ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ"

Άδωνις Κρεστενίτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ταλάντωση με την βοήθεια σταθερής δύναμης. 1. Σε σώμα μάζας m = kg ου ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθερά k = N/m, όως στο σχήμα ασκούμε σταθερή δύναμη μέτρου 4 N έτσι ώστε το ελατήριο να ειμηκύνεται, μέχρι την θέση x 1 =,1 m και μετά η σταθερή δύναμη καταργείται. Ως χρονική στιγμή t =, λαμβάνουμε την στιγμή κατάργησης της δύναμης. Να βρείτε: α. Το λάτος της ταλάντωσης β. την χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης θεωρώντας θετική τη φορά της δύναμης γ. την ταχύτητα της στιγμή κατάργησης της δύναμης δ. το λόγο του έργου της δύναμης ρος το έργο της δύναμης του ελατηρίου. Λύση α. Η δύναμη ροσφέρει στο σύστημα μέσω του έργου της ενέργεια, η οοία είναι και η ενέργεια της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει μετά την ελ (+) κατάργηση της το σύστημα. Άρα: x 1 1 x1 4,1 x1 DA x1 A = A A =,m D β. Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης για οριζόντιο ελατήριο ταυτίζεται με την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή ου το σώμα βρίσκεται στη θέση x 1 =,1 m, οότε έχουμε αρχική φάση. Για t = έχουμε: x x A x x,1 A, 5 5 αοδεκτή λύση είναι αυτή ου για t = θα μας δώσει υ >. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 1

2 5 άρα φ = Για την ταλάντωση αυτή ισχύει k D k m k ω= ω = 1 m Άρα x A ( t ) x =,ημ(1t + ) (S.I.) γ. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: ( t ) έχουμε την ταχύτητα τη στιγμή έναρξης της ταλάντωσης. =συν(1t + ) (S.I.) οότε αν θέσουμε t = t = : 3 υ = συν( ) υ = m υ = 3. Το ερώτημα αυτό θα μορούσε να ααντηθεί και με εφαρμογή της Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση την t = ή ακόμη και με το Θ.Μ.Κ.Ε. αό την στιγμή εφαρμογής της δύναμης μέχρι την κατάργηση της. δ. Το έργο της δύναμης είναι: x1 = 4J ενώ το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι: 1 1 U U U kx1, 1 = 1J άρα Σημείωση: Οι ενεργειακές μεταβολές ου συνέβησαν εδώ είναι οι εξής: Η δύναμη ροσέφερε ενέργεια μέσω του έργου της στο σύστημα ελατηρίου μάζας αό τα οοία τα 3 J έχουν μετατραεί σε κινητική ενέργεια και 1 J μέσω της δύναμης του ελατηρίου έχουν μετατραεί σε ενέργεια αραμόρφωσης του ελατηρίου. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U.

3 Ταλάντωση με την βοήθεια σταθερής δύναμης ου καταργείται στο άκρο.. Σε σώμα μάζας m = 1 kg ου ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθερά k = 1 N/m, όως στο σχήμα ασκούμε σταθερή δύναμη μέτρου 1 N, έτσι ώστε το ελατήριο να ειμηκύνεται, μέχρι το σώμα να ακινητοοιηθεί στιγμιαία και μετά η σταθερή δύναμη καταργείται. Ως χρονική στιγμή t =, λαμβάνουμε την στιγμή κατάργησης της δύναμης. Να βρείτε: α. Το λάτος της ταλάντωσης β. την χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης θεωρώντας θετική τη φορά της δύναμης γ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής όταν ερνά αό τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. δ. τη χρονική στιγμή ου ερνά για ρώτη φορά αό τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Λύση α. Η δύναμη ροσφέρει στο σύστημα μέσω του έργου της ενέργεια, η οοία είναι και η ενέργεια της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει μετά την κατάργηση της το σύστημα, αλλά εειδή ασκείται μέχρι να ακινητοοιηθεί το σώμα σημαίνει ότι φτάνει ως το άκρο της ταλάντωσης ου εκτελέσει μετά την κατάργηση της δύναμης το σύστημα. Άρα: 1 1 DA A A =,m. D 1 ελ A (+) Στο ίδιο αοτέλεσμα μορούμε να καταλήξουμε και με εφαρμογή του Θ.Μ.Κ.Ε. αλλά με λίγες αραάνω ράξεις. 1 1 w A ( k( ) k ) mga A k ka k A k mga A ka k A mga (1) Στη Θ.Ι ισχύει: mg k mg () και τελικά αό τις δύο σχέσεις () 1 1 (1) A ka mga mga A ka A k A =,m. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 3

4 β. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή ου το σώμα βρίσκεται στη θέση x = +Α, οότε έχουμε αρχική φάση. Για t = έχουμε: x A 1 φ =. Για την ταλάντωση αυτή ισχύει k D k m k m ω = 1 Άρα x A ( t ) x =,ημ(1t + ) (S.I.) γ. Στη έχουμε x = Δl αφού θετική είναι η φορά ρος τα κάτω. Αό τη () mg k,1m Άρα dp Dx 1 (,1) dp kg m = 1 Εειδή η. του ελατηρίου είναι μία ειδική θέση για την ταλάντωση μορούμε αυτό το ερώτημα να το ααντήσουμε διαφορετικά. dp w dp mg dp kg m = 1 δ. Αό τη χρονοεξίσωση αραάνω θέτουμε 1 x, (1t ),1 (1t ) 1t 1t 1 4 t t άρα για ρώτη φορά t 4 t = 15 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 4

5 Ταλάντωση με την βοήθεια δύναμης σταθερής κατεύθυνσης μεταβαλλόμενου μέτρου. 3. Σε σώμα μάζας m = 1 kg ου ηρεμεί σε λείο οριζόντιο είεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθερά k = 1 N/m, όως στο σχήμα ασκούμε δύναμη με μέτρο ου δίνεται αό τη σχέση 3 1x (S.I.) έτσι ώστε το ελατήριο να ειμηκύνεται, μέχρι την θέση x 1 =, m και μετά η δύναμη καταργείται. Ως χρονική στιγμή t =, λαμβάνουμε την στιγμή κατάργησης της δύναμης. α. Να βρεθεί το λάτος της ταλάντωσης του σώματος μετά την κατάργηση της δύναμης. β. Να γραφεί η εξίσωση της αομάκρυνσης μετά την κατάργηση της δύναμης, θεωρώντας ως θετική την φορά της δύναμης. γ. να βρείτε το χρόνο ου χρειάστηκε για να ξαναεράσει το σώμα αό την θέση x 1 =, m. δ. να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας καθώς το σώμα ξαναερνά αό τη θέση κατάργησης της δύναμης. Λύση α. Η δύναμη ροσφέρει στο σύστημα μέσω του έργου της ενέργεια, η οοία είναι και η ενέργεια της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει μετά την ελ (+) κατάργηση της το σύστημα. Εειδή το μέτρο της μεταβάλλεται το έργο x 1 της υολογίζεται με εμβαδομέτρηση, αό τη θέση x = έως τη θέση x 1 =, m. Έχουμε: για x = = 3 N και για x =, m = 5 N οότε σχηματίζεται το διλανό τραέζιο. (N) 5 Άρα: 3 5 εμβ.=, E = 8J και 3 1 E E ka A k A =,4m, x (m) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 5

6 β. Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης για οριζόντιο ελατήριο ταυτίζεται με την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή ου το σώμα βρίσκεται στη θέση x =, m, οότε έχουμε αρχική φάση. x x A x x, A, αοδεκτή λύση είναι αυτή ου για t = θα μας δώσει υ >. 5 άρα φ = Για την ταλάντωση αυτή ισχύει k D k m k ω= ω = 1 m Άρα x A ( t ) x =,4ημ(1t + ) (S.I.) γ. Για να βρούμε την χρονική στιγμή ου το σώμα ξαναερνά αό τη θέση x 1 =, m, θέτουμε την τιμή αυτή στην εξίσωση ου βρήκαμε αραάνω και ροκύτει: 1 1t + t x =,4ημ(1t + ), =,4ημ(1t + ) t + t 4 Άρα για ρώτη φορά μετά την t = έχουμε t 1 t = 15 δ. Για το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: dk dx dk Dx 1 1 (1) Για να βρούμε την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας στην θέση x 1 =, m θέτουμε στην εξίσωση της ταχύτητας 4συν(1t + ) (S.I.) την χρονική στιγμή t 1 15 και ροκύτει: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U.

7 5 4συν(1 + ) = 4συν( + ) = 4συν( ) 15 3 m υ = 3 και αό την (1) έχουμε: dk 1, ( 3) dk J = 4 3 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 7

8 Ταλάντωση με την βοήθεια δύναμης σταθερής κατεύθυνσης μεταβαλλόμενου μέτρου ου ροκαλεί σταθερή ειτάχυνση. 4. Σε σώμα μάζας m = kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο είεδο, με γωνία κλίσης φ = 3 ο δεμένο στο ένα άκρο του ελατηρίου σταθεράς k = N/m, όως στο σχήμα (το άλλο άκρο είναι ακλόνητα δεμένο στην κορυφή του κεκλιμένου ειέδου). Ασκούμε μέσω νήματος, δύναμη, αράλληλη με το κεκλιμένο είεδο και φορά ρος τα φ ( κάτω, με αοτέλεσμα το σώμα να κινείται με σταθερή ειτάχυνση, μέτρου 7,5 m/. Το νήμα έχει όριο θραύσης θρ = 5N. Η δύναμη ασκείται μέχρι να σάσει το νήμα. Ως χρονική στιγμή t =, λαμβάνουμε την στιγμή κατάργησης της δύναμης. α. να βρείτε την εξίσωση της δύναμης και την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας τη στιγμή ου σάει το νήμα. β. να βρείτε το λάτος της ταλάντωσης γ. να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης αό τη θέση ισορροίας θεωρώντας θετική την φορά ρος τα κάτω. Δίνεται g = 1 m/. Λύση α. Το σώμα ισορροεί αρχικά και ισχύει Εειδή έχουμε σταθερή ειτάχυνση ισχύει: w x k mg (1). ελ Η δύναμη ροκαλεί στο σώμα σταθερή ειτάχυνση οότε ισχύει: Δl w x m wx m k( x) mg m (1) φ ( kx m kx m = x +15 (S.I.). Το νήμα σάει όταν x 15 5 x =,5m ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 8

9 β. Η δύναμη ροσφέρει στο σύστημα μέσω του έργου της ενέργεια, η οοία είναι και η ενέργεια της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει μετά την κατάργηση της το σύστημα. (N) 5 15 Έχουμε: για x = = 15 N και για x =,5 = 5 Ν οότε σχηματίζεται το διλανό τραέζιο.,5 x (m) Άρα: 15 5 εμβ.=, 5 E = 1J, και 1 E DA A D A =,1m. γ. Η ταλάντωση μας αρχίζει τη στιγμή ου το σώμα βρίσκεται στη θέση x 1 =,5 m, οότε έχουμε αρχική φάση. x1 1 Για t = έχουμε: x x1 A x1 A 5 5 αοδεκτή λύση είναι αυτή ου για t = θα μας δώσει υ >. 5 άρα φ = Για την ταλάντωση αυτή ισχύει k D k m k ω= ω = 1 m Άρα x A ( t ) x =,1ημ(1t + ) (S.I.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ , 9753.U. 9

Σχετικά έγγραφα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο