Inženirski povzetek izbranih poglavij termodinamike in mehanike tekočin.

Transcript

1 Inženirski ozeek izbranih oglaij ermodinamike in mehanike ekočin. D Eulerjee enačbe za ois oka sisljie ekočine cei so uoraben riomoček ri analizi ermodinamskih sisemo. Z nekaerimi doolniami sensko renje sila eže iziri oziroma onori oloe členi za ois zeznih srememb reseka cei oziroma oenosaiami ousie krajenih ali časonih ododo - lahko s emi enačbami oišemo širok seker ojao energeskih sisemih. Osnone Eulerjee enačbe so: + = 0 + g F F r e e + q g F e u / koninuiena enačba ohranie gibalne količine ohranie energije 3 remenljike: e - secifična olna energija [J/kg] u - secifična noranja energija. Na desni srani gibalne enačbe je uošeana komonena sile eže smeri in morebina zunanja sila F na enoo olumna ki oralja ali rejema delo od ekočine urbina ali čralka. ila renja ob sene cei F r sreminja kineično energijo noranjo in redsalja nereerzibilne sremembe. Na desni srani energijske enačbe je uošean morebini izir ali onor oloe na enoo olumna q er moč zunanjih sil. Ireerzibilna sila renja na olno energijo ne lia saj sreminja kineično energijo noranjo. Na lei srani Eulerjeih enačb so širi neznanke. isem enačb doolnjuje enačba sanja kaeri so uošeani glani zakoni ermodinamike: F r ρ e F ρ - gosoa - lak e - secifična olna energija [J/kg] u - secifična noranja energija [J/kg] - hiros g - komonena ež. oseška smeri F - zunanja sila na enoo olumna [N/m 3 ] F r - sila renja ob sene cei [N/m 3 ] q - izir oloe [W/m 3 ] g u u 4 Člene na desni srani enačbe ogoso oisujejo emirične korelacije. Nekaere oblike Eulerjeih enačb in emirične korelacije so oisane rimerih in nalogah nadaljeanju.

2 Izeljaa D Eulerjeih enačb cei z zezno sremenljiim resekom - "o inženirsko" Za izeljao D Eulerjeih enačb si zamislimo odsek cei med in skozi kaerega se reaka ekočina in oišemo dogajanje časonem ineralu med in : d d d d. 5 Koninuiena enačba inegralski obliki rai da maso ekočine odseku rane cei med in ob času izračuna ako da se masi isem odseku cei ob času rišeje maso ekočine ki je očkah in časonem ineralu - riekla oziroma odekla iz oazoanega odseka cei. Za izeljao diferencialne oblike koninuiene enačbe je orebna redosaka da sa gosoa in hiros zezno odedljii funkciji in zao elja d in d 6 Z uošeanjem obeh zaisanih zez dobimo enačbo: 0 = d d + 7 kaeri idimo diferencialno obliko koninuiene enačbe. Zaradi redosak o zeznosi gosoe in hirosi je inegralska oblika koninuiene enačbe bolj slošna od diferencialne slednja a je ogoso bolj rimerna za rešeanje. Ce z zezno sremenljiim resekom

3 3 Na odoben način je mogoče zaisai inegralsko obliko gibalne enačbe: d d d d d d d d d d 8 kjer a oleg flukso gibalne količine ki očkah in soaa oz. izsoaa iz oazoanega odseka cei uošeamo udi sili laka ki očkah in sreminjaa gibalno količino. Zadnji člen na desni srani gibalne enačbe uošea silo cei ki je osledica sremenljiega reseka cei in nasrouje sili laka. V enačbi bi na enosaen način lahko uošeali olumske sile in renje. Podobno ko smo reoblikoali inegralsko koninuieno enačbo reuredimo še inegralsko gibalno enačbo. Dobimo diferencialno obliko gibalne enačbe brez zunanjih sil in renja... 9 Zaišemo še inegralsko enačbo za olno energijo e: d d d e d e d e d e 0 udi energijski enačbi oleg flukso energije robnih očkah oazoanega odseka cei med in uošeamo delo ki ga em času orai lak. ene cei ne oraljajo dela zao enačbi ni člena ki je zaheal osebno obranao gibalni enačbi. Diferencialna oblika energijske enačbe: 0 e + e udi u smo izeljai izusili delo zunanjih sil in izir oziroma onor oloe d +d Od kod zadnji člen na desni srani inegralske oblike gibalne enačbe? lačne sile ki cei sremenljiega reseka delujejo na osenčen kolobar uranoesi sila sene: d Uošeana je zadnjem členu na desni srani gibalne enačbe.

4 Naloga : izelji 3D Eulerjee enačbe ako ko jih izeljejo fiziki: a koninuiena enačba: rememba mase olumnu V na časono enoo je enaka reoku skozi oršino ki objema olumen V: dv d V inegral o oršini reedemo inegral o olumnu redosaimo da sa gosoa in hiros zezno odedljii funkciji o rosoru in dobimo: Gaussoa formula - za ekorsko in skalarno olje: f d f dv V dv dv. 3 V V f d f V dv Če redosaimo zeznos gosoe o času zamenjamo rsni red inegracije o olumnu in odajanja o času er ousimo inegrale dobimo koninuieno enačbo 0 b gibalna enačba: rememba i-e komonene ekorja gibalne količine olumnu V na časono enoo je osledica fluksa gibalne količine skozi oršino ki objema olumen V ri člen na desni in sil ki delujejo na olumen V smeri i lačne sile na oršini in sila eže o olumnu V: 4 Diadni ali enzorski roduk ekorje karezičnem koordinanem sisemu: f g f g f f 3 g g f g f f 3 g g f g f f 3 g g V idv i d i d gidv 5 V Predosaimo neiskozno ekočino. e redosaimo zeznos gosoe hirosi in laka er inegral o oršini reedemo inegral o olumnu: i i i g i oziroma ekorski obliki: g 6 4

5 kjer redsalja diadni ali enzorski roduk. Če bi izeljai uošeali udi sile ki so osledica iskoznosi bi dobili Naier-okesoo enačbo - osnono enačbo mehanike ekočin: 0 kjer je enzor srižnih naeosi ki resega obseg eh zaisko. 7 c energijska enačba: rememba olne energije olumnu V na časono enoo je enaka fluksu energije skozi oršino ki objema olumen V ri člen na desni in delu ki ga oraijo zunanje sile ki delujejo na olumen V časoni enoi lačne sile na oršini in sila eže o olumnu V: edv e d d g dv 8 V V Predosaimo ekočino z ničelno olono reodnosjo. Inegral o oršini reedemo inegral o olumnu se redosaimo zeznos gosoe hirosi secifične noranje energije in laka er dobimo: e e g 0 Če bi energijski enačbi uošeali udi olone okoe ki so osledica reajanja oloe er delo iskoznih sil na robu oazoanega olumna bi dobili bolj oolno energijsko enačbo kaere uorab resega obseg eh zaisko: 9 enzor srižnih naeosi Newonski ekočini glej nr. Podgornik mehanika koninuumo ' ' I 3 Newonska ekočina - ekočina kaeri so srižne naeosi sorazmerne z gradieni srižnih hirosi - dinamična iskoznos ogoso samo "iskoznos" [Pa s] / - kinemaična iskoznos [m /s] '' - "druga iskoznos" - omembna le ri ojaih kjer igra logo sisljios ekočine Običajno elja Fouriero zakon za reajanje oloe: j e e g j 0 0 5

6 Naloga : D gibalno enačbo reoblikuj neohranieno obliko - rezula brez členo ki oisujejo zunanje sile: Naloga 3 - Bezoa limia: Iz D Eulerjeih enačb za ce z zezno sreminjajočim se resekom izelji Bezoo limio - maksimalno moč ki jo iz era ki iha s hirosjo lahko dobi erna urbina. Predosai nesislji izoermen sacionaren ok skozi ce na sliki. Vernica se nahaja delu "cei s sremenljiim resekom". Predosai enak lak sonem in izsonem delu cei s konsanni resekom in er ok brez renja. Eulerjee enačbe za D ok cei z zezno sremenljiim resekom so: + = 0 + F 3 e e + F 4 kjer je resek ki ga ne smemo omešai s secifično enroijo označeno z "s" in F sila na enoo olumna ki zausalja ali osešuje ok ekočine. V rimeru ernice sila F deluje na delu cei s sremenljiim resekom. Člen F energijski enačbi je moč na enoo dolžine ki jo orablja ernica. Kljub emu da ne oznamo orazdelie sile F in reseka odisnosi od koordinae lahko oraimo enosaen račun. Enačbe za sacionaren izoermen in nesislji ok : = Cons. F / F 5 6

7 Inegriraj zadnji enačbi o odseku cei na kaerega lia ernica odsek med očkama in kaerem se sreminja lak in hiros. Njegoa naančna dolžina ni znana a za naš račun ni omembna. Pred ernico in za ernico redosai ok cei s konsannim resekom in ok ri konsannem laku. Inegrirane enačbe: P / P kjer je moč ernice P F d F d. Moč energijski in gibalni enačbi izenačiš 6 in dobiš rezula ki rai da je orečna hiros era oazoanem odseku "cei z ernico". Rezula uošeaj energijski enačbi: P Izrazi izsono hiros s hirosjo zraka skozi ernico : P Poiščeš hiros zraka skozi ernico ri kaeri bo moč maksimalna ri dani soni hirosi odajaj moč o. Maksimum je ri 3 in maksimalna moč ernice je 8 3 P 7 redaanj je znano da je moč era skozi alj s resekom ernice enaka: 3 P eer Bezoa limia: 6 P 7 P eer Moč era ki s hirosjo iha skozi oršino s resekom P eer d 3 Bezoa limia: Idealna ernica lahko izkorisi 6/7 ~59% moči era. Realne ernice reorijo energijo ~40% moči era. 7

8 Naloga 4: Izelji enačbo za ransor kineične energije. Naodilo - omnoži gibalno enačbo s hirosjo in reuredi. Rezula: 3 / / + g F F r 7 Naloga 5: Zaiši enačbo za ransor noranje energije u. Naodilo - od enačbe za olno energijo odšej enačbo za kineično energijo iz rejšnje naloge. Rezula: u u + qfr 8 Naloga 6: Zaiši enačbo za ransor enalije h sacionarnem sanju in okaži da se ri Joules-Kelinoem oskusu "oloa" sr. 5 ohranja enalija. V enačbi za noranjo energijo uošeamo h=u+/ρ. Rezula: Joules-Kelino oskus. h qfr 9 h h V Joules-Kelinoem oskusu je kineična energija oka majhna zao elja gibalna enačba obliki: F r Ce je izolirana in je q=0. Rezula - ohranie enalije: h Cons 3 30 renje zaslonki je znano. Ce je izolirana. Kineična energija oka red in za zaslonko je zanemarljia: 0 > h =h 8

9 Naloga 7: Izračunaj adec laka ri reakanju ode s emerauro 0 o C skozi 00 m dolgo gladko ce s remerom 0 cm in hirosjo oka m/s. Uošeaj renje ode z iskoznosjo 0.00 Pa.s. ilo renja na enoo olumna izračunamo o emirični enačbi: F r f w kjer je f w koeficien senskega renja D fricion facor - slika 3 V laminarnem oku Re<000 je njegoa rednos analiičen rezula - Fizika I: 64 f w 33 Re urbulennem oku Re>5000 a: f w log.5 Re f w 0.7 D 0 34 kjer je relaina ε/d hraaos cei desna ordinana os. Pri Reynoldsoih šeilih 000<Re<5000 se koeficien senskega renja določi z inerolacijo. Nameso računanja koeficien ogoso odčiamo kar iz riloženega grafa. Rezula: D Re =00000 f w =0.08 in F r =90 N/m 3 Iz gibalne enačbe sledi: F r = 9000 Pa D ε - hraaos m 9

10 Naloga 8: Izračunaj lačni adec ri reakanju rimarne ode skozi sredico elekrarne Krško. Masni ok skozi sako ejo rimarnega sisema je 4770 kg/s. redico sesalja gorinih elemeno sak gorini elemen je dolg 3.66 m. V gorinem elemenu je 35 gorinih alic 0 odil regulacijskih alic in odilo insrumenacije. Vse imajo remer 0.95 cm razdalja med osmi sosednjih alic je.3 cm hladilo a se reaka le z zunanje srani. Gosoa ode ri obraoalnem laku sredici 56 bar in orečni emerauri ode 30 o C zanemarimo dig emeraure sredici je 70 kg/m 3. Viskoznos ode ri eh ogojih je 8.5*0-5 Pa.s. Iz gibalne enačbe zaisane za sacionarno sanje in ok s konsanno gosoo sledi: ila renja - oda eče skozi rosor med gorinimi elemeni - cilindri. Okoli sakega cilindra je resek "kanala" za reok hladila / cm Hidralični remer kanala: D e =4/o 4*loščina kanala D e = omočeni obseg kanala gorine alice Presek celone sredice za reok hladila: *56*0.804 cm =.5 m Hiros ode skozi sredico: 5.4 m/s Hidralični remer D e ki se uorablja ri računanju Reynoldsoega šeila in sile renja za oljubno geomerijo se izračuna ko D e =4/o = 4*loščina kanala/omočeni obseg kanala= 4*0.804/*π*0.475 =.08 cm kanal P Reynoldsoo šeilo ode sredici: Re=486000~ Koeficien senskega renja za gladko ce: f w =0.04 za rahlo hraao ce ε/d=0.000: f w =0.05 Moody-je diagram - Naloga 7 Fr f w 0. 5 D bar Kanal sredici reakorja D e =P -π D /4/πD D lačni adec zaradi renja je resnici ~ bar ečji zaradi disančnih rešek ki oezujejo gorine alice gorinem elemenu. Prišejemo še ρgδ~0.6 bar hidrosaičnega laka. lačna razlika med sodnjim in zgornjim robom sredice je ~ bar. 0

11 Naloga 9: V D sroj soa ekočina z enalijo h i in izsoa ekočina z enalijo h o. roj deluje sacionarno m Cons. Na osnoi Eulerjee enačbe za olno energijo zaiši relacijo med sono in izsono enalijo. i ρ i i secifična enalija: energijska enačba: h u e h / q g F mehansko delo inegral energijske enačbe o dolžini sroja: o i m ho hi m PQ PA Pg 35 rememba enalije časoni enoi je sesaljena iz riseko: sremembe secifične kineične energije na časono enoo: o i m olone moči ki jo je sroju rejema ali oddaja ekočina: P Q qd 3 mehanske moči ki jo orai sroj ali ekočina: P A Fd 4 er moči olumskih sil - obranaanem rimeru graiacije: o i o Pg g d m g d mg zo zi i kjer z meri samo erikalno razliko med hodom in izhodom. o i o i oloa o ρ o o

12 Posebni rimeri: - sroj je urbina ekočina je oraila delo kar je zmanjšalo njeno enalijo q~0 Δz~0 : PA m ho hi o i - sroj je čralka odobno ko urbina le da je ekočina delo rejela q~0 Δz~0 - reakorska sredica uarjalnik ekočina je rejela oloo delo w~0 - kondenzaor ekočina je oloo oddala w~0 - "sroj" je ce q~0 w~0 : Bernoullijea enačba: h o o i hi g zo zi Naloga 0: Izračunaj reok skozi sisem kjer čralka z mehansko močjo P zdržuje sacionaren olumski ok Φ in komenzira lačne izgube Δ. Iz Eulerjee enačbe za ohranie gibalne količine celonem sisemu in sacionarnem sanju sledi F. Iz nalog 7 in 8 oznamo F r / L kjer je L dolžina okone oi sisemu. čr F r Eulerjea energijska enačba - gosoa moči čralke je sisemu in je resek sisema. F čr kjer je = Φ/ hiros ekočine Moč čralke P Fčr * * L olumen sisema je L*.

13 Naloga : Reakor JE Krško ima moč 000 MW. Primarna oda soa sredico s emerauro 87 o C in z masnim okom 9500 kg/s. lak sredici je 5.6 MPa. Kakšna je emeraura ode na izhodu iz sredice? Iz arnih abel sledi h i =70 kj/kg Ali: m h h P h o =480 kj/kg iz arnih abel sledi o =34 o C o i o = i + P/c m Kjer c =5700 J/KgK odčiamo iz abel ri =30 o C in =5.6 MPa abele ki oisujejo samo sanje nasičenja u niso reeč uorabne. e sledi o=34 o C. Velja oozorii da se c na emeraurnem ineralu 87 o C do 337 o C oeča od 580 na 6500 J/kgK. Gosoa ode se na isem ineralu zmanjša od 75 na 66 kg/m 3. Naloga a: Reakor JE Krško ima 35 alic gorinih sakem od elemeno. V elemenu je še 0 cei za konrolne alice in ena ce za insrumenacijo. Premer gorine alice je r=0.95 cm razdalja med osema sosednjih alic a D=.3cm. Gorine alice so dolge H=3.66m debelina cirkonijee srajčke je δ=0.057cm olone reodnosi λsrajčke=0 W/mK λuo=3w/mk. Fakor ročega kanala je F ΔH =.59. Kolikšna je emeraura hladila na izhodu iz najbolj ročega gorinega elemena? D - razdalja med osema sosednjih gorinih alic - sranica kanala r P - olmer gorine alice r g - olmer gorine ableke je nalogi enak noranjemu radiju srajčke gorine alice H - dolžina gorine alice P - moč gorine alice P - moč orečne gorine alice F ΔH - Fakor ročega kanala - maksimalna dousna rednos je.59. Dejanski fakorji ročega kanala so ~ P ΔH - moč gorine alice ročem kanalu Moč orečne gorine alice P = GW / *35=70 kw Moč najbolj ročem kanalu P ΔH =P F ΔH = kw Prirasek secifične enalije ročem kanalu ob redosaki da ni inerakcije s sosednjimi - hladnejšimi kanali je: Δh roči-kanal = P / *56 m = 365 kj/kg Izsona enalija je 63 J/kgK ri laku 5.6 MPa o omeni emerauro C glej abele za enofazno sanje. Iz abel sanju nasičenja ugooimo da je o ribližno emeraura relišča ri 5.6 MPa. 3 olona reodnos goria UO se s emerauro znano sreminja: 600K 5 W/m/K 00K 3 W/m/K K W/m/K Z izgoreanjem goria se reodnos zmanjša za 0-0%.

14 Naloga b: Izračunaj olono resonos med gorinim elemenom in hladilom o emirični korelaciji Weisman "Hea ransfer o waer flowing arallel o ube bundles" Nuc. ci & Eng h Nu D 0.8 / 3 Nu Re Pr e r D Iz odako λ VODA =0.54W/mK Re= glej nalogo 8 D e =.08 cm naloga 8 arne abele sledi Nu=040 in h=5000 W/m K c Pr =0.9 Naloga c: Izračunaj oloni ok ki eče radialni smeri s oršine gorine alice ročem kanalu na hladilo in emeraurno razliko med oršino alice in orečno emerauro hladila kanalu če redosaiš da se moč o išini kanala ne sreminja. j = P ΔH / = kw / H π r d = 0 MW/m j = h srajčka - hladilo in Δ = 0 K Naloga d: Izračunaj emeraurne rofile o išini ročega kanala : hladilu srajčki in osi gorine alice. Aksialno orazdelie moči aroksimiramo s funkcijo: Pma q z cosz H=3.66 m z[-h/h/] H gorio Najrej določimo rednos P ma - maksimalno lokalno moč ročem kanalu: P H H / gorio H / q z dz P ma P ma P / = 50 kw orečna moč alice ročem kanalu P ΔH je izračunana a Odsek gorinega elemena dz času d generira oloo: H h - olona resonos - POZOR - ne zamešaj s secifično enalijo Nu - Nusseloo šeilo - brezdimenzijska olona resonos D - razdalja med osema sosednjih gorinih alic - sranica kanala r P - olmer gorine alice r g - olmer gorine ableke je nalogi enak noranjemu radiju srajčke gorine alice Re - Reynoldsoo šeilo kanalu sredice Pr - Prandloo šeilo - brezdimenzijsko razmerje med difuzinosjo gibalne količine in difuzinosjo oloe D e - efekini remer kanala D e 4 resek kanala / omoceni obod kanala hladilo - o reseku kanala orečena emeraura hladila: c d kanal hladilo c d kanal j - oloni ok [W/m ] q - gosoa olone moči [W/m 3 ] UO gorio - resek gorine ableke r g alica - resek gorine alice r q z gorio dzd 4

15 o oloo rek oršine alica dz rezame "odsek hladila" ki je času d s orečno hirosjo ooal mimo oazoanega odseka gorine alice dz = d : d c d. hladilo kanal Obe energiji izenačimo in zaišemo diferencialno enačbo za emerauro: hladilo kanal c d q z gorio dz Gosoa in hiros sa sicer odisni od emeraure a je masni ok hladilo kanal kanalu konsanen. Če naraimo dokaj grobo aroksimacijo in zaišemo da je secifična oloa konsana enačbo enosano inegriramo in dobimo aksialni emeraurni rofil hladilu: hladilo P ma H 0.7H z z in 0.3 z sin c H H hladilo kanal Porazdelie gosoe olone moči o išini qz*_gorio kw/m zm lika s emeraurnim rofilom hladila je narisana z rednosjo c =600 J/kgK. ecifična oloa začne bližini nasičenja hiro rasi s emerauro. Aksialni emeraurni rofil na oršini gorine alice dobimo iz zeze med olonim okom na oršini gorine alice in gosoo moči gorine alice q z rg dz q z r j z r dz r g er iz enačbe ki oisuje radialni renos oloe s srajčke na hladilo j z h z z. srajcke hladilo emeraurni rofil na zunanji srani srajčke gorinega elemena je srajcke j z q z rg z hladilo z hladilo z h r h ri čemer smo olono resonos h obranaali ko konsanno zdolž kanala bolj naančnem numeričnem računu a bi morali uošeai udi sremembe olone resonosi aksialni smeri. Ločena obranaa renosa oloe aksialni z in radialni r smeri je mogoča le odno hlajenih reakorjih kjer je reajanje oloe aksialni smeri zanemarljio. V reakorjih hlajenih s ekočo koino bi bilo orebno uošeai udi difuzijo oloe aksialni smeri. 5

16 Poissonoo enačbo lahko izračunamo radialno olono reajanje skozi srajčko in radialni oloni rofil znoraj srajčke in udi znoraj sredice gorinega elemena. Pri em lahko odno hlajenem reakorju zanemarimo reajanje aksialni smeri saj so gradieni emeraure smeri z recej manjši od radialnih gradieno: srajčka: r 0 r r r gorio: r q z r r r kjer je r g radij gorine ableke. Za emerauro srajčki ko robne ogoje oznamo emerauro in oloni ok na zunanji seni srajčke: r er srajcka d q z goriodz j r srajcka r dr r dz Z dakrano inegracijo in uošeanjem robnih ogoje dobimo radialni emeraurni rofil srajčki: srajcka q z gorio r r srajcka r ln za rg r r r srajcka Predosaimo da reže med gorino ableko in srajčko ni noem goriu o ne drži in se srajčka in ableka sikaa brez dodanega uora za renos oloe: srajcka rg UO rg. Za difuzijsko enačbo goriu je robni ogoj udi znan oloni ok ri r g j rg UO d dr q z goriodz q z r rg r dz g g Po dakrani inegraciji Poissonoe enačbe in uošeanju robnih ogoje je radialni emeraurni rofil gorini ableki: q z gorio r r UO rg 4UO rg UO emeraurni rofil osi gorinega elemena ročem kanalu je UO q z gorio rg r 0 z ln z hladilo UO srajcka r rh emeraurni rofili 0 C zdolž ročega kanala: rdeče sodaj - hladilo zeleno sredina - srajčka r modro zgoraj - gorio r g = srajčka r g hladilo K -srajčka-zun -ablea-zun zm emeraurni rofil 0 C osi gorine alice ročega kanala gorio-cener K zm 6

17 Enačba sanja - ermodinamika Pri obranai Eulerjeih enačb ogoso redosaimo da lahko lokalno definiramo ermodinamične sremenljike in uorabimo zeze med njimi udi neranoesnih siuacijah. Aroksimacija je usešna če oku ni udarnih alo oziroma zelo srmih gradieno. V eh zaiskih nas udarni aloi ne zanimajo in redosaimo da ermodinamične zeze eljajo. V em eksu imamo oraka samo s sisemi kaerih nasoaa de neodisni ermodinamični sremenljiki funkciji sanja. V Eulerjeih enačbah nasoaj ri D funkcije in u ki se skria secifični olni energiji e kar omeni da eno od njih lahko izrazimo z drugima dema na rimer: u u. 37 Zgornjo zezo oiščemo s omočjo enačbe sanja diferencialni obliki ki oezuje secifični olumen / s emerauro in lakom : d d d 38 u sa in rosorninska razeznos in izoermna sisljios. Zais d ni rano eleganen a se z njim izognemo uorabi secifičnega olumna ki je običajno označen s črko mali "" a a je Eulerjeih enačbah že rezerirana za hiros. Enačbo sanja ki oezuje D funkcije sanja je mogoče zaisai udi z drugimi D funkcijami sanja. Preoblikujemo jo s omočjo ermodinamskih relacij ki sledijo iz. in. glanega zakona ermodinamike: u du ds d s h s dh ds d "Običajna" diferencialna oblika enačbe sanja: dv / V d d d d Energijski zakon -. glani zakon ermodinamike: dw dq da Enroijski zakon -. glani zakon ermodinamike. Definira absoluno emerauro in in enroijo: d dq / V em eksu nameso enroije uorabljamo secifično enroijo s. 7

18 Uedli smo noo D sremenljiko: secifična enroija s. Preden zaišemo še nekaj ermodinamičnih relacij ki sledijo iz enačbe sanja er D relacij u s in h s definiramo secifični oloi c V u in V c h. 4 Včasih ridejo ra še razmerje in razlika secifičnih olo er zočna hiros: c c V c cv c 4 s Odod ri konsannem olumnu V omeni udi odod ri konsanni gosoi. Brez izelja naajaa jih Kuščer in Žumer knjigi "oloa" lahko zaišemo nekaj D relacij ki oezujejo nekaere rojice D funkcij: u du c d d V "oloa" sr h dh c d d "oloa" sr cv s ds d d "oloa" sr c s ds d d "oloa" sr u du c d cv d h cv dh c d d

19 9 Naloga : zaiši energijsko enačbo s emerauro. A Začni z obliko energijske enačbe: F q u + u r in uošeaj ermodinamsko zezo u. Rezula: F q c + c r 49 B V zgornji energijski enačbi zamenja sec. noranjo energijo z sec. enalijo uošeaj zezo H. Rezula: F q c + c r 50 Naloga 3: zaiši enačbo za ransor enroije. Začni z obliko energijske enačbe: F q u + u r in uošeaj ermodinamsko zezo med s u. Rezula: F q s + s r 5

20 Naloga 4: Izračunaj sremembo enroije in emeraure ri reakanju ode s emerauro 0 o C skozi 00 m dolgo gladko ce s remerom 0 cm in hirosjo oka m/s Glej naloge 73 a če cei ni renja: s 0 0 b uošeaj renje ode z iskoznosjo 0.00 Pa.s. D Rezulai naloge 7: Re =00000 f w =0.08 F r =90 N/m 3 iz ransorne enačbe za enroijo iz naloge 3 sledi F s r =0.03 J/kg.K. Iz ransorne enačbe za emerauro nalogi in iz gibalne enačbe a sledi: c Fr er Fr Fr c =0.00 K drugi člen je zanemarlji - rosorninska razeznos ode je ri 0 o C ~0-6 /K 0

21 Naloga 5: lačnik Volumen lačnika JE Krško je 8 m3 moč grelce lačnika je MW. V lačniku je med normalnim obraoanjem elekrarne 60% kaljeine in 40% are. Kaljeina in ara lačniku sa ranoesju ri emerauri nasičenja ki usreza laku 5.5 MPa. Za minuo se rižge za 0.5 MW grelce ooljenih kaljeino. Za koliko se sremenia lak in emeraura lačniku? Obranaaj lačnik ko idealno olono izoliran. udi med segreanjem redosai olono ranoesje med fazama. Pra ako redosai da ni reoka med lačnikom in rimarnim sisemom. Ker gre za majhne sremembe laka in emeraure lineariziraj enačbe okoli začenega sanja. Del arnih abel - kriulja nasičenja: K Pa g kg/m 3 f kg/m 3 u g kj/kg u f kj/kg Linearizirane Eulerjee enačbe za osodo brez gibalne enačbe in ransornih členo koninuieni in energijski enačbi: 0 u P / grelci V lač ker imamo oraka s osodo kaeri sa de fazi ločimo lasnosi are in kaljeine in uedemo olumski delež are : g f 0 gu g f u f Pgrelci / Vlač d g Ker je sisem es čas nasičenju lahko zaišemo dug duk ug u f d d sa sa d f g f d d kjer indeks sa omeni da gre za sremembe odode zdolž kriulje nasičenja sauraion. Vse zgornje odode aroksimiramo s omočjo arnih abel. Iz koninuiene enačbe izrazimo ga skuaj z rednosmi ododo goso in secifičnih noranjih energij saimo energijsko enačbo in dobimo oras laka 0.7 bar er oras emeraure lačniku 0.4 K. sa sa

22 Naloga 6: urbina - Bernoullijea enačba. V urbino JE Krško soa 090 kg/s are z enalijo 775 kj/kg. Primerjaj kineično energijo are aroodu resek arooda 0.67 m in gosoa are 3.5 kg/m3 s kineično energijo ode ki soa urbino hidroelekrarne s odobno elekrično močjo: ajano-šušenskaja - reok 360 m3/s adec 94 m dejanska moč 650 MW. P hidro = 700 MW dejanska elekrična moč 650 MW P ara_wk_jek = 0.5 MW! Za ečjo moč moramo aro eksandirai - osešii! Naloga 6a urbina - eksanzija are: Kolikšna bi bila o Bernoullijei enačbi maksimalna mehanska moč kineična energija ki jo lahko dobi ara JEK če ara urbini ne bi kondenzirala? Enalija are kondenzaorju 30 o C je 556 kj/kg? P mehanska = h in -h ou *masni ok= 40 MW. Ker nekaj % are kondenzira že urbini je končna enalija mešanice hladne are in kondenzirane kaljeine recej manjša - orečno 00 kj/kg.

23 Naloga 6b: Pregreanje are med isoko in nizkolačno urbino. Na oenosaljen modelu urbin JEK lahko okažemo razliko med krožnim rocesom brez regreanja are in z regreanjem med isokolačno in nizkolačno urbino. Podaki o enalijah nalogi so reisani iz arnosnega oročila JEK NEK UAR slika a Brez regreanja are. Na sou urbino imamo masni ok are Φ M = 090 kg/s s secifično enalijo h =775 kj/kg =6.3 MPa =78 C - enaliji je uošean udi 0.5% masni delež kaljeine. Na izsou iz isokolačne urbine ima zmes are in kaljic secifično enalijo h =59 kj/kg =.0 MPa =79. C. Iz zmesi odsranimo 3% masni delež kaljeine za o ni oreben ložek energije in dobimo aro s secifično enalijo h 3 =755 kj/kg =.0 MPa =79. C ki jo eljemo na nizkolačno urbino. am ara eksandira in ima na izhodu iz nizkolačne urbine secifično enalijo h 4 =33 kj/kg =5000 Pa =33. C - ej ari je recejšen delež kaljic. Izračunaj mehansko moč isoko in nizkolačne urbine. P V = Φ M * h h = 79 MW P N = 087 * Φ M * h 3 - h 4 = 40 MW JE Krško sa razara nizkolačni urbini de - saka ima ribližno oloico e moči. kuna moč urbin brez mesnega regreanja are: P V + P N = 68 MW. b Pregreanje are. Izračunaj moč isih urbin če red soom isokolačno urbino odzamemo 0% are in jo uorabimo za regreanje are na izhodu iz isokolačne urbine. Predosai 00% izkorisek regrealnika are. Ko mešanica are in kaljic ride iz isokolačne urbine se najrej izloči 3% masni delež kaljeine aro s h 3 =755 kj/kg =.0 MPa =79. C a se regreje z 0% roče are =78 C. 3

24 P V = 09 * Φ M * h h = 5 MW P N = 0.9 * 0.87* Φ M * h h 4 Izračunai je orebno še h - secifično enalijo are o regreanju: Masni ok roče are Φ MP = 09 kg/s 0% odzee are iz uarjalnika izmenjealniku oloe kondenzira ri emerauri 78 C in laku 6. MPa. Iz arnih abel razberemo da je izarilna enalija razlika secifičnih enalij are in kaljeine ri em laku: h iz = 775 kj/kg - 5 kj/kg = 550 kj/kg. a izarilna enalija ri konsannem laku segreje hladno aro 79. C ki rihaja iz isokolačne urbine. elja: Φ MP * h iz = 09 * 087 * Φ M * h - h 3 0% * 090 kg/s * 550 kj/kg = 90% * 87% * 090 kg/s * h kj/kg h = 953 kj/kg ri =~ MPa =56 C - a ara je regrea - e emeraure se iz arnih abel ki oisujejo samo sanje nasičenja ne dobi orebne so oolne arne abele Od od sledi P N = 53 MW. kuna moč urbin s regreanjem are je P V +P N = 783 MW. Dejanska moč seh urbin je 77 MW saj izmenjaa oloe regrealniku are ne oeka s 00% izkoriskom. udi del are ki se orabi za regreanje naajalne ode uarjalnika nalogi ni uošean. 4

25 Naloga 6c Regeneraino greje naajalne ode uarjalnika. Na oenosaljen modelu sekundarnega kroga JEK lahko okažemo razliko med krožnim rocesom brez regenerainega greja naajalne ode uarjalnika in z regenerainim grejem. Na regreanje are ej nalogi ozabimo in isokolačno in obe nizkolačni urbini obranaamo ko eno samo. Podake o enalijah reberemo iz arnosnega oročila JEK NEK UAR slika a Brez regenerainega greja Pred soom uarjalnik je masni reok naajalne ode uarjalnika Φ M = 090kg/s secifična enalija ode h IN = 39 kj/kg emeraura = 33 C in lak = 6 MPa. Uarjalnika delujea s skuno močjo P UP = 000 MW. Kolikšna je secifična enalija h mešanice are in kaljeine na izhodu iz uarjalnika? P UP = Φ M * Δh = Φ M * h h IN h = 990 kj/kg Kolikšen je delež suhe are in kaljic? - * h f + * h g = P UP / Φ M Iz arnih abel reberemo secifični enaliji are h g =780 kj/kg in kaljeine h f =4 kj/kg ri znanem laku nasičenja 6. MPa uarjalnik oloo doaja ri konsannem laku. Od od sledi masni delež are na izhodu = 049 Poloica 5% masnega reoka je izgubljena saj je kaljeinasem sanju in ne orai korisnega dela urbini. Kolikšna bi bila mehanska moč urbine P UR če bi olo kaljeino odeljali kondenzaor in jo am ohladili kar seeda ne naredi noben inženir ali fizik? 5

26 ecifično enalijo are na izhodu iz urbine reberemo iz arnosnega oročila JEK NEK UAR slika 0.-8: h = 33 kj/kg za secifično enalijo are ki soa urbino zamemo rednos iz arnih abel 780 kj/kg : P UR = * Φ M * h g h = 40 MW Moč kondenzaorja: P KON = * Φ M * h h IN + - * Φ M * h K h IN = 770 MW Majhna moč na urbini in elika na kondenzaorju. Pridelali smo 0 MW razlike med soo moči urbine in kondenzaorja rimerjai z močjo uarjalnika. Izognili bi se ji z bolj naančnim odčiaanjem arnih abel. b Z regenerainim grejem Če na izhodu iz uarjalnika masni delež ole kaljeine ločimo od are in ga brez ohlajanja omešamo s hladno odo ki ride iz urbine in kondenzaorja se roces biseno izboljša. Na sou oba uarjalnika je masni ok naajalne ode Φ M = 090kg/s. Uarjalnika odi oečaa enalijo za P UP / Φ M = 000 MW/090kg/s = 835 kj/kg. Na izsou iz uarjalnika imamo mešanico kaljeine in are ri =78 o C. Kakšen je delež roče kaljeine ki jo roizede uarjalnik in jo seeda brez ohlajanja rimešamo hladni kaljeini iz kondenzaorja? Enalija na izhodu iz uarjalnika: h UP = h g + - h f Pri =78 0 C abelah oziroma iz rejšnje naloge reišemo h g =780 kj/kg in kaljeine h f =4 kj/kg. Enalija naajalne ode uarjalnika: h NAP = h + - h f omešali smo kondenzirano aro iz uarjalnika z enalijo h =39 kj/kg =33 o C in olo kaljeino z izhoda uarjalnika. 6

27 h UP - h NAP = P UP / Φ M od od sledi masni delež are na izhodu iz uarjalnike =0.695 er moč urbine kaeri se enalija are zmanjša P UR = * Φ M * h g h = 340 MW Moč kondenzaorja: P KON = * Φ M * h h 3 = 660 MW Poeča se moč urbine in zmanjša moč kondenzaorja. Regeneraino greje naajalne ode omeni zbiranje are z elikim deležem kaljic med dema od soenj isokolačne urbine in med širimi od 0 soenj nizkolačne urbine in uorabo e ekočine za regreanje naajalne ode. Za razliko od oenosaie ej nalogi kjer smo olo odo celoi rimešali hladni odi iz kondenzaorja se elekrarni del oloe med obema kaljeinama izmenja izmenjealcih oloe in brez dejanskega mešanja. 7

28 Lieraura: Kuščer Žumer oloa DMFA 987 ekačnik uma Energeski sroji in narae Unierza Ljubljani Fakulea za srojnišo 005 h://lab.fs.uni-lj.si/kes/le/eroji/en_skria.df olona reodnos UO : ORNL/M-000/35 h:// Preodnos Zr: h://bibliohek.fzk.de/zb/beriche/fzka6739.df 8