1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima

Transcript

1 KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x = 0. Baš uz pomoć te jednadžbe uvodi se imaginarna jedinica: i 2 = 1. Da je z = x + iy kompleksan broj, kraće ćemo zapisivati kao z C. Reći ćemo da je x realni dio kompleksnog broja z = x + iy i zapisivat ćemo to kao x = Rez). Imaginarni dio tog kompleksnog broja je y = Imz). Dva kompleksna broja z = x + iy i w = u + iv su jednaka ako su im isti realni i imaginarni dijelovi, tj., ako je x = u, y = v. Kompleksni brojevi 3 + 0i, 5 0i su realni brojevi 3, odnosno 5. Brojeve 0 + i, 0 5i zvat ćemo čisto imaginarni brojevi. Kompleksne brojeve možemo zapisivati i kao uredene parove z = x, y), čime se obično koristimo kod grafičke reprezentacije kompleksnih brojeva Osnovne operacije Osnovne operacije s kompleksnim brojevima su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje:

2 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 2 1. zbrajanje/oduzimanje 2. množenje a + ib) ± c + id) = a ± c) + ib ± d), a + ib) c + id) = ac + i 2 bd + ibc + iad = ac bd) + ibc + ad), 3. dijeljenje ako je c 2 + d 2 0 a + ib c + id = a + ib c + id c id ac + bd) + ibc ad) =. c id c 2 + d 2 Za zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva vrijede ista svojstva kao i kod realnih brojeva: 1. asocijativnost z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + z 2 + z 3 ), z 1 z 2 ) z 3 = z 1 z 2 z 3 ), 2. komutativnost z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 z 2 = z 2 z 1, 3. distributivnost množenja prema zbrajanju z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z Konjugiranje Ako je z = x+iy C, broj z = x iy je konjugirano kompleksan broju z. Konjugiranje kompleksnih brojeva je funkcija z z : C C koje ima sljedeća svojstva za svaki par z 1, z 2 C: 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, 2. z 1 z 2 = z 1 z 2, ) z1 3. = z 1 kad god je z 2 0, z 2 z 2 4. z 1 = z 1.

3 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 3 Ova se svojstva lako dokazuju korištenjem definicije osnovnih operacija. Dokažimo samo prvo svojstvo. Neka je Onda je pa je S druge strane je pa je z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. z 1 + z 2 = x 1 + x 2 ) + iy 1 + y 2 ), z 1 + z 2 = x 1 + x 2 ) iy 1 + y 2 ). z 1 = x 1 iy 1, z 2 = x 2 iy 2, z 1 + z 2 = x 1 + x 2 ) iy 1 + y 2 ). Uočimo da taj broj ima iste komponente kao i z 1 + z 2, pa iz jednakosti kompleksnih brojeva zaključujemo da ta dva broja moraju biti jednaka Apsolutna vrijednost kompleksnog broja Kompleksni broj možemo prikazati grafički. y z = x, y) z x Udaljenost točke z od ishodišta koordinatnog sustava naziva se apsolutna vrijednost kompleksnog broja i označava sa z. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja lako se račuma korištenjem Pitagorinog poučka: z = x 2 + y 2. Prvo primijetimo da je apsolutna vrijednost kompleksnog broja uvijek nenegativni realni broj. Nadalje, odavde je odmah jasno da je x z, y z.

4 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 4 Funkcija z z : C R ima za svaki par kompleksnih brojeva z 1 i z 2 sljedeća svojstva: 1. Jedini kompleksni broj kojemu je apsolutna vrijednost jednaka 0 je baš 0. Svi ostali kompleksni brojevi imaju apsolutnu vrijednost koja je veća od z 1 z 2 = z 1 z 2, z 3. 1 = z 1 z 2, čim je z 2 0, z 2 4. ova nejednakost obično se zove nejednakost trokuta 5. z = z, 6. z 2 = z z. z 1 + z 2 z 1 + z 2, Sva ova svojstva, osim svojstva 4, se direktno raspisuju korištenjem znanja o osnovnim operacijama s kompleksnim brojevima. Nejednakost trokuta može se i generalizirati na neki od sljedećih načina: z 1 + z z n z 1 + z z n, z 1 + z 2 z 1 z 2, z 1 z 2 z 1 z 2, z 1 z 2 z 1 z Polarna i Eulerova forma Budući da kompleksne brojeve možemo prikazivati kao uredene parove točke u ravnini, onda za njih postoje i drugačije koordinate. y r z = x, y) ϑ x U plarnim koordinatama je x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, r 0, ϕ [0, 2π.

5 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 5 Dakle, prikaz kompleksnog broja u polarnoj formi je z = x + iy = rcosϕ + i sin ϕ). Ovaj je zapis često zgodniji nego Kartezijev zapis. Pokažimo to na primjeru množenja kompleksnih brojeva. Neka su z 1, z 2,...,z n kompleksni brojevi koje treba pomnožiti. Pretpostavimo da je njihov zapis u polarnoj formi z j = r j cos ϕ j + i sin ϕ j ), j = 1,...,n. Pomnožimo dva broja: z 1 z 2 = r 1 r 2 cosϕ1 cosϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + isin ϕ 1 cosϕ 2 + sin ϕ 2 cosϕ 1 ) ). Primijetite da u prvoj zagradi piše kosinusov, a u drugoj sinusov adicisjki teorem, pa imamo z 1 z 2 = r 1 r 2 cosϕ1 + ϕ 2 ) + isinϕ 1 + ϕ 2 ) ). Ponovimo li to za svih n brojeva, dobivamo z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n cosϕ 1 + ϕ ϕ n ) + i sinϕ 1 + ϕ ϕ n )). Stavimo li da su svi z = z 1 = z 2 = = z n, onda dobivamo čuveni De Moivreov teorem z n = r n cosnϕ) + i sinnϕ)). Eulerova forma kompleksnog broja dobiva se iz Taylorovog razvoja eksponencijalne funkcije oko nule: e x = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + Formalno, ako umjesto x uvrstimo iϕ, dobivamo e iϕ = 1 + iϕ 1! ϕ2 2! + + in ϕ n + n! ) ) = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 ϕ 6! + + i 1! ϕ3 3! + ϕ5 5! + = cosϕ + i sin ϕ.

6 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 6 Drugim riječima, iz polarne forme izlazi z = rcosϕ + i sin ϕ) = re iϕ. Generalno, ovime smo definirali kompleksnu eksponencijalnu funkciju, koja samo proširuje onu realnu e z = e x+iy = e x e iy = e x cosy + i sin y). Uočite da je za y = 0 to obična eksponencijalna funkcija. U Eulerovom zapisu kompleksnog broja, De Moivreov teorem glasi z n = re iϕ ) n = r n e inϕ Osnovni teorem algebre Korištenjem kompleksne analize v. kasnije) dokazuje se tzv. osnovni teorem algebre. Teorem Polinomna jednadžba stupnja n ima točno n kompleksnih korijena. a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0, a n 0 Ako su korijeni prethodne jednadžbe z 1,...,z n, onda se polinom može faktorizirati u obliku p n x) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 p n x) = a n z z 1 )z z 2 ) z z n ). Korištenjem osnovnog teorema algebre, nije teško pokazati da ako su koeficijenti polinoma p n realni, onda njegove kompleksne nultočke dolaze u konjugiranokompleksnim parovima. Primjer Pretpostavino da je kompleksni broj z 1 = re iϕ, ϕ 0, π nultočka polinoma s realnim koeficijentima p n x) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, a k R. Tvrdimo da je tada kompleksni broj z 1 = re iϕ takoder nultočka tog polinoma.

7 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 7 Uvrstimo da je z 1 nultočka polinoma p n : a n r n e inϕ + a n 1 r n 1 e in 1)ϕ + + a 1 re iϕ + a 0 = 0. Razdvojimo sada realni i imaginarni dio te jednadžbe korištenjem Zbog toga što su svi a k realni, imamo e ikϕ = coskϕ) + i sinkϕ). Rep n z 1 )) = a n r n cosnϕ) + a n 1 r n 1 cosn 1)ϕ) + + a 1 r cosϕ) + a 0 = 0, Imp n z 1 )) = a n r n sinnϕ) + a n 1 r n 1 sinn 1)ϕ) + + a 1 r sinϕ) = 0. Uvrstino sad z 1 u polinom. Dobivamo: p n z 1 ) = a n r n e inϕ + a n 1 r n 1 e in 1)ϕ + + a 1 re iϕ + a 0. Ponovno, razdvojimo realni i imaginarni dio, s time da iskoristimo da je kosinus parna funkcija, a sinus neparna: Rep n z 1 )) = a n r n cosnϕ) + a n 1 r n 1 cosn 1)ϕ) + + a 1 r cosϕ) + a 0 = Rep n z 1 )) = 0, Imp n z 1 )) = a n r n sinnϕ) a n 1 r n 1 sinn 1)ϕ) a 1 r sinϕ) = Imp n z 1 )) = 0, čime smo pokazali da je z 1 takoder nultočka polinoma p n n-ti korijen iz kompleksnog broja Broj w zovemo n-tim korijenom iz kompleksnog broja z ako vrijedi w n = z. Iz definicije n-tog korijena izlazi da je za dobivanje svih n-tih korijena potrebno riješiti polinomnu jednadžbu stupnja n u varijabli w w n = z koja, po osnovnom teoremu algebre, ima točno n rješenja. Korištenjem De Moivreovog teorema, može se pokazati da za n N, ako je z = rcosϕ + i sin ϕ) vrijedi z 1/n = r 1/n cos ϕ n + i sin ϕ ). n

8 1. OSNOVNE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA KOMPLEKSNI BROJEVI 8 Time smo dobili samo jedno rješenje. Preostala rješenja dobivamo otpuštanjem uvjeta ϕ [0, 2π za prikaz u kompleksnoj formi. Prema tome, svi n-ti korijeni iz kompleksnog broja su: z 1/n = r 1/n cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), k = 0,...,n 1. n Dokaz da se zaista radi o n-tim korijenima dobivamo potenciranjem.