MODULE 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Image Analysis II. Ανάλυση Εικόνας ΙΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MODULE 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Image Analysis II. Ανάλυση Εικόνας ΙΙ"

Transcript

1 MODULE 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Image Analysis II Ανάλυση Εικόνας ΙΙ Hough Transform Μετασχηµατισµός Hough B-Splines Πολυγωνικές Προσεγγίσεις Range Finding by Stereo Imaging Εύρεση Κλίµακας από τις Εικόνες Στέρεο The Correspondence Problem Το Πρόβληµα της Συσχέτισης QUICK INDEX 9.1

2 MODULE 9 INDEX HOUGH TRANSFORM: LINE AND CURVE DETECTION ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ HOUGH: ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΩΝ BASIC HOUGH TRANSFORM ΒΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ HOUGH HOUGH ACCUMULATOR ΣΥΣΣΟΡΕΥΤΗΣ HOUGH REFINING THE HOUGH TRANSFORM ΙΗΛΥΣΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ HOUGH B-SPLINES: CURVE REPRESENTATION ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΙΓΓΙΣΕΙΣ: ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ADVANTAGES OF B-SPLINES ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ THE B-SPLINE POLYNOMIALS ΤΑ ΠΟΛΥΟΝΗΜΑ ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ COMPUTING THE B-SPLINE REPRESENTATION ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ EXAMPLES: CUBIC B-SPLINES ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ: ΚΥΒΙΚΕΣ ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΕΣ MANIPULATING B-SPLINES ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΩΝ RANGE FINDING BY STEREO IMAGING ΕΥΡΕΣΗ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ ΣΤΕΡΕΟ STEREO CAMERA GEOMETRY AND TRIANGULATION ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΜΕΡΑΣ ΣΤΕΡΕΟ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΙΣΜΟΣ BINOCULAR CAMERA GEOMETRY ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΟΠΤΡΙΚΗΣ ΚΑΜΕΡΑΣ TRIANGULATION ΤΡΙΓΩΝΙΣΜΟΣ THE CORRESPONDENCE PROBLEM ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ COMPLEXITY OF CORRESPONDENCE PROBLEM 9.2

3 ΠΕΡΙΠΛΟΚΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΑΠΟΚΡΕΙΣΗΣ THE HUMAN EYE-BRAIN ΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΟΠΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ AN EDGE-BASED STEREO MATCHING ALGORITHM ΕΝΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΣΤΕΡΕΟΤΕΡΙΑΞΗΣ ΜΕ ΒΑΣΗ-ΑΚΜΕΣ SINGLE-SCALE MATCHING ALGORITHM ΑΠΛΟΥ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΕΡΙΑΞΗΣ A MULTI-SCALE ALGORITHM ΠΟΛΛΑΠΟΥ- ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ DENSE STEREO MATCHING ALGORITHMS ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΠΥΚΝΗΣ ΣΤΕΡΙΟΤΕΡΙΑΞΗΣ STEREO PHOTOMETRIC CONSTRAINT ΣΤΕΡΕΟ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ DISPARITY SMOOTHNESS CONSTRAINT ΑΝΟΜΟΙΟΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΞΩΜΑΛΥΝΣΗΣ DENSE STEREO SOLUTION ΛΥΣΗ ΠΥΚΝΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ACTIVE, VERGENT, FIXATING STEREO SYSTEMS ΕΝΕΡΓΗ, ΜΕ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ, ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΕΡΕΟ FOVEA EXAMPLE ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ FOVEA QUICK INDEX 9.3

4 HOUGH TRANSFORM: LINE AND CURVE DETECTION ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ HOUGH: ΑΝΥΧΝΕΥΣΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΩΝ The Hough Transform is a simple, generalizable tool for finding instances of curves of a specific shape in a binary edge map. Ο µετασχηµατισµός Hough είναι ένα απλό, γενικοποιηµένο εργαλείο για εύρεση παρουσιών καµπύλων ορισµένου σχήµατος σε ένα δυαδικό χάρτη ακµών What it does: (Τι κανει:) edge map "Circle" Hough transform result Advantages: (Πλεονεκτήµατα:) It is highly noise-insensitive - it can "pick" the shapes from among many spurious edges. Any edge detector, even the LoG, gives rise to "pseudo-edges" in practice. Είναι υψηλά µη-ευαίσθητο στο θόρυβο µπορεί να αρπάξει τα σχήµατα µεταξύ πολλών ψευδόακµών. Κάθε ανιχνευτής ακµών, ακόµα και το LoG, δηµιουργεί στην πράξη ψευδό-ακµές It is able to reconstruct "partial" curves containing gaps and breaks to the "ideal" form. Είναι ικανό να αποκαταστήσει µερικώς καµπύλες που περιέχουν κενά και είναι σπασµένες στην ιδανική µορφή It can be generalized to almost any desired shape. 9.4

5 Μπορεί να γερικοποιηθεί σε σχεδόν κάθε επιθυµητό σχήµα Disadvantage: (Μειονέκτηµα:) It is computation- and memory-intensive. Είναι υπολογιστικά δαπανηρό και δαπανηρό σε µνήµη. Basic Hough Transform Βασικός Μετασχηµατισµός Hough The basic Hough Transform assumes that it is desired to find the locations of curves that Ο βασικός µετασχηµατισµός Hough θεωρεί ότι είναι επιθυµητή η εύρεση της τοποθεσίας καµπύλων οι οποίες - Can be expressed as functions of the image coordinates (i, j) Μπορούν να εκφραστούν σαν συναρτήσεις των συντεταγµένων (i, j) - Have a set (vector) of parameters Έχουν ένα σύνολο (διάνυσµα) από παραµέτρους a = [a 1,..., a n ] T that specify the exact size, shape, and location of the curves. Το οποίο δηλώνει το ακριβής µέγεθος, σχήµα, και τοποθεσία των καµπύλων In other words, curves of the form Με άλλες λέξεις, καµπύλες της µορφής f(i, j; a) = 0 Examples (Παραδειγµατα) 9.5

6 2-D lines have a slope-intercept form 2- γραµµές έχουν µορφή κλίσης-τοµής f(i, j; a) = j - mi + b = 0 where a = (m, b) = (slope, y-intercept). όπου a = (m, b) = (κλίση, y-τοµή). 2-D circles have the form 2- κύκλοι έχουν την µορφή f(i, j; a) = (i - i 0 ) 2 + (j - j 0 ) 2 - r 2 = 0 where a = (i 0, j 0, r) = (two center coordinates, radius) όπου a = (i 0, j 0, r) = (δυο συντεταγµένες κέντρου, ακτίνα) 9.6

7 Basic Hough Transform Βασικός Μετασχηµατισµός Hough Input to the Hough Transform: An edge map (or some other approximation of the image contours). Η είσοδος στο µετασχηµατισµό Hough: Ένας χάρτης ακµών (ή κάποιες άλλες προσεγγίσεις των διαδρόµων εικόνας) From this edge map, a record (accumulator) is made of the possible instances of the shape in the image, and their likelihoods, by counting the number of edge points that fall on the shape contour. Από αυτό τον χάρτη ακµών, η σηµειώσει (συσσώρευση) γίνεται από τις πιθανές παρουσίες του σχήµατος στην εικόνα, και την ποιότητα µε την µέτρηση του αριθµού των σηµείων µιας ακµής τα οποία πέφτουν στην διαδροµή της µορφής Example (Παραδειγµα) Straight line / line segment detection Ευθεία γραµµή / ανίχνευση κοµµατιού γραµµής "Blow-up" of an edge map The "most likely" instance of a straight line segment in this region. The line indicated is the "most likely" because there are seven pixels that contribute evidence for its existence. Η γραµµή που φαίνεται είναι η πιο πιθανή επειδή υπάρχουν επτά στίγµατα τα οποία ενισχύουν τα στοιχεία για την ύπαρξη της. 9.7

8 There are other "less likely" segments (containing 2 or 3 edge pixels). Υπάρχουν άλλα λιγότερο πιθανά κοµµάτια (που περιέχουν 2 ή 3 στίγµατα ακµών) Hough Accumulator (Συσσορευτης Hough) The Hough accumulator A is a matrix that accumulates evidence of instances of the curve of interest via counting. Ο συσσωρευτής Hough Α είναι ένας πίνακας ο οποίος συσσωρεύει στοιχεία ύπαρξης για την ενδιαφέρουσα καµπύλη για την καταµέτρησης The Hough accumulator A is n-dimensional, where n is the number of parameters in a: Ο συσσωρευτής Hough Α είναι n-διαστάσεων, που είναι ο αριθµός των παραµέτρων στο a: a = [a 1,..., a n ] T Each parameter a i, i = 1,..., n can take only a finite number of values N i (the representation is digital). Κάθε παράµετρος a i, i = 1,..., n µπορεί να πάρει µόνο ένα πεπερασµένο αριθµό τιµών N i (η αντιπροσώπευση είναι ψηφιακή) Thus the accumulator A is an Έτσι ο συσσωρευτής Α είναι ένας N 1 x N 2 x N 3 x x N n-1 x N n matrix containing N 1 N 2 N 3 N n-1 N n slots. Πίνακας που περιέχει N 1 N 2 N 3 N n-1 N n θυρίδες The accumulator A becomes very large if: Ο συσσωρευτής Α γίνεται πολύ µεγάλος αν: - Many parameters are used 9.8

9 Πολλοί παράµετροι χρησιµοποιήθηκαν - Parameters are allowed to take many values Επιτραπεί στις παραµέτρους να παίρνουν πολλές τιµές The accumulator can become much bigger than the image! Ο συσσωρευτής µπορεί να γίνει πολύ πιο µεγάλος από την εικόνα! It is practical to implement the accumulator A as a single vector (concatenated rows): otherwise many matrix entries may always be empty (if they're "impossible"), thus taking valuable space. Είναι πρακτικό να σχεδιάσουµε τον συσσωρευτή Α σαν απλό διάνυσµα (συνδεδεµένες σειρές): αλλιώς πολλές είσοδοι του πίνακα µπορούν πάντα να είναι (αν είναι αδύνατη ), και έτσι θα παίρνουν πολύτιµο χώρο Accumulator Design Σχεδιασµός Συσσωρευτή The design of the Hough accumulator A is critical to keep its dimensions and size manageable. Η σχεδίαση του συσσωρευτεί Hough Α είναι σηµαντική για να κρατήσει τις διαστάσεις και το µέγεθος κατορθωτό The following are general steps to follow to achieve this: Τα ακόλουθα είναι γενικά βήµατα τα οποία πρέπει να ακολουθηθούν για να πετύχουµε αυτό τον σκοπό STEP ONE - Be sure that the curve equations are appropriate. For example, in line detection, the slope-intercept version is actually poor (nearly vertical lines have large slopes). ΒΗΜΑ ΕΝΑ Σιγουρευτείτε ότι οι εξισώσεις της καµπύλης είναι οι κατάλληλες. Για παράδειγµα, στην ανίχνευση γραµµών, η ερµηνεία της κλίσης-τοµής είναι κάπως φτωχή (σχεδόν κατακόρυφες γραµµές έχουν µεγάλες κλίσεις) A better line representation: polar form Μια καλύτερη αναπαράσταση γραµµής: πολική µορφή 9.9

10 f(i, j; a) = i cos(θ) + j sin(θ) - r = 0 where a = (r, θ) = (distance, angle) όπου a = (r, θ) = (απόσταση, γωνία) r θ STEP TWO - Bound the parameter space. Once has to do a little math here. Only allow parameters for curves that sufficiently intersect the image. ΒΗΜΑ ΥΟ Βαλτέ όρια στο χώρο των παραµέτρων. Κάποιος πρέπει να κάνει λίγα µαθηµατικά εδώ. Επιτρέψτε µόνο παραµέτρους για καµπύλες οι οποίες ικανοποιητικά κόπτουν την εικόνα 9.10

11 Interesting lines solid Irrelevant lines dashed Interesting circles solid Irrelevant circles dashed What is "allowable" depends on the application - perhaps (for example) the circles Τι είναι επιτρεπτό εξαρτάτε από την εφαρµογή ίσως (για παράδειγµα) οι κύκλοι - Must lie completely inside the image Πρέπει να πέφτουν εξολοκλήρου στην εικόνα - Must be of some minimum and maximum radius Πρέπει να είναι κάποιου ελάχιστου και µέγιστου ακτίνας 9.11

12 Example (Παράδειγµα) In an N x N image indexed 0 i, j N-1, detect circles of the form Σε µια N x N εικόνα µε έκθετες 0 i, j N-1, ανιχνεύσιµοι κύκλοι της µορφής f(i, j; a) = (i - i 0 ) 2 + (j - j 0 ) 2 - r 2 = 0 having minimum radii 3 (pixels) and maximum radii 10 (pixels), where the circles are contained by the image. Που έχει ελάχιστη ακτίνα 3 (στίγµατα) και µέγιστη ακτίνα 10 (στίγµατα), όπου οι κύκλοι περιέχονται από την εικόνα This could be implemented, for example, in a coin counter on a bus. Αυτό µπορεί να πραγµατοποιηθεί, για παράδειγµα, σε ένα µετρητή κερµάτων σε ένα λεωφορείο Clearly, we have the following bounds: Καθαρά, έχουµε τα ακόλουθα όρια: 3 r 10 and for each r : (και για κάθε r:) r i 0 (N-1) - r r j 0 (N-1) - r or part of some of the circles will extend outside of the image. ή µέρος από κάποιους κύκλους θα επεκταθεί εκτός της εικόνας This is an example where a rectangular accumulator array will lead to unused array entries. Αυτό είναι ένα παράδειγµα όπου ένας ορθογώνιος πίνακας συσσωρευτείς θα οδηγήσει σε µη χρησιµοποιηµένες θυρίδες στον πίνακα 9.12

13 Example (Παράδειγµα) In an N x N image indexed 0 i, j N-1, detect lines of the form Σε µια N x N εικόνα µε έκθετες 0 i, j N-1, οι ανίχνευση Άκµων της µορφής f(i, j; a) = i cos(θ) + j sin(θ) - r = 0 that intersect the image. (η οποία κόβει την εικόνα) This means that each line must intersect the four sides of the image in two places. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε γραµµή πρέπει να κόβει τις τέσσερις πλευρές της εικόνας σε δυο σηµεία This will happen if either the i-intercept or the j-intercept of the line falls in the range 0,..., N-1. Αυτό θα συµβεί αν όταν η i-τοµή ή η j-τοµή της γραµµής που πέφτει στο διάστηµα 0,..., N-1 But (Αλλά) i-intercept = r / cos(θ) j-intercept = r / sin(θ) So we can bound the parameters as follows: Έτσι µπορούµε να περιορίσουµε τις παραµέτρους ως ακολούθως: Either (είτε) or (ή) 0 r / cos(θ) N-1 0 r / sin(θ) N

14 STEP THREE - Quantize the accumulator space. Since curves are digitized, the accumulator is a discrete, finite array. ΒΗΜΑ ΤΡΕΙΑ Κβαντοποιούµε τον χώρο του συσσωρευτή. Επίσης οι καµπύλες ωηφιοποιούνται, ο συσσωρευτής είναι ένας διακριτός, πεπερασµένος πίνακας Decisions must be made regarding how "finely-tuned" the detector is to be. Αποφάσεις πρέπει να παρθούν σχετικά µε το πόσο καλά-συντονισµένος θα είναι ο ανιχνευτής For circles, the choice may be easy - let circle centers (i 0, j 0 ) and circle radii be integer values only, for example. Για κύκλους, η επιλογή µπορεί να είναι απλή ας ορίσουµε το κέντρο κύκλου (i 0, j 0 ) και την ακτίνα κύκλου να είναι ακέραιες τιµές µόνο, για παράδειγµα For lines, the selection can be more complex - since digital lines aren't always "straight": Για γραµµές, η επιλογή µπορεί να είναι πιο περίπλοκη επειδή η ψηφιακές γραµµές δεν είναι πάντα ευθείες : ETC The parameters should represent digitally realizable curves. Οι παράµετροι πρέπει να αντιπροσωπεύουν ψηφιακά πραγµατοποιήσιµες καµπύλες 9.14

15 Example (Παράδειγµα) Consider the earlier circle detection example. Θεωρήστε το προηγούµενο παράδειγµα ανίχνευσης κύκλου In an N x N image, detect circles of the form Σε µια N x N εικόνα, ανιχνεύστε κύκλους της µορφής f(i, j; a) = (i - i 0 ) 2 + (j - j 0 ) 2 - r 2 = 0 Radius constraint: 3 r 10 Περιορισµος Ακτινας: 3 r 10 Center constraints: r i 0 (N-1) - r r j 0 (N-1) r Περιορισµός Κέντρου: r i 0 (N-1) - r r j 0 (N-1) r If the radii and circles centers are integers, then Αν η ακτίνα και το κέντρο του κύκλου είναι ακέραιοι, τότε and for each r: (για κάθε r:) r {3,..., 10} r i 0 (N-1) - r r j 0 (N-1) - r The accumulator contains the following number of slots: Ο συσσωρευτείς περιέχει τον ακόλουθο αριθµό θυρίδων: # circle types = 10 Σ r=3 [N - 2r] 2 = 8N 2-208N N 2 This is about 8 times the image size! 9.15

16 Αυτό είναι περίπου 8 φορές το µέγεθος της εικόνας! Circle detection algorithms often assume just a few radii, e.g., in the coin counter example, just a few coin sizes. Οι αλγόριθµοι ανίχνευσης κύκλων συχνά θεωρούν µόνο λίγες ακτίνες, π.χ., στο παράδειγµα του µετρητή κερµάτων, µόνο λίγα µεγέθη κερµάτων. STEP FOUR - (Application) ΒΗΜΑ ΤΕΣΣΕΡΑ (Εφαρµογή) (1) Initialize the accumulator A to 0. Τοποθετούµε τον συσσωρευτεί Α στο 0. (2) At each edge coordinate (i, j ), [E(i, j ) = 1] increment A: Σε κάθε συντεταγµένη ακµής (i, j ), [E(i, j ) = 1] αυξάνουµε το Α: - For all accumulator elements a such that (ε small) Για όλα τα στοιχεία του συσσωρευτεί a στα οποία (µικρό ε) set f(i, j ; a ) ε A(a ) = A(a ) + 1 until all edge points have been examined. µέχρις ότου όλα τα σηµεία της ακµής έχουν ελεγχθεί (3) Threshold the accumulator. Those parameters a such that Κατωφλίωση του συσσωρευτή. Αυτοί οι παράµετροι a στους οποίους A(a ) τ represent instances of the curve being detected. 9.16

17 Αντιπροσωπεύουν παρουσίες της καµπύλης που έχει ανιχνευτή Since local regions of the accumulator may fall above threshold, detection of local maxima is usually done. Επειδή τα τοπικά σηµεία του συσσωρευτεί µπορούν να πέσουν πάνω από το κατώφλι, η ανίχνευση του τοπικού µέγιστου συνήθως γίνεται Comments on the Hough Transform Σχόλια Πάνω στο Μετασχηµατισµό Hough Substantial memory required even for simple problems, such as line detection. Σηµαντική µνήµη χρειάζεται ακόµα και σε απλά προβλήµατα, όπως ανίχνευση γραµµών Computationally intensive; all accumulator points are examined (potentially incremented) as each image pixel is examined. Υπολογιστικά απανηρές, όλα τα σηµεία του συσσωρευτεί εξετάζονται (δυνητικά αυξάνονται) όταν κάθε στίγµα εικόνας εξετάζετε Refinements of the Hough Transform are able to deal with these problems to some degree. Η ιύλιση του Μετασχηµατισµού Hough είναι ικανή να ασχοληθεί µε αυτά τα προβλήµατα σε κάποιο βαθµό 9.17

18 Refining the Hough Transform ιύλιση του Μετασχηµατισµού Hough The best way to reduce both computation and memory requirement is to reduce the size of the Hough array. Here is a (very) general modified approach that proceeds in stages: Ο καλύτερος τρόπος για µείωση των υπολογιστικών και αποθηκευτικών απαιτήσεων είναι να µειώσουµε το µέγεθος του πίνακα Hough. Εδώ είναι µια (πολύ) γενική αλλαγµένη προσέγγιση η οποία προχωρεί σε σταδία: (0) Coarsely quantize the Hough accumulator array. Define an error threshold ε0 and two variable thresholds τi and εi. Κοινα κβαντοποιούµε τον πινακα του συσσορευτη Hough. Ορίζουµε ένα κατώφλι λάθους ε0 και δυο µεταβλητά κατώφλια τi και εi. (1) Increment the Hough array wherever Αυξάνουµε τον πίνακα Hough οπουδήποτε f(i, j ; a ) εm where (όπου) εm > ε0. (2) Threshold the Hough array using a threshold τm. Κατωφλιώνουµε τον πίνακα Hough χρησιµοποιώντας το κατώφλι τm. (3) Redefine the Hough array by Ξανά-ορίζουµε τον πίνακα Hough µε - Only allowing values similar to those τm Μόνο επιτρεπόµενες τιµές παρόµοιες µε αυτές τm - Re-quantize the Hough array more finely over these values Ξανά-κβαντοποιούµε τον πίνακα Hough πιο ακριβές πάνω σε αυτές τις τιµές (4) Unless εm < ε0, set εm+1 < ε m, τm+1 < τ m and go to (1) 9.18

19 Αν δεν εm < ε0, θέτουµε εm+1 < ε m, τm+1 < τ m και παµε πίσω στο (1) The exact approach taken in such a strategy will vary with the application and available resources, but generally: Η ακριβής προσέγγιση που πάρθηκε σε µια τέτοια στρατηγική θα αλλάζει την εφαρµογή και τις διαθέσιµες πήγες, αλλά γενικά: - The Hough array can be made much smaller (hence faster) Ο πίνακας Hough µπορεί να γίνει πολύ πιο µικρός (και έτσι γρηγορότερος) - Eventually a similar result will be attained Σταδιακά ένα παρόµοιο αποτέλεσµα θα επιτευχθεί B-SPLINES: CURVE REPRESENTATION ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ: ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ The Hough Transform is a method for finding curves having a certain parametric representation. Ο Μετασχηµατισµός Hough είναι µια µέθοδος για εύρεση καµπυλών που έχουν κάποια συγκεκριµένη παραµετρική αντιπροσώπευση Once each curve is found, the exact location, shape, and size of its representation is known. Όταν κάθε καµπύλη βρεθεί, η ακριβής τοποθεσία, σχήµα, και µέγεθος της αντιπροσώπευσης της είναι γνωστή Thus the Hough Transform admits an efficient representation of the objects found. Έτσι ο µετασχηµατιστής Hough παραδέχεται µια αποτελεσµατική αντιπροσώπευση των αντικειµένων που βρέθηκαν Often it is not possible to know the type of curve to be found - the objects in the scene may have very general shapes. Συχνά δεν είναι πιθανόν να ξέρουµε τον τύπο των καµπυλών που θα βρεθούν τα αντικείµενα στην σκηνή µπορεί να έχουν πολύ γενικές µορφές B-Splines (Basis splines) are a very general, practical method for representing curves in images. 9.19

20 Οι πολυγωνικές προσεγγίσεις είναι µια πολύ γενική, πρακτική µέθοδος για την αντιπροσώπευση καµπύλων στην εικόνα B-splines are approximating polynomials that are fitted to the curves of interest. Οι πολυγωνικές προσεγγίσεις προσεγγίζουν πολυνοµία τα οποία ταιριαζάνται στις ενδιαφερόµενες καµπύλες The input is generally an edge map or other binary contour image. Η είσοδος είναι γενικά ένας χάρτης Άκµων ή άλλη εικόνα δυαδικής διαδροµής Advantages of B-Splines Πλεονεκτήµατα των Πολυγωνικών Προσεγγίσεων Aesthetically pleasing - a smooth, continuous representation. Αισθητική ευχαρίστηση µια εξοµαλυσµένη, συνεχής αντιπροσώπευσης The human eye cannot perceive curve discontinuities higher than second order (discontinuities in the curve derivative). Smooth representations (in this sense) are sufficient for perception. Το ανθρώπινο µάτι δεν µπορεί να αισθανθεί ασυνέχειες καµπύλων µεγαλύτερων του δευτέρου βαθµού (ασυνέχειες στην παραγωγό της καµπύλης). Εξοµαλυσµένες αντιπροσωπεύσεις (µε αυτή την έννοια) είναι ικανοποιητικές για την αντίληψη µας Simple low-order polynomials are good representation primitives. Απλά Χαµηλού-Βαθµού πολυνοµία είναι καλές αρχικές αντιπροσωπεύσεις B-splines are highly compact - a curve can be represented by the polynomial coefficients. Οι πολυγωνικές προσεγγίσεις είναι υψηλά συµπιεσµένες µια καµπύλη µπορεί να αντιπροσωπευθεί από τους συντελεστές ενός πολυώνυµου B-splines are not suitable for all contours. Very rough contours, such as the outline of a mountain or continent, may be better represented by a rough representation such as a fractal. 9.20

21 Οι πολυγωνικές προσεγγίσεις δεν είναι κατάλληλες για όλες τις διαδροµές. Πολύ τραχύς διάδροµος όπως το περίγραµµα ενός βουνού ή ηπείρου, µπορεί να αντιπροσωπευθεί καλύτερα από µια τραχιά αντιπροσώπευση όπως το fractal However, a spline can always be used as a gross representation (with which a rougher, more detailed representation may be associated). Ωστόσο, οι πολυγωνικές προσεγγίσεις µπορεί πάντα να χρησιµοποιηθούν σαν µια κύρια αντιπροσώπευση (µε την οποία µια πιο τραχύς, µε περισσότερη λεπτοµέρεια αντιπροσώπευση µπορεί να σχετιστεί) Definitions and Steps Involved Ορισµοί των βηµάτων που λαµβάνουν µέρος B-splines are piecewise polynomial functions used to locally approximate curves. Οι πολυγωνικές προσεγγίσεις είναι πολυνοµία συναρτήσεων σηµείου που χρησιµοποιούνται για να προσεγγίσουν τοπικά τις καµπύλες Definitions: (Ορισµοί:) (iq, jq) = coordinates of input points to be fit via B-spline (0 q Q-1) (iq, jq) = συντεταγµένες από σηµεία εισόδου για να ταιριάξουν διαµέσου των πολυγωνικών προσεγγίσεων rm = (rm, sm), 0 m M-1 << Q-1 = control points = a subset of the input points (iq, jq) = σηµεία έλεγχου = ένα υποσύνολο των σηµείων εισόδου (iq, jq) t = curve parameter (παράµεροι καµπυλών) x(t) = [x(t), y(t)] T = coordinates of the B-spline representation = συντεταγµένες αντιπροσώπευσης πολυγωνικών προσεγγίσεων 9.21

22 Bk(t) = normalized B-spline of order k = παίρνουµε την κανονικότητα πολυγωνικών προσεγγίσεων του βαθµού k We will now address the following points: Θα αναφέρουµε τώρα τα ακόλουθα σηµεία: (1) Finding the input coordinates (iq, jq) Εύρεση των συντεταγµένων εισόδου (iq, jq) (2) Selecting a set of control points Επιλογή συνόλου σηµείων έλεγχου (3) Parametrized curves Παραµετρικές Καµπύλες (4) The B-spline polynomials Τα πολυνοµία των πολυγωνικών προσεγγίσεων (5) Computing the B-spline representation Υπολογισµός αντιπροσώπευσης πολυγωνικών προσεγγίσεων (6) Examples: cubic B-splines Παράδειγµα: κυβικές πολυγωνικές προσεγγίσεις 9.22

23 (1) Finding the Input Coordinates (iq, jq) Εύρεση των Συντεταγµένων Εισόδου (iq, jq) The input coordinates (iq, jq) to a B-spline generator are a set of endpoint-to-endpoint contour coordinates Οι συντεταγµένες εισόδου (iq, jq) σε µια γεννήτρια πολυγωνικής προσέγγισης είναι ένα σύνολο από τελικού σηµείου-προς-σηµείου συντεταγµένων διαδρόµων (i0, j0),..., (iq-1, jq-1) that are taken from a binary edge map or other contour map. οι οποίες πάρθηκαν από ένα διάδικο χάρτη Άκµων ή κάποιον άλλο χάρτη διαδρόµων The output of a LoG edge detector is an ideal set of contours since the edge points are connected and of single-pixel width: Η έξοδος του LoG ανιχνευτή ακµών είναι ένα ιδανικό σύνολο από διαδροµές αφού τα σηµεία ακµών είναι συνδεδεµένα και έχουν πάχος απλού-στίγµατος LoG Edge Map The edge map must be parsed prior to attempting the B-spline fit. The goals of parsing are to Ο χάρτης ακµών πρέπει να αναλυθεί πριν την προσπάθεια της ταίριαξης πολυγωνικής προσέγγισης. Οι σκοποί της ανάλυσης είναι να 9.23

24 (A) (B) Identify the separate curves in the image Αναγνωρίσουν τις καθορισµένες καµπύλες στην εικόνα Identify curves of sufficient length (optional) Αναγνωρίσουν τις καµπύλες µε ικανοποιητικό µήκος (µε αναγκαίο) (1A) Curve Identification Αναγνώριση Καµπυλών A process of creating a set of coordinates for each contour. Η διαδικασία της δηµιουργίας ενός συνόλου συντεταγµένων για κάθε διαδροµή First find a set of end-points then for each end-point find the connected curve of which it is a part. Πρώτα βρέστε ένα σύνολο από τελικά-σηµεία, µετά για κάθε τελικό σηµείο βρέστε την συνδεδεµένη καµπύλη της οποίας είναι µέρος The following pseudo-code explains the process concisely, where E = [E(i, j)] is an edge map, and CONT is a matrix containing: Ο ακόλουθος ψευδό-κώδικας εξηγεί την διαδικασία συνοπτικά, όπου E = [E(i, j)] είναι ένας χάρτης ακµών, και CONT είναι ένας πίνακας που περιέχει: P rows (P > # expected contours) 2Q columns (Q > # expected points in a contour) CONT contains the edge contour coordinates in pairs (p, q). Το CONT περιλαµβάνει συντεταγµένες διαδρόµων ακµής σε ζεύγη (p, q). The process proceeds in two stages: Η διαδικασία προχωρεί µε δυο τρόπους: - record open curves bounded by two endpoints καταγράφουµε τις ανοικτές καµπύλες που περιέχονται µεταξύ δυο τελικών σηµείων - record closed curves with no endpoints καταγράφουµε τις κλειστές καµπύλες χωρίς τελικά σηµεία 9.24

25 open curves closed curves Pseudo-Code for Tracing Open Contours Ψευδό-Κώδικας για ιχνηλατήσει ανοικτών διαδρόµων int E [N ] [N], CONT [P ] [2*Q], p, q, m0, n0, m1, n1, P; int NUMPTS [P]; While scanning the image left-to-right and top-to-bottom do Ενώ σαρώνουµε την εικόνα από αριστερά-προς-δεξιά και από πάνω-προς-τα κάτω κάνουµε (p, q) = (0, 0); NUMCONT = 0; if E(m, n) = 1 and (m, n) CONT { (m1, n1) = (m, n) look: if (m0, n0) is the only 8-neighbor of (m1, n1) such that E(m0, n0) = 1 and (m0, n0) CONT { CONT(p, q) = m0; (record row coordinate) q = q+1; CONT(p, q) = n0; (record column coordinate) q = q+1; m1 = m0; (examine neighbors of new point) n1 = n0; goto look; } 9.25

26 } NUMPTS (p) = q / 2; p = p+1; q = 0; P = p; (increment contour count) (reinitialize coordinate count) (total # of contours) Pseudo-Code for Tracing Closed Contours: Ψευδό-Κώδικας για Ιχνηλάτηση Κλειστών ιαδρόµων: Identical code except that the boldface "only" is replaced by "an". Ταυτίσιµος κώδικας εκτός του ότι το µαυρισµένο µόνο αντικαθιστάτε µε ένα This will select the first point in a contour as an "end-point." Αυτό θα επιλέξει το πρώτο σηµείο στην διαδροµή σαν ένα τελικό σηµείο Result of Contour Tracing Αποτέλεσµα της ιχνηλάτησης διαδρόµων A count P of the number of contours found. Ένας µετρητής Ρ του αριθµού των διαδρόµων που βρέθηκαν For the pth contour a count NUMPTS(p) of the number of coordinate pairs in the contour. Για την pth διαδροµή ένας µετρητής NUMPTS(p) του αριθµού των ζευγών συντεταγµένων στην διαδροµή For each p a vector CONT(p, q) containing the contour coordinates in pairs: Για κάθε p ένα διάνυσµα CONT(p, q) περιέχει τις συντεταγµένες της διαδροµής σε ζεύγη: qth coordinate pair = [CONT(p, 2q), CONT(p, 2q+1)] Observe that contour crossings are handled by these algorithms: Παρατηρήστε ότι η διασταύρωση διαδρόµων στηρίζονται ένταξη από αυτούς τους αλγόριθµους Pixel being examined and prior contour points There is no way of knowing "which direction" should be taken - the choice is arbitrary. εν υπάρχει τρόπος για γνωστοποίηση ποια διεύθυνση πρέπει να παρθεί η επιλογή είναι τυχαία 9.26

27 (1B) Identify Curves of Sufficient Length Αναγνώριση Καµπυλών Ικανοποιητικού Μήκους Often it is of interest to represent only those contours of sufficient length. Smaller contours may be a product of noise, etc. Συχνά είναι ενδιαφέρον να αντιπροσωπεύσουµε µόνο τις διαδροµές ικανοποιητικού µήκους. Οι µικρές διαδροµές µπορεί να είναι αποτέλεσµα θορύβου, κλπ. If PMIN is the minimum contour length to be allowed, we can do the following to remove the short contours: Αν το PMIN είναι το ελάχιστο µήκος διαδρόµων που θα επιτραπεί, µπορούµε να κάνουµε τα ακόλουθα για να αφαιρέσουµε τις µικρές διαδροµές int CONT [P ] [2*Q], NUMPTS [P], p, q, P, PMIN; int q0, NEWP NEWP = P; do { if NUMPTS(p) PMIN { do (replace row by next row) { CONT(p, q0) = CONT(p+1, q0); } while (0 q0 2*NUMPTS(p+1)); NUMPTS(p) = NUMPTS(p+1); NEWP = P-1; } } while (0 p NEWP); 9.27

28 Result of Contour Elimination Αποτέλεσµα του Περιορισµού ιαδρόµων Once the previous algorithm finishes, the array CONT will contain only those contours of sufficient length PMIN: Όταν ο προηγούµενος αλγόριθµος τελειώσει, ο πίνακας CONT θα περιέχει µόνο αυτές τις διαδροµές ικανοποιητικού µήκους PMIN: qth coordinate pair = [CONT(p, 2q), CONT(p, 2q+1)] A count NEWP of the number of "long" contours found. Ένας µετρητής NEWP του αριθµού των µικρών διαδρόµων που βρέθηκαν A count NUMPTS (p) of the number of coordinate pairs in the pth contour. Ένας µετρητής NUMPTS (p) του αριθµού ζευγών συντεταγµένων στη pth διαδροµή The endpoints of the pth contour are Τα τελικά σηµεία της pth διαδροµής είναι start coordinates = [CONT(p, 0), CONT(p, 1)] αρχικές συντεταγµένες end coordinates = [CONT(p, imax), CONT(p, jmax)] τελικές συντεταγµένες where (οπου) imax = 2 * NUMPTS(p) jmax = 2 * NUMPTS(p) + 1 Contour map Revised contour map 9.28

29 This is really just a version of blob coloring (Module 2). Αυτό είναι πραγµατικά απλός µια ερµηνεία του χρωµατισµού µερών (Κεφαλαίο 2) (2) (3) Selecting a Set of Control Points Επιλογή Συνόλου µε Σηµεία Έλεγχου It is not necessary to fit a B-spline to all of the points on a contour. εν είναι απαραίτητο να ταιριάξουµε µια πολυγωνική προσέγγιση σε όλα τα σηµεία σε µια διαδροµή In fact is it desirable to use a small subset of the contour points, called control points - in this way, the B-spline becomes efficient. Είναι γεγονός ότι είναι επιθυµητή η χρήση µικρών υποσυνόλων των σηµείων της διαδροµής, που καλούνται σηµεία έλεγχου µε αυτό τον τρόπο, η πολυγωνική προσέγγιση γίνεται ικανοποιητική The goal of control point selection is to select a set of points that will allow the most faithful B- spline representation. Ο σκοπός της επιλογής σηµείου έλεγχου είναι να επιλέξουµε ένα σύνολο σηµείων το οποίο θα επιτρέπει την πιο πιστή αντιπροσώπευση της πολυγωνικής προσέγγισης In particular, high-curvature segments of the contour should be represented more densely than lowcurvature segments. Συγκεκριµένα, υψηλής-καµπυλότητας κοµµάτια της διαδροµής θα αντιπροσωπεύονται πιο πυκνά από κοµµάτια χαµηλής-καµπυλότητας Polyline Approximation Πολύγραµµη Προσέγγιση Polyline approximation is useful for selecting a set of control points Η πολύγραµµη προσέγγιση είναι χρήσιµοι για την επιλογή ενός συνόλου από σηµεία έλεγχου rm = (rm, sm) ; 0 m M-1 << Q-1 that are a subset of the input points τα οποία είναι υποσύνολα των σηµείων εισόδου (iq, jq) ; 0 q Q-1 defining a particular contour. ορίζουµε µια ιδιαίτερη διαδροµή 9.29

30 In the following assume a single contour since they have already been parsed and can be processed separately. Ακολούθως θεωρούµαι µια απλή διαδροµή αφού έχουν ήδη αναλυθεί και µπορούν να επεξεργαστούν ξεχωριστά Polyline Approximation Algorithm Αλγόριθµος Πολυγραµµικής Προσέγγισης (Για µια καµπύλη µήκους Q:) For a curve of length Q: {(i0, j0),..., (iq-1, jq-1)} (pairs in CONT) (Αντιπροσωπεύονται από Μ σηµεία έλεγχου:) To be represented by M control pts: {(r0, s0),..., (rm-1, sm-1)}. (1) Set r0 = (r0, s0) = (i0, j0) r1 = (r1, s1) = (iq-1, jq-1) (2) For each pair of consecutive control points: Για κάθε ζεύγος από διαδοχικά σηµεία έλεγχου: rm = (rm, sm) and rm+1 = (rm+1, sm+1) do (2a) Find the line between rm and rm+1. It is given by: Βρέστε την γραµµή µεταξύ rm και rm+1. ίνετε από A i + B j + C = 0 Where (όπου) A = (sm+1 - sm), B = (rm - sm+1), C = (rm+1 sm+1 - rm sm+1) (2b) For each point (it, jt) lying on the contour between rm and rm+1, compute its distance to the line. It is: Για κάθε σηµείο (it, jt) που πέφτει πάνω στη διαδροµή µεταξύ rm και rm+1, υπολογίστε την απόσταση στην γραµµή. Είναι: (3) Suppose the most distant point (from any line) lies between rn and rn+1. Then distance = Ai t +B j t +C/ A 2 +B

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr 9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R + Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

Numerical Analysis FMN011

Numerical Analysis FMN011 Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is

Pg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines

New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with

forms This gives Remark 1. How to remember the above formulas: Substituting these into the equation we obtain with Week 03: C lassification of S econd- Order L inear Equations In last week s lectures we have illustrated how to obtain the general solutions of first order PDEs using the method of characteristics. We

Διαβάστε περισσότερα

Parametrized Surfaces

Parametrized Surfaces Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1

Practice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1 Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the

Διαβάστε περισσότερα

Block Ciphers Modes. Ramki Thurimella

Block Ciphers Modes. Ramki Thurimella Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Performance of Second-Order System (Unit Step Response)

10.7 Performance of Second-Order System (Unit Step Response) Lecture Notes on Control Systems/D. Ghose/0 57 0.7 Performance of Second-Order System (Unit Step Response) Consider the second order system a ÿ + a ẏ + a 0 y = b 0 r So, Y (s) R(s) = b 0 a s + a s + a

Διαβάστε περισσότερα

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

D Alembert s Solution to the Wave Equation

D Alembert s Solution to the Wave Equation D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση =1 = 0. a b c. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. HMY 626 Επεξεργασία Εικόνας

Τελική Εξέταση =1 = 0. a b c. Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. HMY 626 Επεξεργασία Εικόνας Τελική Εξέταση. Logic Operations () In the grid areas provided below, draw the results of the following binary operations a. NOT(NOT() OR ) (4) b. ( OR ) XOR ( ND ) (4) c. (( ND ) XOR ) XOR (NOT()) (4)

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

5.4 The Poisson Distribution.

5.4 The Poisson Distribution. The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable

Διαβάστε περισσότερα

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is

Διαβάστε περισσότερα

Derivations of Useful Trigonometric Identities

Derivations of Useful Trigonometric Identities Derivations of Useful Trigonometric Identities Pythagorean Identity This is a basic and very useful relationship which comes directly from the definition of the trigonometric ratios of sine and cosine

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i. Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 15 - Root System Axiomatics

Lecture 15 - Root System Axiomatics Lecture 15 - Root System Axiomatics Nov 1, 01 In this lecture we examine root systems from an axiomatic point of view. 1 Reflections If v R n, then it determines a hyperplane, denoted P v, through the

Διαβάστε περισσότερα

Spherical Coordinates

Spherical Coordinates Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits. EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Quadratic Expressions

Quadratic Expressions Quadratic Expressions. The standard form of a quadratic equation is ax + bx + c = 0 where a, b, c R and a 0. The roots of ax + bx + c = 0 are b ± b a 4ac. 3. For the equation ax +bx+c = 0, sum of the roots

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

F-TF Sum and Difference angle

F-TF Sum and Difference angle F-TF Sum and Difference angle formulas Alignments to Content Standards: F-TF.C.9 Task In this task, you will show how all of the sum and difference angle formulas can be derived from a single formula when

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD

CHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.

Διαβάστε περισσότερα

Uniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor

Uniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor Uniform Convergence of Fourier Series Michael Taylor Given f L 1 T 1 ), we consider the partial sums of the Fourier series of f: N 1) S N fθ) = ˆfk)e ikθ. k= N A calculation gives the Dirichlet formula

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα