Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable"

Transcript

1 Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10. Zadatak. Neka je S = { 1 n+1 : n N}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S, (c) Ima li skup S minimalni element?, (d) Ima li skup S maksimalni element? Uočimo da je brojnik uvijek 1, a nazivnici rastu, zato je kvocijent sve manji. (a) inf S = 0, (b) sup S = 1, (c) Kako inf S = 0 /S skup S nema minimalni element, (d) Kako je sup S = 1 S, to je max S = 1. Zadatak 3. Zadan je skup S = { 7n + n + 1 : n N }. Ispitati je li skup S omeden te ako je odrediti inf S i sup S. Pogledajmo prvih nekoliko članova (n = 1,, 3, ): 9/ =.5; 16/3 = ; 3/ = 5.75; 6; 37/6 = Uočimo da elementi rastu i da su svi veći od 9/. Nadalje 7n + n + 1 = 7n (n + 1) 5 = = 7 5 n + 1 n + 1 n + 1. Za svaki n N vrijedi 9 7n + n + 1 < 7, znači S je omeden i 9 S stoga je inf S = 9. Iz gornjih nejednakosti vidimo da je izraz sve bliži broju 7 stoga je sup S = 7. 7n+ n+1 Apsolutna vrijednost Za svaki realan broj x R definira se apsolutna vrijednost formulom: { x, x 0 x = x, x < 0. Iz definicije apsolutne vrijednosti vidi se da je x = x i x x. Nadalje, uočimo da je x = x. Pomoću jednakosti x = x, x R, lako je provjeriti sljedeća svojstva apsolutne vrijednosti: 1) xy = x y ) x y = x y 3) x + y x + y ) x y x + y 5) x a a x a, a > 0 6) x y x y. 1

2 Zadatak 1. Izračunajte Koristeći definiciju apsolutne vrijednosti imamo: = Racionalizacijom dobivenog izraza imamo: = = = = Zadatak. Riješite jednadžbu x + 6x = 0. Promatramo dva slučaja: x < 0 x < tada imamo: I 1 = <, ) x + + 6x = 0 5x = x 0 x tada imamo: I = [, + > x + 6x = 0 7x = x = 5 I 1 x = 7 / I Rješenje jednadžbe je x = 5. Zadatak 3. Riješite jednadžbu 6 3x + = x. Promatramo tri slučaja: x, 3 =: I 1 x [ 3, =: I 6 + 3x + = x + 5x = x = 5 I 1 Konačno rješenje x 1 = 5, x = x = x + x = x = 0 I x [, =: I 3 6 3x = x 5x = 8 x = 8 5 I 3 Zadatak. Riješite nejednadžbu x 3 0. Promatramo dva slučaja: x 3 < 0 x < 3 tada imamo: x x 1 x 1 x [ 1, 3 = x [ 1, 3 [ 3, 5 ] = [ 1, 5 ]. x 3 0 x 3 tada imamo: x 3 0 x 5 x 5 x [ 3, 5 ]

3 Zadatak 5. Riješite nejednadžbu x 1 + x + 1 > x + 3. Promatramo tri slučaja: x <, 1 >=: I 1 x [ 1, 1 =: I x [ 1, =: I 3 x + 1 x 1 > x + 3 x < 3 <, 3 > I 1 =<, 1 > x x + 1 > x + 3 x < 1 <, 1 > I = [ 1, 1 > x 1 + x + 1 > x + 3 x > 3 < 3, + > I 3 =< 3, + >. Rješenje zadatka je unija rješenja dobivena u gornja tri slučaja x <, 1 > [ 1, 1 > < 3, + >=<, 1 > < 3, + >. Zadatak 6. Zapisati funkciju f(x) = x 1 + x + 1 bez znaka apsolutne vrijednosti i skicirati njezin graf.,,ključne točke su 1 (o njoj ovisi predznak prvog izraza od koga se uzima apsolutna vrijednost) i 1 (o njoj ovisi predznak drugog izraza od kojega se uzima apsolutna vrijednost). Zato je 3x + 1, ako je x 1 f(x) = x + 3, ako je 1 < x 1 3x 1, ako je x 1. Valjanost gornjeg zapisa ćemo provjerit ćemo samo u slučaju 1 < x < 1. Tada je x 1 = (x 1) i x + 1 = x + 1 pa je tada f(x) = x 1 + x + 1 = (x 1) + (x + 1) = x Slika : Graf funkcije f(x) Kvadratna funkcija Polinom drugog stupnja p(x) = ax + bx + c, a 0 nazivamo kvadratna funkcija. Njezin graf je parabola s tjemenom u točki Nultočke kvadratne funkcije su T = ( b a, ac b ). a x 1, = b ± b ac. a 3

4 Zadatak 1. Odredite realne nultočke i tjeme parabole te skicirajte funkciju ako je (a) f(x) = x x 5, (b) g(x) = x x + 8. a) Nultočke i tjeme parabole računamo prema gore navedenim formulama: x 1, = ± + 5 = ± 6 = ± 3, x 1 = + 3 = 5, x = 3 = 1. T = ( b a, ac b ) = ( a, + 5 ) = (, 9). Sada možemo nacrtati funkciju (uočite da je koeficijent uz x pozitivan). Graf funkcije f(x) b) Prvo računamo nultočke i tjeme parabole: x 1, = ± 8 = ± 8 = ± 3 znači funkcija nema realnih nultočki. Tjeme parabole je = 1 ± 3(= 1 ± 3 i), T = ( b a, ac b ) = ( a, 8 ) = (1, 6). Napomenimo da funkcija nema realnih nultočki što znači da graf funkcije ne siječe x-os. Nadalje, koeficijent uz x je pozitivan što znači da je g(x) > 0 za svaki x R. Sada možemo nacrtati kvadratnu funkciju Graf funkcije g(x)

5 Zadatak. Odredite nultočke funkcije i skicirajte funkciju te koristeći skicu odredite pad i rast funkcije ako je funkcija zadana formulom f(x) = x x + 1. Uočimo da je f(x) = (x 1), iz čega slijedi da je jedina nultočka funkcije jednaka 1 i f(x) 0 za svaki x R, što znači da graf funkcije dodiruje x-s u jednoj točki koja je ujedno i tjeme parabole. Odmah možemo nacrtati funkciju. Graf funkcije f(x) Koristeći sliku možemo zaključiti da je funkcija strogo monotono padajuća na <, 1], dok je funkcija strogo monotono rastuća na [1, + >. Domena funkcije, kompozicija funkcija, invertiranje funkcije, parnost funkcije Domene nekih funkcija: f(x) = x D f = [0, f(x) = 1 x D f = R \ {0} f(x) = log a x, a > 0, a 1 D f = 0, Zadatak 1. Nadopunite sliku tako da se dobije funkcija f : D K. D K A B C D

6 Kako bi dano preslikavanje bilo funkcija svakom elementu domene mora biti pridružen točno jedan element kodomene. Prema tome, potrebno je elementu D koji se nalazi u domeni pridružiti bilo koji element kodomene. Jedno od rješenja prikazano je na sljedećoj slici: D K gdje smo elementu D iz domene pridružili element kodomene. Zadatak. Nadopunite sliku tako da se dobije bijekcija f : D K. D K a 1 b d c e 3 5 Kako bi dano preslikavanje bilo bijekcija, ono mora biti injektivno i surjektivno što znači da različite elemente domene moramo preslikati u različite elemente kodomene i dodatno da svaki član kodomene mora biti slika barem jednog (u slučaju bijektivnosti točno jednog) elementa domene. Kako su elementi kodomene 1,, 3 i 5 redom slike elemenata c, a, d i e, elementu domene b moramo pridružiti element kodomene kako bi ispunili uvjet zadatka. Rješenje je prikazano na sljedećoj slici: D K 6

7 Zadatak 3. Odredite domenu funkcije zadane formulom: 7x+1 (a) f(x) = x 3 + ex, (x 3) 5 (b) f(x) = + sin x + x + 3, (c) f(x) = log (x + 3x ), 1 (d) f(x) = 1 + log x + 1. x (a) Uočimo da x 3 0 što će biti zadovoljeno za x 3. Jednako tako mora x 3 0 što je zadovoljeno za x 3. Nadalje, mora vrijediti 7x+1 x 3 0, što ćemo u nastavku raspisati 7x + 1 x 3 0 7x + 1 8x + 6 x 3 7 x x Sada imamo dva slučaja: 7 x 0 x 3 > 0 x 7 x > 3 x 7 x > 3 x 3, 7] 7 x 0 x 3 < 0 x 7 x < 3 x 7 x < 3 Možemo zaključiti da je 7x+1 x 3 0 za x 3, 7]. Ako tome dodamo uvjete s početka dobit ćemo konačno rješenje D f = 3, 7]\{3}. (b) U ovom slučaju trebaju biti ispunjena dva uvjeta: izraz u nazivniku prvog člana ne smije biti jednak nula i dodatno izraz pod korijenom treba biti nenegativan, odnosno + sin x 0 & x Prvi uvjet ispunjen je za svaki realni broj (budući funkcija sin x poprima vrijednosti izmedu -1 i 1), a nejednadžba je istinita za svaki x 3. Domena zadane funkcije je skup D f = [ 3,. (c) Logaritmirati možemo samo pozitivne brojeve, te zbog toga mora vrijediti: x + 3x > 0. Ako faktoriziramo kvadratni izraz dobivamo: (x 1)(x + ) > 0, 7

8 odakle jednostavno zaključimo da je domena funkcije skup D f =, 1/,. (d) U ovom slučaju moramo zadovoljiti sljedeća dva uvjeta: & x > 0. x Drugi uvjet ispunjen je za sve pozitivne realne brojeve, a prvi za x 0, 1]. Domena funkcije je presjek ova dva skupa, odnosno D f = 0, 1]. Zadatak. Odredite kompozicije f g i g f: (a) f(x) = x + 1, g(x) = x 1, (b) f(x) = x + 9x, g(x) = x + 9, (c) f(x) = 5 x +, g(x) = log 5 (x ). (a) Budući da je (f g)(x) = f(g(x)) imamo: Analogno, (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 1) = (x 1) + 1 = x 1. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) 1 = x + x. Primijetimo da komponiranje nije komutativno. (b) (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + 9) = ( x + 9) + 9 x + 9 = x x + 9. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 9x) = x + 9x + 9. (c) (f g)(x) = f(g(x)) = f(log 5 (x )) = 5 log 5 (x ) + = x. (g f)(x) = g(f(x)) = g(5 x + ) = log 5 ((5 x + ) ) = log 5 [5 x (5 x + )] = x + log 5 (5 x + ). 8

9 Neka je f : D K realna funkcija realne varijable. Pomoću sljedećeg postupka u većini slučajeva možemo ispitati da li je funkcija f bijekcija: Iz jednadžbe f(f 1 (x)) = x, x K, računamo f 1 (x). (1) Ako rješenje ne postoji, onda f nije surjekcija. () Ako rješenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija. (3) Ako rješenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1 je inverz funkcije f. Zadatak 5. Odredite inverznu funkciju f 1 (x): (a) f(x) = 5x 3, (b) f(x) = x 5 7 3x, (c) f(x) = 3 x + 1 x 5, (d) f(x) = log x x +, (e) f(x) = x + 3x +. (a) Inverznu funkciju funkcije f pronalazimo kao rješenje jednadžbe f(f 1 (x)) = x. Imamo: f(f 1 (x)) = x x = 5f 1 (x) 3, x Im f, odnosno f 1 (x) = x (b) Kao i u prethodnom zadatku, rješavamo jednadžbu f(f 1 (x)) = x: f x = 1 (x) 5 7 3f 1, x Im f. (x) Potenciranjem jednadžbe i sredivanjem dobivamo f 1 (x) = 7x + 5 3x +. (c) U ovom slučaju imamo Nakon sredivanja izraza imamo: x = 3 f 1 (x) + 1 f 1 (x), x Im f. 5 f 1 (x) = 5x + 1 x 3, te je inverzna funkcija zadana s f 1 (x) = log 5x + 1 x 3. 9

10 (d) Trebamo riješiti jednadžbu: f 1 (x) x = log f 1, x Im f. (x) + Kako je x = log x, izjednačavanjem izraza pod logaritmom dobivamo: Inverzna funkcija je f 1 (x) = x+1 x + 1. (e) Trebamo riješiti jednadžbu: x = f 1 (x) f 1 (x) +. x = ( f 1 (x) ) + 3 f 1 (x) +, x Im f. Dobiveni izraz s desne strane možemo nodopuniti do punog kvadrata, tada imamo x = ( f 1 (x) + 3 ) 1, x Im f. Sredivanjem izraza dobit ćemo x + 1 = ( f 1 (x) + 3 ), stoga gornja jednadžba ima dva rješenja: f1 1 (x) = x & te zaključujemo da funkcija f nije injektivna. f 1 (x) = x, Zadatak 6. Ispitajte parnost funkcije: (a) f(x) = x x + 13, (b) f(x) = x3 x cos x, (c) f(x) = sin x x 5 3x x3. (a) f( x) = ( x) ( x) + 13 = x x + 13 = f(x). Funkcija je parna. (b) f( x) = ( x)3 ( x) cos( x) = x3 + x cos x = x3 x cos x = f(x). Funkcija je neparna. sin( x) (c) f( x) = ( x) 5 3( x) ( x)3 = sin x x 5 + 3x +x3 = sin x x 5 3x +x3. f( x) je različito i od f(x) i od f(x) pa funkcija nije parna niti je neparna. Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: (a) f(x) = x +, (b) f(x) = (x + ) 3 +, 10

11 (c) f(x) = + 3 sin x, (d) f(x) = log(x 10). Svi grafovi skicirani su korištenjem pomoćnih grafova. Graf zadane funkcije obojan je ljubičastom bojom. (a) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = x (plavi), funkcije f (x) = x (zeleni) kao osno simetričnu sliku prvog grafa, te traženi graf dobivamo translacijom po y osi za u pozitivnom smjeru. (b) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = x 3 (plavi), funkcije f (x) = (x+) 3 (zeleni) tako da graf funkcije f 1 (x) translatiramo po osi x za -, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u pozitivnom smjeru. (c) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = sin x (plavi), funkcije f (x) = 3 sin x (zeleni) tako da graf funkcije f 1 (x),,razvučemo za faktor 3, te traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f (x) po y osi za u negativnom smjeru. (d) Skiciramo graf funkcije f 1 (x) = log x (plavi). Traženi graf dobivamo translacijom grafa funkcije f 1 (x) po x osi za

12 Elementarne funkcije Hornerova shema Polinom f(x) = a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0 dijelimo polinomom x a. Kvocijent q(x) = b n 1 x n 1 + b n x n + + b 1 x + b 0 je polinom stupnja n 1. Iz f(x) = (x a)q(x) + r, odnosno a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x a)(b n 1 x n 1 + b n x n + + b 1 x + b 0 ) + r, množenjem i usporedivanjem koeficijenata uz jednake potencije od x dobivamo n jednadžbi s n nepoznanica (b n 1, b n,..., b 1, b 0, r). Iz tog sustava zaključujemo da za koeficijente kvocijenta q(x) vrijedi: b n 1 = a n, b k 1 = a b k + a k, k = n 1, n,...,, 1. To se može zapisati u obliku tzv. Hornerove sheme: a n a n 1... a 1 a 0 a b n 1 = a n b n = a b n 1 + a n 1... b 0 = a b 1 + a 1 r = a b 0 + a 0 Zadatak 1. Koristeći Hornerovu shemu, izračunajte vrijednost polinoma f(x) = x x 3 + x 7 za x = 3. Primjetimo da će ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) s polinomom x 3 biti jednak f(3), odnosno f(3) = , Zadatak. Za koje a je polinom f(x) = x 3 + ax + 1 djeljiv s g(x) = x? Pomoću Hornerove sheme dobivamo: 1 0 a a 9 + a Kako bi polinom f(x) bio djeljiv s polinomom g(x) ostatak mora biti jednak 0 iz čega slijedi da je traženi a jednak 9. Zadatak 3. Faktorizirajte polinom f(x) = x 3 7x + 6, ako je poznato da je jedna nultočka jednaka 1. 1

13 Podijelimo f(x) = x 3 7x + 6 s x 1. U tu svrhu primjenit ćemo Hornerov algoritam uz a = 1: Iz gornje tablice i iz Hornerovog algoritma možemo zaključiti da je x 3 7x + 6 = (x + x 6)(x 1). Ako želimo odrediti sve nultočke funkcije f, moramo odrediti nultočke polinoma x + x 6 što možemo izračunati koristeći formulu za odredivanje nultočaka kvadratne jednadžbe: x,3 = 1 ± 1 + x = 3, x 3 =. Iz ovoga slijedi da je x 3 7x + 6 = (x + 3)(x 1)(x ). Zadatak. Riješite eksponencijalne jednadžbe: (a) 3 3x 5 3 x = 3 x, (b) 5 x+ 6 x+1 = 3 x+3. (a) Zbog bijektivnosti eksponencijalne funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su eksponenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: 3x 5 3 x = x x 3x 5 = 0, x 3. Sada lako pronademo rješenja: x 1 = 1 i x = 5. (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: te ju podijelimo s (3 x ) Supstitucijom t = 0 ( x ) 1 x 3 x 7 (3 x ) = 0, 0 (( ) x ) 1 3 ( ) x 7 = 0. 3 ( ) x dobivamo kvadratnu jednadžbu: 3 0t 1t 7 = 0 čija su rješenja t 1 = 9 10 i t = 3. Budući je t 1 < 0, prvo rješenje ne daje nam rješenje polazne jednadžbe. Iz drugog rješenja imamo: ( ) x = 3 3 = pa je x = 1 jedino rješenje polazne jednadžbe. Zadatak 5. Riješite logaritamske jednadžbe: (a) log 1 x = log (x + 10x + 6), ( ) 1, 3 13

14 (b) log 9 x = log 3 1 x. (a) Primijetimo da samo x > 0 mogu biti rješenja zadane jednadžbe (izrazi koje logaritmiramo moraju biti pozitivni). Jednadžbu zapišemo u obliku: log 16 + log x = log (x + 10x + 6) log 16x = log (x + 10x + 6). Zbog bijektivnosti logaritamske funkcije, jednakost će vrijediti samo u slučaju kada su argumenti jednaki, odnosno trebamo riješiti jednadžbu: 16x = x + 10x + 6 x 6x + 6 = 0. Sada lako pronademo rješenja: x 1 = 3 3 i x = (b) Primijetimo da samo x 0, mogu biti rješenja zadane jednadžbe. Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: 1 log 3 x = 1 ( log 3 1 x ), odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: ( (log 3 x log 3 1 x )) ( (log 3 x + log 3 1 x )) = 0. Sada trebamo riješiti dvije jednostavnije logaritamske jednadžbe: ( log 3 x = log 3 1 x ) ( ) & log 3 x x = 0. Rješenje prve jednadžbe je x 1 = 5, a rješenje druge jednadžbe je x =. Zadatak 6. Riješite trigonometrijske jednadžbe: ( (a) sin x + π ) = 6, (b) sin x + cos x = 1. (a) Kako je sin u = jedino za u = π i u = 3π, u [0, π], mora vrijediti: x + π 6 = π + kπ ili x + π 6 = 3π + kπ, k Z. Prema tome rješenja jednadžbe su: x = π 1 (b) Prvo zapišimo jednadžbu u obliku: odnosno jednadžbu možemo faktorizirati: odakle dobivamo: 7π + kπ & x = + kπ, k Z, 1 sin x + 1 sin x = 1, sin x(1 sin x) = 0, sin x = 0 x = kπ, k Z sin x = 1 x = π + kπ, k Z. 1

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Elementarne funkcije

3.1 Elementarne funkcije 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Linearna algebra

Riješeni zadaci: Linearna algebra Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a

Διαβάστε περισσότερα