Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

Transcript

1 Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των κλίσεων των χορδών που φέρονται µεταξύ 2 σηµείων στην γραφική παράσταση του y ως προς το x καθώς το x τείνει στο µηδέν y 2 Δy y = lim Δy Δx = lim y(x + Δx) y(x) Δx y 1 Δx x 1 x x 2

2 Διαφορικός λογισµός ιδιότητες παραγώγων Η παράγωγος του αθροίσµατος 2 συναρτήσεων είναι f (x)= g(x)+ h(x) = g(x)+ h(x) Η παράγωγος του γινοµένου 2 συναρτήσεων είναι f (x)= g(x)h(x) = hg + g h g Πηλίκο δύο συναρτήσεων? g(x) h h(x) = g h h 2 Αν y = f(x) και x είναι συνάρτηση µιας άλλης µεταβλητής z τότε y = z y z Η δεύτερη παράγωγος της y ως προς x ορίζεται 2 y 2 = ΦΥΣ Διαλ.5 2 y

3 ΦΥΣ Διαλ.5 3 Διαφορικός λογισµός - τυπολόγιο ax n = nax n 1 sinax ( ) = acosax cosax ( ) = asinax (eax )= ae ax ln(ax)= 1 x

4 Κίνηση σε µία διάσταση ΦΥΣ Διαλ.5 4 Ανακεφαλαιώνοντας θέσης τροχιάς µετατόπισης χρονικού διαστήµατος µέση ταχύτητα v = Δ r Δ = Δ x Δ r = x = xî = x Δ r = r f r i = x f î x i î Δ r = Δ x = x f x i Δ = f i στιγµιαία ταχύτητα Δ r v= lim Δ Δ = lim Δ Δ x Δ = x ή Δx = x f x i παράγωγος µέση επιτάχυνση a = Δ v() Δ = v( + Δ) v() Δ στιγµιαία επιτάχυνση a ( ) = lim ( ) v( ) v + Δ Δ Δ = v( )

5 ΦΥΣ Διαλ.5 5 Ταχύτητα και Επιτάχυνση διαφορικός λογισµός Η θέση ενός σώµατος συναρτήσει του χρόνου δίνεται από την εξίσωση x = C 3 όπου C µια σταθερά µε διαστάσεις m/sec 3. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώµατος συναρτήσει του χρόνου Η ταχύτητα του σώµατος βρίσκεται εφαρµόζοντας τον ορισµό της στιγµιαίας ταχύτητας: υ = = ( C 3 ) υ = 3C 2 Η επιτάχυνση του σώµατος βρίσκεται από: a = 2 x 2 = = υ a = ( 3C 2 ) = 6C Διαστασιακά οι 2 εξισώσεις είναι σωστές εφόσον: [ υ] = [ C] [ ] 2 = m sec 3 sec2 = m [ a] = [ C] [ ] = m sec sec = 3 sec m sec 2

6 ΦΥΣ Διαλ.5 6 Αν ξέρουμε την επιτάχυνση α, μπορούμε να βρούμε από τις προηγούμενες εξισώσεις την v και την x τη στιγμή " Πώς? Χρησιμοποιώντας την έννοια του ολοκληρώματος Γραφικά πρώτα α() α α n Χωρίζουμε το χρονικό διάστημα σε πολλά ισόχρονα διαστήματα Δ n. Ξέρουμε ότι α n = Δv n /Δ Δv n = α n Δ n Εμβαδό Αθροίζοντας όλα τα εμβαδά απο i # f έχουμε: Δv = α n Δ n n i Δ n f Στο όριο n#, δηλαδή Δ n # η μεταβολή της ταχύτητας δίνεται από το εμβαδό της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη επιτάχυνσης - χρόνου Δv = lim n n α n Δ n Στιγμιαία και όχι μέση τιμή α

7 ΦΥΣ Διαλ.5 7 Ολοκληρωτικός λογισµός Θεωρούµε την ολοκλήρωση ως το αντίστροφο της διαφόρισης: f ( x) = y y = f ( x) Μπορούµε να βρούµε την y(x) αθροίζοντας για όλες τις τιµές του x. Αυτή η αντίστροφη πράξη γράφεται y( x) = f (x) π.χ. για µία συνάρτηση f(x) = 3ax 2 + b η παραπάνω ολοκλήρωση δίνει y( x) = ( 3ax 2 + b) = ax 3 + bx + c Το ολοκλήρωµα ονοµάζεται αόριστο ολοκλήρωµα επειδή η τιµή του εξαρτάται από τη τιµή της σταθεράς c. To αόριστο ολοκλήρωµα ορίζεται ως I x ( ) = f x ( ) Η συνάρτηση f(x) ονοµάζεται ολοκληρωτέα συνάρτηση: f (x)= I(x) Για µια συνεχή συνάρτηση το ολοκλήρωµα µπορεί να περιγραφεί σα το εµβαδό που ορίζεται από την καµπύλη της f(x) και του άξονα x, µεταξύ 2 ορισµένων τιµών x 1 και x 2 Οριµένο ολοκλήρωµα

8 ΦΥΣ Διαλ.5 8 Ολοκληρωτικός λογισµός Ένα από τα πιο χρήσιµα ολοκληρώµατα που συναντιούνται είναι: x n = x n+1 n+1 + c Διαφόριση του δεξιού µέλους δίνει f(x) = x n. Aν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι γνωστά τότε το ολοκλήρωµα δίνει: x n = x n+1 n+1 x 2 = x n+1 n+1 x 2 1 n+1 x q Μερικοί τρόποι ολοκληρώσεως " Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: uv = uv v u Για παράδειγµα: I(x)= x 2 e x = u v Επαναλαµβάνοντας στο δεύτερο όρο έχουµε x 2 (e x )= x 2 e x 2 e x x + c 1 2e x x = 2e x x +2 e x = 2e x x +2e x + c 2

9 ΦΥΣ Διαλ.5 9 Ολοκληρωτικός λογισµός " Τέλειο διαφορικό: προσπαθούµε µε αλλαγή της µεταβλητής ολοκλήρωσης το διαφορικό της συνάρτησης να είναι διαφορικό της ανεξάρτητης µεταβλητής που εµφανίζεται στην ολοκληρωτέα συνάρτηση π.χ I(x)= cos 2 xsin x ( cos x) = sin x I(x) = cos 2 x( cos x) Μερικά χρήσιµα ολοκληρώµατα = x 1 = ln x x = 1 a+ bx b ln(a+ bx) (a+ bx) 2 = 1 b(a+ bx) sin(ax) = 1 cos(ax) cos(ax) = 1 sin(ax) a a x = a 2 x 2 xe ax = eax (ax 1) a 2 x 2 a 2

10 ΦΥΣ Διαλ.5 1 Αν είναι γνωστή η καµπύλη επιτάχυνσης χρόνου, η µεταβολή της ταχύτητας βρίσκεται από το εµβαδό της επιφάνειας. To παραπάνω ορισµένο ολοκλήρωµα γράφεται lim n a n a n Δ n = ( ) = v( ) i f a( ) Γνωρίζοντας τη συνάρτηση α() µπορούµε υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα για τυχαία χρονική στιγµή. a( ) = v ( ) = a v i ( ) a Εποµένως σε µια χρονική στιγµή η ταχύτητα είναι ( ) Αν i = συνήθως γράφουµε v( i ) = v v ( ) = v i + v( i ) ( ) = a v v i ( ) + v = v v i = v( ) v( i )

11 ΦΥΣ Διαλ.5 11 Κατά τον ίδιο τρόπο γνωρίζοντας την ταχύτητα μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση v( ) = x v( ) = = x x i x i x = x( ) x( i ) = x( ) x ( ) = x + v Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται ( ) ( ) = a v ( ) + v (Α) x ( ) = x + v ( ) (Β) Αν v() είναι σταθερή π.χ. v = v (Β) x( ) = x + v

12 ΦΥΣ Διαλ.5 12 Κίνηση σε μία διάσταση - Ανακεφαλαίωση Διάνυσμα θέσης τροχιάς: Μετατόπιση: Χρονικό διάστημα Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση r = xî Δ r = r f r i = ( x f x i )î Δ = f i v = Δ r Δ = Δx î Δ Δ r " v = lim Δ Δ = r = a = Δ v() Δ a ( ) = lim Δ (για >1-διαστάσεις: r = xî + yĵ + z ˆk) = v( + Δ) v() Δ v + Δ ( ) v ( ) Δ î Προσοχή = v( ) Δύο εξισώσεις κίνησης ανάλογα με το πρόβλημα που δίνεται v = a διαδρομή Βαθμωτό μέγεθος παράγωγος ( ) = a v ( ) + v (Α) x = x + v() (Β)

13 Σημαντικά σημεία " Από τον ορισµό της στιγµιαίας ταχύτητας Αλλαγή µέτρου Αλλαγή κατεύθυνσης r() Δ r() r + Δ r()= r( + Δ) r() r( + Δ) Δ r() v = r ΦΥΣ Διαλ.5 13 Αλλαγή ταχύτητας Αλλαγή και µέτρου και κατεύθυνσης r() r( + Δ) Δ r() " Από τον ορισµό της στιγµιαίας επιτάχυνσης α = v Αλλαγή στο µέτρο ή διεύθυνση ή και στα δυό µαζί της ταχύτητας ενός σώµατος έχει σαν αποτέλεσµα την επιτάχυνση του σώµατος Αν Αν Δv > Δv < τότε το σώµα επιταχύνεται τότε το σώµα επιβραδύνεται a = ax î a = ax î