Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Transcript

1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα ποσότητα, και το είδος της περιοχής στην οποία εκτείνεται η ολοκλήρωση Συγκεκριµένα αναφέρουµε τα: Συνήθη ολοκληρώµατα διανυσµάτων, στα οποία η υπό ολοκλήρωση διανυσµατική συνάρτηση εξαρτάται µόνο από µια µεταβλητή Επικαµπύλια ολοκληρώµατα, στα οποία η ολοκλήρωση γίνεται κατά µήκος µιας καµπύλης, γενικά στο χώρο Επιφανειακά ολοκληρώµατα, στα οποία η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε µια επιφάνεια 4 Ολοκληρώµατα χώρου ή όγκου, στα οποία η ολοκλήρωση γίνεται µέσα σε µια κλειστή περιοχή Εδώ θα αναφερθούµε στα δύο πρώτα είδη µόνο Απλό ολοκλήρωµα διανυσµατικής συνάρτησης µιας µεταβλητής Αν R( R ( + R ( R ( είναι µια συνεχής διανυσµατική συνάρτηση της x y + µεταβλητής t, τότε το ολοκλήρωµα R ( + Ry ( + R ( R ( t () x ) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα του R ( ως προς t Αν υπάρχει µια διανυσµατική συνάρτηση P dp ( τέτοια ώστε R, τότε dp( R( t ) P( + c () όπου η c είναι µια αυθαίρετη διανυσµατική σταθερά ολοκλήρωσης το Ως ορισµένο ολοκλήρωµα του R ( ως προς t µεταξύ των ορίων t a και t b ορίζεται b b dp( b R( [ P( + c] a P( b) P( a) () a a Ολοκληρώµατα αυτού του είδους, αναλύονται σε ένα απλό ολοκλήρωµα για την κάθε συνιστώσα Παράδειγµα Η επιτάχυνση ενός σωµατιδίου δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t και στις κατάλληλες µονάδες, ως: a( t ) cost 8 sn t + 6t Να βρεθεί η ταχύτητα v ( και η θέση ( του σωµατιδίου, αν αρχικά ( t ) είναι: v ( ) και ( ) Γνωρίζουµε ότι dv a( και d v Ολοκληρώνοντας την επιτάχυνση ως προς το χρόνο, έχουµε: v( a( ( cost 8 sn t + 6t ) ˆ xcost 8ˆ ysn t + 6 t και v( t ) 6 sn t + 4 cost + 8t + c

2 6 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Για t, και εποµένως, c, c 4 v( t ) 6 sn t + 4(cos t ) + 8t Ολοκληρώνοντας, ( v( 6ˆ xsn t + 4ˆ y (cost ) + 8ˆ t 8 και ( t ) cost + (sn t + ˆ t + c Για t, c, c και εποµένως, ( t ) ( cos + (sn t + 8 t Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Έστω δύο σηµεία, Α και Β, στο χώρο, και µία συνεχής καµπύλη που τα ενώνει Έστω επίσης ότι σε κάθε σηµείο του χώρου ένα σηµειακό σώµα υφίσταται µια δύναµη F( ) η οποία, γενικά, είναι συνάρτηση της θέσης του σώµατος Αν το σώµα µετακινηθεί κατά µετατόπιση, από το σηµείο στο σηµείο +, η δύναµη παράγει έργο ίσο µε W F, όπου η προσέγγιση είναι τόσο καλύτερη όσο µικρότερη είναι η µετατόπιση, δεδοµένου ότι η δύναµη µεταβάλλεται µε τη θέση Κατά τη µετατόπιση του σώµατος από το σηµείο Α στο σηµείο Β κατά µήκος της καµπύλης, η δύναµη παράγει έργο W, το οποίο µπορεί να υπολογιστεί ως εξής: ιαιρούµε την καµπύλη σε Ν ευθύγραµµα τµήµατα (,,, ) το καθένα από τα οποία συνδέει το σηµείο µε το σηµείο + Το σηµείο Α βρίσκεται στη θέση, και το σηµείο Β στη θέση Το άθροισµα όλων των στοιχειωδών ποσοτήτων έργου είναι ίσο µε + W F( + F( + + F( + + F( F( ) (4) Στο όριο, καθώς και, έχουµε F( F( ) d και το άθροισµα µετατρέπεται στο ορισµένο ολοκλήρωµα του F dw d, µεταξύ των σηµείων Α και Β, κατά µήκος της καµπύλης Συµβολικά γράφουµε: W lm W lm F( dw F( ) d Το ολοκλήρωµα () ονοµάζεται γραµµικό ή επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της διανυσµατικής συνάρτησης F ως προς, κατά µήκος της καµπύλης, µεταξύ των σηµείων Α και Β

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Κάποιος που είναι εξοικειωµένος µε το συµβολισµό που µόλις αναπτύξαµε, θα διετύπωνε τον όλο συλλογισµό συνοπτικά ως εξής: «Το έργο που παράγει η δύναµη κατά τη στοιχειώδη µετατόπιση d του σώµατος είναι ίσο µε F dw d Όταν το σώµα µετακινηθεί κατά µήκος της καµπύλης από το σηµείο Α στο σηµείο Β, το συνολικό έργο που παράγει η δύναµη ισούται µε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της δύναµης F κατά µήκος της καµπύλης, µεταξύ των σηµείων Α και Β,» καµπύλη Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα σε Καρτεσιανές συντεταγµένες Σε Καρτεσιανές συντεταγµένες, F F x + Fy + F και d dx + dy + d Εποµένως, F dx + F dy F d, και Οι συνιστώσες F, F, F x y x y + x y F, F, F + ( F + ) xdx Fydy Fd της F είναι γενικά συναρτήσεις των (6) x, y, Αν γνωρίζουµε τις συναρτήσει της θέσης πάνω στην καµπύλη, τα τρία αυτά ολοκληρώµατα µπορούν να υπολογιστούν Αυτό θα επιδειχθεί µε κάποια παραδείγµατα Παράδειγµα y Να βρεθεί το έργο που παράγει η δύναµη F 4 + xy (σε newton όταν τα x και y είναι x σε m) κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο (, ) στο σηµείο (, 8), κατά µήκος της παραβολής y x, πάνω στο επίπεδο xy Επιβεβαιώνουµε ότι τα σηµεία Α και Β πράγµατι βρίσκονται πάνω στην παραβολή y x Το παραγόµενο έργο είναι ίσο µε ( Fxdx + Fydy) y 4 x W dx + xy dy Για να υπολογίσουµε τα ολοκληρώµατα, εκφράζουµε τις υπό ολοκλήρωση ποσότητες συναρτήσει µίας µόνο µεταβλητής Χρησιµοποιούµε τη σχέση y x, που ισχύει πάνω στην καµπύλη ολοκλήρωσης, για να απαλείψουµε το y Η σχέση δίνει επίσης dy 4xdx Έτσι, W y 4 dx + xy dy x x 4 x dx + x(x 4 x 6 ( 8dx + x 4x dx) ( ) dx x dx x + joule x x )(4xdx) Παράδειγµα Να βρεθεί το έργο που παράγει η δύναµη F (x + 6y) 4y + x (σε newton όταν τα x, y και είναι σε m) κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο (,, ) στο σηµείο (,, ) Η διαδροµή είναι η καµπύλη, η οποία δίνεται στην παραµετρική µορφή: x t, y t t, Επιβεβαιώνουµε ότι τα σηµεία Α και Β πράγµατι βρίσκονται πάνω στην καµπύλη Το σηµείο Α αντιστοιχεί στην τιµή t της παραµέτρου, και το Β στην τιµή t Το παραγόµενο έργο είναι ίσο µε

4 64 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής W ( Fxdx + Fydy + Fd) [(x + 6y) dx 4y dy + x d] Για να υπολογίσουµε τα ολοκληρώµατα, θα πρέπει να εκφράσουµε την υπό ολοκλήρωση ποσότητα συναρτήσει µίας µόνο µεταβλητής Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε τις σχέσεις ανάµεσα στα x, y και, όπως αυτές ισχύουν πάνω στην καµπύλη της διαδροµής Επιλέγουµε να εκφράσουµε όλες τις µεταβλητές συναρτήσει του t Έτσι, είναι Εποµένως,, x t, y t t, καθώς επίσης και dx, dy t, d t W [(x t t [(t (9t + 6y) dx 4y dy + x + 6t 8t 6 + 6t 9 ) 4t t ) d] (t d + t( t ) (t d] 7 [ t 4t + 6t ] joule Υπάρχει ένα σφάλµα που κάνουν καµιά φορά οι σπουδαστές στην πρώτη τους επαφή µε την ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών, για τον υπολογισµό επικαµπύλιων ολοκληρωµάτων Συγκεκριµένα, στη διαδικασία του υπολογισµού του ολοκληρώµατος κάνουν την απλοποίηση x y d x y d, για παράδειγµα, µε το σκεπτικό ότι αφού η ολοκλήρωση θα γίνει ως προς, τα x και y δεν θα επηρεάσουν το ολοκλήρωµα Αυτός ο συλλογισµός είναι λανθασµένος Μόνο σταθερές ποσότητες µπορούν να µεταφερθούν έξω από το ολοκλήρωµα Κατά την ολοκλήρωση ως προς κατά µήκος µιας γενικής καµπύλης στο χώρο, τα x και y γενικά δεν παραµένουν σταθερά Κάτι τέτοιο προφανώς θα συνέβαινε µόνο στην ολοκλήρωση κατά µήκος µιας ευθείας κάθετης στο επίπεδο xy Όλες οι ποσότητες που µεταβάλλονται κατά µήκος της καµπύλης ολοκλήρωσης πρέπει να ληφθούν υπόψη Όπως είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα, για να γίνει δυνατή η ολοκλήρωση, πρέπει, σε κάθε ένα από τα ολοκληρώµατα, να εκφράσουµε όλες τις µεταβλητές συναρτήσει µιας µόνο µεταβλητής Προβλήµατα Να βρεθεί το έργο που παράγει η δύναµη F xy + x (σε newton όταν τα x, y και είναι σε m) κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της κατά µήκος της καµπύλης, η οποία δίνεται στην παραµετρική µορφή: x t +, y t, t από το σηµείο ( t ) στο σηµείο ( t ) (Απ: J) Να βρεθεί το έργο που παράγει η δύναµη F xy y (σε newton όταν τα x και y είναι σε m) κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο (, ) στο σηµείο (,), κατά µήκος της παραβολής y x, πάνω στο επίπεδο xy (Απ: 7/6 J ) Να βρεθεί το έργο που παράγει η δύναµη F (x + 6y) 4y + x (σε newton όταν τα x και y είναι σε m) κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο (,,) στο σηµείο (,, ), κατά µήκος των διαδροµών:, (α) x t, y t t (Απ: J) (β) Της ευθείας που ενώνει τα δύο σηµεία (Απ: / J )

5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Το διατηρητικό πεδίο Αν σε µια περιοχή το ολοκλήρωµα καµπύλη εξαρτάται µόνο από το αρχικό σηµείο Α και το τελικό σηµείο Β και είναι ανεξάρτητο της διαδροµής, το διανυσµατικό πεδίο F ονοµάζεται διατηρητικό Για δύο διαφορετικές διαδροµές και µεταξύ των σηµείων Α και Β, έχουµε για µια διατηρητική διανυσµατική συνάρτηση F την ισότητα: (7) Επειδή είναι καµπύλη καµπύλη καµπύλη καµπύλη, (8) καµπύλη η Εξ (7) γίνεται + (9) καµπύλη Αν ονοµάσουµε την κλειστή καµπύλη την οποία αποτελούν η από το σηµείο Α στο σηµείο Β και η όπου το σύµβολο ολοκλήρωµα της F από το σηµείο Β στο σηµείο Α, η Εξ (9) µπορεί να γραφτεί ως:, () υποδηλώνει ολοκλήρωση πάνω στην κλειστή διαδροµή Εποµένως το κατά µήκος µιας κλειστής καµπύλης είναι ίσο µε µηδέν Η ποσότητα ονοµάζεται κυκλοφορία της F κατά µήκος της κλειστής καµπύλης Αν η F είναι µια δύναµη, το ολοκλήρωµα () είναι το έργο που παράγει η δύναµη όταν µετακινήσει το σηµείο εφαρµογής της κατά µήκος της κλειστής διαδροµής Το όνοµα διατηρητική δύναµη οφείλεται στο γεγονός ότι το έργο αυτό είναι ίσο µε µηδέν Ένα σώµα πάνω στο οποίο ασκείται αυτή η δύναµη ούτε κερδίζει ούτε χάνει ενέργεια, συνολικά, εξ αιτίας αυτής της δύναµης, όταν διαγράψει µια κλειστή τροχιά Με αναφορά σε µια δύναµη F, για σαφήνεια, ισχύουν τα εξής: Αν µια δύναµη F είναι διατηρητική σε µια περιοχή, τότε το ολοκλήρωµα έχει καµπύλη την ίδια τιµή για κάθε καµπύλη στην περιοχή, που ενώνει τα σηµεία Α και Β Αν µια δύναµη F είναι διατηρητική σε µια περιοχή, τότε για κάθε κλειστή καµπύλη στην περιοχή Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι µια δύναµη F διατηρητική είναι η F 4 Αν µια δύναµη F είναι διατηρητική, τότε υπάρχει µια βαθµωτή συνάρτηση U τέτοια ώστε F U Στη Φυσική, η συνάρτηση U ονοµάζεται συνάρτηση δυναµικής ενέργειας που σχετίζεται µε τη δύναµη F Το αρνητικό πρόσηµο χρησιµοποιείται κατά σύµβαση στη Φυσική

6 66 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Αν η δύναµη F είναι διατηρητική, η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U ( ) για την οποία είναι F U, δίνεται από την εξίσωση U ( ), µε αβεβαιότητα µιας σταθεράς η οποία εξαρτάται από το σηµείο αναφοράς όπου λαµβάνεται U ( ) 6 Αν είναι F U, όπου η U είναι µια βαθµωτή συνάρτηση, τότε η F είναι διατηρητική Αυτό πηγάζει από τη γενική ταυτότητα U, από την οποία προκύπτει ότι είναι F Παράδειγµα 4 Να δειχθεί ότι η F (xy + ) + x + x είναι διατηρητική Να επαληθευθεί ότι η συνάρτηση δυναµικού που αντιστοιχεί στην F είναι η U ( ) x y x Επειδή F x y xy + x x η δύναµη είναι διατηρητική Από το γεγονός ότι, για το U που δίνεται, είναι U ( x y + x ) + ( x y + x ) + ( x y + x ) (xy + ) + x + x, x y η διανυσµατική συνάρτηση F πράγµατι προκύπτει από την U ( ) µέσω της σχέσης F U Παράδειγµα Να αποδειχθεί ότι η δυναµική ενέργεια U ( ) από την οποία η διατηρητική δύναµη F προκύπτει µέσω της σχέσης F U, δίνεται από την εξίσωση U ( ), µε U ( ) Αν είναι Εποµένως, F U U U U, τότε U d dx + dy + d du x y du U ( ) U ( ) U ( ) Προβλήµατα Έστω ότι η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας είναι U ( x, y, ) xy Βρέστε τη δύναµη στην οποία αντιστοιχεί, F U, και δείξτε ότι αυτή είναι διατηρητική, υπολογίζοντας το F Αποδείξτε ότι ισχύει η ταυτότητα U Βιβλιογραφία Kttel, W D Knght, M Rudeman, Helmhol και J Moye, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 998 Κεφ Ι S Sokolnkoff και R M Redheffe, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, Κεφ 6