Έργο Ενέργεια Ώθηση. F dp=f dt p=p p F dt I(t)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Έργο Ενέργεια Ώθηση. F dp=f dt p=p p F dt I(t)"

Transcript

1 Έργο Ενέργεια 1/1 Η «φυσική» λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα απαιτεί την γνώση της δύναμης σαν συνάρτηση του χρόνου. Τις περισσότερες φορές όμως γνωρίζουμε την δύναμη σαν συνάρτηση της γεωμετρίας (της θέσης των σωμάτων). Στην περίπτωση αυτή πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης και μετά να υπολογίσουμε την θέση συναρτήσει του χρόνου (και τελικά και την ταχύτητα και την δύναμη συναρτήσει του χρόνου). Στα πλαίσια της επίλυσης αυτής προκύπτουν χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης που είναι πολύ σημαντικά όχι μόνον στα πλαίσια της μαθηματικής επίλυσης ή της Μηχανικής. Τα μεγέθη αυτά, Έργο Δύναμης, Κινητική Ενέργεια, Δυναμική Ενέργεια, καθίστανται θεμελιώδεις έννοιες και έχουν εφαρμογή σε όλους τους κλάδους της Επιστήμης. Επηρεάζουν δε, βαθύτατα και την αντίληψή μας για την Φύση και τον κόσμο γύρω μας, σε τέτοιο βαθμό που χρησιμοποιούνται ορθά ή και καταχρηστικά, εσφαλμένα και παραπλανητικά στα πλαίσια της καθημερινής μας ζωής.

2 Ώθηση Ώθηση ονομάζουμε την μεταβολή της ορμής ενός σώματος (φυσικά μέγεθος διανυσματικό) μέσα σε ένα χρονικό διάστημα εξαιτίας της συνισταμένης των δυνάμεων που δρουν επάνω του. dp d F dp=fd p=p p Fd I() /1 Προσέξτε την διανυσματική φύση της ώθησης που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα αναλύεται σε τρία επιμέρους ολοκληρώματα (π.χ. για τις συνιστώσες της δύναμης κατά x,y,z, όταν χρησιμοποιούμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων). Το προηγούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να λυθεί μόνον εφόσον γνωρίζουμε την εξάρτηση της δύναμης από τον χρόνο. Η έννοια της ώθησης είναι λοιπόν χρήσιμη όταν γνωρίζουμε την F(), όπως π.χ. στην περίπτωση ενός διαστημοπλοίου ή δορυφόρου όπου διορθώνουμε την πορεία του με κατάλληλη λειτουργία του κινητήρα τους για δεδομένο χρονικό διάστημα. d 1 p p I() m m Ι() m m Ι() md m d Ι()d ()= + ( ) Ι() d d m Πολλές φορές όμως (π.χ. βαρύτητα, ηλεκτρισμός κ.τ.λ.), γνωρίζω την δύναμη σαν συνάρτηση της γεωμετρίας του προβλήματος, δηλαδή της θέσης των σωμάτων που αλληλεπιδρούν, γενικά γνωρίζω F=F(). Τότε, αν θέλω να χρησιμοποιήσω την ώθηση πρέπει να λύσω πρώτα την =() και στη συνέχεια να αντικαταστήσω ώστε να έχω την F=F(): Δηλαδή, πρώταναλύσωτοπρόβλημα(γνώση του =()) και μετά να μπορώ να χρησιμοποιήσω την έννοια της ώθησης!! ης Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε με τις έννοιες του Έργου και της Ενέργειας.

3 Έργο Δύναμης και Ισχύς Ορίζουμε ως στοιχειώδες έργο dw μίας δύναμης F πουδρασεένασώμαπουμετατοπίζεταικατά d, το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης με την στοιχειώδη μετατόπιση του σώματος, δηλαδή: ds F N () F FT d (+d) dw Fd dw Fxdx Fydy Fdz z 3/1 Εναλλακτικά, είναι το γινόμενο της επιτρόχιας συνιστώσας F T της δύναμης F επί την στοιχειώδη μετατόπιση επάνω στην τροχιά,ds. (Υπενθύμιση:d=ds u T ). dw F d ( F F ) d ( F uˆ F uˆ ) ( ds uˆ ) F ds T N T T N N T T Παρατήρηση: Η κεντρομόλος συνιστώσα ΔΕΝ παράγει έργο (κάθετη στη μετατόπιση). Για μία μακροσκοπική μετατόπιση, η τροχιά αναλύεται σε στοιχειώδεις μετατοπίσεις, οπότε το έργο W της δύναμης θα δίδεται από το ολοκλήρωμα: ή x y z s B B B B B W F d W F ( x, y, z ) dx F ( x, y, z ) dy F ( x, y, zdz ) F( sds ) x A A y A A z A A T x y z s A A A A A dw Ισχύς (στιγμιαία): P= Ρυθμός μεταβολής ( παραγωγή ή κατανάλωση) του έργου d Ισχύς για σώμα που κινείται με υ και ασκείται επάνω του δύναμη F dw Fd P= F d d Μονάδες: Έργο: Newon mee= Joule, Ισχύς: Joule/second. Επίσης: Ηλεκτρονιοβόλτ (EleconVol, ev): Joule Κιλοβατώρα: Έργο και όχι ισχύς:1kwγια μία ώρα =1kWh

4 Κινητική Ενέργεια και το Θεώρημα Μεταβολής της 4/1 μόνον αν m=σταθερή dp d(mυ) dυ dυ ds dυ F m m m υ F d d d ds d ds dυ d(υ ˆ u u ) ˆ ˆ T m υu υ ˆ T F ut m ut FT m υdυ= FT ds ds ds υ B s B 1 1 m υd υ F T ds m υ B m υ A W ΗσυνάρτησηΕ k είναι η Κινητική Ενέργεια του σώματος. υ A s A 1 υ p Ek m mm E E W Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας kb, ka, Όταν ένα σώμα κινείται κάτω από την δράση μίας δύναμης F τότε το έργο της δύναμης ισούται με την μεταβολήτης κινητικής του ενέργειας. Το Θεώρημα προκύπτει από τον νόμο του Νεύτωνα! Προσοχή: Το θεώρημα δεν ισχύει για συστήματα μεταβλητής μάζας (θεωρήσαμε ότι m=σταθ.)!

5 Δυναμική Ενέργεια Ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος. Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του σώματος, η Δυναμική Ενέργεια E p (), τέτοια ώστε: B W Fd [ E ( ) E ( )] Παρατήρηση: Κάθε σταθερή δύναμη είναι και διατηρητική: A p B p A W = F B F A. Δηλαδή ησυνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι Ε p ()= F. F π.χ. για το βάρος Β= mg u z, Ε p ()= mgz Φυσικό νόημα ΔΕΝ έχει η τιμή της δυναμικής ενέργειας αλλά η διαφορά της από ένα σημείο σε άλλο (που είναι εν δυνάμει έργο). Συνεπώς, μπορώ να προσδιορίζω αυθαίρετα την μηδενική στάθμη δυναμικής ενέργειας, δηλαδή μπορώ να προσθέτω μία σταθερά C στην συνάρτηση και να χρησιμοποιώ την νέα συνάρτηση Ep( ) Ep( ) C Το έργο συντηρητικής δύναμης είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής καιτηςτελικής θέσης του σώματος και όχι της διαδρομής που ακολούθησε το σώμα άρα το έργο για δεδομένη μετατόπισηαπόσημείοασε σημείο Β είναι πάντα το ίδιο όπως και αν πραγματοποιηθεί η μετατόπιση, ήισοδύναμα, κατά μήκος κλειστής διαδρομής το έργο συντηρητικής δύναμης είναι μηδέν. Οι θεμελιώδεις δυνάμεις είναι συντηρητικές αλλά κάποιες παράγωγες όπως η τριβή ΔΕΝ είναι άρα ΔΕΝ μπορεί να οριστεί η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια (μη συντηρητικές δυνάμεις /πεδία δυνάμεων)) 5/1

6 Συσχετισμός Δύναμης Δυναμικής Ενέργειας Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα συντηρητικό πεδίο δυνάμεων με συνάρτηση δυναμικής ενέργειας Ε p =Ε Ε p (xyz) (x,y,z). Εάν υποχρεώσουμε ένα σώμα να μετακινηθεί σε ευθεία γραμμή από το σημείο (x,y,z ) στο (x +Δx, y,z )(διεύθυνση x) τότε το έργο που θα παραχθεί από το πεδίο: x Δx W B F d F x dx E p x x y z E p x y z A x [ ( Δ,, ) (,, )] E ( x Δ x, y, z ) E ( x, y, z ) E p p p Fx lim [ ] Δx Δx x Η παράγωγος αυτή ΔΕΝ είναι η συνήθης καθώς θεωρούμε σταθερά τα y, z και μόνη μεταβλητή την x. Ονομάζεται «μερική παράγωγος» της συνάρτησης ως προς x. Γενικότερα λοιπόν, γιαναβρούμετην συνιστώσα της δύναμης εξαιτίας του πεδίου σε συγκεκριμένη διεύθυνση παίρνουμε την μερική παράγωγο της συνάρτησης δυναμικού ως προς μεταβολές στη διεύθυνση αυτή. π.χ. η επιτρόχιος συνιστώσα της δύναμης θα είναι η ( ) μερική παράγωγος της Ε p ως προς την s ενώ η δύναμη του πεδίου θα δίδεται ως διανυσματικό άθροισμα των παραγώγων ως προς x,y και z. F T E ss p Ep Ep Ep F uˆ uˆy uˆ x y z x y z Δηλαδή, αντί να περιγράφουμε το πεδίο με τρεις συνιστώσες δύναμης σε κάθε σημείο του χώρου, το περιγράφουμε με μία αριθμητική τιμή για κάθε σημείο του χώρου (δυναμική ενέργεια) και οι διαφορές της δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο σε άλλο του χώρου διαιρεμένες με την μετατόπιση μας δίνουν τη δύναμη στην κατεύθυνση αυτή (με ένα μπροστά). 6/1

7 Ανάδελτα Εάν ορίσουμε το ανάδελτα όπως παρακάτω τότε η δύναμη εξαιτίας του πεδίου γράφεται: uˆx uˆy uˆz F E x y z p 7/1 Το ανάδελτα έχει χαρακτηριστικά συνάρτησης και διανύσματος (αλλά δεν είναι) και χαρακτηρίζεται ως «τελεστής» που «δρα» επάνω στην συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας. Γενικότερα όταν δρα σε αριθμητική συνάρτηση f χαρακτηρίζεται ως βαθμίδα (gadien), είναι διάνυσμα και αποτελεί την γενίκευση της παραγώγου για περισσότερες της μίας μεταβλητές. f ˆ f gad f f ux uˆ f y uˆz x y z Απόκλιση (divegence, div) (δράση σε διάνυσμα, A A x y Az σαν εσωτερικό γινόμενο) και είναι αριθμός. div A A x y z Στροφή (Roaion. o ή cul)(δράση σε διάνυσμα, σαν εξωτερικό γινόμενο) και είναι διάνυσμα uˆx uˆy uˆz A A A A A A z y x ˆ z y x o A cul A A ( ) u ( ) u ˆ ( ) u ˆ x y z y z z x x y A x Ay A z x y z

8 Τελικά λοιπόν Σε πολικό σύστημα συντεταγμένων Έργο Ενέργεια Συσχετισμός Δύναμης Δυναμικής Ενέργειας F E p E E E Fx, Fy, Fz x y z και σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: p p p Σε πολικό σύστημα συντεταγμένων ((,θ), επίπεδη κίνηση) η στοιχειώδης μετατόπιση στην διεύθυνση του u είναι d ενώ στην διεύθυνση u θ είναι dθ οπότε: Ep 1 Ep F gade (, θ) E (, θ) uˆ uˆ θ p p θ Τότε, για την περίπτωση κεντρικών δυνάμεων, F=F() u, θα έχουμε: E p Fθ Ep Ep( ) θθ Παραδείγματα: Ε p ανεξάρτητη της θ Κυκλική συμμετρία της Ε p Ep dep 1 F k k de p kd E p k C d k Ep dep k k k F de p d E p C d 8/1 Αρμονικός ταλαντωτής Βαρύτητα (k<) και Ηλεκτρικές δυνάμεις (k>, k<)

9 Διατήρηση Ενέργειας 9/1 Δ E W Δ E E E ( E E ) E E E E k AB p kb, ka, p, B p, A k, B p, B k, A p, B Ορίζουμε την ολική μηχανική ενέργεια: E E E =σταθερή ή ΔE Για συντηρητικά πεδία η ολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή. k Και εάν έχουμε και μη συντηρητικές δυνάμεις; Η ολική μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται Οι συντηρητικές δυνάμεις μπορούν να περιγραφούν από την δυναμική ενέργεια αλλά για τις μη συντηρητικές πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το έργο. Οπότε: ΔE W W ΔE W Δ( ( E E ) W k AB, συντ. AB, μη συντ. p AB, μη συντ. k p AB, μη συντ. Η μεταβολή της ολικής μηχανικής ενέργειας ισούται με το έργο των μη συντηρητικών δυνάμεων. ΔE E W p AB, μησυντ.

10 Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) 1 μονοδιάστατη κίνηση mυ Ep ( x) E σταθ. 1 dx dx m Ep( x) E υ ( E Ep( x)) d d m E Ep ( x ) Το σώμα μπορεί να «υπάρξει» και να κινείται μόνον εκεί όπου: (βλέπε παρακάτω «Διαγράμματα Ενέργειας») ) x x dx ( E E p ( x )) m Παράδειγμα: μονοδιάστατη κίνηση υπό σταθερή δύναμη F. x d x x() E p 1/1 de x p F Fdx dep Ep( x) F x dx Θεωρώντας την μηδενική στάθμη στο x=. m 1 d( FxE) m x m 1 F E E F x ( E F x E) x F x EFx F F m m a υ

11 Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) Διατηρητικές: Η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται. Κεντρικές Δυνάμεις Κεντρικές δυνάμεις: επιλέγοντας ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων το κέντρο δύναμης, η δυναμική ενέργεια E p θα είναι μόνον συνάρτηση του και η στροφορμή L διατηρείται. Ηκίνησητου σώματος θα είναι επίπεδη, στο επίπεδο που ορίζουν ρζ η δύναμη και η αρχική ταχύτητα. Χρησιμοποιώ λοιπόν πολικό σύστημα συντεταγμένων. 1 E mυ Ep () σταθ. 1 1 d dθ E mυ mυθ Ep () σταθ. υ υ υ υ, υθ θ d L mυ σταθ υ θ d L θ m 1 d 1 L 1 d E m m E (), () p E m Ep eff d m d L Ενεργός Δυναμική Ενέργεια E peff, () E p () m 11/1

12 Έργο Ενέργεια Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) Κεντρικές Δυνάμεις Συνεπώς η μορφή, όσον αφορά στο, καθίσταται ίδια με του μονοδιάστατου προβλήματος και συνεπώς η λύση θα είναι της ίδια μορφής με x και Ε p (x)e p,eff (). 1/1 d Το ότι αποσυμπλέξαμε στις εξισώσεις μας το από το θ δεν d () σημαίνει ότι η κίνηση είναι δεν είναι δύο διαστάσεων και (, ( )) E Epeff συνεπώς πρέπει να υπολογίσουμε και το θ. Τώρα γνωρίζουμε το m =() και είχαμε: L mυ σταθ θ d dθ υ, υθ d d dθ dθ L Ld Lmυθ m θθ θ θ d d m () m () () Βέβαια μπορούμε, επίσης, να βρούμε απευθείας και την εξίσωση τροχιάς (=( θ) ήθ=θ()): d d dθ ( E Ep, eff ( )) ( E Ep, eff ( )) d m dθ d m d L L d ( EEpeff, ( )) θθ θ θ ( ) dθ m m m ( E Epeff, ( )) m

13 Διαγράμματα Ενέργειας Ευθύγραμμη κίνηση Από την μορφή της Δυναμικής Ενέργειας Ε p μπορούμε να βγάλουμε γρήγορα ποιοτικά συμπεράσματα για την κίνηση πριν λύσουμε τις εξισώσεις και πριν να γνωρίζουμε και τις αρχικές συνθήκες(ολική Ενέργεια) Ep ( x ) Η μελέτη της συνάρτησης Ε p μας επιτρέπει την εύρεση των σημείων ισορροπίας καθώς και το είδος ισορροπίας 13/1 de p F dx φορά δύναμης = τιμή κλίσης Ε p (x) d E p dx F x 1 x x 3 x 4 x 5 x de p F x 1,x,x 3,x 4,x 5 σημεία ισορροπίας (αν βάλουμε εκεί σώμα με υ= θα παραμείνει εκεί) dx xx ισορ. τοπικό ελάχιστο η δύναμη τείνει να το επαναφέρει στο σημείο ισορροπίας ευσταθής ισορροπία d E dx p xxισορ. τοπικό μέγιστοη δύναμη τείνει να το απομακρύνει από το σημείο ισορροπίας ασταθής ισορροπία

14 Ep ( x ) Ε Ε Ε Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Ευθύγραμμη κίνηση Αν γνωρίζουμε την Ολική Ενέργεια τότε γνωρίζουμε και τα επιτρεπτά διαστήματα κίνησης. Γνωρίζουμε επίσης και την κινητική ενέργεια που θα έχει στα διάφορα σημεία (όχι όμως το πρόσημο της ταχύτητας που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες). E= E k +E p E k E φράγματος Σημεία αναστροφής: η ταχύτητα στιγμιαία μηδενίζεται και την επόμενη χρονική στιγμή θα αλλάξει πρόσημο E p 14/1 Ε: το σώμα είναι εγκλωβισμένο στο κόκκινο διάστημα (κίνηση φραγμένη αριστερά δεξιά) και εκτελεί περιοδική κίνηση. Ε: το σώμα μπορεί να υπάρξει σε ένα από τα δύο διαστήματα εκτελώντας εκεί περιοδική κίνηση. Αν βρίσκεται στο δεξιό, παραμένειεγκλωβισμένοεκείπαρότιηe p είναι μικρότερη στο αριστερό!! Δηλαδή το να έχει ένα σημείο χαμηλότερη δυναμική ενέργεια δεν το κάνει αυτόματα επιτρεπτό σημείο της κίνησης. Μόνονανδώσουμεαρκετήενέργεια(λίγο μεγαλύτερη από E φράγματος ) θα μπορέσει το σώμα να ξεπεράσει το φράγμα δυναμικής ενέργειας και να περάσει και στο αριστερό φρέαρ (πηγάδι) δυναμική ενέργειας. Ε: τοσώμαεκτελείκίνησηφραγμένηαριστεράαλλάαργάηγρήγοραθαβρεθείσεάπειρη απόσταση. Αν η αρχική ταχύτητατουσώματοςήταναρνητικήςφοράςτοσώμαθαπλησιάσειστοαριστερόφράγμαθασταματήσεικαιμετάθα φύγει για το άπειρο. Αν η ταχύτητά του είχε θετική φορά, θα κατευθυνόταν απευθείας προς το άπειρο χωρίς να πλησιάσει το αριστερό φράγμα. x

15 E, () peff Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Κεντρικές και διατηρητικές δυνάμεις Για κεντρική και διατηρητική δύναμη είδαμε ότι η γενική κίνηση λαμβάνει χώρα στο επίπεδο που ορίζει η αρχική ταχύτητα και το κέντρο της δύναμης (που επιλέγεται ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων). Η εικονιζόμενη μορφή ενεργού δυναμικής ενέργειας μπορεί να περιγράφει π.χ. αλληλεπίδραση δύο ατόμων σε ένα μόριο ή την αλληλεπίδραση ενός σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Για μεγάλες τιμές του τείνει σε σταθερή τιμή που αυθαίρετα θεωρούμε (μπορούσαμε να την θέσουμε και 1), ενώ για μικρές τιμές του τείνει να απειριστεί περνώντας από ένα τοπικό ελάχιστο ενέργειας. 15/1 Ε 1 Ek, mυ Ε L E () E () m peff, p 1 1 E mυ mυθ Ep () σταθ. 3 1 Προσοχή: Η μελέτη του διαγράμματος μοιάζει με την αντίστοιχη της μονοδιάστατης κίνησης (αν L= τότε είναι μονοδιάστατη) αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμεότιτασυμπεράσματα ξχ μ μ αφορούν γενικά κίνηση η δύο διαστάσεων. Έτσι: Ε: Το σώμα δεν έχει ακτινική κινητική ενέργεια και πρέπει = =σταθ, δηλαδή εκτελεί κυκλική κίνηση (ΔΕΝ είναι ακίνητο). Ε: Το σώμα εκτελεί μία περιοδική κίνηση μεταξύ των 1 και, όπου η υ μηδενίζεται, όχιόμωςκαιηυ θ. Ε: Το σώμα μπορεί να πλησιάσει σε μία ελάχιστη απόσταση 3 αλλά θα καταλήξει στο άπειρο με μηδενική υ, ήκαι μεγαλύτερη για μεγαλύτερη ολική ενέργεια. Αν ήταν μόριο θα είχε διασπαστεί σε ανεξάρτητα άτομα.

16 E, () peff Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Κεντρικές και διατηρητικές δυνάμεις Για κεντρική και διατηρητική δύναμη είδαμε ότι η γενική κίνηση λαμβάνει χώρα στο επίπεδο που ορίζει η αρχική ταχύτητα και το κέντρο της δύναμης (που επιλέγεται ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων). Η εικονιζόμενη μορφή ενεργού δυναμικής ενέργειας μπορεί να περιγράφει π.χ. αλληλεπίδραση δύο ατόμων σε ένα μόριο ή την αλληλεπίδραση ενός σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Για μεγάλες τιμές του τείνει σε σταθερή τιμή που αυθαίρετα θεωρούμε (μπορούσαμε να την θέσουμε και 1), ενώ για μικρές τιμές του τείνει να απειριστεί περνώντας από ένα τοπικό ελάχιστο ενέργειας. 16/1 Ε 1 Ek, mυ Ε L E () E () m peff, p 1 1 E mυ mυθ Ep () σταθ. 3 1 υ υ υ υ 1 1 3

17 Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (1/4) 17/1 h υ R h Γης Θεωρώ αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο κέντρο της Γης. Παραλείπω τις τριβές. Βρίσκομαι σε απόσταση = R Γης +h από το κέντρο της Γης. Εκτοξεύω το σώμα με ταχύτητα υ κάθετα στην ακτίνα, δηλαδή έχω ως αρχική συνθήκη υ = και υ θ =υ. (Φυσικά, στη διάρκεια της κίνησης θα υπάρχει και υ και υ θ ). Η βαρυτική δύναμη είναι F= G m σωμ. M Γης / u (G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης) και η βαρυτική δυναμική ενέργεια Ε p()=. Κεντρική δύναμη και σύστημα αναφοράς στο κέντρο δύναμης, συνεπώς διατηρείται η στροφορμή. m MΓης L mυ E G θ m υ, θ m υ L p () 1 d E m Epeff, () d L m MΓης L Epeff, () Ep() G m m Παρατήρηση: κάθε φορά που αλλάζω την ταχύτητα υ, αλλάζω τόσο την συνολική ενέργεια του συστήματος όσο και την στροφορμή ήάρα την Ε p,eff.

18 E, () peff Έργο Ενέργεια Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (/4) Μελέτη της συνάρτησης Ε p (): m M L α. Συμπεριφορά στα όρια: Γης, G, m m M Γης L, G, m Εξαιτίας του 1/ και του 1/ ο δεύτερος όρος υπερισχύει για και ο πρώτος για. 18/1 β. Ακρότατα (αν η κίνηση ήταν μονοδιάστατη προκύπτουν τα σημεία ισορροπίας, εδώ που έχουμε επίπεδη κίνηση τα σημεία όπου υ =). m M Γης L G E peff, () m mmγης L G 3 m m M Γης L L υ G m GM 3 Γης L υ m m GM GM Γης γ. Είδος ακρότατων, τοπικό μέγιστο/ελάχιστο. Epeff, () Δείξτε κάνοντας τις πράξεις ότι για υ οπότε έχουμε τοπικό ελάχιστο δηλαδή ευσταθή κυκλική τροχιά. Γης R Γης R h Γης

19 E, () peff Έργο Ενέργεια Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (3/4) 19/1 Στο παράδειγμά μας η θέση του τοπικού ελαχίστου υ= εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα υ θ =υ και αυξάνει με αυξανόμενη υ. Επίσης, η ολική ενέργεια (που διατηρείται) είναι ίση με την αρχική δυναμική ενέργεια συν την αρχική κινητική που δίνουμε στο σώμα (οριζόντιες γραμμές στο διάγραμμα για κάθε υ ). α. Εάν υ = τότε L= και αφήνουμε το σώμα να πέσει με μηδενική ταχύτητα, οπότε θα κινηθεί ευθύγραμμα προς το κέντρο της Γης και θα προσκρούσει σύντομα στο έδαφος. β. Για μεγαλύτερες τιμές του υ (και άρα της L και της Ε) το σώμα τείνει να εκτελέσει (ελλειπτική) τροχιά μεταξύ της και μίας θέσης κοντά στο κέντρο της Γης οπότε και πάλι πέφτει στο έδαφος. γ. Όταν η θέση υ= γίνει ίση με την θέση εκτόξευσης (E=E( )), το σώμα εκτελεί κυκλική τροχιά (δορυφόρος της Γης): υ mm Γης mυ υ Βάρος=Κεντρομόλος G GM GM Γ ης υ Γης δ. Για μεγαλύτερες υ οι τροχιές γίνονται και πάλι ελλειπτικές με πλησιέστερο σημείο προσέγγισης το (πάλι δορυφόρος της Γης). ε. Για τιμή υ τέτοια ώστε Ε= η τροχιά του σώματος δεν είναι πλέον κλειστή (ταχύτητα διαφυγής) και το σώμα θα φτάσει στο άπειρο με μηδενική ταχύτητα (διαγράφοντας παραβολή). GM Γης E ( ) υδιαφ στ. Για υ > υ διαφ οι τροχιές παραμένουν ανοιχτές (υπερβολικές) και υ() RΓης RΓης h

20 /1 Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (4/4) Ερώτηση: Γιατί τα κέντρα εκτόξευσης βρίσκονται, κατά το δυνατόν, πλησιέστερα στον Ισημερινό;

21 Ενέργεια και μορφή τροχιάς 1/1 Όλες οι δυνατές τροχιές που μπορεί να εκτελέσει ένασώμαστοβαρυτικόπεδίοείναι κωνικές τομές (Έλλειψη (Κύκλος ειδική περίπτωση της Έλλειψης), Παραβολή και Υπερβολή). Οι εξισώσεις μπορούν να προκύψουν είτε ξεκινώντας από το νόμο του Νεύτωνα, είτε από την Ενέργεια όπως είδαμε νωρίτερα στο Κεφάλαιο αυτό. Στα πλαίσια αυτά μπορεί να αποδειχθεί και ότι ηενέργεια Ε μίας ελλειπτικής τροχιάς είναι συνάρτηση μόνον του μεγάλου άξονά της (μήκος α). Συνεπώς όλες οι ελλειπτικές τροχιές με ίδιο μεγάλο άξονα έλλειψης αντιστοιχούν στην ίδια ενέργεια και είναι ενεργειακά ισοδύναμες. Την μορφή τους την καθορίζει η στροφορμή και συνεπώς η φορά της αρχικής ταχύτητας. ας Συγκρίνετε με την ιδέα του κύριου κβαντικού αριθμού (ενέργεια) και του δευτερεύοντος (τροχιακού) στην περίπτωση του ατόμου. m M Γης E G a

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Διάγραμμα s - Ευθύγραμμη Κίνηση (m) Μέση αριθμητική ταχύτητα (μονόμετρο) Μέση διανυσματική ταχύτητα Μέση επιτάχυνση 1 4 Διάγραμμα u - (sec) Απόσταση (x) ονομάζουμε την ευθεία που ενώνει την αρχική και

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα:

ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: d F d s Παρατηρήσεις Το έργο εκφράζει την ποσότητα της ενέργειας που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Ενέργεια συστήματος

Κεφάλαιο 5. Ενέργεια συστήματος Κεφάλαιο 5 Ενέργεια συστήματος Εισαγωγή στην ενέργεια Οι νόμοι του Νεύτωνα και οι αντίστοιχες αρχές μας επιτρέπουν να λύνουμε μια ποικιλία προβλημάτων. Ωστόσο, μερικά προβλήματα, που θεωρητικά μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια.

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια. Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη. Μηχανική ενέργεια. Λύση προβλημάτων μηχανικής. α) ος νόμος Νεύτωνα,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ερωτήσεις Μηχανικής για τους υποψήφιους ΠΕ04 του ΑΣΕΠ

Ενδεικτικές ερωτήσεις Μηχανικής για τους υποψήφιους ΠΕ04 του ΑΣΕΠ Ενδεικτικές ερωτήσεις Μηχανικής για τους υποψήφιους ΠΕ του ΑΣΕΠ Ένα κινητό κινείται σε κύκλο Κεντρομόλος και επιτρόχια επιτάχυνση υπάρχουν: α Και οι δύο πάντα β Η πρώτη πάντα γ Η δεύτερη πάντα δ Ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 5: Έργο και Ενέργεια Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις . Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί να δημιουργηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις

Κεφάλαιο 8. Ορμή, ώθηση, κρούσεις Κεφάλαιο 8 Ορμή, ώθηση, κρούσεις Στόχοι 8 ου Κεφαλαίου Ορμή και ώθηση. Διατήρηση της ορμής. Μη ελαστικές κρούσεις. Ελαστικές κρούσεις. Κέντρο μάζας. Η μεταβολή της ορμής ενός σωματίου κατά τη διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης. Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 4 ο μάθημα Κεφάλαιο 7 Έργο και Ενέργεια Έργο σε μια διάσταση Νόμοι διατήρησης:

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι: ΑΣΚΗΣΗ. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας =,k δίνεται από τη σχέση: 6. α Βρείτε την θέση και το μέτρο της ταχύτητας του κινητού την χρονική στιγμή. β Τι είδους κίνηση κάνει το κινητό σε κάθε άξονα;

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων}

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων} Κεφάλαιο 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εννοια του Εργου { Εργο και Κινητική Ενέργεια, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, Ισχύς} Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας 5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 05 06 06 ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νόμος της Βαρύτητας Βαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΡΓΟ Το έργο, εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μία άλλη. Για σταθερή δύναμη δίνεται από τη σχέση W F Δx Είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

3. ιατήρηση της ενέργειας

3. ιατήρηση της ενέργειας 3. ιατήρηση της ενέργειας Βιβλιογραφία C. Kittl, W. D. Knight, M.. Rudmn,. C. Hlmholz και. J. Moy, Μηχανική. (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 1998). Κεφ. 5. M. R. Spigl, Θεωρητική Μηχανική. (Εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Κινήσεων 1. Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Τύπος Μας δίνει Παρατηρήσεις Ορισμοί βασικών μεγεθών. Ορισμός Μετατόπισης

Τυπολόγιο Κινήσεων 1. Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Τύπος Μας δίνει Παρατηρήσεις Ορισμοί βασικών μεγεθών. Ορισμός Μετατόπισης Τυπολόγιο Κινήσεων 1 1 Τυπολόγιο Κινήσεων Πίνακας 1 - Τυπολόγιο Κινήσεων Ορισμοί βασικών μεγεθών = 2 1 Ορισμός Μετατόπισης Αλγεβρικά, κανονικά είναι = 2 1 =, = Ορισμός ταχύτητας Διανυσματικά, αλγεβρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 2 Kg με αρχική ταχύτητα υ 0 8i κινείται με σταθερή επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο. ΘΕΜΑ 4 ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ. 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα.

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο. ΘΕΜΑ 4 ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ. 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα. ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Να διατυπωθούν οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα. ΘΕΜΑ 2 ο 1. Να διατυπώσετε το νόμο της παγκόσμιας έλξης. 2. Τι είναι το έργο και τι η ενέργεια; 3. Πως ορίζετε η μέση διανυσματική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

9 o Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ιαγώνισµα ΦΥΣΙΚΗΣ (2) 0. Καλή Επιτυχία. Ονοµατεπώνυµο:... Πειραιάς /5 / 2007

9 o Γ.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ιαγώνισµα ΦΥΣΙΚΗΣ (2) 0. Καλή Επιτυχία. Ονοµατεπώνυµο:... Πειραιάς /5 / 2007 1) Ένα σώµα εκτοξεύεται από τη βάση λείου κεκλιµένου επιπέδου µε αρχική ταχύτητα υ 0, προς τα πάνω (θέση 1) και σταµατά στη θέση (2) που βρίσκεται σε ύψος h. i) Ποια πρόταση που αναφέρεται στο έργο του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων

Ορμή. Απλούστερη περίπτωση: σύστημα δυο σωματίων, μάζας m 1 και m 2 σε αποστάσεις x 1 και x 2, αντίστοιχα, από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων Y Ορμή ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Όταν ένα σώμα περιστρέφεται ή ταλαντεύεται κατά την κίνησή του, υπάρχει ένα σημείο του σώματος που λέγεται Κέντρο Μάζας, το οποίο κινείται με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο θα κινιόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Σχολικό Έτος 016-017 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.1 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 1. ΕΡΓΟ Το έργο σαν φυσικό μέγεθος εκφράζει την μεταφορά ενέργειας από ένα σώμα σε ένα άλλο ή την μετατροπή της από μια μορφή σε μια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ102 1 Δυναμική Ενέργεια και διατηρητικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ορμή

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ορμή ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. B Λυκείου Ύλη: Ορμή 13-11-2016 Θέμα 1 ο : 1) Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων: α) η κινητική ενέργεια και η ορμή του συστήματος των σωμάτων παραμένουν σταθερές β) η κινητική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Έργο και Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ102 1 Όταν μια δύναμη δρα σε ένα σώμα που κινείται,

Διαβάστε περισσότερα

γ) να υπολογίστε το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση A = 10j μέχρι

γ) να υπολογίστε το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση A = 10j μέχρι ΑΣΚΗΣΗ 4. Σε σώμα μάζας = Kg ασκείται η δύναμη F = 5j, όπου j το μοναδιαίο διάνυσμα κατακόρυφης διεύθυνσης με φορά προς τα πάνω. α) να υπολογίσετε το έργο για τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση A =

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Β' Λυκείου ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Εισαγωγή Πότε έχω οριζόντια βολή; Όταν από κάποιο μικρό ύψος (Η) εκτοξεύουμε με οριζόντια ταχύτητα (υ 0 ) ένα σώμα. Πρόκειται για μια μη ευθύγραμμη κίνηση, και ο πρώτος που είχε κάποια ιδέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2015 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή: Είναι η κίνηση (παραβολική τροχιά) που κάνει ένα σώμα το οποίο βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα U 0 μέσα στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση Ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη Φυσική της Α' Λυκείου Δεύτερος νόμος Νεύτωνα, και Αποδεικνύεται πειραματικά ότι: Η επιτάχυνση ενός σώματος (όταν αυτό θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ 1. Σωστό ή λάθος: Η στιγμιαία ταχύτητα: α. εκφράζει τη μεταβολή της μετατόπισης β. εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της θέσης κατά μία δεδομένη χρονική στιγμή γ. αναφέρεται σε μία δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ακινητοποιούμε τρία σημειακά ηλεκτρικά φορτία, στις θέσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο κατασκευασμένο από κάποιο μονωτικό

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

... Σχετικότητα. Αναίρεση λοιπόν της ιδέας απόλυτου χρόνου ή χώρου, εισαγωγή απόλυτου χωροχρόνου.

... Σχετικότητα. Αναίρεση λοιπόν της ιδέας απόλυτου χρόνου ή χώρου, εισαγωγή απόλυτου χωροχρόνου. ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Αδρανειακά η Γαλιλαιϊκά συστήματα αναφοράς Μη Αδρανειακά συστήματα αναφοράς Αρχή της αιτιοκρατίας Συμμετρία αντιστροφής χρόνου Νόμοι του Newton I. O Χώρος είναι Ευκλείδειος II. Όλοι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί να δημιουργηθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ)

ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ) ΤΜΗΜΑ Α.2 ΚΑΘΗΓ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΓΡΑΦΕΙΟ ΖΒ114 (ΡΑΓΚΟΥΣΗ-ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ) E-mail: zacharia@uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι: ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια οριζόντια στροφή μιας ενικής οδού έχει ακτίνα = 95 m. Ένα αυτοκίνητο παίρνει τη στροφή αυτή με ταχύτητα υ = 26, m/s. (α) Πόση πρέπει να είναι η τιμή του συντελεστή μ s της στατικής

Διαβάστε περισσότερα

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Διατήρηση της Ενέργειας Εικόνα: Η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική κατά την ολίσθηση ενός παιχνιδιού σε μια πλατφόρμα. Μπορούμε να αναλύσουμε τέτοιες καταστάσεις με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Α. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή

Α. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (8-7-007) Μηχανική Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ A. Υλικό σώμα μάζας βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο με μέγιστο συντελεστή στατικής τριβής η και συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου} Κεφάλαιο 8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Νομος της Βαρυτητας {Διανυσματική Εκφραση, Βαρύτητα στη Γη και σε Πλανήτες} Νομοι του Kepler {Πεδίο Κεντρικών Δυνάμεων, Αρχή Διατήρησης Στροφορμής, Κίνηση Πλανητών και Νόμοι του

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 1) Ράβδος μάζας Μ και μήκους L που είναι στερεωμένη με άρθρωση σε οριζόντιο άξονα Ο, είναι στην κατακόρυφη θέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα