Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
|
|
- Αμφιτρίτη Αλεξάνδρου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y ) με ( ) a+ b a+ d c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d + ba d) f : R R f yz,, y+ z με ( ) e) f : R R με f y y Οι γραμμικές συναρτήσεις θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις f( + y) f( ) + f( y) f ( a) af ( ) για κάθε διάνυσμα,y, και για κάθε πραγματικό αριθμό α. Επίσης μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι μία γραμμική συνάρτηση θα πρέπει να απεικονίζει υποχρεωτικά το μηδενικό στοιχείο του πρώτου χώρου στο μηδενικό στοιχείο του δεύτερου χώρου, για να δείξουμε με γρήγορο τρόπο ότι μία συνάρτηση, που δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, δεν είναι γραμμική. a) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του R, δηλ. το (,,), στο O του R, δηλ. στον εαυτό του. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι:
2 y + y + y y f( + y) f y f y y y y y + y f + f y y f( ) + f( y) και a a f ( a) f a f a a a af af ( ) a Επομένως η f είναι γραμμική b) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του R, δηλ. το (,,), στο O του R, δηλ. στον εαυτό του. + + Είναι f( ) +, επομένως μπορούμε να αποφανθούμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι γραμμική. c) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του P, δηλ. το + + +, στο O του M, δηλ. στο Είναι f (, ) (, ) (, ), επομένως μπορούμε να αποφανθούμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι γραμμική. d) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του δηλ. στο. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f, ( ) R, δηλ. το (,,), στο O του R, Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι: y + y f( + y) f y f y + + ( + y) ( + y) + ( + y) y y + y ( + ) + ( y y + y) f f y + f( ) + f( y) y και
3 a f ( a) f a f a a a + a a + af af ( ) ( ) a Επομένως η f είναι γραμμική e) Αρχικά ελέγχουμε αν η f απεικονίζει το O του στο. Όντως αυτό ισχύει καθώς: f,, + ( ) R, δηλ. το (,), στο O του R, δηλ. Δεν μπορούμε ακόμη να αποφανθούμε για τη γραμμικότητα της f, οπότε καταφεύγουμε στον ορισμό. Είναι: y + y f( + y) f f ( y)( y) + y + + y + ενώ y f( ) + f( y) f f yy ( y)( y) y Επομένως η f δεν είναι γραμμική.. Βρείτε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού f : R R με f + + Επειδή δεν αναφέρεται συγκεκριμένη βάση, εννοείται η κανονική και για τον R. Για τον R η κανονική βάση είναι η:,, Για τον R η κανονική βάση είναι η:,,, Βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης του R R και για τον
4 C f C f C f Θα πρέπει στη συνέχεια να βρούμε τις συντεταγμένες των παραπάνω διανυσμάτων ως προς τη βάση του R. Επειδή όμως χρησιμοποιούμε την κανονική βάση του R οι συντεταγμένες ταυτίζονται με τις συνιστώσες των διανυσμάτων, επομένως: [ f] [ C C C]. Έστω ένας γραμμικός μετασχηματισμός T : R R. Δίνεται ότι T(,, ) (,, ), T(,,) (,, ), T(,,) (6,, ) Να υπολογίσετε τα T (,,) και T (,, ) Αρχικά ελέγχουμε με απαλοιφή Gauss αν τα διανύσματα (,,), (,,),(,,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα: r r r r r + r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή στον τελικό πίνακα τα διανύσματα είναι πράγματι γραμμικά ανεξάρτητα. Επίσης επειδή επιπλέον το πλήθος τους είναι, αποτελούν βάση του χώρου R. Στη συνέχεια πρέπει να αναλύσουμε τα διανύσματα (,,) και (-,,) ως προς τη βάση αυτή. Γενικά ένα τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R γράφεται ως προς τη συγκεκριμένη βάση ως: yz,, a,, + b,, + c,, yz,, a+ ca, + bb, + c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a+ c y a + b z b + c
5 5 για κάποια abc.,, Λύνουμε με απαλοιφή Gauss το σύστημα που προέκυψε, ως προς abc,, r r r r r r y y y z z z y+ Έτσι παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα: a+ c b c y c y+ z το οποίο δίνει με προς τα πίσω αντικατάσταση: + y z, + y + a b z, c y + z δηλ. + yz + y+ z y+ z ( yz,, ) (,, ) + (,,) + (,,) Έτσι θα είναι (,, ) (,, ) + (,,) + (,,) (,, ) + (,,) + (,,) Επίσης + ( ) (,, ) (,, ) + (,,) + (,,),, +,, +,, ( ) ( ) ( ) Τελικά θα έχουμε: T(,, ) T(,, ) + T(,,) + T(,,) (,, ) + (,, ) + ( 6,, ) 9 8,, και T,, T,, + T,,, 5,7 ( ) ( ) ( ) ( ). Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R M με a b+ c 5c T( ab,,c) a 7a 6b+ c Να υπολογιστεί η αντίστροφη εικόνα του πίνακα v 6, δηλ. το T () v
6 6 Ζητείται το υποσύνολο του Πρέπει να υπολογίσουμε τα u, u, u ώστε Tu (, u, u) v R του οποίου κάθε στοιχείο έχει εικόνα τον Έχουμε u u + u 5u u 7u 6u u 6 + u u + u 5u u 6 7u 6u + u Λύνουμε το σύστημα: r r r r r+ r r r r r+ r r r r Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο, οπότε δεν υπάρχει στοιχείο του εικόνα να είναι ο πίνακας v 6 Άρα T () v u R: Tu () v { } 5. Να υπολογισθεί η σύνθεση T των Γραμμικών Μετασχηματισμών : P M με και c d + a ba Tab (, ) a b b ( a b ) ( a b ) ( a + b + c + d ) b d + c v 6 R του οποίου η T : R P και
7 7 T : R M u u ( T) T ( u+ u + u+ ( u+ u) + ( u u) ) u u ( ) ( u + u ) ( u u ) + u + u u u + u u ( u u) + ( u+ u) u+ 5u u+ u u u u + 6. Να βρεθεί ο πυρήνας του ακόλουθου Γραμμικού Μετασχηματισμού: T : R + T Tu ( ) u u + u u u + u+ u + u u+ u u u + u u + u u + u + u u+ u R με
8 8 5 5 r r+ r r r+ r r rr r r+ 5r r r r r r + r Δεν υπάρχει ελεύθερη μεταβλητή. Επομένως το ομογενές σύστημα έχει μοναδική λύση, τη μηδενική και η διάσταση του πυρήνα είναι: dim KerT Δηλαδή KerT 7. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με T(, y, z) ( y, y,7 y) a) Αφού δείξετε ότι το σύνολο { v (,, ), v (,, ), v (,, )} αποτελεί βάση του R, να βρεθεί ο πίνακας αναπαράστασης [ T ] ως προς τη βάση αυτή b) Δείξτε πως από τον πίνακα [ T ] προκύπτει ο αρχικός τύπος του μετασχηματισμού a) Επειδή το αποτελείται από διανύσματα του χώρου R, αρκεί να δείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα για να αποτελούν βάση του R. Γράφουμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα και εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: r r r r r r r r r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και άρα αποτελούν βάση του R. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος ( yz,, ) του R ως προς τη βάση { v, v, v } :
9 9 (, y, z) av + bv + cv (, y, z) a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) a+ b+ c y a c z a + b + c Λύνουμε το σύστημα ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( z) 5 b + y+ z c yz Άρα (, y, z) ( z) v y+ z v + ( yz) v για κάθε,y,z () Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) T(,, ) (, 9,) Tv ( ) T(,, ) (,, 7) () Tv ( ) T(,, ) (,7,9) Εφαρμόζοντας στις σχέσεις () την (), γράφουμε τις εικόνες των v,v,v ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης : 5 Tv ( ) v v + v 5 Tv ( ) v+ v 8v 5 7 Tv ( ) v+ v v Γράφουμε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος ως στήλες του πίνακα αναπαράστασης και παίρνουμε: [ T ] 8 b) Γενικά ισχύει ότι Tv () [ T] B, B v [ ] [ ] B B Στην περίπτωσή μας B B οπότε είναι [ Tv] T [ v] () [ ] Για το τυχαίο v yz R (,, ) η () δίνει
10 ( z) 5 ρ() v ρ(, yz, ) + y+ z yz Πολλαπλασιάζοντας με τον πίνακα αναπαράστασης παίρνουμε: ( ) z 7 5 [ T] [ v] + y+ z 5y 8 yz 8+ y To αποτέλεσμα αυτό είναι το [ Tv ( )], δηλαδή οι συντεταγμένες του Tv () ως προς τη βάση Έτσι τελικά θα έχουμε: 5 Tv () T(, yz, ) ( v ) + 5y v + ( 8+ y) v 5 ( )(,, ) + 5 y (,, ) + ( 8+ y) (,, ) ( y, y,7 y) 8. Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R με f(, y, z) ( + yz, y+ 5 z, + z) και έστω οι βάσεις του {(,,),(,,),(,,) }, {(,,),(,, ),(,, ) } Να υπολογιστούν οι πίνακες μετάβασης a) P και b) P R : a) Βάση του ορισμού, αναλύουμε τα διανύσματα της ως προς τα διανύσματα της : a+ b c (,, ) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b 5, c a + b c
11 a+ b c (,,) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b, c a + b c a+ b c (,,) a(,,) + b(,, ) + c(,, ) a b a, b, c a + b c Έτσι P 5 b) Αντίστοιχα αναλύουμε τα διανύσματα της ως προς τα διανύσματα της : a+ b (,,) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c a+ b (,, ) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c a+ b (,, ) a(,, ) + b(,,) + c(,,) a+ c a, b, c b + c Έτσι 5 P 5 5 ή διαφορετικά P P 9. Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε να ισχύει f (,, ) (,, ), f (,,) (,,) και f (,, ) (,, ). Δίνονται δύο βάσεις του {(,, ),(,,),(,,)} και {(,, ), (,, ), (,, )} a) Να βρεθεί ο τύπος της f( yz,, ) R :
12 b) Να υπολογισθούν οι πίνακες αναπαράστασης [ f],[ f], [ f], [ f ],, c) Αν η f αντιστρέφεται να βρεθεί ο τύπος της a) Αρχικά ελέγχουμε αν τα διανύσματα (,,), (,,) και (,,) αποτελούν βάση του R. Επειδή το πλήθος τους είναι όσο και η διάσταση του χώρου, αρκεί να δείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Τα γράφουμε ως γραμμές σε ένα πίνακα και εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: r r r Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως αποτελούν βάση του R Εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R ως προς αυτή τη βάση: a (, y, z) a(,, ) + b(,,) + c(,, ) y a+ b+ c z b + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a, b + y zc, y+ z δηλ. ( yz,, ) (,, ) + ( + y z) (,,) + ( y+ z) (,, ) Έχουμε λοιπόν f(, y, z) f(,, ) + ( + y z) f(,,) + ( y+ z) f(,, ) (,, ) + ( + yz) (,,) + ( y+ z) (,, ) f(, y, z) ( + yz,, y + y ) z () b) Για να πάρουμε τον πίνακα [ f ], αρχικά υπολογίζουμε από τη σχέση () τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης : f (,,) (5,,) f (,, ) (8, 7,) () f (,,) (6, 8,) Έπειτα εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα ( yz,, ) R ως προς τη βάση : a b+ c ( yz,, ) a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) y a+ b+ c z a + b + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( 8y+ 5 z), b ( 5 + y+ z), c ( + y z) () Εφαρμόζουμε τις σχέσεις () στις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης παίρνουμε: f
13 9 8 (5,, ) α, b, c 96 (8, 7,) α, b, c (6, 8,) α, b, c Επομένως 9 5 [ f ], Για να πάρουμε στη συνέχεια τον πίνακα [ f ], αρχικά υπολογίζουμε από τη σχέση () τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης : f (,, ) (,, ) f (,, ) (,, ) f (,,) (,, ) Εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα () ( yz,, ) R ως προς τη βάση : abc (, y, z) a(,, ) + b(,, ) + c(,,) y a+ b+ c z a + c Λύνουμε ως προς abc,, και παίρνουμε: a ( + y+ z), b ( + 5y 7 z), c ( 6 y+ 5z) (5) Εφαρμόζουμε τις σχέσεις (5) στις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης παίρνουμε 65 8 (,, ) α, b, c 8 (,, ) α, b, c (,, ) α, b, c Επομένως [ f ], Για να πάρουμε στη συνέχεια τον πίνακα [ f ], ο οποίος γράφεται και ως αναλύουμε τις εικόνες της βάσης ως προς τα διανύσματα της. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (5) στις () παίρνουμε: [ f ],,
14 5 (5,, ) α, b, c 59 6 (8, 7,) α, b, c (6, 8,) α, b, c Επομένως 59 9 [ f ] Για να πάρουμε τέλος τον πίνακα [ f ], ο οποίος γράφεται και ως αναλύουμε τις εικόνες της βάσης ως προς τα διανύσματα της. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις () στις () παίρνουμε: (,, ) α, b, c 8 (,, ) α, b, c (,, ) α, b, c Επομένως [ f ] 6 8 c) Έστω ότι δουλεύουμε με τη βάση. Τότε [ f ], 59 9 [ f] 5 7 det ([ f] ) 5 ([ f] ) f 6 5 Για τον υπολογισμό του τύπου της ( ) f () v [ f] [] v Γνωρίζουμε από τις σχέσεις (5) ότι ( + y+ z) [ v] ( + 5 y 7 z) ( 6 y+ 5z) Υπολογίζοντας τον αντίστροφο του f [ f ] θα είναι: παίρνουμε τελικά:,
15 [ ] ( f ) f Άρα οι συντεταγμένες ως προς την της θα είναι: 7 ( ) + y+ z yz 9 ([ f] ) [ v] 7 5 ( + 5y 7z) 9+ 65y+ z y z ( 6 y+ 5z) Και τελικά: f (, y, z) (y z)(,,) + (9+ 65y+ z)(,,) ( 7y z)(,,) ( 6+ 5y z,5 yz, y5z) Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με Tyzw (,,, ) (+ y z+ w,+ y w,5 y+ z+ w) a) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Kerf b) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Imf α) Θέλουμε να βρούμε τα για τα οποία T() O T() O Tyzw (,,, ) (,,) + y z+ w + y w 5 y+ z+ w Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: 5 r r r r r r A 5 5 r r6r
16 6 Επομένως rank(a) Έτσι dimker T dim N( A) dim R rank( A) H ελεύθερη παράμετρος είναι η w. Το ομογενές σύστημα γράφεται: 9 w + y z+ w 6 8 y+ z w y w 6z 67w + 67 z w 6 Έτσι κάθε στοιχείο του πυρήνα γράφεται ως: t, t, tt, t,,,, t R Δηλαδή Ker T span,,, Επομένως το διάνυσμα,,, αποτελεί βάση του KerT 6 6 b) Επειδή πρέπει dimimt + dimker T dim R dimimt Για να βρούμε μία βάση του ImT εργαζόμαστε ως εξής: Διαλέγουμε ένα σύνολο διανυσμάτων που κάνει span τον χώρο μας R. Επειδή μία βάση σίγουρα κάνει span τον χώρο, επιλέγουμε για ευκολία την απλούστερη, δηλαδή την κανονική, οπότε οι εικόνες της σίγουρα κάνουν span το ImT. Επειδή στο προηγούμενο υποερώτημα βρήκαμε ότι dim ker( T ), θα πρέπει να ελέγξουμε το σύνολο των εικόνων της κανονικής βάσης για γραμμική ανεξαρτησία ώστε αν χρειαστεί να αφαιρέσουμε τα γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα από το τελικό σύνολο για να πάρουμε μια βάση του ImT. Έχουμε T(,,,) (,,5) v T(,,, ) (,, ) v T(,,, ) (,,) v Επειδή η διάσταση του ImT είναι, δεν χρειαζόμαστε άλλα διανύσματα. Ελέγχουμε αν οι v, v, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα:
17 Επειδή δεν προέκυψε μηδενική γραμμή τα v, v, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και r r r r r+ r r r+ r επομένως αποτελούν βάση του ImT. (Σε διαφορετική περίπτωση θα κρατούσαμε ως βάση όλες τις μη μηδενικές γραμμές του τελικού πίνακα). Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με Ty (, ) (+ y,+ 6 y) a) Είναι ο T μονομορφισμός; b) Βρείτε τον τύπο του αντίστροφου μετασχηματισμού T, αν υπάρχει c) Βρείτε το T (8,) d) Βρείτε το T (, ) e) Είναι ο Τ επιμορφισμός; a) Πρέπει να δείξουμε ότι ker( T ) {(, )} Ο πυρήνας του T προκύπτει ως οι λύσεις του ομογενούς συστήματος: T() O T() O Ty (, ) (,) + y + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: r r r A 6 Επομένως rank(a) Έτσι dimker T dim N( A) dim R rank( A) H ελεύθερη παράμετρος είναι η y. Το ομογενές σύστημα γράφεται: + y y Έτσι κάθε στοιχείο του πυρήνα γράφεται ως: tt, t,, t R ( ) ( ) Άρα ker( T ) {(, )} και επομένως το T δεν είναι μονομορφισμός c) Πρέπει να βούμε τα (,y) ώστε + y 8 Ty (, ) (8,) (+ y,+ 6 y) (8,) + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:
18 8 8 r r r 8 6 H ελεύθερη παράμετρος είναι η y. Το σύστημα γράφεται: + y 8 y Έτσι T (8,) {( tt, ), t R} c) Πρέπει να βούμε τα (,y) ώστε + y Ty (, ) (, ) (+ y, + 6 y) (, ) + 6y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος: 8 8 r r r 6 Λόγω της τελευταίας γραμμής το σύστημα είναι αδύνατο και επομένως δεν υπάρχει η αντίστροφη εικόνα του (,) d) Πρέπει να ισχύει rank[ T ] dim R Όμως [ T] A Επομένως rank ([T]) dimr. Δηλ. ο T δεν είναι επιμορφισμός.. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με T (, y) ( + y, k + 8 y) a) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου k R για τις οποίες o T είναι αντιστρέψιμος b) Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός T για τις τιμές της παραμέτρου k που υπολογίστηκαν στο προηγούμενο υποερώτημα. α) Πρέπει να δείξουμε ότι ker( T ) {(, )} Θέλουμε να βρούμε τα για τα οποία T() O T() O Ty (, ) (,) + y k + 8y Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς συστήματος: k r r r A k 8 8 k Πρέπει 8 6 k k για να είναι ker( T ) {(, )} (μονομορφισμός) καθώς και rank[ T ] dim R (επιμορφισμός) Επειδή [ T] A Άρα για k 6 o Τ είναι ισομορφισμός και επομένως έχει αντίστροφο b) Πρέπει να επιλύσουμε το σύστημα
19 9 a+ b T( ab, ) ( y, ) ka + 8b y ως προς ab, Τελικά παίρνουμε: y k y T ( y, ) +, k6 ( k6)
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικά Συστήματα- Απαλοιφή Gauss Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος. Χρησιμοποιείστε απαλοιφή Gauss για να επιλύσετε τα ακόλουθα συστήματα: 5x 8y = 5x= + y
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραD = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].
4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ι Εξέταση Φεβρουαρίου. Επώνυμο. Όνομα. ΑΜ (13 ψηφία) Σύνολο
1 Γραμμική Άλγεβρα Ι 009-10 Εξέταση Φεβρουαρίου Επώνυμο Όνομα ΑΜ (1 ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα 1 5 Σύνολο Α Η εξέταση αποτελείται από 5 Θέματα. Το άθροισμα των μονάδων είναι 1, το άριστα 10 και η βάση 5. Απαντήστε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος
9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότερα2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss
.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ι,
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή
Διαβάστε περισσότερα1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0
Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012
Διαβάστε περισσότερα1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)
Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότερα( A = A = 3 5 A 2 + B 2.
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραn = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΒάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου
Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραGauss. x + y + z = 2 3x + 3y z = 6 x y + z = 1. x + y + z = r x y = 0 3x + y + sz = s 0
Γραμμική Άλγεβρα Κεφάλαιο Πίνακες και απαλοιφή Gauss. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα y, y 2, y 3 ώστε τα διανύσματα (0, y ), (, y 2 ), (2, y 3 ) να είναι στην ίδια ευθεία; Η ευθεία που περνάει από
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες
Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραa 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι
Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων
Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος
Διαβάστε περισσότεραn. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότερα