LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje str. 1.

Transcript

1 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. FUNKCIJE, TNSFOMCIJE S U, OPETOI N Fukija j pravilo f koj svako lu skupa pridružuj jda i sao jda l skupa B. ko f lu a pridružuj l b, oda s piš f ( a) b i kaž s da j b slika la a ili vrijdos od f u a. Skup s ov doa od f, a skup B kodoa od f. Podskup od B koji s sasoji od vrijdosi od f svih laa a i s ov područj vrijdosi od f. Najčšći j slučaj kad su i B skupovi ralih brojva i ada s f ov rala fukija ral varijabl. Čs su i fukij gdj j B skup ralih brojva, a skup či vkori i, ili općio forula prijr klasifikaija opis f ( ) f ( ) rala fukija ral fukija sa u varijabl f (, ) f (, ) rala fukija dviju fukija sa u ralih varijabli f (,, ) f (,, ) rala fukija riju fukija sa u ralih varijabli f (,, K, ) f (,, K, ) rala fukija fukija sa u ralih varijabli ko j doa fukij f skup i kodoa skup oda s f ov prslikavaj ili rasforaija sa prijri su rasforaij a koji j. ko j u, oda s rasforaija ov opraor a Prijr Jdadžb dfiiraju rasforaiju T : Nja slika očk ( ) Npr. T (, ) (, 6, ). (gdj i ogu bii jdaki brojvi), i oačava s T :. Gorji Prva od fukija i abli j opraor a, j (, ) (,, ) T. INENE TNSFOMCIJE : iara rasforaija : j fukija koja svako i ako da vrijdi. ) a sv i i, ( ) ( ) ( ( u) (u. ) a svaki i i svaki broj. pridružuj jdisv ( ) i ko j, oda s liara rasforaija ov liari opraor a Trasforaija s ov liara ako ij liara rasforaija. Trasforaija : j liara ako i sao ako posoji jdisva aria ipa ako da j doka: ko j rasforaija ( ) a svaki i : dfiiraa s ( ) a svaki i a sv i i oda vrijdi ( ) ( ) ( ) ( ) i ( u) ( u) ( u) (u ) a svaki i šo ači da j rasforaija liara. i svaki broj,

2 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. I obrao. Nka j liara rasforaija. Bilo koji vkor i M s ož apisai u sadardoj bai a jdisv ači kao,,, K K i vrijdi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K (). ( ) Nka j aria ipa kojoj j j supa j. j. ( ) ( ) ( ) [ ] (). Kako j uožak jdak liaroj kobiaiji vkora supaa od s kofiijia i, šo j upravo dsa sraa od (), oda s jdadžba () ož apisai ( ) i o vrijdi a svaki i Maria s ov sadarda aria liar rasforaij ; ( ) ( ) ( ) [ ] Pokad s sadarda aria liar rasforaij oačava s. iara rasforaija s aiva i ariča rasforaija; '' j ožj ario '' Soga s korisi i oaka. : U foruli s podrauijva da j ( ) i vkor supa. Gorijski liari opraor rasforira svaku očku (svaki vkor) i : u ku ovu očku (ovi vkor) u oviso o da li s li i irpriraju kao očk (urđ ork) ili kao vkori. Npr. a u ravii Prijr Jdadžbaa j dfiiraa liara rasforaija i ož s apisai aričo : pa j sadarda aria a jdaka Slika očk ( s ož aći i jdadžbi ili ožj ario. ) ),,, Npr. a ( i jdadžbi s ađ,,, ( ) ( ) 7, 5,,,, ili aričo

3 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. ] Prijr Trasforaija i prijra j liara. Trasforaija s ož s apisai u obliku T. Druga i rća jdadžba koji j adaa isu liar. ( ) Prijr ko j liari opraor dfiira s, ađi jgovu sadardu ariu i provjri da vrijdi : ( ) ( ) [ ( ) ( ). Maria j rda i ji supi su, i j.. ( ) ( ) ( ) Kako j vrijdi ( ) Prijr 5 Naraj sliku kvadraa s vrhovia koja s dobij liaro rasforaijo gdj j j. ( ) ( ) ( ) (,,,,,,, ( ) ) Nađo slik svih vrhova kvadraa,,,. Slika j kvadra s vrhovia ( )( )( ) ( ),,,,,,,. Prijr 6 Naraj sliku kvadraa s vrhovia koja s dobij liaro rasforaijo gdj j j. ( ) ( ) ( ) (,,,,,,, ( ) ) Nađo slik svih vrhova kvadraa,,,

4 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr... Slika j kvadra s vrhovia (, )(,, )(,,),(,). Svojsv vrijdosi dijagoal ari su λ i λ. Pripadi svojsvi vkori su i dva su isakua sjra (pravi i s prslikavaju u sb). Na K osi rasforaija s poaša kao ožj s, a a K osi rasforaija s poaša kao ožj s. Prijr 7 Naraj sliku kvadraa s vrhovia (, ), (, ), (, ), (, ) koja s dobij rasforaijo T ( ) gdj j j. Nađo slik svih vrhova kvadraa - - -, - -, -, i arao. Slika kvadraa j parallogra s vrhovia (, ), (, ), (, ), (,) (rdoslijd!) Svojsv vrijdosi ari su λ i λ. Pripadi svojsvi vkori su i (okoii su, jr j aria siriča!) pa su o isakui sjrovi (a pravia i ). liar rasforaij i ožj aria k k ko su : i liar rasforaij, oda j kopoiija od i rasforaija B o B : : dfiiraa s Trasforaija B j liara, jr j o pa j B o ožj ario B. Dakl, ( ) ( ) ( ( ) ) o a svaki i B o ( )( ) ( ( ) ) ( ) B( ) ( B) B B B o. Možj sadardih aria liarih rasforaija odgovara kopoiiji liarih rasforaija. Pri o j važa rdoslijd kopoiraja. Možj aria ij kouaivo! Prijr 8 Da li j kopoiija liarih rasforaija ( ) i ( ) kouaiva? B B B B

5 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr. 5. Iračuao ( o )( ) ( o )( ) i vidio da j o o - kopoiija ovih rasforaija ij kouaiva. liar rasforaij i rgular ari Koja j va rgularih aria i jia dfiiraih liarih rasaforaija? iara rasforaija : j ijkija ako raliči očk(vkor) i raliči očk(vkor) i prslikava u Tor ko j aria rda i : ožj ario, oda su kvival sljdć vrdj. aria j rgulara,. područj vrijdosi od j. j ijkija., ko j aria liarog opraora : rgulara, oda j liari opraor ivr od : ( ) Vrijdi ( o )( ) ( ( ) ) I ( o )( ) ( ( ) ) I j.. I i o o. Prijr 9 Pokaži da j liari opraor ( ) ijkija i ađi jgov ivr. Sadarda aria rasforaij j. j rgulara, jr j d 8 5 pa i oga po gorj oru slijdi da j liari opraor ijkija. Iračuao 5. Oda j ( ) I : liar rasforaij i orogoal ari Koj j gorijsko ačj orogoalih aria? T Nka j orogoala aria (vrijdi I!) i : liara rasforaija dfiiraa s Za vkor i ( ) a svaki i i iračuajo T T T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( I ) šo ači da čuva skalari uožak dvaju vkora. Duljia vkora u s ož iraii prko skalarog uoška: čuva i duljiu vkora j. Kako a ku ϕ iđu dva vkora vrijdi j. (, ) (, ) a svaki i a sv vkor i i pa o a posljdiu ia da ϕ, oda čuva i ku iđu dva vkora u

6 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr. 6. iara rasforaija sa : sa svojsvo ( ) ( ) a sv vkor i i s ov iorija. Iorij čuvaju duljiu vkora i ku iđu dva vkora u Mož s pokaai da vrijdi i obra gorj vrdj j. ako j liara rasforaija iorija, oda j ja sadarda aria orogoala. Soga vrijdi. : iara rasforaija orogoala. : j iorija ako i sao ako j ja sadarda aria PIMJEI TNSFOMCIJ Nk od rasforaija sa u, sa u i sa u iaju važa gorijska ačja. Osovi li kopjuorsk grafik su raslaija, roaija i sirija. U godiji su osov rasforaij raslaija, roaija i proja jrila. Trasforaij sa u s ovu opraori u ravii, a rasforaij sa u s ovu opraori u prosoru. Slijdi prgld glavih liarih opraora u ravii i u prosoru.. opraori sirija (raljja) Opraori sirij ravi s obiro a prava su pr. opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora sirija ravi s obiro a os sirija ravi s obiro a os sirija ravi s obiro a prava

7 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr. 7. Opraori sirij prosora s obiro a raviu su pr. opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora sirija prosora s obiro a raviu sirija prosora s obiro a raviu sirija prosora s obiro a raviu. opraori roaija (vrji oko očk ili oko poluprava) Opraor roaij u ravii oko ishodiša u a fiksi ku u poiivo sjru (j. sjru,. suproo od kaaljk a sau) prslikava očku (, ) u ( ) Pooću rigoorijskih fukija ož s apisai r φ r siφ i r ( φ ) j. r φ r si siφ r si( φ ) j. r si φ r φ Uvršavaj gorjih forula daj si si. Ov forul su liar pa opraoru roaij oko ishodiša a ku odgovara sadarda aria si. si

8 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr. 8. opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora roaija oko ishodiša a ku si si si si U prosoru j roaija adaa s osi roaij (ajčšć poluprva s počko u ishodišu) i kuo roaij. Poiiva ku j dfiira pravilo ds ruk oko osi (j. u sjru suproo od kaaljk a sau). Ovo su ajčšć koriši opraori roaija u opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora roaija oko poiiv osi a ku si si si si roaija oko poiiv osi a ku si si si si roaija oko poiiv osi a ku si si si si. opraori orogoalih projkija Opraor orogoal projkij prslikava svaki vkor u jgovu orogoalu projkiju a prava kro ishodiš ili a raviu kro ishodiš. Evo osovih opraora projkij u i u opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora orogoala projkija a os orogoala projkija a os

9 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr. 9. opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora orogoala projkija a raviu orogoala projkija a raviu orogoala projkija a raviu. opraori korakija i dilaaija opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora korakija ravi a fakor k ( k ) dilaaija ravi a fakor k ( k ) k k k k k k opraor gorijsko ačj jdadžb aria opraora korakija prosora a fakor k ( k ) dilaaija prosora a fakor k ( k ) k k k k k k k k k Sirija, projkija, roaija, dilaaija i korakija su liari opraori.

10 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. 5. opraor raslaija (parallih poaka) Traslaija ravi ili prosora a fiksi vkor j prslikavaj koj svaku očku (vkor) poak a vkor. Traslaija u ravii a vkor j dfiiraa s, a raslaija u prosoru a vkor j dfiiraa s - odgovara brajaju dvaju vkora! Traslaija a vkor ij liara rasforaija. Prijr Zapiši u aričo obliku a) roaiju a b) roaiju a 8 ) roaiju a d) roaiju a ku 9 6 a) 9 si 9 si 9 9 b) 8 si8 si8 8 ) 6 si 6 si 6 6 d) ( ) ( ) ( ) ( ) si si si si Prijr Nka j liari opraori roaij u ravii a ku. Odrdi jgov ivr. Koja j jgova gorijska irpraija? Sadarda aria koja pripada liaro opraoru roaij u ravii a ku j. Budući da j si si si si si, ivri opraor posoji i jgova sadarda aria j si si si si. Oa odgovara roaiji ravi oko ishodiša a ku (vidi prošli prijr d)!). Prijr Nka j liari opraori roaij ravi a ku i liari opraori roaij ravi a ku. Provjri da j jihova kopoiija kouaiva i jdaka liaro opraoru roaij a ku. Slijdi ožj pripadih sadardih aria roaija i prijo adiijskog ora. Prijr Pokaži da su roaij iorij.

11 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. FINE TNSFOMCIJE T : Važu klasu rasforaija či afi rasforaij. Nka j kvadraa aria rda i b fiksi vkor i Trasforaija T : dfiiraa s T ( ) b a svaki i s ov afia rasforaija. ko j b, oda j afia rasforaija liara. Traslaija a vkor b j afia rasforaija a I. fi rasforaij uključuju raslaiju i sv prij abroj liar opraor ravi i prosora. ko j T : liara rasforaij dfiiraa s T ( ) i T : raslaija dfiiraa s T, oda j ( ) b ( T T )( ) T ( T ( ) ) T ( ) b i ( T T )( ) T ( T ( ) ) T ( b) ( b) b o a svaki i o a svaki i fia rasforaija s ož dobii kao kopoiija liar rasforaij i raslaij. Obj kopoiij T o T i T o T su afi rasforaij, ali o isu užo jdak, jr j općio b b. Trba paii a rdoslijd kopoiraja! fia slika prava j prava (pokaži!). Mož s pokaai i da j afia slika duži j dužia. fia rasforaija čuva parallos. Općio ć afia slika pravokuika bii parallogra. b adaa ario i b, ađi u šo oa prslikava kvadra s vrhovia (,), ( 5, ), ( 5,),(,). Nađo slik svih vrhova kvadraa, , 5 5, 5 9 i arao. Slika kvadraa j parallogra. Prijr ko j afia rasforaija T ( ) Prijr 5 Nka j rva 'kuća' (poligo) aaa spajaj očaka u ovo rdoslijdu: Nađi afiu rasforaiju T ( ) b koja j prslikava u rvu 'kuću' u lu 'kuću' sa slik.,,,,,,,,,,, i u iso slijdu vrhov l 'kuć':,,,.5,.5,.5,,.5,.5,.5,.5,. Sa slik očiao vrhov rv 'kuć': ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Trba odrdii ariu i vkor b raž afi 6 rasforaij T b. Uvršavaj očaka dobij s ( )

12 INENE TNSFOMCIJE. prdavaj sr.. liari susav a poai,,,,. 5,.5 Njgovo rjšavaj daj (provjri!) i b..5 prslikavaj ili rasforaija opraor liara rasforaija liara rasforaija liari opraor sadarda aria liar rasforaij ariča rasforaija kopoiija liarih rasforaija ivr liar rasforaij iorija opraor u ravii opraor u prosoru opraor sirij opraor roaij opraor orogoal projkij opraor korakij opraor dilaaij opraor raslaij afia rasforaija 6