آنچه که هر فیزیکدان باید درباره ي تي وري ریسمان بداند

Transcript

1

2 آنچه که هر فیزیکدان باید درباره ي تي وري ریسمان بداند نویسنده : ادوارد ویتن ترجمه: مریم امیري ناشر الکترونیکی: سایت علمی بیگ بنگ ( تاریخ انتشار: آذر 1394» استفاده از مطالب با ذکر منبع بلامانع است.»

3 سایت علمی بیگ بنگ فیزیک نظری علمی بسیار عمیق و با روابطی بسیار پیچیده ریاضیاتی پرمفهوم است. تمامی این ها دست به دست هم داده اند تا به دانشی از جهان خلقت و قوانین حاکم بر آن برسیم. به همین دلیل است که تصمیم داریم نظریات معروفترین دانشمندان و نظریه پردازان این شاخه از فیزیک را به فارسی برگردان نماییم. به تازگی فیزیکدان مشهور ادوارد ویتن مقاله ای با عنوان»آن چه که هر فیزیکدان باید درباره ى تئورى ریسمان بداند«منتشر کرده است که به گمانم مطالعه ی آن سطح علمی عالقه مندان به این علم که ترکیبی از نظریه ریسمان و تئوری میدان می باشد را باال می برد. امید به اینکه این مطلب مناسب باشد. مریم امیری پاییز 4931 جهت انتقاد و پیشنهاد با این ایمیل در ارتباط باشید سپاس فراوان از راهنمایی هاى جناب پرفسور محمد وحید تکوك«آنچه كه هر فيزيكدان بايد درباره ى تئورى ريسمان بداند برخى هارمونی هاى طبیعت از جمله ظهور ساختارهاى مشابه در حوزه هاى مختلف فیزیک در زمره مسیرى قرار مى گیرد که بالقوه تئورى ریسمان گرانش را با دیگر نیروهاى طبیعت وحدت مى بخشد و واگرایى های فرابنفش را که بالى جان گرانش کوانتومى اند حذف مى کند. حتى در بین فیزیکدانان نظرى تئورى ریسمان به دلیل ترسناك و عظیم بودن ریاضیاتی اش مشهور است اما در واقع بسیارى از عناصر ضرورى اش را مى توان به سادگى توضیح داد. تئورى ریسمان چگونه تئورى میدان کوانتومى استاندارد را تعمیم مى دهد چرا تئورى ریسمان ما را وادار مى سازد تا نسبیت عام را با دیگر نیروهاى طبیعت وحدت بخشیم درحالى که تئورى میدان استاندارد کوانتومى باعث مى شود که اتحاد با نسبیت عام خیلى سخت باشد چرا هیچ واگرایى بنفشى در تئورى ریسمان وجود ندارد و چه بر سر مفهوم فضازمان آلبرت اینشتین مى آید هر کسى که فیزیک مطالعه کرده باشد آگاه است که هرچند فیزیک مانند تاریخ دقیقا خودش را تکرار نمى کند ولى دارای هارمونی است که با ساختارى مشابه در حوزه هاى گوناگون پدیدار مى گردد. براى نمونه امواج گرانشى نسبیت عام اینشتین مشابه با امواج الکترومغناطیسى یا امواج آب در سطح آب اند. ما با یکى از هارمونى هاى طبیعت شروع مى کنیم: یک قیاس بین گرانش کوانتومى و تئورى یک تک ذره. با وجود این که ما واقعا آن را درك نمى کنیم اما فرض بر این است که گرانش کوانتومى از آن دسته تئوری هایی است که در این تئوری حداقل از نظر ماکروسکوپى از لحاظ مکانیک کوانتومى روى تمامى هندسه هاى فضازمان ممکن میانگین گیرى انجام مى دهیم میکروسکوپیکى درست است(. )ما نمى دانیم که تا چه حدى این توصیف از نظر میانگین گیرى انجام مى شود در ساده ترین مورد: با یک فاکتور وزن exp (ii/ħ) که I کنش اینشتین - هیلبرت است: I = 4 41πG d1 x g(r 2Λ) 1

4 Bigbangpage.com دراین جا G ثابت گرانشی نیوتن g دترمینان تانسور متریک R اسکالر انحنا Λ یک ثابت کیهانشناسى و d 1 x المان حجم فضازمان است. مى توانستیم میدان هاى مادى را نیز اضافه کنیم اما به نظر نمى رسد نیازى به آن ها داشته باشیم. اجازه دهید تالشمان براین باشد که این تئورى را به جاى چهاربعد یک بعدى کنیم. انتخاب براى یک منیفلد یک بعدى کامال محدود مى شود به: عالوه بر این اسکالر انحنا در یک بعد عینا صفر است و تمام آنچه از کنش اینشتین - هیلبرت باقى مى ماند ثابت کیهانشناسى است. با این حال ادراك بنیادى اینشتین به کنش اینشتین - هیلبرت محدود نمى شد. بلکه نسبتا در ایده هایى گسترده تری بود که هندسه ى فضازمان مى تواند از نظر دینامیکى تغییر کند و قوانین طبیعت درکل هموردا هستند یا تحت دیفئومورفیزمهاى اختیارى )تبدیالت مختصات( از فضا ناوردا هستند. 4 با اعمال این بینش ها مى توانیم یک تئورى گرانشى کوانتومى غیرجزیى را در یک بعد ایجاد کنیم اما به شرطى که میدان هاى مادی را درنظر بگیریم. اضافه كردن ماده ساده ترین میدان هاى مادى میدان هاى اسکالر براى میدان هاى اسکالر برابر است با: X I اند که در آن I. =,4, D کنش نسبیتى عام استاندارد I = dt g [ 4 D 2 gtt ( dx 2 I dt ) I=4 4 2 m2 ] که که معادله حرکت 4 یک تانسور متریک 4 4 است و جمله ی Λ با m2 جایگزین شده است. 2 حال تکانه ی کانونی P I = dx I dt را معرفی می کنیم. معادله ی میدان اینشتین بدست آمده با تغییر کنش I نسبت به g می باشد دقیقا برابر است با: g tt 4 برای مطالعه بیشتر به صفحه ى 93 مقاله ى Michel Janssenand و Jürgen Renn مراجعه کنید.

5 سایت علمی بیگ بنگ D g tt 2 P I + m 2 = 3 I=4 ما پیمانه ى = 4 tt g را برمى گزینیم که در نتیجه معادله برابر می شود با: P 2 = P I 2 I با P 2 + m 2 = 3 از نظر مکانیک کوانتومى )درواحدهایى با = 4 ħ( این است که تابع موج Ψ(X) که X مجموعه اى از همه ى P 2 + m 2 و معنى معادله ى = 3 P I = X I D X I P 2 + m 2 است نابود شود: است باید با اپراتور دیفرانسیل که متناظر با ( 2 2 X I I=4 + m 2 ) Ψ(X) = 3 این معادله آشناست معادله ى کلین-گوردون نسبیتى در D بعد اما در امضاى اقلیدوسى که در آن زمان و فضا ردپای یکسانی دارند. براى دستیابى به یک توصیف فیزیکی معقول مى بایست انرژى جنبشى یکى از میدان هاى اسکالر X I را معکوس کنیم طورى که کنش به شکل زیر شود: D 4 I = dt g { 4 2 gtt [ ( dx 2 3 dt ) + ( dx 2 i dt ) ] 4 2 m2 } i=4 حال تابع موج از معادله ى کلین-گوردون در امضاى لورنتزى پیروى مى کند: D 4 ( 2 X X i=4 i + m 2 ) Ψ(X) = 3 پس ما یک تئورى دقیقا قابل حل از گرانش کوانتومى در یک بعد یافته ایم که یک ذره ى اسپین 3 با جرم m را که در فضازمان D بعدى در حال انتشار است را توصیف مى کند. درواقع مى توانیم فضازمان مینکوفسکى را با یک فضازمان D بعدى M با یک متریک امضاى لورنتزى )یا اقلیدوسى( کنش برابر است با: G IJ I = dt g ( 4 2 gtt G IJ dxi dt dx J dt 4 2 m2 ) جایگزین کنیم درنتیجه از این جا به بعد جمع روى اندیس هاى تکرارشده در ضمن کار گفته شده است. معادله اى که تابع موج از آن پیروى مى کند اکنون معادله ى کلین-گوردون جرم دار در فضا زمان خمیده است: 3

6 Bigbangpage.com آید ( G IJ D D DX I DX J + m2 ) Ψ(X) = 3 که در این معادله D نشانگر دیفرانسیل گیرى همورد است. اجازه بدهید براى اینکه همه چیز آشناتر به نظر به مورد فضازمان تخت برگردیم )ما در امضاى اقلیدوسى کار خواهیم کرد تا از الزامی بودن برخى فاکتورهاى i دورى گزینم(. اجازه دهید که دامنه ى احتمال را براى ذره اى محاسبه کنیم تا در یک نقطه ى x در فضازمان شروع و در نقطه ى دیگرى در y کار را پایان دهیم. پس باید این کار را با محاسبه ى یک انتگرال مسیر فاینمن در مدل گرانش کوانتومى مان انجام دهیم. انتگرال مسیر روى تمامى متریک هاى g(t) و میدان هاى اسکالر (t) X I روى تک - منیفلد با این شرط که X(t) مساوى با x در انتها و y در انتهاى دیگر است گرفته مى شود. بخشى از فرآیند محاسبه انتگرال مسیر در مدل گرانش کوانتومى ما این است که روى متریک روى تک - منیفلد دیفئومورفیزما هاى مدول انتگرال بگیریم. اما تا دیفئومورفیزم تک - منیفلد تنها یک ناوردایی را داراست: طول کلش τ که ما آن را به صورت زمان ویژه ى سپرى شده تعبیر مى کنیم. در پیمانه ى ما 4 = tt g یک تک - منیفلد با طول τ با یک پارامتر t شرح داده مى شود که بازه ى τ t 3 را پوشش مى دهد. حاال مجبوریم روى تک - منیفلد روى تمامى مسیرهاى X(t) که از x در = 3 t آغاز و در y در t = τ پایان مى پذیرد انتگرال بگیریم. این انتگرال فاینمن بنیادى مکانیک کوانتوم با هامیلتونینی به شکل ) 2 H = 4 2 (P 2 + m براساس نظریه فاینمن نتیجه عناصرماتریسى exp ( τh) است: است. G(x, y; τ) = dd p (2π) D exp[ip. (y x)]exp [ τ 2 (p2 + m 2 )] اما باید به خاطر داشته باشیم که بخش گرانشی انتگرال مسیر را انجام دهیم که در در اینجا به این معنی است که انتگرال روی τ گرفته می شود. انتگرال روی τ پاسخ نهایی ما را می دهد: G(x, y) = dτg(x, y; τ) = dd p (2π) D exp[ip. (y x)] 2 p 2 + m 2 این فرمول خروجى انتگرال مسیر کامل )یک انتگرال روى متریک هاى g(t) و مسیرهاى X(t) با نقاط 3 انتهایى داده شده است دیفئومورفیزم هاى مدول( در مدل گرانش کوانتومى ماست. تابع (y G(x, انتشارگر فاینمن استاندارد در امضاى اقلیدوسى جداى از یک فاکتور نرمال سازى وابسته به قرارداد مى باشد. عالوه بر

7 سایت علمی بیگ بنگ این یک استخراج مشابه در امضاى لورنتزى )براى هردو فضازمان M و جهان خط ذره( انتشارگر فاینمن امضاى - لورنتزى صحیح را مى دهد. در نتیجه ما ذره ى آزاد در فضازمان D بعدى برحسب گرانش کوانتوم 4D بعدى تفسیر مى کنیم. اما چطور برهم کنش ها را در نظر بگیریم یک راه کامال طبیعى وجود دارد. تعداد زیادى تک منیفلد هموار وجود دارد مانند منیفلدى که در شکل 4 آمده است. کنش گرانش کوانتومى ما روى چنین گرافى مهم مى شود. ما به سادگى کنش مشابهى با آنچه قبال استفاده کردیم درنظر مى گیریم که روى همه ى بخش هاى خطى که گراف را ایجاد مى کنند جمع مى خورد. حال براى انجام دادن انتگرال مسیر گرانش - کوانتومى باید روى تمامى متریک هاى روى گراف تا دیفئومورفیزم انتگرال بگیریم. تنها ناورداها طول هاى کل یا زمان هاى ویژه ى هر بخش است. برخى خطوط در شکل 4 با متغیرهاى طول یا زمان ویژه τ i برچسب خورده اند. دامنه ى طبیعى براى براى محاسبه دامنه اى است که در آن ما مکان هاى x 4,, x 1 چهار ذره ى خارجى گراف را ثابت نگه مى داریم و روى تمامى τ i و روى همه ى مسیرهایى که ذرات بخش هاى طولى را دنبال مى کنند انتگرال مى گیریم. براى محاسبه ى چنین انتگرالى راحت تر این است که ابتدا محاسبه اى انجام دهیم که درآن مکان y 4,, y 1 رأس ها در گراف را ثابت نگه داریم به این معنى که تمامى نقاط انتهایى برچسب مى خورند. محاسبه اى که مى بایست روى هر بخش انجام دهیم مشابه قبل است و انتشارگر فاینمن را به ما مى دهد. انتگرال گیرى نهایى روى y 4,, y 1 پایستارى تکانه را در هر رأس مى دهد. بنابراین به نسخه ى فاینمن براى محاسبه ى دامنه ى مرتبط با یک گراف فاینمن مى رسیم )یک انتشارگر فاینمن براى هر خط و انتگرال گیرى روى همه ی تکانه ها که مرتبط با پاستارى تکانه است(. تصویر 1. یک گراف با راس های 3 بنیانی. انتگرال مسیر برای بررسی انتگرالی است که در آن مکان های x 4,, x 1 ذرات ثابت شده هستند و انتگرال گیری روی هرچیز دیگری است. نخستین گام ساده محاسبه ی این انتگرال است که در آن مکان های y 4,, y 1 راس ها نیز ثابت هستند. این دیاگرام فاینمن می تواند یک واگرایی فرابنفش در حدی که همه ی پارامترهای زمان ویژه τ 4,, τ 1 در حلقه صفر شوند را تولید کند. يك هارمونى كامل تر به یکى از هارمونی هاى طبیعت رسیده ایم. اگر از آن چه در چهار بعد براى توصیف گرانش کوانتومى انتظار داریم براى یک بعد نیز الگو بگیریم در آخر با چیزی روبرو مى شویم که یقینا در فیزیک مهم است تئورى میدان کوانتومى معمولى در یک فضازمان احتماال خمیده. در مثالمان در تصویر 4 تئورى میدان کوانتومى 5

8 Bigbangpage.com معمولى تئوری φ 9 اسکالر است چرا که با سیستم مادى خاصى شروع کردیم و به خاطر اینکه گرافى که داشتیم چهار رأس مربعى بود. براى مثال رأس هاى چهارتایى تئورى φ 1 را مى دهد و یک سیستم مادى متفاوت میدان هاى اسپین هاى متفاوت را مى دهد. از این نظر خیلى یا شاید بتوان گفت همه ى تئورى هاى میدان کوانتومى در D بعد را مى توان از گرانش کوانتومى در یک بعد استخراج کرد. درواقع اگر ما فرآیند را در دو بعد تکرار کنیم یک هارمونى خیلى کامل ترى وجود خواهد داشت یعنى براى یک ریسمان به جاى یک ذره. بالفاصله با این واقعیت روبرو مى شویم که یک منیفلد دوبعدى می تواند خمیده باشد: در یک نکته مربوطه باید گفت که همه ى متریک هاى 2D به طور لوکال تحت دیفئومورفیزم معادل نیستند. در کل یک متریک 2D یک متریک 2 2 متقارن است که از سه تابع ساخته مى شود: g ab = ( g 44 g 42 g 24 g ), g 42 = g یک تبدیل مختصه ى 2Dبعدی σ با رابطه ى زیر تولید مى شود: σ a σ a + h a (σ), a = 4,2 که می توانند تنها دو تابع را حذف کنند و اسکالر انحنا را به شکل یک ناوردا بر جاى بگذارند. همه آن پیچیدگى ها این را پیشنهاد مى دهند که انتگرال روى متریک هاى 2D خیلى به آنچه که در مورد 4D یافتیم شبیه نخواهد بود. اما حاال توجه مان را به آنچه در ادامه داریم معطوف می کنیم. قیاس طبیعى کنش که ما در یک بعد استفاده کردیم کنش نسبیتى عام براى میدان هاى اسکالر در دوبعد است یعنى: I = d 2 σ gg ab X I X J G IJ σ a σ b اما این ناورداى کونفورم است یعنى تحت تبدیل Weyl متریک g ab e φ g ab براى هر تابع حقیقی φ روى Σ. این تنها در دو بعد درست است و فقط اگر هیچ ثابت کیهانشناسى وجود نداشته باشد ما این عبارت را در رفتن به دو بعد حذف مى کنیم. شرط ناوردایى Weyl به خوبى ناوردایى دیفئومورفیزم براى اینکه هر متریک δ( ab به طور لوکال جزیى شود )به طور لوکال معادل با Σ روى g ab کافى است همانطور که براى تک منیفلد ها گفتیم. اکنون ابزار های بسیار زیباى ریاضیات قرن نوزدهم وارد بازى مى شوند. یک دو - منیفلد که متریکش را به یک تبدیل Weyl مى دهد سطح ریمانى نامیده مى شود. مانند مورد 4D یک سطح ریمانى مى تواند به صورت محدودى با خیلى از پارامترها به دیفئومورفیزم ویژگى بندى و مشخص شود.

9 سایت علمی بیگ بنگ دو تفاوت بزرگ وجود دارد: اکنون پارامترها مختلط اند وحقیقى نیستند و بازه ى آن ها در روشى محدود شده که هیچ جایى را براى واگرایى فرابنفش باقى نمى گذارد. بعدا به این نکته بازخواهیم گشت. τ 4 )باال( را به یک, τ 2 τو 9 تصویر 2. از خطوط به لوله ها. الف( می توان یک دیاگرام فاینمن با پارامترهای زمان ویژه ی سطح ریمانی متناظر )پایین( تبدیل کرد و این کار به آرامی به وسیله ی ضخیم سازی تمام خطوط در دیاگرام به لوله هایی که در آن به صورت هموار به هم متصل شده اند انجام می شود تا سطح ریمانی تبدیل مختصات Weyl با متغیرهای, τ 4 τ 2 τ 9 و پارامتربندی می شود. ب( فرآیندی مشابه می تواند دیاگرام تک حلقه ی فاینمن را به هم ارز تئوری ریسمان آن تبدیل کند )پایین(. اما ابتدا اجازه دهید نگاهى به رابطه ى بین پارامترهاى 2Dو 4D بیاندازیم. یک متریک روى گراف فاینمن τ 4 است., τ 2 τو 9 در شکل - 2 الف تا دیفئومورفیزم وابسته به سه طول حقیقى یا پارامتر وابسته به زمان اگر گراف در یک دو - منیفلد ضخیم شده باشد»thickened«همانطور که در شکل پیشنهاد شده است درنتیجه یک متریک روى آن دو - منیفلد تا دیفئومورفیزم و تبدیل Weyl وابسته به سه پارامتر مختلط τ 9 و, τ 4 τ 2 است. شکل - 2 ب نمایش دیگرى از رابطه ى بین یک گراف فاینمن و یک سطح ریمانى را مى دهد. ما از گرانش کوانتومى 4D براى توصیف تئورى میدان کوانتومى در یک فضازمان خمیده ى ممکن استفاده مى کنیم اما براى شرح گرانش کوانتومى در فضازمان از آن استفاده اى نمى کنیم. دلیل اینکه ما گرانش کوانتومى را در فضازمان نگرفتیم این است که هیچ تناظرى بین اپراتورها و حالت ها در مکانیک کوانتومى وجود ندارد. ما مکانیک کوانتوم 4D را با کنش بررسى کردیم. I = dt g ( 4 dx I X J 2 gtt G IJ t t 4 2 m2 ) 7

10 پ- Bigbangpage.com آنچه از این فهمیده شد که حالت هاى خارجى در یک دیاگرام باشند دقیقا حالت ها در مکانیک کوانتوم بودند. اما یک از شکل افتادگى متریک فضا زمان نه با یک حالت بلکه با یک اپراتور آشکار مى شود. هنگامى که یک تغییر δg IJ در متریک O = تغییر مى کند که I I + dt go ایجاد مى کنیم کنش با G IJ 4 2 g tt δg IJ t X I t X J اپراتورى است که تغییرى را در متریک فضازمان ثبت (encode) مى کند. به صورت تکنیگى براى محاسبه ى اثر اختالل در انتگرال مسیر یک فاکتور δi = dt go را درنظر مى گیریم و روى مکانى که در آن اپراتور O وارد مى شود انتگرال مى گیریم. در انتهاى یک خط خارجى در گراف فاینمن یک حالت ظاهر مى شود. اما همانطور که در شکل - 9 الف نشان داده شده است اپراتورى O مانند اپراتورى که یک اختالل را در متریک فضازمان شرح مى دهد در یک نقطه ى درونى در گراف پدیدار مى گردد. چون حالت ها به نقاط انتهایى خطوط خارجى وارد مى شوند و اپراتورها در نقاط میانى قرارداده مى شوند درکل هیچ رابطه ى ساده اى بین اپراتورها و حالت ها وجود ندارد. تصویر 3 حالت ها و اپراتورها. الف( یک از شکل افتادگی متریک فضازمان متناظر با اپراتور Oکه می توان آن را در برخی نقاط داخلی p روی یک گراف فاینمن وارد کرد. برعکس یک حالت در مکانیک کوانتوم به انتهای یکی از خطوط خروجی گراف می چسبد. ب( یک سطح ریمانی نیز می تواند یک جاسازی اپراتور داشته باشد. پ( اگر نقاط عالمت گذاری شده در قست )ب( حذف شود سطح ریمانی به شکل کونفورم با سطحی با یک لوله ی خروجی که قیاسی برای یک خط خروجی گراف فاینمن است معادل می شود. اپراتور O که در p وارد کرده بودیم به یک حالت کوانتومی یک ریسمان که روی لوله منتشر می شود تبدیل می گردد. اما در تئورى میدان کونفورم یک تناظر بین حالت ها و اپراتورها وجود دارد. = O اپراتور 4 2 g tt δg IJ t X I t X J که نشانگر یک افت و خیز در متریک فضازمان است به طور اتوماتیک نشانگر حالتى در مکانیک کوانتوم است. این به آن معناست که چرا این تئوری گرانش کوانتومى را درفضازمان شرح مى دهد. تناظر اپراتو - حالت از رابطه ى قرن 43 بین دو تصویرى که به طور کونفورمال معادل بودند سرچشمه مى گیرد. شکل - 9 ب نشان دهنده ى یک دو - منیفلد Σ با یک نقطه ى عالمت گذارى شده p مى باشد که در از Σ 9 آن یک اپراتور O وارد مى شود. در شکل نقطه ى p برداشته شده است و یک تبدیل Weyl متریک Σ را که قبال یک همسایگى کوچک نقطه ى p به یک لوله نیمه - نامحدود بوده تبدیل کرده است.

11 سایت علمی بیگ بنگ لوله قیاسی براى یک خط خارجى یک گراف فاینمن است که آنچه که در انتهاى آن وارد مى شود یک حالت ریسمان کوانتومى است. رابطه ى بین این دو تصویر تناظر بین اپراتورها و حالت هاست. براى درك تبدیل Weyl بین دو تصویر متریک صفحه )تصویر 1 ( در مختصات قطبى را درنظر مى گیریم: ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 وارد کردن یک اپراتور در نقطه ى = 3 r را در نظر می گیریم. حال نقطه را حذف کرده و یک تبدیل Weyl را با ضرب ds 2 4 در r 2 انجام مى دهیم تا یک متریک جدید را به دست آوریم (ds ) 2 = 4 r 2 dr 2 + dθ 2 برحسب < ω ω = log r, < متریک جدید خواهد شد: (ds ) 2 = dω 2 + dθ 2 که یک استوانه را شرح مى دهد. نقطه ى = 3 r در یک توصیف متناظر با توصیف دیگر به ω انتهاى استوانه است. در واقع آن چه که در یک توصیف به عنوان یک اپراتور وارد شده در = 3 r تعبیر مى شود در توصیف دیگر به شکل یک حالت کوانتومى که از = ω جریان مى یابد تعبیر مى شود. تصویر 4. یک صفحه ی R. 2 هنگامی که یک نقطه ی برچسب خورده ی p حذف می شود از طریق یک تبدیل Weyl به یک استوانه با یک متریک تخت معادل می شود. مکان عمودی روی استوانه با ω داده می شود و نقطه ی p به انتهای پایینی استوانه در = ω نگاشته می شود. تئورى ریسمان گرانش کوانتومى را در فضازمان شرح مى دهد اما گرانش را به تنهایى توضیح نمى دهد. این تئورى گرانش کوانتومى متحد با ذرات و نیروهاى گوناگون در فضازمان را توصیف مى کند. دیگر ذرات و 9

12 Bigbangpage.com نیروها متناظر با دیگر اپراتورها در تئورى میدان کونفورم ریسمان هستنتد البته جدا از اپراتور O که با یک افت و خیز در هندسه ى فضازمان مرتبط است یا به طور معادل با دیگر حالت هاى کوانتومى ریسمان هستند. تناظر اپراتور - حالت که به تئورى ریسمان شرح دهنده ى گرانش کوانتومى در فضازمان منجر مى شود در برخى حوزه هاى مکانیک آمارى و فیزیک ماده چگال نیز اهمیت دارد. در واقع این یکی از هارمونى های دیگر طبیعت است! بدون واگرايى هاى فرابنفش گام بعدى شرح این موضوع است که چرا این نوع از تئورى واگرایى هاى فرابنفش را ندارد که در تناقضى شدید با آن چیزى است که اگر به سادگى به دستورالعمل های کوانتش کنش اینشتین - هیلبرت براى گرانش اعمال کنیم رخ مى دهد. هنگام استفاده از آن دستورالعمل ها با واگرایى هاى فرانبفش رام نشدنى مواجه مى شویم که ابتدا در دهه ى 4393 یافت شدند. بعد از آن به طور کلى واضح نبود که مساله مخصوص گرانش است چرا که وقتى دیگر نیروهاى ذرات در چارچوب تئورى کوانتومى نسبیتى بررسى مى شدند واگرایى هاى فرابنفش مشکل سازی وجود مى داشتند. با این حال هنگامى که براى دیگر نیروها بر واگرایى هاى فرابنفش غلبه شد )اغلب به طور کامل با ظهور مدل استاندارد فیزیک ذرات در دهه ى 43٩3( واضح شد که این مشکل براى گرانش جدى است. برای درك این که چرا هیچ واگرایی فرابنفشی در تئوری ریسمان وجود ندارد بایستی کار را با این پرسش آغاز کنیم که واگرایی های فرابنفش چگونه در تئوری میدان کوانتومی معمولی سر بر می آورند. وقتی که تمامی متغیرهای زمان ویژه در یک حلقه به صورت همزمان به سمت صفر می روند این τ 4 همزمان صفر می شوند, τ 2, τ 9 τو 1 واگرایی ها به وجود می آیند. درنتیجه در مثال تصویر 4 وقتی واگرایی فرابنفش می تواند وجود داشته باشد. این درست است که یک سطح ریمانى مى تواند با پارامترهاى مختلطى که به طور تقریبى به موازات پارامترهاى زمان ویژه ى گراف فاینمن )شکل 2( هستند مشخص شود اما یک تفاوت مهم از واگرایى هاى فرابنفش در تئورى ریسمان جلوگیرى مى کند. متغیرهاى زمان ویژه ى τ یک گراف فاینمن کل ناحیه ى i τ 3 را مى پوشاند. برعکس پارامترهاى سطح ریمانى متناظر τ i از صفر به بیرون مقید مى شوند. در یک دیاگرام فاینمن داده شده مى توان یک سطح ریمانى متناظر ایجاد کرد اما به شرطى که مقدار متغیرهاى زمان ویژه خیلى کوچک نباشند. ناحیه ى فضاى پارامتر که واگرایى هاى فرابنفش در تئورى میدان رخ مى دهند به سادگى هیچ همتایى در تئورى ریسمان ندارند.

13 سایت علمی بیگ بنگ تصویر 5. ثابت کیهانشناسی یک حلقه ای. الف( در تئوری میدان کوانتومی این دیاگرام فاینمن با یک تک پارامتر زمان ویژه τ در زمره ی ثابت کیهانشناسی یک حلقه ای قرار می گیرد. ب( همتای تئوری ریسمان یک چنبره است که با یک پارامتر u )بخش موهومی پارامتر مختلط τ از تصویر 2 ب( مشخص می شود که به طور بحرانی کراندار دور از صفر است به جاى ارائه یک توضیح کلى و عام نشان خواهیم داد که این در مورد ثابت کیهانشناسى یک حلقه اى کار مى کند. دیاگرام فاینمن یک دایره ى ساده است )شکل - ٥ الف( با یک تک پارامتر ویژه ى τ. عبارت بدست آمده براى ثابت کیهانشناسى یک حلقه اى برابراست با: Λ 4 = dτ τ Tr exp ( τh) که H هامیلتونین ذره و برابر با ) 2 P) 2 + m ½ مى باشد. انتگرال در 3 = τ واگرا مى شود و واقعا واگرایى از جدى تر آن چیزى است که به نظر مى آید چون انتگرال تکانه بخشى از تریس است. رفتن به تئورى ریسمان به معنى جایگزینى دیاگرام یک حلقه اى کالسیکى با بخش همتاى ریسمانى اش - که یک چنبره مى باشد - است. )شکل - ٥ ب(. ریاضیدانان قرن 43 نشان دادند که هر چنبره به صورت کونفورم معادل با یک متوازی االضالع در صفحه با کناره هاى مقابل است که در شکل زیر تعریف مى شود: اما براى اینکه این ایده بدون درنظر مى گیریم: سختى و پیچیدگى توضیح داده شود به جاى متوازی االضالع یک مستطیل 11

14 Bigbangpage.com ارتفاع و پایه ى مستطیل را به ترتیب با sو s عالمت مى زنیم. تنها نسبت s /s u = به صورت کونفورمال ناورداست. همچنین به دلیل این که آنچه که»ارتفاع«مى نامیم برخالف»پایه«ى یک مستطیل اختیارى است آزادیم که s و s را تغییر دهیم که این متناظر با u u/4 است. پس مى توانیم خودمان را محدود به s s کنیم. بنابراین بازه ى u برابر با < u 4 است. پس در تقریب تحت بررسی که تنها مستطیل ها و نه متوازی االضالع ها را درنظر می گیریم ثابت کیهانشناسی یک حلقه در تئوری ریسمان برابراست با: Λ 4 = 4 2 du Tr exp ( uh) u 4 هیچ واگرایی فرابنفشی حضور ندارد چراکه حد پایینی انتگرال به جای اینکه 3 باشد 4 است. تحلیل کاملتر با متوازی االضالع حد پایینی روی u را از 4 به 9 2 شیفت می دهد. ما یک مورد خاص را بررسی کردیم اما این یک نتیجه کلی است. فرمول های ریسمانی فرمول های تئوری میدان را تعمیم می دهند اما بدون ناحیه ای که می تواند واگرایی های فرابنفش در تئوری میدان را بدهد. ناحیه درون قرمز (τ uیا ) به طور مناسب بین تئوری میدان و تئوری ریسمان ردیف می شود و این همان دلیلی است که چرا یک تئوری ریسمان می تواند از تئوری میدان در پیشگویی هایش برای رفتار در انرژی های پایین یا زمان ها و مسافت های بلند تقلید کند. فضازمان پيشامده هدف نهایی من توضیح حداقل تا بخشی از آن قسمتی از فضازمان است که از چیزی ژرف تر ناشی می شود به شرطی که تئوری ریسمان درست باشد. اجازه دهید در ادامه روی این واقعیت متمرکز شویم. فضازمان M با تانسور متریکش (X) G IJ به شکل داده های ثبت شد که ما را قادر می ساخت تا یک تئوری میدان کونفورم 2D خاص را تعریف کنیم. این تنها راهی است که فضازمان وارد داستان می شود. در ساختارمان توانسته ایم از یک تئوری میدان کونفورم 2D استفاده کرده باشیم ( به واسطه ی تعدادی قوانین کلی که برای خالصه نویسی آن ها را حذف کرده ایم(. حال اگر (X) G IJ به آرامی تغییر کند ( شعاع انحنا در هرجا بزرگ است( الگرانژین که به وسیله ی آن تئوری میدان کونفورم 2D را شرح دادیم به طور ضعیفی جفت می شود که این مفید است. از این نظر تئوری ریسمان با فیزیک معمولی که ما با آن آشنا هستیم منطبق می شود. در این شرایط ممکن است بگوییم که تئوری یک تفسیر نیمه کالسیکی برحسب

15 سایت علمی بیگ بنگ ریسمان ها در فضازمان دارد و در انرژی های پایین به تفسیری برحسب ذرات و میدان ها در فضازمان کاهش می یابد. هنگامی که از یک حد ضعیف نیمه کالسیکی دور می شویم الگرانژین خیلی مفید نیست و تئوری هرگونه تعبیر خاص را برحسب ریسمان ها در فضازمان ندارد. شکست بالقوه ی یک تعبیر فضازمان ساده خیلی از نتایج غیرکالسیکی را به همراه دارد از جمله توانایی گذار پیوسته از یک منیفلد فضا - زمان به دیگری با این واقعیت که نتیجه می شود انواع خاصی از تکینگی ها ( اما نه تکینگی های سیاه چاله( در نسبیت عام کالسیکی نشانگر شرایط کامال بدون خطر و هموار در تئوری ریسمان اند. مثالی از رفتار غیرکالسیکی تئوری ریسمان در تصویر 1 رسم شده است: تصویر 6. نمایشی شماتیک از یک خانواده از دو تئوری میدان کونفورم دو بعدی ( ناحیه ی خاکستری با خطوط سیاه محدود شده اند( که وابسته به دو پارامترند. برای برخی مقادیر پارامترها تئوری ها تعبیری نیمه کالسیکی برحسب ریسمان هایی که در یک فضازمان Mیا 9 M 4, M 2 در حال انتشارند دارا می باشند. به طور کلی چنین تعبیری وجود ندارد اما با این حال می توان یک گذار پیوسته از یک فضازمان کالسیکی خاص با فضای دیگر داشت همان طور که با خطوط رنگی نشان داده شده است. در کل یک تئوری ریسمان با هیچ تعبیر فضا زمان خاصی نمی آید اما چنین تعبیری می تواند در یک حد مناسب آشکار شود تا حدی به صورت مکانیک کالسیکی و یا گاهی به شکل حدی از مکانیک کوانتوم ظاهر می شود. از این نظر فضازمان از یک مفهوم به ظاهر بنیادی تر تئوری میدان کوانتومی 2D بر می خیزد. ما به دنبال ارائه ی یک توصیف کامل نبودیم از این نظر که در زمینه ی تئوری ریسمان فضازمان از چیزی ژرف تر سرچشمه می گیرد. یک جنبه ی کامال متفاوت از داستان فرای حیطه ی مقاله ی کنونی شامل Igor مکانیک کوانتومی و دوگانگی Duality بین تئوری پیمانه ای و گرانش می شود ( مقاله ی به 13

16 Bigbangpage.com Klebanov و Juan Maldacena در PHYSICS TODAY, January 2333, page 22 مراجعه کنید(. با این حال آن چه که ما شرح داده ایم یقینا چیزی مهم است و مانند جور شدن یک قطعه ی مهم در پازل است. حداقل یک بینشی جزیی درباره ی اینکه چگونه فضا زمان همانگونه که توسط اینشتین درك شد می تواند از چیزی ژرف تر ناشی شود ارائه شد. همین طور هست که به طور امیدوارانه ای در مدت این صد سال نسبیت عام مورد توجه و جالب است.

17 سایت علمی بیگ بنگ منابع برای مطالعه ی بیشتر: B. Zwiebach, A First Course in String Theory, 2 nd ed., Cambridge U. Press (2333). J. Polchinski, String Theory, Volume 4: An Introduction to the Bosonic String, Cambridge U. Press(233٥). M. B. Green, J. S. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory, Volume 4: Introduction, Cambridge U. Press(432٩). 15

18