Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία το w είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Α.. Για την τιμή του k που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα υπολογίστε τη διάσταση του ιδιοχώρου που περιέχει το w. ) Για να είναι το w ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση Aw = λw για κάποιο λ. Έχουμε λοιπόν: Aw = λw k λ = λ 3 λ k λ = + = + k = λ 0 0 Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε την ιδιοτιμή λ = 3 την οποία αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση και παίρνουμε k = ) Αφού η τιμή k = αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ = 3, ζητάμε το dimv(3) Για να υπολογίσουμε τη διάσταση του ιδιοχώρου V (3) αρκεί να βρούμε τη βαθμίδα του πίνακα A 3I την οποία στη συνέχεια θα αφαιρέσουμε από το πλήθος των στηλών. Είναι: 3 A 3I = 3 = Η απαλοιφή Gauss δίνει:

2 r r+ r r3 r3 r r3 r3+ r Επειδή έχουμε οδηγούς η τάξη του πίνακα A 3I είναι. Άρα dim V (3) = 3 = Άσκηση (Μονάδες ) Έστω ο πίνακας b+ a a 3c e+ d d 3f h+ g g 3i a b c A= d e f g h i, ο οποίος έχει det( A ) =. Υπολογίστε την ακόλουθη ορίζουσα: b+ a a 3c b+ a a c a b+ a c a b c a a c e+ d d 3f = 3 e+ d d f = 3 d e+ d f = 3 d e f 3 d d f = h+ g g 3i h+ g g i g h+ g i g h i g g i a b c a a c 3 d e f 6 d d f = 3( ) = 6 g h i g g i Άσκηση 3 (Μονάδες ± : Κάθε σωστή απάντηση: +0. μονάδες, Κάθε λανθασμένη απάντηση: -0. μονάδες) Να χαρακτηρίσετε ως «Σωστή» ή «Λάθος» τις ακόλουθες προτάσεις: ) Αν ένας τετράγωνος πίνακας έχει μία ιδιοτιμή ίση με το 0 τότε αυτός αντιστρέφεται. (Λ) ) Οι διαγώνιοι πίνακες αποτελούν - διανυσματικό υποχώρο του M ( ). (Σ) n

3 3) Ένας τετράγωνος πίνακας έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον κλιμακωτό πίνακα που προκύπτει από αυτόν μετά από απαλοιφή Gauss. (Λ) 4) Για τον γραμμικό μετασχηματισμό T : V W αν ισχύει ότι dimv dimw τότε αυτός είναι μονομορφισμός. (Λ) n m ) Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T :. Αν ισχύει ότι nullity( T ) = n m τότε ο Τ είναι μονομορφισμός. (Λ) 6) Οι πίνακες αναπαράστασης ενός ενδομορφισμού ως προς δύο διαφορετικές βάσεις είναι όμοιοι μεταξύ τους. (Σ) 0 7) Ο γραμμικός μετασχηματισμός που έχει πίνακα αναπαράστασης τον A = 0 προκαλεί στροφή προς τα δεξιά κατά 90 μοίρες. (Σ) 8) Το τελικό ανάπτυγμα (Leibniz) της ορίζουσας A 4 4 έχει 4 όρους. (Λ) 9) Στο τελικό ανάπτυγμα (Leibniz) της ορίζουσας A 4 4 ο όρος aa4a3a 34 έχει αρνητικό πρόσημο. (Σ) 0) Κάθε υποσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι επίσης γραμμικά εξαρτημένο σύνολο διανυσμάτων. (Λ) Άσκηση 4 (Μονάδες.) Έστω ο ενδομορφισμός T : με τύπο Txy (, ) = ( x yx, + 3 y) a) Δείξτε ότι το σύνολο = { v = (, 3), v = (, )} αποτελεί βάση του b) Nα υπολογιστεί ο πίνακας αναπαράστασης [ T ] c) Να υπολογιστεί ο πίνακας αλλαγής βάσης P > E d) Δείξτε πως από τον πίνακα [ T ] προκύπτει ο τύπος του μετασχηματισμού, όπου E η κανονική βάση του a) Η διάσταση του είναι γνωστή και ίση με και επειδή δίνονται διανύσματα του αρκεί να δείξουμε ότι αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα για να αποτελούν βάση του χώρου. Παρατηρούμε ότι το ένα διάνυσμα δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου, επομένως είναι γραμμικά ανεξάρτητα. b) Αρχικά Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος ( xy, ) του : ( x, y) = av+ bv ( x, y) = a(, 3) + b(, ) x= a+ b y = 3a + b Λύνουμε το σύστημα ως προς ab, και παίρνουμε: { v, v } R ως προς τη βάση

4 α = x+ y 3 b= x+ y Άρα 3 ( x, y) = x+ y v + x+ y v για κάθε x,y () Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) = T(,3) = (,8) () Tv ( ) = T(, ) = (0, 7) (3) Εφαρμόζοντας στις σχέσεις () και (3) την (), γράφουμε τις εικόνες των v,v ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης : 8 7 Tv ( ) = v v 7 7 Tv ( ) = v+ v Γράφουμε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος ως στήλες του πίνακα αναπαράστασης και παίρνουμε: [ T ] 8 7 = 7 7 c) Αρκεί να τοποθετήσουμε τα διανύσματα της βάσης ως στήλες του πίνακα: d) Γενικά ισχύει ότι [ Tv] = T [ v] () [ ] B B B, B Στην περίπτωσή μας B = B = οπότε είναι [ Tv] = T [ v] () [ ] P > E = 3 Για το τυχαίο v xy R = (, ) η () δίνει

5 x+ y x+ y = = = 3 3x y + x+ y [ v] [( xy, )] Πολλαπλασιάζοντας με τον πίνακα αναπαράστασης παίρνουμε: [ T] [ v] 8 7 x+ y 8( x+ y) + 7(3 x+ y) x+ y = = = 7 7 3x+ y 7( x+ y) + 7(3 x+ y) 3x To αποτέλεσμα αυτό είναι το [ Tv ()], δηλαδή οι συντεταγμένες του Tv () ως προς τη βάση Έτσι τελικά θα έχουμε: T( v) = T( x, y) = ( x+ y) v + 3 xv = ( x+ y) (,3) + 3 x(,) Txy (, ) = ( x yx, + 3 y) Άσκηση (Μονάδες.) Δίνονται υποχώροι του 4 : 4 U= {( abcd,,, ) : b c+ d = 0} και W= abcd a b= c= d b 4 {(,,, ) : 0, } Βρείτε από μία βάση των: a)u b) W c) U W a) O χώρος U μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος (το οποίο εκφυλίζεται σε μία μόνον εξίσωση): b c+ d = 0 Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A = [ 0 ] (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Επομένως U = N( A) Έχουμε έναν οδηγό και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimu=4-=3 Ελεύθερες μεταβλητές: acd,, Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b t w =, stw,, R c t d w

6 Εύρεση βάσης: s =, t = 0, w= 0 u = (,0,0,0) s = 0, t =, w= 0 u = (0,,, 0) s = 0, t = 0, w= u = (0,, 0,) 3 Επομένως το σύνολο { u, u, u 3} αποτελεί μία βάση του U b) O χώρος W μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος: a b= 0 a b= 0 c= d b b+ c d = 0 Ο πίνακας συντελεστών είναι ο 0 0 A = 0 (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Επομένως W = N( A) Έχουμε δύο οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimw=4-= Ελεύθερες μεταβλητές: cd, Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s+ t b s t + =, st, R c s d t Εύρεση βάσης: s =, t = 0 w = (,,, 0) s = 0, t = w = (,, 0,) Επομένως το σύνολο { w, w } αποτελεί μία βάση του W c) To σύνολο U W θα περιλαμβάνει τους περιορισμούς και των δύο υποχώρων. Έτσι το ομογενές σύστημα που δημιουργείται είναι το ακόλουθο: b c+ d = 0 a b = 0 b + c d = 0 Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A = Έχουμε τρεις οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dim N( A) = dim( U W) = 4 3 = Ελεύθερες μεταβλητές: d Η γενική λύση του συστήματος είναι η

7 a 0 b 0 =, t R c t d t Εύρεση βάσης: t = v = (0,0,,) Επομένως το σύνολο { v } αποτελεί μία βάση του χώρου U W Άσκηση 6 (Μονάδες.) Θεωρούμε τον ενδομορφισμό 3 3 T : T (, x y, z) = ( x + y + kz, x + y + 3, z y + z) με k 3 α)εξετάστε ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούνται ώστε το τυχαίο διάνυσμα v= ( abc,, ) να ανήκει στο ImT β) Διερευνήστε τη διάσταση του ImT α) Είναι γνωστό ότι το ImT ταυτίζεται με το χώρο στηλών του πίνακα αναπαράστασης [ Τ ], επομένως για να ανήκει το v στο ImT θα πρέπει το σύστημα [ T] x = v να έχει λύση (μία ή άπειρες). Με απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος παίρνουμε: k a k a k a r r r r3 r3 r 3 b 0 3 k b a k b a 0 c 0 c k b a+ c Διακρίνουμε 3 περιπτώσεις: Αν 4 k = 0 και b a+ c 0 το σύστημα είναι αδύνατο και το v δεν ανήκει στο ImT Αν 4 k = 0και b a+ c= 0 το σύστημα είναι αόριστο και το v ανήκει στο ImT Αν 4 k 0το σύστημα έχει μοναδική λύση και το v ανήκει πάντοτε στο ImT β) Η διάσταση του ImT ισούται με τη βαθμίδα του πίνακα [Τ], επομένως Αν k 4 τότε έχουμε 3 οδηγούς, και η διάσταση του ImT είναι 3 Ενώ αν k = 4 έχουμε οδηγούς και η διάσταση του ImT είναι

8 Άσκηση 7 (Μονάδες ) 7 6 Έστω ο πίνακας A = 6. a) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του Α b) Με χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilton να βρεθεί ο αντίστροφος του A a) Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: 7 λ 6 p λ = A λi = = λ λ 6 λ A( ) det( ) 0 Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε p A λ = ( λ) = 0 λ = 0 b) Επειδή οι ιδιοτιμές είναι διάφορες του μηδενός υπάρχει ο αντίστροφος του Α. Σύμφωνα με τo θώρημα Cayley-Hamilton είναι: p ( ) 0 A A = O A A I = O Έτσι θα έχουμε διαδοχικά: A A A A 0A I = A O 0 = A I A O A = A I A = ( A I) A = 0 =