Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016."

Transcript

1 Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016.

2 Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa Apsolutna vrijednost i udaljenost Funkcije 6.1 Linearne funkcije Kvadratna funkcija Razlomljene linearne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Kompozicija funkcija, inverzna funkcija Korijeni Eksponencijalna funkcija na Q, logaritamska funkcija, opća potencija Hiperbolne funkcije Trigonometrijske funkcije

3 1 Uvod Jedan od najvažnijih pojmova u matematici je pojam funkcije. najprije dati ne tako formalnu definiciju tog pojma. Stoga ćemo Definicija Neka su A i B bilo koja dva neprazna skupa. Funkcija sa skupa A u skup B je pridruživanje elemenata skupa A elementima skupa B, tako da je svakom elementu iz A pridružen točno jedan element iz B. Pišemo f : A B, pri čemu skup D(f) = A zovemo područje definicije ili domena funkcije f, skup K(f) = B nazivamo područje vrijednosti ili kodomena funkcije f. A B a b f x c z Slika funkcije f je skup R (f) = {f(x): x A} B. Skup Γ(f) = {(x, f(x)): x D(f)} A B je graf funkcije f. Dvije funkcije f : A B i g : C D su jednake točno onda kada vrijedi A = D(f) = D(g) = C, B = K(f) = K(g) = D i f(x) = g(x), x A. Funkcija g je restrikcija ili suženje funkcije f ako vrijedi D(g) D(f) i x D(g), g(x) = f(x). Tada pišemo g = f D(g). Također se kaže i da je f proširenje od g. U slučaju kada je D(f) R i K(f) R, onda je graf Γ(f) R, tj. možemo ga nacrtati u Kartezijevoj ravnini. Domena se nalazi na osi apscisa (x-osi), a kodomena je na osi ordinata (-osi). Svojstvo po kojem možemo razlikovati bilo koji podskup Kartezijeve ravnine od grafa funkcije je da u slučaju grafa funkcije, svaki pravac koji je paralelan s osi ordinata siječe graf funkcije u najviše jednoj točki. Na taj način za c D(f) postoji točno jedna točka na grafu oblika (c, f(c)), a onda je jedinstvena i točka f(c) koja je pridružena točki c. Točku f(c) zovemo slikom točke c, a c zovemo originalom od f(c). Ukoliko pravac paralelan s -osi koji prolazi kroz c siječe krivulju u više od jedne točke, tada se radi o krivulji u Kartezijevom sustavu koja nije graf funkcije. U tom slučaju nije moguće na jedinstveni način pridružiti točki c funkcijsku vrijednost f(c).

4 Γ(f) f(c) (c, f(c)) c x 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa Mnoga korisna svojstva realnih funkcija mogu se lako uočiti na grafu funkcije. Definicija Za funkciju f : I R kažemo da je: 1. rastuća na skupu I R ako ( x 1, x I) (x 1 < x ) (f(x 1 ) f(x )),. strogo rastuća na skupu I R ako ( x 1, x I) (x 1 < x ) (f(x 1 ) < f(x )), 3. padajuća na skupu I R ako ( x 1, x I) (x 1 < x ) (f(x 1 ) f(x )), 4. strogo padajuća na skupu I R ako ( x 1, x I) (x 1 < x ) (f(x 1 ) > f(x )). Za takve funkcije kažemo da su monotone, odnosno strogo monotone. Definicija Za funkciju f : a, a R kažemo da je: 1. parna na intervalu a, a R ako ( x a, a ), f( x) = f(x). neparna na intervalu a, a R ako ( x a, a ), f( x) = f(x). 3

5 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost Kada govorimo o aproksimaciji onda je važno znati kako se mjeri udaljenost medu objektima. U slučaju kada se radi o realnim brojevima tu važnu ulogu igra funkcija koju zovemo apsolutna vrijednost realnog broja definirana sa: x ako x > 0 x = 0 ako x = 0 (1) x ako x < 0 Iz definicije funkcije za svaki a R slijedi nejednakost a a a. Često je potrebno provjeriti nejednakost x ɛ, gdje je ɛ 0 realan broj. Ta nejednakost je ekvivalentna s dvije nejednakosti ɛ x ɛ. Za apsolutnu vrijednost imamo slijedeće rezultate. Teorem Apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva je manja ili jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika, tj. a, b R, a + b a + b. () Apsolutna vrijednost produkta realnih brojeva je jednaka produktu apsolutnih vrijednosti faktora, tj. jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika, tj. Dokaz. Iz nejednakosti zbrajanjem dobijemo a, b R, a b a b. (3) a a a b b b ( a + b ) a + b a + b što daje (). Za dokazivanje drugog dijela gledamo četiri slučaja: a 0, b 0 a 0, b 0 a 0, b 0 a 0, b 0 U prvom slučaju je a = a, b = b pa je a b = ab = ab. U drugom slučaju je ab 0 pa je ab = (ab) = a( b) = a b, itd. 4

6 Nejednakost () možemo poopćiti na sumu od konačno realnih brojeva a 1,..., a n R: n n a k a k. k=1 k=1 Korolar 1... Za bilo koje a, b R vrijedi nejednakost Dokaz. Vrijedi a b a b. (4) a = (a b) + b a b + b a b a b. Zamjenom a sa b dobijemo Dakle, b = (b a) + a b a + a = a b + a b a a b. odakle slijedi nejednakost (4). a b a b a b, Ako a R aproksimiramo s a R, onda je apsolutna greška jednaka a a, a relativna greška je a a a. U numeričkoj matematici se u praksi umjesto točnih brojeva upotrebljavaju aproksimacije brojeva iz dosta ograničenog skupa brojeva koje je moguće reprezentirati na računalu. Tako se zapravo računa s pogrešnim brojevima i ta se greška stalno uvećava kod računskih operacija. Zato je od interesa znati kako se pogreška ponaša kod osnovnih operacija s brojevima, kako bi bili u stanju procjenjivati i kontrolirati pogrešku u procesu računanja. Teorem Neka su a, b R aproksimacije brojeva a, b R s točnosti ɛ 1, ɛ > 0, tj. a a ɛ 1 i b b ɛ, onda je Dokaz. Vrijedi Nadalje, a + b (a + b ) ɛ 1 + ɛ ab a b ɛ a + ɛ 1 b + ɛ 1 ɛ a + b (a + b ) = (a a ) + (b b ) a a + b b ɛ 1 + ɛ. ab a b = a (b b ) + (a a )b + (a a )(b b ) a b b + a a b + a a b b ɛ a + ɛ 1 b + ɛ 1 ɛ Iz teorema 1..3 možemo zaključiti da se pogreška zbrajanja ponaša očekivano, tj. da ona nije veća od zbroja pogrešaka pribrojnika. Nasuprot tome, pogreška produkta nije manja od produkta pogrešaka faktora, već tu bitan utjecaj imaju veličine faktora pomnožene s greškom kod svakog faktora. Dakle, da bismo smanjili pogrešku računanja, potrebno je u računanju izbjegavati množenje sa suviše velikim brojevima o čemu se stvarno u praksi vodi briga. 5

7 Funkcije.1 Linearne funkcije Ograničimo se sada na funkcije koje se obrađuju u srednjoj školi. To su prije svega funkcije koje su zadane jednostavnim formulama. Funkciju zadanu formulom = f(x) = kx + l, x R, zovemo linearnom funkcijom (to nije u skladu s definicijom linearnosti u linearnoj algebri). To je funkcija f : R R čiji graf je pravac. Broj k = tan α u formuli je koeficijent smjera, a broj l je točka na osi u kojoj pravac siječe os. l α 0 x Prisjetimo se još nekih činjenica o pravcima koje se uče u srednjoj školi: (i) Jednadžba pravca koji prolazi točkom (x 0, 0 ) R i koji ima zadan koeficijent smjera k je = k(x x 0 ) + 0 (ii) Jednadžba pravca koji prolazi točkama (x 0, 0 ), (x 1, 1 ) R, x 0 x 1, je = 1 0 x 1 x 0 (x x 0 ) + 0. (iii) Segmentni oblik jednadžbe pravca je x m + n kojima pravac siječe osi x i.. Kvadratna funkcija = 1, gdje su m, n točke u Funkciju zadanu formulom f(x) = ax, x R, zovemo kvadratna funkcija. To je funkcija f : R R čiji graf je parabola. Ako je koeficijent a > 0 onda funkcija ima minimum jednak 0 u točki x 0 = 0, a u slučaju a < 0 je maksimum 0 za x 0 = 0. Točku T = (0, 0) na grafu zovemo tjeme parabole. Opća kvadratna funkcija je zadana formulom f(x) = ax +bx+c. Ona se može napisati u obliku f(x) = a ( ) x + b a + c b 4a. Odatle je vidljivo da je tjeme te parabole u točki T = ( b a, 4a) D, gdje je broj D = b 4ac diskriminanta kvadratne funkcije. Ako je D < 0 onda kvadratna funkcija ne siječe os apscisa, tj. funkcija nema realne nultočke. Ako je D 0 onda funkcija ima nultočke x 1, = b± D a. 6

8 a > 0 T 0 x a < 0.3 Razlomljene linearne funkcije Razlomljena linearna funkcija je zadana formulom f(x) = ax+b cx+d gdje su a, b, c, d R. Prirodno područje definicije te funkcije je skup D(f) = R\ { } d c, a slika je R(f) = R\ { } { a c, tj. f : R\ d } { c R\ a } c. Funkciju je moguće prikazati u obliku f(x) = a c + bc ad c, odakle je vidljivo da je graf funkcije f moguće dobiti x+ d c translacijom grafa istostrane hiperbole h(x) = α bc ad x, gdje je α = c. Potrebno je ishodište (0, 0) Kartezijevog sustava translatirati u točku ( d c, ) a c x

9 .4 Polinomi Polinom stupnja n N je funkcija zadana formulom P n (x) = a 0 + a 1 x + a x a n x n, gdje su a 0, a 1, a,..., a n R i a n 0. Prirodno područje definicije polinoma kao realne funkcije je skup R, tj. P n : R R. Ako je stupanj polinoma P n veći ili jednak od stupnja polinoma Q m, onda je P n (x) = P n m (x)q m (x) + R p (x), gdje je stupanj polinoma R p strogo manji od stupnja divizora Q m, a stupanj od P n m je razlika stupnjeva P n i Q m. Odatle slijedi da za realnu nultočku α polinoma P n vrijedi P n (x) = (x α)p n 1 (x). Naime, po prethodnom vrijedi P n (x) = P n 1 (x)(x α) + r, gdje je ostatak r polinom stupnja 0, tj. konstanta. Iz 0 = P n (α) = r slijedi tvrdnja. Naravno, polinom s realnim koeficijentima možemo shvatiti i kao polinom P n : C C. U tom slučaju vrijedi P n (x) = P n (x), x C. Ako je z C nultočka od P n, onda je i z nultočka, tj. 0 = P n (z) = P n (z). Dakle, ako su z, z nultočke od P n, onda je on djeljiv s linearnim polinomima x z i x z s koeficijentima u C, odnosno s kvadratnim polinomom x (z + z)x + zz = x Re(z)x + z s realnim koeficijentima. Svaki polinom nad C može se rastaviti na produkt linearnih polinoma ( osnovni teorem algebre ). To ima za posljedicu da se polinom s realnim koeficijentima može faktorizirati u obliku: P n (x) = a n (x x 1 ) k1 (x x p ) kp (x + b 1 x + c 1 ) l1... (x + b m x + c m ) lm gjde je n = k k p + (l l m )..5 Racionalne funkcije Racionalna funkcija zadana je formulom f(x) = P (x) Q(x), gdje su P, Q polinomi nad R. Prirodno područe definicije racionalne funkcije skup R bez nultočaka nazivnika Q. Pošto je broj takvih nultočaka manji ili jednak stupnju polinoma Q, to je domena D(f) = R\{x 1,..., x n }, gdje je Q(x k ) = 0, (k = 1,..., n). Racionalna funkcija je prava racionalna funkcija ako je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. Svaku racionalnu funkciju je moguće prikazati kao sumu polinoma i prave racionalne funkcije, tj. P (x) Q(x) = P 1(x)+ R(x) Q(x), gdje je stupanj polinoma R strogo manji od stupnja polinoma Q..6 Kompozicija funkcija, inverzna funkcija Prirodna operacija s funkcijama, koja ne ovisi o tome kakve su strukture zadane na skupovima, je dana u slijedećoj definiciji. Definicija.6.1. Neka su funkcije f : A B i g : C D. Ako je R(f) D(g), onda je formulom h(x) = g[f(x)], x A, definirana funkcija h: A D. Tu funkciju nazivamo kompozicijom funkcija f i g, te koristimo oznaku h = g f. Kompozicija funkcija je asocijativna operacija. 8

10 Teorem.6.. Neka su f, g, h tri funkcije. Ako su definirane kompozicije g f, h g, h (g f), (h g) f, onda vrijedi h (g f) = (h g) f. Dokaz. Da bismo dokazali jednakost funkcija, prvo dokažimo da su im domene jednake. Naime, D((h g) f) = D(f) i D(h (g f)) = D(g f) = D(f). Nadalje je K((h g) f) = K(h g) = K(h) i K(h (g f)) = K(h). Sada, za pravila vrijedi x D(f), [h (g f)](x) = h[(g f)(x)] = h{g[f(x)]} = (h g)[f(x)] = [(h g) f](x). Kao kod svake binarne operacije ima smisla pitanje o postojanju neutralnih elemenata za tu operaciju. Lako se provjeri da funkcija i A : A A definirana s x A, i A (x) = x i funkcija i B : B B definirana s B, i B () =, imaju svojstvo f : A B, i B f = f i f i A = f. Dakle, i A je desni, a i B je lijevi neutralni element za operaciju i oni su općenito različiti. Kada imamo lijevi i desni neutralni element za operaciju, po analogiji s operacijama zbrajanja i množenje, ima smisla pitanje o postojanju inverznog elementa za neku funkciju f : A B. Definicija.6.3. Neka je zadana funkcija f : A B. Kažemo da je funkcija g : B A inverzna funkcija od funkcije f ako vrijedi g f = i A i f g = i B, odnosno, x A, g[f(x)] = x i B, f[g()] =. Tada koristimo oznaku g = f 1. Graf Γ f 1 funkcije f 1 simetričan je grafu Γ f funkcije f s obzirom na pravac = x koji raspolavlja 1. i 4. kvadrant Kartezijevog koordinatnog sustava. Naime, vrijedi Γ f 1 = {(, f 1 ()): D(f 1 )} = {(f(x), x): x D(f)} = Γ f gdje je Γ f simetrična slika grafa Γ f 1 s obzirom na pravac = x. Jedinstvenu oznaku za inverznu funkciju f 1 funkcije f možemo koristiti zato što je inverzna funkcija, ako postoji, jedinstvena. Naime kada bi postojale funkcije g 1 i g koje ispunjavaju zahtjeve iz definicije.6.3, imali bismo B, g 1 () = g 1 {f[g ()]} = (g 1 f)[g ()] = g (), tj.g 1 = g. Prije nego odgovorimo na pitanje za koje funkcije postoji inverzna funkcija, definirajmo slijedeće pojmove. Definicija.6.4. Kažemo da je funkcija f : A B injekcija ako vrijedi x 1, x A, (x 1 x f(x 1 ) f(x ) (5) ili ekvivalentno x 1, x A, f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x. (6) Dakle, kod funkcije koja je injektivna, različiti elementi domene se preslikaju u različite slike. Kod funkcije koju nazivamo konstantnom funkcijom situacija je potpuno različita. Tamo se svi elementi domene preslikaju u jedan element 9

11 kodomene. Primijetimo da suprotne implikacije od (5) i (6) zadovoljava svaka funkcija. Svojstvo injektivnosti kod funkcija iz R u R najlakše možemo ustanoviti ako imamo nacrtan graf funkcije. Tada svaki pravac koji je paralelan s osi x smije sjeći graf funkcije u najviše jednoj točki. Na taj način za svaku točku iz slike funkcije postoji točno jedna odgovarajuća točka na grafu, a s tim i točno jedan original u domeni funkcije. Svojstvo strogog rasta ili strogog pada funkcije je važno zbog slijedećih posljedica. Teorem.6.5. Neka je funkcija f : I R, strogo monotona na skupu I R. Tada je ona injekcija. Definicija.6.6. Kažemo da je funkcija f : A B surjekcija ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije, tj. R(f) = B, odnosno ako vrijedi B, x A, ( = f(x)). Ako znamo koji skup je slika funkcije, onda možemo jednostavno uzeti taj skup za kodomenu i postigli smo da je dana funkcija surjekcija. U pravilu nije lako pogoditi skup koji je slika funkcije, a tada je još teže dokazati tu činjenicu. Definicija.6.7. Kažemo da je funkcija f : A B bijekcija ili 1 1 ako je ona injekcija i surjekcija, tj. ( B)(!x A)( = f(x)). (7) Dakle, za svaki element kodomene postoji i jedinstven je njegov original. Sada smo u stanju odgovoriti na pitanje o postojanju inverzne funkcije. Teorem.6.8. Za funkciju f : A B postoji inverzna funkcija f 1 : B A ako i samo ako je f bijekcija. Dokaz. Neka postoji f 1 : B A. Tada za svaki B postoji x = f 1 () sa svojstvom f(x) = f[f 1 ()] =, tj. f je surjekcija. Sada, (f(x 1 ) = f(x )) (f 1 [f(x 1 )] = f 1 [f(x )]) (x 1 = x ), tj. f je injekcija. Dakle, f je bijekcija. Neka je sada f bijekcija. Uvjet (7) kazuje da je svakom B na jedinstven (funkcijski) način pridružen x A, = f(x). Tada je dobro definirana funkcija g : B A, g : x. Pokažimo da ta funkcija zadovoljava uvjete iz definicije.6.3. Naime, x A, g[f(x)] = g() = x i B, f[g()] = f(x) =. Dakle, g = f 1. Teorem.6.9. Neka je funkcija f : I R(f), R(f) R strogo rastuća (padajuća) na skupu I R. Tada ona ima inverznu funkciju f 1 : R(f) I koja je strogo rastuća (padajuća) na R(f). Dokaz. Funkcija f : I R(f), je strogo rastuća surjekcija na skupu I R, pa je po teoremu.6.5 f bijekcija, te postoji f 1 : R(f) I. Pokažimo da za bilo koje 1, R(f), ( 1 < ) (f 1 ( 1 ) < f 1 ( )). U suprotnom bi vrijedilo da postoje 1, R(f), 1 < i f 1 ( ) < f 1 ( 1 ). No tada bismo zbog strogog rasta funkcije f imali f[f 1 ( )] < f[f 1 ( 1 )], tj. < 1, što je suprotno pretpostavci. 10

12 .7 Korijeni Neparne potencije su funkcije zadane formulom f(x) = x n+1, x R, n N. To su bijekcije s R na R i imaju inverze f 1 (x) = n+1 x, x R, neparne korijene. To su neparne i strogo rastuće funkcije na R. Za razliku od neparnih potencija, parne potencije zadane formulom f(x) = x n, x R, n N, su parne funkcije f : R [0, pa tako nisu injekcije te nemaju inverze. Međutim, njihove restrikcije f + = f [0, su strogo rastuće bijekcije f + : [0, [0,. One imaju inverzne funkcije f+ 1 : [0, [0,, a zapis je f+ 1 (x) = n x, x [0,. Moguće je uzeti i druge restrikcije f = f,0] koje su strogo padajuće funkcije f :, 0] [0, i koje imaju inverzne funkcije f 1 : [0,, 0], a zapis je f 1 (x) = n x, x [0,..8 Eksponencijalna funkcija na Q, logaritamska funkcija, opća potencija Neka je a R, a > 0 i a 1. Definiramo: a 1 = a a n+1 = a n a, n N Na ovaj način smo definirali funkciju f : N R +, f(n) = a n, n N. Ako definoramo f(0) = a 0 = 1. onda smo proširili funkciju na f : N {0} R +. Funkcija se lako proširuje dalje do f : Z R + stavljanjem f( n) = 1, n n N. Zbog činjenice da vrijedi n, m N, a n a m = a n+m, funkcija f : Z R + zadovoljava: (i) f(0) = 1, f(1) = a, (ii) f(n + m) = f(n)f(m), n, m Z. Proširimo funkciju f na skup racionalnih brojeva Q. Neka je q = m n Q, gdje su m Z, n N, pa definiramo vrijednost funkcije s f(q) = f( m n ) = n a m. Tako smo dobili funkciju f : Q R + koja i dalje zadovoljava funkcijsku jednadžbu f(q + q ) = f(q)f(q ), q, q Q. Naime, ( ) ( m f(q + q ) = f n + m mn + m ) n n = f nn = nn a mn +m n = = nn mn nn m n = n ( m ) ( ) m m n m = f f = f(q)f(q ). n Pokažimo da je za a > 1 funkcija f : Q 0, strogo rastuća na Q. Uzmimo q = m b, q = m n Q, q < q, tj. mn < m n. Tada je a mn < a m n, pa zbog strogog rasta funkcije x nn x na R+ imamo nn mn < nn m n, odnosno n m < n m, tj. f(q) < f(q ). n 11

13 Teorem.8.1. Postoji točno jedna bijekcija f : R 0, tako da vrijedi f(0) = 1, f(1) = a > 0 i f(x + ) = f(x)f(), x, R. Bijekciju iz teorema.8.1 zovemo eksponencijalna funkcija s bazom a i označavamo s f(x) = exp a (x) = a x, x 0,. Sada funkcionalna jednadžba ima oblik a x+ = a x a, x, R. 3 0 < a < 1 a > x -1 Eksponencijalna funkcija ima inverznu funkciju f : 0, R koja je strogo rastuća za a > 1 i strogo padajuća za 0 < a < 1. Tu funkciju zovemo logaritamska funkcija s bazom a i označavamo s f 1 (x) = log a x, x 0,. Vrijedi log a 1 = 0 i log a a = 1 za sve 0 < a 1. Funkcionalna jednadžba za logaritamsku funkciju ima oblik log a (x) = log a x + log a, x, 0,. To slijedi iz injektivnosti eksponencijalne funkcije i a loga (x) = x = a logax a loga = a logax+loga < a < 1 a > x

14 .9 Hiperbolne funkcije Pomoću eksponencijalne funkcije definiramo hiperbolne funkcije slijedećim formulama: Tablica 1: Hiperbolne funkcije sinus hiperbolni sinh x = ex e x, x R kosinus hiperbolni cosh x = ex +e x, x R tangens hiperbolni tanh x = sinh x cosh x = ex 1 e x +1, x R kotangens hiperbolni coth x = cosh x, x R\{0} sinh x = ex +1 e x cosh x 10 1 coth x x sinh x x 4 tanh x Funkcije sinh, tanh, coth su neparne, a cosh je parna funkcija. Osnovna formula koja vrijedi za hiperbolne funkcije je cosh x sinh x = 1 i slijedi direktno iz definicija za cosh i za sinh. Također vrijede adicione formule sinh(x + ) = sinh x cosh + cosh x sinh labeleq1 (8) cosh(x + ) = cosh x cosh + sinh x sinh (9) Iz ovih osnovnih formula lako se dobivaju mnoge druge formule za sumu ili produkt hiperbolnih sinusa i kosinusa, kao i za hiperbolni tangens i kotangens. Funkcije sinh, cosh i tanh strogo rastu na 0,, a coth strogo pada na 0,. 13

15 Naime, e x i e x strogo rastu, pa sinh kao suma strogo rastućih je strogo rastuća funkcija na R. Iz cosh x = 1+sinh x 1 slijedi da je R(cosh) [1,. Odatle za x, > 0 imamo cosh(x + ) = cosh x cosh + sinh x sinh > cosh x cosh > cosh x, pa cosh strogo raste na [0,. Zbog parnosti, cosh strogo pada na, 0]. Za x, > 0 je sinh(x + ) cosh x cosh(x + ) sinh x tanh(x + ) tanh x = cosh(x + ) cosh x sinh() = cosh(x + ) cosh x > 0 tj. tanh(x+) > tanh x, odnosno tanh strogo raste na R +, a zbog neparnosti strogo raste i na R. Nadalje, zbog coth x = 1 tanh x slijedi da coth strogo pada na 0,. Zbog neparnosti je coth strogo padajuća i na, 0]. Odatle slijedi da su navedene funkcije injekcije..10 Trigonometrijske funkcije Neka je u Kartezijevom koordinatnom sustavu zadana kružnica polumjera 1 (trigonometrijska kružnica) i na njoj središnji kut α s vrhom u ishodištu, a prvi krak mu je pozitivni dio osi x. Kutu α pridružujemo realan broj koji odgovara duljini luka na kružnici koji odsjecaju krakovi kuta α. Ako je drugi krak odmaknut od prvoga u pozitivnom smjeru (suprotnom od smjera kazaljke na satu), onda je kut pozitivan, a u suprotnom je negativan. Tu mjeru kuta nazivamo radijan. Dakle, puni kut je π radijana, a pravi kut je π/ radijana. Sa slike je jasno da je pridruživanje koje realnim brojevima koji odgovaraju radijanima pripadnih središnjih kutova pridružuje točke jedinične kružnice K, α 0 : [0, π K, bijekcija. Tu funkciju je moguće proširiti do funkcije α: R K, α(x) = α 0 (r x ), gdje je x = kπ + r x, k Z, 0 r x < π. 1 C 0 α A B D x 14

16 Sada ćemo geometrijski definirati trigonometrijske funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens tako da pridružimo koordinate A = (cos α, sin α), B = (1, tan α) i C = (cot α, 1). Iz sličnosti pripadnih pravokutnih trokuta vrijedi tan α = sin α cos α i cot α = cos α sin α. Definicija Za funkciju f : D(f) R kažemo da je periodička perioda τ > 0 ako vrijedi (i) x D(f) x + τ D(f), (ii) f(x + τ) = f(x), x D(f). Ako postoji najmanji period τ 0 > 0 onda njega zovemo temeljni period funkcije f. Primijetimo, ako je τ > 0 period funkcije f, onda je nτ također period od f, n N. S druge strane postoje periodičke funkcije koje nemaju temeljnog perioda kao npr. f : R R definirana s f(x) = 1 za x Q i f(x) = 0 za x / Q. Svaki τ Q + je njen period, pa taj skup nema minimum veći od 0. Funkcije sin: R [ 1, 1] i cos: R [ 1, 1] su periodičke s temeljnim periodom π, tj. vrijedi sin(x + π) = sin x i cos(x + π) = cos x, x R. Iz sljedeće slike je jasno da vrijedi sin x = cos(x π ), x R, odnosno, cos x = sin(x + π ), x R. 1 sin x cos x x Nadalje, sin je neparna, a cos parna funkcija. Sa trigonometrijske kružnice je vidljivo da vrijedi cos x + sin x = 1, x R što je osnovna trigonometrijska jednakost. Funkcije tan: R\{π/ + kπ : k Z} R i cot: R\{kπ : k Z} R imaju osnovni period π. To slijedi iz tan(x + π) = sin(x+π) 1 cos(x+π) = sin x cos x = tan x i cot x = tan x. Funkcije tan i cot su neparne. 15

17 4 cot x tan x x - -4 Periodičke funkcije nisu injekcije, pa zato nemaju inverzne funkcije. Međutim, ako ih restringiramo na područja definicije na kojima su strogo monotone tada jesu injekcije. 16

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb, 9.9.06. ii Posljednji ispravak: srijeda, 3. svibanj 07. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler

Polinomi Racionalne funkcije Korijeni Algebarske funkcije. Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Algebarske funkcije. Franka Miriam Brückler Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Zadatak Skicirajte graf funkcije zadane formulom f (x) = 4x + 7. Netko je na taj graf primijenio

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske. funkcije realnog broja

Trigonometrijske. funkcije realnog broja 1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα