18. Geometrijska optika
|
|
- Κωνσταντίνος Καλαμογδάρτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 8. Geometrijska optika U dosadašnjim razmatranjima titranja stalno smo naglašavali i koristili valni aspekt enomena na primjer svjetlosti. No postoji dio primjene znanja o EM enomenima u kojima, da bismo došli do praktički iskoristivih rezultata, ne moramo upotrebljavati sve kompleksno znanje o EM enomenima: Maxwellove jednadžbe, dinamiku kreiranja valova. enomene dirakcije i intererencije i slične. Da bismo na brzinu proračunali mjesto, na kojem optički instrument stvara sliku ili koje povećanje od njega možemo očekivati, dozvoljeno je sa snopića svjetlosti koji imaju u principu ugrađen mehanizam dirakcije, upotrebljavati samo dirakcijski vrh kao opis glavnine svjetla i aproksimativno govoriti o zrakama svjetlosti (koje u suštini smjerom zapravo slijede Poyntingov vektor) kao o putanjama kojima se širi svjetlost pravocrtno potpuno ispuštajući iz vida njen valni karakter. Najprije ćemo ustanoviti temeljne postulate i provjeriti njihovo njihovu izikalnu ispravnost i/ili ograničenja, a zatim se posvetiti najjednostavnijim optičkim elementima i instrumentima. 8. Svjetlost se širi pravocrtno Ovaj izričaj smo kritički diskutirali pokazujući da se svjetlo širi i u područje sjene iza ugla. U geometrijskoj optici očekujemo da dirakcijske aspekte možemo zanemariti. Tijekom viših godina studija ustanovit ćemo da snažna gravitacija također svija putanju svjetla; i taj aspekt ovdje se zanemaruje. 8. Svjetlo se od relektirajuće površine odbija pod jednakim kutom pod kojim je na površinu upalo Kako bi studenti stekli pouzdanje u razumijevanje enomena releksije ipak ćemo se na trenutak vratiti pravom izikalnom opisu događanja; t.j. zraci svjetla pripisujemo snopić titranja EM putujućeg vala. Valna ronta (koja opisuje mjesta s istim stanjem titranja-istom azom) je okomica na smjer širenja svjetla. Pri padu svjetla na relektirajuću površinu pod nekim kutom, ne aktiviraju se svi elektroni površinskog sloja sinkrono. Među elektronima u njihovom titranju nastaju razlike u azi koje odgovaraju razlikama u azi koje su unijele pojedine komponente ulaznog snopa zavisno o lokaciji elektrona. Kako se radi o nepropusnom zastoru, ovo titranje elektrona je u protuazi s titranjem EM vala u području iza zastora. (U pravoj mikroskopskoj slici pojam automatske zapreke ne postoji; ovdje se vidi kako svjetla iza zastora nema jer elektroni materijala svojim titranjem poništavaju EM val koji bi se inače iza zastora realizirao). No ovo poništavanje ima i za početnike neočekivanu posljedicu. Titranje elektrona koje poništava val iza zastora stvara EM vala ispred zastora, čija valna ronta (radi aznih odnosa elektrona površine) je potpuno simetrična valnoj ronti koji bi imao val bez zastora uzimajući releksijsku površinu za os simetrije. Tako smo istovremeno opravdali početnu pravilnost naslova 8. i stekli razumijevanje o tome što se desilo s valom iza zastora. Kao malu primjenu 8. možemo razmotriti nastanak virtualne slike predmeta postavljenog pred zrcalo. Izvor I šalje razne zrake svjetla I k na relektirajuću površinu. One se sve relektiraju svaka pod svojim kutom releksije k simetrično svom upadnom kutu. Oko koje stvara sliku (mehanizmom koji ćemo diskutirati) prima te zrake i rekonstruira sliku kao da su zrake izišle iz predmeta smještenog iza zastora na lokaciji koja je simetrična položaju izvora uzimajući relektirajuću plohu kao temelj simetrije.
2 Na ovom mjestu ćemo pokazati alternativni izvod zakona releksije svjetlosti koji se doduše ne oslanja na mikroskopski opis prirode svjetla nego ilustrira mogućnost opisa enomena principom ekstrema koji je naš česti vodič u najapstraktnijim razmatranjima na primjer teorije polja. Ovdje je to Fermatov princip. Fermatov princip konstatira da svjetlost putuje stazom duž koje je za putovanje potrebno najmanje vremena. Jasno je da i zakonitost o pravocrtnom širenju svjetlosti jest u skladu s Fermatovim principom. Promotrimo dvije točke s iste strane releksijske površine udaljene od površine za udaljenostima h i h. Neka je udaljenost među njima D. Označimo položaj točke na površini u kojoj bi se svjetlo trebalo relektirati s x u odnosu na nožište okomice na površinu iz točke. tada je duljina staze od točke do točke na površini: h x l = + (8.) Udaljenost druge točke od relektirajuće točke jest h + ( D x) l = (8.) Vrijeme potrebno da svjetlost brzinom v prijeđe zbroj dvije udaljenosti jest: t = ( h + x + h + ( D x) (8.3) v Stazu svjetlosti variramo mijenjanjem položaja x. Prema Fermatovom principu vrijeme treba biti minimalno za putanju kojom svjetlost doista putuje. To znači u prvom koraku da prva derivacija izraza (8.3) po položaju točke releksije x mora biti jednaka nuli. Izračunavanjem prve derivacije i izjednačavanjem s nulom dobivamo: x D x = (8.4) l l Ta relacija jest odraz jednakosti upadnog i relektirano kuta svjetlosti! 8.3 Snellov zakon loma svjetlosti Iako smo ga već izveli u prijašnjim razmatranjima, pokazat ćemo da ga je moguće izvesti i iz Fermatovog principa. To je spoznajno važno jer pokazuje kako se cijela geometrijska optika može na njemu utemeljiti. Stoga nam ideja da se najtemeljnije zakonitosti mogu ormulirati principom određivanja ekstrema postaje bliskija. Polazimo od crteža s analognim oznakama kao i kod izvoda zakona releksije s tim da se točke i nalaze sa suprotnih strana kontaktne površine dva medija indeksa loma n i n. U notaciji jednadžbi (8.) do (8.3) proteklo vrijeme za kontaktnu točku x jest: l l nl nl t = + = + (8.5) v v c c Izjednačavanjem derivacije proteklog vremena po položaju točke x sada se dobiva: x D x n = n <==> n sin = n sin (8.6) l l 8.4 Snop svjetlosti koji je jednom stazom došao od točke A do točke B može pod istim uvjetima istom stazom doći iz B u A.
3 Ova izjava se mora uzeti s oprezom. Naime, tu se mogu uplesti problemi s polarizacijom i obratom vremena za nju. U optički aktivnim medijima mora se obratiti pažnja da obrat putovanja bude u svakom smislu potpun, naročito u smislu rotacije električnog vektora kod cirkularno polariziranog svjetla. 8.5 Zrcala Površine zrcala po pretpostavci potpuno relektiraju svjetlo sukladno zakonu releksije 8. Mi smo već obradili ravno zrcalo i tvorbu slike ravnim zrcalom u istom odsječku. Eliptičko zrcalo je vrlo lako za razumjeti temeljem Fermatovog principa. Deinicija je elipse da je zbroj dva radijus vektora od okusa do bilo koje točke elipse isti. To pak znači da sve trajektorije od okusa do okusa s jednom releksijom imaju isto vrijeme trajanja. Sve zrake iz jednog okusa sreću se istovremeno u drugom okusu. Kako nam geometrijska analiza pruža rezultat da je parabola limitirajući slučaj elipse čiji je drugi okus u beskonačnosti, neposredno slijedi da se sve zrake koje duž osi parabole stižu iz beskonačnosti sijeku u preostalom okusu! S druge strane, idealno izvor svjetla u okusu paraboličnog zrcala tvori snop svjetla paralelan osi parabole (ili u prostoru paraboloida). Ipak prema našem znanju o dirakciji (7.7) postoji divergencija snopa iznosa: λ Δ = D gdje je D poprečna dimenzija snopa. Očito snop ima to manju divergenciju, što su veće dimenzije paraboličnog relektora! 8.6 Uvodni komentari o pojednostavljenjima koje se koristi u ovom opisu leća, a primjenljivi su i na optička zrcala Često korišten pojam u geometrijskoj optici je okus; idealna točka u kojoj bi se trebale ukrštati zrake svjetla koje paralelno osi leće dolaze iz beskonačnosti. Ispostavlja se da iz cijelog niza razloga koji se nazivaju aberacijama to u realnosti nije jednostavno ispuniti. Neke aberacije imaju porijeklo i u različitoj disperziji za razne valne duljine svjetla. Mi ćemo raditi u aproksimaciji dolaska zraka na optičke elemente pod malim kutom u odnosu na njihove optičke osi (osi simetrije). Ova se aproksimacija u literaturi susreće pod raznim imenima : Gaussova aproksimacija, paraksijalna aproksimacija i slično. Pokazat ćemo sada kako plankonveksna leća ima u gornjoj aproksimaciji važna svojstva okusa: a) sve se zrake koje dolaze iz beskonačnosti sijeku u jednoj točki na osi b) sve te zrake iz beskonačnosti dolaze u okus s istim brojem valnih duljina, to jest leća ih u okusu ima sve u istoj azi. Da bismo dokazali ove tvrdnje počet ćemo od kuta za koji se zraka zakreće u kutu pri dolasku na tanku prizmu. Neka prizma ima bazu l i visinu w; neka je stranica prizme na koju dolazi svjetlo okomita na bazu. Kutni otvor prizme je u aproksimaciji malih kutova: l α = (8.7) w U vrhu prizme zraka i ne putuje prizmom; brzina njene ronte tamo je c. U dnu prizme svjetlo prolazi sredstvom prizme indeksa loma n. Stoga je brzina svjetla tamo reducirana na c/n. Dok je svjetlo donjim dijelom prizme prevalilo put l, gore je prevalilo put nl. Razlika prevaljenih putova je stoga je ( n )l. Radi toga se svjetlosna ronta (identično stanje titranja) zaokrenula za kut: n = l = ( n )α (8.8) w
4 S druge strane se w može interpretirati kao ono produljenje puta svjetlosti zrakom koje osigurava da slomljena zraka s vrha prizme nakon loma u nožištu okomice povučene iz donje izlazne točke prizme ima isti broj prijeđenih valnih duljina kao i donja zraka pri izlasku iz prizme! Nacrtajmo sada koniguraciju plankonveksne leće na koju s lijeve strane nailazi snop svjetla paralelan njenoj osi simetrije.neka je prva površina leće ravna a druga ima radijus zakrivljenosti R D. Leću sada možemo smatrati kontinuumom tankih prizmi s kutom prizme α = h / R D (8.9) Da bi leća lomila sve zrake u istu točku okusa okalne daljine temeljni je uvjet da kut loma pojedine zrake u odnosu na originalni smjer paralelan osi leće δ : h δ = (8.0) gdje je h vertikalno odstupanje te zrake pri ulasku u leću. Prema izrazu za zaokret zrake pri prolazu kroz prizmu (8.8) i kutu prizme (8.9), kut zaokreta zrake koja je došla s vertikalnim odstupanjem h jest h δ = ( n ) (8.) R D Izraz (8.) dokazuje i naše tvrdnje a) i b) i daje izraz za proračun okalne udaljenosti plankonveksne leće opisanih svojstava: n = (8.) R D Razmatranje je lako generalizirati na slučaj da je i druga strana leće izbočena i da je radijus zakrivljenosti lijeve strane R L. Tada bi za okalnu udaljenost vrijedilo: = ( n )( + ) (8.3) R D R L 8.7 Konjugacijska jednadžba za tanku leću Osnovne elementi crteža jesu: Položaj predmeta na osi udaljen a od leće iz kojeg izlazi zraka pod kutomα prema osi leće i pada na leću pod upadnim kutom. Ta se zraka lomi na kut unutar leće i putuje visinom
5 d kroz leću. Na izlaznu površinu leće dolazi pod upadnim kutom ', da bi iz leće izišla pod izlaznim kutom ' i konačno presjekla os leće na mjestu slike predmeta na udaljenosti b od leće. Kut pod kojim ta zraka siječe os leće je β. Desna ploha leće ima radijus zakrivljenosti R i centar zakrivljenosti smješten na osi leće. Linija koja iz tog centra zakrivljenosti ide u točku izlaza zrake iz leće tvori s osi leće kut α '. Ta ista linija je ujedno okomica od koje se računaju kutovi u zakonu loma: ' i '. Lijeva ploha leće ima radijus zakrivljenosti R i centar zakrivljenosti smješten na osi leće. Linija koja iz tog centra zakrivljenosti ide u točku ulaska zrake u leću tvori s osi leće kut β '. Ta ista linija je ujedno okomica od koje se računaju kutovi u zakonu loma: i. Kut γ je vanjski kut za kutove i ', a i za kutove α' i β '. Iz Snellovog zakona za male kutove vrijedi: = n (8.4) ' ' = n (8.5) Kombiniranjem najprije svojstva vanjskih kutova a potom relacija (8.4) i (8.5) slijedi: = α + α' = n (8.6) ' = β + β ' = n ' (8.7) Zbrajanjem desnih jednakosti iz (8.6) i (8.7) dobivamo: n ( ') + = α + α' + β + β ' (8.8) No temeljem svojstva vanjskog kutaγ koje je prije izvoda već istaknuto slijedi: ' + = γ = α' + β ' (8.9) Uvrštavanjem (8.9) u (8.8) dobivamo: (n )( α '+ β ') = α + β (8.0) U aproksimaciji malih kutova sve veličine gore, osim indeksa loma leće n, mogu se iščitati kao sinusi kutova odnosno omjeri iste veličine d i raznih položaja na osi leće, pa imamo: d d d d ( n )( + ) = + (8.) R R a b Gornji izraz nakon kraćenja i korištenja već poznate veze okusa i svojstva zakrivljenosti i indeksa loma leće (8.3) postaje znamenita konjugacijska jednadžba: + = ( n )( + ) = (8.) a b R R KOMENTAR: Kako je cilj kolegija utemeljenje razumijevanja najvažnijih enomena oko nas ovdje ne ćemo razmatrati posljedice gornjeg izraza kojeg se u američkim udžbenicima s očitim razlogom naziva i lensmakers ormula (ormula izrađivača leća). Obrađena je jedino (bi)konveksna tanka leća. Analogan izraz vrijedi i za druge geometrije. Dok ova leća okusira zrake koje dolaze paralelno s osi leće u žarište (okus), divergentne leće ih čine divergentnim snopom koji kao da je izišao iz jedne točke ispred leće; to je ponovno žarište. Kada se zrake emitirane u raznim smjerovima iz jedne točke predmeta sijeku ponovno u jednoj točki, na tom se mjestu ormira realna slika predmeta (nju se može vidjeti da se ormira na zastoru postavljenom na mjestu ormiranja slike). Ako zrake emitirane iz točke predmeta divergiraju tako da se njihovim produživanjem unatrag ipak dobije zajedničko presjecište, tamo postoji virtualna slika predmeta; ako naše oko postavimo tako da mu takve divergentne zrake dolaze u susret, oko će registrirati kao da je predmet doista na lokaciji virtualne slike. Na hrvatskom jeziku postoji djelo akademika Paića (Osnove izike iv) u kojem su na otprilike 800 strana dominantno izloženi aspekti geometrijske optike.
6 8.8 Globalna svojstva leća Leće dijelimo na konvergentne (> 0). Ima ih raznih vrsta: bikonveksna, plan konveksna i konkavno konveksna; svima im je srednji dio deblji od rubnog. Divergentne leće (<0) imaju analogne podvrste s time da im je središnji dio tanji od rubnog. Važan parametar leće je njen dioptar. dioptar leće = (8.3) ( u metrima) Ljudsko oko ima u prosjeku oko 33 dioptra. Za bliske tanke leće dioptri se mogu zbrajati. 8.9 Osnovne činjenice o ljudskom oku Savršenost ljudskog oka, tog najkvalitetnijeg senzora u našem tijelu ne će se posebno naglašavati, niti će se opisivati sve njegove važne potankosti kao na primjer automatska i ponekad psihološki kontrolirana otvorenost zjenice. U oku iza otvora-zjenice slijedi drugi bitni element: očna leća promjenljive okalne duljine. Slika predmeta se ormira na plohi mrežnice. Temeljni senzori pri površini oka su štapići i čunjići. Pikseli CCD kamere su njihovi primitivni analogoni. Čunjići dimenzije 4 mikrona su najosjetljiviji element senzorskog sustava i imaju najveću gustoću oko područja žute pjege, najosjetljivijeg dijela oka. Elementarni senzori završavaju s nitima živaca. No prije transera žičanog impulsa u mozak postoji više lokalnih čvorova živčanih niti tako da možemo očekivati da se u njima dešava analogon preprocessingu složenog inormatičkog sustava. To jest, ne ide nit svakog elementa u mozak nego izgleda da se dio obrade signala dešava već prije u slojevima mrežnice. Samo za orijentaciju osjetljivosti oka u uvjetima zamračenja okoline: oko dvadesetak otona je potrebno da bismo u mozgu imali dojam lokaliziranog bljeska. (Foton je osnovni paketić svjetlosne energije kako ćemo spoznati u slijedećem semestru). 8.0 Temelji za konstrukciju slike crtežom u okviru aproksimacije malih kutova. Zrake koje okusu. dolaze iz beskonačnosti paralelno osi leće sijeku se u realnom ili virtualnom
7 Zrake koje izlaze iz realnog ili ulaze u virtualni okus postaju paralelne. Zrake koje ulaze u središte leće prolaze kroz nju nepromijenjenim smjerom Zrake koje dolaze paralelno iz beskonačnosti pod malim kutom sijeku se u okalnoj ravnini. Njihovo sjecište određujemo kao presjek zrake paralelnog snopa koja ide središtem leće i okomice na os leće povučene iz okusa leće. 8. Povećalo Ljudsko oko u prosjeku vidi optimalno kada je predmet smješten oko 5 cm od oka. Dimenziju slike predmeta na mrežnici možemo procijeniti povlačenjem zrake od ruba predmeta čija je baza na pravcu osi očne leće kroz centar leće do mrežnice. Vertikalno odstupanje te točke od osi leće je veličina optimalne slike predmeta za normalno oko. Ta se slika može na mrežnici povećati konvergentnom lećom koju stavljamo neposredno pred oko a predmet u okus te dodatne leće. Bez leće smo predmet vidjeli pod kutnim otvorom: h h 0 = novi aranžman = linearno povećanje 0.5 = (8.4) Teleskop U teleskopu imamo minimalno dvije leće objektiv i okular. Kako se predmet nalazi u beskonačnosti najprije moramo načiniti njegovu realnu sliku da bismo je okularom mogli povećavati. Ponovno jedna dimenzija predmeta leži na osi teleskopskog sustava. Druga se dimenzija vidi pod ulaznim kutom. Tada je visina realne slike u okalnoj ravnini h, a u našoj aproksimaciji je s okalnom duljinom objektiva povezana relacijom: h = (8.5) Kao i kod povećala tu realnu sliku koja sada predstavlja predmet postavlja se u žarišnu ravninu okulara čija je okalna karakteristika. Novi kut pod kojim se vidi predmet iz beskonačnosti je: h ' = (8.6)
8 Iz dviju gornjih relacija uvrštavanjem slijedi kutno povećanje: ' = (8.8) 8.3 Mikroskop Kod mikroskopa predmet je blizu žarišne ravnine tako da se njegova realna slika stvara dosta daleko na udaljenosti L. Stoga je okalna duljina okulara mnogo veća od okalne duljine objektiva. Ako je poprečna dimenzija objekta promatranja y, tada je visina realne slike iza objektiva, a ispred okulara: L h = y (8.9) Okular dalje postupa s tom realnom slikom tehnikom povećala. Stoga se objekt promatranja vidi pod kutom : ( L / ) y ' = (8.30) Normalno bi ljudsko oko vidjelo predmet pod kutom 0 opisanim u (8.4). Time je kutno povećanje: ' 0.5L = (8.3) 0 Možemo spomenuti da je ovo pojednostavljena analiza. Pri nastojanjima da dobijemo što veća povećanja nailazimo na prirodnu granicu jer zrake zapravo predstavljaju dirakcijske maksimume. Dirakcija postaje preprekom kada se povećanje nastoji podići iznad aktora reda veličine Za veća povećanja upotrebljavaju se zrake kraćih valnih duljina; elektronski mikroskop.
9
F2_ zadaća_ L 2 (-) b 2
F2_ zadaća_5 24.04.09. Sistemi leća: L 2 (-) Realna slika (S 1 ) postaje imaginarni predmet (P 2 ) L 1 (+) P 1 F 1 S 1 P 2 S 2 F 2 F a 1 b 1 d -a 2 slika je: realna uvećana obrnuta p uk = p 1 p 2 b 2 1.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima
Zadaci - Geometrijska optika - Fizikalna optika - 2007/08 Geometrijska optika Lom svjetlosti na ravnim sistemima ravni dioptar planparalelna ploča prizma Koja svojstva svjetlosti poznajete? Što je svjetlost
Διαβάστε περισσότερα4. Leće i optički instrumenti
4. Leće i optički instrumenti. Ključni pojmovi Leće, Besselova metoda, dijaprojektor, mikroskop, Keplerov i Galilejev teleskop. Teorijski uvod Jednadžba leće: Žarišna daljina tanke leće, udaljenost predmeta
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραF2_K1_geometrijska optika test 1
F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPriprema za državnu maturu
Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραc - brzina svjetlosti u vakuumu, v - brzina svjetlosti u sredstvu. Apsolutni indeks loma nema mjernu jedinicu i n 1.
Geometrijska optika_intro Zakoni geometrijske optike, zrcala, totalna refleksija, disperzija svjetlosti, leće, oko i načini korekcije vida Zakoni geometrijske optike 1. zakon pravocrtnog širenja svjetlosti
Διαβάστε περισσότεραŠto je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val
Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika. Fizika 2 Predavanje 9. Dr. sc. Damir Lelas
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje 9 Geometrijska optika Dr. sc. Damir Lelas (Damir.Lelas@fesb.hr, damir.lelas@cern.ch ) Danas
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika 3. dio. -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije
Geometrijska optika 3. dio -sferni dioptar -leće -sferne i kromatične aberacije Sferni dioptar Sferni dioptar - skup dvaju homogenih izotropnih optičkih sredstava različitih indeksa loma n 1 i n 2, rastavljenih
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom
Valovi 1. Transverzalni valni impuls koji se širi užetom u trenutku t = 0 opisan je jednadžbom y = a3 a 2 x 2, gdje je a = 1 m (x i y takoder su izraženi u metrima). Maksimum impulsa je u toči x = 0 m.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE
PITANJA IZ FOTOMETRIJE I GEOMETRIJSKE OPTIKE 1. Opišite svjetlosne izvore. Po čemu se oni razlikuju? 2. Opiši osjetljivost oka na različite valne duljine. 3. Definiraj (i pojasni) pojmove: točkasti svjetlosni
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραIzbor zadataka Fizika 2
Izbor zadataka Fizika 2 (optika i fotometrija) Katedra fizike Grafičkog fakulteta, Zagreb, 2007/08 FIZIKA 2/1 1. Na optičku mrežicu pada okomito snop vidljive svjetlosti. Kolika je valna duljina crvene
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραF2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008
F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSvjetlost. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti. Ravno zrcalo Sferno zrcalo.
Poglavlje Svjetlost.....3..4..4...4...5..5...5...5.3..6..6...6...6.3..7..8. Priroda svjetlosti Zakoni geometrijske optike Fermatov princip Refleksija svjetlosti Ravno zrcalo Sferno zrcalo Lom svjetlosti
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska optika 4. dio. Optički ureñaji: oko (najsloženije) leća lupa kao najjednostavniji optički ureñaj mikroskop, dalekozor, fotoaparat
Geometrijska optika 4. dio Optički ureñaji: oko (najsloženije) leća lupa kao najjednostavniji optički ureñaj mikroskop, dalekozor, fotoaparat Oko Oko - Organ vida koji neposredno prima svjetlosne utiske.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραDvojna priroda čestica
Dvojna priroda čestica Kao mladi student Sveučilišta u Parizu, Louis DeBroglie je bio pod utjecajem teorije relativnosti i fotoelektričnog efekta. Fotoelektrični efekt je ukazivao na čestična svojstva
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα