ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού"

Εὔα Δραγούμης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες auchy - Riea Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z) f( x, y) u( x, y) + iv( x, y) Η f( z) είναι αναλυτική, αν και µόνο αν ισχύουν οι: v v Αν η συνάρτηση ορίζεται σε πολικές συντεταγµένες f () z f(, r ϑ) u(, r ϑ) + iv(, r ϑ) τότε οι παραπάνω συνθήκες γράφονται: v r r ϑ v r r ϑ Αρµονικές συναρτήσεις Μια πραγµατική συνάρτηση f ( xy, ) λέγεται αρµονική, αν ικανοποιεί την εξίσωση Laplace: f f f + 0 ύο πραγµατικές συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) λέγονται συζυγείς αρµονικές αν και µόνο αν η µιγαδική συνάρτηση f ( z) uxy (, ) + ivxy (, ) είναι αναλυτική Αν γνωρίζουµε µία από τις δύο συζυγείς αρµονικές συναρτήσεις, π χ την uxy, (, ) τότε η

2 συζυγής της vxy, (, ) διαµέσου των συνθηκών auchy Riea, θα δίνεται από: ( xy, ) vxy (, ) dx+ dy ( x0, y0) όπου το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο της διαδροµής ανάµεσα στα σηµεία ( x, y ) και ( x0, y 0) Μιγαδική ολοκλήρωση Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα f ( zdz ) µιας µιγαδικής συνάρτησης f ( z) uxy (, ) + ivxy (, ) κατά µήκος της διαδροµής του µιγαδικού επιπέδου γράφεται: f ( z) dz ( u + iv)( dx + idy) ( udx vdy) + i ( vdx + udy) Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε απλά συνεκτική περιοχή Αν µια συνάρτηση f ( z) είναι συνεχής σε µια κλειστή απλά συνεκτική περιοχή R+, και αναλυτική εντός της απλής κλειστής καµπύλης, τότε: f( z) dz 0 Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε διπλά συνεκτική περιοχή Αν µια συνάρτηση f( z) είναι αναλυτική εντός της καµπύλης και εκτός της καθώς και πάνω στις καµπύλες και, τότε: f( z) dz f( z) dz Αρχή της παραµόρφωσης των κλειστών διαδροµών Το ολοκλήρωµα µιας αναλυτικής συνάρτησης f ( z ) πάνω σε οποιαδήποτε κλειστή καµπύλη έχει την ίδια τιµή πάνω σε οποιαδήποτε άλλη τέτοια καµπύλη, στην οποία η µπορεί να παραµορφωθεί µε συνεχή τρόπο χωρίς να περάσει από ιδιάζοντα σηµεία της f ( z )

3 Ολοκληρωτικό θεώρηµα auchy σε πολλαπλά συνεκτική περιοχή Θεωρούµε ότι η συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στην παρακάτω πολλαπλά συνεκτική περιοχή που ορίζεται από την εξωτερική απλή κλειστή καµπύλη και τις εσωτερικές απλές κλειστές καµπύλες,, 3,, 3 Τότε θα ισχύει: f ( zdz ) f( zdz ) + f( zdz ) + f( zdz ) + f( zdz ) 3 Θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού Έστω ότι µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική σε µια απλά συνεκτική περιοχή R Η τιµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος της f ( z ) ισούται µε τη διαφορά τιµών οποιασδήποτε παράγουσας F( z ) στα άκρα της διαδροµής ολοκλήρωσης: z z f ( zdz ) Fz ( ) Fz ( ) Μελέτη ολοκληρώµατος ( z a) Έστω το ολοκλήρωµα ( z a) dz, όπου ακέραιος και a µια σταθερά Τότε: 0, αν ( z a) dz πi, αν Ολοκληρωτικός τύπος του auchy για απλά συνεκτική περιοχή Θεωρούµε µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική εντός µιας απλά συνεκτικής περιοχής R Έστω το σηµείο z a, το οποίο βρίσκεται εντός της περιοχής R Για µια κλειστή καµπύλη εντός της περιοχής R, η οποία περικλείει το σηµείο z a, θα ισχύει: f( z) f ( a) dz πi z a και εν γένει: ( )! f( z) f ( a) dz, 0,,, πi + ( z a) ( όπου f ) ( z ) είναι η -οστή παράγωγος της f ( z ) 3

4 Ολοκληρωτικός τύπος του auchy για πολλαπλά συνεκτική περιοχή Έστω µια πολλαπλά συνεκτική περιοχή που ορίζεται από την εξωτερική απλή κλειστή καµπύλη και τις εσωτερικές απλές κλειστές καµπύλες,, 3, 3 Ο ολοκληρωτικός τύπος του auchy γίνεται: f ( z) f( z) f( z) f( z) f( z) f( a) πi z a πi z a πi z a πi z a πi z a 3 και εν γένει: f ( )! f( z)! f( z)! f( z)! f( z)! f( z) ( a) πi ( z a) πi ( z a) πi ( z a) πi ( z a) πi ( z a) όπου ( f ) ( z ) είναι η -οστή παράγωγος της f ( z ) (Σηµ : Η φορά διαγραφής κατά µήκος της είναι αντίθετη από τη φορά διαγραφής στις,,,, ) 3 Σειρά Taylor Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική σε κάποια περιοχή R Αν z a είναι ένα σηµείο εσωτερικό της R, τότε η συνάρτηση f ( z ) µπορεί να γραφεί ως δυναµοσειρά γύρω από το σηµείο a : ( ) f ( a) f ( a) f( z) f( a) + f ( a)( z a) + ( z a) + + ( z a) +!! Η ακτίνα σύγκλισης της παραπάνω σειράς ισούται µε την απόσταση από το z a µέχρι το πλησιέστερο ιδιάζον σηµείο της f ( z ) 4

5 Σειρά Lauret Έστω µια συνάρτηση f ( z) η οποία είναι αναλυτική στο εσωτερικό σύνορο και στο σύνορο του κυκλικού δακτυλίου που καθορίζεται από τις z a R και z a R µε R < R Η f ( z ) µπορεί να αναπαρασταθεί σε κάθε εσωτερικό σηµείο του δακτυλίου στη µορφή: 0 0 f( z) a ( z a) + a ( z a) όπου f ( ζ ) a dζ, 0,,, πi + ( ζ a) και, τα σύνορα του δακτυλίου f ( ζ ) a dζ,,, + πi ( ζ a) Ολοκληρωτικά υπόλοιπα Η σταθερά a f( ζ ) dζ π i ονοµάζεται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο z a Αν η συνάρτηση f ( z ) παρουσιάζει πόλο τάξης στο σηµείο z a, το ολοκληρωτικό υπόλοιπο δίνεται από τη σχέση: a d [( z a) f( z)] ( )! dz z a Στην περίπτωση που έχουµε απλό πόλο ( ) η παραπάνω σχέση απλοποιείται στη µορφή: a li[ f( z)( z a)] z a 5

6 Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων Z Z Έστω µια µιγαδική συνάρτηση f ( z ) η οποία είναι αναλυτική εντός της καµπύλης εκτός από ορισµένους µεµονωµένους πόλους Z3 Z Τότε θα έχουµε: z z, z z, z z3,, z z f( z) dz πi ( a ) όπου ( a ) i είναι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο που αντιστοιχεί στον πόλο z zi Υπολογισµός πραγµατικών ολοκληρωµάτων µέσω του θεωρήµατος ολοκληρωτικών υπολοίπων ** Ολοκληρώµατα του τύπου π 0 F(si ϑ,cos ϑ) dϑ Θέτοντας ϑ το ολοκλήρωµα γράφεται: iϑ iϑ z e dz e id π 0 F(si ϑ,cos ϑ) dϑ R( z) dz πi ( a ) όπου ( a ) i είναι τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της R( z ) εντός του µοναδιαίου κύκλου : z ** Ολοκληρώµατα του τύπου f ( xdx ) Θεωρούµε ότι: + α) Η µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στο πάνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο µε την εξαίρεση πεπερασµένου αριθµού πόλων οι οποίοι δεν βρίσκονται στον πραγµατικό άξονα β) Το όριο li f( z) 0 τουλάχιστον ως / z, 0 arg z π z Τότε θα ισχύει: + f( x) dx πi ( a ) όπου ( a ) τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της f ( z ) στο πάνω ηµιεπίπεδο 6

7 + iax ** Ολοκληρώµατα του τύπου f ( x ) e dx, a> 0 - Λήµµα του Jorda α) Η µιγαδική συνάρτηση f ( z ) είναι αναλυτική στο πάνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο µε την εξαίρεση πεπερασµένου αριθµού πόλων οι οποίοι δεν βρίσκονται στον πραγµατικό άξονα β) Υπάρχει το όριο li f( z) 0 µε 0 argz π Τότε θα ισχύει: z + iax f( x) e dx πi ( a ) όπου ( a ) τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα της f ( z ) στο πάνω ηµιεπίπεδο 7

Σχετικά έγγραφα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον