v= =. Οπότε u+ v u+ v = u = u =. Η ιακωβιανή u v u v ( + ) ( + ) u v u v Juv (, ) = = = = + = u v u v 9 9 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. u v Από = + = u+ v = u v u v Από = + = + u = Από u v u v = + = ( + ) v= Οπότε η περιοχή είναι η v (,) (,) u + v = (,) u v v Το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd = uv J ( u, v) dudv = uvdudv v 4 u v v v = (( ) ) v dv= v v dv v v v dv 6 = 6 + = = ( ) 9 = ( 54 + ) = ( 8 + ) = = = 6. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u =, v= Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς u,v. Βρ είτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Βρείτε και σχεδιάστε την εικόνα στο επίπεδο των uvτης, τριγωνικής περιοχής που περικλείεται από τις ευθείες + =, = και = /. Δηλαδή, από τα σύνορα της βρείτε τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd 5 5. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 8

29 = 5 u, + = v. Οπότε = 5uκαι + ( 5 u) = v 5= 5u+ v = u+ v και τελικά ( ) = u+ v 5u = u+ 4v. Η ιακωβιανή (u+ ) v (u+ ) v u v u v Juv (, ) = = = = = ( u+ 4 v) ( u+ 4 v) 4 u v u v Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. v Από = / = u+ v= u+ v v= Από = u+ 4v= 6u+ 4v u = Από + = 9u+ 6v+ u+ 4v= u+ v= Οπότε η περιοχή είναι η v = u+ u Το ολοκλήρωμα u+ u+ ( )( + ) dd = uv J ( u, v ) dvdu uvdvdu 5 5 = = u 4 v u u u 4 = u du = 5 u( u) du = 5 u u + u du = = 5 + = 4 7. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u = +, v= + 4. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες = /+, = /+, = /4 και = /4+. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv., Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv., Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( + )( + 4 ) dd. = Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v + 4 = v + = v. Οπότεu v= + = + και 9

30 u v u v = v 4 + =. 5 5 Η ιακωβιανή u v u v ( ) ( ) u v u v Juv (, ) = = = = = u v u v 5 5 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από Από Από Από u v = + ( u+ v) = + u = 5 5 u v = + ( u+ v) = + u = u v v = ( u+ v) = u+ v= u v 4 v+ = u v= u 7 u v v = + ( u+ v) = + u+ v= u v 4 v+ = u+ v= u v 6 u Οπότε η περιοχή είναι η Το ολοκλήρωμα ( + )( + 4 ) dd = uv J ( u, v) dvdu = uvdvdu u+ 6 u u 7 u 7 = 4 6 u v 4 4 = u du u u u d = + u = u = u u+ u u+ + u du = u u u du u u d = + + = u = = u u = 7 + = (6 8) (6 4) = 7 + 7

31 8. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u =, v= +. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv,. Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες = + 4, = + 7, =, = +. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv,. Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv,. Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u+ v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u+ v= =. Οπότε u+ v u+ v = u = u =. Η ιακωβιανή u v u v ( + ) ( + ) u v u v Juv (, ) = = = = + = u v u v 9 9 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από Από Από Από u v u v = = v= 4 u v u v = = v= 7 u v u v = + = + u = u v u v = + + = + + u = Οπότε η περιοχή είναι η v 7 4 u Το ολοκλήρωμα 7 7 ( )( + ) dd = uv J ( u, v) dudv = uvdudv 4 4 =

32 7 7 7 u u = v dv vdv = = =. 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas Calculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finne, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copright των εκδόσεων αυτών.

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος /4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα Πολλαπλά ολοκληρώματα ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Tα προβλήματα που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων δύο και τριών μεταβλητών αποτελούν γενικεύσεις παρόμοιων προβλημάτων που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.: Επίπεδα Εμβαδά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/05) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/05) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 5 (Παράδοση 5/6/5) Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΑΣΗΣΗ 1 Ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους L είναι στερεωμένη σε οριζόντιο άξονα Ο. Αρχικά βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση και αφήνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα I 1

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα I 1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα d d d y y d 7 d sin d / y dy d d 8 os d sin d d d d / d. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα d d d d 7 d d. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ ) 5 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης Μαρτίου 4 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή Απριλίου 4 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Εφαρμογές του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού

Κεφάλαιο 5. Εφαρμογές του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού Κεφάλαιο 5. Εφαρμογές του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού Σύνοψη: Στο Κεφάλαιο αυτό αναφερόμαστε στις εφαρμογές του Διαφορικού και κυρίως) του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Όμως το μεγαλύτερο μέρος του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος 9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΡΓΟ Το έργο, εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μία άλλη. Για σταθερή δύναμη δίνεται από τη σχέση W F Δx Είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.08.1: Μήκος Τόξου Καμπύλης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα