REPRODUKCIONA FOTOGRAFIJA II V. semestar Profesor: Darko Agic

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "REPRODUKCIONA FOTOGRAFIJA II V. semestar Profesor: Darko Agic"

Transcript

1 GRAFICKI FAKULTET SVEUCILIŠTA U ZAGREBU NEKA OD PREDAVANJA IZ KOLEGIJA REPRODUKCIONA FOTOGRAFIJA II V. semestar Profesor: Darko Agic Pripremila: Maja Strgar, dipl. graf. ing. Racunalna priprema teksta i slika:

2 1. Koji se fotomaterijali koriste u višebojnoj reprodukciji? (za reprodukciju višebojnih originala) 2. Na cemu se zasniva moderna kolor fotografija? 3. Što su kolor komponente i kakva je njihova uloga? (u razvijacu) Koje su dvije osnovne kolor komponente i formule? 4. Kromogeno razvijanje (formula)? 5. Cemu služe filteri za izdvajanje boja? 6. Što je dioni negativ? 7. Kako izgleda žuti dioni negativ i zašto? 8. Kako izgleda purpurni dioni negativ i zašto? 9. Kako izgleda zelenoplavi dioni negativ i zašto? 10. Crni dioni negativ i princip izrade crnog dionog negativa? 11. Koji je dioni negativ najbolji i zašto? 12. Koja se boja najlošije izdvaja i zašto? 13. Koja se boja najbolje izdvaja i zašto? 14. Što su pozitivske maske i prikaži na primjeru djelovanja pozitivske maske na: a) kod korekcije žutog dionog negativa (maska za žuti dioni negativ), b) kod korekcije purpurnog dionog negativa. 15. Što je negativska maska i prikažite kako izgleda negativska maska za: a) korekciju žutog dionog negativa, b) korekciju purpurnog dionog negativa. 16. U cemu je razlika izmedu pozitivske i negativske maske? 17. Kako cemo korigirati pogrešnu apsorpciju zelenoplave boje? (kako cemo korigirati refleksiju ZP boje) 18. Kako cemo korigirati pogrešnu apsorpciju purpurne boje? 19. Što je kolorna maska i kako se primjenjuje? 20. Što je direktno rastriranje i kako izbjegavamo problem moare-a? 21. Elektrofotografski kopirni slojevi? 22. Difuzni kopirni slojevi ili difuzni postupci i njihova primjena? 23. Diazo spojevi 24. Bikromatski koloidni slojevi 25. Što je elektronska korekcija i kako je vršimo? (skener i njegove mogucnosti) 26. Snimanje originala za pojedine tehnike tiska (visoki, plošni i duboki)? 27. Izrada kolor duplikata? - aditivna metoda 28. KODAKCROM postupak? 29. AUTOKROM postupak? 30. Filter faktor i primjer? 31. UCR metoda za izradu maski? 32. Kakve ce gustoce obojenja imati boje suptraktivne sinteze mjerene kroz: a) zeleni filter? b) ljubicasto plavi filter? c) crveni filter? 2

3 SADRŽAJ 1. BOJA MIJEŠANJE BOJA (aditivno, suptraktivno miješanje), KARAKTERISTIKE BOJA, MJERENJE BOJA 2. MODERNI POSTUPCI ZA DOBIVANJE KOLOR FOTOGRAFIJE (suptraktivna sinteza, troslojni film, kromogeno razvijanje). 3. IZRADA KOLOR DUPLIKATA 4. AUTOCROM, KODAKCROM POSTUPAK 5. FILTER FAKTOR 6. PRINCIP REPRODUKCIJE VIŠEBOJNIH ORIGINALA 7. KOREKCIJA DIONIH NEGATIVA: a) FOTOMEHANICKA KOREKCIJA - pozitivske maske - negativske maske - kolor maske b) ELEKTRONSKA KOREKCIJA 8. DIREKTNO RASTRIRANJE 9. UCR METODA 10. KAKO SE REPRODUCIRAJU ORIGINALI ZA RAZLICITE TEHNIKE TISKA 11. FOTOMATERIJALI U VIŠEBOJNOJ REPRODUKCIJI 12. KOPIRNI SLOJEVI (elektrofotografski slojevi, difuzni slojevi, diazo slojevi, bikromat koloidni slojevi). 13. LITERATURA 3

4 1. BOJA ASPEKTI BOJE Kad govorimo o boji možemo govoriti o dva razlicita aspekta: a) boja s psihofizickog aspekta b) boja s fizikalnog aspekta A) BOJA S PSIHOFIZICKOG ASPEKTA Z govorimo o osjetu boje Sunce emitira elektromagnetsko zracenje razlicitih valnih dužina. Ljudsko oko je osjetljivo samo na mali dio tog spektra, na vidljivi dio spektra, tzv. BIJELO SVJETLO (val. dužine nm). Osjet boje u našem oku izaziva elektromagnetsko zracenje valnih dužina nm. Boja koju vidimo nije vlasništvo objekta (predmeta) kao što je to dužina, visina, težina predmeta. Boja nije fizikalno svojstvo predmeta. Ona je funkcija SVJETLA!. Gdje nema svjetla nema niti boje. Oko prihvaca reflektirano svjetlo od predmeta, taj svjetlosni signal se pretvara u živcani, koji se putem živaca prenosi u mozak i tu se stvara OSJET boje (govorimo o osjetu, doživljaju boje, a ne o videnju boje). ŠTO SE DEŠAVA U NAŠEM OKU? Kad gledamo stvari oko sebe, leca u oku projicira kopiju toga što gledamo na jednu od ovojnica oka MREŽNICU. Tu se nalaze dvije vrste receptora (fotoosjetljivih stanica): ŠTAPICI i CUNJICI. Oni su živcima povezani sa mozgom. Štapici omogucuju osjet svjetline (svjetlo-tamno), a cunjici omogucuju osjet boja i podijeljeni su na tri vrste: jedni reagiraju na crveno, drugi na zeleno i treci na plavo. Ako u oko dospije plavo svjetlo, bit ce pobudeni cunjici osjetljivi na plavo. Oni se kemijski mijenjaju i te se promjene živcima prenose do mozga, pa cemo doživjeti plavu boju. Ako su pobudeni cunjici osjetljivi na crveno i zeleno svjetlo doživjet cemo žutu boju, a ako u oko dospiju sve tri osnovne boje svjetla (crvena, zelena i plava) i to veceg intenziteta, pobudit ce se sva tri receptora (cunjica), pa cemo vidjeti BIJELU BOJU. Dakle, boja se može definirati kao: PSIHICKI DOŽIVLJAJ NASTAO FIZICKIM UZROKOM. Dokaz da je boja psihicki doživljaj: razni ljudi iste boje vide razlicito; isti covjek uz razlicite uvjete osvjetljenja vidi istu boju drugacije. 4

5 B) BOJA S FIZIKALNOG ASPEKTA Z govorimo o fizickom podražaju (stimulusu) Fizicki podražaj predstavlja vidljivo zracenje, nm. Osjet boja je posljedica vidljivog zracenja, svjetla. Svjetlo nastaje u IZVORIMA SVJETLA koji mogu biti IZRAVNI (primarni) i NEIZRAVNI (sekundarni). IZRAVNI IZVORI - su oni koji direktno emitiraju svjetlo - mogu biti: - PRIRODNI (dnevno svjetlo sunce) - UMJETNI (rasvjetna tijela) - emitiraju kontinuirani spektar koji ljudsko oko vidi kao bijelo svjetlo NEIZRAVNI IZVORI - su prenosioci energije zracenja, a to su gotova sva tijela u prirodi ona energiju svjetla prenose APSORPCIJOM, REFLEKSIJOM ILI TRANSMISIJOM. - boja tijela upravo ovisi o toj apsorpciji, refleksiji ili transmisiji. - kod neprozirnih predmeta boja nastaje refleksijom - kod prozirnih predmeta boja nastaje transmisijom 1.2 MIJEŠANJE BOJA Svaka boja nastaje miješanjem tri osnovne boje. Izbor ovih osnovnih boja je neogranicen. Boje nastale miješanjem uvijek su manje zasicene od primarnih (osnovnih boja). Dva su osnovna nacina miješanja boja: a) aditivno miješanje b) suptraktivno miješanje A) ADITIVNO MIJEŠANJE (SINTEZA) danas ga koriste color monitori i TV ekrani - tu su osnovne (primarne) boje: CRVENA, ZELENA i PLAVA (RGB) - može se prikazati pomocu miješanja obojenih svjetala (crvenog, zelenog i plavog) koja se dobiju propuštanjem bijelog svjetla kroz crveni, zeleni i plavi filter. - ako ta obojena svjetla dovedemo na bijeli ekran, doci ce do miješanja boja (do aditivne sinteze): plavo + zeleno = plavozeleno (cijan) plavo + crveno = purpurno (magenta) zeleno + crveno = žuto Totalnom aditivnom sintezom (crvena + zelena + plava u jednakim omjerima) nastaje BIJELA BOJA. 5

6 B) SUPTRAKTIVNO MIJEŠANJE koristi se u color fotografiji i u tisku (CMYK) - osnovne (primarne) boje su: PLAVOZELENA (cijan), PURPURNA (magenta) i ŽUTA. - i ovdje se polazi od bijelog svjetla, ali u ovom slucaju se bijelom svjetlu pomocu filtera oduzimaju pojedini dijelovi spektra. pomocu plavozelenog filtera svjetlu se oduzima crveni dio spektra (taj dio se apsorbira), a propušta se PLAVO i ZELENO svjetlo. pomocu purpurnog filtera svjetlu se oduzima zeleni dio spektra, a propušta se PLAVO i CRVENO svjetlo. Totalnom suptraktivnom sintezom (plavozelena + purpurna + žuta u jednakim omjerima) nastaje CRNA BOJA. Cijan, magenta i žuta su osnovne boje za color fotografiju i tisak. Pigmenti u bojilima za tisak su manje cisti od bojila za color fotografiju. Zato se u tisku ne može postici cista crna boja totalnom suptraktivnom sintezom (kad se C, M, Y tiskaju jedna na drugu), vec se mora posebno dodati i crna boja KARAKTERISTIKE BOJA Može se govoriti o SUBJEKTIVNIM (psihofizickim) i OBJEKTIVNIM (fizikalnim) karakteristikama boja. Pri opisivanju boja obicno se služimo njihovim PSIHOFIZICKIM KARAKTERISTIKAMA. To su: A) TON a) ton b) zasicenje c) svjetlina Ton boje uzrokovan je razlicitim valnim dužinama i opisuje boju koju osjeca naše oko. R[%] zelena R[%] crvena λ[nm] λ[nm] 6

7 B) ZASICENJE Zasicenje boje je karakteristika koja pokazuje koliki je udio bijele svjetlosti u nekom tonu boje. Samo su boje spektra potpuno zasicene. Boje nastale miješanjem uvijek su manje zasicene od boja od kojih su nastale. Boje u prirodi su samo djelomicno zasicene. R[%] više zasiceno R[%] manje zasiceno λ[nm] λ[nm] C) SVJETLINA Svjetlina boja je karakteristika koja pokazuje sadržaj crne boje u doticnoj boji. R[%] R[%] 100 svjetlije 100 zelena tamnije zelena λ[nm] λ[nm] 1.4. MJERENJE BOJA Mjerenje boja obuhvaca odredivanje njihovih psihofizickih karakteristika: tona, zasicenja i svjetline. Te karakteristike su subjektivne (ovise o promatracu, uvjetima promatranja,...), pa se zato mjere FIZIKALNE VELICINE koje se na njih nadovezuju. tonu - odgovara dominantna valna dužina zasicenju - cistoca pobude svjetlini - luminacija SUBJEKTIVNE OBJEKTIVNE KARAKTERISTIKE 7

8 ZAŠTO JE UOPCE BITNO MJERENJE BOJA? Vidjeti boje je jedna stvar (subjektivna), no otisnuti tu boju je puno teža stvar. Za odredivanje tolerancija za reprodukciju pojedinih boja u tisku potreban je OBJEKTIVNI kriterij! Problem: kako da tiskar komunicira sa klijentom (naruciocem) tako da se oboje slože oko toga što vide i da se omoguci tocna (objektivna) definicija toga što vide! Stoga je bitno OBJEKTIVNO USPOREÐIVANJE BOJA (original otisak), a prvi uvjet za to su kolorimetrijsko i spektrografsko mjerenje boja. KOLORIMETRIJSKA METODA MJERENJA BOJA Kolorimetrijska metoda mjerenja boja se bazira na usporedivanju boja s bojom nastalom u kolorimetru. U ovom uredaju boja nastaje miješanjem osnovnih boja (svjetala) aditivnom sintezom, za koju vrijede Grassmannovi zakoni. Po ovim zakonima za vladanje neke boje važno je kako ona izgleda, a ne kakav joj je spektralni sastav. Na temelju toga može se KROMATICNOST neke boje (ton i zasicenje) prikazati u trokutnom dijagramu tako da se nanese udio svakog od tri podražaja (stimulusa): R crvenog, G zelenog i B plavog. G 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 B 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 R r g g G 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 B 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 R r Trokutni dijagram RGB Nedostatak trokutnog dijagrama je da on prikazuje samo realne boje, dok se spektarske boje nalaze izvan trokuta boja. Kolorimetrijska mjerenja uvjetovana su: - spektralnim sastavom svjetla kojim se osvjetljava uzorak - promatracem i njegovim spektralnim sastavom - spektralnim karakteristikama filtera za dobivanje osnovnih boja (X crveni, Y zeleni, Z plavi). Sve ove uvjete je definirala internacionalna komisija za rasvjetu CIE (Commision Internationale d Eclairage) godine. Cilj te komisije bio je da se stvori model koji ce omoguciti proizvodacima bojila da se sporazume o bojama svojih proizvoda (da ih mogu objektivno odrediti). CIE dijagram kromaticnosti, razvijen iz trokutnog dijagrama, prihvacen je kao standardni nacin prikazivanja boja. 8

9 Spektarske boje (ciste boje najviše zasicene) nalaze se na krivulji i rubovima dijagrama dok se realne boje nalaze unutar dijagrama i unose se u dijagram iz izracunatih vrijednosti kromaticnih koordinata x i y. Sve boje iste svjetline leže na istoj ravnini. X os pokazuje kolicinu crvene u bojama, a y os pokazuje kolicinu zelene u bojama. Y os pokazuje svjetlinu boja koja se može vidjeti samo u 3D modelu. Komisija je definirala odredene IZVORE SVJETLA za usporedivanje boja: Standardni izvori svjetla za osvjetljavanje uzoraka: A umjetno svjetlo (žarulja) B podnevno suncevo svjetlo C prosjecno dnevno svjetlo D izvedeni izvori svjetla y Zelena Žuta Cijan C E B A 600 Crvena 0.2 Plava Purpurna x Dijagram kromaticnosti u kojem je prikazana bijela boja (C, E, B, A) uz razlicita osvjetljavanja uzorka Iz CIE dijagrama može se odrediti dominantna valna dužina (ton) boje na taj nacin da se iz tocke koja prikazuje upotrijebljeni standardizirani izvor svjetla (x W, y W ) kroz tocku kojom je prikazana ispitivana boja (x,y) povuce zraka na obod dijagrama gdje se nalazi spektarska boja (x λ, y λ ). Iz iste zrake može se odrediti i cistoca boje (zasicenje). Matematickim transformacijama CIE koordinata, godine napravljeni su trodimenzionalni modeli CIE Lab i CIE Luv koji se danas najcešce koriste za usporedivanje boja u grafickoj industriji. U CIE Lab modelu udaljenosti izmedu boja bolje odgovaraju onima u stvarnosti. 9

10 Kao što otisak prsta nepogrešivo pripada odredenoj osobi, tako je svaka boja fizikalno karakterizirana svojom valnom dužinom. Konverzija te spektralne valne dužine u definiranu lokaciju boje u CIE Lab modelu cini mogucim objektivnu komparaciju boja. Uzorci iz CIE Lab modela se koriste da se napravi industrijski standard za kalibriranje ulaznih i izlaznih uredaja. Taj standard je zapravo transparentan ili refleksan predložak sa uzorcima boja iz CIE Lab modela prema kojima se usporeduju i kalibriraju vrijednosti boja na ulaznim i izlaznim uredajima. Ta mjerenja se vrše spektrofotometrom ili kolorimetrom. Vrlo je teško dobiti da boje na reprodukciji odgovaraju bojama na originalu, zbog mnogih faktora u reprodukcijskom lancu, kao npr.: - razliciti skeneri razlicito ocitavaju iste boje; - opseg boja monitora razlicit je od opsega boja koje je moguce postici u tisku (to znaci da se tokom obrade colora na racunalu mogu pojaviti neke boje koje je nemoguce postici u tisku); - konverzija skeniranih RGB podataka u CMYK separacije razlicita je od jednog do drugog programa; - uredaji za probne otiske takoder variraju u postizanju boja (zbog pigmenata i karakteristika podloge); - takoder, greške u procjeni boje mogu nastati i kad probne otiske gledamo pod nestandardnim svjetlosnim uvjetima; - na otisak utjecu i razliciti setovi boja (od razlicitih proizvodaca),... Zbog svega toga, reproduciranje boja sa originala na otisak zahtjeva kontrolu svake pojedine faze: - skeniranje RGB - obrade kolora - separacija boja (izlaz na film) - probni otisak - tisak CMYK Jedna od metoda kontrole konacnog otiska je da pomocu spektrofotometra mjerimo polja na kontrolnom stripu. Diode u spektrofotometru ocitavaju valne dužine polja i onda se te vrijednosti pomocu racunala usporeduju sa referentnom vrijednošcu (obicno originalom ili probnim otiskom). 10

11 2. MODERNI POSTUPCI ZA DOBIVANJE KOLOR FOTOGRAFIJE Kolor fotografija zasniva se na cinjenici da se sve vidljive boje mogu dobiti miješanjem tri osnovne boje suptraktivne sinteze. U kolor fotografskim slojevima sadržana su tri bojila: žuto, purpurno i zelenoplavo, koja suptraktivnom sintezom daju sve ostale boje. Najcešci nacin nastajanja tri obojene slike u kolor fotografiji zasniva se na kromogenom razvijanju. Dakle, moderna fotografija zasniva se na: 1. Suptraktivnoj sintezi, 2. Troslojnom filmu, 3. Kromogenom razvijanju. Fotomaterijal ima tri razlicita fotografska sloja. Na materijalu još postoji kompenzacijski i antihalo sloj. Podloga može biti prozirna (film) i neprozirna (papir). U svakom od tih slojeva se nakon kromogenog razvijanja stvara slika razlicite boje. LJP Z C nesenzibilizirani (ljubicasto plave) ORTO + zelena Ž P žuti filter PAN + crvena 3. PODLOGA ANTI HALO SLOJ ZP KOMPENZACIJSKI SLOJ U prvom sloju stvara se slika žute boje, u drugom purpurne i u trecem zelenoplave boje. Ti slojevi se razlikuju po spektralnoj osjetljivosti. Zahvaljujuci tome u svakom sloju dobit cemo razlicitu sliku kao da smo snimali kroz filtere. Prvi sloj je nesenzibiliziran i reagira na ljubicasto plave zrake. Drugi sloj je ortokromatski i reagira na zelene zrake, a treci je pankromatski i reagira na crvene zrake. U biti i drugi i treci sloj bi bio osjetljiv na ljubicasto plave zrake da se izmedu 1. i 2. sloja ne nalazi žuti filter (medusloj) koji apsorbira ljubicasto plave zrake i ne dozvoljava da one prodru u 2. i 3. sloj. KAKO DOBITI OBOJENE SLIKE U SLOJEVIMA? Ako želimo dobiti sliku u boji u slojevima se moraju stvarati slike u bojama suptraktivne sinteze. Ako su ti slojevi obojeni tim bojama i ako svaki sloj reagira na posebno valno podrucje, mi cemo dobiti sliku objekta u prirodnim bojama. Sve to je bazirano na kromogenom razvijanju. No, u procesu razvijanja mi moramo imati još jednu komponentu koja ce s oksidacionim produktom razvijacke tvari dati obojenje. To nazivamo STVARAOCEM BOJE ili KOLOR KOMPONENTOM. Kolor komponenta je bezbojna materija koja reagira s oksidacionim produktom razvijacke tvari stvarajuci odgovarajuce bojilo. Vrsta obojenja ovisi o upotrijebljenoj kolor komponenti (žuto, purpurno, zelenoplavo). Prvi fotografski kolor materijali imali su kolor komponentu u razvijacu. Takav se materijal morao tri puta osvjetljavati i razvijati da bi se dobile potrebne boje. 11

12 Ako se kolor komponenta stavi u fotografski sloj biti ce potrebno samo jedno razvijanje. No, dugo se radilo na kompliciraniji prvi nacin kad se kolor komponenta nalazila u razvijacu. Razlog je DIFUZIJA. Naime, kolor komponente pokazuju veliku tendenciju ka difuziji iz sloja u sloj. Uzrok tome je BRAUNOVO GIBANJE, odnosno cinjenica da cestice ne miruju. Kao posljedica toga došlo bi do neželjene apsorpcije svjetla u pojedinim dijelovima spektra, a samim time i neželjenih bojila. Difuzija ovisi o: temperaturi, viskozitetu i velicini cestica. Da bismo smanjili difuziju moramo mijenjati osnovne parametre koji je uzrokuju, a to su u prvom redu velicina cestice koje difundiraju. To se postiže povecanjem ovih cestica i to: 1. Polimerizacijom, odnosno vezivanjem više istoimenih molekula u isti lanac, 2. Povecanjem molekula kolor komponente i to tako da na molekulu k. k. vežemo drugu molekulu sa velikom molekularnom težinom (npr. supstituiranom masnom kiselinom). 3. Pomocu tzv. zašticene k. k. i to tako da dodamo uljastu tekucinu netopivu u vodi, a u kojoj je topiva k. k. i nastalo bojilo. Te tekucine moraju biti izrazito fino disperzirane u slojevima u obliku vrlo sitnih kapljica. Uslijed njihove netopljivosti bojila ce znatno manje difundirati iz sloja u sloj. 2.1 KROMOGENO RAZVIJANJE To je proces u kojem se odvija niz kemijskih reakcija od kojih su dvije temeljne i teku paralelno. Jedna je redoks reakcija razvijacke tvari i srebra kojom nastaje oksidacioni produkt razvijacke tvari koji reagira sa stvaraocem bojila (druga reakcija) dajuci bojilo. Razvijacka tvar + Ag + Z oksidacioni produkt razvijacke tvari + Ag + stvaraoc bojila L bojilo Kao razvijacka komponenta koristi se: para fenildiamin, dimetil para fenildiamin Kolor komponente su po kemijskom sastavu: fenoli, naftoli i amini. Danas u glavnom koristimo dvije vrste bojila: 1. KINONIMIDINSKO (zelenoplavo) HN 2 NH + OH + 4AgBr HN 2 2 N O + 4Ag + 4HBr PARAFENILDIAMIN (RAZV. TVAR) FENOL (KOLOR KOMP.) KINONIMIDINSKA STRUKTURA (BOJILA) 2. AZOMETINSKO (žuto i purpurno) R 1 R 1 HN 2 NH + HC + 4AgBr HN 2 N + 4Ag + 4HBr 2 2 C PARAFENILDIAMIN (RAZV. TVAR) AMIN (KOLOR KOMP.) R 2 R 2 AZOMETINSKA STRUKTURA (BOJILA) 12

13 3. IZRADA KOLOR DUPLIKATA Kolor duplikati su dijapozitivi na kojima boje moraju biti reproducirane jednako kao na originalu. Do ovakvog dijapozitiva najcešce dolazimo preokretnim postupkom. Za izradu kolor duplikata koristi se specijalni fotomaterijal, tj. troslojni film koji se obraduje ovim redom: 1. osvjetljavanje 2. crno-bijelo razvijanje 3. osvjetljavanje preostalog Ag-halogenida (difuzno) 4. kromogeno razvijanje 5. oslabljivanje 6. fiksiranje Cesto nam se dogada da kolor duplikat dobijemo u odredenom tonu, jer nam boje koje koristimo nisu idealne, pa kolor duplikat moramo korigirati, a za to postoje dvije metode: a) uz korištenje aditivne sinteze, b) uz korištenje suptraktivne sinteze. AD a) Primjenjuje se snimanje kroz lj. plavi, crveni i zeleni filter, ali u razlicitom vremenskom trajanju. Npr. ako je dominantan purpurni ton to znaci da nam je drugi sloj premalo osvijetljen pa moramo povecati ekspoziciju kroz zeleni filter ili smanjiti ekspoziciju kod snimanja kroz lj. plavi i crveni filter. AD b) U tom slucaju koristimo žuti (Y), purpurni (M) i z. plavi filter (C) i to razlicitih gustoca obojenja (D = 0,05-1 CC filteri). Npr. ako je dominantna purpurna boja to znaci da je drugi sloj prilikom prvog osvjetljavanja premalo osvijetljen. To cemo korigirati tako da koristimo žuti i z. plavi filter i povecamo njihovu gustocu obojenja. Z drugi nacin: ili da se izbjegne neželjeni ton (micanjem tog tona iz bazicne korekcije) ili da se ugradi željeni ton (povecati gustoce obojenja druge dvije boje). 13

14 4.1. AUTOKROM POSTUPAK 4. POSTUPCI Kod fotografske slike postoje dvije mogucnosti. Crno-bijela i kolor fotografija. Dok crno-bijela fotografija reflektira razlicite svjetline objekta, kolor fotografija reflektira i razlicite boje objekta. Pod kolor fotografijom podrazumijevamo fotografsku sliku u prirodnim bojama. Pod pojmom višebojne slike podrazumijeva se slika objekta sa njegovim bojama dok se pod reprodukcijom podrazumijeva otisnuta kolor fotografija na pozitivu. Razliciti su postupci za dobivanje prirodnih boja na fotografiji, ali uglavnom se primjenjuju: a) postupci koji primjenjuju aditivnu sintezu, b) postupci koji primjenjuju suptraktivnu sintezu. U grupu postupaka koji koriste aditivnu sintezu spada i AUTOKROM postupak. Za ovaj postupak koristimo specijalni film. Film se sastoji od: podloge, škrobnih zrnaca i fotografskog sloja. FOTOGRAFSKI SLOJ filteri ŠKROBNA ZRNCA PODLOGA SVJETLO Škrobna zrnca su ustvari filteri mikroskopske velicine promiješana u omjeru 1 : 1 : 1. Snimanje se vrši sa strane podloge da svjetlo najprije prode kroz filtere, odnosno škrobna zrnca. Škrobna zrnca, dakle, služe kao filteri. Kada, npr. crveno svjetlo dode do lj. plavog zrna ono ce apsorbirati crveno svjetlo i na fotografskom sloju necemo dobiti nikakvu fotokemijsku promjenu. Kada crveno svjetlo dode do crvenog zrnca ono ce proci kroz zrno i izazvati fotokemijsku promjenu na filmu. Tako osvijetljen fotomaterijal preokretno razvijamo i dobijemo dijapozitivnu crno-bijelu sliku. Ako gledamo sa strane podloge, odnosno tako da svjetlo najprije prode kroz škrobna zrnca vidjet cemo sliku u prirodnim bojama. Slike dobivene aditivnom sintezom su jako tamne. Bilo je više postupaka koji su koristili aditivnu sintezu, medutim, ona se više ne koristi KODAKCROM POSTUPAK (kolor komponenta u razvijacu! Z 3 puta osvjetljavamo) Slika u boji može se dobiti: 1. preokretnim postupkom 2. negativ-pozitiv postupkom. Jedan od preokretnih postupaka izrade kolor slike je i KODAKCROM postupak. Faze rada su slijedece: 1. osvjetljavanje 2. crno-bijelo razvijanje 3. difuzno osvjetljavanje preostalog Ag-halogenida (3 puta) 4. kromogeno razvijanje (tu je prisutna kolor komponenta). Tako dobivamo dvije slike: crno-bijelu i kolor sliku. Nakon kromogenog razvijanja sve vidimo crno, jer je izluceno svo elementarno srebro. 5. Oslabljivanje (time uklonimo elementarno srebro i u sloju ostaje samo bojilo). 14

15 KAKO FUNKCIONIRA KODAKCROM FILM? Najprije osvijetlimo film preko originala i razvijemo u crno-bijelom razvijacu. Zatim difuzno osvjetljavamo. Prvi put osvjetljavali smo film sa gornje strane ljubicasto plavim zrakama. Dobili smo promjenu u prvom sloju, a nakon kromogenog razvijanja dobili smo žutu pozitiv sliku i crno-bijelu sliku. Drugi put smo film osvijetlili crvenim svjetlom kroz podlogu, tj. osvjetljava se treci sloj. Nakon kromogenog razvijanja dobit cemo zelenoplavu pozitiv sliku. Treci put osvjetljavamo film sa bijelim svjetlom i nakon kromogenog razvijanja dobivamo promjenu u srednjem sloju, tj. dobit cemo purpurnu pozitiv sliku i crno-bijelu pozitiv sliku. Na kraju film obradimo oslabljivacem kojim uklanjamo elementarno srebro iz sva tri sloja, a zatim ih fiksiramo. Tako smo zahvaljujuci suptraktivnoj sintezi dobili kolor dijapozitiv. 5. FILTER FAKTOR Pod pojmom filtera podrazumijevamo opticke medije koji ovisno o svojoj boji, odredene valne dužine propuštaju, a druge apsorbiraju. Danas se koriste želatinski filteri (prije se koristilo obojeno staklo i kivete). Oni se rade tako što se želatini u otopljenom stanju doda bojilo. Bojilo tocno propušta odredeni dio spektra. Želatina se zatim nanosi na podlogu i nakon ocvršcivanja skine sa podloge. Takvi filteri su jeftiniji. Mana im je što se lako oštecuju i ne smiju se dodirivati rukama. Kad snimamo s filterima moramo biti oprezni sa eksponiranjem. Jednako eksponirana slika sa i bez filtera dati ce razlicite rezultate, jer filter apsorbira jedan dio spektra, pa ce i fotografski ucinak biti razlicit zbog razlicite kolicine svjetla koja pada na fotografski sloj. FILTER FAKTOR je broj koji nam pokazuje za koliko moramo produžiti vrijeme snimanja kad snimamo sa filterom da bi se postigao isti fotokemijski efekt kao kod snimanja bez filtera. Npr: ako je FF 2 to znaci da ce nam ekspozicija biti dva puta duža od ekspozicije kojom bismo snimali bez filtera. F. F. ovisi o: izvoru svjetla, filteru i fotomaterijalu. Za odredivanje F. F. koristimo se sivim klinom koji je transparentan. Jedan dio klina prekrijemo ljubicastoplavim filterom, drugi crvenim i treci dio zelenim filterom. Razlike u gustoci zacrnjenja sivog klina bit ce više nego ocite. Zatim snimimo taj isti sivi klin bez filtera. Razlike izmedu gustoce zacrnjenja sivog klina bez filtera i sivog klina snimljenog kroz filter treba antilogaritmirati buduci da je gustoca zacrnjenja logaritam. F. F. = antilog (D BEZ FILTERA D SA FILTEROM ) Na osnovu tog broja cemo produžiti vrijeme snimanja kroz filter. 15

16 1,25 D 2 D 2 npr. 1,55 D 1 D 1 prva vidljiva stepenica (0,1 + mrena) ORIGINAL (sivi klin) NEG. DOBIVEN SA FILTEROM NEG. DOBIVEN BEZ FILTERA F. F. = antilog (D BEZ FILTERA D SA FILTEROM ) F. F. = antilog (D 1 D 2 ) = antilog (1,55 1,25) = antilog 0,3 = 2 Korigiramo ili vrijeme snimanja ili zaslon Z npr. zadani su elem. ekspozicije: 10 s φ = 20 s, φ22 ili 10 s, φ PRINCIP REPRODUKCIJE VIŠEBOJNIH ORIGINALA Kod višebojnog tiska koristimo suptraktivnu sintezu. Na papir se mora nanašati žuta, purpurna i zelenoplava boja da bi dobili reprodukciju originala. Boje se nanašaju diferencirano tamo gdje se treba stvoriti odgovarajuca boja. Jednobojne reprodukcije razlikuju se od višebojnih samo po tome što kod jednobojne reprodukcije koristimo samo jednu tiskovnu formu. Kod višebojne radimo sa cetiri tiskovne forme, svaku tiskovnu formu za pojedinu od cetiri boje. Crna boja je cetvrta. Za potrebe PLOŠNOG TISKA indirektnom metodom prvo izradujemo dione negative (4 za 4 boje tiska) i nakon njihove korekcije izradujemo korigirane dione dijapozitive (rasterske). Negativi kod višebojne reprodukcije nazivaju se DIONI NEGATIVI ili IZVADAK BOJE. To je negativ na kojem je izdvojena neka boja. Da bismo izdvojili neku boju koristimo se filterima. Filter mora imati MAX apsorpciju u onom dijelu spektra u kojem boja koju izdvajamo ima MAX refleksiju. Tako cemo žuti dioni negativ dobiti snimanjem kroz ljubicasto plavi filter. Razlog tome je što žuta boja ima MAX refleksiju u zelenom i crvenom dijelu spektra, a filter koji ima MAX apsorpciju u zelenom i crvenom dijelu spektra je ljubicasto plavi filter. Za izdvajanje purpurne boje koristimo zeleni filter, a za izdvajanje zeleno plave boje crveni filter. Tako imamo žuti dioni negativ, purpurni dioni negativ i zeleno plavi dioni negativ. U svakom dionom negativu boja koja se izdvaja reproducira se kao crna (prozirno), a boje koje se ne izdvajaju kao bijela boja (zacrnjeno). Fotomaterijal koji koristimo po spektralnoj osjetljivosti je pankromatski, a po gradaciji iz grupe normalnih fotomaterijala. 16

17 KAKO IZGLEDA ŽUTI DIONI NEGATIV (DN) I ZAŠTO? To je takav DN na kome je izdvojena žuta boja. Žuta boja ima MAX apsorpciju u LJP dijelu spektra, zato žutu boju izdvajamo snimanjem kroz taj filter. Kako ce izgledati žuti D.N. ovisi o tome kako ce koja boja reflektirati LJP zrake s originala. Ž P ZP B C ORIGINAL LJP FILTER nosioc obojenja u tisku IDEALNI ŽUTI DIONI NEGATIV REALNI ŽUTI DIONI NEGATIV Kod idealne refleksije žuta boja ce se reproducirati kao crna, tj. to mjesto na negativu ce biti prozirno, jer žuta boja apsorbira ljubicasto plave zrake. Kod realne refleksije žuta boja ipak malo reflektira ljubicasto plave zrake pa cemo na negativu na mjestu žute boje dobiti malu gustocu zacrnjenja. Kod idealne refleksije purpurna boja bi reflektirala sve ljubicasto plave zrake i to ce se mjesto reproducirati kao bijela boja, tj. bit ce na negativu zacrnjeno. Kod realne refleksije purpurna boja ce reflektirati ljubicasto plave zrake, ali puno manjem postotku nego u idealnom slucaju. Na negativu ce to mjesto biti osrednje zacrnjeno. To mjesto moramo korigirati! Kod idealne refleksije zelenoplava boja biti ce na negativu reproducirana s velikom gustocom zacrnjenja, no kod realne refleksije ljubicasto plave zrake ce se reflektirati u mnogo manjem postotku od idealnog, ali u vecem od purpurnog. To na negativu daje osrednju gustocu zacrnjenja, zato i to mjesto moramo korigirati. Bijela boja reflektira 100% ljubicasto plave zrake pa cemo na negativu dobiti neprozirno mjesto. Crna boja apsorbira sve ljubicasto plave zrake pa ce to mjesto na negativu biti prozirno. Žuti D.N. je najlošije jer se najviše razlikuje od idealnog. Ono što nije dobro na tom negativu je to da smo na mjestu žute boje dobili zacrnjenje, a nismo ga trebali dobiti. Na mjestu purpurne i zeleno plave dobili smo premale gustoce zacrnjenja. Takav D.N. treba korigirati. KAKO IZGLEDA PURPURNI DIONI NEGATIV I ZAŠTO? To je takav D.N. na kojem je izdvojena purpurna boja. Za izdvajanje te boje koristimo zeleni filter, jer on ima MAX apsorpciju u zelenom dijelu spektra. Kako ce izgledati purpurni D.N. ovisi o tome kako ce koja boja reflektirati zelene zrake s originala. Ž P ZP B C ORIGINAL ZELENI FILTER IDEALNI PURPURNI DIONI NEGATIV REALNI PURPURNI DIONI NEGATIV 17

18 Kod idealne refleksije žuta boja ce se reproducirati na negativu kao zacrnjeno mjesto (bijela boja), jer žuta boja reflektira zelene zrake svjetla. U realnom slucaju žuta boja reflektira zelene zrake, ali u manjem postotku od idealnog, ali ipak daje velike gustoce zacrnjenja na negativu. Kod idealne refleksije purpurna boja bi se trebala reproducirati kao crna, tj. to mjesto ce na negativu biti prozirno, jer purpurna boja apsorbira zelene zrake svjetla. Kod realne refleksije purpurna boja ipak malo reflektira zelene zrake što dovodi do toga da se na negativu na mjestu purpurne boje stvara ipak mala gustoca zacrnjenja. Kod idealne refleksije zeleno plava boja bi se pojavila na negativu kao zacrnjeno mjesto, jer zeleno plava boja reflektira zelene zrake. Kod realne refleksije zeleno plava boja reflektira zelene zrake u mnogo manjem postotku od idealne, pa ce se na negativu stvoriti neko osrednje zacrnjenje. To mjesto je potrebno korigirati! Bijela boja reflektira 100% zelene zrake, pa cemo na negativu dobiti neprozirno mjesto, a na mjestu crne prozirno, jer ona apsorbira zelene zrake. KAKO IZGLEDA ZELENOPLAVI DIONI NEGATIV I ZAŠTO? To je takav D.N. kod kojeg je izdvojena zelenoplava boja. Nju izdvajamo pomocu crvenog filtera jer on ima MAX apsorpciju u zelenoplavom dijelu spektra. Kako ce izgledati takav D.N. ovisi o tome kako ce koja boja reflektirati crvene zrake s originala. Ž P ZP B C ORIGINAL CRVENI FILTER IDEALNI ZELENOPLAVI DIONI NEGATIV REALNI ZELENOPLAVI DIONI NEGATIV Kod idealne refleksije žuta boja ce reflektirati crvene zrake i na negativu cemo dobiti neprozirno mjesto. Kod realne refleksije žuta boja reflektira crvene zrake skoro idealno. Na negativu cemo dobiti veliko zacrnjenje, no ipak nešto manje od idealnog. Purpurna boja bi kod idealne refleksije trebala dati na negativu neprozirno mjesto. Kod realne refleksije purpurna boja ce reflektirati crvene zrake koje ce stvoriti veliko zacrnjenje koje je manje od zacrnjenja na mjestu žute boje. Bijela boja reflektira 100% crvene zrake i to ce mjesto na negativu biti neprozirno, a crna boja apsorbira crvene zrake i to ce mjesto na negativu biti prozirno. Zeleno plavi dioni negativ je najbolji, jer najmanje odstupa od idealnog. On se najbolje reproducira zato što žuta i purpurna boja dobro reflektiraju crvene zrake pa cemo na mjestu tih boja dobiti velike gustoce zacrnjenja koje su približno jednako zacrnjene, odnosno mjesto purpurne ce biti nešto manje zacrnjeno nego mjesto žute boje. U idealnom slucaju žuta i purpurna boja bi se trebale reproducirati kao bijela, a vidimo da je to odstupanje malo. Zeleno plava boja vrlo malo reflektira crvene zrake što je dobro jer tu boju izdvajamo. Kod idealne refleksije to mjesto bi se trebalo reproducirati kao crna boja, tj. trebalo bi biti prozirno. I ovdje je odstupanje malo, pa nece bitnije utjecati na kvalitetu reprodukcije. Ovakav D. N. ne korigiramo, tj. ne korigiramo mu boje nego samo kontrast ako je potrebno. 18

19 CRNI DIONI NEGATIV Teoretski takav negativ ne bi trebali izradivati jer bi crnu boju trebali dobiti totalnom suptraktivnom sintezom. Buduci da ne radimo s idealnim bojama nego sa realnim, suptraktivnom sintezom bi umjesto crne dobili tamno smedu boju. Crni dioni negativ izradujemo da bismo mogli izdvojiti crnu boju i povecati kontrast na otisku. Dobijemo ga snimanjem originala kroz sva tri filtera (LJP, Z, C) s razlicitim vremenom osvjetljavanja da bi dobili što ujednacenija zacrnjenja. Snima se sa smanjenom ekspozicijom. Dakle, biti ce snimljen sa smanjenom gustocom zacrnjenja. Imat ce slabiji kontrast. To je tzv. skeletni dioni negativ. Postoje dva principa izrade crnog D. N. i to: 1. Da su reproducirani samo srednji i tamni tonovi (skeletni negativ) D REPRODUKCIJE otisnute 4 boje otisnute 3 boje skeletni D.N. (samo tamni tonovi) 0,5 1 2 D ORIGINALA 2. Da su reproducirani svi tonovi originala D REPRODUKCIJE cetiri boje tri boje reprodukcija crnog D.N. (reproducirani svi tonovi) 0,5 1 2 D ORIGINALA Ako ovim principom izradujemo crni D. N. onda je potrebno da i ostali dioni negativi budu snimljeni mekanije. 19

20 KOJA SE BOJA NAJBOLJE IZDVAJA I ZAŠTO? Najbolje se izdvaja žuta boja, jer najmanje odstupa od idealne refleksije žute boje. To vidimo ako promatramo kako se žuta boja reproducira u svim D. N. i usporedimo je sa reprodukcijom ostalih boja. U realnom žutom D. N. žuta boja se reproducira sa malom gustocom zacrnjenja što nam je povoljno jer tu boju želimo izdvojiti. U realnom purpurnom D. N. žuta boja se reproducira s nešto manjom gustocom zacrnjenja nego bijela, ali ipak nešto manje od idealnog. U realnom zelenoplavom D. N. žuta boja se reproducirala s nešto manjom gustocom zacrnjenja nego bijela, ali približno kao u idealnom. Žuta boja se mora reproducirati kao bijela u purpurnom i zelenoplavom D. N. jer tu boju ne izdvajamo, a bijela boja reflektira zelene i crvene zrake velikim intenzitetom. Zbog toga žutu boju prakticki ne korigiramo. KOJA SE BOJA NAJLOŠIJE IZDVAJA I ZAŠTO? Najlošije se izdvaja zelenoplava boja jer najviše odstupa od idealne refleksije zelenoplave boje. To vidimo ako promatramo kako se reproducirala zelenoplava boja u D. N. i ako usporedimo tu boju s reprodukcijom ostalih boja. U realnom žutom D. N. zelenoplava boja se reproducirala sa nekom osrednjom gustocom zacrnjenja, a trebala se reproducirati kao bijela boja, tj. to mjesto na negativu je trebalo biti neprozirno. Isti slucaj je i kod realnog purpurnog D. N. s tim da se je u njemu zelenoplava boja reproducirala u još manjem postotku nego u žutom. Inace to mjesto je trebalo biti neprozirno. U realnom zelenoplavom D. N. zelenoplava boja se reproducirala s malom gustocom zacrnjenja, a to je dobro jer tu boju mi izdvajamo. Zelenoplava boja mora biti reproducirana kao bijela, jer tu boju ne izdvajamo u žutom i purpurnom D. N., a bijela boja reflektira ljubicasto plave i zelene zrake svjetla velikim intenzitetom. Zato se zelenoplava boja mora malo korigirati. 20

21 7. KOREKCIJA DIONIH NEGATIVA Ne korigirajuci dione negative dobili bismo lošu reprodukciju originala jer bi se boje nanašale jedna preko druge i jer ne bismo imali dovoljno zacrnjenje tamo gdje nam je to potrebno. Zato je potrebno vršiti korekciju dionih negativa i to: žutog i purpurnog. Korekciju možemo vršiti: 1. Rucno (tako da kistom i pokritnim bojama korigiramo nedovoljne gustoce zacrnjenja na negativu) 2. Fotomehanicki: a) pomocu pozitivskih maski b) pomocu negativskih maski c) pomocu kolor maski 3. Elektronski (skenerom) 7.1. FOTOMEHANICKI A) POZITIVSKE MASKE Služe za korekciju žutih i purpurnih D. N. A.1) KOREKCIJA ŽUTOG DIONOG NEGATIVA Ž P ZP B C ORIGINAL LJP FILTER REALNI ŽUTI DIONI NEGATIV MASKA NEGATIV + MASKA REALNI KORIG. ŽUTI D. N. IDEALNI KORIG. ŽUTI DIONI DIJAPOZITIV Vidimo da na mjestu purpurne i zelenoplave boje moramo povecati gustoce zacrnjenja i izjednaciti ih. To cemo postici pomocu maske. MASKA je podeksponirani dijapozitiv koji nam služi za korekciju drugih negativa i dijapozitiva. Za ovaj slucaj maska mora imati vece zacrnjenje na mjestu purpurne boje nego na mjestu zelenoplave boje. Takva maska ce biti purpurni dioni dijapozitiv smanjenog kontrasta. Kontrast korigiramo zbog toga što originali imaju veci raspon gustoce zacrnjenja koji ne možemo reproducirati u tisku. Raspon gustoce zacrnjenja maske varira od 20-60% s obzirom na raspon gustoce zacrnjenja D. N. kojeg korigiramo. Masku cemo namontirati na negativ i snimiti. Gustoce zacrnjenja se zbrajaju na mjestu purpurne i zelenoplave boje. Maskom smo korigirali te dvije boje i smanjili kontrast žutom dionom negativu. A.2) KOREKCIJA PURPURNOG DIONOG NEGATIVA 21

22 Ž P ZP B C ORIGINAL ZELENI FILTER REALNI PURPURNI DIONI NEGATIV MASKA REALNI PURPURNI D.N. + MASKA KORIGIRANI PURPURNI D. N. IDEALNI PURPURNI DIONI DIJAPOZITIV Vidimo da na mjestu zelenoplave boje moramo povecati gustocu zacrnjenja i izjednaciti je sa gustocom zacrnjenja na mjestu žute boje. Maska za purpurni D. N. biti ce zelenoplavi dijapozitiv smanjenog kontrasta. Maska, dakle mora biti zacrnjena na mjestu zelenoplave boje. Žuta i zelenoplava boja bi trebale biti reproducirane kao bijela boja, ali je gustoca zacrnjenja na mjestu žute boje malo manja od gustoce zacrnjenja na mjestu bijele boje, pa to mjesto ne korigiramo. Masku namontiramo na purpurni negativ i snimamo. Gustoce zacrnjenja se zbrajaju. Maskom smo dobili korigirani purpurni dioni dijapozitiv. Njom smo korigirali zelenoplavu boju i smanjili kontrast P. D. N. Fotomaterijal za izradu pozitivskih maski je ortokromatski (lj.p. i zel. zrake), meke gradacije bez antihalo sloja. B) NEGATIVSKE MASKE Služe za korekciju žutih i purpurnih D. N. B.1) KOREKCIJA ŽUTOG D. N. POMOCU NEGATIVSKE MASKE Ž P ZP B C ORIGINAL ZELENI FILTER PURPURNI D. NEGATIV MASKA ORIGINAL + MASKA LJP. FILTER KORIGIRANI ŽUTI DIONI NEGATIV Kao negativska maska ce nam poslužiti purpurni realni D.N. smanjenog kontrasta. Masku stavljamo na original ako je original proziran, ako je neproziran onda cemo masku staviti na fotomaterijal na koji snimamo. Kad smo masku stavili na original snimamo žuti D.N. kroz ljubicastoplavi filter. Djelovanje maske: Maska zatamnjuje neka mjesta na originalu, a neka ne. 22

23 Tako zatamnjuje mjesto žute, zelenoplave i prozirna mjesta. Mjesto purpurne i crne ne zatamnjuje. Ona mjesta koja maska zatamnjuje mogu biti zatamljena više ili manje. Zelenoplavo mjesto zatamnjujemo zato da bi dobili jednake gustoce zacrnjenja purpurne i zelenoplave boje. Kad smo zatamnili mjesto zelenoplave boje intenzitet zraka koje propušta original biti ce isti kao i intenzitet propuštenih zraka na purpurnom mjestu, pa smo dobili istu gustocu zacrnjenja. Medutim, gustoca zacrnjenja nam još nije dobra, pa moramo produžiti ekspoziciju. Uz produženu ekspoziciju dobit cemo na korigiranom žutom D.N. žuto mjesto prozirno. Vidimo da nam maska još zatamnjuje prozirno mjesto originala. Tako smo ovim purpurnim D. N. (maskom) korigirali boje i kontrast te dobili korigirani žuti D. N. B.2) KOREKCIJA PURPURNOG D. N. POMOCU NEGATIVSKE MASKE Ž P ZP B C ORIGINAL CRVENI FILTER REALNI Z.P. D. NEGATIV MASKA ORIGINAL + MASKA ZELENI FILTER KORIGIRANI PURPURNI DIONI NEGATIV Za korekciju ovog D. N. poslužit ce nam kao negativska maska zelenoplavi dioni negativ smanjenog kontrasta. Takvu masku dobit cemo snimanjem kroz crveni filter. Masku stavljamo na original ako je proziran ili na fotomaterijal ako je original neproziran. Kad smo masku stavili na original snimit cemo je kroz zeleni filter. Djelovanje maske: maska zatamnjuje neke dijelove originala, a neke ne. Tako zatamnjuje mjesta žute i purpurne boje kao i prozirno mjesto na originalu, a ne zatamnjuje mjesto zelenoplave i crne boje. Neka mjesta maska zatamnjuje više, a neke manje. Maska zatamnjuje mjesto žute boje tako da bismo na tom mjestu imali jednaku gustocu zacrnjenja kao i na mjestu zelenoplave boje. Žuto mjesto smo, dakle, zatamnili da bismo dobili isti intenzitet propuštenih zraka kao što je kod zelenoplave boje. Maskom smo zatamnili i purpurno mjesto da bi uz produženu ekspoziciju na korigiranom purpurnom D. N. to mjesto dobili prozirno. Maska zatamnjuje i prozirno mjesto originala, a to je povoljno jer mi želimo smanjiti kontrast originala. Tako smo ovim zelenoplavim D. N. (maskom) korigirali boje i kontrast te dobili korigirani purpurni dioni negativ. Fotomaterijal za izradu negativskih maski je pankromatski (lj.p. zelene, crvene zrake). 23

24 RAZLIKA IZMEÐU POZITIVSKIH I NEGATIVSKIH MASKI JE SLIJEDECA: 1. Pozitivske maske stavljamo na dioni negativ koji želimo korigirati, pri tome se zbrajaju gustoce zacrnjenja na mjestima na kojima vršimo korekciju boja. Kao pozitivske maske služe nam dioni dijapozitivi smanjenog kontrasta. Snimanjem maske i D.N. dobivamo korigirani dioni dijapozitiv. Materijal je ortokromatski. 2. Negativske maske stavljamo na original ako je proziran, ako je neproziran, onda na fotomaterijal na kojem snimamo. Fotomaterijal je pankromatski. Ova maska stvara zacrnjenja na nekim mjestima na originalu, te uz produženu ekspoziciju dobijamo na D.N. kojeg snimamo prozirno mjesto boje koju izdvajamo. Dakle, izradujemo korigirani dioni negativ. C) KOLOR MASKA To je postupak fotomehanicke korekcije, podvrsta negativskih maski. To je obojena maska. To je u biti snimka, a to znaci da se maska mora snimati na troslojnom filmu koji je razlicite grade od troslojnog filma za kolor fotografiju. LJP LJP Z C C Z 1. P 2. ZP 3. Ž PODLOGA žuti filter Osnovne razlike su u slijedecem: - žuti filter je izmedu 2. i 3. sloja. To znaci da ljubicasto plava boja djeluje na prva dva sloja. - Redoslijed komponenti je slijedeci: 3. sloj Z žuti; 2. sloj Z zelenoplavi; 1. sloj Z purpurni. - Razlika je i u spektralnoj osjetljivosti. Ovako izradena maska stavlja se na original i snimaju se svi dioni negativi. Svaki sloj ce nam djelovati kao posebna maska. Kod svakog D. N. djeluje samo jedan sloj i to žuti za žuti D. N., purpurni za purpurni D. N. i zelenoplavi za zelenoplavi D. N. C Z LJP C C C Z Z Z LJP LJP LJP P ZP Ž žuti filter Žuti D. N. dobit cemo snimanjem originala sa kolor maskom kroz ljubicastoplavi filter. Zrake prolaze kroz 1. i 2. sloj, a u 3. se apsorbiraju. Dakle, treci sloj služi kao maska za žuti D. N. jer se on mijenja sa ljubicastoplavim zrakama. Purpurni D. N. dobit cemo snimanjem originala sa kolor maskom kroz zeleni filter. Tom ce se prilikom zelene zrake apsorbirati u 1. sloju koji ce nam služiti kao maska za purpurni D. N. jer se taj sloj mijenja sa zelenim zrakama. Zelenoplavi dioni negativ dobit cemo snimanjem originala s kolor maskom kroz crveni filter. Pri snimanju ce crvene zrake proci kroz 1. sloj i apsorbirati se u 2. sloju koji ce nam služiti kao maska za zelenoplavi D. N. jer se taj sloj mijenja s crvenim zrakama. 24

25 7.2. ELEKTRONSKA KOREKCIJA Elektronska korekcija se provodi pomocu skenera. On prilikom snimanja dionih negativa i dionih dijapozitiva odmah korigira boje i kontrast. Princip snimanja zasniva se na tome da skener snima tocku po tocku. Brzina snimanja ovisi o originalu i krece se od nekoliko minuta do 1/2 sata. RACUNALO ELEKTRICNI SIGNAL FILTERI FOTOCELIJE IZVOR SVJETLA OSVJETLJAVANJE FILMA ORIGINAL FOTOMATERIJAL Rotacioni skener se sastoji od dva valjka koja rotiraju jednakom brzinom. Na lijevu stranu valjka stavlja se original, a na desnu fotomaterijal koji se snima. Izvor svjetla pomocu sistema zrcala osvjetljava original s unutrašnje strane valjka ako je original proziran. Kad svjetlo prode kroz original razdvaja se na tri snopa zraka koja prolaze kroz filtere (lj.p., z, c), a zatim to svjetlo pada na fotocelije koje svjetlosne impulse pretvaraju u elektricne impulse razlicite jacine ovisno o intenzitetu svjetla. Elektricni impulsi ulaze u racunalo koje vrši elektronske korekcije boja. Iz racunala izlazi samo jedan elektricni impuls koji ide na jednu žarulju koja osvjetljava fotomaterijal. Osvjetljavanje originala i fotomaterijala tece istodobno. Skener izraduje korigirane višetonske D. N. i dijapozitive i to postupkom jedan po jedan ili sva cetiri odjednom. Kod starih skenera, skener izraduje rasterske slike tako da na valjak napnemo kontaktni raster. Kod današnjih (modernih) skenera raster fizicki (kao materijalni dio) ne postoji, vec laserska glava osvjetljava film tockicu po tockicu velikom brzinom. Informacije o rastriranju šalju se od racunala do osvjetljivaca preko RIP-a (Raster Image Processor). Fotomaterijal na kojem radi skener je specijalni fotomaterijal predviden za skenerska snimanja. Otrokromatski je senzibiliziran i ima veliku opcu osjetljivost zbog velike brzine ocitavanja. KAKO CEMO KORIGIRATI POGREŠNU APSORPCIJU (REFLEKSIJU) ZELENOPLAVE BOJE U idealnom slucaju zelenoplava boja bi trebala imati MAX refleksiju (100%) u ljubicastoplavom i zelenom dijelu spektra (apsorpcija 0%). R 100% R 100% Ž.D.N. P.D.N. Z.P.D.N. LJP ZEL CRV λ λ IDEALNA REFLEKSIJA ZELENOPLAVE BOJE REALNA REFLEKSIJA ZELENOPLAVE BOJE 25

26 Medutim, u realnom slucaju zelenoplava boja ima u ljubicastoplavom dijelu spektra neku srednju refleksiju. Isto tako i u zelenom dijelu spektra zelenoplava boja ima neku osrednju refleksiju. Znaci zelenoplava boja ima neželjenu apsorpciju (tj. premalu refleksiju) u ljubicastoplavom i zelenom dijelu spektra, pa je potrebno znati u kom dionom negativu ce se to ocitovati da bismo znali kako to treba korigirati. Ta greška se ocituje u žutom D. N. jer njega snimamo kroz ljubicastoplavi filter i u purpurnom D. N. jer njega snimamo kroz zeleni filter. Zelenoplava boja mora u žutom i purpurnom D. N. biti reproducirana kao bijela jer tu boju ne izdvajamo. Pošto ta mjesta nisu zacrnjena sa velikom gustocom zacrnjenja moramo ih korigirati. Lošu apsorpciju zelenoplave boje cemo korigirati pomocu pozitivske ili negativske maske. Pozitivskim nacinom maskiranja za žuti D.N. maska ce biti purpurni dioni dijapozitiv smanjenog kontrasta. Za purpurni D. N. maska ce biti zelenoplavi dioni dijapozitiv smanjenog kontrasta. Masku cemo staviti na dioni negativ i izraditi korigirane dione dijapozitive. Negativskim nacinom maskiranja za žuti dioni negativ cemo kao masku koristiti purpurni D. N. smanjenog kontrasta, a za purpurni D.N. koristit cemo kao masku zelenoplavi D.N. smanjenog kontrasta. Masku cemo staviti na original (ako je proziran) ili na fotomaterijal (ako je neproziran) i izradit cemo korigirane D. N. - neželjena apsorpcija u podrucju lj.p. i zel. svjetla Z tj. premala refleksija KAKO CEMO KORIGIRATI POGREŠNU APSORPCIJU PURPURNE BOJE U idealnom slucaju purpurna boja bi trebala imati MAX refleksiju (100%) u ljubicastoplavom i crvenom dijelu spektra. R 100% R 100% Ž.D.N. P.D.N. Z.P.D.N. LJP ZEL CRV λ λ IDEALNA REFLEKSIJA PURPURNE BOJE REALNA REFLEKSIJA PURPURNE BOJE U realnom slucaju purpurna boja ima veliku refleksiju u crvenom dijelu spektra (a malu apsorpciju) pa to mjesto ne korigiramo. Ljubicastoplavom dijelu spektra purpurna boja ima neku osrednju refleksiju zraka što znaci da ima lošu refleksiju, odnosno apsorpciju. Ta loša apsorpcija purpurne boje najviše bi se ocitovala u žutom D. N. jer njega snimamo kroz ljubicastoplavi filter. Purpurna boja mora u žutom D. N. biti reproducirana kao bijela jer tu boju ne izdvajamo. Pošto to mjesto nije zacrnjeno velikom gustocom zacrnjenja mi ga moramo korigirati. Lošu apsorpciju purpurne boje korigirat cemo pomocu pozitivske ili negativske maske. Sve je isto kao i kod korekcije zelenoplave boje. - neželjena apsorpcija u podrucju ljubicastoplavog svjetla 26

27 8. DIREKTNO RASTRIRANJE Kod snimanja moramo snimiti odgovarajuce D. N. da bi se od njih napravili dioni rasterski dijapozitivi koji se kopiraju na plocu (za tehniku plošnog tiska). Kod direktnog rastriranja koristimo: 1. Original 2. Masku 3. Filter 4. Raster (kontaktni) Koristi se kontaktni raster. Pri ovakvom snimanju veliki su gubitci svjetla, jer original, maska, filter i raster apsorbiraju dosta svjetla tako da na fotomaterijal pada mala kolicina svjetla. Dakle, svjetlo koje pada na fotomaterijal malog je intenziteta pa je zbog toga potrebno produžiti vrijeme snimanja. Danas se koristimo sa jakim izvorima svjetla ( W), a i fotomaterijali su jako osjetljivi tako da ni vrijeme snimanja više nije tako dugo. Fotomaterijal je lit panktomatski. Lit fotomaterijal koristi se zato jer izradujemo rasterski negativ, a pankromatski je senzibiliziran zbog višebojnog originala kojeg koristimo prilikom snimanja. Kod snimanja višetonskih rasterskih D. N. javlja nam se problem Moare-a. To je gruba struktura koja se javlja kad se dva sistema linija ili rasterskih tockica tocno ne prekrivaju. Rješenje problema moare-a je u tome da D. N. snimamo pod odgovarajucim kutem. Kod svakog dionog negativa raster ce biti drukcije zaokrenut. Položaj pod kutem od 45 je položaj kod kojeg je greška nepoklapanja rasterskih tockica najmanje uocljiva. Zato cemo pod tim kutem snimati crni D. N. jer je crna boja najviše kontrastna. Ako na originalu nemamo puno crnih mjesta, onda cemo pod kutem od 45 snimiti zelenoplavi D. N. jer je zelenoplava boja od svih boja suptraktivne sinteze najviše kontrastna. Purpurni D. N. snimit cemo pod kutom od 75 (30 više u odnosu na 45 ). Žuti D. N. snimat cemo pod kutom od 0 ili 90 jer je žuta boja najmanje kontrastna pa nam to nece stvarati probleme. Dakle, dobit cemo korigirane rasterske dione negative. ŽUTI D.N PURPURNI D. N. 45 CRNI ILI Z.PLAVI D. N Z. PLAVI ILI CRNI D.N. 0 ŽUTI D.N. 27

Snimanje jednotonskog originala (crteža) u različitim mjerilima reprodukcije

Snimanje jednotonskog originala (crteža) u različitim mjerilima reprodukcije Vježba I Snimanje jednotonskog originala (crteža) u različitim mjerilima reprodukcije 1 UVOD: Reprofotografija se bavi procesom reprodukcije originala (snimanje i obrada slike). Općenito: Original film

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

RASTERSKI SUSTAVI. dr.sc. Maja Strgar Kurečić

RASTERSKI SUSTAVI. dr.sc. Maja Strgar Kurečić RASTERSKI SUSTAVI dr.sc. Maja Strgar Kurečić SADRŽAJ PREDAVANJA Princip višebojne reprodukcije Vrste rastera Konvencionalni raster (AM) Linijatura rastera Kutevi rastera Moiré Stohastički raster (FM) Hibridni

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

OPTIČKA SVOJSTVA PAPIRA

OPTIČKA SVOJSTVA PAPIRA OPTIČKA SVOJSTVA PAPIRA Papir svjetlosne zrake može apsorbirati, propustiti ili reflektirati. Kada svjetlost pada na papir jedan dio svjetlosnih zraka se odbije pod istim kutem pod kojim je i upao (zrcalna

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

FOTOMETRIJA I KOLORIMETRIJA

FOTOMETRIJA I KOLORIMETRIJA VIZUALNE INFORMACIJE U PROMETU FOTOMETRIJA I KOLORIMETRIJA SVJETLOST dio elektromagnetskog zračenja koji podražuje osjetne stanice mrežnice oka i izaziva osjet vida. Spektar elektromagnetskog zračenja

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα