«Ταλάντωση» με σταθερή τριβή ολίσθησης, ολικός χρόνος και ολικό διάστημα κίνησης.

Transcript

1 «Ταλάτωση» με σταθερή τριβή ολίσθησης, ολικός χρόος και ολικό διάστημα κίησης. Πάω σε οριζότιο δάπεδο υπάρχει έα σώμα Σ μάζας m = Kg που είαι δεμέο στο άκρο ιδαικού ελατηρίου σταθεράς K =N / m και ηρεμεί στη θέση που αυτό έχει το φυσικό του μήκος. To σώμα Σ παρουσιάζει με το δάπεδο συτελεστή τριβής ολίσθησης μ =,. Απομακρύουμε το σώμα από τη αρχική θέση ισορροπίας του κατά =,m και το αφήουμε ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα. α)να υπολογίστε τη ελάχιστη εέργεια που δαπαήθηκε για τη αωτέρω μεταφορά. Το σώμα Σ εκτελεί μια παλιδρομική κίηση με διαδοχικούς στιγμιαίους μηδεισμούς της ταχύτητας, μέχρι που α σταματήσει οριστικά. β) Εξηγείστε ότι μεταξύ δύο διαδοχικώ στιγμιαίω μηδεισμώ της ταχύτητας έχουμε μείωση κατά τη ίδια σταθερή ποσότητα για, β.) τη παραμόρφωση του ελατηρίου, β.) το διαυόμεο διάστημα. γ) Για τη κίηση του σώματος μεταξύ δύο διαδοχικώ στιγμιαίω μηδεισμώ της ταχύτητας έχουμε για τη εέργεια ελαστικότητας: γ.) μείωση κατά ίσα ποσά, γ.) μείωση κατά ίσα ποσοστά, γ.) μείωση με σταθερή τη μέση τιμή της μεταβολής της αά μοάδα μήκους. Επιλέξτε με δικαιολόγηση τη σωστή πρόταση. δ)να υπολογίστε το συολικό διάστημα που διαύει το σώμα μέχρι α σταματήσει οριστικά. ε) Εξηγείστε ότι η κίηση του σώματος μεταξύ δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας είαι τμήμα μισής απλής αρμοικής ταλάτωσης. Κάθε μία από τις «μισές» αυτές ταλατώσεις έχει σταθερή ημιπερίοδο η οποία και α υπολογισθεί. στ) Υπολογίστε τα διαδοχικά πλάτη και εξηγείστε ότι για κάθε ημιπερίοδο το πλάτος της ατίστοιχης ταλάτωσης μειώεται κατά σταθερό ποσό. ζ) Υπολογίστε τη μείωση της εέργειας ταλάτωσης αά ημιπερίοδο εξετάζοτας α η εέργεια αυτή μειώεται κατά ίσα ποσά. η) Να βρείτε το συολικό χρόο μέχρι το μηδεισμό της ταχύτητας. θ) Α τώρα απομακρύουμε το σώμα έτσι ώστε το ελατήριο α έχει επιμήκυση =,m και τη χροική στιγμή t = το βάλλουμε με θετική Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα Σ Σ Κ

2 ταχύτητα υ= m / s, ώστε το ελατήριο α συσπειρώεται, α βρείτε το συολικό διάστημα και το το χρόο μέχρι η ταχύτητα του σώματος α μηδεισθεί για δεύτερη φορά. εχθείτε: το σώμα ως υλικό σημείο, ότι ο συτελεστής οριακής τριβής είαι ίσος με το συτελεστή τριβής ολίσθησης μ στ = μ =, και - g = ms. Απάτηση: α) Τριβή ολίσθησης Τ = μν = μmg Τ =,.Kg.m / s Τ = N E προσ = K + WT N E προσ = (,m) + -N,m m E = J. προσ Τ N F ελ mg Φ.Μ β.) Ότα αφήουμε ελεύθερο το σώμα Σ αυτό μετατοπίζεται έως ότου η ταχύτητά του μηδείζεται στιγμιαία. Μετά, εφόσο η δύαμη του ελατηρίου είαι μεγαλύτερη από τη στατική τριβή, η κίηση συεχίζεται μέχρι το έο στιγμιαίο μηδεισμό της ταχύτητας. Για τη πρώτη μετατόπιση του σώματος Σ από τη θέση που το ελατήριο έχει παραμόρφωση έως τη θέση που το ελατήριο έχει παραμόρφωση γράφουμε Θ.Μ.Κ.Ε Κ =W F +W ελ T - = Κ - Κ -T( + ) Κ( - )( + )= T( + ) T - = - =,m. Όποια τέτοια μετατόπιση και α πάρουμε Κ έχουμε σταθερή μείωση της παραμόρφωσης του ελατηρίου κατά,m. = Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα

3 T η μετατόπιση : - = Κ T η μετατόπιση : - = Κ T η μετατόπιση : - = Κ Με πρόσθεση κατά μέλη παίρουμε:... T η μετατόπιση : - - = Κ T - = = Κ T - =,-., (S.I) με Κ. Η σχέση αυτή δίει τη παραμόρφωση του ελατηρίου στο τέλος της -ιοστής μετατόπισης. η μετατόπιση: Από =,m έως =,m η μετατόπιση: Από =,m έως =,m η μετατόπιση: Από =,m έως =,m η μετατόπιση: Από =,m έως =,m και η μετατόπιση: Από,m έως = m. Παρατηρούμε ότι μεταξύ δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας η παραμόρφωση του ελατηρίου μειώεται κατά τη ίδια ποσότητα,m. Άλλωστε: - - =(, -.,)-(, -( -).,) - - =, m =σταθ. β.) η μετατόπιση: μήκος S= + =,9m η μετατόπιση: μήκος S = + =,7m η μετατόπιση: μήκος S = + =,m η μετατόπιση: μήκος S = + =,m η μετατόπιση: μήκος S = + =,m Παρατηρούμε ότι η μείωση του μήκους της τροχιάς για δύο διαδοχικές μετατοπίσεις είαι S =,m Γεικά το μήκος -ιοστής τροχιάς είαι: S = + - =(, -.,)+(, -( -).,) S = -( -)., (S.I) Η μείωση του μήκους της τροχιάς για δύο διαδοχικές μετατοπίσεις θα είαι - S = S - S = - [( -)-]., - -( -)., S = S- - S =,m =σταθ. Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα

4 γ) Για μια ιοστή μετατόπιση ο μέσος ρυθμός μείωσης της εέργειας ελαστικότητας αά μοάδα μετατόπισης είαι: E Κ - Κ, E, Κ( - - S - + ) S Eελ, J = =σταθερό. Άρα η γ- πρόταση είαι σωστή. S m E, (,) S γ-)η μείωση της εέργειας ελαστικότητας για κάθε μετατόπιση είαι E S δηλαδή αάλογη του μήκους της μετατόπισης μεταξύ δύο ελ, διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας, έτσι: η μετατόπιση: E ελ, = S =.,9 =,J η μετατόπιση: E ελ, = S =.,7 =,J η μετατόπιση: E ελ, = S =.,=,J η μετατόπιση: E ελ, = S =.,=,J η μετατόπιση: E ελ, = S =.,=,J Παρατηρούμε ότι δε έχουμε σταθερή μείωση της εέργειας ελαστικότητας για κάθε μετατόπιση μεταξύ δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας. Άρα η γ- πρόταση είαι λαθασμέη. γ-)το ποσοστό μείωσης για κάθε μετατόπιση είαι Κ - Κ % %. Και εδώ α βρούμε τα διαδοχικά ποσοστά Κ μείωσης αυτά δε έχου τη ίδια τιμή και η γ- πρόταση είαι λαθασμέη. δ) Το σώμα θα σταματήσει σε εκείο το στιγμιαίο μηδεισμό της ταχύτητας, που η δύαμη του ελατηρίου είαι μικρότερη από τη μέγιστη στατική τριβή. F Τ K Τστ,max. (, -.,), και επειδή η ελ, στ,max πρώτη τιμή του που Fελ, Τστ,max είαι για =, όπου =, -.,= δηλαδή σταματάει στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, διαγράφοτας πέτε διαδρομές μεταξύ δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας. S ολ = S +S +S +S +S +S S ολ =(,9+,7+,+,+,)m S ολ =,m Παρατηρείστε, ότι πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με λόγο -,m. Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα

5 ε)α το σώμα εκτελούσε απλή αρμοική ταλάτωση αυτή θα είχε κέτρο ταλάτωσης τη θέση όπου ΣF x = T = K =,m T = K = cm. Για κίηση προς τα δεξιά η τριβή έχει κατεύθυση προς τα αριστερά και το κέτρο της ταλάτωσης θα είαι = cm αριστερά του φυσικού μήκους. Ατίθετα για κίηση του σώματος προς τα αριστερά το κέτρο της ταλάτωσης θα είαι = cmδεξιά του φυσικού μήκους. Ας θεωρήσουμε μια κίηση προς τα δεξιά και το σώμα σε τυχαία συσπείρωση του ελατηρίου. ΣF x =T +Fελ ΣF x = -T - F ελ ΣF x = -T - K και επειδήt = K, x - παίρουμε ΣF = -Κ - K(x - ) ΣF = -Kx άρα η κίηση αυτή μεταξύ x x δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας είαι μισή περίοδος απλής αρμοική ταλάτωσης με σταθερά επααφοράς D K D=N / m και κυκλική συχότητα D = mω ω=rad / s. Κάθε τέτοια μισή ταλάτωση T π διαρκεί για μισή περίοδο που είαι t = = t =,s. ω Όλα τα αωτέρω ισχύου για κάθε κίηση μεταξύ δύο διαδοχικώ μηδεισμώ της ταχύτητας. στ) Το πλάτος της «μισής» αυτής ταλάτωσης για τη ιοστή διαδρομή θα - + S -( -).,,- είαι = = = = (S.I) με - ή = cm η -. ταλάτωση: =, = cm = cm η -. ταλάτωση: =, = cm = cm η -. ταλάτωση: =, = cm = cm η -. ταλάτωση: =, = cm = cm η -. ταλάτωση: =, = cm = cm x x Τ N mg Θ.Ι Φ.Μ F ελ Τ N x mg Fελ x x(cm) Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα

6 Παρατηρείστε για κάθε διαδρομή το πλάτος της ταλάτωσης μειώεται κατά το ίδιο ποσό Α=cm ( cm) Η πρώτη μισή ταλάτωση: x x( cm) = cm = cm ( cm) Η δεύτερη μισή ταλάτωση: x x( cm) = cm = cm ( cm) Η τρίτη μισή ταλάτωση: κ.λ.π x = cm = cm x( cm) ζ) Εέργεια ταλάτωσης: η ταλάτωση: E = D E = (,) E =,J η ταλάτωση: E = D E = (,) E = 6,J η ταλάτωση: E = D E = (,) E =,J η ταλάτωση: E = D E = (,) E =,J η ταλάτωση: E = D E = (,) E =,J Παρατηρούμε ότι δε έχουμε μείωση της εέργειας κατά ίσα ποσά αά ημιπερίοδο. η) Ο συολικός χρόος κίησης ισούται με το χρόο πέτε όμοιω ημιπεριόδω t ολ = t t ολ =.,s t ολ =,7s. Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα 6

7 θ) Το σώμα μέχρι το πρώτο μηδεισμό της ταχύτητας θα εκτελέσει τμήμα απλής αρμοικής ταλάτωσης κιούμεο προς τα δεξιά με κέτρο,m αριστερά του φυσικού μήκους του ελατηρίου, διότι εκεί είαι ΣFx= T = K Μόλις αρχίζει η ταλάτωση, ο ταλατωτής έχει απομάκρυση x = -(,m -,m)= -,m και ταχύτητα ταλάτωσης υ=+ m / s. Το πλάτος της ταλάτωσης προσδιορίζεται εεργειακά, DK mυ Dx + mυ = D x =,m. K Η εξίσωση ταλάτωσης από τη t = μέχρι το πρώτο μηδεισμό της ταχύτητας είαι x = ημ(ωt +φ ) x =,ημ(t +φ ) και επειδή τη t =, π π έχουμε x = -,m και υ > βρίσκουμε φ = rad, άρα x =,ημ(t + ) 6 6 (S.I). Ο χρόος κίησης από τη στιγμή t = μέχρι το πρώτο μηδεισμό της ταχύτητας βρίσκεται α στη αωτέρω εξίσωση θέσουμε x =+,m, οπότε π π π ημ(t + )= + t + = kπ+ και για πρώτη φορά κ= 6 6 π π π t = - = 6 π t =. Μετά το πρώτο μηδεισμό της ταχύτητας θα εκτελέσει έο τμήμα απλής αρμοικής ταλάτωσης κιούμεο προς τα αριστερά με κέτρο,m δεξιά τώρα του φυσικού μήκους του ελατηρίου, διότι εκεί είαι ΣFx= T = K. Μόλις αρχίζει η ταλάτωση, ο ταλατωτής έχει παραμόρφωση =,m, απομάκρυση από τη έο κέτρο ταλάτωσης x = +(,m -,m)= +,m και ταχύτητα ταλάτωσης υ=. Προφαώς τώρα η θέση αυτή είαι η ακραία θέση και συεπώς το πλάτος της ταλάτωσης είαι =,m. Ο x -, =,m =,m Φ.M Θ.I +, χρόος τώρα μέχρι το μηδεισμό της ταχύτητας είαι μισή περίοδος T π t = = ω π t = s π t = s. x = -,m υ= x -, =,m υ= +, =,m =,m Φ.M Θ.I -, =,m υ= =,m +, xm ( ) xm ( ) Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα 7

8 Χρόος κίησης: t = t +t t = π s. Συολικό διάστημα κίησης : S =,+,+,. S ολ =,m. Βασίλης Τσούης Φυσικός mail@btsounis.gr Σελίδα 8