x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5

Transcript

1 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x. Δηλαδή έχουμε τα σημεία τομής (, ), (, ) και (1, 1). Επομένως έχοντας προσδιορίσει το χωρίο συνεχίζουμε ως εξής: Ξεκινώντας με το x να κινείται από -1 εώς 1, παίρνουμε ξεχωριστά τα χωρία που αντιστοιχούν σε x ( ) και σε x 1 ( 1 ). ( 1 ) : Παρατηρούμε άμεσα ότι ( ) : Παρατηρούμε άμεσα ότι Επομένως 1 x 1 x y x. x x y x. (x 1)dxdy (x 1)dxdy + 1 (x 1)dxdy (x 1) x x dydx + (x 1)(x x )dx + (x 1) x x dydx [ x (x 1)(x x)dx x (x 1)[y] x x dx + x (x 1)dydx + x5 5 x + x ] 1 x x (x 1)[y] x x dx (x 1)dydx ] + [ x + x5 5 + x x

2 . Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου του επιπέδου xy που ορίζεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Για να βρορύμε το εμβαδόν E του χωρίου αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκήρωμα dxdy. Επόμενως το μόνο που μένει είναι να βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης των x και y. Ξεκινώντας με το x λοιπόν έχουμε: x 1 x y x. Επομένως: E dxdy x x dydx [y] x x dx ( x x )dx [ x x 1 ] 1 5 x Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που έχει βάση {(x, y) [, 1] [, 1]} και φράσσεται από πάνω από την επιφάνεια z x + y + 1. Λύση Ο ζητούμενος όγκος V θα δίνεται από το ολοκλήρωμα f(x, y)dxdy. Επομένως μένει να βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Καθώς το είναι ένα ορθογώνιο με πλευρές 1 έχουμε: x 1 και y 1.

3 Επεται λοιπόν ότι ο ζητούμενος όγκος V θα είναι: V [ y + y f(x, y)dxdy ] 1 5. (x + y + 1)dxdy [ x + y x + x ] 1 dy ( ) + y dy Σημείωση: Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τον όγκο V μέσω του τριπλού ολοκληρώματος R dxdydz, όπου R το στερεό που περιέχεται στο 1ο τεταρτημόριο εντός των επιφανειών x 1, y 1, z x + y + 1. Οντως τότε πάλι θα έχουμε ότι: Επιπλέον εδώ για το z θα ισχύει ότι: Επομένως ο ζητούμενος όγκος θα είναι: V R dxdydz Fubini x +y +1 x 1, y 1. z x + y + 1. dzdxdy και συνεχίζουμε όπως στο διπλό ολοκλήρωμα πιο πάνω. [z] x +y +1 dxdy (x +y +1)dxdy. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού R που περικλείεται από την επιφάνεια x +y +z και το επίπεδο z. Παρατηρούμε ότι η επιφάνεια x + y + z είναι της μορφής x a + y b z, δηλαδή ένα c ελλειπτικό παραβολοειδές όπως φαίνεται και στο σχήμα. Η προβολή της του παραβολοειδούς στο επίπεδο xy (z ) θα είναι ο δίσκος { (x, y) : x + y }. Επομένως, για τον υπολογισμό του ζητούμενου όγκου V μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε διπλό είτε τριπλό ολοκλήρωμα. Συγκεκριμένα: (διπλό ολοκλήρωμα): Θεωρώντας την f(x, y) z x y, έχουμε ότι ο όγκος του στερεού που βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια z f και πάνω από το επίπεδο z, δίνεται από το V f(x, y)dxdy. Για τον υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματος πρέπει λοιπόν να βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Καθώς το είναι δίσκος, έπεται ότι η χρήση πολικών συντεταγμένων θα βοηθήσει αρκετά. Επομένως: x rcosθ, y rsinθ, r x + y, J (x, y) (r, θ) r.

4 Φαίνεται άμεσα από το σχήμα ότι θ π και r, το οποίο φαίνεται και απ την σχέση x + y r r. Επιπλέον f(r, θ) r cosθ r sinθ r. Επομένως έχουμε ότι: π π V f(x, y)dxdy ( r ) J dθdr ( r )rdθdr ( r )r ( r )r[θ] π dr π [ r ( r )rdr π r ] dr 8π. (τριπλό ολοκλήρωμα): Ο όγκος V του στερεού R θα δίνεται απο το τριπλό ολοκλήρωμα V R dxdydz. κάνοντας αλλαγή συντεταγμένων σε κυλινδρικές έχουμε: x rcosθ, y rsinθ, z x y (x + y ) r, J π (x, y, z) (r, θ, z) r. Οπως είδαμε στο διπλό ολοκλήρωμα, r, θ π. Επιπλέον για το z έχουμε ότι κάτω φράσσεται από το και πάνω από το x y r, άρα z r. Επομένως: V R π dxdydz π r r[z] r dθdr π J dzdθdr r( r )dθdr, π r rdzdθdr π το οποίο είναι ακριβώς το ίδιο με το διπλό ολοκλήρωμα πιο πάνω με αποτέλεσμα V 8π. dθdr r r dzdθdr Σημείωση: Λόγω συμμετρίας μπορούμε να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα ως εξής: Λόγω συμμετρίας της f z παίρνουμε το 1ο τεταρτημόριο και υπολογίζουμε σε αυτό το αντίστοιχο ολοκλήρωμα και στο τέλος πολλαπλασιάζουμε ότι βρούμε με. Συγκεκριμένα όπως βλέπουμε και στο σχήμα ότι για τα x και y έχουμε: Άρα x y x (ή ισοδύναμα y x x ). x [ f(x, y)dydx x ( x ) x ( x ) ( x y )dydx ] [ dx ( x ) ( x ) [( x )y y ] dx ] x Άρα ο ζητούμενος όγκος θα είναι V (π) 8π. Ομως η τελευταία ισότητα που δίνει το π δεν είναι άμεση και για το λόγο αυτό προτιμάται η χρήση των πολικών συντεταγμένων. dx ( x ) dx π. 5. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x xy)dxdy όπου το χωρίο που περικλείεται από τις καμπύλες y x και x.

5 5 Οπως φαίνεται από το σχήμα το χωρίο θα είναι ανάμεσα στην παραβολή y x και στην κάθετη ευθεία x. Επομένως { (x, y) : y x, x }. Μένει λοιπόν να υπολογίσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Αρχικά θα δούμε που κυμαίνεται το x βρίσκοντας τα σημεία τομής των δύο καμπυλών. Αυτά θα δίνονται από την επίλυση του συστήματος: { y x τα σημεία θα είναι τα (, ) και (, ). x Μπορούμε να ξεκινήσουμε τα άκρα του x. Στην περίπτωση αυτή είναι προφανές ότι x και για το y βάσει του έχουμε ότι y x y x x y x. Άρα x, x y x. Επομένως το διπλό ολοκλήρωμα θα είναι: (x xy)dxdy F ubini x 5 dx [ 7 x 7 ] x x 1 7. (x xy)dydx ] x [x y x y dx x x xdx (Διαφορετικός τρόπος υπολογισμού) Ομοίως μπορούμε να ξεκινήσουμε με ολοκλήρωση ως προς το y. Από τα σημεία τομής και το σχήμα βλέπουμε ότι y και για το x βάσει του έχουμε ότι: Άρα y, y (x xy)dxdy y x και x y x. x. Επομένως το διπλό ολοκλήρωμα θα είναι: [ y y6 6 y + 6 y y (x xy)dxdy ] 1 7. [ x x y ] y dy ] [ y y5 6 8y + dy 6. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου στο xy που περικλείεται από τις καμπύλες y x και x + y.

6 6 Οπως βλέπουμε και από το σχήμα, το χωρίο περικλείεται από την παραβολή y x και την ευθεία y x. Το εμβαδόν λοιπόν θα δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα E dxdy. Μένει να βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Θέλοντας να ξεκινήσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης του x (αντίστοιχα θα δουλέυαμε αν θέλαμε να ξεκινήσουμε ως προς y) πρέπει αρχικά να βρούμε τα σημεία τομής των δύο καμπυλών. Αυτά τα σημεία θα δίνονται από την επίλυση του συτήματος: { y x τα σημεία θα είναι τα (, ) και (1, 1). y x Άρα για x 1 έπεται ότι x y x. Επομένως τα άκρα ολόκλήρωσης θα είναι: Το ζητούμενο εμβαδόν θα δίνεται από: dxdy F ubini x x 1 και x y x. x dydx [y] x x dx ( x x ) dx ] 1 [x x x 9.

7 7 7. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ευθείες x, y, y 1/ και τον κύκλο x + y 1. Από το σχήμα είναι εμφανές ότι βρισκόμαστε στο 1ο τεταρτημόριο. Το ζητούμενο εμβαδόν θα δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα dxdy. Επομένως εδώ θα ξεκινήσουμε με την μεταβλητή y, η οποία κινείται ελέυθερα από εώς 1. Το x όπως είναι εμφανές θα εξαρτάται από τις τιμές του y στο [, 1 ]. Συγκεκριμένα όπως φαίνεται από το σχήμα θα κυμαίνεται από το εως την καμπύλη x 1 y. Τα άκρα ολοκλήρωσης θα ειναι: Άρα το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από:.... dxdy 1 x y 1 και x 1 y. dxdy [ 1 1 y [x] dy 1 y y 1 y dy + 1 arcsiny ] 1 Σημείωση: Αν θέλουμε να ξεκινήσουμε με την μεταβλητή x τότε ένας τρόπος είναι να χωρίσουμε το χωρίο σε δύο κομμάτια 1 και όπως φαίνεται και στο σχήμα. Το 1 είναι ένα ορθογώνιο του οποίου για να προσδιορίσουμε τα άκρα πρέπει να βρούμε το σημείο τομής της y 1 και του κύκλου x + y 1 στο 1ο τεταρτημόριο. Επομένως λύνουμε το σύστημα: y 1 x x + y 1 Άρα το σημείο τομής θα είναι το (, 1 ). Επομένως για το 1 έχουμε τα άκρα ολοκλήρωσης: { 1 (x, y) : x, y 1 }. Για το έχουμε ότι x 1 και το y κυμαίνεται από το εώς το 1 x. Επομένως για το έχουμε τα άκρα ολοκλήρωσης: {(x, y) : x 1, y } 1 x. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν θα δίνεται από: dxdy dxdy + dxdy dydx x και συνεχίζουμε όπως πριν για τον υπολογισμό του δεύτερου ολοκληρώματος. dydx x dydx Να υπολογισθεί ο όγκος V του στερεού R που περικλείεται από τις επιφάνειες z x + y και z.

8 8 Για τον υπολογισμό του στερεού που φαίνεται και στο σχήμα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε διπλό ολοκλήρωμα είτε τριπλό ολοκλήρωμα. (Διπλό ολοκλήρωμα): Εστω f 1 (x, y) x + y η επιφάνεια ενός παραβολοειδούς και f (x, y) το επίπεδο. Ο όγκος V του στερεού κάτω απ την γραφική παράσταση της f και πάνω από την γραφική παράσταση της f 1 δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα ( V (f (x, y) f 1 (x, y)) dxdy x y ) dxdy, όπου το χωρίο στο οποίο ορίζονται οι f 1 και f. Παρένθεση-Σημείωση: Το χωρίο είναι η προβολή του στερεού R στο επίπεδο xy και μπορεί να είναι γνωστό ή μπορεί να μην είναι γνωστό. Στην περίπτωση που δεν είναι γνωστό, απαλοίφοντας το z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών, προκύπτει η καμπύλη C που αποτελεί το σύνορο του χωρίου που ζητάμε. Στη συγκεκριμένη άσκηση το χωρίο είναι προφανώς ο δίσκος ακτίνας όπως φαίνεται και από το σχήμα. Ισοδύναμα αν απαλοίψουμε το z (όπως αναφέρεται στην παρένθεση-σημείωση) θα πάρουμε το σύνορο C του χωρίου. Επομένως επιλύοντας το σύστημα: { z x + y x + y. z Άρα το σύνορο του θα είναι ο κύκλος x + y το οποίο σημαίνει ότι το χωρίο θα είναι όντως ο δίσκος ακτίνας όπως προαναφέραμε. Λόγω συμμετρίας του χωρίου, η χρήση πολικών συντεταγμένων μπορεί να διευκολύνει αρκετά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος. Επομένως: x rcosθ, y rsinθ, x + y r, J Αφού { (x, y) : x + y }, τα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι: Ο ζητούμενος όγκος του R θα δίνεται από: π π ( r ) J dθdr ( r ) rdr π r r και θ π. π [r r (x, y) (r, θ) r. ( r ) ( rdθdr r ) π r dθdr ] 8π. ( r ) r[θ] π dr

9 9 (Τριπλό ολοκλήρωμα): Ο όγκος V του χωρίου R θα δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα V R dxdydz. Μένει λοιπόν να προσδιορίσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες καθώς έχουμε συμμετρία του στερεού ως προς τον άξονα z. Επομένως: x rcosθ, y rsinθ, z z, J r. Οπως και πριν η προβολή του στερεού είναι ο δίσκος x + y. Επομένως τα άκρα πάλι θα είναι r, θ π. Οσον αφορά τα άκρα του z, αφού το στερεό βρίσκεται ανάμεσα στις δύο επιφάνειες z x + y και z, έπεται ότι x + y z r z. Εχοντας βρει όλα τα άκρα ολοκλήρωσης, ο όγκος V του στερεού R θα δίνεται από: V π r J dzdθdr π r rdzdθdr π r[z] r dθdr π και συνεχίζουμε ακριβώς όπως στον υπολογισμό πιο πάνω του διπλού ολοκληρώματος. ( r )rdθdr Σημείωση-Παρατήρηση: Είτε στην περίπτωση του διπλού ολοκληρώματος είτε στου τριπλού ολοκληρώματος μπορούμε να δουλέψουμε ως εξής: Λόγω συμμετρίας του σχήματος μπορούμε να δουλέψουμε στο 1ο τεταρτημόριο και το αποτέλεσμα που θα βρούμα να πολλαπλασιαστεί με το. Επομένως απο τα παραπάνω φαίνεται ότι τα άκρα θα είναι: x, y x, x + y z. (1) Επομένως έχουμε για το διπλό ολοκλήρωμα: και για το τριπλό ολοκλήρωμα: x... π () x x +y dzdydz... π () Άρα ο ζητούμενος όγκος θα είναι το αποτέλεσμα, δηλαδή V 8π. Ωστόσο ο υπολογισμός δεν είναι τόσο άμεσος όσο με τις πολικές και τις κυλινδρικές αντίστοιχα και γιαυτό τον λόγο ενδείκνυται η αλλαγή μεταβλητής.

10 1 9. Να υπολογισθεί ο όγκος V του στερεού R που περικλείεται από τις επιφάνειες z x + y και z x + y. Οπως φαίνεται και στο σχήμα το στερεό R περικλείεται από το παραβολοειδές z x + y (κάτω) και τον κώνο z x + y z x + y (πάνω). Επομένως όπως και στις προηγούμενες ασκήσεις θα υπολογίσουμε τον όγκο είτε με χρήση διπλού είτε με χρήση τριπλού ολοκληρώματος. (Διπλό Ολοκληρωμα): Εστω f 1 (x, y) x + y και f (x, y) x + y για (x, y) όπου η ορθή προβολή του στερεού R στο xy επίπεδο και το οποίο, σε πρίπτωση που δεν είναι γνωστό, μπορεί να υπολογιστεί όπως στην άσκηση 8. Ο όγκος του στερεού R που βρίσκεται ανάμεσα στις γραφικές παραστάσεις των f 1 και f, θα δίνεται από: ( V (f (x, y) f 1 (x, y)) dxdy x + y x y ) dxdy Επομένως μένει να βρούμε το χωρίο και μαζί με αυτό τα άκρα ολοκλήρωσης για τα x και y. Είναι προφανές ότι το θα είναι δίσκος όπως φαίνεται και στο σχήμα, όμως δεν γνωρίζουμε άμεσα τι ακτίνας. Για το λόγο αυτό απαλοίφουμε το z το οποίο θα μας δώσει το σύνορο του (το οποίο προφανώς εδώ θα είναι ένας κύκλος σύνορο του δίσκου). Για να απαλοίψουμε το z επιλύουμε το σύστημα: { z x + y z x + y z z z, z 1. Επομένως έχουμε ότι τέμνονται στο επίπεδο z στο (, ) (αφού x + y x + y x y ) και στο επίπεδο z 1 με καμπύλη τομής x + y 1. Επομένως η ορθή προβολή του στερεού R είναι ο δίσκος { (x, y) : x + y 1 }. Αφού λοιπόν δουλεύουμε σε δίσκο, είναι προφανές ότι η χρήση πολικών συντεταγμένων θα διευκολύνει αρκετά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος. Άρα: x rcosθ, y rsinθ, x + y r, J r. Τα άκρα ολοκλήρωσης για το θα είναι x + y 1 r r 1 όσον αφορά το r, ενώ για το θ αφού θέλουμε ολόκληρο το δίσκο θα έχουμε θ π. Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι: r 1 και θ π.

11 11 Επομένως ο ζητούμενος όγκος θα είναι: V ( x + y x y ) dxdy (r r ) π dθdr π (r r )[θ] π dr π (r r ) J dθdr π (r r )rdθdr [ r (r r )dr π r ] 1 π 6. (Τριπλό Ολοκλήρωμα): Ο όγκος V του στερεού R θα δίνεται απο το τριπλό ολοκλήρωμα R dxdydz. Μένει να βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Τα x και y θα ανήκουν στο χωρίο το οποίο είναι η ορθή προβολή του στερεού στο xy επίπεδο. Επομένως το και επομένως τα άκρα για τα x και τα y βρίσκονται με απαλοιφή του z, ακριβώς όπως πάνω στην επίλυση με διπλό ολοκλήρωμα. Οσον αφορά τα άκρα του z, φαίνεται και από το σχήμα ότι θα κυμαίνεται από το παραβολοειδές z x + y ως τον κώνο z x + y. Άρα x + y z x + y. Εδώ καθώς βρισκόμαστε στις διαστάσεις και έχουμε συμμετρία του στερεού ως προς τον άξονα z, η χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων θα διευκολύνει τον υπολογισμό του ολοκληρώματος όπως και οι πολικές στο διπλό ολοκλήρωμα. x rcosθ, y rsinθ, z z, x + y r, J r. Τα άκρα για το r και το θ θα είναι ακριβώς τα ίδια με το διπλό ολοκλήρωμα, δηλαδή r 1, θ π. Οσον αφορά το z, έχουμε ότι x + y z x + y r z r. Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι: Άρα ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από: V R π dxdydz r[z] r r dθd r 1, θ π, r z r. π r π r J dzdθdr r(r r )dθdr π r r rdzdθdr π και συνεχίζουμε τον υπολογισμό ακριβώς όπως στο διπλό ολοκλήρωμα πιο πάνω. r r dzdθdrr r

12 1 1. Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που βρίσκεται στο 1ο όγδοο των αξόνων και περικλείεται από τις επιφάνειες z + y 1, x και y x. (Διπλό Ολοκλήρωμα): Οπως φαίνεται και στο σχήμα ο όγκος το στερεό φράσσεται από πάνω από την επιφάνεια z + y 1 z 1 y (1ο όγδοο των αξόνων). Εστω z f(x, y) 1 y για (x, y), όπου η ορθή προβολή του στερεού στο xy επίπεδο. Ο όγκος V του στερεού R θα δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα V f(x, y)dxdy. Μένει να προσδιορίσουμε την ορθή προβολή του R στο xy επίπεδο και επομένως και τα άκρα ολοκλήρωσης. Για z στην z + y 1 παίρνουμε την προβολή y 1 y 1 (1ο όγδοο). Οι ευθείες y x και y 1 θα σχηματίζουν ένα τρίγωνο στο xy επίπεδο όπως φαίνεται και στο σχήμα με σημείο τομής που δίνεται απο την επίλυση του συστήματος τους, δηλαδή y 1 x. Άρα το σημείο τομής θα είναι το Α(1,1). Θα ξεκινήσουμε από το y το οποίο θα κυμαίνεται από εώς 1 όπως φαίνεται και στο σχήμα (αντίστοιχα δουλεύουμε αν θέλουμε να ξεκινήσουμε από το x). Το x θα εξαρτάται από το y και θα κυμαίνεται από εώς το x y. Άρα τα άκρα για τα x και y στο τρίγωνο (προβολή του στερεού) θα είναι: y 1 και x y. (ή ισοδύναμα αν θέλαμε να ξεκινήσουμε από το x θα ήταν x 1 και x y 1). Ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από: y y V f(x, y)dxdy 1 y dxdy 1 y dxdy 1 y [x] y dy y 1 y dy y(1 y ) 1 dy 1 [ (1 y ) ] 1 1.

13 1 (Τριπλό ολοκλήρωμα): Ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα V R dxdydz. Μένει λοιπόν να προσδιορίσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Τα x και y θα ανήκουν στην ορθή προβολή του στερεού στο xy επίπεδο, η οποία υπολογίζεται ακριβώς όπως πάνω στο διπλό ολοκλήρωμα. Επομένως {(x, y) : y 1, x y}. Οσον αφορά τα άκρα ολοκλήρωσης του z, είναι προφανές ότι θα κυμαίνεται από το z εώς την επιφάνεια z +y 1 z 1 y. Άρα τα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι: Ο ζητούμενος όγκος θα είναι: V R dxdydz F ubini y 1, x y, z 1 y. y 1 y dzdxdy y και συνεχίζουμε ακριβώς όπως πιο πάνω στο διπλό ολοκλήρωμα. 1 y [z] dxdy y 1 y dxdy 11. Να υπολογισθεί ο όγκος V του στερεού R που περικλείεται από τις επιφάνειες x + y + z z και z x + y. Το στερεό R θα περικλείεται από την επιφάνεια x +y +z z x +y +z z x +y +z z+1 x +y +(z) 1, η οποία θα είναι σφαίρα με κέντρο το (,, 1) και ακτίνα 1. Επιπλέον θα περικλείεται από τον κώνο z x + y z x + y. Το στερεό R θα είναι επομένως εντος της σφαίρας και του κώνου όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα V R dxdydz. Μένει να προσδιορίσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Αφού δουλεύουμε σε σφαίρα η χρήση σφαιρικών συντεταγμένων θα διευκολύνει αρκετά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος. Επομένως: x rcosθsinφ, y rsinθsinφ, z rcosφ, x +y +z r, tanφ x + y z, J r sinφ.

14 1 Αφού θέλουμε να είμαστε εντός της σφαίρας x + y + z z έχουμε ότι x + y + z z r rcosφ r cosφ. Για την γωνία φ έχουμε ότι θα κυμαίνεται απο εώς την γωνία που σχηματίζει το άξονας z με τον κώνο. για να βρούμε την γωνία που σχηματίζει ο κώνος χρησιμοποιούμε ότι: tanφ x + y z z x +y x + y x + y 1 φ π. Επομένως φ π. Η γωνία θ δεν περιορίζεται απο κάτι, επομένως θ π. Ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από: π π cosφ π π cosφ V dxdydz J drdφdθ r sinφdrdφdθ 8 π R π π sinφ cosφ [ cos φ ] π r drdφdθ dθ 1 π π dθ π. π [ r sinφ ] cosφ dφdθ 8 π π π cos φsinφdφdθ 1. Να υπολογισθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα S x + y ds, όπου S η επιφάνεια που ορίζεται από την διπαραμέτρηση r (u, v) (ucosv, usinv, v) για (u, v) [, 1] [, π]. Αφού έχουμε την παραμέτρηση της επιφάνειας S μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: f(x, y)ds f ( r (u, v)) r u r v dudv, S όπου το πεδίο ορισμού της παραμέτρησης r. f ( r (u, v)) u cos v + u sin v u u. r u (cosv, sinv, ) r v ( usinv, ucosv, 1) r u i j k r v x u y u z u x v y v z i sinv j cosv + k u (sinv, cosv, u). v r u r v sin v + cos v + u 1 + u. Επομένως έχουμε: π s x + y ds π [ 1 (1 + u ) ] 1... u 1 + u dudv F ubini u π 1 + u dvdu π u 1 + u du

15 15 1. Να υπολογισθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα S z ds, όπου S είναι το τμήμα του κώνου z x + y για (x, y) { (x, y) : 1 x + y } Αφού έχουμε την επιφάνεια με εξίσωση z z(x, y) x + y όπου (x, y), θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: f(x, y, z)ds f (x, y, z(x, y)) 1 + zx + zydxdy, S όπου { (x, y) : 1 x + y } η προβολή της επιφάνειας S στο επίπεδο xy. Άρα: f(x, y, z(x, y)) z (x, y) x + y z x x x + y z x x x + y y z y x + y z y y x + y 1 + zx + zy 1 + x + y x + y f(x, y, z(x, y)) 1 + zx + zydxdy (x + y ) dxdy (x + y )dxdy. 1 x +y 1 x +y Μένει να υπολογίσουμε τα άκρα ολοκλήρωσης. Επειδή δουλέυουμε στον δακτύλιο που περιέχεται ανάμεσα στους κύλους ακτίνας 1 και είναι βολική η χρήση πολικών συντεταγμένων. x rcosθ, y rsinθ, x + y r, J r. Για την γωνία θ δεν υπάρχει περιορισμός επομένως θα κυμαίνεται απο εώς π. Οσον αφορά το r έχουμε ότι Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι: 1 x + y 1 r 1 r. θ π και 1 r.

16 16 Οπότε: (x + y )dxdy π 1 r J drdθ 1 r drdθ π [ r ] dθ 15π Να υπολογισθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα S (xz + yz)ds, όπου S είναι το τμήμα της επιφάνειας z x + που περιέχεται μέσα στον κύλινδρο x + y 1. Για την επιφάνεια S έχουμε z z(x, y) x + για (x, y) { (x, y) : x + y 1 }. Επομένως όπως και στην προηγούμενη άσκηση θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: f(x, y, z)ds f (x, y, z(x, y)) 1 + zx + zydxdy, Άρα: S f(x, y, z(x, y)) xz(x, y) + yz(x, y) x(x + ) + y(x + ) (x + )(x + y) z x 1 z y 1 + z x + z y Επομένως: (x + y)(x + ) dxdy (x + y)(x + )dxdy. x +y 1 Για τον υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματος αφού βρισκόμαστε στον μοναδιαίο δίσκο είναι βολική η χρήση πολικών συντεταγμένων. x rcosθ, y rsinθ, x + y r, J r. Εχουμε ότι x + y 1 r 1 r 1. Τα άκρα ολοκλήρωσης φαίνεται άμεσα ότι θα είναι: θ π και r 1. ()

17 17 Επομένως: π x +y 1 π π (x + y)(x + )dxdy π r (cosθ + sinθ)(rcosθ + )drdθ ( r cos θ + r cosθ + r sinθcosθ + r sinθ ) drdθ ( 1 cos θ + cosθ + 1 sinθcosθ + sinθ (rcosθ + rsinθ)(rcosθ + ) J drdθ ) dθ... π.