Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος"

Μεθόδιος Γιαννόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται ως u, v. Να δώσετε το νέο ολοκλήρωμα σε μορφή διαδοχικών ολοκληρωμάτων. (Δεν είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τελική τιμή του.) 4. / / Είναι v 4 u 4 Έτσι το χωρίο τασχηματίζεται στο ορθογώνιο χωρίο: G {( uv, ) : v, u 4} Υπολογίζου την Ιακωβιανή του τασχηματισμού ως (, ) Juv (, ) ( uv, ) ( uv, ) (, ) Είναι ( uv, ) u u uv uv ()( ) ( )( ) (, ) v v Επομένως Juv (, ) u Τελικά το τασχηματισμένο διπλό ολοκλήρωμα γράφεται ως u v v I da dudv dudv ( + 3 ) ( u+ 3v ) u ( u+ 3v ) G G 4 v du dv 3 ( u+ 3v )

2 Άσκηση (Μονάδες ) 3 Υπολογίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f (, ) ( ) + Υπολογίζου της ρικές παραγώγους πρώτης τάξης f 3( ) + f 3( ) Για να βρού τα κρίσιμα σηία λύνου το σύστημα: f 3( ) + 3( ) () f 3( ) 3( ) () Συγκρίνοντας τις () και () παίρνου ότι (3) Αντικαθιστώντας την (3) στην () έχου 3( ) + 3( ) + + ( + ) Άρα υπάρχουν κρίσιμα σηία. Τα (,) και (/, -/) Υπολογίζου της ρικές παραγώγους δεύτερης τάξης f 6( ) f f 6( ) f 6( ) Η Εσσιανή γράφεται ως H f f f 36 ( 6( )) ( ) Έχου H (, ) < Σαγματικό σηίο και H (, ) >, f (, ) > Τοπικό Ελάχιστο, το οποίο είναι το 3 f, ( ) + 43

Άσκηση 3 (Μονάδες.5) Υπολογίστε το εμβαδό που περικλείεται ταξύ των κύκλων ( ) + 4 ( ) + και Επειδή έχου καμπύλες κύκλων βολεύει να δουλέψου σε πολικές συντεταγμένες.

3 Άσκηση 3 (Μονάδες.5) Υπολογίστε το εμβαδό που περικλείεται ταξύ των κύκλων ( ) + 4 ( ) + και Επειδή έχου καμπύλες κύκλων βολεύει να δουλέψου σε πολικές συντεταγμένες. rosθ r rsinθ Η εξίσωση του πρώτου κύκλου σε πολικές συντεταγμένες γίνεται: ( ) + ( rosθ ) + r sin θ r os θ rosθ + + r sin θ r os θ + sin θ rosθ ( ) ( θ) r rosθ r r os Επομένως r ή r osθ Αρκεί όμως μόνον η δεύτερη σχέση καθώς συμπεριλαμβάνει και την τιμή r (π.χ. για θ π /) Έτσι η εξίσωση του πρώτου κύκλου γίνεται r osθ Ομοίως η εξίσωση του δεύτερου κύκλου γίνεται r 4osθ Έτσι π/ 4 osθ π/ 4osθ r E r drdθ r dr dθ dθ π/ osθ π/ osθ π/ π/ ( 4osθ) ( osθ) dθ 6os θ 4os θ dθ π/ π/ π/ π/ π/ π/ + os( θ ) 3 6 os θ dθ 6 dθ 3dθ + os( θ) d( θ) π/ π/ π/ π/ π [ ] / 3 π / 3 θ + [sin( )] / π / 3 π θ π

4 Άσκηση 4 (Μονάδες ) Να υπολογίσετε την παράγωγο της f(, ) sin( ) στο σηίο (,π/) στην κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος που σχηματίζει γωνία -45 τον άξονα. Ένα διάνυσμα που σχηματίζει γωνία -45 τον άξονα είναι το u, και έχει μέτρο u + ( ) To τατρέπου σε μοναδιαίο και έχου u uˆ,, u Βρίσκου την κλίση της f f f, f os( ), os( ) π Υπολογίζου την κλίση της f στο σηίο, π π π os( ), os( ), ( f ) P Βρίσκου την ζητούνη παράγωγο κατά διεύθυνση: df ( f ) uˆ,, () + () ds P û, P Άσκηση 5 (Μονάδες ) Περιγράψτε την έννοια του προσήμου του έργου μίας ταβλητής δύναμης η οποία εφαρμόζεται σε ένα σώμα κατά την κίνησή του σε μία ανοιχτή καμπύλη. Να χρησιμοποιήσετε σχηματικά παραδείγματα σε κάθε περίπτωση. a) F dr > C όταν η φορά διαγραφής της καμπύλης C, στο γαλύτερο μέρος της, είναι παραπλήσια τη φορά του διανυσματικού πεδίου δυνάων

5 b) F dr < C όταν η φορά διαγραφής της καμπύλης C, στο γαλύτερο μέρος της, είναι αντίθετη τη φορά του διανυσματικού πεδίου δυνάων ) F dr C όταν η καμπύλη C είναι κάθετη στη φορά του διανυσματικού πεδίου δυνάων Άσκηση 6 (Μονάδες ) Δίνεται το πεδίο F,. Επαληθεύστε την εφαπτονική μορφή του θεωρήματος Green, αφού προηγουμένως επισημάνετε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του, στο χωρίο {(, ) :, + } To χωρίο είναι απλά συνεκτικό και το πεδίο F, M, N καθώς και οι πρώτες του παράγωγοι είναι συνεχείς στο. Επίσης το σύνορο είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη. Επομένως το θεώρημα Green ισχύει και η εφαπτονική μορφή του γράφεται ως: N M Md + Nd da όπου AB BC CD DA

6 6 5 C 4 3 D A B 3 Αρχικά υπολογίζου το διπλό ολοκλήρωμα N M da ( ) da 3 da dd 3 d ( + ) d d Στη συνέχεια υπολογίζου τα επικαμπύλια ολοκληρώματα AB AB t () + t :, t t () d dt d dt BC d d () ( + t)()() dt dt t t () :, t t () + 4t d dt d 4 dt [ ] ( ) d d 4 t () ( 4 t)(4) dt 8 ( 4 t) dt AB 8 t+ t

7 DC t () t :, t t () + t ( ) CD d dt d t dt d d + t () t( + t )( t) dt DC t 6 t dt t DA t () :, t t () t d dt d dt DA ( ) d d t () ()( t)( ) dt t dt t 3 t Θα είναι AB BC CD DA Επομένως επειδή παίρνου το ίδιο αποτέλεσμα που δίνει και το αντίστοιχο διπλό ολοκλήρωμα, επαληθεύσα το θεώρημα Green.

8 Άσκηση 7 (Μονάδες.5) Βρείτε το έργο της τατόπισης ενός σώματος ταξύ των σηίων Α(-3,) και Β(,-) κατά μήκος της καμπύλης του σχήματος μέσα στο πεδίο: F (, ), χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δυναμικού. A B Το έργο δίνεται από το ακόλουθο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα W F Tˆ ds Το πεδίο γράφεται ως F (, ), MN, N M Άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου f () f F f () Ολοκληρώνοντας την () ως προς, και διατηρώντας τα,z σταθερά, παίρνου f d + g( ) (3), όπου g( ) μία συνάρτηση μόνον τoυ. Για να βρού την g( ) παραγωγίζου την (3) ως προς και παίρνου: g( ) f + (4) Από τις (4) και () παίρνου: g( ) (5) Ολοκληρώνοντας την (5) ως προς έχου: g( ) d g( ) + (6) Επομένως η (3) λόγω της (6) δίνει:

9 f(, ) + (7) Επειδή το πεδίο είναι συντηρητικό, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ˆ F T ds εξαρτάται μόνο από τα άκρα της καμπύλης και είναι ίσο ( 3) f( B) f( A) f(, ) f( 3,) 8 ( ) ( )

Σχετικά έγγραφα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,