Hagrannsóknir I. Glósur úr fyrirlestrum og dæmatímum Haustönn 2004

Transcript

1 Hagrasókr I Glósur úr fyrrlesrum og dæmaímum Hausö 004

2 Erledur Davíðsso Efsyfrl FYRIRLESUR KAFLI...4 FYRIRLESUR KAFLI...6 Ma og melar...6 Sklvrk (e. effcecy)...8 Eglekar mela sórra úraka...9 Aðfelluóhegður mell...0 Samkvæm (e. cossecy)...0 Aðfellusklvrkur mell... Aðferð hámarkslíkda (e. Maxmum Lkelhood Esmao (MLE))... FYRIRLESUR KAFLI skref hámarkslíkda...3 Smá upprfju úr ölfræð...6 Kua l prófs um ML...8 FYRIRLESUR KAFLI Aðfallsgreg...9 Þrjú arð um ε...9 KAFLI Frávkaform...7 FYRIRLESUR KAFLI Summa heldarfervka (SS)...8 Summa úskýrðra fervka (SSE)...8 Summa óúskýrðra fervka (SSR)...8 Forsedur sem þarf að kua...3 II. Forsedur um ε...33 Eglekar β...35 FYRIRLESUR KAFLI Gauss-Markov seg...4 FYRIRLESUR KAFLI ML-melar...46 KAFLI Marglíulek (e. mulcolleary)...47 Afleðgar marglíuleka...48 Varace flao facor (VIF)...49 Það sem er að va fyrr próf...50 Suðlaböd Böd á suðla...50 Háskól Íslads

3 Erledur Davíðsso 3 FYRIRLESUR KAFLI...54 Aukajafa (e. auxlary regresso)...55 Dummy-ar...57 Fullkom marglíulek...58 Recursve leas squares (afurvrksaðferð msu kvaðraa)...60 FYRIRLESUR KAFLI...6 Þessa úleðslu á að kua...6 Alme aðferð msu kvaðraa...6 Þverskurðargög...6 Msdref...6 Goldfeld-Quad...66 Whe-próf...66 Lagrage mulpler es...66 Breusch-Paga próf...66 FYRIRLESUR KAFLI...68 Msdref...68 Sjálffylg gráðu sjálffylg gráðu sjálffylg...69 Þrjú lvk...69 Próf fyrr sjálffylg...7 Gallar Durb-Waso...7 Úrræð...73 FYRIRLESUR KAFLI 8 - SLEMBISKÝRIBREYUR...75 Samkvæm...76 ímaraðr...76 Þrjú ólík lvk...76 Þrjú lvk sem þarf að kua...78 Ásæður fyrr fylg á mll X og ε...78 Mælskekkjur...78 Samímajöfu-bjögu...80 veggja þrepa aðferð...8 FYRIRLESUR...83 KAFLI...83 Ásæður fyrr ímaöfum í líköum...83 Áhrf X á Y Aðlöguarferlar...84 Dsrbued lags ímaafðar jöfur...85 Paral Adjusme Model...86 ADL...86 Vægar Aðlöguarvægar Ræðar vægar (RE)...88 Fyrr próf...89 Háskól Íslads

4 Erledur Davíðsso 4 3. Kafl. Segjum sem svo að vð séum með þýð sem er óedalega sór. Þýðð hefur: Meðalal: µ Dref: σ Úrök, meðalal X X hefur drefgu: Meðalal: E[ X ] = µ Dref: Var ( X ) σ = Hagrasókr I Fyrrlesur Ef ek eru sór úrök þá verður X. Mell: σ N µ,, óháð drefgu þýðss. x X = (Þea er mell) Þegar se eru gög þá fæs ma. Þegar um ea ölu er að ræða er alað um pukma. Öryggsbl: z x µ σ = Normaldref N ( 0,) Pr(-,96 z,96) = 0,95 X µ Pr(-,96,96) = 0,95 σ 95% öryggsmörk fyrr meðalalð ( X ) Háskól Íslads

5 Erledur Davíðsso 5 X ±, 96 s s er mell fyrr σ ( X ) X s = 3. Dæm um lgáur: H 0 : µ = 540 H : µ > 540 ype I error: Hafa H 0 þegar hú er sö. ype II error: Hafa ekk H 0 þegar hú er ósö. 4. Ibyrðs egsl drefga: a) Z N 0, b) Höfum okkrar byrðs óháðar z-breyur z, z,..., z = z χ dref með frelssgráðum. c) -drefg Höfum z, z, z,..., z z 0 z 0 -drefð með frelssgráðum d) F-drefg χ χ F-dref með [ u, ] frígráðum. Háskól Íslads

6 Erledur Davíðsso 6 5. Kafl Ma og melar X er slembsærð Þýð X X sem sök í þýðu θ = θ( X, X... X m ) Allr melar hafa drefgu. Þegar vð sgum ölum fáum vð ma.. Líl úrök eglekar mela ) Óhegður E( θ ) = θ E( θ ) θ Hegður mell => Bjögu (Bas) Bas ( θ ) = E ( θ )- θ Bas ( θ ) >0 Jákvæð bjögu Bas ( θ ) <0 Nekvæð bjögu Dæm: Óhegður mell: X er óhegður mell fyrr µ X = X X X = = EX ( ) EX... µ µ EX = + + = = µ Hagrasókr I Fyrrlesur ) Hegður mell X hefur drefgu σ Var( X )= Háskól Íslads

7 Erledur Davíðsso 7 Mell fyrr Var ( X ): v = = ( X X ) σ Var( X ) = E ( X X) = Var( X ) = ( X X) Ev = = E (( X ) ( X )) µ µ = = E (( X µ ) ( X µ )( X µ ) ( X µ ) ) + = E ( X µ ) ( X µ )( X µ ) ( X µ ) + = E ( X µ ) ( X µ ) Ve að: E ( X µ ) E ( X µ ) = E ( X µ ) ( ( X µ ) ) = σ σ E = σ ( ) σ Ev = σ = σ σ = σ ( X X) v = er hegður mell fyrr σ Óhegður mell fyrr σ ( X X) s = Kíkja síða á bls Háskól Íslads

8 Erledur Davíðsso 8 Efrfarad þarf að vera á hreu: Hvað er að vera bjagaður og óbjagaður mell. Kua sklgregua - jákvæð eða ekvæð bjögu. ( X X) = = = ( ) v v X X ( X X) s = E( s ( X X) ) = E = E = σ ( ) v ( ) Sklvrk (e. effcecy): vö sklyrð sem mell verður að uppfylla Mell θ er sklvrkur ef: = σ a) E( θ )=θ Óhegður b) Eg aar mell hefur m varace Með því að hafa lí varace er þrög bl og því mka líkur á því að fá ma sem er lag frá. Of er þá mðað vð líulega mela: θ = ax + + ax ) BLÓM: Bes Líuleg Óhegð Mell BLÓM ER SKILVIRKASUR AF ÖLLUM LÍNULEGUM MELUM. v) Mea Square Error (MSE) (Ísl: Hfervk) MSE( θ) = Bas( θ) + Var( θ) = E ( θ E( θ)) Velja á þa mel sem hefur lægs MSE. Háskól Íslads

9 Erledur Davíðsso 9 Eglekar mela sórra úraka: Aðfellueglekar (e. Assympoc) Aðfelludrefg fyrr θ er sú drefg θ sefr á þegar úrakð sækkar. Dæm: σ X N µ, σ Var( X ) = = 0 X µ plm( X ) = µ Plm drefg sefr á leka særð með ákveðum líkdum þegar Þea er kallað LÍKINDAMARKGILDI (Probably lm). = θ( X, X,, X ) = θ ( X, X,, X ) θ θ θ og θ eru skar (parameers). ökum mörg úrök fáum drefgar fyrr θ og θ. plm ( θ ) = θ plm ( θ ) = θ plm ( θ + θ ) = plm ( θ) + plm ( θ ) = θ+ θ plm θ θ plm = θ = θ plm θ θ Háskól Íslads

10 Erledur Davíðsso 0 Aðfelluóhegður mell Mell sem er hegður í upphaf vega smæðar, e þegar ha sækkar hær ha að vera hegður: v = σ plm ( v ) = σ Bjögu hverfur þegar. τ er mell fyrr σ σ τ = + σ 00 Þea er dæm um lð sem vðheldur bjögu, óháð hversu sór verður. Samkvæm (e. cossecy) Þrjú sklyrð sem þarf að uppfylla: θ er samkvæmur mell ef: ) Var ( θ ) 0 þegar p lmvar ( θ ) = 0 ) plm Bas θ = 0 3) plm MSE θ = 0 Háskól Íslads

11 Erledur Davíðsso Aðfellusklvrkur mell: ) θ er samkvæmur mell ) Eg aar hefur m aðfelludref Þegar orðð aðfellu er oað er verð að ala um mela sem eru ekr úr sórum úrökum. Kafl 5.3 Hemaverkefð byggs á að skoða hverg melar breyas þegar særr og særr úrök eru ek. Sleppa Mehod of momes. Aðferð hámarkslíkda (e. Maxmum Lkelhood Esmao (MLE)) MLE : Byggr á því að fa það gld á melum sem hámarkar líkurar á að vðkomad slembsærð haf komð fram. Fa þa mel sem hámarkar líkurar á að vðkomad slembsærð haf komð fram! Háskól Íslads

12 Erledur Davíðsso Dæm bls. 5. Segjum sem svo að vð séum með: 7 maa úrak verkamaa í verksmðju æla í verkfall Hvaða drefg gefur okkur mesar líkur á að vð fáum þessa úkomu? Bomal drefg:! x PX = π ( π) ( x)! x! 7! 7 6 PX = π π = π π = 36π (7 )!! ( π) dp( X ) 5 4 = 0 = 36π ( π) + 36π 5( π) ( ) dπ ( π) = π5 = 7π π = 7 x Seja á fram líkdafallð, dffra síða m... þess paramera sem vð höfum áhuga á að kaa. Háskól Íslads

13 Erledur Davíðsso 3 Hagrasókr I Fyrrlesur kafl Dæm: Hópur fólks er að fara í verkfall. Úrak: = 7 vlja fara í verkfall: x= Hvað er það gld sem gefur mesar líkur á að þea hlufall kom upp? Bomal drefg:! x P( X) = ( ) x! x! π π π = líkur = π ( π) P X 36 Nokkur gld á π : , 0,8 0, 0,94 0,3 0,058 0,5 0,00 0,8 ( ) π π π 0,0000 =0,76 0,88 7 Fallð er sý á bls x Eg er hæg að aka líkdafallð og dffra það l að fa hámark!!! 5 skref hámarkslíkda: (ÞEA ÞARF AÐ KUNNA!!!):. Skrfum upp líkdafallð. (ökum log (sudum ger)) 3. Dffrum með ll l vðkomad ska (parameer) 4. Fáum mel 5. Ma Háskól Íslads

14 Erledur Davíðsso 4 Dæm: ( π). Px = 36π 5 Px = 36 π ( π) + 36π 5( π) = 0 π 4 36π π π 5π = 0 Höfum áhuga á þessum svga π = 0 eða π = eru ekk áhugaverðar lausr. -π 5π = 0 = 7π π = 7 P x π ( ) ( ) ( ) x x x x ( xπ ( π) π ( x)( π) )! = + x! x!! x x x x π xπ ( π) π ( x)( π) = 0 x! x!! x! x! x ( ) x ( x) = 0 x π π π π x πx π+ πx= 0 x= π x lður 4: π = Héra höfum vð mel. = 0 Háskól Íslads

15 Erledur Davíðsso 5 ökum fler dæm með öðrum egudum af drefgum: Vð erum með geomeríska drefgu og vð ælum að oa haa l að kaa líkur á að lek aburður gers efr ákveð fjölda lraua. Höfum úrak (,,, ) X = X X X Líkurar á að fá em leka ahugu. (.d. gallað eak) x PX = ( θ) θ P( X) P X P( X ) x x x (( θ) θ )(( θ) θ )...(( θ) θ ) Líkd: Líkdafallð:,..., = ( θ θ) ( ( θ) θ) ( ( θ) θ) l = l L = l + xl + l + x l l + x l = l θ + ( ) ( θ) θ θ = ( θ) = θ θ ( ) X x X θ = = = Þýð + x X + X + E[ X] θ = Sama og ML gefur + E X [ ] = l x = + = 0 θ θ θ = x x lθ x x x θ + x = x θ + x = x Þegar vð hámörkum logarhma-fallð verðum vð að vera vss um að vð séum eg að hámarka líkdafallð. Of þæglegra að aka logarhma ef fallð er sór og flókð. Háskól Íslads

16 Erledur Davíðsso 6 Dæm Samfelldar breyur: Smá upprfju úr ölfræð: Þéfall: ) f( x) 0 < x< ) f ( xdx ) = b ) ( P a x b f x dx = ) f( x ) er líkdaþéfallð. P X Um þessa drefgu gldr alme: [ ] E X Var X = θe θ x = θ = θ E X θ = a [ ]... L= P X P X P X = θx θx θ x ( θe )( θe )...( θe ) ( θ θ ) ( θ θ ) ( θ θx ) l L= l x + l x l = lθ l l = x = 0 θ θ = x = 0 θ x x xθ = = θ X Vð fáum fullkoma myd af drefgu með því að va hverg þess sk líur ú. Háskól Íslads

17 Erledur Davíðsso 7 Dæm: Þéfallð: x µ P( x ) = exp πσ σ ( x µ ) = ( πσ ) exp Neðs á bls. 9 σ Úrak að særð úr x. Líkdafallð: ( x µ ) 0,5 P( x ) = ( πσ ) exp 0,5 σ Fallð líur svoa ú þegar búð er að aka logarhma af því: ll = 0,5l( π) 0,5l( σ ) 0,5 ( π) ( σ ) = 0,5 l 0,5 l 0,5 ( x µ ) σ ( x µ ) σ Jafa 5.3 í bók Það sem þarf að gera hér er að dffra m... veggja ska. µ = = ( x X) v = ( x ) ( x µ ) ( x µ ) ( x µ ) l L = 0, = σ σ > ( x µ ) = 0 x = µ σ µ x ( x µ ) ( ) l L 0,5 0,5 = = 0 0,5σ + 0,5 4 µ σ σ σ σ µ σ = ML-mell fyrr σ s = bjagaður óbjagaður ( x ) Háskól Íslads

18 Erledur Davíðsso 8 Mell sem vð erum með fyrr varace- er asempóísk óhegður, þegar sækkar verður og (-) okkur veg það sama. Mell fyrr meðalalð er óbjagaður í sórum úrökum, e það er mjög gagleg. Ef það er hæg að gaga að því vísu að drefg sé ormal og ógu sór úrak hverfur bjögu, mjög mklvægur eglek. Eglekar: ) ML-melarr eru aðfellu-óbjagaðr ) Flók líkö eföld í ölvum Áa sg á hverg þéfall um er að ræða. Summera fallð upp. Dffra og leða ú. Kua l prófs um ML Va hvað aðferð hámarkslíkd er. Kua þrep vð að leða ú melaa (5 skref sem þarf að kua!!!) Háskól Íslads

19 Erledur Davíðsso 9 Hagrasókr I Fyrrlesur Kafl 4 Aðfallsgreg: = 5 heml Ælum að skoða ekjur og eyslu. Neysla er fall af ekjum f ( ekjur ). Y = α + βx + ε Fyrr þýðð í held gldr: E Y = α + βx Y = E Y + ε ε er ruflu ( e. dsurbace ) = α+ βx + ε Þrjú arð um ε : ) Óþekk særð ) Áhrf aarra breya ) Maleg aferl Geum skrfað fyrr lekð heml: Y = + X + α β ε Vð höfum úrak (=5). Verðum að mea α og β α β. Y = α + βx Y = Y + e Y = α + βx + e e= Y α βx Y = α + βx + e e = Y α X β e: afgagslður / lefalður ( e. resdual) Háskól Íslads

20 Erledur Davíðsso 0 Myd á bls. 80 er mklvæg að kua VERULEGA VEL!!! Hvaða egleka hefur ε og hvaða egleka hefur e? Næs er að fa mela fyrr α og β. Reya á að lágmarka fjarlægða mll e og líuar. Skpr ekk mál hvor um sé að ræða ofma eða vama. Noum aðferð sem kallas: Vejuleg Aðferð Msu Kvaðraa (VAMK) (e. Ordary Leas Squares (OLS)). S = e Þea á að reya að lágmarka. e = ( Y α βx) S = e = Y α βx Lágmarka S með ll l α og β. S. = ( Y α βx)( ) = 0 α S. = X ( Y α βx)( ) = 0 β Kíkjum fyrs á lð. S = e( ) = 0 α 0 e = Háskól Íslads

21 Erledur Davíðsso Kíkjum svo á lð : S = Xe( ) = 0 β Xe 0 Leðum ú ú melaa fyrr α og β. ( Y α βx) = 0 Y = α + β Y = α + βx Normaljafa X( Y α βx) = 0 XY = αx+ βx Normaljafa = ( X ) Fáum jöfu fyrr α : Y = α + β X Y X = α + β Y = α + βx α = Y βx Sgum þessu ú : XY = α X + β X = Y βx X + β X Y = YX βxx + βx Muum að : Y og X = = Y X + β X βx X Y X = X + βx β X XY YX = β X X Erum ú kom með mel fyrr β : β = XY YX X ( X ) X Háskól Íslads

22 Erledur Davíðsso Reyum ú að umra þea mel þag að ha sé móæklegr. Skoðum þea hlu: X ( ) ( ) = X X + X X = + ( X ) ( XX ) = X ( X) + ( X) = X ( X) X X X = X XX + X = X X + X Erum ú kom með það sama og var udr srk í melum. Þá blasr vð að ef efara má efalda með þessum hæ, er þá ekk líka hæg að gera ehvað vð eljara? Jú, það er hæg. Förum ú að va í eljaraum. ( )( ) = + X X Y Y XY XY X Y XY = XY XY XY + XY X Y ( X X)( Y Y) = XY X Y + = X Y XY+ XY= XY XY Geum ú se í. XY XY X X Y Y β = = X ( X ) X X x = X X y = Y Y Og þar að leðad: x y β = x Háskól Íslads

23 Erledur Davíðsso 3 X Y =63, =63,9 x = 66.58, xy = ,5 xy ,5 β = = = 0,8 x 66.58, α = Y βx = 63,9 0,8 63,0 = 30,7 Y = 30, 7+ 0,8X Þea þýðr að ef ekjur esaklgs eru 0 mu ha eyða 30,7. Þegar ekjurar aukas mu eysla aukas um 0,8 af hverr króu. Þea er því jaðareysluhegð hemlaa. Ef þea vær logarhm myd þess ala þýða eyg. Kua allar sklgregar á : Úr kafla 4: Jafa þýðs Jafa úraks egg Gea ekað myda upp Gea se upp þea efalda líka og le þea ú. Og ehvað flera eflaus. Sleppum kafla 6. Háskól Íslads

24 Erledur Davíðsso 4 Kafl 7 Í kafla 4 leddum vð ú frekar efal líka. Vð gæum.d. verð með líka sem ly svoa ú: Y = β + β Y + β X + β X +ε 3 4 Y: Neysla á ímaum Y : Neysla á ímaum - X : ekjur X : Egr Alme er þea svoa: Y = β+ βx + β3x βkxk Hér er X fas. Þea er hæg að skrfa á mu efaldar há (fylkjaform). Vð það efaldas hlurr mjög: Á fylkjaform: Y=Xβ + ε Vð þurfum að áa okkur á hvaða víddr vð erum með í gag. Höfum: : fjöld ahugaa k: fjöld X Y X.. Xk β ε Y= X= β= ε= Y X.. Xk βk ε [ ] [ k] [ k ] [ ] Y = X β + ε [ ] [ ] [ ][ k k ] Háskól Íslads

25 Erledur Davíðsso 5 Y = β + β X + + β X Y = Y + e Y=Xβ +e... k k Lágmarka S = e = Y Y e = e + e e e. e e= [ e.. e] = e. e S = = ee ( Y-xβ) ( Y-xβ ) = Y -β X Y-Xβ =Y Y-Y Xβ - β XY+β XXβ [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ k k k k k k ] Þurfum að áa okkur á því að : YY= [ ][ ] = [ ] Y Xβ = [ ][ k][ k ] = [ ] βx Y= [ k][ k ][ ] = [ ] β XXβ = [ k][ k ][ k][ k ] = [ ] Nokkrar dffurreglur:. a X X a = a = a X X. XAX Aer samhverf ( XAX) X = AX Háskól Íslads

26 Erledur Davíðsso 6 Efrfarad þarf að kua ua af mjög vsæl spurg. Sklgrea beamel, segja hvaða hugsu sé á bakvð ha og sýa helsu skref í að leða mel ú. S = YY-YXβ-β XY+β XXβ = YY-β XY+β XXβ S = XY+XXβ = 0 β XY= ( XXβ ) - - ( XX ) XY= ( XX ) XXβ Kíkjum ú á e hlu: XY= XXβ Y=Xβ + ε X ( Xβ + ε ) =X Xβ XXβ +X ε =X Xβ X ε =0 Hvað þarf maður l að leða ú β og reka: β = X X. Kua að leða mel ú - -. Reka ( XX) og ( XX) og ( XY ) 3. Margfalda ( XX ) - Á próf koma aðes fyrr XY fylk. X Y Háskól Íslads

27 Erledur Davíðsso 7 Frávkaform: () Y = β + β X + + β X + e... k k e = ( β+ β β k k + ) () Y X X (3) Y = β + β X + + β X +e... k k... k k ()-(3) = Y Y = β β + β X X + + β X X + e e Vum að : ( ) e e = e k ( ) e = 0 e e = Og þ.a.l. e e β... β( k) Y Y = X X + + X X + e k y = β x β x + e k k Melar: - β = x x x y fyrr β,..., β β = β x er ( x,..., ) Y X x k k Háskól Íslads

28 Erledur Davíðsso 8 Hagrasókr I Fyrrlesur Kafl 7 Vð erum kom á bls. 78. Reyum ú að fa hversu góð aðfallslíkg okkar er. Þegar búð er að mea líkað - Skoðum ú Höfum β = x x x y og höfum fegð ú β Y = X + e= y+ e. R e það er mælkvarð á hversu góður úskýrgarmáur jöfuar er. ( ) ( Y Y) Y Y = Y Y + e : Sveflur í Y í krgum Y ( Y Y) : Sveflur í Y í krgum Y Sá hlu ( Y Y) sem aðfallslíkg úskýrr Úleðsla: ( ) = + + ( β β β k ) Y Y Y Y e e Y Y e e Y Y = e + X X Y e k = β + e + β X e β X e Y k k ( ) Y Y Y Y e = + Summa heldarfervka (SS): ( Y Y) Summa úskýrðra fervka (SSE): ( Y ) Y Summa óúskýrðra fervka (SSR): e Háskól Íslads

29 Erledur Davíðsso 9 Erum með: ( ) Y Y = Y Y + e SS = SSE + SSR SSE SSR = + SS SS SSE SSR R = = SS SS Sp. Hverg á að úlka R? R ]0,[ ) Sýr sambadð á mll Y og X. ) Segr ekker um orsakasambadð. Dæm: a. ekjur = ( meu) b. Meu = ( ekjum) 3) Breyleg á mll úraka. Y = β + β x + ε f Y = β + β x + ε f 4) Geur mæl áhrf aarra breya sem ekk eru í líkau á Y og X. Dæm: el mg vera bú að komas að efrfarad: f árasr á fólk Er bú að sjá að sala á ís = Í þessu lfell hef ég kask gleym að aka ll l þess að: Íssala = f ( sól) Árásr = f ( sól) 5) Áhrf íma (spurous regresso). 6) R hækkar með fjölda skýrsærða, X. Háskól Íslads

30 Erledur Davíðsso 30 R = Leðré R ( ) ( ) SSR k SSR R = = SS - SS k Breyum bæ vð Breyum bæ vð Breyum bæ vð: k SSR SS SSR SS k Neóáhrf eru fyrrfram óvss. Ef vðbóarbreyurar ega hema í líkau þá : SSR > SS k Dæm: R = 0,9 R = 0,9 SSR SSR = 0, = 0, 08 SS SS = 5 =5 k = 5 k=6 Hvor jafa er ber? 4 k = 5: R = 0, = 0,= 0, k = 6: R = 0,08 = 0,= 0,9 9 R dæm eru allaf á próf þar sem á að úlka hlu. Sklja hvað það og hverg á að reka úr því. Yfrle þýur R upp úr öllu vald ef ím er í göguum. R er, hverg á að oa Háskól Íslads

31 Erledur Davíðsso 3.. R < R ema ef R = R geur hækkað ef breyum er bæ vð. e k AIC : AIC = l + Örvar: Bæum vð breyu Lágmarka AIC. Kua kafla 7 mjög vel. Hæg að á próf bara með því að kua kafla 7. Y=xβ + ε - - β = ( x x) x y = ( x x) x ( xβ + ε) Þýð: Y = β+ βx βkxk +ε Úrök: Y = β + βx βkxk + e = Xβ +e Háskól Íslads

32 Erledur Davíðsso 3 Forsedur sem þarf að kua: IA. X er ekk slembsærð, Y er slembsærð. Y = X β + e e er slembsærð Y er slemb IB. X hefur fös gld, e er breyleg Y er breyleg mll úraka. β = xx xy β er breyleg og hefur drefgu (bls ) IC. x j x = Q ( X ) X j þegar ID. Það er ekk fullkomð líuleg sambad mll X. Y = β + β X + β X +ε X = 3 X x x er ekk l β er ekk l. ( x) x x er o-sgular x er l. ökum sama IC og ID: x xer o-sgular og þag úr garð gerð að þegar: Q er o-sgular fylk af fösum. x x Q Háskól Íslads

33 Erledur Davíðsso 33 II. Forsedur um ε IIA. E ( ε ) = 0 fyrr öll og þ.a.l. er meðalalð = 0. IIB. Va r ε = E ε E ε = E ε = σ(fas) Dref allra skekkjulðaa er sú sama. IIC. Cov( εε ) E ( εε ) 0 eg sjálffylg = =. j j IID. ε er ormaldrefð. ( ) ( ) ( ) ε er vekor. εε = fylk. ( ε ) ( εε) ( εε ) ( ) E E E E σ E εε ε 0 σ 0 0 εε = E( εε) E σ ( ε) εε = σ = σ I ( 0, I ) ε NID σ N: Normaldrefg. ID: Idepedaly dsrbued. Háskól Íslads

34 Erledur Davíðsso 34 εε ( ε ) ( εε). ( εε ) ( εε ) E( ε).. E E E E = σ I E.... ( εε ).. E( ε) ( ε) ( εε). ( εε ) ( εε)... Var Cov Cov Cov.... Cov = = ( εε).. Var ( ε ) Varas-Covaras fylk Allar þessar áa forsedur á að kua, sklja í hverju þær felas og gea úskýr hvað þær þýða. Mklvæg að vera með þea á æru!!! β = x x x y Háskól Íslads

35 Erledur Davíðsso 35 Eglekar β : I. Líulegur mell : β = ( XX) II. Óhegður mell : β = ( X X) - X Y - β = ( X X) X ( Xβ + ε) - XY = CY C=fas - - β = X X X Xβ + X X X ε β = β + ( X X) - X ε = β +Cε (IA,IB) E ( β ) =E( β +Cε) =E β +E Cε = β +E ε = β E ε =0 (IIA) E ( β ) = β Héra eru oaðar forseur IA, IB og IIA. (bls. 87) III. Samkvæmur Y = Xβ + ε = β + β X β X + ε = β + β β + ε Y X k X k Y - Y = y = β x β x + ε -ε = xβ + ε -ε - - β = ( x x) x y = ( x x) x ( xβ + ε - ε) - - = ( x x) x xβ + ( x x) x ( ε - ε) - = β + ( x x) x ( ε - ε) k k k k Háskól Íslads

36 Erledur Davíðsso 36 ( x x x ) plm( β) = plm β + ( x x) x ( ε ε) ( β) plm ( ε ε) = plm + x x plm( β ) = β + plm x ( ε ε ) ( ε ε) = β + plm x x plm x Kíkjum ú á fyrr lð: plm x x = Q plm x x = Q Og ú se lður: ( ε ε) = ( )( ε ε) = ( ε ) x X X Cov x X er ekk slemb heldur fös særð. Cov( Xε ) = 0 Og þá erum vð bú að saa að: plm( β ) = β Mell er því líulegur, óhegður og samkvæmur. Háskól Íslads

37 Erledur Davíðsso 37 Hagrasókr I Fyrrlesur Kafl 7 Í prófu verða úleðslur, eglekar mela, ehver dæm þar sem beðð verður um að fa mel sbr. bls 00 og 0. Kíkjum ú hverg varace- og covaracefylk er hjá β. Vljum va hverg vð geum fegð varace- er hjá β og þ.a.l. saðalfrávkð. Þegar saðalfrávkð er fudð geum vð ger lgáupróf. Fylk β. E β β... ( ) ( E β ) ( β β β E β β ).. E β β β β =.... ( E β ) ( k βk β β.. E β k β k) Var ( β).. Cov( ββ ) k ( Cov β β Var β ).. =.... Cov ( β ) ( kβ.. Var β k ) Háskól Íslads

38 Erledur Davíðsso 38 - β = ( X X) X Y - = ( X X) X ( Xβ + ε) - = β + ( X X) X ε - - = X X X Xβ + X X X ε - ( β - β ) = ( X X) X ε ( E β - β β- β) ( - - =E β - β β- β ) =E ( ( X X) X ε) (( XX) Xε) = σ I - - =E X X X E εε X X X E εε E β - β β- β = σ XX XX XX =σ XX ( x) x er jj sak í x Varace fyrr sérhver jj β er jaf σ x j = =,,...,k. j ( j) Sjáum líka að Cov ββ = σx. Ahugð: 3 x x x 3 ( x x) = x x x x x x Var ( β) = σ x Var ( β ) = σ x Fylkð hér að ofa er symerísk. Háskól Íslads

39 Erledur Davíðsso 39 Ef verð er að va með frávkaaðferð (lla x og lla y í sað X og Y), þá fáum vð að jj Var β = σ x j=,3,...,k. ( j ) E hluur er ekk ek fyrr í bók sem verður ek fyrr hér. β = X X X Y Geum skrfða þea sem β = AY Það sem vð erum að vela fyrr okkur er það hvor að β sé bes mell. Er kask l ehver aar mell með m varace? l að svara þessu þarf að búa l aa mel, sýa fram á hvaða egleka ha þarf að hafa og sýa fram á að ha sé ekk ber e β. β β ( X X X C)( X ) β = β + X X X ε + CXβ + Cε E( β) = E β + ( X X) X E( ε) + E( CXβ) + CE( ε) E β = β + CXβ β ef CX =0 = + CY = X X X Y + CY = X X X + C Y β = + β + ε β = X X X Xβ + X X X ε + CXβ + Cε Er Var ( β) > Var ( β) ( ) ( )( Var β = E β β β β ) ( β + ε + β + ε β) E X X X CX C Háskól Íslads

40 Erledur Davíðsso 40 Þar sem: ( ) ( ε ε) ( ε ε ) ef β β = E ( x x X ε + Cε) ( ε C+ ε X ( X X ) ) Var( β) = E ( X X) X ε + CXβ + Cε X X X ε + CXβ + Cε = E X X X + C X X X + C Var εε εε = E X X X C + X X X X X X = σ ( X X) X C+ ( X X) + CC + CX ( X X) er óhegður, þ.e. cx=0 σ ( X X) Nðursaða: ( Var β) = σ ( X X ) X C + ( X X ) + CC + CX ( X X ) Var β = σ X X Var ( β ) geur aldre verð m e ( Var β) = σ ( X X ) + σ CC. σ CC 0 Var ( β) > Var β. 0 ( ) σ CC = Var β = Var β Var ( β ) þar sem vð höfum alla þessa auka lð. Ú frá þessu höfum vð efrfarad segu: Vejuleg aðferð msu kvaðraa er BLÓM (Bes líuleg óhegð mell). Háskól Íslads

41 Erledur Davíðsso 4 Gauss-Markov seg:. Hð saa líka er líuleg. X er ekk slemb 3. Vogld ε er 0 ( E ε = ) 0 4. X er ekk fas og ekker líuleg sambad á mll X-a. Var ε = σ 5. ef þess sklyrð eru uppfyll Var ( β ) Var ( β ). Vum ú að: ( ) ( Var β = σ X X ) Vadamálð er það að vð vum ekkσ. Lokahykkur er því að fa mel fyrrσ. Þegar það er komð geum vð farð að gera lgáupróf. Höfum því áhuga á að fa mel fyrrσ. Það sem vð vum er að : e= Y X β Y X X X X Y = = I X X X X Y Um M gldr að M M = MM = M e= MY ( Xβ ε) = M + ( ) M = MX β + Mε MX β = I X X X X X β = IX β X X X X X β = IX β IX β = 0 e= Mε ee= Mε Mε = ε M Mε = ε Mε Vum að = ee e race af fylk = summa meghoralíuuar ( r ( A) = a ). Háskól Íslads

42 Erledur Davíðsso 4 ee ee ( ε ε) ( εε M) ( rm) E( εε ) E e e = E r M = E r = = r M σ ( ) = r M r I X X X X = r I X X X X ( ) I er m m X X ( X X) r M = r I I = k er egafylk af vídd k. k σ = = E e e k E ee = e Og því er mell: e σ = s k = σ E e e k Héra höfum vð fegð mel. þar sem s er óhegður mell fyrrσ. Sögðum áða að: Var ( β) = σ ( X X ) = s ( X X) Háskól Íslads

43 Erledur Davíðsso 43 Nú er aðes e skref efr þagað l hæg er að fara í álykuarfræða: Y = β + β X + β 3X3+e er β markæk frá β Alme gldr: β j β j N σ σ β j β j ( 0,) er óþekk oa s í sað σ β j β jj j s = s X dref með ( -k ) frelssgráðum β j s β j Sp. E af hverju er hú -drefð e ekk ormal-drefð?. e = ( Y Xβ) ( Y Xβ) Noum k-fjölda β. Vum að ef forsedur halda þá er : ε NID ε 0 N σ ε N σ ( 0, σ ) ( 0,) og eg að ε σ e σ χ ( 0,) χ dref breum buru k frígráðum og egum því efr -k frígráður. dref með -k frígráðum Háskól Íslads

44 Erledur Davíðsso β β σ e σ β k er -drefð með -k frígráðum Þea má umra. Vum að: e og því: k = s β β β β σ σ β β β β = = er -dref með ( -k ) frígráðum s s β s β σ σ β Geum ú farð að draga álykar og gera ölfræðpróf. Dæm: Y = β + β X + β X +e β 3 3 β 3 0,3 0,05 H 0 : β = 0 H : β 0 A s,7 0,8 0,6 0,3 β 0 0,6 0 = = Sama og að skrfa s 0,3 β β s k = 3 = 5 k = Gldð fyrr 95% öryggsmörk er,074 í veggja hala próf með f.g. H 0 β Hæg er að hafa ef úkoma hefð verð særr e,074. Hér er rekaða -gldð,0. Krííska gldð er,074. K-gldð > rekaða gldð geum ekk hafað H0 vð þess markækmörk. Háskól Íslads

45 Erledur Davíðsso 45 Aað dæm: H β 0 : β = 0,5 S β 0,5 0, 6 0,5 0, = = 0,3 0,3 Héra vær ekk hæg að hafa lgáu um að β = 0,5 Háskól Íslads

46 Erledur Davíðsso 46 Hagrasókr I Fyrrlesur Kafl 7 ML-melar ( y-β x ) ( y-xβ ) ee ( ) L = πσ exp πσ exp = σ σ l l l σ L= π σ ( y-x β) ( y-xβ ) l L = l π lσ σ ( yy-βxy+β xxβ ) l L 0 = x y+ x xβ = β = x x x y sama og áður β σ l L = + 4 ( y-xβ) ( y-xβ ) = 0 σ σ σ σ = σ = εε εε ekk sama og í VAMK s εε = k Ef þea er mjög sór úrak mu -k sefa á og því verður ha óbreglaður fyrr sór úrök. Ef úrakð er sór verður muur á meluum eg. Og þá er kafla 7 lokð. Háskól Íslads

47 Erledur Davíðsso 47 Kafl 9 Marglíulek (e. mulcolleary): ( XX) ( xx ) M. og eru sérsæð fylk, ákveða er ekk l. Geum l dæms verð með: Fyrr þýðð í held gldr: β β β3 E Y = + X + X3 Úrakð er gallað þar sem líuleg sambad er á mll X og X. 3 X = a+ bx 3 = β + β + β ( + X ) E Y X a b 3 = β + aβ3+ βx + β3bx = ( β + aβ ) + ( β + β b) X 3 3 = µ + µ X Ekk eglek þýðss heldur úrakss, úrakð er gallað. Þea kallas fullkom marglíulek. Ef vð erum með marglíulek á háu sg þá sefr ákvað fylkss á 0: ( XX ) de 0 sök í ( xx ) - verða sór, sérsaklega sök á meghoralíu fylkss. Ef að sök eru há verður saðalfrávkð sór, og því geum vð ekk hafað lgáum að suðull verð 0. Veldur því að suðlarr í lgáupróf verða ómarkækr frá 0. Var Var ( β) = σ ( XX) ( β ) = σ ( x ) Há x veldur því að það verður há Var ( β ). Háskól Íslads

48 Erledur Davíðsso 48 Afleðgar marglíuleka:. Hár Var β. Léleg -gld 3. Erf að sudurgrea áhrf esakra þýðbreya (X-a) á Y. Ef vð erum.d. með E Y M. -gld fyrr β og β léleg. 3 = β + β X + β X 3 3 Það má þó ekk aka því þag að jöfur með lélegum -gldum þýð marglíuleka. Það geur líka verð að vðkomad breyur haf ekk áhrf á Y. Hveær geum vð þá rey að ályka sem svo að það sé marglíulek l saðar með því að skoða -gldð. Ef vð höfum með jöfu og höfum fegð go (há) R og léleg -gld. Geum verð með marglíuleka. Geum ger Próf : Ekk formleg próf! Ahugum fylg: ( ) XY ( xy ) r XY ( ) ( ) Cov X Y r = Var X Var Y = = x y 3 x x3 x3 ( x x) x x x = x x x 3 = x x x x3 x 3 Kíkjum á ákveðua: x x = x x 3 xx3 Var ( β ) = σ x = σ x ( ) x x3 xx3 Háskól Íslads

49 Erledur Davíðsso 49 Y = β + β X + β X +ε 3 3 ( xx 3) x x = ( 3) = x x3 3 r x x r Það blasr því vð að: σ x σ x σ Var ( β ) = = = x x r x x r x x r x Það sem sedur því efr er: σ Var ( β ) = ( r ) x3 r há Var ( β ) verður hár Þea gldr egögu ef vð erum með vær breyur. Alme séð þá geum vð rey að seja þea upp með aðes öðruvís hæ ef vð erum með fler e vær breyur. Alme: Varace flao facor (VIF): VIF ( β ) = R Erum.d með svoa fall: x = 3 Y = β + β X + β X + β X +ε X = α + α X + α X R Efr því sem R er hærra verður Var ( β ) hærra. Það er ekker kríísk gld l fyrr þea próf, þea er bara ábedg. Háskól Íslads

50 Erledur Davíðsso 50 Það sem er að va fyrr próf: Sklgrea hvað marglíulek er Hverg ha kemur fram (í göguum og í r, lélegum -gldum) Segja hvaða áhrf þess marglíulek hefur (fullkom og á háu sg) Hverg maður geur jékkað á að það sé marglíulek (fylg, ef það eru vær breyur eða fler). Lokaðursaða: Ef vð höfum marglíuleka er ekker hæg að gera ema að fá ber gög. Suðlaböd Böd á suðla: Segjum sem svo að vð séum að mea fall: q= β + β X + β P+ β g+ε 3 4 Sejum upp : β + β3+ β4 = 0 Þea á að halda β4 = β β3 ( X g) ( P g) q = β + β X + β P β + β g+ ε 3 3 = β + β + β +ε 3 Böd Nú eru kom böd á jöfua. Ef óbuda jafa úskýrr mera af breylekaum í q (mera e sú buda) þá hlýur það að þýða að: SSE U > SSE R Þ.e. úskýrgamáur óbudu (U) mer e í budu (R). SS = SSE + SSR = SSE + SSR U U R R Og því : SSE SSR U U > SSE < SSR R R Háskól Íslads

51 Erledur Davíðsso 5 Prófð byggs því á muum lefalðaa í budu og óbudu. Sejum því upp efrfarad próf: SSRR SSR SSR U U F dref með frígráðum sem eru jafar fjölda buda suðla. Noum prófð: ( R U / U SSR / ( k ) SSR SSR k k Í okkar lfell: k = 4, k = 3 U U R U Þurfum fyrs að mea fyrr jöfua sem er óbud, og síða se jöfua. ökum e sérlvk: Úr Grel: F-sasc: ölva keyrr allaf q = β Þea er próf fyrr β = β3 = β4 = 0 R ) Þara er ölva að mæla hversu mkð ég ge hafað því að hafa þess böd. Ef að rekaða gldð úr ( SSR ) / R SSRU ku kr er særra e kríska gldð er H 0 hafað. SSR / k U U Ef ekk er hæg að hafa er verð að segja að allar breyurar hafa eg áhrf á H. H0 0 Erum að gá samíms hvor að eg breyaa haf áhrf á þea all í eu. Háskól Íslads

52 Erledur Davíðsso 5 Dæm: SSR U = 8 SSRR = 50 =5 k =4 U k = R F-próf: ( SSR ) R SSRU ku kr SSR ( k ) / 50 8 /3 3 4 = = = / 8 / U ku kr = 3 Frígráður: Skoða bók!!! k = Krííska gldð er 3,07. U U Gldð er prófu er mu hærra e krííska gldð og því er ðursaða að hafa H 0. F-próf: ( SSR ) R SSRU / ku kr F[, SSR ( k ) U ku kr ku / U ] Dæm bls. 47. Fáum allaf uppgefð krííska gldð. Þarf að kua að seja upp prófð og gea sag hverg prófsærð er drefð með þessum vemur frígráðum. Segjum sem svo að vð séum að mea jöfu sem líur ú svoa: () Y = β + β X + β X + β X () Y = β + β X + β X H : β = X 5 (3) Y = β + β X + β X + β X + β () er óbud mðað vð () () er hsvegar bud mðað vð (3) þar sem þar vær H0 : β 5 = 0. Ef vð æluðum að oa (3) vær () bud með eu bad e bud með vemur. Háskól Íslads

53 Erledur Davíðsso 53 () Y = β + β X + β X β X SSR () Y = β 3 3 Í () SSE = 0 SSR = SS ( ) R k k U SSR ( ( ) SSRR SSRU / ku kr SS SSRU / ku k = SSR / k SSR / k U U U U SSEU SSE / / U R U ku k k k R R / ku kr = = SS = SSR / ( k ) SSRU / ( k ) R / k U SS R R ) ( ) U u U Háskól Íslads

54 Erledur Davíðsso 54 Hagrasókr I Fyrrlesur kafl Y = β + β X + β X + β X +ε Höfum: Geum ger ýms próf: -próf: β = 0, eða β = 0,5 o.s.frv. F-próf: Mörg böd í eu:. β = β3 = β4 = 0. Öur böd β = β =. Chow próf Y = β+ βx βkxk +ε Bud SSER + SSRR = SS Y = β + β X β X + β X β X +ε Óbud SSEU + SSRU = SS 9.6 k k k+ k+ q k SSE + SSR = SSE + SSR R R U SSR SSR = SSE SSE R U U U R Höfum se prófð upp svoa: ( SSRR SSRU) / ( ku kr) SSR / ( k ) U U ( ) h: k k U R Geum efaldað þea: SSEU SSER / h SSRR SSRU / ku kr ( SSEU SSER) / h SS SS = = = SSR / k SSR /( k ) SSRU / R / k ( k U ) SS ( RU RR) / h ( ) U U U U U U Á bls. 5 og 53 eru ek fyrr vö öur próf l að kaa rémæ suðlabada:... χ próf -próf Öur Háskól Íslads

55 Erledur Davíðsso 55 Það þarf að va hvað á er vð með suðlabödum. Jafa sem hefur fler paramera er allaf óbuda jafa. Á bls. 46 og 47 er alað um χ próf : SSR σ χ dref með -k frígráður. SSR SSR σ R χ U ku kr SSR e Mell fyrrσ í sóru úrak : σ = ML = próf χ : SSRR SSR SSRR U χk u kr bls. 5-5 Þea má seja upp á aa há (Öur leð : (bls 5-53)) Höfum með budu jöfua SSRR = e R Aukajafa (e. auxlary regresso): e δ δ X δ X = χ dref með ( k k ) R... k k Það má sýa fram á að : Eg má sýa fram á að : SSR ( U R frígráðum) e SS = SSR e U = SSR SSR e e ( SSR SSR ) SSR SSR SS SS ( R ) R U e e e e = = = = R SSR / / SSE U SS e e SS R SSR Ef það er mkð sambad mll lefalðaa og breyaa δ þá er e e R e há. Háskól Íslads

56 Erledur Davíðsso 56 Y = β + β X + β X + β X + β X +ε H : β = β = Y = β+ βx + β3x 3+ ε SSRR. e = δ + δ X + δ X + δ X + δ X R e Segjum sem svo að vð séum með jöfua: Y = β+ βx + β3x3+ β4x4 + ε Vljum ahuga hvor að β = β = θ = sé sa. β + β N 3 ( β + β, v 3 ) 3 v = Var + Var + Cov ( β ) β β β 3 3 ( β + β3) ( β + β3) N v ( ) v = σ x + x + x 33 3 σ er óþekk, meum s ( ) u = s x + x + x 33 3 ( 0,) í sað. ( β + β3) ( β + β3) dref með k u frígráður. Í Grel fáum vð allaf Log(L) gld: Log L = lu LR = l l χ R U ku kr Þá erum vð bú með próf í bl. Egum bara efr að skoða Chow-próf sea. Háskól Íslads

57 Erledur Davíðsso 57 Kafl 9.4 Bls. 60 Dummy-ar Q= β + β E+ β P+ε 3 Sejum dummy breyu: D = á 4. ársfjórðug e aars 0. Y = β + β E+ β P+ αd+ε. 3 Y = β + β E+ β P+ α ED+ε. 3 D ED E Ef α er ölfræðlega markæk frá úll: Y = β + β E+ β P+ α ED+ ε Y = β + β E+ β P+ε á ársfjórðugum Y = β + β E+ β P+ α ED+ ε Y = β + β + α E+ β P+ε á ársfjórðug Segjum að: l w= β + β E + β K +ε X 3 K: ef karl aars 0 Ef karlar og kour fá ólík borgað fyrr sarfsreyslu sía geum vð se þea svoa upp: w= β + β E + β K + β E K + ε l X 3 4 X Msmuur sarfsreysluáhrfa efr ky Geum oað dummy breyur hér l að skoða hvaða áhrf það hefur að vera karl. Háskól Íslads

58 Erledur Davíðsso 58 Fullkom marglíulek: C β βc β3y = + + +ε Ársfjórðugsgreg: C = β + β C + β Y + β D + β D + β D +ε Það má ekk seja þea upp svoa: C = β + β C + β Y + β D + β D + β D + β D +ε Þara eru allr dummy-arr komr og því erum vð kom með fullkom marglíuleka þ.s. : D+ D + D3+ D4 = = X Aaðhvor þarf að:. Sleppa eum dummy. Slepppa X ökum dæm þessu l suðgs: l w= β + β E + β Karl + β Koa Fullkom marglíulek þ.s. β + β = = X X l w= β + β E + β D + β D + β D +ε X D 3 : Gruskólapróf D : Framhaldsskólapróf D : Háskólapróf Héra verður : β3+ β4 + β5 = = X Héra þarf því að sleppa e breyu l að fá ekk fullkom marglíuleka. Ef D er slepp sía breyurar β og 4 β 5 áhrf þess að hafa mer próf e bara gruskólapróf. Þá eru gervbreyurar búar. Prófspurg: Hvað gers þegar allar breyurar eru sear í jöfua? Háskól Íslads

59 Erledur Davíðsso lður í F-prófum: Chow-próf Erum bú að mea jöfu sem líur ú svoa: (9.60) Y = β+ βx + β3x3 + ε Höldum að á ehverjum íma haf breyg á sér sað þag að suðlarr haf brey um gld,.d. ef það er verð að skoða hagvöx þá haf.d. olíuverðsbreygar 78-8 brey hagvexum. Erum með fyrr hlu se hlu og sem eru ehver vö ímabl. D= 0, =,,..., D=, =,..., + SSR U (9.6) Y β α D βx αxd β3x3 α3x3d (9.6) Y ( β α) ( β α) X ( β3 α3) X3 = ε = ε ( R U ) / SSR /( k ) SSR SSR k Þea má seja upp með öðrum hæ (bls. 67): U. Mea (9.60) fyrr hvor ímabl. Það gefur okkur SSRR og SSR R. Mea (9.60) fyrr all ímablð í eu. Þá fáum vð SSRR = SSR P P: pool Chow-prófð: ( P ( R+ R) )/ ( SSR + SSR )/( k ) SSR SSR SSR k R R Ef að það hefur eg breyg á sé sað á ímablu verður SSR + SSR R R. SSR P álæg því að vera E muur er ím. Það sem skpr mál er að velja ímabl. Hvað er og hvað er. Hvar breys þea? Það er hæg að fa ú með því að oa Recursve leas squares. Háskól Íslads

60 Erledur Davíðsso 60 Recursve leas squares (afurvrksaðferð msu kvaðraa): Y = β + β X + ε =50 Byrjum með mjög fáar ahugar,.d. =5. Meum síða Y. Meum síða =6, =7 o.s.frv. ekum síða upp myd. Sá ímapukur sem.d. β ríkur upp efr því sem fjölgað er oaður l að spla á mll og. Þessar mydr má skoða á bls. 7. Þá er komð að síðasa F-prófu á bls. 68: Ef vð höfum fáar ahugar á.d. sea ímablu er ekk hæg að gera Chow-próf. Þá verður að oa spágld: f = Y Y l að gea ger Chow-prófð verður þea að halda : > k. Ef að svo er ekk erum vð kom í vadræð og verðum því að va okkur úúr þem. Hvað ef < k? Mea jöfua á fyrra ímablu og oum β l að spá fyrr sea ímablð. Spágld: Y Spáskekkja: Y Y Ef spáskekkja hefur breys á mll og þá drögum vð þá ályku að β hefur breys. D = ef = +, aars 0 D = ef = +, aars 0 D = ef = +, aars 0 Með þv að sklgrea þessar gervbreyur þá eru e á sea bímablu, að vera 0., þvgaðr l f = Y Y = α sem er suðull vð vðkomad gervbreyu, D. Ef α er markæk frá úll þá er ehvað að geras. ( R U) / ( U R) P / = SSR /( k ) SSR /( k ) SSR SSR k K SSR SSR U U Háskól Íslads

61 Erledur Davíðsso 6 Hagrasókr I Fyrrlesur kafl Erum aað hvor með að efrfarad forsedur hald: 0 σ 0 0 E = = σ I ( εε ) Var σ σ ( ε) σ Cov( εε j ) =, = 0 Eða forsedur hald ekk: E εε = V Höfum vö avk: ) Msdref (e. Heeroskeascy): E ( εε ) σ σ 0 0 = σ ) Sjálffylg (e. Auo-correlao): E ( εε ) σ σ σ σ σ σ = σ σ ( j) 0 Cov εε Afleðgar: ( ) - β = x x x y er óhegður, líulegur, samkvæmur. Var ( β ) = σ ( xx ) Núa: E( εε ) =V Háskól Íslads

62 Erledur Davíðsso 6 Þessa úleðslu á að kua!!!: ( ) ( ) ( )( Var ) ( - ) - β =E β - β β- β =E X X X ε ε X X X ( ) ( ) ( ) ( ) =E X X X εε X X X = X X X VX X X σ XX Ef V σ I VAMK gefur bjagað ma á Var β Ef varace fer l fjadas verða -próf óákvæm í þem sklg að það er ekk vís að vð séum með réa varace (geum verð að ofmea eða vamea). Alme aðferð msu kvaðraa, AAMK, (e. GLS, Geeralzed Leas Squares): - β = X V X X V Y * - - Ef V ð Sqares. er þekk þag að vð geum með það be er alað um FLS, Feasble Leas Það sem skpr mesu mál: Msdref og sjálffylg eru ákveð lvk. Kua formúlu fyrr ofa. Ályku í hoskur: Ef V σ I. β er áfram óhegður, líulegur og samkvæmur mell. Var ( β ) er rag me. Álykuarfræð, sem byggs á Var ( β ), er rög. 3. VAMK er ekk legur BLÓM. Ekk eu s aðfellusklvrkur. Þverskurðargög: Öll úrök frá sama íma. Msdref: Y = β + β X + ε Msdref felur það í sér að varace- ( Var ( ε ) ahugaa. ) er ekk sá sam. Ólíkur á mll Háskól Íslads

63 Erledur Davíðsso 63 Dæm: Erum að mea eyslu á ehverr vöru. Q : Neysla Neyslufallð: Q = β+ βx + ε X :ekjur Gög sem vð höfum er þó þag að það er búð að flokka esaklga í hópa efr ekjum. Geum aðes með Q= β+ βx + ε Það sem vð ledum í er það að vð höfum: m : Fjöld hópa og það eru msmargr í hverjum hóp. ε ε = = ε εm m m m mσ σ Var ( ε ) = σ σ = = m m m m Var ε ræðs því að hlua af fjölda í m. Fámer hópar særr varace. Þar sem það eru msmargr í m verður Var ε msmuad efr særð hópa. Háskól Íslads

64 Erledur Davíðsso 64 Úr 6. kafla ( ) β xy x( β+ βx+ ε) = = x x βx βxx xε = + + x x x xx xε = β + x x xy x Y Y xy Y x = = = AH: x = ( X X) = X X = 0 x x x x w x =, x 0, 0 = w = x wx = w( X X) = wx Xw = 0 wx = wx xx xε xε β = β + = β + = β + w + ε x x x Nðursaða úr þessu er efrfarad: ( β β ) wε = Þea var forlekur fyrr jöfu (0.5) í bók. Síða er æs að aka varace- af þessu dó: ( ) ( ) Var β = E β E β = E β β = E wε = E [ wε+ wε wmεm] ( 0) Cov εε =. Forseda: Eg covarace ( j) Fáum þá ( Var β ) = E wε + wε wmε m X w = = x x Háskól Íslads

65 Erledur Davíðsso 65 Klassíska lfellð: σ = σ j fyrr öll og j. ( Var β) = w σ + w σ wmσ = σ w = σ x Núa er þea hsvegar svoa : σ σ j fyrr öll og j Fáum því: Var ( ) x σ β = ( x ) Ef það er jákvæð fylg á mll x og ε þá mu Var β. σ x vamea s β verður vameð og öryggsmörk fyrr β of þrög, og -gldð of há. j -gld: β s β j j Verðum að gea sý fram á hvað gers þegar msdref er l saðar: Verður ekk særð x σ σ x heldur særð x Verðum að gea se fram próf l að ahuga hvor msdref sé l saðar. Ef ekk er hæg að hafa því að msdref sé l saðar verður að fara ehverja aðra leð. Háskól Íslads

66 Erledur Davíðsso 66 Greg: Hverg sér maður hvor það sé msdref l saðar? ) Ploa e á mó X ) ölfræðpróf a. Goldfeld-Quad - Fullyr að það sé sambad á mll X og e. Raða göguum upp efr særð þerrar breyu sem alð er að sé sambad á mll og lefalðaa.. Skpa úraku í þre, hágld, mðlugs og lág. Höfum ekk áhuga á mðjuhópum (eg regla um hversu sór ha á að vera). Há e. VAMK á há og lág gld: F ( c) k, ( c) k Lág e v. H 0 : Eg msdref. Ef rekaða gldð er hærra e öflugldð höfum vð lgáu. b. Whe-próf ( χ próf ) Byrjum á að mea fallð Y = β+ βx β X + ε fáum e.. e = α + α X + + α X + u R... χk H 0 Ef forsedu k k R er há gæum vð væalega hafað um að það vær eg msdref:. vær egudr af Whe-Próf. e = α+ αx + α3x3 + u. e = α+ αx + α3x3 + α4xx3 + u c. Lagrage mulpler es (LM)-próf ( χ próf ) e αy = α + +u H : α = R χ d. Breusch-Paga próf ( próf ). Var ( ε ) = f ( k+ α z α z ) χ - (0.8) og (0.9) l l. z geur verð X. z geur haf að geyma aðrar breyur e X v. X z hugsaleg e v. BP-próf: β β z... β z u, σ v. H = = l l σ 0 : Eg msdref, SSE χk k k e Háskól Íslads

67 Erledur Davíðsso 67 Laus:. Próf gea verð vísbedg um að ehvað aað sé að e verð er að prófa fyrr.. Whe-aðferð: Mea σ be með e. e e e Aðfellusklvrkr melar Msdref-samkvæmur mell Á grudvell þessa fylks geum vð ger öll hefðbudu -próf. 3. Vguð aðferð msu kvaðraa (e. Weghed Leas Squares) Y = β + β X + ε ε = σ, Var a) Ef vð delum í geg allsaðar með = + +, Var = Var ( ε ) = =, σ σ Y β β X ε ε σ σ σ σ σ σ σ σ VAMK : Lágmarka AAMK : Lágmarka e Há ala á λ sem sem vegur V ad: er óþekk. σ e e = = λ e, λ = σ σ b) Ehver brea X sem orsakar þessa msdref: ε = ε Var ε = kx θ Del í geg með Var ( ε ) = k X θ Háskól Íslads

68 Erledur Davíðsso 68 Hagrasókr I Fyrrlesur Kafl Msdref:. Sklgrea og sklja. Úleðsla.. Próf a. Ploa b. Goldfeld-Quad F-dref c. Whe χ -dref d. LM χ -dref e. Breusch-Paga χ -dref 3. Úrræð a. Whe Mea σ b. WLS Va hvaða breya það er sem veldur msdref Ef spur er um sklgregu á msdref fæs ekk full ema le sé ú. Kua þarf öll próf og gea se þau upp. GQ Skpa upp í vo hópa F-próf Hverg eru próf gerð og hvaða egudr á prófum eru þea (þ.e. drefg). H 0 lgáa er allaf eg msdref. Dæm: l E = β + β A+ β S+ε 3 A orsakar msdref WLS dela í geg með A. l E A S ε = β + β + β3 + HÉR ER ENGINN FASI. A A A A A Háskól Íslads

69 Erledur Davíðsso 69 Sjálffylg: Cov εε = 0 Forseda sem vð vorum með áður: ( j) Cov εε 0 þá bresur sú forseda. Ef ( j) β verður þá ekk legur bes mell.. gráðu sjálffylg - ákað AR.: ( u ) = ( u) E ( u ) ( u u ) = E 0 Var Cov, 0 = = σ s u ε = ρε + u, ρ, [ ] Kallað. gráðu sjálffylg þar sem aðes er verð að skoða e ímablð.. gráðu sjálffylg - ákað AR : ε = ρε + ρε + u Þrjú lvk á ρ :. ρ = 0 ε = u VAMK er BLÓM. ρ > 0 Jákvæð sjálffylg (Sjá myd bls. 30) 3. ρ < 0 Nekvæð sjálffylg (Sjá myd bls. 30) Þó vð erum með sjálffylg þá hefur E ( ε ) ekk breys, og því er E ε = 0 eþá. () ε = ρε + u ( ) ε = ρε + u Sg ú () Í (): = ( + u ) ε ρ ρε + u Ef vð sgum fyrr fler afr þá edum vð á: ε ρ ρ ρ ρ 3 = u + u + u + u u 3 ( ε) = ( u) + ρ ( u ) + ρ ( u ) + ρ ( u 3) + + ρ ( u ) ( u ) = ( u ) = = ( ε ) = E E E E E... E E E... 0 E 0 Háskól Íslads

70 Erledur Davíðsso 70 Sýa má fram á að σ = ρ : Kosa σ : Kosa u σ u ( ρ ) σ er fas, eg msdref.. Það verður þó ekk le ú hér. ρ ρ ρ ρ ρ ρ V = σ ρ ρ ρ 3 ρ ρ ρ 3 (0.70) Héra erum vð yfrle að ala um ímaraðr (msdref er um þverskurðargög). u N ε N ( 0, σ u ) ( 0, σ ) l þess að áa okkur á hvaða áhrf sjálffylg hefur á varace- förum vð ákvæmlega sömu leð es og þegar vð köuðum áhrf msdrefar. Y = β+ βx + ε, ε = ρε + u ( ) ( Var β = E β β) E ( wε ) E ( wε wε... wε) = = = E ( xε+ xε xε) x ( ) Gefum okkur ú að =3 l þess að þea verð ekk allof flókð. ( Var β ) = E xε + xε + x3ε3 + xx εε + xx 3εε3+ xx 3εε 3 x ( ) Í vejulegu forseduum er E( ε ) = σ, E( ε ε ) = E( ε ε ) = ρσ og E( ε ε ) ρ σ Sejum þea í jöfua fyrr ofa: 3 3 =. Háskól Íslads

71 Erledur Davíðsso 7 ( Var β ) = E xσ + xσ + x3σ + xxρσ + xx3ρ σ + xx3ρσ x ( ) ( σ Var β ) = x + x + x3 + xx ρ+ xx 3ρ + xx 3ρ x ( ) σ = x + ρxx+ ρ xx3+ ρxx 3 ( x ) ( ) Klassíska forseda: ρ = 0 ( σ Var β ) = x = x σ x Ef ( σ ρ 0 Var β) x Ef : ( ρ ) ρ > 0 Það er mu algegara að sé særr e 0 heldur e m x + ρxx+ ρ xx3+ ρxx 3 > x. Varace-, Var ( β ) verður særr e samkvæm VAMK β ef s er vame -gld of há og öryggsmörk þrög VAMK: β s β. ρ 0 s vameur σ 3. SSR verður vameð SSR R = Ofmeum R SS Próf fyrr sjálffylg (ökum fyrr próf): Byrja þó á því að ploa (Go að ploa upp alla lefalð yfr íma) Er regluleg mysur? Ef búð er að gera það er hæg að skoða þess formlegu próf: Háskól Íslads

72 Erledur Davíðsso 7 ) Durb-Waso próf, DW: DW= ( e ) + = e e e ee = e e ( ) ( ρ), ρ e e ee ee = = = e Ef ρ 0 DW ρ > [ [ ρ < ] ] Ef 0 DW 0, Ef 0 DW, 4 ρ DW 0 ρ DW 4 Skoða myd bls H : ρ = 0 d U 0 og d L ráðas af fjölda breya í líkguum og fjölda ahugaa. Dæm: = 50 k = 4 (Erum með fjórar breyur ) d =, 7 d =,38 U a) Ef DW [ d U, ] b) Ef DW [ 0, dl ] c) Ef DW ] d, d [ ákvæmara próf. L þá geum vð ekk hafað H. 0 þá höfum vð H. 0 þá fáum vð ekker ehlí svar. Þá er ea laus að gera aað L U Ef DW > 4 DW ρ < 0 Nekvæð sjálffylg. Noa vð ekvæða sjálffylg Gallar Durb-Waso:. Grá svæðð [ d,4 d ]. Prófar aðes geg AR () U U 3. Heg próf, DW, ef af gld af háðu breyu eru e sýrbreya. a. Y = β+ β Y + β3c +ε afð gld Háskól Íslads

73 Erledur Davíðsso 73 Það sem þarf að kua: Gea úlkað ðursöður úr prófu. Gea rekað svpað dæm og hér að frama. ) LM-próf Erum með fallð Y = β+ βx + ε. gráðu sjálffylg: e = β + β X + β e + u, β = ρ 3 3 Hér yrð H 0 : ρ = 0, β3 = 0 R χ Fjöld afa e 3. gráðu sjálffylg: e = β+ βx + β 3e + β 4e + β 5 Hér yrð H 0 : β3 = β4 = β5 = 0, ρ = ρ = ρ3 = 0 Úrræð: ρ e 3 ρ ρ 3. Ef ρ er þekk þá geum vð umbrey göguum og oa síða VAMK: Y = β + β X + ε ε = ρε + u ε ρε = u ρy = ρβ + ρβ X + ρε ( ) Y ρy = β ρ + β X ρx + ε ρε Y = β + β X + u Leðréa þarf fyrsu ahugua: Y = ( ρ ) Y Pras-Wse leðrég X = ( ρ ) X. Ef ρ er óþekk þá meum vð það og oum síða aðferð. a. ee ρ e = Háskól Íslads

74 Erledur Davíðsso 74 b. Mea fall sem líur ú svoa: Y = β+ βx + β3y + ε Suðull vð Y, β3 ρ = Höfum því vær aðferðr l að fara ef vð erum með óþekk ρ og þurfum að mea það sjálf. Kua um sjálffylg í kafla 0: Sjálffylg: Sklgreg Eföld. gráðu sjálffylg Gea se upp fylkð : ρ ρ ρ ρ ρ ρ V = σ ρ ρ ρ 3 ρ ρ ρ 3 Úskýra hvaða áhrf það hefur ef sjálffylg er l saðar. Kua DW og LM prófð. Va hvað á að gera l að umbreya göguum l að gea oað VAMK á umbreyu gög. Háskól Íslads

75 Erledur Davíðsso 75 Kafl 8 - Slembskýrbreyur Hagrasókr I Fyrrlesur..004 Þó X sé slemb særð þá halda β eglekum síum,.d. sklvrk og samkvæm, svo leg sem eg fylg er á mll X og ε. ökum efal dæm: Y = β + β X + ε Jákvæð fylg mll X og ε, Cov( Xε) 0 Sjá myd 8. (a). E ε = 0 Höfum áfram að Vameum β( α) og ofmeum β β og β eru hegðr melar (bjagaðr). Græðum ekker á særra úrak þar sem þess jákvæða fylg er allaf l saðar. Melarr eru þ.a.l. aðfelluhegðr (allavega ekk aðfelluóhegðr). Nekvæð fylg mll X og ε, Cov( Xε ) < 0 (Myd 8. (b)). Ofmeum β ( α) og vameum β Hegðr melar. Í báðum lfellum eru melarr okkar bjagaðr. Þea er því mður okkuð algeg. Klassíska úleðsla: ( ) ( ) ( ) E β = E X X X Y = E X X X ( Xβ ε) + E ( ) ( ) E ( ) = X X X Xβ X X X ε + = β + X X X ε ( ) = β + E X X X ε X er ekk slembð. E( ) ( ) β = β + X X X E ( ε), E( ε) = 0 E( β) = β Háskól Íslads

76 Erledur Davíðsso 76 Ef X er slembð og fylg mll: ε ε β β X og E X X X 0 = + E X X X ε Samkvæm: ( ) ( ) β = xx xy= xx xxβ + ε ε plm( ) plm ( β = β + x x) x ( ε ε) ( ) plm β = β + plm x x x ( ε ε) :plm x x = Q Vorum bú að sýa fram á að x ( ε ε) plm = 0 ef x er ekk slembsærð. Ef x x ε x ( ε ) er slembð og fylg mll og plm ε 0 = β + plm x ( ε ε) Hugmydafræð er sú að bæð má sýa fram á að β er bjagað og ósamkvæmur. Safar af því að X og ε eru fylg þegar X er slembsærð. ímaraðr: Þrjú ólík lvk:. Eg fylg:. Samímafylg: Cov X ε = 0 (Klassíska forseda) Cov X ε 0 3. Fylg á ólíkum íma: ( X ε ) Cov 0 Háskól Íslads

77 Erledur Davíðsso 77 Dæm: Y = β + β Y + ε Y = β+ βy + ε Og því er Y = f ( ε ) Þó svo að Y sé ekk fall af ε, þá er það fall af öllum öfðum gldum af ε, í gegum ε. x Um dag vorum vð með : w = x y Hér er : w =, y = Y Y y Y = Y + Y + Y + + Y + + Y ( ) 0 y = f Y y og því w eru því háð, sem er ekk, ólík Y, óháð ε. Y Þó svo Y og ε séu óháð verður E w ε 0. β β ε = + w E ( β) = β + E ( wε ) = β + E [ wε + wε +...] = β + w E ( ε ) + w E ( ε ) +... = β ef E ε = 0 og eg fylg er á mll x og ε. Ef E( w ) 0 E( w ) ε β = β + ε β Jafa sem vð erum með er : Y = β+ βy + ε Þrá fyrr þea er β samkvæmur mell vega þess að plm ( y ) ε = 0 plm β = β. Háskól Íslads

78 Erledur Davíðsso 78 Þrjú lvk sem þarf að kua: Höfum jöfua : Y = β+ βy + ε. X og ε eru óháð - β er óhegð og samkvæm.. Fylg á mll X og ε, e ekk á sama íma - β er hegður e samkvæmur. 3. Fylg á mll X og ε á sama íma - β er hegður og ósamkvæmur. Y = β + β Y + ε, β > Var ( X) = Q ( fas) ef X og ε eru óháð þá verður β ekk samkvæmur ef Var ( X ) er ekk fas. Á þessu er allaf hæa ef Y er meðal skýrbreya. Ásæður fyrr fylg á mll. Mælskekkjur. Samímajöfu-bjögu. Mælskekkjur: X og ε : Ælum að mea Y = β+ βx + ε Vð höfum : Y = Y + w X = X + v Forsedur um þessa lefalð : ( v) = ( v) = σ v ( vv j) = ( w) = ( w) = σ w ( ww j) E 0, Var, E 0 E 0, Var, E = 0 ( vw ) ( εv) ( ε w ) E = 0 E = 0 E = 0 E E ( X ) = E( X ) ( Y ) = E( Y ) Háskól Íslads

79 Erledur Davíðsso 79 Sjáum því að : Y = Y w Y w = β + β X v + ε Y X w = β+ β + ε + βv = β + β X + ε ( X ε ) Cov 0 ( ) Cov( Xε ) = E ( X E( X) ) ε E( ε ) E X E X ε = ( X X) = v ( X ) v ( w v ) ( v ) ( vw ) ( v ( v )) Cov ε = E ε + β = E ε + E + E β = β σv 0 ( X ε ) ( X ε ) Cov > 0 ef β < 0 Cov < 0 ef β > 0 A) Mælskekkja í Y X ( X ε ) og Cov 0 Samímafylg B) Mælskekkja í Y e ekk í X w = 0 ( ε ) Var ( ε w ) σ Var = + = +σ, M sklvrk Mælskekkja í Y Var ( ε ) er rag me og Var β eg. w Háskól Íslads

80 Erledur Davíðsso 80. Samímajöfu-bjögu Erum með jöfua (Keyesísk): C = α + βy + u, 0 < β < Y = C+ Z Egum að mea α og β. C = α + β( C+ Z) + u = α + βc+ βz + u C βc = α + βz + v α C = + β Z + u β β β Y = α + βy + u+ Z Y βy = α + Z + u α u Y = + Z + β β β Sjáum hér að Y = f ( u). Klárlega fylg á mll. β ] 0,[ > 0 β Jákvæð fylg mll Y og u. Mydum vamea α og ofmea β. Sleppa frá 8.0a bls 5 alveg ú 8.3 og sleppa 8.5. Kafl 8.4: Y = β + β X +ε Fylg mll X og ε. Fa ehverja breyu sem hefur fylg vð X e ekk ε. Noum Z : hjálparbreya. Háskól Íslads

81 Erledur Davíðsso 8 veggja þrepa aðferð Þea þarf að kua og sklja 00%:. X = α+ αz + u X X = α+ αz + α3z αkzk + u. Y = β + β X + ε ( z ε ) E = 0 zε plm = E( zε) = 0 Y = β+ βx zy = β z + β z X β = Y βx β = zy zx Þea kallas Isrumeal varable (IV) Aðferð hjálparbreya. Ef oaðar eru margar breyur eru oaðar kallas það GIVE. Háskól Íslads

82 Erledur Davíðsso 8 ökum aað dæm (Vumarkaðslíka): W = α + βp+ γ E+ u P = λ + µw + v W = α + β λ+ µw + v + γ E+ u W β µw = α + βλ+ γw + u+ βv α + βλ γ v+ βv W = + E+ βµ βµ βµ λ ( β γ E) P = + µ a+ P+ + v P µ βp = λ+ µ α + µ γ E+ µv+ v λ+ µ α µ γ E µv+ v P = + + µ β µ β µ β Sjáum hér að W = f ( v), og þ.a.l. höfum vð samímafylg. Segjum sem svo að vð séum með β ] 0,[ µ ] 0,[ ( β µ ) > 0 Jákvæð fylg mll W og v. Háskól Íslads

83 Erledur Davíðsso 83 Kafl Höfum jöfu með vemur öfðum breyum: Y = β + β X + β X β X +ε 3 4 Hagrasókr I Fyrrlesur Ásæður fyrr ímaöfum í líköum:. Sálfræðlegar ásæður. ækbreygar 3. Ófullkomar upplýsgar Áhrf X á Y:. Skammímaáhrf: β. Laímaáhrf: β + β3+ β4 0 β + β3+ β4 3. Meðalöf: β + β + β 3 4 Skoðum.d. jöfua m Y = α + β X + ε = 0. Skammímaáhrf: β 0. Lagímaáhrf: β 3. Meðalöf: Dæm bls. 35: β β Y = 5 + 0,4X + 0,7X + 0,X Skammímaáhrf: 0,4 Lagímaáhrf: 0,4+0,+0, = 0,3 Meðalímaöf: 0 0,4 + 0,7 + 0, =, = 0,846, 3, 3 Það líða því að meðalal 0,864 ímabl þar l X hefur áhrf á Y. Ef fallð hefð verð svoa: Y = β+ βy + β3x + β4x þá þarf að færa Y yfr. Y( β) = β+ β3x + β4x Þegar vð erum með laga ímaröð geur komð upp vadamál með marglíuleka. Háskól Íslads

84 Erledur Davíðsso 84. Aðlöguarferlar Segjum sem svo að vð séum með Y : Æskleg mag af ehverjum hlu á íma. Y = + X + α β ε Vadamálð er að þea æsklega mag er ekk það sama og vð höfum mll hada á mabl Y Y., Þurfum því að hefja ákveðð aðlöguarferl l að komas í hð æsklega mag. ( Y Y ) = θ ( Y Y ) Ef θ = = Eg aðlögu 0 Y Y Y Y θ = = Fullkom aðlögu Því ær 0 sem θ, því regar aðlögu, og því ær, því auðveldar aðlögu, θ ] 0,[. θy = Y Y + θy þea geum vð umrað: θy = Y + θ Y = Y ( θ ) Y θy = θα + θβ X + θε Y ( ) = θα + θβx + θ Y + θε Það er fylg mll þessara veggja lða. Þea er sama og segja: = + + +ε β = ( θ), θ = ( β ) Y α β X β Y Y = θα + αβx + θ Y + θε mðað vð sklgregu er fylg á mll bjagaða e samkvæma mela. Y og ε og þar að leðr að OLS gefur Háskól Íslads

85 Erledur Davíðsso 85 Meum ú jöfua: Y = 4 + 0,54X + 0, 4Y θ = 0, 6 θy = α + βx α β 4 0,54 Y = + X = + X = ,9X θ θ 0,6 0,6 Skref : Y = α + βx + ε Skref : Y Y = θ Y Y Skref 3: Y ( ) = θα + θβx + θ Y + θε Skref 4: Y = α + βx + βy fum θ Skref 5: θy = α + βx Dsrbued lags ímaafðar jöfur: = Y = α + β X + ε Y = α + βx + γ Y + ε = Auoregressve lag, AL (Sjálfímaafðar) Byrjum á því að vð erum með: Y = α + β X + ε = (DL) Y = αθ + βθ X + θ Y + θε Y = αθ + βθ X + ( θ ) Y + θε Y ( ) ( ) = αθ + αθ θ + βx + θ βθx + θ Y + θ θ ε Alme er hæg að sýa fram á að (.6 Koyck-umbreyg): Fels efaldlega að því að sga fyrr öll öfðu gld af Y. Y = αθ( θ) + βθ( θ) X ( ) + θ θ ε = 0 = 0 = 0 Y samasedur því af þremur röðum sem allar eru aðhverfar þar sem að: lm ( θ) = 0, 0 < θ < og R lm <. R + αθ αθ Gld raða er α = = = α ( θ) θ Háskól Íslads