ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ - Διανυσματικοί Χώροι Διδάσκουσα : Δρ Μ Αδάμ Λαμία, 6//05 Έστω = (,,), = (0,,) και U ο υπόχωρος που παράγεται από τα, i) Βρείτε όλες τις τιμές a τέτοιες ώστε (,, a) U Για τις τιμές αυτές να παραστήσετε το (,, a ) ως γραμμικό συνδυασμό των, / ii) Έστω U ο υπόχωρος που παράγεται από τα (,0,0),(,6,9) / Να αποδείξετε ότι U = U Εξετάστε ποια από τα σύνολα U { ( xyx,, ): xy, } =, = { }, U = { x+ yx yx+ y xy } U ( xyx,, ) : xy, (,, ) :, είναι υπόχωροι Σε περίπτωση που κάποιο σύνολο από τα παραπάνω είναι υπόχωρος βρείτε μια βάση και τη διάστασή Έστω τα διανύσματα v = (,,), v = (,, ) ενός υποχώρου V χώρου i) Να εξετάσετε αν το διάνυσμα w = (,, ) ανήκει στο χώρο V ii) Nα υπολογίσετε μία βάση V iii) Αφού πρώτα εξετάσετε την ορθογωνιότητα των v, v, στη συνέχεια να υπολογίσετε ένα μη μηδενικό διάνυσμα διανύσματα v και v v, που να είναι ορθογώνιο προς τα iv) Να υπολογίσετε μία βάση ορθογωνίου συμπληρώματος V, V, ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο Έστω ότι ο υπόχωρος U παράγεται από τα διανύσματα = (, 0,), = (,,), = (0,,) και = (,,5)

2 Να υπολογίσετε μία ορθοκανονική βάση για τον U ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο, ακολουθώντας τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης των Gram-Schmidt 5 i) Να αποδείξετε ότι για τα διανύσματα x = ( x, x, x) και y = ( y, y, y) χώρου η σχέση: x y = xy xy xy + 0xy + xy ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον ii) Θεωρώντας το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο να υπολογίσετε μία ορθοκανονική βάση για τον υπόχωρο U που παράγεται από τα διανύσματα = (, 0,), = (,,), = (,,5), ακολουθώντας τη μέθοδο ορθοκανονικοποίησης των Gram-Schmidt Τι παρατηρείτε σε σχέση με τα αποτελέσματα της προηγούμενης άσκησης ; 6 Έστω 0 0 U = A M( ): A = A a b i) Να αποδείξετε ότι A= U αν και μόνο αν b= c+ a d = 0 c d ii) Να εξετάσετε αν το U είναι ένας υπόχωρος M ( ) και να βρείτε μια βάση και τη διάσταση U 7 Έστω το σύνολο i) Να αποδείξετε ότι = A M ( ) : A = A a b A= c d αν και μόνο αν c= b= a d ii) Να βρείτε μία βάση υποχώρου καθώς και τη διάστασή της 8 Έστω V ο διανυσματικός υπόχωρος που παράγεται από τα διανύσματα v = (,,, ), v = (,, 0,) και v = (0,,, ) και U ο διανυσματικός υπόχωρος που παράγεται από = (6,5, 5, ) και = (6,9,, 9) i) Να βρείτε μία βάση VU,

3 ii) Να βρείτε μία βάση V + U και τη διάστασή της καθώς και τη διάσταση V U iv) Να εξετάστε αν ισχύει = V U 9 Έστω τα υποσύνολα, διανυσματικού χώρου ακολούθως: {(,,, ) : 0} {(,,, ) : 0} = x x x x x x + x = = x x x x x + x = που ορίζονται ως i) Να εξετάσετε αν, είναι υπόχωροι ii) Να βρείτε μία βάση υπόχωρου iii) Να υπολογίσετε τη διάσταση των υπόχωρων,,, + iv) Δικαιολογήστε γιατί ο δεν είναι το ευθύ άθροισμα των, Nα αποδείξετε ότι για τον = span{(0,0,0,)} ισχύει = 0 0 Έστω A = 0 i) Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί πίνακες B για ς οποίους ισχύει AB = BA ii) Να αποδείξετε ότι το σύνολο των πινάκων B αποτελεί υπόχωρο διανυσματικού χώρου όλων των πραγματικών πινάκων iii) Να βρείτε μία βάση και τη διάσταση παραπάνω υπόχωρου Έστω το σύνολο a b M ( ) : 0 = a b c+ d = c d i) Να αποδείξετε ότι το είναι υπόχωρος δχ M ( ) ii) Να βρείτε μία βάση υπόχωρου καθώς και τη διάστασή Έστω το σύνολο { ( ),,, : 0, 0 } = x x x x x + x + x = x + x = i) Να αποδείξετε ότι το είναι υπόχωρος ii) Να βρείτε μία βάση υπόχωρου καθώς και τη διάστασή

4 iii) Βρείτε μία βάση ορθογωνίου συμπληρώματος και τη διάσταση Έστω το σύνολο { ( ),,, : 0, 0 } = x x x x x x + x = x + x = i) Να αποδείξετε ότι το είναι υπόχωρος ii) Να βρείτε μία βάση υπόχωρου καθώς και τη διάστασή iii) Βρείτε μια ορθοκανονική βάση ορθογωνίου συμπληρώματος και τη διάσταση Θεωρούμε το σύνολο S= { x = ( xyz,, ) : x, y = 0, με y = (,, )} i) Να αποδείξετε ότι το S αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο ii) Να βρεθεί μία βάση και η διάσταση S iii) Να βρεθεί μία ορθοκανονική βάση S, που περιέχει το διάνυσμα,,0 5 Έστω U ο διανυσματικός υπόχωρος που παράγεται από τα διανύσματα (,,, 0), (,, 0,), (,,,), (0,,, ) και έστω V ένα υποσύνολο : V= {( xyzw,,, ) : x y z+ w= x+ y+ z= x+ w= 0} i) Να εξετάσετε αν V είναι υπόχωρος ii) Να βρείτε μια βάση B U και τη διάσταση U iv) Να βρείτε μια βάση B V και τη διάσταση V v) Να δείξετε ότι το σύνολο BU BV είναι μια βάση 6 Δίνονται οι διανυσματικοί υπόχωροι και ( ): x y = {, z xyzw,,, : x= y+ z w}, x y = {, z xyzw,,, : x w= y z= 0} i) Να βρείτε βάσεις για ς διανυσματικούς υποχώρους και M ( )

5 ii) Να βρείτε τις διαστάσεις των διανυσματικών υποχώρων και + iii) Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει M( ) = +, ενώ ο ( ) δεν είναι το ευθύ άθροισμα των, iv) 0 Να αποδείξετε ότι ο διανυσματικός υπόχωρος = span{ } 0 0 δεν είναι υποσύνολο και ότι ισχύει M( ) = 7 Δίνονται οι διανυσματικοί υπόχωροι και ( ): { x y =, z xyzw,,, : x= w= z}, { x y =, z xyzw,,, : x w= y+ z} v) Να βρείτε βάσεις για ς διανυσματικούς υποχώρους και ( ) vi) Να βρείτε τις διαστάσεις των διανυσματικών υποχώρων + και vii) Για το διανυσματικό χώρο ( ) M( ) = + ; Είναι το άθροισμα ευθύ; Δικαιολογήστε πλήρως τις απαντήσεις σας 8 Έστω V, οι διανυσματικοί υπόχωροι με V= {( xyz,, ) x+ y z= 0} και = {( xyz,, ) x+ y+ z = 0} i) Να βρείτε μία ορθοκανονική βάση και τη διάσταση των V και, θεωρώντας το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον ii) Να βρείτε μία βάση και τη διάσταση για την τομή V Ισχύουν οι σχέσεις = V + και = V ; 9 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και έναν υπόχωρό V που παράγεται από τα διανύσματα v = (,,, 6), v = (,,, ) και v = (,, 9, 5) i) Να βρείτε μία βάση χώρου V και τη διάστασή ii) Να βρείτε μία ορθοκανονική βάση ορθογωνίου συμπληρώματος V υποχώρου V ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο 0 Δίνεται ο διανυσματικός υπόχωρος xyz x y z και ο = {(,, ) : + + = 0} υπόχωρος, ο οποίος παράγεται από το σύνολο των διανυσμάτων {(,,), (,,)} 5

6 i) Να βρείτε βάσεις για ς διανυσματικούς υποχώρους, και + ii) Να βρείτε βάση και τη διάσταση διανυσματικού υπόχωρου iii) Ο διανυσματικός χώρος είναι το άθροισμα των, ; Είναι το άθροισμα ευθύ; Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας Έστω τα πολυώνυμα p ( x) = x x + x, p ( x) = x 9 και p ( x) = x + x + x+ i) Να διατυπώσετε συνθήκες για ς συντελεστές abcd,,, ώστε το πολυώνυμο p( x) ax bx cx d = να μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων p( x), p( x), p( x ) ii) Να εκφράσετε, αν είναι δυνατό, τα πολυώνυμα g x = x + x + x και ( ) 5 8 g x = x + x + x ως γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων ( ) 5 8 p( x), p( x), p( x ) iii) Να εξετάσετε αν τα πολυώνυμα p( x), p( x), p( x ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία διανυσματικού χώρου των πολυωνύμων τρί βαθμού με πραγματικούς συντελεστές iv) Να εξετάσετε αν τα πολυώνυμα p( x), p( x), p( x ) αποτελούν μία βάση διανυσματικού χώρου των πολυωνύμων τρί βαθμού με πραγματικούς συντελεστές Σε περίπτωση αρνητικής απάντησης να δώσετε μία βάση παραπάνω διανυσματικού χώρου που να τα περιέχει 6