ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/ Διανυσματικοί χώροι

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/009-0 Διανυσματικοί χώροι (i) Ψευδής, αφού (0,), ενώ ( ) (0,) = (0, ) (ii) Ψευδής, αφού για u= -a το σύνοο { 0,b,c} δεν είναι βάση του (iii) Ψευδής,, αφού, για παράδειγμα, στον τα ( a, a), a=,, είναι γραμμικώς εξαρτημένα και το πήθος τους είναι μεγαύτερο του n = (iv) Αηθής, σύμφωνα με το Λήμμα του Steinitz (v) Ψευδής, αφού έχει βάση το στοιχείο (,,), (γιατί;) (vi) Αηθής, αφού και οι δύο υπόχωροι έχουν ως βάση το σύνοο {(,,),(0,,)} (γιατί;), ή διαφορετικά, για x = y = (,,) A, ενώ για x =, y = 0 (,,) A (vii) Αηθής,αφού για x = 0, y = (,,) B, ενώ για x = y = (,,) B και dim B = (γιατί;) (viii) Αηθής, από θεωρία (Να εξηγήσετε γιατί) (ix) Ψευδής, αφού, αν A= {( aaa,, ) : a }, B= {( a, b,0) : a, b }, τότε dim A=,dim B=, ενώ δεν είναι A B (x) Αηθής, από θεωρία (Να εξηγήσετε γιατί) Η απάντηση είναι ναι για τoυς, B, Δ, Ε (γιατί;) Θεωρούμε το γραμμικό συνδυασμό rj( υ υj) = 0, r j Έχουμε j= r ( υ ) = 0 j i j j= rj( υ υ υ υj ) =0 j= r( ) υ + rυ + + rυ + rυ + r ( ) υ + + rυ + + ( rυ + rυ + r ( ) υ = 0 [ r( ) + r + + r ] υ + [ r + r ( ) + + r ] υ + [ r + r + + r ( )] υ = 0 Επειδή τα υ, υ,, υ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οι συντεεστές r, r,, r θα ικανοποιούν το ομογενές γραμμικό σύστημα

2 του οποίου ο πίνακας έχει ορίζουσα ( ) r + r + + r = 0 r + ( ) r + + r = 0 r + r + + ( ) r = 0 i i i = = (προσθέσαμε στην πρώτη γραμμή όες τις άες γραμμές) = ( i ) = ( i ) = 0 (αφαιρέσαμε τη πρώτη γραμμή από όες τις άες γραμμές) ( ) ( i ) = Άρα είναι D 0, οπότε το σύστημα έχει μόνο τη μηδενική ύση, αν,και μόνον αν, ισχύει i Ισοδύναμα, τα στοιχεία γραμμικώς ανεξάρτητα, αν, και μόνον αν, ισχύει i i υ υ, υ υ,, υ υ είναι To υποσύνοο του διανυσματικού χώρου V,, είναι υπόχωρος τουv, αν, και μόνον αν, ισχύουν () x, y x+ y () K, x x Αναγκαίο Αν το υποσύνοο είναι υπόχωρος του V, τότε από τις () και () προκύπτουν εύκοα όες οι συνεπαγωγές (i), (ii), (iii), (iv) Ικανό (i) Για x, y και = μ = x + y Για x, y, K, μ = 0 x

3 (ii)για =, x, y x+ y = x+ y Για =, x, y = x ( ) x+ x=0 Για K, x, y =0 x (iii)για = 0, x, y 0 x+ 0 y = 0 Για =, x, y x+ y Για K, x, y = 0 x+ 0 = x (iv)για = 0, x, y 0 x 0 y = 0 Για =, y, x= 0 x y = y Για =, x, y =, x, y x ( y) = x+ y Για K, y =0 x 5 To στοιχείο x = (6 +, +, +, + ), αν, και μόνον αν, υπάρχουν xyzw,,, τέτοια ώστε να ισχύει x(,,,) + y(7,5,5,5) + z(,,,) + w(,,,) = (6 +, +, +, + ) ή ισοδύναμα το σύστημα x+ 7y+ z+ w= 6+ x+ 5y+ z+ w = + x+ 5y+ z+ w = + x+ 5y+ z+ w = + είναι συμβιβαστό Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος γίνεται: γ γ γ 5 + γ γ 5 + γ γ γ γ γ γ 5 + γ γ 5 + γ γ γ 0 5 γ 0 5 γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 0γ γ γ 5γ Επομένως το σύστημα είναι συμβιβαστό, αν, και μόνον αν, είναι = 5 Για = 5 το σύστημα έχει απειρία ύσεων της μορφής

4 ( x, yzw,, ) = ( + c, c, + cc, ) οπότε το x δεν έχει μοναδική έκφραση ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του συνόου Α Στη συνέχεια θα βρούμε μία βάση του Kατά τα γνωστά έχουμε οπότε τα στοιχεία (,0,, ),(0,,,),(0,0,,), αποτεούν βάση του Τα στοιχεία της βάσης του με το στοιχείο (0,0,0,) του αποτεούν βάση του 6 Οι Α, Β είναι υπόχωροι του, ως σύνοα ύσεων ομογενών γραμμικών συστημάτων με αγνώστους Μία βάση του Α είναι το σύνοο: { (,0,0,0), (0,,0,-), ( 0,0,,-)} Μία βάση του Β είναι το σύνοο: { (,-,0,0), (0,0,,) } Έχουμε A B= {( x, y, z, w) : y+ z+ w= 0, x+ y = 0, z = w} = {( xyzw,,, ) : x= wy, = wz, = w} = {( w, w, w, w): w } = { w(,,,) : w }, οπότε μία βάση του A B είναι το σύνοο {(,,,)} Ο υπόχωρος A+ B παράγεται από την ένωση των δύο βάσεων των Α και Β, οπότε για την εύρεση μιας βάσης του Α + Β έχουμε:

5 οπότε τα στοιχεία {(,0,0,0),(0,,0, ),(0,0,, ),(0,0,0,)} αποτεούν μία βάση του Α + Β, αφού κατά τα γνωστά από τη θεωρία, παράγουν τον υπόχωρο Α + Β και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, ως στοιχεία κιμακωτής μορφής 7 (i) Εύκοα αποδεικνύουμε ότι το σύνοο είναι υπόχωρος του διάστασης με βάση το στοιχείο (a, b, c) Αντίστροφα, έστω ότι το είναι υπόχωρος του διάστασης Έστω ακόμα ότι το u = ( a, b, c) είναι βάση του Τότε το τυχόν στοιχείο του θα έχει τη μορφή ( xyz,, ) = t( abc,, ), t Άρα είναι = {( x, y, z): x= ta, y = tb, z = tc, t } Γεωμετρικά, το παριστάνει ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων (ii) Εργαζόμαστε ομοίως Γεωμετρικά, το παριστάνει επίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων 8(α) Έχουμε Α= {( xyzw,,, ) : x+ y= 0, x w= 0, y+ z+ w= 0} = {( xyzw,,, ): y= xw, = xz, = 0} = {( x, x,0, x) : x } = { x(,,0, ): x } = (,,0, ), δηαδή ο υπόχωρος Α είναι η γραμμική θήκη του στοιχείου (,, 0,), το οποίο και αποτεεί βάση του Α Για τον υπόχωρο Β μετατρέπουμε τα διανύσματα που τον παράγουν σε διανύσματα κιμακωτής μορφής 5 0 γ γ γ 6 6 γ γ γ γ γ+ γ γ γ γ 0 0 γ γ Άρα ο υπόχωρος Β έχει βάση τα στοιχεία του (,, 0,) και ( 0,,,)

6 6 Για να αποδείξουμε ότι Α Β, αρκεί να αποδείξουμε ότι κάθε στοιχείο της βάσης του α ανήκει και στον υπόχωρο Β Εδώ αυτό συμβαίνει, αφού το στοιχείο (,, 0,) ανήκει και στις δύο βάσεις (β) Οι βάσεις που έχουμε βρει στους υπόχωρους Α και Β πηρούν το ζητούμενο Για τη ζητούμενη βάση του συμπηρώνουμε τη βάση του Β με τα στοιχεία 0,0,,0 και 0,0,0,, οπότε έχουμε τη βάση του : ( ) ( ) (,, 0, ), ( 0,,, ), ( 0, 0,, 0 ), ( 0, 0, 0,) { } 9 Γνωρίζουμε ότι dim Pn = n+, ενώ το Β έχει n στοιχεία Άρα το σύνοο Β δεν μπορεί να είναι βάση του P n Το σύνοο Α έχει n+ στοιχεία πού εύκοα αποδεικνύουμε ότι είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, οπότε αποτεεί βάση του P n