Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
|
|
- Αδώνια Παπακωνσταντίνου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10. Zadatak. Neka je S = { 1 n+1 : n N}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S, (c) Ima li skup S minimalni element?, (d) Ima li skup S maksimalni element? Uočimo da je brojnik uvijek 1, a nazivnici rastu, zato je kvocijent sve manji. (a) inf S = 0, (b) sup S = 1, (c) Kako inf S = 0 /S skup S nema minimalni element, (d) Kako je sup S = 1 S, to je max S = 1. Zadatak 3. Zadan je skup S = { 7n + n + 1 : n N }. Ispitati je li skup S omeden te ako je odrediti inf S i sup S. Pogledajmo prvih nekoliko članova (n = 1,, 3, ): 9/ =.5; 16/3 = ; 3/ = 5.75; 6; 37/6 = Uočimo da elementi rastu i da su svi veći od 9/. Nadalje 7n + n + 1 = 7n (n + 1) 5 = = 7 5 n + 1 n + 1 n + 1. Za svaki n N vrijedi 9 7n + n + 1 < 7, znači S je omeden i 9 S stoga je inf S = 9. Iz gornjih nejednakosti vidimo da je izraz sve bliži broju 7 stoga je sup S = 7. 7n+ n+1 Apsolutna vrijednost Za svaki realan broj x R definira se apsolutna vrijednost formulom: { x, x 0 x = x, x < 0. Iz definicije apsolutne vrijednosti vidi se da je x = x i x x. Nadalje, uočimo da je x = x. Pomoću jednakosti x = x, x R, lako je provjeriti sljedeća svojstva apsolutne vrijednosti: 1) xy = x y ) x y = x y 3) x + y x + y ) x y x + y 5) x a a x a, a > 0 6) x y x y. 1
2 Zadatak 1. Izračunajte Koristeći definiciju apsolutne vrijednosti imamo: = Racionalizacijom dobivenog izraza imamo: = = = = Zadatak. Riješite jednadžbu x + 6x = 0. Promatramo dva slučaja: x < 0 x < tada imamo: I 1 = <, ) x + + 6x = 0 5x = x 0 x tada imamo: I = [, + > x + 6x = 0 7x = x = 5 I 1 x = 7 / I Rješenje jednadžbe je x = 5. Zadatak 3. Riješite jednadžbu 6 3x + = x. Promatramo tri slučaja: x, 3 =: I 1 x [ 3, =: I 6 + 3x + = x + 5x = x = 5 I 1 Konačno rješenje x 1 = 5, x = x = x + x = x = 0 I x [, =: I 3 6 3x = x 5x = 8 x = 8 5 I 3 Zadatak. Riješite nejednadžbu x 3 0. Promatramo dva slučaja: x 3 < 0 x < 3 tada imamo: x x 1 x 1 x [ 1, 3 = x [ 1, 3 [ 3, 5 ] = [ 1, 5 ]. x 3 0 x 3 tada imamo: x 3 0 x 5 x 5 x [ 3, 5 ]
3 Zadatak 5. Riješite nejednadžbu x 1 + x + 1 > x + 3. Promatramo tri slučaja: x <, 1 >=: I 1 x [ 1, 1 =: I x [ 1, =: I 3 x + 1 x 1 > x + 3 x < 3 <, 3 > I 1 =<, 1 > x x + 1 > x + 3 x < 1 <, 1 > I = [ 1, 1 > x 1 + x + 1 > x + 3 x > 3 < 3, + > I 3 =< 3, + >. Rješenje zadatka je unija rješenja dobivena u gornja tri slučaja x <, 1 > [ 1, 1 > < 3, + >=<, 1 > < 3, + >. Zadatak 6. Zapisati funkciju f(x) = x 1 + x + 1 bez znaka apsolutne vrijednosti i skicirati njezin graf.,,ključne točke su 1 (o njoj ovisi predznak prvog izraza od koga se uzima apsolutna vrijednost) i 1 (o njoj ovisi predznak drugog izraza od kojega se uzima apsolutna vrijednost). Zato je 3x + 1, ako je x 1 f(x) = x + 3, ako je 1 < x 1 3x 1, ako je x 1. Valjanost gornjeg zapisa ćemo provjerit ćemo samo u slučaju 1 < x < 1. Tada je x 1 = (x 1) i x + 1 = x + 1 pa je tada f(x) = x 1 + x + 1 = (x 1) + (x + 1) = x Slika : Graf funkcije f(x) Kvadratna funkcija Polinom drugog stupnja p(x) = ax + bx + c, a 0 nazivamo kvadratna funkcija. Njezin graf je parabola s tjemenom u točki Nultočke kvadratne funkcije su T = ( b a, ac b ). a x 1, = b ± b ac. a 3
4 Zadatak 1. Odredite realne nultočke i tjeme parabole te skicirajte funkciju ako je (a) f(x) = x x 5, (b) g(x) = x x + 8. a) Nultočke i tjeme parabole računamo prema gore navedenim formulama: x 1, = ± + 5 = ± 6 = ± 3, x 1 = + 3 = 5, x = 3 = 1. T = ( b a, ac b ) = ( a, + 5 ) = (, 9). Sada možemo nacrtati funkciju (uočite da je koeficijent uz x pozitivan). Graf funkcije f(x) b) Prvo računamo nultočke i tjeme parabole: x 1, = ± 8 = ± 8 = ± 3 znači funkcija nema realnih nultočki. Tjeme parabole je = 1 ± 3(= 1 ± 3 i), T = ( b a, ac b ) = ( a, 8 ) = (1, 6). Napomenimo da funkcija nema realnih nultočki što znači da graf funkcije ne siječe x-os. Nadalje, koeficijent uz x je pozitivan što znači da je g(x) > 0 za svaki x R. Sada možemo nacrtati kvadratnu funkciju Graf funkcije g(x)
5 Zadatak. Odredite nultočke funkcije i skicirajte funkciju te koristeći skicu odredite pad i rast funkcije ako je funkcija zadana formulom f(x) = x x + 1. Uočimo da je f(x) = (x 1), iz čega slijedi da je jedina nultočka funkcije jednaka 1 i f(x) 0 za svaki x R, što znači da graf funkcije dodiruje x-s u jednoj točki koja je ujedno i tjeme parabole. Odmah možemo nacrtati funkciju. Graf funkcije f(x) Koristeći sliku možemo zaključiti da je funkcija strogo monotono padajuća na <, 1], dok je funkcija strogo monotono rastuća na [1, + >. Domena funkcije, kompozicija funkcija, invertiranje funkcije, parnost funkcije Domene nekih funkcija: f(x) = x D f = [0, f(x) = 1 x D f = R \ {0} f(x) = log a x, a > 0, a 1 D f = 0, Zadatak 1. Nadopunite sliku tako da se dobije funkcija f : D K. D K A B C D
6 Kako bi dano preslikavanje bilo funkcija svakom elementu domene mora biti pridružen točno jedan element kodomene. Prema tome, potrebno je elementu D koji se nalazi u domeni pridružiti bilo koji element kodomene. Jedno od rješenja prikazano je na sljedećoj slici: D K gdje smo elementu D iz domene pridružili element kodomene. Zadatak. Nadopunite sliku tako da se dobije bijekcija f : D K. D K a 1 b d c e 3 5 Kako bi dano preslikavanje bilo bijekcija, ono mora biti injektivno i surjektivno što znači da različite elemente domene moramo preslikati u različite elemente kodomene i dodatno da svaki član kodomene mora biti slika barem jednog (u slučaju bijektivnosti točno jednog) elementa domene. Kako su elementi kodomene 1,, 3 i 5 redom slike elemenata c, a, d i e, elementu domene b moramo pridružiti element kodomene kako bi ispunili uvjet zadatka. Rješenje je prikazano na sljedećoj slici: D K 6
7 Zadatak 3. Odredite domenu funkcije zadane formulom: 7x+1 (a) f(x) = x 3 + ex, (x 3) 5 (b) f(x) = + sin x + x + 3, (c) f(x) = log (x + 3x ), 1 (d) f(x) = 1 + log x + 1. x (a) Uočimo da x 3 0 što će biti zadovoljeno za x 3. Jednako tako mora x 3 0 što je zadovoljeno za x 3. Nadalje, mora vrijediti 7x+1 x 3 0, što ćemo u nastavku raspisati 7x + 1 x 3 0 7x + 1 8x + 6 x 3 7 x x Sada imamo dva slučaja: 7 x 0 x 3 > 0 x 7 x > 3 x 7 x > 3 x 3, 7] 7 x 0 x 3 < 0 x 7 x < 3 x 7 x < 3 Možemo zaključiti da je 7x+1 x 3 0 za x 3, 7]. Ako tome dodamo uvjete s početka dobit ćemo konačno rješenje D f = 3, 7]\{3}. (b) U ovom slučaju trebaju biti ispunjena dva uvjeta: izraz u nazivniku prvog člana ne smije biti jednak nula i dodatno izraz pod korijenom treba biti nenegativan, odnosno + sin x 0 & x Prvi uvjet ispunjen je za svaki realni broj (budući funkcija sin x poprima vrijednosti izmedu -1 i 1), a nejednadžba je istinita za svaki x 3. Domena zadane funkcije je skup D f = [ 3,. (c) Logaritmirati možemo samo pozitivne brojeve, te zbog toga mora vrijediti: x + 3x > 0. Ako faktoriziramo kvadratni izraz dobivamo: (x 1)(x + ) > 0, 7
8 odakle jednostavno zaključimo da je domena funkcije skup D f =, 1/,. (d) U ovom slučaju moramo zadovoljiti sljedeća dva uvjeta: & x > 0. x Drugi uvjet ispunjen je za sve pozitivne realne brojeve, a prvi za x 0, 1]. Domena funkcije je presjek ova dva skupa, odnosno D f = 0, 1]. Zadatak. Odredite kompozicije f g i g f: (a) f(x) = x + 1, g(x) = x 1, (b) f(x) = x + 9x, g(x) = x + 9, (c) f(x) = 5 x +, g(x) = log 5 (x ). (a) Budući da je (f g)(x) = f(g(x)) imamo: Analogno, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 1) = (x 1) + 1 = x 1. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 1 = x + x. Primijetimo da komponiranje nije komutativno. (b) (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + 9) = ( x + 9) + 9 x + 9 = x x + 9. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 9x) = x + 9x + 9. (c) (f g)(x) = f(g(x)) = f(log 5 (x )) = 5 log 5 (x ) + = x. (g f)(x) = g(f(x)) = g(5 x + ) = log 5 ((5 x + ) ) = log 5 [5 x (5 x + )] = x + log 5 (5 x + ). 8
9 Neka je f : D K realna funkcija realne varijable. Pomoću sljedećeg postupka u većini slučajeva možemo ispitati da li je funkcija f bijekcija: Iz jednadžbe f(f 1 (x)) = x, x K, računamo f 1 (x). (1) Ako rješenje ne postoji, onda f nije surjekcija. () Ako rješenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija. (3) Ako rješenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1 je inverz funkcije f. Zadatak 5. Odredite inverznu funkciju f 1 (x): (a) f(x) = 5x 3, (b) f(x) = x 5 7 3x, (c) f(x) = 3 x + 1 x 5, (d) f(x) = log x x +, (e) f(x) = x + 3x +. (a) Inverznu funkciju funkcije f pronalazimo kao rješenje jednadžbe f(f 1 (x)) = x. Imamo: f(f 1 (x)) = x x = 5f 1 (x) 3, x Im f, odnosno f 1 (x) = x (b) Kao i u prethodnom zadatku, rješavamo jednadžbu f(f 1 (x)) = x: f x = 1 (x) 5 7 3f 1, x Im f. (x) Potenciranjem jednadžbe i sredivanjem dobivamo f 1 (x) = 7x + 5 3x +. (c) U ovom slučaju imamo Nakon sredivanja izraza imamo: x = 3 f 1 (x) + 1 f 1 (x), x Im f. 5 f 1 (x) = 5x + 1 x 3, te je inverzna funkcija zadana s f 1 (x) = log 5x + 1 x 3. 9
10 (d) Trebamo riješiti jednadžbu: f 1 (x) x = log f 1, x Im f. (x) + Kako je x = log x, izjednačavanjem izraza pod logaritmom dobivamo: Inverzna funkcija je f 1 (x) = x+1 x + 1. (e) Trebamo riješiti jednadžbu: x = f 1 (x) f 1 (x) +. x = ( f 1 (x) ) + 3 f 1 (x) +, x Im f. Dobiveni izraz s desne strane možemo nodopuniti do punog kvadrata, tada imamo x = ( f 1 (x) + 3 ) 1, x Im f. Sredivanjem izraza dobit ćemo x + 1 = ( f 1 (x) + 3 ), stoga gornja jednadžba ima dva rješenja: f1 1 (x) = x & te zaključujemo da funkcija f nije injektivna. f 1 (x) = x, Zadatak 6. Ispitajte parnost funkcije: (a) f(x) = x x + 13, (b) f(x) = x3 x cos x, (c) f(x) = sin x x 5 3x x3. (a) f( x) = ( x) ( x) + 13 = x x + 13 = f(x). Funkcija je parna. (b) f( x) = ( x)3 ( x) cos( x) = x3 + x cos x = x3 x cos x = f(x). Funkcija je neparna. sin( x) (c) f( x) = ( x) 5 3( x) ( x)3 = sin x x 5 + 3x +x3 = sin x x 5 3x +x3. f( x) je različito i od f(x) i od f(x) pa funkcija nije parna niti je neparna. Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: (a) f(x) = x +, (b) f(x) = (x + ) 3 +, 10
11 (c) f(x) = + 3 sin x, (d) f(x) = log(x 10). Svi grafovi skicirani su korištenjem pomoćnih grafova. Graf zadane funkcije obojan je ljubičastom bojom. (a) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = x (plavi), funkcije f (x) = x (zeleni) kao osno simetričnu sliku prvog grafa, te traženi graf dobivamo translacijom po y osi za u pozitivnom smjeru. (b) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = x 3 (plavi), funkcije f (x) = (x+) 3 (zeleni) tako da graf funkcije f 1 (x) translatiramo po osi x za -, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u pozitivnom smjeru. (c) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = sin x (plavi), funkcije f (x) = 3 sin x (zeleni) tako da graf funkcije f 1 (x),,razvučemo za faktor 3, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u negativnom smjeru. (d) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = log x (plavi). Traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f 1 (x) po x osi za
12 Elementarne funkcije Hornerova shema Polinom f(x) = a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0 dijelimo polinomom x a. Kvocijent q(x) = b n 1 x n 1 + b n x n + + b 1 x + b 0 je polinom stupnja n 1. Iz f(x) = (x a)q(x) + r, odnosno a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x a)(b n 1 x n 1 + b n x n + + b 1 x + b 0 ) + r, množenjem i usporedivanjem koeficijenata uz jednake potencije od x dobivamo n jednadžbi s n nepoznanica (b n 1, b n,..., b 1, b 0, r). Iz tog sustava zaključujemo da za koeficijente kvocijenta q(x) vrijedi: b n 1 = a n, b k 1 = a b k + a k, k = n 1, n,...,, 1. To se može zapisati u obliku tzv. Hornerove sheme: a n a n 1... a 1 a 0 a b n 1 = a n b n = a b n 1 + a n 1... b 0 = a b 1 + a 1 r = a b 0 + a 0 Zadatak 1. Koristeći Hornerovu shemu, izračunajte vrijednost polinoma f(x) = x x 3 + x 7 za x = 3. Primjetimo da će ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) s polinomom x 3 biti jednak f(3), odnosno f(3) = , Zadatak. Za koje a je polinom f(x) = x 3 + ax + 1 djeljiv s g(x) = x? Pomoću Hornerove sheme dobivamo: 1 0 a a 9 + a Kako bi polinom f(x) bio djeljiv s polinomom g(x) ostatak mora biti jednak 0 iz čega slijedi da je traženi a jednak 9. Zadatak 3. Faktorizirajte polinom f(x) = x 3 7x + 6, ako je poznato da je jedna nultočka jednaka 1. 1
13 Podijelimo f(x) = x 3 7x + 6 s x 1. U tu svrhu primjenit ćemo Hornerov algoritam uz a = 1: Iz gornje tablice i iz Hornerovog algoritma možemo zaključiti da je x 3 7x + 6 = (x + x 6)(x 1). Ako želimo odrediti sve nultočke funkcije f, moramo odrediti nultočke polinoma x + x 6 što možemo izračunati koristeći formulu za odredivanje nultočaka kvadratne jednadžbe: x,3 = 1 ± 1 + x = 3, x 3 =. Iz ovoga slijedi da je x 3 7x + 6 = (x + 3)(x 1)(x ). Zadatak. Riješite eksponencijalne jednadžbe: (a) 3 3x 5 3 x = 3 x, (b) 5 x+ 6 x+1 = 3 x+3. (a) Zbog bijektivnosti eksponencijalne funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su eksponenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: 3x 5 3 x = x x 3x 5 = 0, x 3. Sada lako pronademo rješenja: x 1 = 1 i x = 5. (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: te ju podijelimo s (3 x ) Supstitucijom t = 0 ( x ) 1 x 3 x 7 (3 x ) = 0, 0 (( ) x ) 1 3 ( ) x 7 = 0. 3 ( ) x dobivamo kvadratnu jednadžbu: 3 0t 1t 7 = 0 čija su rješenja t 1 = 9 10 i t = 3. Budući je t 1 < 0, prvo rješenje ne daje nam rješenje polazne jednadžbe. Iz drugog rješenja imamo: ( ) x = 3 3 = pa je x = 1 jedino rješenje polazne jednadžbe. Zadatak 5. Riješite logaritamske jednadžbe: (a) log 1 x = log (x + 10x + 6), ( ) 1, 3 13
14 (b) log 9 x = log 3 1 x. (a) Primijetimo da samo x > 0 mogu biti rješenja zadane jednadžbe (izrazi koje logaritmiramo moraju biti pozitivni). Jednadžbu zapišemo u obliku: log 16 + log x = log (x + 10x + 6) log 16x = log (x + 10x + 6). Zbog bijektivnosti logaritamske funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su argumenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: 16x = x + 10x + 6 x 6x + 6 = 0. Sada lako pronademo rješenja: x 1 = 3 3 i x = (b) Primijetimo da samo x 0, mogu biti rješenja zadane jednadžbe. Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: 1 log 3 x = 1 ( log 3 1 x ), odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: ( (log 3 x log 3 1 x )) ( (log 3 x + log 3 1 x )) = 0. Sada trebamo riješiti dvije jednostavnije logaritamske jednadžbe: ( log 3 x = log 3 1 x ) ( ) & log 3 x x = 0. Rješenje prve jednadžbe je x 1 = 5, a rješenje druge jednadžbe je x =. Zadatak 6. Riješite trigonometrijske jednadžbe: ( (a) sin x + π ) = 6, (b) sin x + cos x = 1. (a) Kako je sin u = jedino za u = π i u = 3π, u [0, π], mora vrijediti: x + π 6 = π + kπ ili x + π 6 = 3π + kπ, k Z. Prema tome rješenja jednadžbe su: x = π 1 (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: odakle dobivamo: 7π + kπ & x = + kπ, k Z, 1 sin x + 1 sin x = 1, sin x(1 sin x) = 0, sin x = 0 x = kπ, k Z sin x = 1 x = π + kπ, k Z. 1
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραZadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραObične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPeriodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb
Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραx bx c + + = 0 po nepoznatoj x, vrijedi da je
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu studijska 0/4. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Za rješenja, kvadratne jednačine + = i + = 7. Koliko iznosi? 9 b c + + = 0 po nepoznatoj, vrijedi da je a) 4 b) 6 c) 7 d) 4
Διαβάστε περισσότεραPojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότερα